2. El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212
a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan
importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico. La
derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas que en
principio no tenían nada en común con el cálculo integral. El descubrimiento
más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow, Newton y Leibniz)
es la íntima relación entre la derivada y la integral definida, a pesar de haber
seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vez conocida la conexión
entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de integrales definidas
se hace tan sencillo como el de las derivadas.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de
las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común
en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el
cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
3. Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que
la derivación e integración de una función son
operaciones inversas. Esto significa que toda función
continua integrable verifica que la derivada de su
integral es igual a ella misma.
Este teorema es central en la rama de
las matemáticas denominada análisis matemático o
cálculo.
4. Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una
función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee: integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
5. 1. La integral de una suma de funciones es igual a
la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por
una función es igual a la constante por la integral de
la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
6. La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las
áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para
cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual
que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y
b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje
horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se
denota como:
7. 1) donde c es una constante
2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante,
entonces las siguientes propiedades son verdaderas:
3) Si x está definida para x = a entonces = 0
4) Si f es integrable en [a, b] entonces
5) Propiedad de aditividad del intervalo: si f es
integrable en los dos intervalos cerrados definidos por
a, b y c entonces
8. la suma de Riemann es un método de integración numérica que
nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el
área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible
utilizar el Teorema fundamental del calculo. Estas sumas toman su
nombre del matemático Alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número
finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área
de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este
método de integración numérica es que al sumar las áreas se
obtiene un margen de error muy grande.
9. En matemáticas, un teorema de existencia es un
teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...',
o más generalmente 'para todo x, y, ...existe(n) ...'. Esto
es, en términos más formales de lógica simbólica, es
un teorema con un enunciado involucrando
el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo
hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje
matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de
que la función seno es una continua, o cualquier
teorema escrito en la notación O.
10. El concepto de primitiva es el recíproco al de derivada.
una función primitiva es aquella que después de haber
sido derivada pasando por su diferencial y por el
proceso de integración no vuelve exactamente a su
función original
ej:
y=3x”+2x+18
dy/dx=6x+2
dy=6x+2 (dx)
Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c
11. Se entiende por métodos de
integración cualquiera de las diferentes técnicas
elementales usadas para calcular una
antiderivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de
integración son técnicas cuyo uso (usualmente
combinado) permite encontrar una función F(x)
tal que.
lo cual, por el teorema fundamental del
cálculo equivale a hallar una función F(x) tal
que f(x) es su derivada
12. Cambio de Variable
Integración por partes
Integrales de funciones trigonométricas
Sustitución Trigonométrica
Fracciones parciales
