Ejercicios de probabilidad 2

1. Ejercicios de probabilidad 2
Estadística y TIC’s

2. REPASO:
Teorema de Bayes:
▪ Dado A condicionado B, si tenemos B y queremos saber A.
▪ Sabiendo la probabilidad de B/A queremos saber la probabilidad de A/B.
▪ P(A’/B)=
𝑃 𝐴′ 𝑥 𝑃(
𝐵
𝐴′)
𝛴 𝑃 𝐴′ 𝑥 𝑃 (
𝐵
𝐴′)
P(A/B)=
𝑃
𝐵
𝐴
𝑥 𝑃(𝐴)
𝑃
𝐵
𝐴
𝑥 𝑃 𝐴 +𝑃
𝐵
𝐴′ 𝑥 𝑃(𝐴′)
o La parte de abajo es la probabilidad total del suceso B.

3. EJERCICIO 4:
Tres laboratorios producen el 45%, 30% y 25% del total de los medicamentos que reciben
en la farmacia de un hospital. De ellos están caducados el 3%, 4% y 5%.
1. Seleccionando un medicamento al azar, calcula la probabilidad de que esté caducado:
2. Si tomamos al azar un medicamento y resulta estar caducado ¿cuál es la probabilidad
de haber sido producido por el laboratorio B?
3. ¿Qué laboratorio tiene mayor probabilidad de haber producido el medicamento
caducado?

4. EJERCICIO 4: PROCESO
1. Seleccionando un medicamento al azar, calcula la probabilidad de que esté caducado:
▪ P(A)=0,45 P(D/A)=0,03
▪ P(B)=0,3 P(D/B)=0,04
▪ P(C)=0,25 P(D/C)=0,05
▪ Ptotal = [P(A) x P(D/A)] + [P(B) x P(D/B)] + [P(C) x P(D/C)] = [0,45 x 0,03] + [0,3 x 0,04] +
[0,25 x 0,05] = 0,0135 + 0,012 + 0,0125 = 0,038
La probabilidad total de D es el sumatoria de la probabilidad de D en A x probabilidad de
A.

5. EJERCICIO 4: PROCESO
2. Si tomamos al azar un medicamento y resulta estar caducado ¿cuál es la probabilidad de haber sido
producido por el laboratorio B?:
▪ ¿P(B/D)?
▪ P(B/D) =
0,04 𝑥 0,3
0,038
=
0,012
0,038
= 0,315  32%
La probabilidad de haber sido caducado por el laboratorio B es de 32%.
3. ¿Qué laboratorio tiene mayor probabilidad de haber producido el medicamento caducado?:
▪ ¿P(A/D)?  P(A/D) =
0,03 𝑥 0,45
0,038
=
0,0135
0,038
= 0,36  36%
▪ ¿P(C/D)?  P(C/D) =
0,05 𝑥 0,25
0,038
=
0,0125
0,038
= 0,33  33%
El que tiene mayor probabilidad de haber producido un medicamento caducado es el laboratorio A.

6. REPASO:
Distribución binomial:
▪ Distribución técnica de variables discretas
▪ Solo existen dos probabilidades (cara/cruz; sano/enfermo…)
▪ El resultado de cada prueba es independiente
▪ La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La
probabilidad de Ac es 1-p y la representamos por q.
▪ El experimento consta de un número n de pruebas.
▪ Problemas:
▪ Si hay una probabilidad p de que ocurra un suceso, ¿Cuál es la probabilidad de que en N experimentos el suceso ocurra X
veces?
▪ P: probabilidad de ocurrencia; q de no ocurrencia
▪ X: número de sucesos favorables
▪ N: número total de ensayos

7. EJERCICIO 5:
Un tipo de tratamiento aplicado a una úlcera por decúbito cura un 60% de los pacientes.
En un ensayo clínico se aplica el tratamiento a 2 pacientes:
1. Calcular la probabilidad de:
a) Se curen dos pacientes
b) Se curen menos de dos pacientes

8. EJERCICIO 5: PROCESO
▪ C(curación) = 0,6
▪ F(no curación) = 0,4
▪  = [(FF) (FC) (CF) (CC)]
▪ X=0  2
▪ Cuando no se cura ninguno: P(X=0): (FF) = qxq = 0,42 = 0,16
▪ Cuando se cura uno sí y otro no: P(X=1): [(FC) (CF)] = 2qxp = 2pxq = 2x0,6x0,4 = 0,48
▪ Cuando se curan los dos: P (X=2): (CC) = pxp = 0,62 = 0,36

9. EJERCICIO 5: PROCESO
a) Se curen dos pacientes:
La probabilidad de que se curen los dos pacientes es de 36%.
b) Se curen menos de dos pacientes:
La probabilidad de que solo se cure un paciente es de 48% y que no se cure ninguno es de
16%, por tanto la probabilidad de que se curen menos de dos pacientes es de 64%.

10. EJERCICIO 6:
Un tipo de tratamiento aplicado a una úlcera por decúbito cura un 60% de los pacientes.
En un ensayo clínico se aplican el tratamiento a 30 pacientes.
1. Calcular la probabilidad de:
a) Se curen 10 pacientes
b) Se curen menos de 4

11. EJERCICIO 6: PROCESO
a) Se curen 10 pacientes: ¿P(X=10)?
▪ P(X=k) =
𝑛
𝑘
pk x qn-k  P(X=10) =
30
10
x 0,610 x 0,420 = 30045015 x
0,00604 x 0,0000000109 = 0,001997
▪
𝑛
𝑘
=
𝑛′
𝑘′(𝑛−𝑘)′
=
30′
10′(30−10)′
= 30045015
La probabilidad de que se curen 10 pacientes es de 0,2%.

12. EJERCICIO 6: PROCESO
b) Se curen menos de 4: ¿P(X<4)?
P(X<4) = P(X=3) + P(X=2) + P(X=1) + P(X=0)
▪ P(X=3) =
𝑛
𝑘
pk x qn-k  P(X=3) =
30
3
x 0,63 x 0,427 = 4060 x 0,216 x 1,8014x10-11 = 1,579x10-8
𝑛
𝑘
=
𝑛′
𝑘′(𝑛−𝑘)′
=
30′
3′(30−3)′
= 4060
▪ P(X=2) =
𝑛
𝑘
pk x qn-k  P(X=2) =
30
2
x 0,62 x 0,428 = 435 x 0,36 x 7,205x10-12 = 1,128x10-9
𝑛
𝑘
=
𝑛′
𝑘′(𝑛−𝑘)′
=
30′
2′(30−2)′
= 435
▪ P(X=1) =
𝑛
𝑘
pk x qn-k  P(X=1) =
30
1
x 0,6 x 0,429 = 30 x 0,6 x 2,882x10-12 = 5,188x10-11
𝑛
𝑘
=
𝑛′
𝑘′(𝑛−𝑘)′
=
30′
1′(30−1)′
= 30
▪ P(X=0) =
𝑛
𝑘
pk x qn-k  P(X=2) =
30
0
x 0,60 x 0,430 = 1 x 1 x 1,153x10-12 = 1,153x10-12
𝑛
𝑘
=
𝑛′
𝑘′(𝑛−𝑘)′
=
30′
0′(30−0)′
= 1
▪ P(X<4) = 1,579x10-8 + 1,128x10-9 + 5,188x10-11 + 1,153x10-12 = 1,697x10-8
La probabilidad de que se curen menos de 4 pacientes es de 1,698x10-6 %.

13. EJERCICIO 6: PROCESO
Este ejercicio también se puede realizar de la siguiente forma mediante un programa
informático que es accesible desde internet:
▪ http://www.elektro-energetika.cz/calculations/bi.php

14. REPASO:
Distribución normal. Cálculo con variables tipificadas:
▪ Parámetros fundamentales: media y la desviación típica (N(,))
▪ Permite comparar valores previamente tipificados (“normalizados”) mediante el uso de
tablas establecidas
▪ La tipificación permite conocer la probabilidad del área que está dentro de la curva
▪ La tipificación de los valores se puede realizar si una muestra variable aleatorio
continua sigue una distribución normal

15. REPASO:
Distribución normal o de Gauss:
▪ Casi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede
aproximar a una normal bajo ciertas condiciones
▪ Todas las distribuciones normales N(,), pueden ponerse mediante una translación ,
y un cambio de escala , como (N(0,1)
▪ Esta distribución especial se llama normal tipificada
▪ La función de distribución se reproduce en una tabla
▪ Nos permite saber la profundidad acumulada hasta el valor z

16. REPASO:

17. EJERCICIO 7:
El gasto medio de alquiler en los estudiantes de la US tiene una distribución normal con
media de 200 y desviación 10.
1. ¿Qué porcentaje de estudiantes gastan menos de 210 euros en alquiler? (=200 y
=10)
2. ¿Qué gasto de alquiler sólo es superado por el 10% (p=0,1) de los estudiantes?
Buscamos en la tabla la P 0,9 a qué valor z corresponde

18. EJERCICIO 7: PROCESO
1. ¿Qué porcentaje de estudiantes gastan menos de
210 euros en alquiler? (=200 y =10):
▪ Z =
𝑥−

=
210−200
10
= 1
▪ Z es la variable tipificada. Tiene valores enteros
aunque podría tener decimales. La tabla, en las filas
está el número entero y un decimal y en las columnas
aparece el segundo decimal.
Por tanto, el porcentaje de estudiantes que gastan
menos de 2010 euros en alquiler son el 84,13%.

19. EJERCICIO 7: PROCESO
2. ¿Qué gasto de alquiler sólo es superado por el 10%
(p=0,1) de los estudiantes? Buscamos en la tabla la P
0,9 a qué valor z corresponde:
▪ Primero, en la tabla de Z buscamos ese 0,9. Se coge el
inmediato inferior.
▪ El valor de Z que nos interesa es 1,28. Si quereos buscar
0,1 (el 10% en cuestión) tendríamos que hacerlo en la
misma tabla de Z pero con valores negativos.
▪ 1,28 =
𝑥−200
10
 1,28 x 10 = X – 200  12,8 + 200 = X 
X = 212,8
212,8 Euros es el valor mínimo que solo el 10% de los
estudiantes supera.

20. EJERCICIO 8:
En una muestra de 300 individuos con diabetes mellitus atendidos en el centro de salud
de Utrera la glucemia basal tiene una media de 106 mg/dl () y una desviación típica de 8
mg/dl () N(106,8). Calcula:
1. La proporción de diabéticos con glucemia basal ≤ 120 mg/dl, P(X≤ 120 mg/dl)
2. La proporción de diabéticos con una glucemia basal entre 106 y 120 mg/dl,
P(106<X<120)

21. EJERCICIO 8: PROCESO
1. La proporción de diabéticos con glucemia basal ≤
120 mg/dl, P(X≤ 120 mg/dl):
▪ Z =
𝑥−

=
120 −106
8
= 1,75
Por tanto, la proporción de diabéticos con una glucemia
basal ≤ 120 mg/dl, es del 95,99%.

22. EJERCICIO 8: PROCESO
2. La proporción de diabéticos con una glucemia
basal entre 106 y 120 mg/dl, P(106<X<120):
▪ P(106<X<120) = P(X=120) – P(X=106)
▪ Z =
𝑥−

=
120 −106
8
= 1,75
▪ Z =
𝑥−

=
106 −106
8
= 0
▪ P(106<X<120) = P(Z=1,75) – P(Z=0) 
P(106<X<120) = 0,9599 – 0,5 = 0,4599
Por tanto, la proporción de diabéticos con glucemia
basal entre 106 y 120 mg/dl es del 45,99%.

23. Realizado por:
Marina Piña Gómez
Grado en Enfermería
Hospital universiario Virgen del Rocío