Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.

Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Επιμέλεια: Θεόδωρος Παγώνης για το lisari

  • Identifiez-vous pour voir les commentaires

Σημειώσεις μαθηματικών θετικής Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

  1. 1. Θεόδωρος Παγώνης μαθηματικός 2015-2016 β΄ λυκείου μαθηματικά κατεύθυνσης
  2. 2. Κσκλοθορούν επίζης Μαθημαηικά Καηεύθσνζης Γ΄ Λσκείοσ Μαθημαηικά Γενικής Παιδείας, Άλγεβρα Β΄ Λσκείοσ Θεόδωρος Παγώνης e-mail: theomath@yahoo.gr https://www.facebook.com.theodoros.pagones http://lisari.blogspot.gr/ 2015-2016
  3. 3. 2015-2016 διανύσματα Ασκήσεις Παγώνης Θεόδωρος Μαθηματικός
  4. 4. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 2 - §1. η έννοια του διανύςματοσ 1) Από ηα δηαλύζκαηα πνπ είλαη ζεκεησκέλα ζην παξαθάησ παξαιιειεπίπεδν , ην νπνίν έρεη βάζεηο ηεηξάγσλα , λα δηαθξίλεηαη εθείλα πνπ α. έρνπλ ην ίδην κήθνο κε ην δηάλπζκα   β. έρνπλ ίδηα δηεύζπλζε κε ην δηάλπζκα   γ. έρνπλ ίδηα θνξά κε ην δηάλπζκα   δ. είλαη ίζα κε ην   ε. είλαη αληίζεηα κε ην   2) Έλα θηλεηό εθηειεί θπθιηθή θίλεζε . Δίλαη γλσζηό από ηελ Φπζηθή όηη ζε θάζε ζεκείν ε δηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο είλαη εθαπηόκελε ηνπ θύθινπ . α. ΢ε πνηα ζεκεία ηνπ ζρήκαηνο ηα δηαλύζκαηα ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θηλεηνύ είλαη αληίζεηα ; β. Λα βξείηε ην ζεκείν ζην νπνίν ην δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο ηνπ θηλεηνύ είλαη αληίζεην κε ην δηάλπζκα ηεο ηαρύηεηαο ζην Κ. 3) ΢ην παξαθάησ ζρήκα λα βξείηε : α. ίζα δηαλύζκαηα β. αληίζεηα δηαλύζκαηα 4) Γίλεηαη ξόκβνο ΑΒΓΓ κε Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Λα ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε ζσζηό ή ιάζνο : α.       β.      γ.      δ. , ,                   5) Γίλεηαη ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε / /  . Λα ραξαθηεξίζεηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε ζσζηό ή ιάζνο : α.       β.      γ. | | | |      δ.      6) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΑΓ ην ύςνο ηνπ. Λα βξείηε ηηο γσλίεο : α. ,         β. ,         γ. ,         δ. ,         7) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε a     θαη      . Πνηα δηαλύζκαηα είλαη ηα : α. a     β. a    γ. a     8) Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ . Λα βξείηε δηαλύζκαηα ίζα κε : α.     β.     γ.       δ.     ε.       ζη.       9) ΢ην επίπεδν ζεσξνύκε ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα βξείηε ζεκείν Ο ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη          .
  5. 5. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 3 - 10) Έζησ Κ εζσηεξηθό ζεκείν παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ . Λα δείμεηε όηη 0           . 11) Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα x  ζε θάζε έλα από ηα παξαθάησ ζρήκαηα σο ζπλάξηεζε ησλ άιισλ δηαλπζκάησλ πνπ δίλνληαη : 12) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Δ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη        . Λα δείμεηε όηη        . 13) Έζησ ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα δείμεηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην , ώζηε          , ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν. 14) ΢ηηο πιεπξέο ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ , ΓΑ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ ζεσξνύκε ηα ζεκεία Θ , Ι , Κ , Λ ηέηνηα , ώζηε      ,      . Λα δείμεηε όηη ην ΘΙΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν. 15) Αλ γηα ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ , Δ ηζρύεη ε ζρέζε          λα δείμεηε όηη ηα Γ θαη Δ ηαπηίδνληαη. 16) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Κ ηπραίν ζεκείν ηεο πιεπξάο ΑΓ . Αλ ην ζεκείν Δ νξίδεηαη από ηελ ζρέζε          λα δείμεηε όηη ην ΑΒΓΔ είλαη παξαιιειόγξακκν. 17) Αλ νη δηαγώληνη θπξηνύ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ δηρνηνκνύληαη , λα δεηρζεί όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν. 18) Γπν παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη ΓΓΘΙ έρνπλ θνηλή πιεπξά ΓΓ . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΙΘ είλαη παξαιιειόγξακκν. 19) Γπν παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη ΑΒ1ΓΓ1 έρνπλ θνηλή ηελ δηαγώλην ΑΓ . Λα δεηρζεί όηη ην ηεηξάπιεπξν ΒΒ1ΓΓ1 είλαη παξαιιειόγξακκν . 20) Δμσηεξηθά ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θαηαζθεπάδνπκε ηα ηεηξάγσλα ΑΒΔΕ θαη ΓΓΘΖ . Λα δείμεηε όηη : α.      . β. Σα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΓ θαη ΖΔ έρνπλ θνηλό κέζν . γ. Σν θέληξν Ο ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ είλαη θνηλό κέζν ησλ ΔΖ θαη ΕΘ . 21) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Θ , Ι , Κ . Λα απνδείμεηε όηη ηζρύεη ε ζρέζε              . 22) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Θ , Ι , Κ , Λ ηα κέζα ησλ ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΓΑ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη      . 23) Αλ Ο ην κέζν ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ , ηεηξάπιεπξνπ ΑΒΓΓ , λα δεηρζεί όηη          .
  6. 6. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 4 - 24) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ . Λα θαηαζθεπάζεηε ηα δηαλύζκαηα   θαη   από ηηο ηζόηεηεο        ,        θαη λα δείμεηε όηη      . 25) Από ην θέληξν Ο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θέξνπκε επζεία πνπ ηέκλεη ηηο ΑΒ θαη ΓΓ ζηα ζεκεία Ε θαη Δ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη      . 26) Γίλεηαη θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ . Λα δείμεηε όηη        . 27) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   ,   ηζρύνπλ 3| | 2 | | 5| |a        θαη | | | | | | 1a         , λα βξείηε ηα κέηξα ησλ a  ,   ,   . 28) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   ,   ηζρύνπλ 2 | | 3| | 4 | |a        θαη | | | | | | 26a         α. λα βξείηε ηα κέηξα ησλ a  ,   ,   θαη β. λα απνδείμεηε όηη είλαη κήθε πιεπξώλ ακβιπγσλίνπ ηξηγώλνπ . §2. πολλαπλαςιαςμόσ αριθμού με διάνυςμα 29) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  ,   , x  , y  γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 2 4 3 0x y a        θαη 4 2 3 0x y         . Λα βξείηε ηα δηαλύζκαηα x  , y  ζπλαξηήζεη ησλ a  ,   . 30) Θεσξνύκε ηξία ζεκεία Θ , Ι , Κ ηέηνηα , ώζηε 4 3      . Λα δείμεηε όηη γηα θάζε ζεκείν Ο ηζρύεη 4 3 7 7        . 31) Έζησ ηα ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Αλ Θ , Ι είλαη ηα κέζα ησλ ΑΓ , ΒΓ αληίζηνηρα λα δείμεηε όηη 2        . 32) Έζησ Θ , Ι ηα κέζα ησλ ΑΒ , ΓΓ . Λα δείμεηε όηη 2        . 33) ΢ηελ πιεπξά ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 2 3      . Λα δείμεηε όηη 5 2 3 0         . 34) Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν θαη ηα ζεκεία Θ , Ι ηέηνηα , ώζηε 2        θαη 2 3        . Λα απνδείμεηε όηη 4       . 35) Γίλνληαη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΓ , ΒΔ , ΓΕ κε θνηλό κέζν ην ζεκείν Ο . Λα δεηρζεί όηη : α. 3              . β. 6                , όπνπ Κ ηπραίν ζεκείν . 36) Έζησ Θ , Ι ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΓΓ ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ αληίζηνηρα θαη G κέζν ηνπ ΘΙ . Λα απνδείμεηε όηη : α. 4 G          β. 0G G G G           37) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Κ , Λ ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη 2             . 38) Γίλεηαη ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Κ , Λ ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Αλ Θ είλαη ην κέζν ηνπ ΚΛ θαη Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο , λα δεηρζεί όηη 4            . 39) Λα δείμεηε όηη ζε θάζε θαλνληθό εμάγσλν ΑΒΓΓΔΕ ηζρύεη 2            .
  7. 7. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 5 - 40) ΢ε ηξαπέδην ΑΒΓΓ (ΑΒ//ΓΓ) πξνεθηείλσ ηελ δηάκεζν ΘΙ θαηά      . Λα δείμεηε όηη 2        . 41) Οη δηαγώληνη   θαη   ηζνζθεινύο ηξαπεδηνύ ηέκλνληαη θάζεηα ζην Ο ελώ νη κεζνθάζεηνη ησλ δηαγώλησλ ζην Κ . Λα δείμεηε όηη 2            . 42) Αλ Ο είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ θαη Κ ην κέζν ηνπ   , λα δεηρζεί όηη 1 2         . 43) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . Αλ Κ ηπραίν ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ , λα δεηρζεί όηη 4            . 44) ΢ηηο πιεπξέο ΒΓ , ΓΑ , ΑΒ ηξηγώλνπ ΑΒΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε έηζη ώζηε 1 4    , 3 2    , 3 7    . Αλ ζηελ ΑΒ πάξνπκε ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 1 3    λα δείμεηε όηη 4 10          . 45) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Ο ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε 2 0       . Λα δείμεηε όηη 2          . 46) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκεία Κ , Λ ηέηνηα ώζηε 3 0        θαη 2 2 3 0         . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν. 47) Γίλνληαη ηα παξαιιειόγξακκα ΑΒΓΓ θαη Α1Β1Γ1Γ1 . Αλ Θ , Ι , Κ , Λ είλαη ηα κέζα ησλ ΑΑ1 , ΒΒ1 , ΓΓ1 θαη ΓΓ1 αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ην ΘΙΚΛ είλαη παξαιιειόγξακκν . 48) Λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο δηακέζνπο ηπραίνπ ηξηγώλνπ , ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν . 49) Κε βάζεηο ηηο πιεπξέο ηξίγσλνπ ΑΒΓ θαηαζθεπάδνπκε εμσηεξηθά ηα παξαιιειόγξακκα ΒΓΓΔ , ΓΑΕΖ θαη ΑΒΘΗ . Λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα   ,   θαη   ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν . 50) Λα απνδείμεηε όηη Κ είλαη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ αλ θαη κόλν εάλ ππάξρεη ζεκείν Ο ηέηνην , ώζηε 2        . 51) Γίλνληαη ηα δηαθεθξηκέλα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ ώζηε 1 3      . Λα βξεζεί ν    ώζηε ( 1)         . 52) Έζησ ηα ηξίγσλα ΑΒΓ , ΑΘΙ γηα ηα νπνία ηζρύεη          . Λα απνδείμεηε όηη ηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΒΓ , ΘΙ έρνπλ ην ίδην κέζν. 53) Γίλεηαη ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε 2      θαη ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε 2      . Λα απνδείμεηε όηη 3          . 54) Γίλεηαη θύθινο κε θέληξν Ο θαη έζησ ΑΒ θαη ΓΓ δπν θάζεηεο κεηαμύ ηνπο ρνξδέο , νη νπνίεο ηέκλνληαη ζην Ρ . α. Λα απνδείμεηε όηη : i. 2            ii. 2            β. Αλ Θ θαη Ι είλαη ηα κέζα ησλ ρνξδώλ ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΟΘΡΙ είλαη παξαιιειόγξακκν. 55) Γίλεηαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ Γ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Ρ ε πξνβνιή ηνπ πάλσ ζηελ ΑΓ. Λα απνδείμεηε όηη 3 0       . 56) Γίλεηαη ην δηάλπζκα 0     θαη ζεκείν Γ ηνπ   ηέηνην , ώζηε v      , * , v  . α. Λα δεηρζεί όηη 0v   . β. Αλ Κ ηπραίν ζεκείν , λα δεηρζεί όηη v v           .
  8. 8. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 6 - 57) Σα ζεκεία Α , Β , Γ σο πξνο έλα ζεκείν αλαθνξάο Ο έρνπλ δηαλύζκαηα ζέζεο a  ,   ,   ελώ σο πξνο άιιν ζεκείν αλαθνξάο Ο΄ έρνπλ δηαλύζκαηα ζέζεο u  , v  , w  . Αλ , ,    κε 0     ώζηε a                  θαη u v w                  , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Κ θαη Κ΄ ηαπηίδνληαη . 58) Γίλεηαη επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ ην νπνίν ηξηρνηνκείηαη από ηα ζεκεία Γ θαη Γ . Έζησ Ο ηπραίν ζεκείν ηνπ ΑΒ . Αλ u     , v     , λα εθθξαζηνύλ ηα   θαη   ζπλαξηήζεη ησλ u  , v  . 59) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Κ ην κέζν ηεο ΑΓ . Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα   θαη   ζπλαξηήζεη ησλ a     θαη      . 60) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη έζησ Γ ην κέζν ηεο ΑΒ , Δ ζεκείν ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε 3      θαη Ρ ην κέζν ηνπ ΓΔ . Λα εθθξάζεηε ην   σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ δηαλπζκάησλ   θαη   . 61) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη ηα ζεκεία Δ θαη Ε ηεο δηαγσλίνπ ΑΓ ηέηνηα , ώζηε 1 4      . α. Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα   θαη   ζπλαξηήζεη ησλ a     θαη      . β. Λα απνδείμεηε όηη ην ΔΒΕΓ είλαη παξαιιειόγξακκν. 62) Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν , Θ ην κέζν ηεο ΔΓ , Ι ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Λ ην κέζν ηεο ΑΘ. Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα   ζπλαξηήζεη ησλ a     θαη      . 63) Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν . Θέηνπκε a     θαη      . Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα   ζπλαξηήζεη ησλ a  ,   . 64) Έζησ ξόκβνο ΑΒΓΓ κε δηαγώληνπο a     θαη      . Λα εθθξάζεηε ηα δηαλύζκαηα   θαη   ζπλαξηήζεη ησλ a  ,   . 65) Έζησ ΑΒΓΓΔΕ θαλνληθό εμάγσλν κε a     ,      θαη      . Λα δείμεηε όηη a        θαη 3 a              . 66) Έζησ u     , v     , 3u v       , 3u v       . Λα εθθξαζηνύλ ηα δηαλύζκαηα   ,   ,   ζπλαξηήζεη ησλ u  , v  . Κεηά λα δείμεηε όηη / /       . 67) Αλ   = ι   ,   = ι   λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα   ,   είλαη ζπγγξακκηθά . 68) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ . Αλ ηζρύεη 2 5 3 6        , 5 2 6 3        λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα   ,   είλαη αληίξξνπα . 69) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ ηέηνηα , ώζηε 4 9        , 6        . Λα δεηρζεί όηη / /     . 70) Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ , ΑΖ ε δηρνηόκνο ηνπ θαη Δ , Ε ηα κέζα ησλ ΑΓ , ΖΓ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη      . 71) Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u  , v  είλαη κε παξάιιεια , ηόηε : α. Αλ 0u v       είλαη 0   . β. Αλ u v u v                      κε , , ,     .
  9. 9. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 7 - 72) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα κέζα Κ , Λ ησλ πιεπξώλ ΑΒ , ΑΓ αληίζηνηρα. Λα δείμεηε όηη / /     . 73) Αλ γηα ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u  , v  , w  γλσξίδνπκε όηη 0u v w        θαη όηη | | | | | | 3 4 7 u v w      , λα δεηρζεί όηη u v    θαη v w    . 74) Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u  , v  δελ είλαη ζπγγξακκηθά , λα δεηρζεί όηη : α. ηα δηαλύζκαηα 2x u v      θαη 3y u v      δελ είλαη ζπγγξακκηθά β. ηα δηαλύζκαηα 9 5x u v      θαη 5 3 3 y u v      είλαη ζπγγξακκηθά . 75) Σα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u  , v  , w  είλαη κε ζπγγξακκηθά αλά δύν . Αλ / /(2 )v u w     θαη / /( )w u v     , λα δεηρζεί όηη / /( 2 )u w v     . 76) Αλ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα u  , v  , w  είλαη κε ζπγγξακκηθά αλά δύν θαη / /( )u v w     θαη / /( )v u w     , λα δεηρζεί όηη / /( )w u v     . 77) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  ,   , x  , y  γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 2 4x y a         θαη 4 2 2x y a         . Λα απνδείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα x  , y  είλαη νκόξξνπα. 78) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  ,   , x  , y  γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 1 2 2 x y a        θαη 11 3 11 2 y a x        . Λα απνδείμεηε όηη x y    . 79) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  ,   , x  , y  γηα ηα νπνία ηζρύνπλ 2 14 21x a y        θαη 3 5 6 4x y a         . Λα απνδείμεηε όηη x y    . 80) Έζησ δπν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα u  , v  θαη έλα δηάλπζκα w  ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη ( ) / /( )w u u v       θαη ( ) / /( 2 )w u u v       . Λα δεηρζεί όηη 1 ( 4 ) 3 w u v      . 81) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Γ , Δ ηέηνηα , ώζηε      θαη      . α. Λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ζέζε ησλ ζεκείσλ Β , Γ , Γ . β. Αλ Ε ην ζπκκεηξηθό ηνπ Γ σο πξνο ην κέζν Κ ηνπ ΑΒ , λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ζέζε ησλ ζεκείσλ Ε , Α , Δ . 82) Γίλνληαη ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ θαη Γ , Δ ηέηνηα , ώζηε      θαη      . Λα απνδείμεηε όηη ην Γ είλαη κέζν ηνπ   . 83) Έζησ ηα δηαλύζκαηα a     ,      . α. Λα θαηαζθεπάζεηε ηα δηαλύζκαηα 2a        , a        , 4 5a        . β. Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε είλαη ζπλεπζεηαθά. 84) ΢ην δηπιαλό ζρήκα λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά . 85) Αλ Ο , Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε 10u     , 5 v     θαη 4 3u v       , λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 86) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 3u v       , 2u v       θαη 3 5u v       . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά .
  10. 10. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 8 - 87) Έζησ ηα δηαλύζκαηα u v w         , 5 3 4u v w         θαη 13 7 10u v w         . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 88) Αλ 7 4 3 0         λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 89) Αλ 5 3 2 4            , λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 90) Αλ Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε 3 4 0         λα δείμεηε όηη είλαη ζπλεπζεηαθά . 91) Αλ Α , Β , Γ είλαη ζεκεία ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε 2 3 0         λα δείμεηε όηη είλαη ζπλεπζεηαθά . 92) Γίλνληαη ηα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηέηνηα , ώζηε 6 13 7 0         . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 93) Έζησ (2 ) 3            . Λα δείμεηε όηη γηα θάζε   ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 94) Έζησ 2 ( 1)            . Λα δείμεηε όηη γηα θάζε    ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 95) Έζησ ζεκεία Α , Β , Γ γηα ηα νπνία ηζρύεη ε ζρέζε 2 (1 2 ) 3 2            ,   . Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία : Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά , αλ Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο . Λα εμεηαζζεί γηα πνηεο ηηκέο ηνπ  ηα ζεκεία είλαη δηαθεθξηκέλα . 96) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Λα δεηρζεί ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά εάλ θαη κόλν εάλ ηζρύεη ε ζρέζε (1 )          ,   . 97) Γίλνληαη ηέζζεξα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηέηνηα , ώζηε ηα Ο , Α , Β δελ είλαη ζπλεπζεηαθά . Λα δεηρζεί όηη αλ ηζρύεη ε ζρέζε ( 2) 3 ( 5)           ,   ηόηε ηα Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 98) Έζησ ζεκεία Α , Β , Γ γηα ηα νπνία ηζρύεη 3 5u v       , u v       , 4u v       , όπνπ Ο ηπραίν ζεκείν αλαθνξάο u  , v  κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα θαη ,   κε 3   . Αλ ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά , λα βξεζνύλ ηα  ,  . 99) Γίλνληαη ηα ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Αλ 0           θαη 0     , λα δεηρζεί όηη        . 100) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα u  , v  , w  θαη ηα 3 4x u v w        , 2 5y u v w        , 5 13 14z u v w        . Λα απνδείμεηε όηη αλ ηα x  , y  , z  έρνπλ θνηλή αξρή , ηόηε ηα πέξαηά ηνπο είλαη ζεκεία ζπλεπζεηαθά. 101) Θεσξνύκε επζεία x x , δπν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηεο Α , Β θαη έλα ζεκείν Ο πνπ δελ αλήθεη ζηελ x x ώζηε λα ηζρύεη          κε 1   . α. Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Γ αλήθεη ζηελ επζεία x x . β. Λα βξείηε ηηο ηηκέο ησλ ,   ώζηε ην ζεκείν Γ λα είλαη κεηαμύ ησλ Α θαη Β . 102) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ . ΢ηηο πξνεθηάζεηο ησλ ΑΒ θαη ΑΓ πξνο ην κέξνο ησλ Β θαη Γ ζεσξνύκε ηα ζεκεία Κ θαη Λ κε ΒΚ = ΒΓ , ΓΛ = ΑΒ αληίζηνηρα . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Κ , Λ , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 103) Έζησ ΑΒΓΓ παξαιιειόγξακκν θαη ηα ζεκεία Δ θαη Ε ηέηνηα , ώζηε 1 5      , 1 6      . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Δ , Ε , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά.
  11. 11. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 9 - 104) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Κ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ . Αλ 2u v       , 7 28u v       , 2 3u v       λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Β , Γ , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά. 105) Έζησ ΑΒΓ ηξίγσλν θαη Κ κέζν ηεο ΑΒ . ΢ηε ΒΓ ζεσξνύκε ζεκείν Γ κε 3      θαη ζηελ ΑΓ ζεκείν Δ κε 3 5      . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Κ , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά θαη λα βξείηε ην   ώζηε λα ηζρύεη       . 106) ΢ηελ πιεπξά ΓΓ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ παίξλνπκε ζεκείν Δ ηέηνην , ώζηε 1 4      . Αλ Θ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ηέηνην , ώζηε 2 4 5 5        , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Δ , Θ , Β είλαη ζπλεπζεηαθά . 107) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ε ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε 3 2 3            . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Δ , Ε , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. 108) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Δ ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε 2 3      . Αλ Γ είλαη ζεκείν ηεο δηακέζνπ ΑΚ ηέηνην , ώζηε 3      , λα απνδείμεηε όηη ζεκεία Β , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά. 109) Έζησ παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Κ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε 3        . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Γ , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά. 110) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε u v       , 5 9u v       θαη ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ κε 2 3u v       . Λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Ρ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ. 111) ΢ηηο πιεπξέο γσλίαο xOy  έρνπκε ηα ζεκεία Α ζηελ Ox θαη Β ζηελ Oy ώζηε u     θαη v     . Έζησ ζεκεία Γ θαη Γ ζηηο Ox θαη Oy ώζηε 3u     θαη 3v     . ΢ηηο ΑΒ θαη ΓΓ παίξλνπκε ηα ζεκεία Δ θαη Ε ώζηε 1 2      θαη 1 2      . Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Ο , Ε , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά . 112) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηεο ΒΓ . Λα απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ κνλαδηθνί ,   ηέηνηνη , ώζηε          κε 1   (1) θαη αληίζηξνθα , αλ ηζρύνπλ νη ζρέζεηο (1) λα απνδείμεηε όηη ην Κ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ . 85. Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Ο ζεκείν ηεο πιεπξάο ΒΓ κε          ,   . Λα δείμεηε όηη 1   . 113) Θεσξνύκε παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη Κ ζεκείν ηεο ΑΒ ηέηνην , ώζηε       , *   θαη Λ ζεκείν ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε       , *   . α. Λα εθθξάζεηε ηα   ,   ζπλαξηήζεη ησλ   ,   . β. Λα βξείηε ηελ ζρέζε κεηαμύ ησλ  ,  ώζηε ηα ζεκεία Γ , Κ , Λ λα είλαη ζπλεπζεηαθά . 114) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ΒΓ ε δηάκεζόο ηνπ . Αλ Δ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη Ε ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΔ κε ηε ΒΓ , λα δεηρζεί όηη 1 3      . 115) ΢ηε δηαγώλην ΒΓ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ παίξλνπκε ζεκείν Δ ηέηνην , ώζηε 1 4      . Αλ ε ΓΔ ηέκλεη ηελ ΑΓ ζην Ε , λα δεηρζεί όηη 1 5      . 116) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ , Γ ην κέζν ηεο ΒΓ θαη ζεκείν Δ ηεο ΑΓ ηέηνην , ώζηε 1 3      . Λα δείμεηε όηη 5 3(2 ) (4 ) 2            .
  12. 12. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 10 - 117) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ , Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ θαη ΓΓ αληίζηνηρα . Λα απνδείμεηε όηη 3 2        . 118) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ , Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ θαη ΓΓ αληίζηνηρα . Αλ Ρ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΑΔ θαη ΒΕ , λα απνδείμεηε όηη 4 5      θαη 2 5      . 119) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ θαη έζησ Δ ην κέζν ηεο ΑΒ θαη ζεκείν Ε ηέηνην , ώζηε 2      . Αλ Ο είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΑΓ θαη ΔΕ , λα απνδείμεηε όηη 2      . 120) ΢ην παξαθάησ ζρήκα Δ είλαη ην κέζν ηεο δηακέζνπ ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 1 3       . Λα απνδείμεηε όηη 2 3      . 121) Σα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ είλαη ζηαζεξά θαη ην ζεκείν Κ κεηαβιεηό . Αλ ( ) 2 4f            λα δεηρζεί όηη ( )f    ζηαζεξό . 122) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ην ηπραίν ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε ( ) 2 3 5f          . Λα δεηρζεί όηη ην δηάλπζκα ( )f   λα είλαη ζηαζεξό . 123) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ . Λα απνδείμεηε όηη γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν Κ ην δηάλπζκα 4 3       είλαη ζηαζεξό . 124) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β θαη Γ . Λα απνδείμεηε όηη γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν Κ ην δηάλπζκα 2       είλαη ζηαζεξό . 125) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη νη αξηζκνί , ,    . Αλ ( )f             , λα βξεζεί ε ζρέζε κεηαμύ ησλ  ,  ,  ώζηε ην δηάλπζκα ( )f   λα είλαη ζηαζεξό . 126) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ . Λα βξείηε ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 0           . 127) Έζησ Α , Β , Γ , Γ ζεκεία ηνπ επηπέδνπ . Λα βξείηε ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Ο ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη | | | |          . 128) Έζησ ΑΒΓΓ ηεηξάγσλν . Λα βξείηε ζην επίπεδν ηνπ ηεηξαγώλνπ ζεκείν Ο ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2        . 129) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 3 3 2 0         . 130) α. Λα βξείηε ζην επίπεδν ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ζεκεία Κ θαη Ρ ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύνπλ 3 0        θαη 2 2 3 0         . β. Λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΚΡ είλαη παξαιιειόγξακκν. 131) Λα βξείηε ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2 3 0         . 132) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ηα ζεκεία Γ , Δ θαη Ρ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύεη 1 2      , 1 3      , 2      . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Ρ , Γ , Δ είλαη ζπλεπζεηαθά . β. Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ώζηε λα ηζρύεη 2 3 0         .
  13. 13. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 11 - 133) Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2          . 134) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Ο ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη ( 1)          , 0  . 135) Γίλνληαη νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί  ,  κε 2   θαη ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία ηνπ επηπέδνπ Α , Β , Γ . Λα βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ , ώζηε λα ηζρύεη ε ηζόηεηα 2          . 136) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην ώζηε (1 )          , 0 , 1   . Λα απνδείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ηνπ Κ είλαη επζεία  πνπ πεξλά από ην Α θαη είλαη παξάιιειε ζην   . 137) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ην δηάλπζκα 2u         είλαη παξάιιειν πξνο ην   . 138) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηέηνην , ώζηε 0         κε  2    . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ Κ . 139) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ κε πιεπξά 2a . α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ο γηα ην νπνίν ηζρύεη 2 0         . β. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | 2a       . 140) Έζησ Α , Β , Γ ζηαζεξά ζεκεία ηνπ επηπέδνπ. α. Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Ο ηέηνην ,ώζηε 2 3 0         . β. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ πνπ είλαη ηέηνηα , ώζηε | 2 3 | 4 | |          . 141) Γίλεηαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ κε a    . α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ο γηα ην νπνίν ηζρύεη 4        . β. Λα απνδείμεηε όηη ην δηάλπζκα 2u          είλαη ζηαζεξό . γ. Λα βξείηε ζεκείν Α΄ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη u     . δ. Έπεηηα λα ππνινγίζεηε ηα κέηξα | |   θαη | |   ζπλαξηήζεη ηνπ a . ε. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | | 2 |            . 142) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε 2a  . α. Λα βξείηε ην ζεκείν Ρ γηα ην νπνίν ηζρύεη 2 2          γηα θάπνην ζεκείν Ο . β. Λα απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζεκείν Κ ηζρύεη 2 2         . γ. Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | | 2 |           . 143) α. Γίλνληαη ηα ζεκεία Ο , Α , Β , Γ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 5 3 0         . Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά θαη όηη ην Β είλαη κεηαμύ ησλ Α θαη Γ . β. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα πξνζδηνξίζεηε ζεκείν Ρ ηνπ επηπέδνπ ηνπ ώζηε λα ηζρύεη 2 4          . γ. Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ ηνπ πνπ είλαη ηέηνηα , ώζηε | 2 | | 2 |              .
  14. 14. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 12 - §3. ςυντεταγμένεσ ςτο επίπεδο 144) Λα πξνζδηνξηζηνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί  ,  ώζηε ην δηάλπζκα  2 2 , 3 3u         λα είλαη ην κεδεληθό . 145) Λα πξνζδηνξηζηνύλ νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί x , y ώζηε ηα δηαλύζκαηα  , 2a x x y    θαη  2 , 4y   λα είλαη ίζα . 3. Λα βξεζεί ην   ώζηε : α. ην δηάλπζκα  2 81, 9u       λα είλαη ην κεδεληθό. β. ηα δηαλύζκαηα  2 8 22 , 6 7u         θαη  7 , 5 2v     λα είλαη ίζα . 146) Λα βξεζεί ην   ώζηε ην δηάλπζκα  2 5 6 , 2a         λα είλαη ην κεδεληθό. 147) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα  2 , 4a   θαη  1, 3    . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο 2 3a     . 148) Γίλνληαη ηα ζεκεία  2 , 3 ,  1, 1  ,  1,1  . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ δηαλύζκαηνο u  γηα ην νπνίν ηζρύεη ε ζρέζε 2 2 0u          . 149) Γίλνληαη ηα ζεκεία  1,1  ,  2 , 1  ,  3 , 4 . Λα βξεζνύλ ηα ζεκεία Θ , Ι ώζηε λα ηζρύεη 2      , 3      . 150) Γίλνληαη ηα ζεκεία  6 , 4  ,  2 2 5 , 2 2       ,  2 2 3 4 , 2 4 7 1          . Λα βξεζνύλ ηα ,   ώζηε      . 151) Γίλνληαη ηα ζεκεία  1, 2 θαη  3 , 8 . α. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Γ ώζηε λα είλαη 2      . β. Ση ζπκπεξαίλεηε γηα ηα ζεκεία Α θαη Γ . 152) Έζησ ην δηάλπζκα  ( 1) 2 , (2 1) 1u x x x x       , x . Λα βξεζεί ην x ώζηε λα είλαη 0u    . 153) Γίλεηαη ην δηάλπζκα  2 4 , 2a       ,   . Λα βξείηε ην  ώζηε λα είλαη : α. 0a    β. 0a    θαη / /a x x   γ. 0a    θαη / /a y y   . 154) Έζησ ηα ζεκεία  4 , 3  ,  9 , 4 1  . Λα βξεζεί ν   ώζηε ην δηάλπζκα   λα είλαη παξάιιειν ζηνλ x x . 155) Έζησ ηα ζεκεία  , 6  ,  3 , 7  . Λα βξεζεί ν   ώζηε ην δηάλπζκα   λα είλαη παξάιιειν ζηνλ y y . 156) Έζησ ηα ζεκεία  3 4 , 6 1    ,  2 5 , 5 8    . Λα βξεζνύλ ηα ,   ώζηε ην δηάλπζκα   λα κελ είλαη παξάιιειν ζε θαλέλα από ηνπο άμνλεο . 157) Γίλνληαη νη θνξπθέο  2 , 3 ,  4 , 1  ,  0 , 5 ελόο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ Ο θαη ηεο θνξπθήο Γ .
  15. 15. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 13 - 158) Έζησ ν θύθινο ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο κε θέληξν  3 , 2  θαη δηάκεηξν ΑΒ κε  1, 3 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Β. 159) Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ κε  1,1  ,  2 , 0 θαη  2 , 3  . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηεο δηακέζνπ   θαζώο θαη ηνπ ζεκείνπ Γ γηα ην νπνίν ηζρύεη      . 160) Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ηα ζεκεία  1, 2 ,  3 , 5 θαη  2 , 4  . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . 161) Σα κέζα ησλ πιεπξώλ ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ηα ζεκεία  1, 4  ,  5 , 4 θαη  2 , 1  . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ θνξπθώλ ηνπ . 162) ΢ε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ νη ηεηκεκέλεο δπν ζεκείσλ Α θαη Β είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 2 ( 5 14) 7 0x x      , ελώ νη ηεηαγκέλεο είλαη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 2 ( 3 2) 5 0y y      . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ   , ώζηε ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ λα έρεη ζπληεηαγκέλεο  4 , 6 . 163) ΢ε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ νη ηεηκεκέλεο δπν ζεκείσλ Α θαη Β είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 2 2 ( 3 5) 10 0x x      . Λα βξείηε ηελ ηηκή ηνπ   , ώζηε ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ λα έρεη ηεηκεκέλε ίζε κε 1 2  . 164) Έζησ ηα δηαλύζκαηα  1, 3u     θαη  2 2 ,v      . Λα βξεζεί ν   ώζηε ηα u  , v  λα είλαη παξάιιεια . 165) Αλ  1, 4a    ,  5 , 2    ,  , 5u x y y    ,  4 3 , 5 6v x y y      , λα βξεζνύλ ηα ,x y ώζηε / /a u   θαη / / v   . 166) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα  2 , 1a       ,  2 , 3 2       ,  2 , 4u    ,  1, 5v   . Λα βξεζνύλ ηα ,   ώζηε ( ) / /a u     θαη ( ) / /a v     . 167) Έζησ ηα δηαλύζκαηα  2 , 1u        ,  1, 3v   θαη  2 1, 2w         . Λα βξεζνύλ νη ζρέζεηο κεηαμύ ησλ ,   ώζηε : α. (2 3 ) / /12u v v     β. ( 2 3 ) / / 5u v w v        168) Έζησ ηα ζεκεία  3 , 2   ,  2 ,  ,  5 , 3  θαη  4 ,  . Λα βξεζεί ν   ώζηε / /     . 169) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα  ,u         ,  2 3 1, 2v          θαη  ,w      . α. Λα βξεζνύλ ηα ,   ώζηε 0u v w        . β. Λα δείμεηε όηη / / 0u w u w         . 170) Έζησ ηα δηαλύζκαηα  5 6 ,1u x y    θαη  3( 3 ) , 2v x y z     κε x y . Λα δείμεηε όηη 3 3 3 / / 3u v x y z xyz       . 171) Έζησ δηαλύζκαηα  1, 2u   θαη  3 , 4v   . Λα βξεζνύλ ηα ζπγγξακκηθά πξνο ηα u  , v  δηαλύζκαηα πνπ λα έρνπλ άζξνηζκα  0 , 3w   . 172) Λα αλαιπζεί ην  9 , 4u   θαηά ηηο δηεπζύλζεηο ησλ  2 , 3v    θαη  1, 2w   .
  16. 16. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 14 - 173) Λα βξεζνύλ νη , ,x y z  ώζηε 0xu y v z w        όπνπ  1, 2u   ,  1, 2v    θαη  3 , 4w   . 174) Έζησ ηα δηαλύζκαηα 2u i j       , 3v i j       . Λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα u  , v  δελ είλαη ζπγγξακκηθά . 175) Έζησ δηαλύζκαηα  1, 2u   θαη  0 , 3v   . Λα νξηζζνύλ ηα ζπγγξακκηθά πξνο ηα u  , v  δηαλύζκαηα πνπ έρνπλ δηαθνξά ίζε κε i  . 176) Έζησ ηα δηαλύζκαηα  1, 2u    ,  3 , 5v   θαη  8 ,10w   . Λα αλαιπζεί ην δηάλπζκα w  ζε δπν ζπληζηώζεο παξάιιειεο ησλ u  , v  αληίζηνηρα . 177) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα  3 , 2u   ,  2 ,1v    θαη  7 , 4w    . Λα απνδείμεηε όηη ην w  εθθξάδεηαη θαηά κνλαδηθό ηξόπν σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u  θαη v  . 178) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα  1, 3u    θαη  2 ,1v   . Λα γξαθεί ην δηάλπζκα  4 ,16w   ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u  , v  . 179) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα  1, 3u    ,  1, 2v    θαη  1,1w    . Λα εθθξάζεηε ην δηάλπζκα w  σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ u  θαη v  . 180) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα  3 , 4u   ,  2 ,1v    θαη  3 , 2w   . Λα αλαιύζεηε ην δηάλπζκα w  ζε δπν ζπληζηώζεο παξάιιειεο πξνο ηα u  θαη v  . 181) Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία  1, 2  ,  1,1 θαη  3 , 3  είλαη ζπλεπζεηαθά . 182) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα  2 , 3u   ,  1, 2v      θαη  1, 2w    . Λα βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ   ώζηε ην δηάλπζκα w  λα εθθξάδεηαη σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ u  θαη v  . ΢ε απηή ηελ πεξίπησζε λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ σο πξνο ηα u  θαη v  . 183) Γίλνληαη ηα ζεκεία  0 , 4 ,  , 2  θαη  2 , 2  . Λα βξεζεί ν   ώζηε ηα ζεκεία Α , Β , Γ λα είλαη ζπλεπζεηαθά . 184) Γίλνληαη ηα ζεκεία  8 , 6  ,  2 , 2   θαη  7 , 0  . α. Λα δείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . β. Λα βξεζνύλ ηα ,   ώζηε       θαη       . 185) Γίλνληαη ηα ζεκεία  1, 1   ,  3 , 3  θαη  2 , 2 . Λα βξεζεί ν   ώζηε ηα ζεκεία Α , Β , Γ λα είλαη ζπλεπζεηαθά . 186) Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία  ,a    ,  , a   θαη  , a   είλαη ζπλεπζεηαθά . 187) Γίλνληαη ηα ζεκεία  1, 2 ,  , 3a ,  2 , 3a θαη  4 , 7 . Λα βξείηε ην a ώζηε ηα κέζα ησλ δηαλπζκάησλ   ,   θαη   λα είλαη ζπλεπζεηαθά ζεκεία . 188) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α , Β , Γ θαη Ο έλα ζεκείν αλαθνξάο . Λα δεηρζεί όηη αλ (1 )          , *   , ηόηε ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά . 189) Έζησ ηα ζεκεία  0 , 1  ,  2 , 3 ,  1,1  ,  2 , 7 ,  3 ,11 . Λα δείμεηε όηη / /     θαζώο θαη όηη ην Δ είλαη ζεκείν ηεο ΑΓ .
  17. 17. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 15 - 190) Έζησ ηα ζεκεία  2 , 5  ,  6 , 1  ,  3 ,1 θαη  5 , 1  . Λα δείμεηε όηη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ αλήθεη ζηελ επζεία ΓΓ . 191) Έζησ ηα ζεκεία  0 , 2 ,  3 , 1  ,  5 , 3   . Λα βξεζεί ην Γ ώζηε ην ΑΒΓΓ λα είλαη παξαιιειόγξακκν . 192) Γίλνληαη ηα ζεκεία  1, 5   ,  2 ,1 ,  1, 5 ,  2 , 1   . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ , Γ είλαη θνξπθέο παξαιιειόγξακκνπ . β. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ ηνκήο ησλ δηαγσλίσλ ηνπ παξαιιειόγξακκνπ . 193) Λα εμεηαζηεί αλ ην ηεηξάπιεπξν ΘΙΚΛ κε θνξπθέο ηα ζεκεία  2 , 3 ,  4 , 1  ,  0 , 5 θαη  2 , 9  είλαη παξαιιειόγξακκν . 194) Αλ  1, 6  ,  2 ,1 ,  4 , 4 είλαη ηξεηο από ηηο θνξπθέο ελόο παξαιιειόγξακκνπ ΑΒΓΓ λα βξεζνύλ ηα κήθε ησλ δηαγσλίσλ ηνπ . 195) ΢ην δηπιαλό ηεηξάπιεπξν έρσ  11, 2 ,  6 , 10  ,  6 , 5   θαη  1, 7  . Λα δεηρζεί όηη ην ΑΒΓΓ είλαη ηεηξάγσλν . 196) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ   ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε  1,1  ,  1, 2 ,  3 ,1 θαη  , 1   είλαη ηξαπέδην . 197) Γίλεηαη ην ηζνζθειέο ηξαπέδην ΑΒΓΓ κε βάζεηο ΑΒ θαη ΓΓ . Αλ  1, 2  ,  2 , 3 θαη  5 , 0 , λα βξεζεί ε θνξπθή Γ . 198) Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία  4 , 6   ,  5 , 3 ,  4 , 1   ,  0 , 3 είλαη θνξπθέο ηζνζθεινύο ηξαπεδίνπ . 199) Λα βξεζεί ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ έρεη θνξπθέο  0 , 7 ,  6 , 9 ,  4 , 3 θαη  2 ,1  . 200) Λα βξεζεί ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ πνπ έρεη θνξπθέο  1, 5 ,  7 , 7 ,  8 , 4 θαη  2 , 2 . 201) Λα ππνινγηζζεί ε απόζηαζε ησλ ζεκείσλ  ,a a  θαη  ,a a   , a . 202) Αλ  4 , 0 ,  0 , 6 λα βξεζνύλ ηα ζεκεία  ,x y ώζηε ην ΑΒΓ λα είλαη ηζόπιεπξν . 203) ΢ην δηπιαλό ηξίγσλν ΑΒΓ έρσ  2 , 2  ,  1, 5 θαη  1, 1  . Λα απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο . 204) Λα απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν πνπ έρεη θνξπθέο ηα ζεκεία  3 ,1 ,  0 , 2 θαη  1, 0 είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο . 205) Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία  2 , 3 ,  6 , 7  θαη  7 , 5 είλαη θνξπθέο νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ.
  18. 18. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 16 - 206) Έζησ ηα ζεκεία  8 , 2  ,  0 , 6 θαη  2 , 0 . Λα δεηρζεί όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο θαη λα βξεζεί ην κήθνο ηεο δηακέζνπ ΑΓ . 207) Έζησ ηα ζεκεία  2 , 3 ,  1, 5 . Λα βξείηε ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ΑΒΓ ηξίγσλν λα είλαη ηζνζθειέο . 208) Έζησ ηα ζεκεία  1, 3 ,  3 , 5 . Λα βξεζνύλ ζεκεία Γ , Γ ησλ αμόλσλ x x θαη y y αληίζηνηρα ώζηε ηα ηξίγσλα ΑΒΓ , ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειή κε    θαη    αληίζηνηρα . 209) Γίλνληαη ηα ζεκεία  3 ,1 θαη  1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα x x ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο . 210) Γίλνληαη ηα ζεκεία  3 ,1 θαη  1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο . 211) Γίλνληαη ηα ζεκεία  3 , 2 θαη  1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα x x ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ζην Β . 212) Γίλνληαη ηα ζεκεία  3 , 2 θαη  1, 5 . Λα βξεζεί ζεκείν Γ ηνπ άμνλα y y ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ζην Β . 213) Γίλνληαη ηα ζεκεία  3 , 2 θαη  1, 0 . Λα βξεζεί ζεκείν Α ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη νξζνγώλην ( 0 90    ) θαη ηζνζθειέο . 214) Λα βξεζνύλ ηα ,   ώζηε ηα κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα  1, 3u   ,  2 , 3 4v          θαη  4 1, 2 3w           λα ζρεκαηίδνπλ ηξίγσλν . 215) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα  1,x x     ,  2 1, 1x x      θαη  1, 3     . Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ x  . 216) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε  0 , 2 ,  7 , 3  θαη  8 , 2  , λα βξεζεί ην πεξίθεληξό ηνπ . 217) Ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθέο  1, 3  θαη  1, 3   . Λα βξεζεί ε θνξπθή Α . 218) Γίλνληαη ηα ζεκεία  1,1 ,  3 , 3  θαη  3 ,1 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . β. Λα βξείηε ηελ απόζηαζε ηνπ Κ από ην Β όπνπ ΑΚ δηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ . 219) Γίλνληαη ηα ζεκεία  8 , 2   ,  0 , 5 θαη  2 , 6 . α. Λα απνδείμεηε όηη ηα Α , Β , Γ είλαη θνξπθέο ηξηγώλνπ . β. Αλ Θ είλαη ην κέζν ηεο πιεπξάο ΑΓ , λα ππνινγίζεηε ην | |   . 220) Γίλνληαη ηα ζεκεία  1, 2  θαη  3 , 0  . Λα βξείηε : α. ζεκείν Γ ηνπ άμνλα x x ώζηε ην ηξίγσλν ΑΒΓ λα είλαη ηζνζθειέο κε βάζε ηελ πιεπξά ΑΒ , β. ηα κήθε ησλ δηακέζσλ ηνπ ηξηγώλνπ πνπ θέξνληαη πξνο ηηο ίζεο πιεπξέο . 221) Έζησ ηα ζεκεία  2 , 1  ,  3 , 2 ,  1, 4  θαη  ,x y . Αλ ν ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο ηνπ δηαλύζκαηνο   είλαη 2 3 , λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Γ ώζηε ην ΑΒΓΓ λα είλαη ηξαπέδην . 222) Έζησ έλαο ξόκβνο ΑΒΓΓ κε πιεπξά 5 2 θαη θνξπθέο  3 ,1 ,  11, 7  . Λα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ . 223) Έζησ  , 1x x  ,  2 ,1x x  , 0x  . Λα βξεζεί ην x ώζηε | | (1 5) 1x      . 224) Γίλεηαη δηάλπζκα  1 2,a a a   κε 1 2 1a a  θαη 2 2 1 2 14a a  . Λα βξεζεί ην | |a  .
  19. 19. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 17 - 225) Λα βξεζεί δηάλπζκα u  αλ έρεη ίδην κήθνο κε  4 , 3v    θαη ηελ δηεύζπλζε ηνπ  1, 3w   . 226) Λα δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα  ,u     ,  ,v      έρνπλ ην ίδην κέηξν θαη είλαη θάζεηα. 227) ΢ε νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 0 90    ) είλαη  5 , 3 θαη  2 , 1   θαη 0 60    . Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηεο πξνβνιήο ηεο θνξπθήο Α πάλσ ζηε ΒΓ . 228) Λα βξεζεί ζεκείν ηνπ επηπέδνπ πνπ ηζαπέρεη από ηα ζεκεία  0 , 4  ,  2 , 2  θαζώο θαη από ηα ζεκεία ,  1, 6   ,  4 , 5   . 229) Λα βξεζεί ην ζεκείν Θ ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο ην νπνίν ηζαπέρεη από ηα ζεκεία  2 , 2 ,  0 , 4 θαζώο θαη από ηα ζεκεία  1, 4  ,  2 , 3  . 230) Οη θνξπθέο ελόο ηεηξαπιεύξνπ ΑΒΓΓ είλαη ηα ζεκεία  2 , 3   ,  1, 7 ,  8 , 5 θαη  6 , 1  . Λα δεηρζεί όηη ηα ηκήκαηα πνπ ελώλνπλ ηα κέζα ησλ απέλαληη πιεπξώλ δηρνηνκνύληαη. 231) Έζησ ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ θαη Θ , Ι , Κ , Λ ηα κέζα ησλ ΑΒ , ΒΓ , ΓΓ θαη ΓΑ αληίζηνηρα . Λα δεηρζεί όηη ηα ηκήκαηα ΘΚ θαη ΙΛ δηρνηνκνύληαη. 232) Έζησ  2 ,1 ,  3 , 2  ,  0 , 7 . α. Λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α , Β , Γ είλαη ζπλεπζεηαθά. β. Λα βξείηε ζεκείν Κ ηνπ επηπέδνπ ώζηε | | | |      θαη | | 5    . 233) Σξίγσλν ΑΒΓ έρεη θνξπθέο ηα ζεκεία  1, 4 ,  2 , 4  θαη  5 ,1 . Λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ πξνβνιήο ηεο θνξπθήο Α , ζηελ απέλαληη πιεπξά . 234) Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ θαη δεηείηαη ζεκείν Κ γηα ην νπνίν λα ηζρύεη          . 235) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ. Λα δεηρζεί όηη ππάξρεη κνλαδηθό ζεκείν Κ ηέηνην , ώζηε λα ηζρύεη 2 3 0         . 236) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ . Λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Κ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ην δηάλπζκα 2u         είλαη παξάιιειν ζην δηάλπζκα   . 237) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε  2 , 3 ,  2 , 1   θαη  4 ,1 . Αλ Δ ζεκείν ηεο δηακέζνπ ΒΓ ηέηνην , ώζηε 1 2      , λα βξεζεί ζεκείν Ε ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε / /     . 238) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε  2 , 2  ,  1, 3 θαη  4 , 3   . Αλ Θ , Ι ζπκκεηξηθά ηνπ Α σο πξνο ην Β θαη Γ αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Θ , Γ , Ι είλαη ζπλεπζεηαθά . 239) Γίλεηαη ηα ζεκεία  2 , 5  θαη  1, 2 . Λα βξεζεί ην ζπκκεηξηθό Α΄ ηνπ Α σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Β θαη θαηόπηλ ην ζπκκεηξηθό Α΄΄ ηνπ Α΄ σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Α . 240) Αλ Δ ην κέζν ηεο δηακέζνπ ΒΓ ηξηγώλνπ ΑΒΓ θαη Ε ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε 1 3       λα απνδείμεηε όηη 2 3      .
  20. 20. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 18 - 241) ΢ην παξαθάησ ζρήκα δίλνληαη ηα ζεκεία  3 , 2 ,  1, 0 θαη  0 , 4 . Έζησ Γ ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΓ κε ηνλ άμνλα x x θαη Δ ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΑΒ κε ηνλ άμνλα y y . α. Λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ Γ θαη Δ . β. Αλ Θ , Ι , Κ είλαη ηα κέζα ησλ ΟΑ , ΓΔ θαη ΒΓ αληίζηνηρα , λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Θ , Ι , Κ είλαη ζπλεπζεηαθά. 242) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε θνξπθέο ηα ζεκεία  1, 2 θαη  2 , 4  . Θεσξνύκε ηα ζεκεία Γ θαη  2 , 3  ηέηνηα , ώζηε λα ηζρύνπλ 2      θαη 3       . Λα βξείηε ηελ θνξπθή Α . 243) Έζησ ηζνζθειέο ηξίγσλν ΑΒΓ (    ) θαη ην ύςνο ηνπ ΑΓ . Αλ Κ είλαη ην κέζν ηνπ ΑΓ θαη Ρ ζεκείν ηεο ΑΒ ηέηνην , ώζηε 1 3      , λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Γ , Κ , Ρ είλαη ζπλεπζεηαθά . 244) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ θαη ζεκείν Κ ηεο ΒΓ ώζηε λα είλαη 2       . α. Λα απνδείμεηε όηη 1 2 3 3        . β. Αλ  1, 2 ,  2 , 4   θαη  7 ,11 , λα βξείηε ην Κ θαζώο θαη ην κήθνο ηνπ ΑΚ . 245) Κε βάζε ηελ πιεπξά ΑΒ ηεηξαγώλνπ ΑΒΓΓ θαηαζθεπάδνπκε ζην εζσηεξηθό ηνπ ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΑΒΔ . Κε βάζε ηελ πιεπξά ηνπ ΒΓ θαηαζθεπάδνπκε εμσηεξηθά ην ηζόπιεπξν ηξίγσλν ΒΓΕ. Λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Γ , Δ , Ε είλαη ζπλεπζεηαθά . 246) Γίλεηαη νξζνγώλην ΑΒΓΓ θαη ζεκείν Ρ ηεο δηαγσλίνπ ηνπ ΒΓ . Αλ Δ είλαη ην ζπκκεηξηθό ηνπ Γ σο πξνο θέληξν ζπκκεηξίαο ην Ρ θαη Ε , Ζ νη πξνβνιέο ηνπ Δ ζηηο ΑΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα , λα δεηρζεί όηη ηα ζεκεία Ρ , Ε , Ζ είλαη ζπλεπζεηαθά. 247) Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε  3 , 4     θαη  6 , 2     . Αλ Κ είλαη ζεκείν ηεο ΒΓ ηέηνην , ώζηε  , 3     , όπνπ 0  λα απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Κ βξίζθεηαη κεηαμύ ησλ Β θαη Γ . §4. εςωτερικό γινόμενο διανυςμάτων 248) Λα βξεζεί ην εζσηεξηθό γηλόκελν a     αλ | | 2a   , | | 3   , ( , ) 6 a       . 249) Λα βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ δηαλπζκάησλ a  θαη   όηαλ : α. | | 2a   , | | 3   θαη 3 ( , ) 4 a       β. 3 | | 3 a   , | | 2   θαη 5 ( , ) 6 a       250) Λα βξεζεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο 2 ( ) 3a a a a             , αλ | | | | 2a      θαη ( , ) 4 a       . 251) Λα βξεζεί ην εζσηεξηθό γηλόκελν ( )a      αλ | | 2a   , | | 3   , ( , ) 6 a       . 252) Αλ | | | |a     λα δείμεηε όηη ( )( ) 0a a         .
  21. 21. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 19 - 253) Αλ | | | | | |a a         λα δείμεηε όηη | | | | 3a a      . 254) Λα δείμεηε όηη 2 ( )( ) ( ) 2 ( )a a a a a                               . 255) Αλ a  ,   ,   είλαη κνλαδηαία δηαλύζκαηα λα δείμεηε όηη | | | | | | | | | | | |a a a                    . 256) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   είλαη | | | |a a         , λα δείμεηε όηη | | | |a a         . 257) Αλ a      λα δείμεηε όηη | | | | 1 | | | | a a a              . 258) Λα βξείηε ηελ ζρέζε πνπ ζπλδέεη ηα ,   ώζηε ηα δηαλύζκαηα  ,u         θαη  ,v       λα είλαη θάζεηα. 259) Λα βξεζεί ν   ώζηε ηα δηαλύζκαηα  3 , 4 1a       ,  3 9 , 3        λα είλαη θάζεηα. 260) Λα βξεζεί ν   ώζηε ηα δηαλύζκαηα  3 ,1a     ,  , 2     λα είλαη θάζεηα. 261) Λα βξείηε ηα ,   ώζηε ηα δηαλύζκαηα  1 2 ,1a       θαη  2 2 2 , 4      λα είλαη θάζεηα. 262) Αλ  1, 2a   ,  3 , 4     λα βξείηε ηνλ   ώζηε ην a      λα είλαη θάζεην ζην   . 263) Έζησ ηα δηαλύζκαηα  1, 3a   ,  1, 2    . Λα βξείηε ηνλ   ώζηε ηα δηαλύζκαηα a     θαη a  λα είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο . 264) ΢ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα αλαθνξάο ( , , )i j    ζεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα ( 1) 2a i j       , 3 (3 1)i j        . Λα βξείηε ηνλ   ώζηε λα είλαη a     . 265) Έζησ 2a i j      , 2 3i j       . Λα βξείηε ηνλ   ώζηε λα είλαη ( )a a       . 266) Αλ | | 1a   , | | 2   , ( , )a     = 3  λα βξείηε ηνλ   ώζηε ( ) ( 4 )a a          . 267) Αλ | | 2a   , | | 3   , ( , )a     = 3  , λα βξεζεί ην κέηξν ηνπ 3a       . 268) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα : a  ,   ,   είλαη | | | | | | 1a         , ( , ) 6 a       , 2 ( , ) 3        , θαη ( , ) 6 a       , λα βξεζνύλ ηα κέηξα | 2 4 |a     , | 2 |a        . 269) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  ,   ηνπ επηπέδνπ ηέηνηα , ώζηε | | 2a   , | | 5   θαη 2 ( , ) 3 a       . Λα βξείηε ην | 5 4 |a     . 270) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   ηζρύνπλ | | 1a   , | | 2   θαη ( , ) 3 a       λα βξείηε ην κέηξν ηνπ 2a     . 271) Αλ | | 1a   , | | 2   , | | 3   θαη 0a          λα βξεζεί ην a a            . 272) Αλ | | 3a   , | | 4   , | | 5   θαη 0a          λα βξεζεί ην a a            .
  22. 22. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 20 - 273) Αλ | | | | | | 2a         θαη 8a          , λα δείμεηε όηη a        . 274) Αλ | | 1a   , | | 2   , | | 5   , θαη 0a          , λα δεηρζεί όηη 4a a              . 275) Έζησ ηα δηαλύζκαηα a  ,   ,   ηέηνηα , ώζηε | | | | | | 1a         . α. Αλ 2a          ηόηε a        β. Λα εμεηάζεηε ηη ζπκβαίλεη αλ 2a           . 276) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   ,   ηζρύνπλ νη ζρέζεηο 2 ( , ) ( , ) ( , ) 3 a a                  θαη | | | | | | 1a         , λα βξεζνύλ ηα | |a        θαη a a            . 277) Αλ | | 1a   , | | 3   , | | 1   θαη 2 0a          , λα απνδείμεηε όηη : α. 1a a              β. 3a     θαη a     . 278) Αλ | | 2a   , | | 3   , ( , ) 3 a       , λα βξεζεί ην 3 ( )a a     . 279) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   ,   ηζρύεη 2 2 | | | | 2 ( )a a              , λα απνδείμεηε όηη a        . 280) Αλ | | 1a   , ( , ) 3 a       θαη | 3 2 | 13a      , λα βξεζεί ην κέηξν ηνπ   . 281) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   είλαη | | 1a   , ( , ) 3 a       θαη | 2 3 | 3a      , λα βξεζεί ην | |  282) Έζησ a  ,   δηαλύζκαηα πνπ ζρεκαηίδνπλ γσλία 3  θαη | | 3a   . Αλ (3 )( 3 ) 15a a         θαη | | | |a     , λα βξεζεί ην| |  . 283) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  θαη   γηα ηα νπνία ηζρύεη a     , ( ) ( 4 )a a         θαη | | 2 5a      . Λα απνδείμεηε όηη | | 4a   , | | 2   . 284) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  θαη   γηα ηα νπνία ηζρύεη a     , (2 ) ( 2 )a a         θαη | | 2a      . Λα απνδείμεηε όηη | | | | 2a      . 285) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  θαη   γηα ηα νπνία ηζρύεη | 2 | 5a      θαη | 2 | 1a      κε ( 2 , 2 ) 3 a a            . Λα ππνινγηζζνύλ ηα κέηξα | |a  θαη | |  . 286) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  θαη   ώζηε | | 2a      θαη | | 4a      κε ( , ) 3 a a            . Λα ππνινγηζζνύλ ηα κέηξα | |a  θαη | |  . 287) Λα βξεζεί ην δηάλπζκα a  κε | | 6a   αλ γλσξίδνπκε όηη ζρεκαηίδεη γσλία 3  κε ηνλ νξηδόληην άμνλα x x ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ( , , )i j    . 288) Λα βξεζεί ην δηάλπζκα a  κε | | 1a   αλ γλσξίδνπκε όηη ζρεκαηίδεη κε ηα κνλαδηαία δηαλύζκαηα i  θαη j  ησλ αμόλσλ γσλίεο 30ν θαη 60ν αληίζηνηρα . 289) Αλ | | | | | |a a        ( 0a  ) θαη 2 2a a          λα δείμεηε όηη ηα a  ,   ,   είλαη ζπγγξακκηθά.
  23. 23. διανύσματα κεφάλαιο 1 290) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   ,   ηζρύνπλ 0a          θαη | | | | | | 2 3 5 a        λα απνδείμεηε όηη a     θαη      . 291) Έζησ ηα δηαλύζκαηα a  ,   γηα ηα νπνία ηζρύεη 2 0a          θαη 2 | | 4 | | | |a        . Να δεηρζεί όηη : α. a     β. 2 0a       . 292) Αλ ηα a  ,   ,   είλαη κνλαδηαία κε 6( , ) 3( , ) 4( , ) 2a a                 λα δείμεηε όηη 2 2 2 0 0a                  . 293) Γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   λα δεηρζεί όηη | | | |a a a              . 294) Αλ a       θαη a       , λα δείμεηε όηη a        . 295) Αλ | | | |a a         λα δείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα 2u a          θαη v        είλαη θάζεηα. 296) Αλ γηα θάζε   ηα δηαλύζκαηα u a        θαη v a       είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο θαη | | 1a   , λα απνδείμεηε όηη : α. a     β. | | 1   γ. | 3 4 | 5a      297) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  θαη   είλαη θάζεηα κεηαμύ ηνπο θαη έρνπλ ίζα κέηξα , λα απνδείμεηε όηη ηα δηαλύζκαηα 2u a       θαη 2v a       είλαη θάζεηα θαη έρνπλ ίζα κέηξα . 298) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  θαη   είλαη | | | | 1 3 4 a      θαη | | 5a      , λα δεηρζεί όηη a     . 299) Έζησ ηα δηαλύζκαηα ( 1, 2)a    , (4 , 3)    . Να βξείηε δηάλπζκα u  ηέηνην , ώζηε 3a u    θαη 1u     . 300) Αλ (2 , 3)a   θαη (8 ,1)   λα βξεζνύλ δπν δηαλύζκαηα u  , v  ώζηε u v    , u v      θαη / /u a   . 301) Αλ ( 2 , 1)a     θαη (1, 3)   , λα βξεζνύλ δπν δηαλύζκαηα u  θαη v  ηέηνηα , ώζηε a u v      , / /v    θαη a u    . 302) Αλ ( 1, 2)a    θαη (4 , 3)    , λα βξεζεί δηάλπζκα u  ηέηνην , ώζηε 3a u    θαη / /u    . 303) Αλ (3 , 3)a    θαη ( 1, 4)     , λα βξεζνύλ δπν δηαλύζκαηα u  θαη v  ηέηνηα , ώζηε a u v      , / /u    θαη a v    . 304) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  θαη   είλαη | | 1a   , | | 4   θαη ( , ) 3 a       , λα βξεζεί δηάλπζκα u  ζπλαξηήζεη ησλ a  ,   ώζηε / /u a      θαη a u      . 305) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  θαη   είλαη | | 2a   , | | 1   θαη 2 ( , ) 3 a       , λα βξεζεί δηάλπζκα u  ζπλαξηήζεη ησλ a  ,   ώζηε / /u a      θαη a u      . 306) Γίλεηαη ηα δηάλπζκα (1,1)a   . Να βξεζεί δηάλπζκα u  ώζηε α. a u    θαη | | | |a u    . β. / /u a   θαη 2 | | | |a u    .
  24. 24. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 22 - 307) Αλ a u v      , / /u    θαη v     , 0    λα γξαθνύλ ηα δηαλύζκαηα u  , v  ζπλαξηήζεη ησλ a  ,   . 308) Γίλεηαη όηη ην δηάλπζκα a     έρεη ζπληεηαγκέλεο (17 , 7) θαη ην δηάλπζκα a     έρεη ζπληεηαγκέλεο ( 13 ,13) . Να απνδείμεηε όηη a     . 309) Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a  ,   ,   ηέηνηα , ώζηε ( ) / /a       , ( )a        θαη ( , ) 4        . Να απνδείμεηε όηη a     . 310) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  ,   ηέηνηα , ώζηε | | | | 1a      , ( , ) 3 a       θαη ηα δηαλύζκαηα u a       , v a        , όπνπ ,   . Να βξείηε ηα ,   ώζηε λα είλαη u v    θαη | | 2u v     . 311) Αλ | | 1a   θαη 1a a              λα δεηρζεί όηη a      ή a      ή ( ) ( )a a         . 312) Έζησ 2 2 2 2 1 , 1 1 a              , 2 2 2 1 2 , 1 1               κε ,   , 1    . Να δείμεηε όηη | | | | 1a      θαη a     . 313) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  ,   , u  , v  κε 0v    ώζηε λα ηζρύνπλ 2 | | u v a v v       θαη 2 | | u v v u v          . Να απνδείμεηε όηη : α. a     β. Αλ u v    ηόηε 0    . 314) Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a  ,   ,   θαη έζησ ( ) ( )u a a             θαη 2 | | a v a a           . Να απνδείμεηε όηη u a    θαη v a    . 315) Γίλνληαη ηα παξάιιεια δηαλύζκαηα a  θαη   . Να απνδείμεηε όηη : α. 2 2 2 ( )a a       β. 2 2 2 2 ( ) ( )a a a a           316) Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά θαη κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα a  θαη   . Να απνδείμεηε όηη αλ γηα ηα δηαλύζκαηα u  , v  ηα νπνία είλαη ζπλεπίπεδα κε ηα a  ,   ηζρύνπλ νη ηζόηεηεο a u a v      θαη u v       ηόηε u v    . 317) Αλ ηα δηαλύζκαηα a  ,   ,   , u  ηνπ επηπέδνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ ζρέζε ( )a u u       : α. Να δεηρζεί όηη ( 1)( )a a u a          . β. Αλ 1a    , λα εθθξαζηεί ην u  ζπλαξηήζεη ησλ a  ,   ,   . 318) Αλ 1 0a      λα βξεζεί ην δηάλπζκα u  , ζπλαξηήζεη ησλ a  ,   ,   από ηελ ηζόηεηα ( )u u a          . 319) Έζησ ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα a  θαη   . Να απνδείμεηε όηη 2 2 2 4 ( ) 4 0a a           γηα θάζε   . Πόηε ηζρύεη ε ηζόηεηα ; 320) α. Γηα νπνηαδήπνηε δηαλύζκαηα a  θαη   , λα απνδείμεηε όηη | | | | | |a a        . Πόηε ηζρύεη ε ηζόηεηα ; β. Γίλεηαη ε παξάζηαζε 6 8x y   κε 2 2 25x y  . Να βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη ηελ κέγηζηε ηηκή ηεο παξάζηαζεο Α . γ. Γίλεηαη ε παξάζηαζε 3 4x y   κε 2 2 16x y  . Να βξείηε ηελ ειάρηζηε θαη ηελ κέγηζηε ηηκή ηεο παξάζηαζεο Β .
  25. 25. διανύσματα κεφάλαιο 1 - 23 - 321) Να βξείηε ηελ κέγηζηε ηηκή ηεο ( )f x x x   ,  0 ,x  . 322) Αλ | | | | | | 1a         θαη a        ,   λα βξεζεί ε ηηκή ηνπ  ώζηε ην | |  λα γίλεη ειάρηζην . Γηα ηελ ηηκή απηή λα δεηρζεί όηη απνδείμεηε όηη a     . 323) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   , u  , v  ηζρύνπλ νη ζρέζεηο | | 2a      , | | | |u u v a        , | | | |v u v         , λα δεηρζεί όηη 4 a v u a           . 324) Να ιπζεί σο πξνο u  θαη v  ην ζύζηεκα : 2 ( 1) ( 2) u v a u v                    . 325) Αλ  είλαη ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ a  ,   θαη ηζρύεη | | | |a a         λα απνδείμεηε όηη 0 2    . 326) Έζησ ηα δηαλύζκαηα ( 3 1, 3 1)a     θαη (1, 1)    . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a     . 327) Να βξείηε ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ δηαλπζκάησλ a  θαη   , θαζώο θαη ηελ γσλία ηνπο , όηαλ : α. ( 5 , 3)a    θαη (6 ,10)   . β. (2 , 3)a   θαη 5 3 ( , ) 2 2     . 328) ΢ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ( , , )i j    δίλνληαη ηα δηαλύζκαηα 3 1 ( , ) 2 2 a   θαη (3 , 4)   . Να βξείηε : α. Γηάλπζκα   κε | | 1   πνπ λα είλαη ζπγγξακκηθό ηνπ   . β. Σελ γσλία ( , )j a    . 329) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   ηζρύεη | | | | 1a      θαη ( ) ( 2 )a a         λα βξεζεί ε γσλία  ησλ δηαλπζκάησλ a  ,   . 330) Έζησ ηα a  ,   κε | | | | 1a      θαη 3 2u a       , 7 8v a        . Να βξεζεί ε γσλία ( , )a     , αλ u v    . 331) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   είλαη | | 2a   , | | 1   θαη (3 5 ) (2 )a a         λα ππνινγίζεηε ηελ γσλία ( , )a     . 332) Έζησ ηα a  ,   κε | | | | 1a      . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a     εάλ ( 2 ) (5 4 )a a         . 333) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   είλαη | | 5a   , | | 3   , θαη ( , ) 3 a       , λα ππνινγίζεηε ηελ γσλία ( , )a a         . 334) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   είλαη | | | | 1a      θαη ( , ) 4 a a         , λα δεηρζεί όηη ( , ) 2 a       . 335) Έζησ ηα a  ,   κε | | | | 1a      θαη ( , ) 3 a a         . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a     . 336) Έζησ ηα a  ,   ( a     ) κε | | | |a     θαη ( , ) 3 a a         . Να βξείηε ηελ γσλία ( , )a     . 337) Αλ γηα ηα δηαλύζκαηα a  ,   είλαη | | 2a   , | | 1   , θαη 2 ( , ) 3 a       , λα ππνινγηζζνύλ νη γσλίεο ( , 2 )a a        , ( 2 , )a a        .

×