Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

14 868 vues

Publié le

Επιμέλεια: Νίκος Ράπτης από το Αγρίνιο αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

Publié dans : Formation
  • Dating direct: ♥♥♥ http://bit.ly/369VOVb ♥♥♥
       Répondre 
    Voulez-vous vraiment ?  Oui  Non
    Votre message apparaîtra ici
  • Soyez le premier à aimer ceci

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

  1. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα-Ευθεία-Κύκλος Αναλυτική Θεωρία 500 Ασκήσεις Επιμέλεια : ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ
  2. 2. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 2
  3. 3. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 3 Το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα , δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα . Ορισμός Διανύσματος Μηδενικό λέγεται το διάνυσμα όπου η αρχή και το πέρας συμπίπτουν. Το μηδενικό διάνυσμα παριστάνεται με σημείο και συμβολίζεται με 0�⃗ Αν ΑΒ�����⃗ ένα διάνυσμα , τότε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται μέτρο του διανύσματος και συμβολίζεται με �ΑΒ�����⃗� . Το μέτρο ενός διανύσματος είναι θετικός αριθμός , δηλαδή �ΑΒ�����⃗� ≥ 0 . Το μηδενικό διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με το μηδέν . Αν ένα διάνυσμα έχει μέτρο ίσο με 1 , τότε το διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα . Η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται ένα μη μηδενικό διάνυσμα ΑΒ�����⃗ λέγεται φορέας του ΑΒ�����⃗ . Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος ΑΑ�����⃗ μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το Α . Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ που έχουν τον ίδιον φορέα ή παράλληλους φορείς , λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα και τα συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ∥ ΓΔ����⃗ . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση . Παράλληλα ή Συγγραμμικά Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ λέγονται ομόρροπα όταν : α) έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή β) έχουν τον ίδιο φορέα και μια από τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση και συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ⇈ ΓΔ����⃗ Ομόρροπα και Αντίρροπα Διανύσματα 1. Η Έννοια του Διανύσματος
  4. 4. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 4 Δύο μη μηδενικά διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ λέγονται αντίρροπα όταν είναι συγγραμμικά και δεν είναι ομόρροπα Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν αντίθετη κατεύθυνση και συμβολίζουμε με ΑΒ�����⃗ ↑↓ ΓΔ����⃗ Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα αν είναι ομόρροπα και έχουν ίσα μέτρα . Δηλαδή : ΑΒ�����⃗ = ΓΔ����⃗ ⇔ � ΑΒ�����⃗ ⇈ ΓΔ����⃗ και �ΑΒ�����⃗� = �ΓΔ����⃗� Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους . Αν Μ το μέσο του διανύσματος ΑΒ�����⃗ τότε ισχύει ΑΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ και αντιστρόφως . Ίσα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται αντίθετα αν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα . Δηλαδή : ΑΒ�����⃗ = −ΓΔ����⃗ ⇔ � ΑΒ�����⃗ ↑↓ ΓΔ����⃗ και �ΑΒ�����⃗� = �ΓΔ����⃗� Ειδικότερα έχουμε ΑΒ�����⃗ = −ΒΑ�����⃗ ( αλλάζω την σειρά των γραμμάτων , αλλάζω ταυτόχρονα και το πρόσημο) Αντίθετα Διανύσματα Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ και β�⃗ . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και ΟΒ�����⃗ = β�⃗ . Την κυρτή γωνία ΑΟ�Β που ορίζουν οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ , την ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και την συμβολίζουμε με �α��⃗ , β�⃗� � ή �β�⃗ , α��⃗ � � Αν θ η γωνία των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ τότε ισχύουν : α) 0 ≤ θ ≤ π β) αν θ = 0 τότε α��⃗ ⇈ β�⃗ γ) αν θ = π τότε α��⃗ ↑↓ β�⃗ δ) αν θ = π 2 τότε α��⃗ ⊥ β�⃗ και θα λέμε τα διανύσματα κάθετα ή ορθογώνια Γωνία Δύο Διανυσμάτων
  5. 5. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 5 Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ και β�⃗ . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και στη συνέχεια παίρνουμε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ = β�⃗ . Το διάνυσμα ΟΒ�����⃗ λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και συμβολίζεται με α��⃗ + β�⃗ . Πρόσθεση Δύο Διανυσμάτων Το άθροισμα δύο διανυσμάτων βρίσκεται και με τον κανόνα του παραλληλογράμμου . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ και ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , τότε το άθροισμα α��⃗ + β�⃗ ορίζεται από την διαγώνιο ΟΜ του παραλληλογράμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις ΟΑ και ΟΒ . Αν α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ τρία διανύσματα , τότε ισχύουν : α) α��⃗ + β�⃗ = β�⃗ + α��⃗ (Αντιμεταθετική Ιδιότητα ) β) � α��⃗ + β�⃗� + γ�⃗ = α��⃗ + �β�⃗ + γ�⃗� (Προσεταιριστική Ιδιότητα ) γ) α��⃗ + 0�⃗ = α��⃗ δ) α��⃗ + (−α���⃗) = 0�⃗ Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων Η διαφορά α��⃗ − β�⃗ του διανύσματος β�⃗ από το διάνυσμα α��⃗ , ορίζεται ως άθροισμα των διανυσμάτων α��⃗ και −β�⃗ . Δηλαδή : α��⃗ − β�⃗ = α��⃗ + �−β�⃗� Αφαίρεση Δύο Διανυσμάτων Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου . Τότε για κάθε σημείο του χώρου Μ ορίζεται το διάνυσμα ΟΜ������⃗ , το οποίο λέγεται διάνυσμα θέσης του Μ ή διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ . Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτίνων των σημείων του χώρου , λέγεται σημείο αναφοράς στο χώρο . Διάνυσμα Θέσης 2. Πρόσθεση/Αφαίρεση Διανυσμάτων
  6. 6. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 6 ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗ Κάθε διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με την διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον την διανυσματική ακτίνα της αρχής . Πράγματι : Έστω Ο σημείο αναφοράς , τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ ισχύει : ΟΑ�����⃗ + ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ ⇔ ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗ Άρα : Αν α��⃗ , β�⃗ δύο διανύσματα , τότε για το μέτρο αθροίσματος των διανυσμάτων ισχύει : Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων Στο διπλανό σχήμα φαίνεται στο άθροισμα δύο διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗ Από τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε : |(ΟΑ) − (ΑΒ)| ≤ (ΟΒ) ≤ (ΟΑ) + (ΑΒ) ⇔ �|α��⃗| − �β�⃗�� ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ |α��⃗| + �β�⃗� �|α��⃗| − �β�⃗�� ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ |α��⃗| + �β�⃗�
  7. 7. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 7 Ασκήσεις 1. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ της πλευράς ΒΓ . Να βρείτε τις γωνίες : α. �ΑΒ�����⃗, ΑΓ�����⃗� � β. �ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗� � γ. �ΒΔ�����⃗ , ΔΓ����⃗� � δ. �ΒΓ����⃗ , ΓΔ����⃗� � 2. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ . Να βρείτε τις γωνίες : α. �ΑΒ�����⃗, ΑΓ�����⃗� � β. �ΔΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗� � γ. �ΑΔ�����⃗ , ΓΔ����⃗� � 3. Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του . Να βρείτε τις γωνίες : α. �ΒΑ�����⃗, ΒΓ����⃗� � β. �ΑΒ�����⃗ , ΓΑ����⃗� � γ. �ΒΓ����⃗ , ΔΑ�����⃗� � δ. �ΒΑ�����⃗ , ΑΔ�����⃗� � 4. Να γράψετε ως ένα διάνυσμα τα παρακάτω αθροίσματα : α. ΑΒ�����⃗ + ΓΔ����⃗ + ΒΓ����⃗ β. ΚΛ������⃗ + ΜΝ������⃗ + ΛΜ������⃗ + ΝΠ������⃗ γ. ΑΒ�����⃗ + ΔΑ�����⃗ + ΓΔ����⃗ + ΒΓ����⃗ δ. ΑΓ�����⃗ − ΒΔ�����⃗ − ΔΓ����⃗ ε. ΚΛ�����⃗ − ΝΜ������⃗ + ΝΚ�����⃗ − ΜΛ������⃗ 5. Να εκφράσετε το διάνυσμα x�⃗ σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : 6. Να εκφράσετε το διάνυσμα x�⃗ σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : 7. Αν Ρ1Ρ2Ρ3Ρ4Ρ5Ρ6 ένα εξάγωνο , τότε να δείξετε ότι : Ρ1Ρ3 ��������⃗ + Ρ2Ρ4 ��������⃗ + Ρ3Ρ5 ��������⃗ + Ρ4Ρ6 ��������⃗ + Ρ5Ρ1 ��������⃗ + Ρ6Ρ2 ��������⃗ = 0�⃗ 8. Αν ισχύει ΑΝ�����⃗ − ΓΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ + ΓΝ�����⃗ να δείξετε ότι το Γ είναι το μέσο του ΑΒ . 9. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσο του ΑΓ. Να δείξετε ότι : ΜΒ������⃗ + ΜΔ������⃗ = ΑΒ�����⃗ − ΔΓ����⃗ . 10. Αν ισχύει ότι ΓΔ����⃗ = ΒΕ�����⃗ + ΓΑ����⃗ − ΔΕ�����⃗ να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται . 11. Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το σημείο του Ο για το οποίο ισχύει ΑΓ�����⃗ + ΒΟ�����⃗ = ΒΔ�����⃗ − ΓΔ����⃗ . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α και Ο συμπίπτουν .
  8. 8. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 8 12. Αν ισχύουν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ + β�⃗� ≥ 5 . Να δείξετε ότι τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ είναι ομόρροπα . 13. Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ + β�⃗� = 4 , �β�⃗ + γ�⃗� = 8 . Να βρείτε α. το �β�⃗� β. το |γ�⃗| γ. το |α��⃗ + γ�⃗| 14. Έστω τα σημεία Ο , Α , Β του επιπέδου . Αν �ΟΑ�����⃗� = 6 , �ΟΒ�����⃗� = 4 να δείξετε ότι 2 ≤ �ΑΒ�����⃗� ≤ 10 . 15. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ = 0�⃗ και |α��⃗| 5 = �β��⃗� 3 = |γ��⃗| 2 . Να δείξετε ότι : α. α���⃗ ↑↓ β�⃗ β. β�⃗ ↑↑ γ�⃗ . 16. Δίνονται τρία μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν α��⃗ + β�⃗ = γ�⃗ και |α��⃗| 3 = �β��⃗� 2 = |γ��⃗| 5 . Να δείξετε ότι : α. α���⃗ ↑↑ β�⃗ β. β�⃗ ↑↑ γ�⃗ . 17. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 5 , |γ�⃗| = 4 . Να δείξετε ότι : α. 3 ≤ �α��⃗ + β�⃗� ≤ 7 β. α��⃗ + β�⃗ − 2γ�⃗ ≠ 0�⃗ 18. Δίνονται τα ομόρροπα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ για τα οποία ισχύουν |α��⃗| = 3κ − 5 , �β�⃗� = 5κ − 8 , �α��⃗ + β�⃗� = κ2 + 3 . Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ .
  9. 9. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 9 Αν 𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗ δύο διανύσματα με 𝛃𝛃��⃗ ≠ 𝟎𝟎��⃗ , τότε : 𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛂𝛂��⃗ = 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗ , 𝛌𝛌 ∈ ℝ Έστω λ ένας μη μηδενικός αριθμός και το μη μηδενικό διάνυσμα α��⃗ . Ονομάζουμε γινόμενο του αριθμού λ με το 𝛂𝛂��⃗ και το συμβολίζουμε με λ ∙ α��⃗ ή λα��⃗ ένα διάνυσμα το οποίο : α) είναι ομόρροπο του α��⃗ αν λ > 0 , 𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅𝜅 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼ί𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌 𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏𝜏 α��⃗ αν λ < 0 β) έχει μέτρο |λ||α��⃗| Αν είναι λ = 0 ή α��⃗ = 0�⃗ τότε ορίζουμε λα��⃗ = 0�⃗ Ορισμός Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα Αν α��⃗ , β�⃗ δύο διανύσματα και λ , μ δύο πραγματικοί αριθμοί , τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α) λ�α��⃗ + β�⃗� = λα��⃗ + λβ�⃗ β) (λ + μ)α��⃗ = λα��⃗ + μα��⃗ γ) λ(μα��⃗) = (λμ)α��⃗ Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα Γραμμικός συνδυασμός δύο διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗ ονομάζεται κάθε διάνυσμα της μορφής v�⃗ = κα��⃗ + λβ�⃗ , όπου κ , λ πραγματικοί αριθμοί . Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων Συνθήκη Παραλληλίας δύο διανυσμάτων ΠΡΟΣΟΧΗ : Για να αποδείξουμε ότι τρία σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά , αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ , δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ�����⃗ = λΒΓ����⃗ 3. Πολλαπλασιασμός αριθμού με Διάνυσμα
  10. 10. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 10 Αν Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς , τότε 𝚶𝚶𝚶𝚶�������⃗ = 𝚶𝚶𝚶𝚶������⃗ + 𝚶𝚶𝚶𝚶������⃗ 𝟐𝟐 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος Θεωρούμε διάνυσμα ΑΒ�����⃗ , το μέσο του Μ , καθώς και ένα σημείο αναφοράς Ο. Αφού Μ μέσο του ΑΒ�����⃗ τότε θα ισχύει : ΑΜ������⃗ = ΜΒ������⃗ ⇔ ΟΜ������⃗ − ΟΑ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΜ������⃗ ⇔ 2ΟΜ������⃗ = ΟΑ�����⃗ + ΟΒ�����⃗ ⇔ ΟΜ������⃗ = ΟΑ������⃗ + ΟΒ������⃗ 2
  11. 11. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 11 Ασκήσεις 19. Αν ΟΑ�����⃗ = α��⃗ , ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = 2α��⃗ − 3β�⃗ , να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ , ΓΒ����⃗ με την βοήθεια των α��⃗ , β�⃗ . 20. Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ . Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΓΔ και ΒΓ αντίστοιχα και ΑΒ�����⃗ = 3α��⃗ , ΑΔ������⃗ = 4β�⃗ , να βρεθούν τα διανύσματα ΑΜ������⃗ και ΜΝ������⃗ . 21. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσο της ΑΔ . Να εκφράσετε τα διανύσματα ΒΜ������⃗ και ΜΓ������⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΒΓ����⃗ = β�⃗ . 22. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και έστω σημείο Ε στην πλευρά ΑΒ ώστε ΑΕ = 3ΒΕ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΔ������⃗ = β�⃗ να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ�����⃗ , ΔΕ�����⃗ , ΓΕ����⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ . 23. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ευθείας ΒΓ ώστε τα Δ , Γ να βρίσκονται εκατέρωθεν του Β και να ισχύει 3ΒΔ = 2ΒΓ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ������⃗ = β�⃗ , να εκφράσετε το διάνυσμα ΑΔ������⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ . 24. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ , ΟΒ�����⃗ = β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ και ΟΔ�����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ . Να δείξετε ότι ΑΓ�����⃗ + ΔΒ�����⃗ ∥ ΑΒ�����⃗ . 25. Αν ισχύει ότι ΑΔ�����⃗ = 3ΑΒ�����⃗ + 5ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 3ΑΓ�����⃗ να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . 26. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 8ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 3ΑΒ�����⃗ + 10ΑΓ�����⃗ . Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . 27. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 2ΑΒ�����⃗ + 5ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = 5ΑΒ�����⃗ + 2ΑΓ�����⃗ . α. Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ�����⃗ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ�����⃗ και ΑΓ�����⃗ β. Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 28. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε του επιπέδου ώστε ΑΔ�����⃗ = 4ΑΒ�����⃗ − 9ΑΓ�����⃗ και ΑΕ�����⃗ = ΑΒ�����⃗ − 6ΑΓ�����⃗ . Να αποδείξετε ότι ΔΕ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . 29. Θεωρούμε τα διανύσματα u�⃗ = 4α��⃗ − 3β�⃗ και v�⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ . Να αποδείξετε ότι : α. το διάνυσμα γ�⃗ = u�⃗ + 3v�⃗ είναι ομόρροπο με το α��⃗ β. το διάνυσμα δ�⃗ = u�⃗ − 2v�⃗ είναι αντίρροπο με το β�⃗ . 30. Αν οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α , Β , Γ , Δ είναι αντίστοιχα α��⃗ , β�⃗ , 4α��⃗ − β�⃗ , α��⃗ + 2β�⃗ να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ είναι ομόρροπα . 31. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΔΓ����⃗ = α��⃗ , ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + β�⃗ και ΒΔ�����⃗ = −2α��⃗ + β�⃗ είναι τραπέζιο . 32. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = β�⃗ , ΑΔ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ είναι τραπέζιο . 33. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = β�⃗ , ΑΔ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ . Να αποδείξετε ότι : α. το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο . β. το διάνυσμα u�⃗ = ΒΓ����⃗ − ΑΔ�����⃗ είναι ομόρροπο με το β�⃗ . 34. Θεωρούμε τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ − 3β�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ , ΟΓ�����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ και ΟΔ�����⃗ = 6α��⃗ + 7β�⃗ . Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΓΔ����⃗ είναι ομόρροπα .
  12. 12. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 12 35. Δίνεται στο παρακάτω σχήμα ότι ΑΒ�����⃗ = α��⃗ , ΒΓ������⃗ = β�⃗ , ΓΔ����⃗ = 2α��⃗ και ΔΕ�����⃗ = 2β����⃗ . Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Γ , Ε είναι συνευθειακά . 36. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + 3β�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ , ΟΓ������⃗ = 3α��⃗ − 5β�⃗. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 37. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ , ΟΒ�����⃗ = 5α��⃗ + 3β�⃗ + 4γ��⃗ , ΟΓ������⃗ = 13α��⃗ + 7β�⃗ + 10γ�⃗ . Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 38. Έστω τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ + 5γ�⃗ , ΟΒ�����⃗ = −α��⃗ + 3β�⃗ + 4γ��⃗ , ΟΓ������⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ + 6γ�⃗ . Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 39. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ , ΑΓ�����⃗ = 5α��⃗ − β�⃗ . Αν Δ σημείο τέτοιο ώστε ΑΔ�����⃗ = 11α��⃗ − 5β�⃗ , να δείξετε ότι τα σημεία Β , Γ , Δ είναι συνευθειακά . 40. Αν ισχύει 4ΜΑ������⃗ + 5ΜΒ������⃗ − 9ΜΓ������⃗ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 41. Αν ισχύει 9ΟΑ�����⃗ − 7ΟΒ�����⃗ − 2ΟΓ�����⃗ = 0 τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 42. Αν ισχύει ΜΑ������⃗ + 5ΡΑ����⃗ = 3ΡΜ������⃗ + 2ΡΒ�����⃗ − 4ΓΜ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 43. Αν ισχύει 2ΑΛ�����⃗ + 3ΒΛ�����⃗ + 2ΜΒ������⃗ = ΑΚ�����⃗ + ΑΜ������⃗ + ΒΚ�����⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ , Λ , Μ είναι συνευθειακά . 44.Αν ισχύει 5ΡΛ����⃗ = 2ΡΚ�����⃗ + 3ΡΜ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Κ ,Λ ,Μ είναι συνευθειακά .( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 45. Αν ισχύει (κ + 2)ΜΑ������⃗ + 3ΜΒ������⃗ = (κ + 5)ΜΓ������⃗ τότε να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 46. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε , Ζ σημεία τέτοια ώστε ΑΕ�����⃗ = 2 5 ΑΔ�����⃗ , ΑΖ�����⃗ = 2 7 ΑΓ�����⃗ . α. Να γράψετε τα διανύσματα ΕΖ����⃗ , ΖΒ����⃗ ως γραμμικό συνδυασμό των ΑΒ�����⃗ και ΑΔ�����⃗ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β , Ζ , Ε είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 47. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΔ������⃗ = β�⃗ . Θεωρούμε σημεία Ε , Ζ στην ΑΔ και στην διαγώνιο ΑΓ αντίστοιχα τέτοια , ώστε ΑΕ�����⃗ = 1 3 ΑΔ�����⃗ , ΑΖ�����⃗ = 1 4 ΑΓ�����⃗ . Να αποδείξετε ότι : α. ΑΖ�����⃗ = 1 4 �α��⃗ + β�⃗� β. ΕΖ����⃗ = 1 4 �α��⃗ − 1 3 β�⃗� και να υπολογίσετε το ΕΒ�����⃗ με την βοήθεια των α��⃗ , β�⃗ . γ. τα σημεία Ε , Ζ , Β είναι συνευθειακά . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 48. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΒΓ������⃗ = β�⃗ και ΓΔ = 3 ΑΒ . Αν Ε σημείο της διαγωνίου ΑΓ ώστε ΕΓ = 3ΕΑ α. Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ , ΒΕ�����⃗ και ΒΔ������⃗ ως συνάρτηση των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ . β. Να δείξετε ότι τα σημεία Β , Δ , Ε είναι συνευθειακά .
  13. 13. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 13 49. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ .Πάνω στα τμήματα ΑΒ , ΑΜ και ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Δ , Ε ,Ζ αντίστοιχα ώστε ΑΔ = 1 2 ΑΒ , ΑΕ = 1 3 ΑΜ , ΑΖ = 1 4 ΑΓ . Αν ΑΒ�����⃗ = α��⃗ και ΑΓ������⃗ = β�⃗ τότε : α. Να εκφράσετε συναρτήσει των α��⃗ , β�⃗ τα διανύσματα ΔΕ�����⃗ , ΔΖ����⃗ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ , Ε , Ζ είναι συνευθειακά . 50. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε , Ζ μέσα των ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι ΑΕ�����⃗ + ΑΖ�����⃗ = 3 2 ΑΓ�����⃗ 51. Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Δ στη ΒΓ . Αν Κ , Λ , Μ μέσα των ΒΔ , ΔΓ και ΒΓ αντίστοιχα τότε να δείξετε ότι ΑΚ�����⃗ + ΑΛ�����⃗ − ΑΜ������⃗ = ΑΔ�����⃗ . 52. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ , Ν τα μέσα των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα . Να δείξετε ότι ΑΒ�����⃗ + ΑΔ�����⃗ + ΓΒ����⃗ + ΓΔ����⃗ = 4ΜΝ������⃗ . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 53. Έστω ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ ∥ ΔΓ ) με ΔΓ = 4 3 ΑΒ . Θεωρούμε το σημείο Ε με ΑΕ�����⃗ = 1 3 ΑΒ�����⃗ και ονομάζουμε Ζ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΔΕ . Να δείξετε ότι ΑΖ�����⃗ ∥ ΒΓ����⃗ . 54. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ΔΕ = 2ΕΒ . α .Να εκφράσετε συναρτήσει των α��⃗ , β�⃗ τα διανύσματα ΔΒ�����⃗ , ΕΒ�����⃗ , ΓΒ����⃗ , ΑΕ�����⃗ , ΕΓ����⃗ β. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Ε , Γ είναι συνευθειακά . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 55. Δίνονται τα σημεία Α , Β , Γ . Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ το διάνυσμα 3ΜΑ������⃗ − 5ΜΒ������⃗ + 2ΜΓ������⃗ είναι σταθερό . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ )
  14. 14. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 14 Αν σε μια ευθεία x’x επιλέξουμε δύο σημεία Ο και Ι ώστε το διάνυσμα ΟΙ����⃗ = i⃗ να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Οx , τότε λέμε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα 𝐢𝐢⃗ Άξονας Οι ημιευθείες Οx και Οx’ λέγονται αντίστοιχα θετικός και αρνητικός ημιάξονας . Για κάθε σημείο Μ του άξονα x’x ισχύει ΟΜ������⃗ ∥ i⃗ , οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παραλληλίας θα υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός x έτσι ώστε να ισχύει ΟΜ������⃗ = x ∙ i⃗ Τον αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του σημείου Μ και το σημείο το συμβολίζουμε με M(x) Θεωρούμε σε ένα επίπεδο δύο κάθετους άξονες x’x και y’y με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα i⃗και j⃗ αντίστοιχα . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ή ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy . Καρτεσιανό Επίπεδο Αν Μ τυχαίο σημείο του καρτεσιανού επιπέδου και φέρουμε παράλληλη στον y’y που τέμνει τον x’x στο Μ1 και παράλληλη στον x’x που τέμνει τον y’y στο Μ2 , τότε η τετμημένη x του Μ1 λέγεται τετμημένη του Μ και η τετμημένη y του Μ2 λέγεται τεταγμένη του Μ . Οι μοναδικοί αριθμοί x , y λέγονται συντεταγμένες του σημείου Μ και συμβολίζονται με Μ(x , y) Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και α��⃗ ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο παίρνουμε ΟΑ�����⃗ = α��⃗ . Αν Α1 και Α2 οι προβολές του Α πάνω στους άξονες , τότε ισχύει : ΟΑ�����⃗ = ΟΑ1 �������⃗ + ΟΑ2 ��������⃗ ⇔ α��⃗ = x ∙ i⃗ + y ∙ j⃗ Τα διανύσματα x ∙ i⃗ και y ∙ j⃗ λέγονται συνιστώσες του 𝛂𝛂��⃗ κατά την διεύθυνση των i⃗και j⃗ αντίστοιχα . Οι αριθμοί x , y λέγονται συντεταγμένες του 𝛂𝛂��⃗ Συντεταγμένες Διανύσματος 4. Συντεταγμένες στο Επίπεδο 𝛂𝛂��⃗ = 𝐱𝐱 ∙ 𝐢𝐢⃗ + 𝐲𝐲 ∙ 𝐣𝐣⃗ ⇔ 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱 , 𝐲𝐲)
  15. 15. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 15 Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε το μέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες Μ � 𝐱𝐱 𝟏𝟏+𝐱𝐱 𝟐𝟐 𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟏𝟏+𝐲𝐲𝟐𝟐 𝟐𝟐 � Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε 𝚨𝚨𝚨𝚨�����⃗ = (𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏) Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες . Ίσα Διανύσματα Δηλαδή : Αν α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) τότε ∶ α��⃗ = β�⃗ ⇔ � x1 = x2 y1 = y2 Αν α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) τότε έχουμε : α) α��⃗ + β�⃗ = (x1 + x2 , y1 + y2 ) β) α��⃗ − β�⃗ = (x1 − x2 , y1 − y2 ) γ) λα��⃗ = (λx1 , λy1) δ) λα��⃗ + μβ�⃗ = (λx1 + μx2 , λy1 + μy2 ) Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων Συντεταγμένες μέσου τμήματος Έστω M(x , y) μέσο του ΑΒ . Τότε θα ισχύει ΟΜ������⃗ = ΟΑ������⃗ + ΟΒ������⃗ 2 (1) με ΟΜ������⃗ = (x , y) , ΟA�����⃗ = (x1 , y1) και ΟΒ�����⃗ = (x2 , y2) . Η (1)⇒ (x , y) = (x1 ,y1)+(x2 ,y2) 2 ⇔ (x , y) = (x1+x2 , y1+y2) 2 ⇔ (x , y) = � x1+x2 2 , y1+y2 2 � ⇔ � x = x1+x2 2 και y = y1+y2 2 Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα Πράγματι : ΑΒ�����⃗ = ΟΒ�����⃗ − ΟΑ�����⃗ ⇔ ΑΒ�����⃗ = (x2 , y2) − (x1 , y1) ⇔ ΑΒ�����⃗ = (x2 − x1 , y2 − y1)
  16. 16. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 16 Αν 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱 , 𝐲𝐲) τότε |𝛂𝛂��⃗| = �𝐱𝐱𝟐𝟐 + 𝐲𝐲 𝟐𝟐 Αν Α(𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και Β(𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε η απόσταση των δύο σημείων είναι : (𝐀𝐀𝐀𝐀) = �(𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏)𝟐𝟐 + (𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏)𝟐𝟐 Αν 𝛂𝛂��⃗ = (𝐱𝐱𝟏𝟏 , 𝐲𝐲𝟏𝟏) και 𝛃𝛃��⃗ = (𝐱𝐱𝟐𝟐 , 𝐲𝐲𝟐𝟐) τότε ισχύει η ισοδυναμία : 𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝� 𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗� = 𝟎𝟎 ⇔ � 𝐱𝐱𝟏𝟏 𝐲𝐲𝟏𝟏 𝐱𝐱𝟐𝟐 𝐲𝐲𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎 Μέτρο διανύσματος Έστω το διάνυσμα α��⃗ = (x , y) και Α σημείο με ΟA�����⃗ = α��⃗ . Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΑ1 έχουμε : (ΟΑ)2 = (ΟΑ1)2 + (ΑΑ1)2 ⇔ (ΟΑ)2 = (ΟΑ1)2 + (ΟΑ2)2 ⇔ |α��⃗|2 = x2 + y2 ⇔ |α��⃗| = �x2 + y2 Απόσταση δύο σημείων Έστω τα σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) , τότε οι συντατεγμένες του διανύσματος ΑΒ�����⃗ = (x2 − x1 , y2 − y1) , άρα θα έχει μέτρο : �ΑΒ�����⃗� = (ΑΒ) = �(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων
  17. 17. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 17 Συντελεστής διεύθυνσης Διανύσματος Έστω το διάνυσμα α��⃗ = (x , y) και Α σημείο με ΟA�����⃗ = α��⃗ . Τη γωνία φ που διαγράφει ο θετικός ημιάξονας Ox αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ , την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα 𝛂𝛂��⃗ με τον άξονα x’x . Από τον ορισμό της γωνίας προκύπτει ότι 0 ≤ φ < 2𝜋𝜋 Το πηλίκο της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος α��⃗ = (x , y) με x ≠ 0 , το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του α��⃗ και τον συμβολίζουμε με λα��⃗ ή λ . Ισχύουν : α) α��⃗ ∥ x′ x ⇔ λα��⃗ = 0 αφού y = 0 β) α��⃗ ∥ y′ y ⇔ λα��⃗ = δεν ορίζεται , αφού x = 0 Κριτήριο Παραλληλίας Διανύσματος Θεωρούμε τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) . Τότε έχουμε : α��⃗ ∥ β�⃗ ⇔ det�α��⃗ , β�⃗� = 0 ⇔ � x1 y1 x2 y2 � = 0 ⇔ x1 ∙ y2 − x2 ∙ y1 = 0 ⇔ x1 ∙ y2 = x2 ∙ y1 ⇔ y1 x1 = y2 x2 ⇔ λ1 = λ2 . 𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ = 𝐲𝐲 𝐱𝐱 𝛂𝛂��⃗ ∥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ = 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗
  18. 18. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 18 Ασκήσεις 56. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 , 4) , β�⃗ = (−1 , 3). Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α��⃗ + β�⃗ , α��⃗ − β�⃗ , 2α��⃗ − 3β�⃗ , 3α��⃗ + 4β�⃗ . 1. Πράξεις με Συντεταγμένες 57. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (3 , 1) , β�⃗ = (5 , 1) και γ�⃗ = (−1 , 1) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v�⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ + γ�⃗ 58. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (−2 , 3) , β�⃗ = (1 , − 1) και γ�⃗ = (3 , −2) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων : α��⃗ + 2β�⃗ , 2α��⃗ − γ�⃗ και α��⃗ − β�⃗ + 1 2 γ�⃗ . 2. Μηδενικό Διάνυσμα 59. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε το διάνυσμα u�⃗ = (κ2 + κ − 2 , 3λ − 3) να είναι το μηδενικό διάνυσμα . 60. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε το διάνυσμα u�⃗ = (κ2 − 5κ + 6 , κ − 2) να είναι το μηδενικό διάνυσμα . 61. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (κ , 2κ − λ) , β�⃗ = (2λ , 4) να είναι ίσα . 3. Ισότητα Διανυσμάτων – Αντίθετα Διανύσματα 62. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (κ − 1 , λ − 2) , β�⃗ = (λ , 2κ − 1) να είναι αντίθετα . 63. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (λ2 − 3λ + 2 , 2λ2 − 3λ − 2) και β�⃗ = (λ2 − 5λ + 6 , −3λ2 + 7λ − 2) να είναι ίσα . (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 64. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί λ , μ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (2λ + μ)i⃗ + (λ − 3μ + 1)j⃗ και β�⃗ = (2μ + 5)i⃗ + (4λ − μ + 1)j⃗ να είναι ίσα . 65. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ2 − 4 , λ + 2) , λ ∈ ℝ . Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε : α. α��⃗ = 0�⃗ β. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x γ. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ y′y 4. Παραλληλία Διανύσματος με Άξονες 66. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ2 − 4 , λ2 − 3λ + 2 ) , λ ∈ ℝ . Να βρείτε τον αριθμό λ ώστε : α. α��⃗ = 0�⃗ β. α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x (ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ) 67. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (x , 1) και β�⃗ = (−y2 + 4y − 5 , x + 2) . Να βρείτε τις τιμές των x , y αν : α. α��⃗ − β�⃗ ∥ x′x β. α��⃗ + 2β�⃗ = −20i⃗ + 9j⃗ 68. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (λ2 + 3λ , λ2 − 9) και β�⃗ = (λ − 5 , 3λ − 1) με λ ∈ ℝ . Να βρείτε τις τιμές του λ αν : α. τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ είναι αντίθετα β. το διάνυσμα α��⃗ είναι το μηδενικό διάνυσμα γ. είναι α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ x′x δ. είναι α��⃗ ≠ 0�⃗ και α��⃗ ∥ y′y
  19. 19. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 19 69. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (κ − 1 , −2) και β�⃗ = (λ − 2 , κ) . Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ , λ ώστε να ισχύει 3α��⃗ − 2β�⃗ = 0�⃗ 5. Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων 70. Δίνονται τα διανύσματα u�⃗ = (−1 ,3) , v�⃗ = (2 , 1) . Να γραφεί το διάνυσμα w���⃗ = (4 , 16) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων u�⃗ και v�⃗ . 71. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 ,3) , β�⃗ = (−1 , 2) . Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = (4 , 13) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ . 72. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2λ + 1 , −2) , β�⃗ = (1 , 2) και γ�⃗ = (λ , μ) με λ , μ ∈ ℝ . Να βρεθούν τα λ , μ ώστε να ισχύει α��⃗ + 2β�⃗ − γ�⃗ = 0�⃗ . 73. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = xi⃗ + yj⃗ και β�⃗ = (y − 2)i⃗ + (x + 6)j⃗ με x , y ∈ ℝ για τα οποία ισχύει 2α��⃗ − 3β�⃗ = (−7 , −6) . α. Να βρείτε τις τιμές των x , y β. Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = −10 i⃗+ 4 j⃗σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ . 74. Δίνονται τα σημεία Α(2 , 8) και Β(6 , −4) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ . 6. Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος 75. Δίνεται το τμήμα ΚΛ με Λ(4 , 3) και το μέσο Ν(−2 , 6) του ΚΛ . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Κ . 76. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Α(1 , −2) ως προς το Β(−1 , 3) . 77. Δίνονται τα σημεία Α(λ , 2κ − 4) , Β(−2λ − κ , 3λ − κ) και Μ(κ , λ − 1) με κ , λ ∈ ℝ . Να βρείτε τις τιμές των κ , λ ώστε το Μ να είναι το μέσο του ΑΒ . 78. Δίνονται οι κορυφές Α(1 , 3) , Β(5 ,3) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ . Αν το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι το Κ(3 , 7) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ . 79. Δίνονται οι κορυφές Α(2 , 3) , Β(4 , −1) και Γ(0 , 5) ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ 80. Δίνεται κύκλος με κέντρο Κ(−3 , 2) , διαμέτρου ΑΒ με Α(1 , 3) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β . 81. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(1 , 2) , Λ(3 , 5) και Μ(2 , −4) . Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α , Β , Γ του τριγώνου ΑΒΓ . 82. Τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι τα σημεία Κ(−2 , −2) , Λ(−1 , 0) και Μ(2 , −1) . Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Α , Β , Γ του τριγώνου ΑΒΓ . 83. Σε ένα σύστημα συντεταγμένων Οxy οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι οι ρίζες της εξίσωσης x2 − (λ2 + 3λ − 5)x − 10 = 0 . Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ , ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη ίση με − 1 2 .
  20. 20. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 20 84. Αν Λ(2 , −5) και Μ(3 , 4) να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΛΜ������⃗ 7. Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα 85. Αν ΚΛ�����⃗ = (−1 , 4) και Λ(2 , 5) να βρείτε τις συντεταγμένες του Κ . 86. Έστω το σημείο Α(−1 , 2) . Να βρείτε : α. το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ όταν Β(−3 , 0) β. το Γ αν είναι ΑΓ�����⃗ = (−3 , −5) γ. το Δ όταν ισχύει 2ΑΔ�����⃗ − 3ΔΕ�����⃗ = 0���⃗ και Ε(3 , −1) 86. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 2) και Β(3 , 8) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ ώστε να είναι ΑΓ�����⃗ = 2ΑΒ�����⃗ 87. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 1) , Β(2 , 0) και Γ(2 , −3) . Να βρεθούν οι συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ������⃗ καθώς και του σημείου Δ για το οποίο ισχύει ΒΔ�����⃗ = ΑΓ�����⃗ . 88. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−2 , 0) , Β(1 , −3 ) και Γ(2 , 1) . Αν ΑΜ������⃗ = 2ΜΒ������⃗ και ΑΔ διάμεσος , να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΜΔ������⃗ . 88. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1 , 5) , Β(7 , 3) και ΑΚ�����⃗ = (1 , −4) όπου Κ το κέντρο του . Να βρείτε τις συντεταγμένες των Κ , Γ και Δ . 89. Δίνονται τα σημεία Α(λ , 3μ+2) , Β(μ , λ − 6) και το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ = (4 , −14) . Να βρείτε : α. τα λ , μ β. ένα σημείο Μ ώστε να ισχύει ΑΜ������⃗ = 3ΒΜ������⃗ . 90. Δίνονται τα σημεία Α(x , y) , Β(x+2y , x+1) και Γ(y − 3 , 2x − 4) . α. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x , y αν ισχύει AB�����⃗ + AΓ�����⃗ = (−12 , 10) β. Να γραφεί το διάνυσμα v�⃗ = (−4 , 14) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων ΑΓ�����⃗ και ΒΓ����⃗ 91. Αν α��⃗ = (−1 , 2) και β�⃗ = (3 , −2) να υπολογίσετε τα μέτρα |−2α��⃗| και �3α��⃗ − 2β�⃗� 8. Μέτρο Διανύσματος – Απόσταση Δύο Σημείων 92.Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ αν για το διάνυσμα β�⃗ = (1 − λ , λ − 3) ισχύει �β�⃗� = 10 . 93. Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ ℝ αν για το διάνυσμα α��⃗ = (λ , λ + 1) ισχύει |−3α��⃗| = 15 . 94. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α��⃗ για το οποίο ισχύει α��⃗ = (|α��⃗| − 4 , 8) 95. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2 , 1) , Β(3 , −2) , Γ(7 , −4) . α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος v�⃗ = −4ΑΓ�����⃗ + 7ΒΓ����⃗ β. Αν Μ μέσο του ΒΓ να βρείτε το μέτρο της διαμέσου ΑΜ������⃗ 96. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−2 , −2) , Β(3 , 0) , Γ(−1 , 3) . Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του καθώς και τα μήκη των διαμέσων του . 97. Έστω τα σημεία Α(8 , −2) , Β(0 , 6) και Γ(2 , 0) . Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές και να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΔ . 98. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−3 , −3) , Β(−1 , 3) και Γ(11 , −1 ) είναι ορθογώνιο . 99. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1 , 1) , Γ(4 , 3) , Δ(2 , 3) . Να βρείτε : α. τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ β. συντεταγμένες του κέντρου Κ του ΑΒΓΔ καθώς και της κορυφής Β ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ )
  21. 21. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 21 100. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , 6) και Β(−9 , −2) . Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x’x το οποίο να ισαπέχει από τα Α και Β . 101. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , 2) και Β(3 , 1) . Να βρείτε σημείο Μ του άξονα y’y το οποίο να ισαπέχει από τα Α και Β . 102. Δίνονται τα σημεία Α(−2 , −5) και Β(3 , −4 ). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x’x τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ . 103. Δίνονται τα σημεία Α(x , −2) , Β(16 , x + 2) και Γ(5 , x) . Να βρείτε το x ∈ ℝ αν ισχύει �2ΑΒ�����⃗ + 3ΒΓ����⃗� = �ΑΓ�����⃗� 104. Δίνονται τα σημεία A(λ , 1) και Β(−1 , λ + 3) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ αν ισχύει (ΑΒ)=5 . 105. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (−6 , 8) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , παράλληλο του α��⃗ , με �β�⃗� = 5 106. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (2 , −1) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , αντίρροπο του α��⃗ , με �β�⃗� = 4√3 107. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (2 , −3) . Να βρείτε διάνυσμα β�⃗ , αντίρροπο του α��⃗ , με �β�⃗� = 3 108. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 1 , 3) και β�⃗ = (2λ − 2 , λ) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ∥ β�⃗ 9. Παραλληλία Διανυσμάτων 109. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 1 , 1) και β�⃗ = (1 , 2λ − 1) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ∥ β�⃗ 110. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ , −8) και β�⃗ = (−1 , λ − 2) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ↑↑ β�⃗ 111. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (1 , λ − 1) και β�⃗ = (λ − 1 , 9) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε α��⃗ ↑↓ β�⃗ 112. Έστω τα σημεία Α(−3 , −2) , Β(2 , κ) , Γ(5 , −3) και Δ(4 , κ) . Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε ΑΒ�����⃗ ∥ ΓΔ����⃗ 113. Έστω τα διανύσματα α��⃗ και β�⃗ για τα οποία ισχύουν 3α��⃗ + 2β�⃗ = (−2 , 9) και α��⃗ − 2β�⃗ = (10 , −5) . α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α��⃗ και β�⃗ β. Να γραφεί το διάνυσμα γ�⃗ = (4 , 7) σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ γ. Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (λ , 6 − λ) να είναι παράλληλο στο διάνυσμα α��⃗ − β�⃗ . 114. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (λ , 1 − λ) , β�⃗ = (λ + 1 , 2) και γ�⃗ = (6 , −10) . Αν ισχύει �α��⃗ + β�⃗� ∥ γ�⃗ τότε : α. να βρείτε τον αριθμό λ β. να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 5α��⃗ − 6β�⃗ γ. να γράψετε το διάνυσμα u�⃗ = 3 j⃗ σαν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ 115. Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (2 , 3) , β�⃗ = (−10 , 2) και γ�⃗ = 2α��⃗ + β�⃗ . Να βρείτε : α. το μέτρο του διανύσματος γ�⃗ β. τον αριθμό λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (λ , 1 − λ) να είναι παράλληλο στο γ�⃗ 10. Συνευθειακά Σημεία 116. Να δείξετε ότι τα σημεία Α(−1 , 2) , Β(1 , 1) και Γ(−3 , 3) είναι συνευθειακά . 117. Δίνονται τα σημεία Α(8 , −6) , Β(−2 , −2) και Γ(−7 , 0) . α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . β. Να βρεθούν τα κ , λ ∈ ℝ ώστε να ισχύουν ΑΓ�����⃗ = λΓΒ����⃗ και ΑΒ�����⃗ = κΑΓ�����⃗
  22. 22. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 22 118. Δίνονται τα σημεία Α(0 , 4) , Β(κ , −2) και Γ(−2 , 2) . Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ να είναι συνευθειακά . 119. Δίνονται τα σημεία Α(−1 , λ − 1) , Β(3 , λ + 3) και Γ(λ2 , 2) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ να είναι συνευθειακά . 120. Δίνονται τα σημεία Α(1 , −4) και Β(4 , 2) . Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x’x ώστε τα σημεία Α , Β , Γ να είναι συνευθειακά . 121. Δίνονται τα σημεία Α(α + 1 , 3) , Β(α , 4) και Γ(−4 , 5α + 4) , α ∈ ℝ . α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗ β. Να βρείτε για ποια τιμή του α τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά γ. Για α = 1 , να βρείτε τον αριθμό λ ώστε να ισχύει ΑΓ�����⃗ = λ ΑΒ�����⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 122. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1 , −1) , Β(2 , 1) και Γ(−1 , 5) είναι κορυφές τριγώνου 123. Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ�����⃗ = 2i⃗+ 4j⃗, ΟΒ�����⃗ = 3i⃗+ j⃗ , ΟΓ�����⃗ = 5i⃗ − 5j⃗ . α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ�����⃗ , ΒΓ����⃗ β. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α , Β και Γ είναι κορυφές τριγώνου . ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 124. Δίνονται τα σημεία Α(1 , 1) , Β(−3 , 3) και Γ(3 , 1) . α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι κορυφές τριγώνου . β. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ από το Β , όπου ΑΜ διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ 125. Δίνονται τα σημεία Α(λ − 1 , −2) , Β(−1 , 0) και Γ(λ − 3 , 2λ) . α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε τα σημεία Α , Β , Γ να σχηματίζουν τρίγωνο . β. Για λ = −1 , να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ 126. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 2) , Β(7 , 0) και Γ(1 , 4) . Αν Δ μέσο της διαμέσου ΑΜ και σημείο Ε για το οποίο ισχύει 2 ΑΕ�����⃗ = ΕΓ����⃗ , τότε : α. να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Δ και Ε β. να δείξετε ότι τα σημεία Β , Δ , Ε είναι συνευθειακά . 127. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης : α. του διανύσματος α��⃗ = (2 , −6) β. του διανύσματος ΑΒ�����⃗ με Α(2 , −4) και Β(−3 , 6) 11. Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος 128. Δίνονται τα σημεία Α(λ , λ − 1) , Β(5 , −2λ) με λ ≠ 5 . Να βρείτε το λ ∈ ℝ αν το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με −4 . 129. Τα διανύσματα α��⃗ = (κ , μ + 4) και β�⃗ = (μ , κ − 9) με κ , μ ≠ 0 έχουν συντελεστές διεύθυνσης 2 και −3 αντίστοιχα . Να βρείτε : α. τις τιμές των κ και μ β. τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος γ�⃗ = 3α��⃗ − 2β�⃗ 130. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα α��⃗ = �√3 , 3� 131. Αν Α(7 , −1) , Β(4 , 2) να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα ΑΒ�����⃗ 132. Αν Α(3 , 0) , Β�0 , −√3� να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα ΑΒ�����⃗
  23. 23. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 23 133. Δίνεται το διάνυσμα α��⃗ = (λ , λ2 − 6) . Να βρείτε το λ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα α��⃗ να σχηματίζει γωνία 3π 4 με τον άξονα x’x . 134. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (λ , λ − 5) , β�⃗ = (λ − 3 , 6) για τα οποία ισχύει �α��⃗ + β�⃗� = √5 . α. Να δείξετε ότι λ = 1 β. Θεωρούμε επίσης το διάνυσμα γ�⃗ = 4α��⃗ + 3β�⃗ β1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x’x το διάνυσμα γ�⃗ β2. Να βρείτε το κ ∈ ℝ ώστε το διάνυσμα δ�⃗ = (κ , κ − 6) να είναι παράλληλο στο γ�⃗
  24. 24. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 24 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ = |𝛂𝛂��⃗| ∙ �𝛃𝛃��⃗� ∙ 𝛔𝛔𝛔𝛔𝛔𝛔�𝛂𝛂��⃗ , 𝛃𝛃��⃗� 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ = 𝐱𝐱𝟏𝟏 ∙ 𝐱𝐱𝟐𝟐 + 𝐲𝐲𝟏𝟏 ∙ 𝐲𝐲𝟐𝟐 Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α��⃗ και β�⃗ και το συμβολίζουμε με α��⃗ ∙ β�⃗ τον πραγματικό αριθμό : Ορισμός Εσωτερικού Γινομένου Αν α��⃗ = 0�⃗ ή β�⃗ = 0�⃗ τότε ορίζουμε α��⃗ ∙ β�⃗ = 0 − Άμεσες συνέπειες του ορισμού : α) α��⃗ ∙ β�⃗ = β�⃗ ∙ α��⃗ β) α��⃗ ⊥ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = 0 γ) α��⃗ ↑↑ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = |α��⃗| ∙ �β�⃗� δ) α��⃗ ↑↓ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = −|α��⃗| ∙ �β�⃗� ε) α��⃗2 = |α��⃗|2 αφού α��⃗2 = α��⃗ ∙ α��⃗ = |α��⃗| ∙ |α��⃗| ∙ συν(α��⃗ , α��⃗) = |α��⃗|2 ∙ 1 = |α��⃗|2 Θεωρούμε τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε : α��⃗ ∙ β�⃗ = x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου α) (𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗) ∙ 𝛃𝛃��⃗ = 𝛂𝛂��⃗ ∙ �𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗� = 𝛌𝛌�𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗� Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε : (λα��⃗) ∙ β�⃗ = (λx1 , λy1) ∙ (x2 , y2) = (λx1)x2 + (λy1)y2 = λ(x1x2 + y1y2) = λ�α��⃗ ∙ β�⃗� α��⃗ ∙ �λβ�⃗� = (x1 , y1) ∙ (λx2 , λy2) = x1(λx2) + y1(λy2) = λ(x1x2 + y1y2) = λ�α��⃗ ∙ β�⃗� Άρα (λα��⃗) ∙ β�⃗ = α��⃗ ∙ �λβ�⃗� = λ�α��⃗ ∙ β�⃗� 3. Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων
  25. 25. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 25 β) 𝛂𝛂��⃗ ∙ �𝛃𝛃��⃗ + 𝛄𝛄��⃗� = 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛃𝛃��⃗ + 𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛄𝛄��⃗ Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) , β�⃗ = (x2 , y2) και γ�⃗ = (x3 , y3) , τότε : α��⃗ ∙ �β�⃗ + γ�⃗� = (x1 , y1) ∙ (x2 + x3 , y2 + y3) = x1 ∙ (x2 + x3) + y1 ∙ (y2 + y3) = (x1x2 + x1x3) + (y1y2 + y1y3) = (x1x2 + y1y2) + (x1x3 + y1y3) = α��⃗ ∙ β�⃗ + α��⃗ ∙ γ�⃗ γ) 𝛂𝛂��⃗ ⊥ 𝛃𝛃��⃗ ⇔ 𝛌𝛌𝛂𝛂��⃗ ∙ 𝛌𝛌𝛃𝛃��⃗ = −𝟏𝟏 Έστω τα διανύσματα α��⃗ = (x1 , y1) και β�⃗ = (x2 , y2) , τότε : α��⃗ ⊥ β�⃗ ⇔ α��⃗ ∙ β�⃗ = 0 ⇔ (x1 , y1) ∙ (x2 , y2) = 0 ⇔ x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 = 0 ⇔ y1 ∙ y2 = −x1 ∙ x2 ⇔ y1 x1 ∙ y2 x2 = −1 ⇔ λα��⃗ ∙ λβ��⃗ = −1 .
  26. 26. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 26 Ασκήσεις 135. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 4 και �α��⃗ , β�⃗� � = 60° , τότε να βρείτε : α. α��⃗ ∙ β�⃗ β. β�⃗2 γ. 3α��⃗ ∙ �−4β�⃗� δ. 2α��⃗�3α��⃗ − 4β�⃗� ε. �2α��⃗ − β�⃗��3α��⃗ + 5β�⃗� 1. Εύρεση Εσωτερικού Γινομένου 136. Αν το διάνυσμα α��⃗ είναι μοναδιαίο , �β�⃗� = 2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 , τότε να βρείτε : α. α��⃗ ∙ β�⃗ β. �α��⃗ − 2β�⃗��α��⃗ − β�⃗� γ. �α��⃗ − 3β�⃗� 2 137. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗� � = π 6 , τότε να βρείτε : α. α��⃗ ∙ β�⃗ β. α��⃗2 + β�⃗2 γ. �α��⃗ + β�⃗� 2 δ. �2α��⃗ + 3β�⃗��4α��⃗ − 5β�⃗� 138. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν �β�⃗� = √12 , α��⃗ ∙ β�⃗ = −12 και �α��⃗ , β�⃗� � = 150° να βρείτε : α. το μέτρο του διανύσματος α��⃗ β. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ + β�⃗��α��⃗ − β�⃗� 139. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 4 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 και α��⃗ ∙ �α��⃗ + 2β�⃗� = 28 τότε να βρείτε : α. το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗ β. το μέτρο του διανύσματος β�⃗ γ. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ − 2β�⃗��2α��⃗ + β�⃗� 140. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗ στις παρακάτω περιπτώσεις : α. Αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα και |α��⃗| = 5 , �β�⃗� = 6 β. Αν τα διανύσματα είναι αντίρροπα και |α��⃗| = 8 , �β�⃗� = 3 141. Αν α��⃗ + β�⃗ + 2γ�⃗ = 0���⃗ και |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , |γ�⃗| = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ 142. Αν α��⃗ + β�⃗ + γ�⃗ = 0���⃗ και |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , |γ�⃗| = 3 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ + γ�⃗ ∙ α��⃗ 143. Αν α��⃗ + β�⃗ − 3γ�⃗ = 0���⃗ και 2|α��⃗| = �β�⃗� = 4|γ�⃗| = 4 τότε να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ + γ�⃗ ∙ α��⃗ 144. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ίση με 2 . Αν ΑΔ το ύψος του , να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα ΑΒ�����⃗ ∙ ΑΓ�����⃗ , ΑΒ�����⃗ ∙ ΒΓ����⃗ , ΑΔ�����⃗ ∙ ΑΓ�����⃗ και ΑΓ�����⃗ ∙ ΔΒ�����⃗
  27. 27. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 27 145. Αν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 6 , να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα v�⃗ = 3α��⃗ + λβ�⃗ και u�⃗ = 3α��⃗ − λβ�⃗ να είναι κάθετα . 2. Κάθετα Διανύσματα – Εύρεση Μέτρου Διανύσματος 146. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 . Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε να ισχύει �α��⃗ + λβ�⃗� ⊥ �α��⃗ − 4β�⃗� 147. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = √3 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 6 τότε να βρεθούν τα μέτρα �α��⃗ + β�⃗� , �α��⃗ − β�⃗� και �α��⃗ + 2β�⃗� 148. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 60° τότε : α. Αν τα διανύσματα 2α��⃗ + β�⃗ και κα��⃗ + β�⃗ είναι κάθετα , να βρείτε την τιμή του κ β. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 2α��⃗ + β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 149. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν 2|α��⃗| = �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 60° τότε : α. Να αποδείξετε ότι α��⃗ ∙ β�⃗ = 2 β. Να βρείτε το μέτρο των διανυσμάτων α��⃗ + β�⃗ και α��⃗ − β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 150. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = √2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 5π 6 και u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ τότε : α. Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα α��⃗ ∙ β�⃗ και α��⃗ ∙ u�⃗ β. Να βρείτε το μέτρο του u�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 151. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν 3|α��⃗| + �β�⃗� = 9 και 2|α��⃗| − �β�⃗� = 1 και �α��⃗ , β�⃗� � = 60° α. Να βρείτε τα μέτρα των α��⃗ , β�⃗ και το εσωτερικό γινόμενο α��⃗ ∙ β�⃗ β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u�⃗ = 2α��⃗ − 3β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 152. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗� � = 60° και γ�⃗ = κ 2 α��⃗ − β�⃗ και β�⃗ ∙ γ�⃗ = κ α. Να δείξετε ότι κ = −2 β. Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ�⃗ γ. Να δείξετε ότι τα διανύσματα 3α��⃗ + 2γ�⃗ και β�⃗ − γ�⃗ είναι κάθετα ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 153. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 και �3α��⃗ − 2β�⃗� = √13 , τότε να βρείτε το �β�⃗� 154. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = √8 , �β�⃗� = 3 και �α��⃗ , β�⃗� � = 45° , τότε να βρείτε το �3α��⃗ − 2β�⃗� 155. Αν |α��⃗| = 3 , �β�⃗� = 1 και �α��⃗ − β�⃗� = 2 τότε να βρείτε το μέτρο �α��⃗ − 2β�⃗� . 156. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 3 , �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 και �α��⃗ + 2β�⃗� = 7 α. Να αποδείξετε ότι �β�⃗� = 4 β. Να βρείτε το μέτρο �4α��⃗ + 3β�⃗� 157. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 4 και �4α��⃗ − β�⃗� = �α��⃗ − 2β�⃗� . α. Να αποδείξετε ότι α��⃗ ∙ β�⃗ = 3 β. Να βρείτε το μέτρο �3α��⃗ − 2β�⃗� 158. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 3β�⃗� και �α��⃗ − β�⃗� = 2 να βρείτε τα μέτρα |α��⃗| , �β�⃗�
  28. 28. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 28 159. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 , �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − β�⃗� και �3α��⃗ + 2β�⃗� = 7 , να βρείτε τα μέτρα |α��⃗| , �β�⃗� 160. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 4β�⃗� και �2α��⃗ + 3β�⃗� = 5 . α. Να αποδείξετε ότι |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1 β. Να βρείτε το μέτρο �3α��⃗ + 8β�⃗� 161. Αν για τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ ισχύουν α��⃗ ⊥ β�⃗ , �α��⃗ + 2β�⃗� ⊥ �α��⃗ − 3β�⃗� και |α��⃗| = √6 . Να δείξετε ότι �2α��⃗ − β�⃗� = 5 162. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗� � = 60° . Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = α��⃗ − β�⃗ και ΒΓ����⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ . Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ . 163. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 3 και �α��⃗ , β�⃗� � = 60° . Θεωρούμε και τρίγωνο ΑΒΓ με ΓΑ����⃗ = α��⃗ − 4β�⃗ και ΓΒ����⃗ = 4α��⃗ − 6β�⃗ , για το οποίο ισχύει �ΑΒ�����⃗� = √91 α. Να αποδείξετε ότι �β�⃗� = 5 β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ 164. Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ που κατασκευάζεται με τα διανύσματα 3α��⃗ + 2β�⃗ και α��⃗ − β�⃗ αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = √2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 135° . 165. Να αποδείξετε ότι �α��⃗ + β�⃗� 2 + �α��⃗ − β�⃗� 2 = 2|α��⃗|2 + 2�β�⃗� 2 166. Αν ισχύει |α��⃗| = �β�⃗� = �α��⃗ + β�⃗� τότε να αποδείξετε ότι �α��⃗ − β�⃗� = |α��⃗| ∙ √3 . 167. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 . Να βρείτε διάνυσμα x�⃗ ώστε να ισχύουν x�⃗ ∥ �α��⃗ + β�⃗� και β�⃗ ⊥ ( α��⃗ + x�⃗ ) . 168. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 . Να βρείτε διάνυσμα x�⃗ ώστε να ισχύουν x�⃗ ∥ �α��⃗ − β�⃗� και α��⃗ ⊥ ( β�⃗ + x�⃗ ) . 169. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 , α��⃗ ⊥ β�⃗ και u�⃗ = 3α��⃗ + 2β�⃗ , να βρείτε την γωνία �α��⃗ , u�⃗� � 3. Γωνία Δύο Διανυσμάτων 170. Αν |α��⃗| = √2 , �β�⃗� = 1 και �2α��⃗ + β�⃗� ⊥ �3α��⃗ − 5β�⃗� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� � 171. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 2√2 και �α��⃗ , β�⃗� � = 45° , να βρείτε τη γωνία �β�⃗ − α��⃗ , α��⃗ � � 172. Αν |α��⃗| = 5 , �β�⃗� = 3 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 , να βρείτε τη γωνία �α��⃗ + β�⃗ , α��⃗ − β�⃗� � 173. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 , �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 και δ�⃗ = 3α��⃗ + 2β�⃗ , να βρείτε την γωνία �β�⃗ , δ�⃗� � 174. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �β�⃗� = 2|α��⃗| . Αν α��⃗ ⊥ �α��⃗ − β�⃗� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� �
  29. 29. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 29 175. Αν |α��⃗| = 1 , �α��⃗ , β�⃗� � = 60° και �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �5α��⃗ − 2β�⃗� α. Να βρείτε το μέτρο του β�⃗ β. Αν γ�⃗ = −2α��⃗ + β�⃗ να βρείτε τη γωνία φ� = �α��⃗ , γ�⃗� � 176. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 και u�⃗ = 2α��⃗ + 3β���⃗ και v�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗ . Να βρείτε το συν�u�⃗ , v�⃗� � 177. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗� � = 2π 3 και u�⃗ = 2α��⃗ + β���⃗ και v�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗ . Να βρείτε το συν�u�⃗ , v�⃗� � 178. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 5 και �α��⃗ − 2β�⃗� ∙ �α��⃗ + β�⃗� = −46 . α. Να βρείτε το συν�α��⃗ , β�⃗� � β. Θεωρούμε τα διανύσματα v�⃗ = 3α��⃗ + β�⃗ και u�⃗ = α��⃗ − β���⃗. Να βρείτε τη γωνία �u�⃗ , v�⃗� � 179. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 3 και �3α��⃗ + 7β�⃗� ⊥ �6α��⃗ + β�⃗� . α. Να βρείτε τη γωνία των α��⃗ , β�⃗ β. Θεωρούμε το διάνυσμα γ�⃗ = λα��⃗ + β�⃗ το οποίο είναι κάθετο στο β�⃗ . Να βρείτε : β1. την τιμή του λ β2. το μέτρο του διανύσματος γ�⃗ β3. τη γωνία των διανυσμάτων α��⃗ και γ�⃗ 180. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �α��⃗ , β�⃗� � = 60° . Θεωρούμε επίσης το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ�����⃗ = 4α��⃗ + β�⃗ και ΑΔ�����⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ με (ΑΓ) = 6 και ισχύει ΑΓ�����⃗ ∙ ΔΒ�����⃗ = 36 . α. Να αποδείξετε ότι |α��⃗| = 1 και �β�⃗� = 4 . β. Να βρείτε το μήκος της διαγωνίου ΔΒ . γ. Να βρείτε την περίμετρο του ΑΒΓΔ δ. Να βρείτε τη γωνία Α� του ΑΒΓΔ . 181. Αν τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ , γ�⃗ είναι μοναδιαία και ισχύει α��⃗ ∙ β�⃗ + β�⃗ ∙ γ�⃗ = 2 να δείξετε ότι α��⃗ = β�⃗ = γ�⃗ 182. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με �β�⃗� = 2|α��⃗| = 4 και α��⃗ ∙ β�⃗ = −8 . α. Να βρείτε τη γωνία των α��⃗ , β�⃗ β. Να δείξετε ότι β�⃗ + 2α��⃗ = 0�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 183. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ και u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ , v�⃗ = 5α��⃗ − 4β�⃗ και u�⃗ ⊥ v�⃗ και |α��⃗| = �β�⃗� = 1 . Να δείξετε ότι : α. α��⃗ ∙ β�⃗ = 1 2 β. τα διανύσματα u�⃗ − 3v�⃗ και α��⃗ − β�⃗ είναι αντίρροπα και |u�⃗ − 3v�⃗ | = 14 ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 184. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο στις παρακάτω περιπτώσεις : α. α��⃗ ∙ β�⃗ αν α��⃗ = (2 , −3) και β�⃗ = (4 , 5) β. ΑΒ�����⃗ ∙ ΓΔ����⃗ αν Α(3 , 1) , Β(2 , −5) , Γ(−4 , 3) , Δ(−1 , −2) 4. Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου 185. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2 , λ) και β�⃗ = (λ − 8 , 1) για τα οποία ισχύει α��⃗ ∙ β�⃗ = −1 . Να βρείτε : α. τον πραγματικό αριθμό λ β. το εσωτερικό γινόμενο �α��⃗ − 2β�⃗� ∙ �α��⃗ + β�⃗� 186. Να βρεθούν οι τιμές του λ ∈ ℝ ώστε τα διανύσματα α��⃗ = (λ − 3 , 4λ − 1) και β�⃗ = (−3λ + 9 , λ − 3) να είναι κάθετα .
  30. 30. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 30 187. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (2x − 1 , x + 1) και β�⃗ = (x + 1 , 2x + 3) . Να βρεθεί το x ∈ ℝ ώστε τα διανύσματα να είναι κάθετα . 188. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (−1 , 3) και β�⃗ = �−2 , − 1 2 � α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος u�⃗ = α��⃗ − 2β�⃗ β. Να βρείτε τον θετικό αριθμό x για τον οποίο τα διανύσματα u�⃗ και v�⃗ = (x2 , x − 1) είναι κάθετα ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 189. Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ = (κ2 − 6κ + 9 , κ − 3) και ΑΓ�����⃗ = (1 , 6) α. Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε τα διανύσματα ΑΒ�����⃗ και ΑΓ�����⃗ να είναι κάθετα . β. Για κ = 1 να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΓ����⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 190. Δίνονται τα σημεία Α(3 , 2) , Β(7 , −4). Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x’x ώστε ΑΜΒ� = 90° 191. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , λ) και β�⃗ = (−3 , 4 − λ) για τα οποία ισχύουν �α��⃗ + β�⃗� ⊥ �13α��⃗ + 3β�⃗� . α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ β. Να βρείτε για ποια τιμή του πραγματικού αριθμού μ , το διάνυσμα γ�⃗ = 5α��⃗ + 2β�⃗ είναι κάθετο στο δ�⃗ = (μ , μ − 8) 192. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(−1 , 4) , Β(−2 , −1) και Γ(5 , 7) . Θεωρούμε σημείο Μ ώστε να ισχύει ΜΓ������⃗ = 2ΒΜ������⃗ α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ β. Να αποδείξετε ότι ΑΜ������⃗ ⊥ ΒΓ����⃗ γ. Να βρείτε σημείο Κ του άξονα x’x ώστε να ισχύει ΑΝ�����⃗ ⊥ ΑΒ�����⃗ 193. Αν α��⃗ = �3 , √3� και β�⃗ = �√3 , −1� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� � 194. Αν α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (7 , − 1) να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� � 195. Αν α��⃗ = (0 , 2) και β�⃗ = �−√3 , 1� να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� � 196. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , −7) και β�⃗ = (−3 , λ) . Αν �α��⃗ , β�⃗� � = 135° , να βρείτε το λ . 197. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1 , 2) , Β(−2 , 1) και Γ(3 , 6) . Να βρείτε τη γωνία Α . 198. Αν Α(4 , 1) , Β(8 , 2) και Γ(1 , 3) , να δείξετε ότι η γωνία των ΑΒ�����⃗ , ΑΓ�����⃗ είναι αμβλεία . 199. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ�����⃗ = (−4 , −6) και ΑΓ�����⃗ = (2 , −8) . α. Να βρείτε τις συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ������⃗ β. Να δείξετε ότι η γωνία Α είναι οξεία γ. Αν Α(3 , 1) να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 200. Θεωρούμε τα σημεία Α , Β , Γ για τα οποία ισχύουν ΑΒ�����⃗ = (−1 , 4) και ΑΓ�����⃗ = (3 , 6) . α. Να αποδείξετε ότι σχηματίζουν τρίγωνο και να βρείτε αν η γωνία Α του τριγώνου είναι οξεία ή αμβλεία . β. Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 201. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(λ − 1 , −1) , Β(λ , 2) και Γ(7 , −λ) . Αν ισχύει ΑΒ�����⃗ ∙ ΒΓ����⃗ = −15 , να βρείτε : α. τον πραγματικό αριθμό λ β. τη γωνία Β� του τριγώνου ΑΒΓ 202. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με 2α��⃗ + β�⃗ = (7 , −1) και 3α��⃗ − β�⃗ = (8 , −19) . Να βρείτε : α. τις συντεταγμένες των α��⃗ , β�⃗ β. τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� �
  31. 31. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 31 5. Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα 203. Αν α��⃗ = (2 , 3) και β�⃗ = (−1 , 4) , να βρείτε την προβολή του α��⃗ πάνω στο β�⃗ 204. Αν α��⃗ = (1 , 3) και β�⃗ = (9 , 7) , να βρείτε την προβολή του β�⃗ πάνω στο α��⃗ 205. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 1 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 να βρείτε την προβολή του β�⃗ πάνω στο α��⃗ 206. Αν |α��⃗| = 1 , �β�⃗� = 2 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 να βρείτε την προβολή του v�⃗ = 2α��⃗ − β�⃗ πάνω στο α��⃗ 207. Αν τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ είναι μοναδιαία και κάθετα , να βρείτε την προβολή του διανύσματος v�⃗ = α��⃗ − β�⃗ πάνω στο u�⃗ = α��⃗ + 2β�⃗ 208. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1 , −3) , Β(−3 , 0) και Γ(4 , 4) . Αν ΑΔ το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ , τότε να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΔ�����⃗ 209. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (−8 , 6) α. Να δείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων α��⃗ , β�⃗ είναι αμβλεία β. Να βρείτε το μήκος της προβολής του β�⃗ πάνω στο α��⃗ 210. Αν α��⃗ = (4 , 3) και β�⃗ = (−1 , −3) , να υπολογίσετε το μέτρο �προβα��⃗ �2α��⃗ − β�⃗�� 211. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ = (1 , 7) και β�⃗ = (2 , 4) α. Να βρείτε την προβολή του α��⃗ πάνω στο β�⃗ β. Να αναλύσετε το διάνυσμα α��⃗ σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο β�⃗ ( ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ) 212. Να αναλύσετε το διάνυσμα δ�⃗ = (1 , 5) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α��⃗ = (1 , −1) 213. Να αναλύσετε το διάνυσμα β�⃗ = (1 , 2) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α��⃗ = (−1 , 1) 214. Αν |α��⃗| = 2 , �β�⃗� = 8 , �α��⃗ , β�⃗� � = π 3 και προβα��⃗ �x ∙ α��⃗ + β�⃗� = 5 ∙ α��⃗ , να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x . 215. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με προββ��⃗ α��⃗ = 2 3 β�⃗ και προβα��⃗ β�⃗ = 3 4 α��⃗ . α. Να δείξετε ότι |α��⃗| = 2√2 3 �β�⃗� β. Να βρείτε τη γωνία �α��⃗ , β�⃗� � 216. Δίνονται τα διανύσματα α��⃗ , β�⃗ με 2α��⃗ + 3β�⃗ = (4 , −2) και α��⃗ − 3β�⃗ = (−7 , 8) . α. Να βρείτε τις συντεταγμένες των α��⃗ , β�⃗ β. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ αν ισχύει �κα��⃗ + β�⃗� ⊥ �2α��⃗ + 3β�⃗� γ. Να αναλύσετε το διάνυσμα γ�⃗ = (3 , −1) σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο α��⃗ = (−1 , 2) .
  32. 32. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 32 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x , y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C , όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C και μόνο αυτές , την επαληθεύουν . Εξίσωση Γραμμής Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και (ε) μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο Α . Γωνία Ευθείας με τον άξονα x’x Παρατηρήσεις 1) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς τον άξονα x’x τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτόν γωνία ω = 0° 2) Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει 0° ≤ ω < 180° ή 0 ≤ ω < 𝜋𝜋 3) Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη στον άξονα y’y τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτό γωνία 90° Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας 1) Αν ω = 0° , δηλαδή η (ε) ∥ x′x τότε η (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0 . 2) Αν ω = π 2 , δηλαδή η (ε) ⊥ x′x τότε δεν ορίζουμε συντελεστή διεύθυνσης για την (ε) . 3) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι θετικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x’x είναι οξεία . 4) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι αρνητικός αν η γωνία που σχηματίζει με τον x’x είναι αμβλεία . Συντελεστής Διεύθυνσης Γωνία με τον άξονα x’x λ > 0 0° < 𝜔𝜔 < 90° λ < 0 90° < 𝜔𝜔 < 180° λ= 0 ω = 0° Τη γωνία ω που διαγράφει ο άξονας x’x όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ευθεία (ε) τη λέμε γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x’x . Ως συντελεστή διεύθυνσης ευθείας ή κλίση ευθείας ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x’x . Δηλαδή 𝛌𝛌𝛆𝛆 = 𝛆𝛆𝛆𝛆𝛚𝛚�
  33. 33. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 33 Έστω διάνυσμα δ�⃗ παράλληλο σε μια ευθεία (ε) . Αν φ και ω οι γωνίες είναι οι γωνίες που σχηματίζουν το δ�⃗ και η (ε) με τον άξονα x’x , τότε θα ισχύει : φ = ω ή φ = π + ω . Τότεεφφ = εφω ή εφφ = εφ(π + ω) = εφω . Δηλαδή σε κάθε περίπτωση λδ��⃗ = λε . Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας Παράλληλης σε Διάνυσμα Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) με x1 ≠ x2 είναι : Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία Πράγματι : Είναι ΑΒ�����⃗ ∥ ε ⇔ λε = λΑΒ������⃗ ⇔ λε = y2 − y1 x2− x1 Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε1 , ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 , λ2 αντίστοιχα , τότε ισχύει : Συνθήκη Παραλληλίας Ευθειών Αν δύο ευθείες του επιπέδου ε1 , ε2 έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 , λ2 αντίστοιχα , τότε ισχύει : Συνθήκη Καθετότητας Ευθειών Όταν μια ευθεία και ένα διάνυσμα είναι παράλληλα , έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης . 𝛌𝛌 = 𝐲𝐲𝟐𝟐 − 𝐲𝐲𝟏𝟏 𝐱𝐱𝟐𝟐 − 𝐱𝐱𝟏𝟏 𝛆𝛆𝟏𝟏 ∥ 𝛆𝛆𝟐𝟐 ⇔ 𝛌𝛌𝟏𝟏 = 𝛌𝛌𝟐𝟐 𝛆𝛆𝟏𝟏 ⊥ 𝛆𝛆𝟐𝟐 ⇔ 𝛌𝛌𝟏𝟏 ∙ 𝛌𝛌𝟐𝟐 = −𝟏𝟏
  34. 34. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 34 Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α( x0 , y0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : Εξίσωση Ευθείας Θεωρούμε ένα σημείο M(x , y) της (ε) διαφορετικό του Α( x0 , y0) Τότε το διάνυσμα ΑΜ������⃗ είναι παράλληλο στην (ε) , άρα θα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης . Οι συντεταγμένες του ΑΜ������⃗ = (x − x0 , y − y0) άρα λΑΜ�������⃗ = y − y0 x − x0 Οπότε : λ = λΑΜ�������⃗ ⇔ λ = y − y0 x − x0 ⇔ y − y0 = λ(x − x0) . Α) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) είναι y − y0 = y2 − y1 x2− x1 (x − x0) αφού λε = y2 − y1 x2− x1 Ειδικές περιπτώσεις Ευθειών Β) Η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Α(0 , β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : Πράγματι : Είναι y − yΑ = λ(x − xΑ) ⇔ y − β = λ(x − 0) ⇔ y − β = λ ∙ x ⇔ y = λ ∙ x + β (ε) : 𝐲𝐲 − 𝐲𝐲𝟎𝟎 = 𝛌𝛌 ∙ (𝐱𝐱 − 𝐱𝐱𝟎𝟎) 𝐲𝐲 = 𝛌𝛌 ∙ 𝐱𝐱 + 𝛃𝛃
  35. 35. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 35 Γ) Οριζόντια Ευθεία Η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στον άξονα x’x και διέρχεται από το σημείο Α( x0 , y0 ) είναι : Πράγματι : Αφού (ε) ∥ x′x τότε θα είναι λ=0 , άρα : y − y0 = λ(x − x0) ⇔ y − y0 = 0 ∙ (x − x0) ⇔ y − y0 = 0 ⇔ y = y0 Δ) Η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στον άξονα x’x και διέρχεται από το σημείο Α( x0 , y0 ) είναι : Κατακόρυφη Ευθεία − Στην περίπτωση αυτή δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Ε) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι : Ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Πράγματι : Αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων το Ο(0 , 0) τότε : y − y0 = λ(x − x0) ⇔ y − 0 = λ ∙ (x − 0) ⇔ y = λ ∙ x . 𝐲𝐲 = 𝐲𝐲𝟎𝟎 𝐱𝐱 = 𝐱𝐱𝟎𝟎 𝐲𝐲 = 𝛌𝛌 ∙ 𝐱𝐱
  36. 36. ΝΙΚΟΣ Κ. ΡΑΠΤΗΣ Σελίδα 36 Ζ) Η διχοτόμος των γωνιών xO�y και x′O�y′ έχει εξίσωση : Διχοτόμος της 1ης και 3ης Γωνίας των Αξόνων Πράγματι : Αφού η ευθεία διχοτομεί την 1η γωνία του άξονα , τότε θα σχηματίζει γωνία 45° με τους άξονες , άρα λ = εφ45° = 1 . Οπότε : y = λ ∙ x ⇔ y = x H) Η διχοτόμος των γωνιών x′O�y και xO�y′ έχει εξίσωση : Διχοτόμος της 2ης και 4ης γωνίας των αξόνων Πράγματι : Αφού η ευθεία διχοτομεί την 2η γωνία του άξονα , τότε θα σχηματίζει γωνία 135° με τους άξονες , άρα λ = εφ135° = −1 . Οπότε : y = λ ∙ x ⇔ y = − x . Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας ΟΡΘΟ : Α) Αν η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα y’y στο σημείο Α(0 , β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ τότε θα έχει εξίσωση : y = λ ∙ x + β ⇔ λ ∙ x + (−1)y + β = 0 Άρα για Α = λ , Β = −1 , Γ = β η ευθεία γράφεται στην μορφή A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 με Β = −1 ≠ 0 . Θα αποδείξουμε ότι κάθε ευθεία έχει εξίσωση της μορφής (1). Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις : 𝐲𝐲 = 𝐱𝐱 𝐲𝐲 = − 𝐱𝐱 Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής A ∙ x + B ∙ y + Γ = 0 με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0 (1) και αντιστρόφως , κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή .

×