1. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
lim f (x) 2
1 1 2 2 v ν 1 2 ν α β α β ... a β α α ... α για κάθε χ να δειχτεί ότι: 1 2 ν α α α
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
1
100
ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
(ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ)
ΘΕΜΑ 1ο
a) Δίνεται η δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f , με
f (x) 0 , για κάθε x . Αν 1 2 3 4 a ,a ,a ,a είναι διαδοχικοί όροι μιας γνησίως
αύξουσας αριθμητικής προόδου, να δειχτεί ότι:
1 f (a ) f (a4 ) f (a2 ) f (a3)
b) Να λυθεί στο η εξίσωση: x x x x 6 5 4 3 0
ΘΕΜΑ 2ο
α) Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο 0, για την οποία ισχύει:
x x x e f (x) 2e ημe , για κάθε x0, .
Να δειχτεί ότι
x
ΘΕΜΑ 3ο
a.) Να δειχτεί ότι η εξίσωση x 2 e x x 1 0 έχει το πολύ τρεις ρίζες
πραγματικές.
b) Αν οι αριθμοί 1 2 v a ,a ,...,a είναι πραγματικοί και οι αριθμοί 1 2 ν β , β ,..., β είναι
θετικοί και ικανοποιείται η σχέση:
χ χ χ
1 2 ν β β ...β 1
ΘΕΜΑ 4ο
Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει
4 xf (x) 3x ημ2x (x 1) x,x , να βρεθεί το f (0)
ΘΕΜΑ 5ο
α) Αν η συνάρτηση f : είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και
f (x)f (x) a,a 0 για κάθε x , να αποδειχθεί ότι η f δεν έχει σημεία καμπής.
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : που είναι παραγωγίσιμη και
ισχύει f (0) 0. Να δειχτεί ότι υπάρχει 0
π
x 0,
4
τέτοιος, ώστε:
2. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
1 ε χ
f (χ ) f (χ )
1 ε χ
με 2 xe,e . Να δειχτεί ότι υπάρχει
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
2
0
0 0
0
.
ΘΕΜΑ 6ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ( 1,+ ) για την οποία
ισχύει
xf (x)
f (x) ln x
2
Να δειχτεί ότι:
i) Η συνάρτηση g(x) f (x) ln2 x είναι σταθερή στο1, .
ii) Αν f (e) 3 , να βρεθεί η συνάρτηση f .
iii) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία.
ΘΕΜΑ 7ο
α) i)΄Εστω μια συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (a) f (β) 0 και f (x) 0 ,
για κάθε χ a,β . Να δειχτεί ότι f (x) 0 , για κάθε χ α,β .
ii) Αν g(x) 0 ,για κάθε xα,βνα δειχτεί ότι
g(β)
g(a)
g(a) (x a) g(x)
β
α
,
για κάθε χα,β .
β) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει:
x xf (x) 1 e ημ2x για κάθε x , να δειχτεί ότι f (0) =3.
γ) Αν η συνάρτηση x f (x) e x 2005 παρουσιάζει στο σημείο 0 xa ακρότατο,
τότε ισχύει 2002 2003 2004 2005 a a a a 0
ΘΕΜΑ 8ο
α) Να δειχτεί ότι κάθε πολυώνυμο Ρ(Χ) βαθμού 3 παίρνει τη μορφή:
2 3 x x
P(x) P(0) xP (0) P (0) P (0).
2 6
β) Δίνεται η συνάρτηση
1
f (x) ln x
x
μοναδικός 2
0 x e,e τέτοιος, ώστε 0
3
f (x )
2
3. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
lim f (x) 2x
h(x) ημ χ 4
lim
χ
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
3
ΘΕΜΑ 9o
α) Έστω ότι η ευθεία ψ 2χ 5είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας
συνάρτησης f στο . Να βρείτε τα όρια:
ι)
x
f (x)
lim
x
και
x
.
μf (x)
4x
lim
xf (x) 2x 3x
ιι) Να βρεθεί ό πραγματικός αριθμός μ, αν x 2
=1
β) Να δειχτεί ότι:
ι) x e x 1 0 για κάθε x
ίί) Η εξίσωση x 2 2e 2x x 2 έχει ακριβώς μια λύση στο τη χ=0.
ΘΕΜΑ 10ο
Δίνεται o θετικός πραγματικός αριθμός α και η συνάρτηση:
2 f (x) ax 2x ln x, με x0, .
ι) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη.
ίί) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
συνάρτησης f στο σημείο Α(1, f (1)) και να προσδιορίσετε το α, ώστε η
εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
ΘΕΜΑ 11ο
Θεωρούμε τις συναρτήσεις 3x 2 f (x) e και 2 g(x) ln x , ορισμένες
στα σύνολα και 4 1,e αντιστοίχως.
ί) Να εξεταστεί αν ορίζεται η συνάρτηση h g f
ιι) Να βρεθεί το
2
x 0
ΘΕΜΑ 12ο
ι) Να δειχτεί ότι η συνάρτηση 3 f (x) x 3x a είναι γνησίως φθίνουσα στο
διάστημα 1,1
ίί) Να βρεθεί τo σύνολο τιμών της f στο διάστημα 1,1
ιιι) Αν -2<α< 2, να δειχτεί ότι η εξίσωση 3 x 3x a 0 έχει μια ακριβώς λύση στο
(-1,1).
4. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
, για κάθε x0,
f (x) f (2x)
lim , lim
x 2x
1 1
f (x) f (x) ημ χ
x x
και
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
4
ΘΕΜΑ 13ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) x2 ln x.
ί) Να δειχτεί ότι υπάρχει μοναδικό σημείο της γραφικής της παράστασης στο οποίο
η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ.
ιί) Να δειχτεί ότι
2 x 1
ln x
2e
ΘΕΜΑ 14ο
Θεωρούμε τη συνάρτησηf : παραγωγίσιμη σ’ όλο το πεδίο ορισμού της, για
την οποία ισχύει ότι:
x y f (x y) e f (y) e f (x) , για κάθε x, y πραγματικούς αριθμούς και f (0) 2
ι) Να αποδείξετε ότι f (0) 0 και 2x f (3x) 3e f (x), για κάθε x
ιι) Να βρείτε τα
x 0 x 0
ιιι) Να βρεθεί η f (x).
ΘΕΜΑ 15ο
Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :a,β με α>0 και
f (a) f (β) 0. Να δειχτεί ότι
i) Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ε (α,β) τέτοιο ώστε ξf (ξ) f (ξ) .
ii) Αν f (x) 0 για κάθε χ(α,β), τότε το ξ είναι μοναδικό.
iii) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο Μ(ξ, f (ξ))
περνά από την αρχή των αξόνων.
ΘΕΜΑ 16ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f :a,β με f (x) 0, για κάθε xa,β και
f (a) f (β) . Να δειχτεί ότι f (a)f (β) 0
ΘΕΜΑ 17ο
Να βρεθεί μια συνάρτηση f , ορισμένη στο (0,2π) για την οποία ισχύουν οι σχέσεις
2
2 π
f ( ) 0
4
(Ολοκλήρωμα).
ΘΕΜΑ 18ο
ι) Αν a β 2α e 2β e τότε είναι α = β.
5. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
.
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
5
ίί) Να λυθεί στο η εξίσωση
2 x 2 x 2 e e x x 2
ΘΕΜΑ 19o
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f με f (0) 0 . Υποθέτουμε ότι για
κάθε x ισχύει ότι x f (x) 8e συνx 7 , να υπολογισθεί το
f (x)
lim
x
x0
.
ΘΕΜΑ 20ο
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f :a,a ) με α>0 , που είναι δυο φορές
παραγωγίσιμη στο (-α,α) , με
f (a) f ( a)
f (0)
2
Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ ε (-α,α) ώστε f(ξ) 0 .
ΘΕΜΑ 21o
ι) Δίνεται η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει:
2 2 f (x y) f (x) f (y)
για κάθε x, y με f (0) 0 . Να δειχτεί ότι f είναι συνεχής.
ίί) Δίνεται η συνάρτηση g : για την οποία ισχύει:
3 g (x) g(x) x
Να δειχτεί ότι η συνάρτηση g αντιστρέφεται και ότι η 1 g είναι συνεχής.
ΘΕΜΑ 22o
α) Θεωρούμε την συνεχή συνάρτηση f :a,β με f (α) f (β) . Αν κ,λ
να
δειχτεί ότι υπάρχει ξ α,β ώστε
κf (α) λf (β)
f (ξ)
κ λ
β) Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία υπάρχει η f και είναι f (x) 0 ,
για κάθε x με f (0) 0 . Να δειχτεί ότι η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [0,+ )
και τα κοίλα κάτω στο (- ,0].
ΘΕΜΑ 23o
α) Να λυθεί η εξίσωση: 2 ln(x 1) x x 6 0
β) Θεωρούμε τις συνεχείς στο [α,β] συναρτήσεις f , g , που είναι παραγωγίσιμες στο
(α,β), με f (x) 0, για κάθε xa,β και ln f (a) ln f (β) g(β) g(a) . Να δειχτεί
ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιος, ώστε f (ξ) f (ξ)g(ξ) 0
ΘΕΜΑ 24ο
6. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
6
α) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτησηf : , για την οποία f (1) 1 και
3 2 3 4 x x f (x) f (x) 5, για κάθε χ . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της
γραφικής παράστασης της f στο σημείο
Μ(1, 1).
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : 1, , με f (x) x f (x) x e , για κάθε x1 . Να
βρεθεί η f (x ) .
ΘΕΜΑ 25ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f :Δ που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη ώστε
f (x) 0 , για κάθε x Δ . Θεωρούμε και τη συνάρτηση g : f Δ που είναι δυο
φορές παραγωγίσιμη, με g (x) 0 και g (x) 0 , για κάθε x f (Δ) . Να δειχτεί ότι
η συνάρτηση gf στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ.
ΘΕΜΑ 26ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f: που είναι παραγωγίσιμη στο
και ισχύει xf (x) (x 1)f (x) , για κάθε x και f (1) e ,
1
. Να βρεθεί ο
f ( 1)
e
τύπος της συνάρτησης f και κατόπιν το
lim f (x)
x 0
.
ΘΕΜΑ 27ο
Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτησηf : . Υποθέτουμε ότι η f
είναι κυρτή και ότι η f δεν έχει σημεία καμπής. Να δειχτεί ότι η f είναι 1-1.
ΘΕΜΑ 28ο
α) Αν για τη συνάρτηση f : ισχύουν τα εξής: f (x) 0 , για κάθε x
και f (0) 0 , να δειχτεί ότι το σημείο 0,f (0) είναι σημείο καμπής του
διαγράμματος της f .
β) Η συνάρτηση f : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με
2
g(x) f (x) . Αν οι συναρτήσεις f και g παρουσιάζουν καμπή στο σημείο 0 x ,
τότε είναι 0 f x 0.
ΘΕΜΑ 29ο
α) Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : , με f (x) f (x) 0
, για κάθε x και f (0) f (0) 0 . Να βρεθεί ο τύπος της f
7. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
, για κάθε x και
lim xf (x) 2g(x) 3
.
lim f (x) 1 4χg(x) 5
.
lim f (x)
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
7
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f : . Να βρεθεί το
limf (x)
x
0
και να μελετηθεί η f
ως προς τη μονοτονία, αν x f (x)
f (A) (0, ), 1 e
f (x)
f (ln 3) 3 .
ΘΕΜΑ 30ο
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f ,g : . Αν ισχύουν οι ισότητες:
x 2
και
x 2
Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα
lim f (x), lim g(x)
.
x 2 x
2
ΘΕΜΑ 31ο
α) Θεωρούμε τη δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: , με f (2) 2 και
f (2) 3 . Θεωρούμε και τη συνάρτηση g: , με 2 g(x) f (3x x) , για κάθε
x . Να βρεθεί η g (1).
β) Έστω f: μια παραγωγίσιμη συνάρτηση, με f γνησίως αύξουσα στο .
Να δειχτεί ότι f (x 1) f (x 1) f (x) f (x), για κάθε x
ΘΕΜΑ 32ο
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν
2x f (x) x e 1 f (x)
και
1
f (x) x f (x)
4
ι) Να δειχτεί ότι
x
ιι) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο
σημείο Μ( 0, f (0)) .
ιιι) Να δειχτεί ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f
παράλληλη προς τον άξονα χ΄χ
ιν) Να δειχτεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση και κυρτή στο
.
ΘΕΜΑ 33ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση
π
g : 0,
2
για την οποία ισχύουν
8. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
1
και ότι η εφαπτόμενη της γραφικής της παράστασης στο
g (x) ,g(0) 2
είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση 2χ ψ3 0 . Να δειχτεί
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
8
2
συν (x)
σημείο 0
π
x
4
ότι η συνάρτηση g είναι συνεχής.
ΘΕΜΑ 34ο
Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : a,β , για την οποία ισχύει f(α)f (β)0 .
Να δειχτεί ότι η f έχει ένα τουλάχιστον σημείο μηδενισμού στο [α,β].
ΘΕΜΑ 35ο
Θεωρούμε την συνάρτηση f : 0, με 2 f (x) x 2a ln x , με a .
ι) Να βρεθούν οι τιμές του α ώστε η γραφική παράσταση της f να έχει εφαπτομένη
παράλληλη προς τον άξονα χ΄χ.
ιι) Να δειχτεί ότι οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία με
τετμημένη 0x0 για τις διάφορες τιμές του a περνούν από το ίδιο σημείο.
ΘΕΜΑ 36ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση 2 βχ f (x) x ax e με α,β ,β 0 . Να δειχτεί ότι έχει
δυο κρίσιμα σημεία.
ΘΕΜΑ 37ο
Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο [0,1] με f (0) 0
και f (x) 0, για κάθε x (0,1) . Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ 0,1 ώστε
f (ξ) f (1 ξ)
2
f (ξ) f (1 ξ)
.
ΘΕΜΑ 38ο
Εστω f ,g:0,1 δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις ώστε f (x) 0,g(x) 0 για κάθε
x0,1 και f (0) g(1) 0 αποδείξτε ότι υπάρχει ξ0,1 , ώστε
f (ξ) g (ξ)
0
f (ξ) g(ξ)
.
ΘΕΜΑ 39ο
Η συνάρτηση f :[1,4] είναι παραγωγίσιμη στο [1,4]. Για κάθε
9. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
, να δειχτεί ότι f 0 3c.
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
9
x [0,4] ισχύει ότι f (4x) 4f (x) και
25
f 1
100
. Να δειχτεί ότι
υπάρχουν 1 2 3 x ,x ,x 1,4 ώστε 1 2 3 f (x ) f (x ) f (x ) 12 .
ΘΕΜΑ 40ο
Θεωρούμε την συνάρτηση f : που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
f (x) f (x) για κάθε x . Αν ηf παρουσιάζει για 0x0 τοπικό ακρότατο το
f (0) 0 να δειχτεί ότι:
ι) Αν x0 ,τότε f (x) f (x)
ιι) Αν x0 , τότε f (x) f (x)
ΘΕΜΑ 41ο
α) Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,2 με
f (0) f (2) 0 και 2 g(x) f (1)(2x x )
ι) Να δειχτεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία 1 2 1 2 ξ , ξ (ξ ξ ) του (0,2) ώστε
1 1 g(ξ ) f (ξ ) και 2 2 g(ξ ) f (ξ )
ιι) Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ ε (0,2) τέτοιο ώστε
1
.
f (1) f (ξ)
2
β) Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : που στρέφει τα κοίλα
άνω στο . Αν υπάρχει 0 x ώστε 0 f (x ) 0 , τότε
lim f (x)
x
.
ΘΕΜΑ 42ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : που η γραφική της παράσταση
στρέφει τα κοίλα άνω και περνά από την αρχή των αξόνων. Να δειχτεί ότι για κάθε
x ισχύει
3x
3f (x) 4f ( )
4
ΘΕΜΑ 43ο
Αν
x 0
x
f (x) f
3
lim c,c
2x
ΘΕΜΑ 44ο
Θεωρούμε την συνάρτησηf : που είναι παραγωγίσιμη στο 0 και για την
οποία ισχύει
f x f y
f x y
1
f (x)f (y)
10. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
lim f (x) 0
limf (ημχ) 0
π
f (ημχ) χf (1)
2 f (1) lim
2x π 2
και
limf (x) limf (x) limf (x)
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
10
για κάθε x, y . Αν για κάθε x, y ισχύει ότι f (x)f (y) 1, να δειχτεί ότι η f
είναι παραγωγίσιμη.
ΘΕΜΑ 45ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,π για την οποία ισχύει
2
f (x) x 1 .
Να αποδειχθεί ότι:
ι) f (1) 0 .
ιι)
x 1
ιιι)
π
x
2
ίν)
π
x
2
ΘΕΜΑ 46ο
Δίνεται η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτησηf : για την
οποία ισχύουν
x x x
x
xf (x)
lim
2
f
(x)
.
Να δειχτεί οτι
x
xf (x)
lim 0
f (x)
.
ΘΕΜΑ 47ο
ι) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : με τις ιδιότητες
f (0) 0 ,και 2 π
f (x) (2x a)ημ(x β) (x αx)συν(x β), a, β 0,
2
Να
βρεθεί ο τύπος της f .
ιι) Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιος ώστε εφ(ξ — β) =
2 αξ ξ
2ξ α
.
ΘΕΜΑ 48ο
11. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
g(x)(ln x
1)
με g(2) 1. Να δειχτεί ότι
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
11
Αν το διάγραμμα της συνάρτησης f : έχει πλάγια ασύμπτωτη τήν ευθεία ψ =
2χ+ 1 όταν χ να υπολογιστεί το
2
xf (x) 5x
1
lim
x f (x) 2x 3x 3
x 2 3 2
.
ΘΕΜΑ 49o
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει:
2 (x 1)f (x) 4xf (x) 2f (x) 0 για κάθε x
ι) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης φ: για την οποία ισχύει
φ( 2 x) 2xf (x) (x 1)f (x) .
ιι) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f αν γνωρίζουμε ότι η γραφική της
παράσταση περνά από την αρχή των αξόνων και ότι η εφαπτομένη της στην αρχή των
αξόνων είναι κάθετη στην ευθεία :x 2y 1 0 .
ΘΕΜΑ 50ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, ) , για την οποία ισχύουν
2 x f (ln x) xημx 2συνx και f (0) συν1. Να δειχτεί ότι
π
συνe
2π
f (π)
e
.
ΘΕΜΑ 51ο
α) Δίνεται η συνάρτηση F με 3 2 F(x) λx μx κx , που παρουσιάζει στο σημείο
x1 τοπικό μέγιστο και στο σημείο x2 καμπή.
Να δειχτεί ότι: μ 6λ, κ 9λ .
β) Δίνεται η συνάρτηση f : που είναι συνεχής στο 0 και για την οποία ισχύει
f (x y) f (x)συνy f (y)συνx . Να δειχτεί ότι η f είναι συνεχής.
ΘΕΜΑ 52ο
ι) Αν η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη και f (x) f (x) 0, τότε είναι
x f (x) ce (c : σταθερά).
Ιι) Δίνεται η συνάρτηση g : (1,) για την οποία ισχύει:
x
x
g (x)
ln x
lim g(x) 0
x
.
ΘΕΜΑ 53ο
Να δειχτεί ότι 2 2 ln x x 1.
12. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
με α,β >0 και α β. Να
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
12
ΘΕΜΑ 54ο
Δίνεται η συνάρτηση
x x a β
f (x) ln( )
2
δειχτεί ότι:
ι) Η f είναι κυρτή στο .
ιι) Αν f (x) x για κάθε x , τότε αβ = 2 e
ΘΕΜΑ 55ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύ ει
f (ln a) f (lnβ) . Αν ισχύει lnα ln γ lnβ , με α, β, γ >0 και 2 γβ
e
,να δειχθεί
αγ
ότι υπάρχουν αριθμοί 12ξ , ξ τέτοιοι ώστε 1 2 f(ξ ) f ξ ) 0 .
ΘΕΜΑ 56ο
Θεωρούμε την συνεχή στο διάστημα πe, πe συνάρτηση f για την οποία ισχύει:
2 2 2 2 2 x π f (x) π e .
ι) Να δειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (-πe , π e).
ii) Αν f(χ) 0 για κάθε x πe,πe , να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο
πe,πe.
ΘΕΜΑ 57ο
Θεωρούμε την συνεχή στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει:
x 1 e 1 (x 1)f (x) ε (x 1) για κάθε x . Αν είναι
f (x)
lim
2
x 2
x
2
,τότε:
ι) Να βρεθούν οι αριθμοί f ( 1) και f (2) .
ιι) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει με την γραφική
παράσταση της συνάρτησης
2 2 x x 1 g(x) (x 1)e ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με
τετμημένη 0 x (1, 2).
ΘΕΜΑ 58ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο
0, και τη συνάρτηση x h(x) 2 f (x) . Αν ισχύει
x f (x) x2 (ln 2)f (x) , τότε:
13. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
g(x)
.
g(x) 1
lim
.
xg(x) x e 2
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
13
ι) Να υπολογιστεί ο τύπος της f αν είναι γνωστό ότι παρουσιάζει τοπικό ακρότατο
στο σημείο x0 1.
ιι) Να δειχθεί ότι η h δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη.
ΘΕΜΑ 59ο
Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις f και για τις οποίες ισχύει:
x e f (x) g (x) g(x) και g(0) f (0) 0 .
ι) Να δειχθεί ότι f (x)
x
e
ιι) Αν η f έχει πλάγια ασύμπτωτη στην περιοχή του την ευθεία y x 2, να
δειχθεί ότι x 2 x
ΘΕΜΑ 60ο
Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της
παραγωγίσιμης συνάρτησης f στο σημείο 0 x2 για την οποία ισχύει
2 f (x) ln(x 1) (x 2) για κάθε x1
ΘΕΜΑ 61ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει
f (x)
f (x)
2
για κάθε x . Να δειχθεί ότι:
ι) Η συνάρτηση 2x h(x) f (x)e έχει παράγωγο μηδέν.
ιι) Αν f (0) 1945 , η f είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ αν f (0) 2000 , η f είναι
γνησίως αύξουσα.
ΘΕΜΑ 62ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο με f (x) 0 και f (x) 0,x και
ισχύει: f (xy) f (x)f (y),x, y .
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση g για την οποία ισχύει:
2 g(x)f (x) f (x) 1lnf (x) με g(0) 0 . Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ(0,1) τέτοιος
ώστε f (ξ) e.
ΘΕΜΑ 63ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύει x f (x) 2ln x f (x) f (x) e e
14. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
14
για κάθε x0, και f (0) 0. Να δειχθεί ότι:
ι) Η f δεν παρουσιάζει ακρότατο σε κανένα σημείο του διαστήματος 0, .
ιι)Το θεώρημα του Rolle δεν ισχύει σε κανένα διάστημα της μορφής 0 0,x
ιιι) Η f δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες.
ίν) Η ευθεία (ε):
3e 1
y x 1
3e
3
είναι κάθετη στην εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της f στο σημείο 0x1 .
ΘΕΜΑ 64ο
Θεωρούμε τη θετική συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο e, και για την οποία
ισχύει: f (x)f (x) ex και f (e) 0 . Να δειχθεί ότι:
ι) Η f αντιστρέφεται.
ιι) Η γραφική παράσταση της f συναντά τον άξονα χ΄χ σ’ ένα σημείο, ενώ δεν
συναντά τον άξονα ψ΄ψ.
ΘΕΜΑ 65ο
Θεωρούμε την δύο φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει
f (a) f (β) 0 και f (c) 0 για ένα c που ανήκει στο διάστημα (α, β). Να δειχθεί
ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο ώστε f (ξ) 0 .
ΘΕΜΑ 66o
Αν f :[α,β] είναι μια συνάρτηση συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α,
β) και 1 2 x , x (με 1 2 xx ) είναι δύο διαδοχικές ρίζες της f , να δειχθεί ότι:
ι) Υπάρχει το πολύ μια ρίζα της f στο διάστημα 1 2 x , x .
ιι) Αν 1 2 f (x )f (x ) 0 , τότε υπάρχει ακριβώς μια ρίζα της f στο διάστημα 1 2 x , x .
ΘΕΜΑ 67ο
Να βρεθεί ο τύπος μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f : (0,) για την οποία
ισχύει: xf (x) f (x) ln f (x) 0 , με f (x) 1,
για κάθε x0, και f (1) e .
ΘΕΜΑ 68ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f διάστημα [α, β] (με α,β(1,) ) για την
οποία ισχύει f (x) 0 για κάθε x [α, β]. Αν 1 2 f (ξ ), f (ξ ) είναι αντίστοιχα το
15. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
f (x )f (x )
2xf (x) x f (x)
ορισμένη στο [e,)
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
15
β
ελάχιστο και το μέγιστο της f στο διάστημα [α, β] και ισχύει e
f (ξ2 ) f (ξ1 ) α
και
ακόμα για τη συνάρτηση h(x) f (x) ln x ισχύουν οι προϋποθέσεις του
θεωρήματος του Rolle , να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α,β) τέτοιο ώστε
f (ξ) 0.
ΘΕΜΑ 69ο
ι) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση f:
για την όποία ισχύουν:
f (x) xf (x) e (1 f (x) f (x)) xf (x) x 0 (1)
και 1 f (x) 0 για κάθε x (0, ) .
ιι) Αν y f (x) είναι η λύση της (1) που δεν είναι εκθετική συνάρτηση και για την
οποία είναι f (1) 0, να δειχθεί ότι μεταξύ δύο ριζών της εξίσωσης f (x)ημχ 1 0
υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης x ημx ln x συνx 0.
ΘΕΜΑ 70ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει:
2 2 2 2 4α 1 4β 1 f (2α) f (2β) e e .Να δειχθεί οτι υπάρχει 0 x (2α,2β) τέτοιο ώστε
2
0 0 x0 1
0
e
x
(δίνεται ότι 0 (α , β)).
ΘΕΜΑ 71ο
Να υπολογισθούν οι οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης f που είναι
παραγωγίσιμη στο
όταν ισχύει:
2
x
1
e
και f (1) 1 .
ΘΕΜΑ 72ο
Δίνεται η συνάρτηση
ln x
f (x)
x
ι) Να δειχθεί ότι: x 1821 x x (x 1821)
1821
ιι) Να δειχθεί ότι: π 1821 [1 ].
π π
ΘΕΜΑ 73ο
Αν οι συναρτήσεις f και φ και οι παράγωγοί τους f και είναι
16. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
που είναι ορισμένη στο 0,1
e
f (x) 2
lim f (x) ,
lim f (x)
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
16
συνεχείς στο [α,β] , η συνάρτηση ff είναι θετική στο διάστημα αυτό και η f
είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] , να δειχθεί ότι μεταξύ 2 ριζών της εξίσωσης
f (x) 0 υπάρχει μια ρίζα της φ(χ)=0.
ΘΕΜΑ 74ο
Θεωρούμε την τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f που είναι ορι σμένη στο 0,1
για την οποία ισχύει f (x) 2 , για κάθε x 0,1 .Να δειχθεί ότι η γραφική
παράσταση της συνάρτησης
3 x
g(x) f (x)
3
βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ΄χ. Δίνεται ότι
1
.
f (0) 0, f (0) 0, f (1)
3
ΘΕΜΑ 75ο
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο με συνεχή παράγωγο σε
αυτό και για την οποία ισχύουν:
x
x
e 1
και f (0) ln 2
Να δειχθεί ότι:
ι)
x
x
ιι) Η f δεν παρουσιάζει ακρότατα.
ιιι) Η γραφική παράσταση της f συναντά τον άξονα χ΄χ σ’ ένα ακριβώς σημείο.
ιν) f (1) ln(1 e) 2
ΘΕΜΑ 76ο
Δίνεται η συνάρτηση g(x) f (x) g(x)e , όπου g(x) είναι παραγωγίσιμη στο [α,β]
συνάρτηση, με συνεχή παράγωγο σ’ αυτό. Υποθέτουμε ότι:
g (x)(1 g(x)) 0 , για κάθε x[α,β]
Να δειχθεί ότι:
ι) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β].
ιι) Αν g(α) g(β) , να δειχθεί ότι υπάρχει 0 χ α,β τέτοιος, ώστε 0 f (x ) 0 .
ιιι) Αν είναι f (x) 0, για κάθε x[α,β] , να δειχθεί ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει
μία ακριβώς ρίζα στο διάστημα (α ,β).
17. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
να δειχθεί ότι υπάρχει ξ
α lim f (x) β lim f (x)
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
17
ΘΕΜΑ 77ο
Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει το θεώρημα του Rolle στο διάστημα
[α, β] και που έχει δεύτερη παράγωγο στο διάστημα αυτό. Αν ακόμα ισχύει
g(x) xf (x) , για κάθε x[α,β] και
x α x
β
(α,β) τέτοιο ώστε g(ξ) 0 .
ΘΕΜΑ 78ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο διάστημα 0, . Η γραφική
παράσταση της συνάρτησης έχει δύο κοινά σημεία με την
πλάγια ασύμπτωτη της συνάρτησης
2 2x 1
g(x)
x
. Να αποδειχθεί ότι
υπάρχει ένας τουλάχιστον θετικός αριθμός 0 x τέτοιος, ώστε:
0 0 0 f (x) xf (x) .
ΘΕΜΑ 79ο
Να προσδιοριστεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει:
f (x y) f (x) yln x cy , για κάθε x 0, y ,c και f (1) 0 και f (e) e .
ΘΕΜΑ 80
α) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :α,β που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη
στο (α, β), με f (α) f (β) 0 και η οποία παρουσιάζει ακρότατο σε ένα σημείο x
0 του (α, β). Με ποια προϋπόθεση μπορούμε να ισχυριστούμε ότι υπάρχει ξ (α, β)
τέτοιο, που f (ξ) 0;
β) Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το και f (x) 0,g(x) 0, ,
2
για κάθε x , να δειχθεί ότι: 8f 2 (x) g 2 (x) 16f 3 (x)g(x) , για κάθε x .
ΘΕΜΑ 81ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο [α, β] συνάρτηση f με f (x) 0, για κάθε xα,β , για
την οποία ισχύει: 2 2 β ln f (α) α ln f (β)
Να δειχθεί ότι υπάρχει 0 x α,β τέτοιος, ώστε
2
f (x ) ln[f (x )]
0 0
0
0
f (x )
x
είναι α,β
.
ΘΕΜΑ 82ο
18. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
lim f (x) 0
για κάθε x . Να δειχθεί ότι:
2f (x) 1
lim 0
2x
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
18
Δίνεται η συνάρτηση f : (1, )
για την οποία ισχύει:
f (x) 1 x ln x
f (x) x ln x
και
e f (e) e .
ι) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f είναι γινόμενο δύο συναρτήσεων των
οποίων οι γραφικές παραστάσεις, με κοινό πεδίο ορισμού το (1, ), δεν έχουν κοινά
σημεία.
ιι) Να δειχθεί ότι:
x 1
ΘΕΜΑ 83ο
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: και οι α ριθμοί α, β, γ, δ
f (γ) f (β) f (δ)
f (γ)
για τους οποίους υποθέτουμε ότι α<β<γ<δ και
λ
0
f (β) f (α) f (γ) f (β)
. Να
δείξετε ότι η εξίσωση f (x) 0 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα.
ΘΕΜΑ 84ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει:
2 2 1
f (x ) f (x)
4
ι) Η f δεν αντιστρέφεται.
ιι) Υπάρχει ξ (0,1) τέτοιος, ώστε f (ξ)= 0.
ιιι)
x 0
.
ΘΕΜΑ 85ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και για την
οποία ισχύει η σχέση x 2000 x 1997x2 [f (x)] 2xf (x) 2(2 1)
για κάθε x .
ι) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0 0 x (x 0) , να βρεθεί το είδος του
ακρότατου.( Υπόδειξη: Με κριτήριο 2ης παραγώγου, το οποίο είναι εκτός ύλης)
Ιι) Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο 0, να δειχθεί ότι
limf (x) ln 2
x
0
.
ΘΕΜΑ 86ο
19. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
f (x)
f (x )
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
19
Θεωρούμε τη συνάρτηση F(x) ln f (x), που είναι ορισμένη στο διάστημα 0,με
f (x) 0, για κάθε x0, και f (e) e . Η f είναι 1-1 και παραγωγίσιμη, με
f (x) 0,για κάθε x0, .
ι) Να βρεθεί ένα κρίσιμο σημείο της συνάρτησης
ln f (x)
g(x)
.
f (x)
ιι) Έστω 0 x το στάσιμο σημείο(σημεία μηδενισμού της 1ης παραγώγου) της
συνάρτησης g . Να δειχθεί ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των
συναρτήσεων ln f (x) και f (x) στα σημεία 1 0 0 M (x , ln f (x )) και 2 0 0 M (x , f (x ))
αντίστοιχα, τέμνονται σε ένα σημείο που βρίσκεται στον άξονα χ΄χ.
ΘΕΜΑ 87ο
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο και για την οποία
ισχύει: v v v v f (x) 2x x ημ x , για κάθε x
όπου ν είναι φυσικός περιττός αριθμός διάφορος του 1. Να δειχθεί ότι:
Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0.
ΘΕΜΑ 88ο
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο και για την οποία
ισχύει: f (x y) f (x) f (y) λxy x
για κάθε x με λ . Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0, με f (0) 3
και η συνάρτηση 0
0
h(x)
x x
είναι συνεχής στο σημείο 0 x να δειχθεί ότι η
εξίσωση h(x) 1821x 4 0 έχει μία τούλάχιστον ρίζα στο .
ΘΕΜΑ 89ο
Δίνονται οι παραγωγίσιμες στο διάστημα [0,1] συναρτήσεις f και g για τις οποίες
ισχύουν: 2 g(x) f (x) ,
g (0)f (1)
1, (f (1) 0).
g (1)f (0)
Να δείξετε ότι: .
ι) f (0) f (1)
ιι) Υπάρχουν 1 2 3 ξ ,ξ ,ξ 0,1 τέτοιοι ώστε:
1 2 3 f (ξ ) f (ξ ) f (ξ ) 0.
ΘΕΜΑ 90ο
20. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
20
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β] συνάρτηση f . Θεωρούμε το σημείο ξ
(α,β), που είναι το σημείο που εφαρμόζονται τα συμπεράσματα των θεωρημάτων
μέσης τιμής και Fermat . Να δειχθεί ότι ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος του
Rolle . Το ίδιο σημείο είναι σημείο εφαρμογής του συμπεράσματος του θεωρήματος
του Rolle ;
ΘΕΜΑ 91ο
Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες στο συναρτήσεις f και για τις οποίες
ισχύει : f (x) g(x) 2(λ 2)x 0, (λ ) . Να δειχθεί ότι η εξίσωση g(x) 0 έχει
μία τουλάχιστον ρίζα πραγματική στις εξής περιπτώσεις:
ι) 2 2 f (x) (ax βx γ) ln(x 2000),αγ 0 .
ιι) Για την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα
[κ,μ] και για τον μιγαδικό αριθμό z 2000 f (μ)i ισχύει z0 .
ΘΕΜΑ 92ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση g , με g(x) 0 , για κάθε x . Να
δειχθεί ότι:
ι) Υπάρχει ξ 0,1 τέτοιο, ώστε να ισχύει:
2
ξ ξ
g (ξ) e 2ξe
g(ξ) 2
e e
ξ ξ
. ιι) Υπάρχει
1 ξ 1,2 , τέτοιο, ώστε 2 4
1 h (ξ ) g(2)(e e ) , όπου h είναι κατάλληλη συνάρτηση
που ορίζεται από το (ι) ερώτημα.
ΘΕΜΑ 93ο
ι) Να δειχθεί ότι: 4 3 2 3x 8x 6x 24x 19 0 ,για κάθε x1, .
ιι) Να δειχθεί ότι η εξίσωση: 4 3 2 12x 14x 3x 5 0 έχει μόνο μία θετική ρίζα.
ιιι) Να δειχθεί ότι: 4 3 2 12x 14x 3x 5 0, για κάθε x1, .
ΘΕΜΑ 94ο
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f ,g , που είναι ορισμένες στο 0,3 και για τις οποίες
ισχύει g(x) 2xf (x) , για κάθε x0,3. Αν οι f και g είναι παραγωγίσιμες στο
σημείο 0 x 2 και η f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0 x 2 , να δειχθεί ότι:
g(2) 2f (2)
ΘΕΜΑ 95ο
21. Επιλεγμένες Ασκήσεις Ανάλυσης
f (x)
, να αποδείξετε ότι
Ασημακόπουλος Γεώργιος-Μαθηματικός
21
Δίνεται η συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] , με
f (x)f (x) 0 για κάθε x[α,β] . Δίνεται ακόμα ότι:
f (β) f (β)
f (α) f
(α)
. Να δειχθεί ότι
υπάρχει ξ (α,β) τέτοιος, ώστε να ισχύει f (ξ)f (ξ) 0 .
ΘΕΜΑ 96ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει:
2
x
x 3x 3,
e
με f (0) 2 .
ι) Να δειχθεί ότι: f (1997) f (2000) .
ιι) Να δειχθεί ότι για τη συνάρτηση f δεν ισχύει το θεώρημα του Bolzano σε
κανένα κλειστό διάστημα του .
ΘΕΜΑ 97ο
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0,1 για την οποία ισχύει:
2 2 f (1) f (0) 2f (0) 5
f (x)
2
για κάθε x 0,1 . Να βρείτε:
α) τους αριθμούς f (0) και f (1) ,
β) τον τύπο της f .
ΘΕΜΑ 98
1. Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f :0, , με f (0) f (0) 0
,για την οποία ισχύει f (x) f (x) για κάθε x0,Να αποδείξετε ότι:
α. Η συνάρτηση h :[0,) με τύπο x h(x) f (x)e , είναι γνησίως αύξουσα και
β. Να αποδείξετε ότι η 2 f είναι κυρτή.
2. Να βρείτε τον a , αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 2 f (x) ax
και g(x) ln x έχουν κοινή εφαπτομένη σε κοινό τους σημείο.
ΘΕΜΑ 99
Αν f : 0, παραγωγίσιμη συνάρτηση, ώστε η εφαπτομένη της f C σε τυχαίο
σημείο της Μ 0 0 x , f (x ) να τέμνει τους άξονες χ΄χ και ψ΄ψ στα σημεία Α 1 x ,0 και
Β( 1 0, y ), με 1
0
x
x
2
c
f (x) ,c
σταθερά.
x