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                                     DEVOIR DE CONTROTE    NO2




  Exercice no L (3 points)
  On considère la fonction f définie par     :

  -/       xz+x+b
      -' *,- ;
  l)lx)                      a. b deux réels

t 1) Trouvera etb sachant que            :


 lim/(x) : 1 et f admet un extremum en 2
  x-++Ço


    *   Dresser le tableau O" rfuiution de       f
  Exercice 2 (6 points)




 Dans la figure ci-;qgrte, (O,î,n est un repère orthonormé direct, I est le demi cercle
 trigonométrique AA' et C est la courbe représentative d'une fonction f définie sur
 [-1,1]
     1) a) Déterminer graphiquement :
                    (x)
            lrfil f
           x-+-7* X + 
                   (x)
           lrm f-
           x-+L-X-l
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                  8f {x)   -   3rE
           lim
          xa-21      8x*4

                                                                                          i1i
b) Déterminer une approximation affine de f             ( -0,4999)
           /      c) Dresser le tableau de variation de f.

         / rl     Prouver que f est d'équation : y --      ,{1:æ
     /       3)   Soit M un point de I privé de A et A', d'abscisse x. On désigne par H le projeté
'/                orthogonal de M sur (OA) et par A(x) l'aire du triangie AMH
                  Montrer que A(x):1t,       - x)lT - x'
     ,^, P 4) Sachant que (x):A(x) pour xe]-1,1[
 fi)           Déterminer les coordonnées cartésiennes puis polaires du point Ms de           I   pour
  r'           que l'aire du triangle (AM0H0 ) soit maximale.
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                . Exercice no 3 (4 points)
            1) Montrer par récurrence que pour tout neN             : ÿ
                32n+1 + 2x 43n+t est divisible par 11
            2) x, y deux entiers naturels.
                On considère l'équation (E) : 3x- 4y:14.
                a) Vérifier (6 ; 1) est uhe solution de l'équation (E).
                U)                    les couples (x;-v) d'.ïti"r. out*.t. rolutions de (E).
         @          ?etenniàrarors
         Exercice rc 4 : (3,5 poinis)
         Soit A(x) : cos4x + 2cos2x + 1 ; xeR.
            1) a) Vérifier que A(xf 2cos2 2x+ Zcas2x
                b) Résoudre alors dans iR puis dans I-:,:l l'équation A(x):O
             2) soitB(x):    #ffi;
                             par
                                                       xeiR
                  On désigne    E l'ensemble des réels x pour lesquels B(x) est définie
                  a) Déterminer E
             y'q  J
                       Montrer que pour xeE,     B(x)-    1


                  c)   Résoudre dansl-   Tr,!l   l'ioéquation   :

                                                          B(x) < 2sin x
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         A de coordonnées polaires       (2,a); u€        t0,il
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             1) a) Déterminer en fonction de a les coordonnées cartésiennes des points A et B
                b) En déduire que C est de coordonnées (2cos a-cos 3a ;2sin a-sin 3a)
                a) Déterminer a pour que les points O, A et B soient alignés
                b) Montrer que OË. Od:2cos 2q-1
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Dc2 3eme math

  • 1. ------_-l Lycée Pilote Bourguiba 3é*" année Maths 3,4, 5 Mme MILI Tunis Mme CHEIKHROUHOU Mme GAALOUL 0s102t20t3 DEVOIR DE CONTROTE NO2 Exercice no L (3 points) On considère la fonction f définie par : -/ xz+x+b -' *,- ; l)lx) a. b deux réels t 1) Trouvera etb sachant que : lim/(x) : 1 et f admet un extremum en 2 x-++Ço * Dresser le tableau O" rfuiution de f Exercice 2 (6 points) Dans la figure ci-;qgrte, (O,î,n est un repère orthonormé direct, I est le demi cercle trigonométrique AA' et C est la courbe représentative d'une fonction f définie sur [-1,1] 1) a) Déterminer graphiquement : (x) lrfil f x-+-7* X + (x) lrm f- x-+L-X-l -ô 8f {x) - 3rE lim xa-21 8x*4 i1i
  • 2. b) Déterminer une approximation affine de f ( -0,4999) / c) Dresser le tableau de variation de f. / rl Prouver que f est d'équation : y -- ,{1:æ / 3) Soit M un point de I privé de A et A', d'abscisse x. On désigne par H le projeté '/ orthogonal de M sur (OA) et par A(x) l'aire du triangie AMH Montrer que A(x):1t, - x)lT - x' ,^, P 4) Sachant que (x):A(x) pour xe]-1,1[ fi) Déterminer les coordonnées cartésiennes puis polaires du point Ms de I pour r' que l'aire du triangle (AM0H0 ) soit maximale. Quetle est cette.aire ? . Exercice no 3 (4 points) 1) Montrer par récurrence que pour tout neN : ÿ 32n+1 + 2x 43n+t est divisible par 11 2) x, y deux entiers naturels. On considère l'équation (E) : 3x- 4y:14. a) Vérifier (6 ; 1) est uhe solution de l'équation (E). U) les couples (x;-v) d'.ïti"r. out*.t. rolutions de (E). @ ?etenniàrarors Exercice rc 4 : (3,5 poinis) Soit A(x) : cos4x + 2cos2x + 1 ; xeR. 1) a) Vérifier que A(xf 2cos2 2x+ Zcas2x b) Résoudre alors dans iR puis dans I-:,:l l'équation A(x):O 2) soitB(x): #ffi; par xeiR On désigne E l'ensemble des réels x pour lesquels B(x) est définie a) Déterminer E y'q J Montrer que pour xeE, B(x)- 1 c) Résoudre dansl- Tr,!l l'ioéquation : B(x) < 2sin x Exercice no 5 . (3,5 points) Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O,î,i) On considère les points A, B et C tels que : A de coordonnées polaires (2,a); u€ t0,il B le point du cercle trigonométrique avec (OÂ,0Ë)= 2al2r) îC gô et - 1) a) Déterminer en fonction de a les coordonnées cartésiennes des points A et B b) En déduire que C est de coordonnées (2cos a-cos 3a ;2sin a-sin 3a) a) Déterminer a pour que les points O, A et B soient alignés b) Montrer que OË. Od:2cos 2q-1 c) Déterminer alors d pour que ACOB soit un rectangle puis le construire