Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. Μια εναλλακτική παραγώγιση συναρτήσεων
με απόλυτες τιμές
13 Απριλίου 2019
Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος
Εισαγωγή
Αυτό το άρθρο γράφτηκε καθοδόν της πολυήμερης εκδρομής της Β Λυκείου από το 1ο
ΓΕΛ Αμαρουσίου στη Σαντορίνη!
Είναι ένας διαφορετικός τρόπος παρουσίασης της παραγώγου των συναρτήσεων που
περιέχουν απόλυτες τιμές. Μια προσέγγιση που ίσως έχει παρουσιαστεί σε κάποιο
έντυπο (πχ. Ευκλείδη ή στο διαδίκτυο) αλλά μέχρι και σήμερα που το επεξεργάζομαι δεν
το έχω συναντήσει πουθενά.
Η προσέγγιση αυτή αποφεύγει τις δίκλαδες συναρτήσεις (πολλαπλού τύπου) που
δυσκολεύουν τους μαθητές. Βοηθάει στη μελέτη του προσήμου χωρίς να γλυτώνουμε
κόπο από τον παραδοσιακό τρόπο επίλυσης.
Σίγουρα, δεν ανακαλύψαμε την Αμερική, αλλά σίγουρα πρέπει να είναι γραμμένα όσα
έχουν ενδιαφέρον και δεν κυκλοφορούν ευρέως στο διαδίκτυο.
Παράδειγμα 1
Δίνεται η συνάρτηση  f x x , x R . Να βρείτε την παράγωγο της f όπου ορίζεται.
Λύση
Έχουμε,   2
f x x x  , άρα για κάθε x 0 έχουμε:
  2
2x x
f x
x2 x
  
Η παράγωγος της f στο σημείο 0x 0 γίνεται κατά τα γνωστά (ορισμός) …
Παράδειγμα 2
Δίνεται η συνάρτηση   2
f x x x , x  R . Να βρείτε την παράγωγο της f όπου
ορίζεται.
14.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3

2. Λύση
Για κάθε      x ,0 0,1 1,     έχουμε,
     
  
 
  2 2
22 2
222
2 x x 2x 1 x x 2x 1
f x x x x x
x x2 x x
             
  
Η παράγωγος της f στο σημείο 1 2x 0 και x 1  γίνεται κατά τα γνωστά (ορισμός)
Παράδειγμα 3
Δίνεται η συνάρτηση  
π
f x συνx x , x 0,
2
 
   
 
. Να βρείτε την παράγωγο της f
όπου ορίζεται.
Λύση
Έχουμε,    
2
f x συνx x συνx x    , άρα για κάθε
π
x 0,
2
 
 
 
εκτός από το
σημείο 0
π
x 0,
2
 
 
 
για το οποίο ισχύει  0f x 0 έχουμε:
 
  
 
  
2
2 συνx x ημx 1 x συνx ημx 1
f x
συνx x2 συνx x
    
  

Η παράγωγος της f στο σημείο 0x γίνεται κατά τα γνωστά (ορισμός) …
Παράδειγμα 4
Δίνεται η συνάρτηση  
π π
f x ημ x , x ,
2 2
 
   
 
. Να βρείτε την παράγωγο της f
όπου ορίζεται.
Λύση
Για κάθε
π π
x ,0 0,
2 2
   
     
   
έχουμε,
     
 Παράδειγμα 1
xσυν x
f x ημ x συν x x
x
     
Η παράγωγος της f στο σημείο 0x 0 γίνεται κατά τα γνωστά (ορισμός) …
14.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3

3. Γενίκευση
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g : R R τέτοιες ώστε:    f x g x
Για κάθε xR , εκτός από τα σημεία 0x για τα οποία ισχύουν  0g x 0 , έχουμε:
        
 
   
 
2
2
2g x g x g x g x
f x g x
g x2 g x
 
   
14.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3