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UNIDAD 3 3.1.- Análisis Nodal      Circuitos que contienen solo fuentes independientes de       Corriente.      Circuito...
Análisis NodalDebemos considerar los siguientes aspectos:1.- En el análisis nodal las variables de los circuitos se eligen...
7.- De preferencia la respuesta deberá presentarse de forma matricial:                                  GV        I       ...
Ejemplo # 1:          CON SOLO FUENTES INDEPENDIENTES DE CORRIENTE         V1        N1       I2        N2                ...
LCK N2:          I2        Ib        I3               Ib        I3    I2Ohm :          I GV          I 3 G3 (V2           ...
Ejemplo # 2:                 1                                         N 2 CON FUENTES CONTROLADAS DE CORRIENTE           ...
2(3V2 )       12V1   6V1   6V2  0 18V1         6V2   6V2  0 18V1 12V2                                  1LCK N2:           ...
Método para escribir en forma directa las ecuaciones en el análisisnodal.   Una vez identificado los nodos principales y e...
3.- Cuando entre dos nodos activos (ninguno de los dos es tierra) se encuentra una    fuente de voltaje (independiente ó c...
Por cada par de nodos activos vamos a tener siempre dos términos propios (es decir consigno positivo).4.- Para el literal ...
Nodo 2:      0 I b V2 (G2 G3 ) V1 (G2 )        I b V1 ( G2 ) V2 (G2 G3 )Del Ejemplo # 2:Nodo 1:             2I 0    V1 (6k...
Ejemplo # 3.                              120 A               1                              3          1            1    ...
Ejemplo # 3.                                                         1  20 A                             1                ...
Nodo 3    30 V3 (2 1) V1 (1)                                       4     0    1   0  V1   20    30 3V3 V1                 ...
b) Potencia en las fuentes independientes.     Vf 1      V2   V1              P20 A     5.358 (20)     Vf 1      2.631 ( 2...
V1                                                                  Ejemplo # 4.               2k                      12V...
Nodo 2             Súper Nodo 2 V2       6V        3)Nodo 4             Súper Nodo 3 V4   12V      1    0             1   ...
Vc                                                 Ejemplo # 5.                        2         V1   2                   ...
Iba)       VC                         Ia                               2                    2               If            ...
Nodo C           SN 2 VC   10V        4)       5          2     2      2  VA       0            V A 1.81V       3         ...
EJERCICIO # 18                            IX                        3          2                                       VX ...
VA                                      IXIA                      3                  2             VB                     ...
Nodo C y Tierra                SN 2                Nodo D                                                   30 VD (2 3 5) ...
P2Vx      2V X ( I f 1 )            P2 Ix     2I X (I f 2 )   LCK Nodo B                            LCK Nodo C           I...
Análisis de MallaUtiliza la LVK para determinar las corrientes en el circuito y una vez que seconocen estas, se puede util...
Malla 1                                                    Malla 2   LVK:                                                 ...
En forma matricial:                     R I         V       Matriz         Vector Columna      Vector Columna             ...
En forma DirectaUna vez asignadas las corrientes a las mallas se plantean en cada una de las  ecuaciones de voltaje de acu...
Del problema anterior:V1     I1 ( R1      R2        R3 )   I 2 ( R3 )       R1   R2 R3         R3     I1   V1  V2     I 2 ...
Ejemplo # 6:             R3                        R4                                                      R5   R1        ...
R2              R1         V1             Ejemplo # 7:                           R4        I2         R5     3A          I...
2                       5Ejm:                                 20 A                                                        ...
a) Matriz Resistencia                                              SOLUCION Ejercicio 19:            9      4     2 I1   1...
Ejercicio 20:Ejm:         2                              4                       Ix 140V             I1                   ...
SM1                                                            SOLUCION Ejercicio 20Malla 1, Malla 3 y Malla 4 Ecuaciones ...
P2Vx     V f 1 (2V X )     LVK:             140 2 I1 V f 1 3I1 3I 2              0             V f 1 140 5I1 3I 2P2Vx     ...
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  1. 1. UNIDAD 3 3.1.- Análisis Nodal  Circuitos que contienen solo fuentes independientes de Corriente.  Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente.  Circuitos que contienen solo fuentes independientes de Voltaje.  Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje. 3.2.- Análisis de Malla.  Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente.  Circuitos que contienen solo fuentes independientes de Voltaje.  Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.  Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.
  2. 2. Análisis NodalDebemos considerar los siguientes aspectos:1.- En el análisis nodal las variables de los circuitos se eligen como voltajes de losnodos.2.- Los voltajes de los nodos se definen con respecto a un punto común en elcircuito.3.- Un nodo se selecciona como referencia y con frecuencia este nodo es aquel alque está conectado el mayor número de ramas y se denomina tierra debido a quesu potencial es igual a cero y algunas veces es el chasis en el circuito práctico.4.- Seleccionaremos nuestras variables( voltajes en los nodos) como positivas conrespecto al nodo de referencia.5.- Es recomendable que los elementos pasivos tengan como unidades el siemens(conductancia).6.- Cuando se conoce los voltajes de los nodos podemos calcular inmediatamentecualquier corriente en una rama y la potencia suministrada o absorbida porcualquier elemento.
  3. 3. 7.- De preferencia la respuesta deberá presentarse de forma matricial: GV I Vector Vector_ Columna Matriz Columna de _ las _ fuentes_ Conduc tan cia Variables de _ corriente del _ mètodo8.- Si en el circuito existiera solamente fuentes independientes de corrientedebemos entonces observar que la matriz conductancia es simétrica a la diagonalprincipal. Basta con la presencia de fuentes de voltaje sean estas independientes ocontroladas, o la presencia de fuentes controladas de corriente en el circuito paraque en la matriz conductancia se pierda la simetría con respecto a la diagonalprincipal.
  4. 4. Ejemplo # 1: CON SOLO FUENTES INDEPENDIENTES DE CORRIENTE V1 N1 I2 N2 V2 G2 EXPRESE LA RESPUESTA EN FORMA MARICIAL I1 I3 # de ecuaciones que se encuentran: Ia G1 Ib G3 n – 1=3-1, donde n es el número de nodos en total. V3 n – 1 =2 En cada ecuación debemos usar LCK, LVK LCK N1: Ia I1 I2 Ohm : I GV I2 G2 (V1 V2 ) I 1 G1 (V1 V3 ) I2 G2V1 G2V2 I1 G1V1 Ia G1V1 G 2 V1 G 2 V2 Ia V1 (G1 G 2 ) V2 (G 2 ) 1
  5. 5. LCK N2: I2 Ib I3 Ib I3 I2Ohm : I GV I 3 G3 (V2 V3 ) I3 G3V2 Ib G3V2 G2V1 G2V2 I b V1 ( G2 ) V2 (G2 G3 ) 2 G1 G2 G2 V1 Ia G2 G2 G3 V2 Ib
  6. 6. Ejemplo # 2: 1 N 2 CON FUENTES CONTROLADAS DE CORRIENTE k N1 6 1 2I 0 12 k 1 k 2mA 3 I0 6k N1 N2 V1 V2 LCK N1: 2I I I 0 0 1 2 I1 I2 2I 0 I1 I2 2I 0 12k 3k 2mA Ohm: I0 I 1 12V1 N3 V3 I2 6V1 6V2 I0 3V2
  7. 7. 2(3V2 ) 12V1 6V1 6V2 0 18V1 6V2 6V2 0 18V1 12V2 1LCK N2: I2 2 I0 2 I0 I2 2 3V2 6V1 6V2 2 V1 ( 6) 9V2 2 18 12 V1 0 6 9 V2 2
  8. 8. Método para escribir en forma directa las ecuaciones en el análisisnodal. Una vez identificado los nodos principales y escogido el nodo de referencia, se escriben las ecuaciones en cada uno de los nodos principales con excepción del nodo de referencia de la siguiente forma:1.- De un lado de la ecuación la suma algebraica de las fuentes de corriente (independiente ó controlada) conectadas al nodo en que estamos trabajando respetando el signo de aquellas que estén dirigidas hacia el nodo y cambiándole el signo a aquellas que se estén alejando del nodo.2.- Del otro lado de la ecuación vamos a distinguir dos clases de términos: a) El término llamado propio o mutuo que es igual al producto de la tensión asignada al nodo en que estamos trabajando por la suma de las conductancias de los ramales conectados a dicho nodo. Este término lleva signo positivo. b) Los términos llamados neutros que son iguales al producto de la tensión asignada al otro nodo (adyacente) por la conductancia del ramal que une directamente al nodo en que estamos trabajando y al nodo adyacente. Estos términos llevan el signo negativo.
  9. 9. 3.- Cuando entre dos nodos activos (ninguno de los dos es tierra) se encuentra una fuente de voltaje (independiente ó controlada), se forma lo que se conoce con el nombre de súper nodo que para este caso específico se necesitan dos ecuaciones para resolverlo. a) Ecuación del súper nodo V2 V4 3VX V4 V5 3V X VX f (de _ las _ var iables _ del método) 10V 10 V2 V3 V3 V5 b) Ecuación Auxiliar Se obtiene haciendo cero a la fuente de voltaje es decir cortocircuitándola y luego se procede a seguir lo que está escrito en los literales 1, 2 de este procedimiento. V2 V5 3V X 10V V4 V3
  10. 10. Por cada par de nodos activos vamos a tener siempre dos términos propios (es decir consigno positivo).4.- Para el literal anterior cuando uno de los nodos es tierra sólo va a existir la ecuacióndel súper nodo. V2 V5 3V X 3V X V5 10V V2 10 V VX=f(variables del método)Ejemplo # 1: Término propioNodo 1: Ia V1 (G1 G 2 ) V2 (G 2 ) Término Neutro Ia V1 (G1 G2 ) V2 (G2 )
  11. 11. Nodo 2: 0 I b V2 (G2 G3 ) V1 (G2 ) I b V1 ( G2 ) V2 (G2 G3 )Del Ejemplo # 2:Nodo 1: 2I 0 V1 (6k 12k ) V2 (6k ) pero : I 0 3V2 2(3V2 ) 18V1 6V2 0 18V1 12V2Nodo 2: 2 V2 (6 3) V1 (6) 2 V1 ( 6) V2 (9)
  12. 12. Ejemplo # 3. 120 A 1 3 1 1 3 4 1 1 30 A 2 a) Exprese la respuesta en forma matricial b) La potencia entregada o consumida por las fuentes independientes
  13. 13. Ejemplo # 3. 1 20 A 1 3 1 1 3 4 1 1 30 A 2a) Matriz Conductancia N2 V2 Nodo 1 20 A 20 V1 (1 3) V3 (1) 1 3 20 4V1 V3 N1 N4 V1 V4 Nodo 2 3 4 20 V2 (3 1) V4 (3) 1 2 30 A 20 4V2 3V4 V3 N3
  14. 14. Nodo 3 30 V3 (2 1) V1 (1) 4 0 1 0 V1 20 30 3V3 V1 0 4 0 3 V2 20Nodo 4 1 0 3 0 V3 30 0 3 0 7 V4 30 30 V4 (3 4) V2 (3) 30 7V4 3V2 Matriz ConductanciaAl resolver la matriz anterior nos queda: V1 2.727V V3 9.090V V2 2.631V V4 3.157V Suministra
  15. 15. b) Potencia en las fuentes independientes. Vf 1 V2 V1 P20 A 5.358 (20) Vf 1 2.631 ( 2.727) P20 A 107.16 W Suministra Vf 1 5.358V Vf 2 V3 V4 P30 A 12.247 (30) Vf 2 9.090V ( 3.157V ) P30 A 367.41 W Suministra Vf 2 12.247V
  16. 16. V1 Ejemplo # 4. 2k 12V 2k V3 V2 V4 Determinar I0=? 1k 1k 6V 2k 12V I0 V1 SN1 Nodo 1 y Nodo 3 Súper Nodo 1 2k2k 12V Ecuación del SN 1 V2 V3 V4 12 V1 V3 1) 1k 1k Ecuación Auxiliar6V 2k 12V 0 V1 (2 2) V3 (1 1 2) V2 (2 1) V4 (2 1) I0 0 4V1 3V2 4V3 3V4 2)
  17. 17. Nodo 2 Súper Nodo 2 V2 6V 3)Nodo 4 Súper Nodo 3 V4 12V 1 0 1 0 V1 12 Al resolver la matriz nos queda: 4 3 4 3 V2 0 V1=8.25 V 0 1 0 0 V3 6 V2= -6 V 0 0 0 1 V4 12 V3= -3.75 V V4= 12 V I0 2( V3 0) I0 2V3 I0 2 3.75 I0 7.5mA
  18. 18. Vc Ejemplo # 5. 2 V1 2 Vb Vd10V 2 3V2 Va 3 6A 2V1 3 V2 Todos los elementos pasivos están en mhos. CALCULAR a) V1 , V2 b) Potencia en la fuente de 10V indicando si suministra o consume. Nota: Respete los nodos marcados.
  19. 19. Iba) VC Ia 2 2 If SN1 V1 VD VB 10V 2 3V2 Va 6A 3 2V1 3 V2Nodo A Nodo B y Nodo D SN1 Ecuación del SN 1 2V1 V A (2 3) VB (2) 3V2 VD VB pero _ V1 VC VD 2VC 2VD 5V A 2V B pero _ V2 VA 0 0 5V A 2VB 2VC 2VD 1) 3V A VB VD 0 2) Ecuación Auxiliar 6 VB (2 2) VD (2 3) VA (2) VC (2 2) 6 2VA 4VB 4VC 5VD 3)
  20. 20. Nodo C SN 2 VC 10V 4) 5 2 2 2 VA 0 V A 1.81V 3 1 0 1 VB 0 VB 2.48V 2 4 4 5 VC 6 VC 10V 0 0 1 0 VD 10 VD 7.93V V1 VC VD 10V 7.93V 2.07V V2 V A 0 1.81V 0V 1.81V b) LCK Nodo C: PV 10 (10V ) I f If Ia I b PV 10 10( 2VB 4VC 2VD ) PV 10 10 2(2.48) 4(10) 2(7.93) Ia 2(VC VB ) 2VC 2VB PV 10 191.8W ( su min istra ) Ib 2(VC VD ) 2VC 2VD If 4VC 2VB 2VD
  21. 21. EJERCICIO # 18 IX 3 2 VX 30 A 4 25 A 52 2V X 3 2I X 4 3Calcular la potencia asociada a cada una de las fuentescontroladas.
  22. 22. VA IXIA 3 2 VB VX 30 A I2 4 25 A SN1 I4 52 2V X I f1 I3 VD VC 2I X 3 If2 VE 3 Nodo B y Nodo E SN1 4 Ecuación del SN 1 2V X VB VE pero : V X VD VA Nodo A 2V A VB 2V D VE 0 2) 25 30 VA (2 3 2) VB (3) VD (2) 5 7V A 3VB 2VD 1) Ecuación Auxiliar 0 VB (3 4) VE (3 4) VA (3) VC (4 3) 0 3VA 7VB 7VC 7VE 3)
  23. 23. Nodo C y Tierra SN 2 Nodo D 30 VD (2 3 5) V A (2) VC (5) VC 2I X 30 2V A 5VC 10VD 5) LCK Nodo A I a I X 30 7 3 0 2 0 VA 5 IX I a 30 2 1 0 2 1 VB 0 pero : _ I a 2(0 V A ) 2V A 3 7 7 0 7 VC 0 IX 2V A 30 4 0 1 0 0 VD 60 2 0 5 10 0 VE 30 VC 2( 2V A 30) VA 9.44V VD 10V 60 4V A V C 4) VB 13.69V VE 12.57V VC 22.22V IX 2V A 30 VX VD VA IX 2( 9.44) 30 VX ( 10 9.44)V IX 11 12 A VX 0.56V
  24. 24. P2Vx 2V X ( I f 1 ) P2 Ix 2I X (I f 2 ) LCK Nodo B LCK Nodo C I f1 I1 I 2 I f 2 I 1 25 I 3 I 4 pero: If2 24 I 3 I 4 I 1 I1 4VB 4VC If2 25 (3VC 3VE ) (5VC 5VD ) 4VB 4VC I2 3VB 3V A If2 4VB 12VC 5VD 3VE 25 I f 1 7VB 3V A 4VC P2 Ix 2( 2V A 30 )( 4VB 12VC 5VD 3VE 25 )P2Vx 2(VD V A )( 3V A 7VB 4VC )
  25. 25. Análisis de MallaUtiliza la LVK para determinar las corrientes en el circuito y una vez que seconocen estas, se puede utilizar la ley de Ohm para calcular el voltaje encualquier elemento pasivo, como también es posible calcular la potenciasuministrada o consumida por cualquier elemento del circuito.Si el circuito tiene n mallas independientes se requerirá n ecuacionessimultáneas independientes para describir el comportamiento del circuito.Vamos a suponer que los circuitos son planos, es decir, que ningún conductorse cruce con otro conductor. R1 V2 V1 R3 R4 I1 I2 R2 R5
  26. 26. Malla 1 Malla 2 LVK: LVK: V1 VR1 VR 2 VR 3 0 VR 4 VR 5 VR 3 V2 0 V1 VR1 VR 2 VR 3 Ohm: Ohm: V R1 I 1 R1 VR 4 I 2 R4 VR 2 I 1 R2 VR 5 I 2 R5 VR 3 IR3 ( I1 I 2 ) R3 V R 4 V R 5 V R 3 V2 0 V2 I 2 R4 I 2 R3 I 1 R3 I 2 R3 V1 I1 R1 I1 R2 I1 R3 I 2 R3 V2 I 2 ( R3 R4 R5 ) I 1 R3 2) V1 I1 ( R1 R2 R3 ) I 2 ( R3 ) 1)
  27. 27. En forma matricial: R I V Matriz Vector Columna Vector Columna de las variables de las fuentes de Resistencia voltaje del método R1 R2 R3 R3 I1 V1 R3 R3 R4 R5 I2 V2 Si solo existieran fuentes independientes de voltaje existirá simetría con respecto a la diagonal principal en la matriz resistencia.
  28. 28. En forma DirectaUna vez asignadas las corrientes a las mallas se plantean en cada una de las ecuaciones de voltaje de acuerdo a la siguiente regla:1.- De un lado de la ecuación escribimos la suma algebraica de las fuentes de voltaje conectadas a la malla en que estamos trabajando respetando el signo de la fuente si la corriente de la malla atraviesa de negativo a positivo y cambiándole el signo si la atraviesa de positivo a negativo.2.- Del otro lado de la ecuación hay dos clases de términos: a) El término llamado propio es igual al producto de la corriente asignada a la malla que estamos trabajando por la suma de las resistencias conectadas a dicha malla. Este término lleva signo positivo. b) Los términos mutuos que son iguales al producto de corriente asignada a otra malla adjunta (vecina) y la malla en que estamos trabajando. Este término lleva signo negativo si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones opuestas y lleva signo positivo si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones iguales.
  29. 29. Del problema anterior:V1 I1 ( R1 R2 R3 ) I 2 ( R3 ) R1 R2 R3 R3 I1 V1 V2 I 2 ( R3 R4 R5 ) I 1 ( R3 ) R3 R3 R4 R5 I2 V2Si existiera una fuente de corriente ( independiente ó controlada) enmedio de dos mallas se forma lo que se conoce con el nombre de súpermalla la cual necesita dos ecuaciones para resolver.1.- Ecuación de la súper mallaEs igual a la diferencia de corrientes con la que está involucrada la fuentede corriente.2.- Ecuación AuxiliarSe forma haciendo cero a la fuente de corriente, es decir poniéndola encircuito abierto y luego se trabaja de acuerdo al procedimiento descrito enla regla anterior.Todos los elementos pasivos deben estar en ohmios.
  30. 30. Ejemplo # 6: R3 R4 R5 R1 I1 I2 30 A V2 R2 R6Ecuación de súper malla 30 I2 I1Ecuación Auxiliar V2 I 1 ( R1 R2 R3 ) I 2 ( R4 R5 R6 )
  31. 31. R2 R1 V1 Ejemplo # 7: R4 I2 R5 3A I1 Cuando está la fuente en la periferia sólo se hace la ecuación de la súper mallaEcuación de súper malla I1 3A MALLA 2 V1= -I1(R4) + I2 (R1+R4+R5) 3 0 I1 0 R4 R1 R4 R5 I2 V1
  32. 32. 2 5Ejm: 20 A Ejercicio 19: I3 160V I2 2 4 3 I1 100V Malla 1 100 I1 (4 3 2) I 2 (4) I 3 (2) 100 9I1 4I 2 2I 3 1) Malla 2 y Malla 3 Súper Malla 1 Ecuación de SM1 20 I3 I2 2) Ecuación Auxiliar 160 I 2 (2 4) I 3 (5 2) I1 (2 4) 160 6I1 6I 2 7 I 3 3)
  33. 33. a) Matriz Resistencia SOLUCION Ejercicio 19: 9 4 2 I1 100 I1= -8,15A 0 1 1 I2 20 I2= -2,22 A 6 6 7 I3 160 I3= 17,78 A b) Potencia en los elementos activos OJO REEMPLAZO INCORRECTOP V 160 160 I 2 P20 A V f 1 (20 A)P V 160 160( 2) LVK:P V 160 320 160 2 I 2 V f 1 4( I 2 I1 ) 0P V 320W consume V f 1 160 4 I 1 6 I 2 160 P20 A 80 I1 120I 2 3200 P V 100 (100V )( I1 ) P20 A 80( 8) 120( 2) 3200 P V 100 100(8) P20 A 2800 W P V 100 800 W
  34. 34. Ejercicio 20:Ejm: 2 4 Ix 140V I1 I3 2V X 80V 2I X 3 2 + Vx -20 A I2 I4 4 I5 3 5 Respetando las corrientes de mallas asignadas. Determinar: a) Potencias asociadas con las fuentes controladas. b) Potencia en la resistencia de 5 ohmios. Nota: Todos los elementos pasivos están en ohmios.
  35. 35. SM1 SOLUCION Ejercicio 20Malla 1, Malla 3 y Malla 4 Ecuaciones de SM1 2V X I3 I1 2I X I 4 I3 pero : V X 2I 5 2I 3 pero : I X I1 4I 5 4I 3 I3 I1 2 I1 I 3 I 4 0 2) I1 5I 3 4I 5 0 1) Ecuación Auxiliar 140 80 I1 (2 3) I 3 (4 2) I 4 (5 4) I 2 (3 5) I 5 (2 4) 60 5I1 8I 2 6I 3 9I 4 6I 5 3)Malla 2 SM2 1 0 5 0 4 I1 0 I2 20 A 4) 2 0 1 1 0 I2 0 5 8 6 9 6 I3 60Malla 5 0 1 0 0 0 I4 200 2 I 3 4 I 4 9 I 5 5) 0 0 2 4 9 I5 0
  36. 36. P2Vx V f 1 (2V X ) LVK: 140 2 I1 V f 1 3I1 3I 2 0 V f 1 140 5I1 3I 2P2Vx (140 5I 1 3I 2 )( 4 I 5 4 I 3 )W R//P2 Ix V f 2 (2 I X ) LVK: 5( I 2 I 4 ) V f 2 4( I 4 I5 ) 0 Vf 2 5I 2 5I 4 4 I 4 4 I 5 Vf 2 5I 2 9 I 4 4 I 5P2 Ix ( 5I 2 9I 4 4 I 5 )( 2 I 1 )W R//P2 I 2RP2 (I 2 I 4 ) 2 (5) R//

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