Επιμέλεια: Λαγουδάκος Γ. - Σταυρόπουλος Π. αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 1
Μία άσκηση – πολλοί διαφορετικοί τρόποι επίλυσης
Με αφορμή μία άσκηση του σχολικού ξεκίνησε μία συζήτηση στις τάξεις αλλά και στο
γραφείο των καθηγητών. Ο σκοπός ήταν να λύσουμε μία εξίσωση με όσους περισσότερους
τρόπους μπορούμε. Εξαντλήσαμε τις δυνατότητες της ύλης της Β’ Λυκείου, αλλά και
επεκταθήκαμε σε ύλη Γ’ Λυκείου.
Η επίλυση της εξίσωσης με διάφορες μεθόδους, αλγεβρικές αλλά και ανάλυσης βοηθά τον
μαθητή να συστηματοποιήσει τις γνώσεις του αλλά και να του επισημανθούν «λεπτά»
σημεία της μεθοδολογίας που συναντάμε σε ασκήσεις άλγεβρας και ανάλυσης Β και Γ
Λυκείου. Για αυτόν το λόγο στη συζήτηση συμμετείχαν μαθητές και των δύο τάξεων του
Λυκείου.
Το αποτέλεσμα είναι η καταγραφή δώδεκα διαφορετικών τρόπων επίλυσης της ζητούμενης
εξίσωσης. Τους τρόπους αυτούς με χαρά τους μοιραζόμαστε μαζί σας …
Γιώργος Λαγουδάκος – Παύλος Σταυρόπουλος.
Να λυθεί η εξίσωση : 1 συνx ημx ,x [0,2π)
1ος τρόπος
Έστω x 0,2π μία λύση της παραπάνω εξίσωσης . Τότε έχουμε:
2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 συνx ημx (1 συνx) ημ x
1 συν x 2συνx ημ x
συν x ημ x συν x 2συνx ημ x 2συν x 2συνx 0
2συνx (συνx 1) 0
συνx 0 ή
x [0,2π)
συνx 1
π 3π
x ή x ή x π
2 2
Εξετάζω ποιες από αυτές τις λύσεις επαληθεύουν
την αρχική εξίσωση και τελικά καταλήγουμε στο δεχθούμε
ως λύσεις της αρχικής εξίσωσης τις
π
x , x π
2
.
Οι εξισώσεις και δεν είναι ισοδύναμες.
Αν επιλέξω να υψώσω στο τετράγωνο και τα δύο μέλη της αρχικής εξίσωσης
η νέα εξίσωση μπορεί να έχει και άλλες λύσεις .
Επομένως αφού επιλύσω την νέα εξίσωση θα πρέπει να εξετάσω ποιες
λύσεις από αυτές επαληθεύουν την αρχική εξίσωση και να απορρίψω τις
υπόλοιπες.
17.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 7

2. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 2
2ος
τρόπος
Επειδή 1 συνx 0 για κάθε x 0,2π ,
θα πρέπει να θέσουμε ως περιορισμό ότι και ημx 0
οπότε η λύση είναι αυτή που περιγράφεται παρακάτω :
2 2
2 2
2 2
2
1 συνx ημ x
1 συνx ημx
ημx 0
1 2συνx συν x ημ x
x 0,π
1 2συνx συν x 1 συν x
x 0,π
2συνx 2συν x 0
x 0,π
2συνx 1 συνx 0
x 0,π
συνx 0 ή συνx=-1
x 0,π
π 3π
x= ή x ή x=π ή
2 2
x 0,π
π
x ή x=π
2
Για θετικούς αριθμούς
α , β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία :
17.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 7

3. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 3
3ος
τρόπος
2
2 2
1 συνx ημx 1 συνx ημx 0
(1 συνχ ημx) 0
1 συν x ημ x 2συνx 2ημx 2συνxημx 0
2 2συνx 2ημx 2συνxημx 0
1 συνx ημ
x [0,2π)
x συνxημx 0
συνx(1 ημx) (1 ημx) 0
(1 ημx) (συνx 1) 0
ημx 1 ή συνx 1
π
x ή x π
2
4ος
τρόπος
2 2
22
2 2
συν x ημ x 1
1 συνx ημx
1 συνx ημx
συν x 1 συνx 1
1 συνx ημx
συν x 1 2 συνx συν x 1
1 συνx ημx
2συνx (συνx 1) 0
1 συνx ημx
x 0,2π
συνx 0 ή συνx 1
1 συνx ημx
π
x ή x π
2
Οι εξισώσεις και είναι ισοδύναμες.
Άρα στην περίπτωση αυτή οι λύσεις που θα βρω θα είναι και οι λύσεις της
αρχικής εξίσωσης.
Αν έχουμε μία ταυτότητα που αληθεύει σε όλο το R τότε η
εξίσωση είναι ισοδύναμη με το σύστημα
17.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 7

4. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 4
5ος τρόπος
Αν στο προηγούμενο σύστημα θέσουμε συνx X και ημx Y τότε έχουμε ισοδύναμα
2 2 2 2
1 συνx ημx 1 X Y
ημ x συν x 1 Y X 1
H δεύτερη εξίσωση παριστάνει τον γνωστό
μας τριγωνομετρικό κύκλο και η πρώτη μία
ευθεία. Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα ευθεία
και κύκλο. Οι συντεταγμένες των σημείων
τομής ευθείας και κύκλου αποτελούν και τη
λύση του συστήματος.
Παρατηρήστε ότι τα σημεία αυτά
αντιστοιχούν στις τιμές
π
x
2
και x π
6ος τρόπος
Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων τις
γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
f(x) ημx και g(x) συνx 1 .
Οι λύσεις της εξίσωσης 1 συνx ημx ,x [0,2π)
θα αναζητηθούν ως τα κοινά σημεία των δύο γραφικών
παραστάσεων στο διάστημα [0,2π)
17.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 7

5. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 5
7ος τρόπος
Ισχύει ότι :
1 συνx ημx ημx συνx 1
π
ημx εφ συνx 1
4
π
ημ
4ημx συνx 1
π
συν
4
π π π
ημx συν συνx ημ συν
4 4 4
π 2
ημ(x )
4 2
x [0,2π)
π π
ημ(x ) ημ
4 4
π π π π
x 2κπ ή x 2κπ π
4 4 4 4
π
x 2κπ ή x 2κπ π
2
π
x ή x π
2
8ος τρόπος
Εκτελώντας τον προηγούμενο μετασχηματισμό
θεωρούμε την συνάρτηση :
π π π
ημ ημx συν ημ συνx
π4 4 4f (x) ημx συνx ημx συνx 2 ημ(x )
π π 4συν συν
4 4
Οι λύσεις της ζητούμενης εξίσωσης
θα προκύψουν ως σημεία τομής της
γραφικής παράστασης της f με την
ευθεία y=1.
Ισχύει ο τύπος :
17.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 7

6. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 6
9ος τρόπος
Γνωρίζουμε ότι 1 ημx 1 και 1 συνx 1 ή 0 1 συνx 2
Επομένως αν υπάρχει λύση x 0,2π της εξίσωσης 1 συνx ημx για αυτήν θα
πρέπει να ισχύει:
0 1 συνx ημx 1 άρα :
x [0,2π)
π 3π
x ,0 1 συνx 1 1 συνx 0 π
2 2 x ,π
0 ημx 1 0 ημx 1 2
x 0,π
Έστω
π
x ,π
2
με τελική πλευρά ΟΑ
Τότε για τα σημεία Ο , Α , Β έχουμε :
ΟΒ ΟΑ ΑΒ με την ισότητα να ισχύει
αν και μόνο αν τα σημεία Ο , Α , Β είναι συνευθειακά
Άρα : ΟΒ ΟΑ ΑΒ ημx 1 συνx
Για να ισχύει η ισότητα στην παραπάνω σχέση , πρέπει το
σημείο Α να έχει τετμημέν
π
x π ή x
2
10ος τρόπος
Όπως πριν διαπιστώνουμε ότι πρέπει
π
x ,π
2
Θεωρούμε την συνάρτηση
π
f(x) 1 συνx ημx , x ,π
2
Έχουμε διαδοχικά :
f '(x) ημx συνx και f "(x) συνx ημx 0 για κάθε
π
x ,π
2
Άρα η f ' είναι γνησίως αύξουσα με προφανή ρίζα την
3π
x
4
,οπότε
x π
2
3π
4
π
f x - +
f(x)
Η f παρουσιάζει max στα σημεία
π
x
2
και x π με
π
f f(π) 0
2
, άρα η
εξίσωση 1 συνx ημx f(x) 0 έχει μοναδικές λύσεις τις
π
x
2
και x π .
17.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 7

7. Γ.ΛΑΓΟΥΔΑΚΟΣ – Π.ΣΤΑΥΡΟΠΟΥΛΟΣ 7
11ος τρόπος
Θεωρούμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης s(x) f(x) g(x) ημx συνx .
Οι λύσεις της ζητούμενης εξίσωσης προκύπτουν ως τετμημένες των σημείων τιμής
της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=s(x) και της ευθείας y=1, δηλαδή :
12ος τρόπος
Όπως και σε προηγούμενους τρόπους παρατηρούμε ότι η εξίσωση 1 συνx ημx ,
αν έχει λύση στο διάστημα 0,2π , αυτή θα πρέπει να περιέχεται στο
διάστημα
π
,π
2
Θεωρούμε τη συνάρτηση f x 1 συνx ημx ,
π
x ,π
2
Παρατηρούμε ότι
π
f f π 0
2
Έστω ότι η συνάρτηση f , έχει ρίζα
π
α ,π
2
Τότε από διαδοχικές εφαρμογές του θεωρήματος Rolle θα υπάρχει τουλάχιστον ένα
π
ξ ,π
2
ώστε f ξ 0
Αυτό όμως είναι άτοπο αφού f x ημx συνx 0 για κάθε
π
x ,π
2
Άρα οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης f(x) =0 στο διάστημα
π
,π
2
είναι οι
π
x ,x π
2
Αθήνα - Δεκέμβριος 2016
17.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 7