Primera aproximación al mundo de las conicas para los alumn@s de 1º de bachillerato. Muy didáctico para que ellos aprendan por si mismos

1. LUGARES GEOMETRICOS.
CONICAS

2. ¿Qué es lugar geométrico?
Se llama lugar geométrico a un conjunto de
puntos del plano que cumplen una determinada
propiedad.
Mediatriz: d(P,A) = d(P,B)
Bisectriz: d(P,r) = d(P,s)

3. Ejemplos de como calcular la mediatriz de un
segmento ó bisectriz de un ángulo:
http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1Bach
CT/Lugar%20Geometrico.pdf

4. CÓNICAS
La siguiente figura se llama superficie cónica.
Se obtiene haciendo girar una
recta g (generatriz), alrededor de
otra e (eje) a la que corta en un
punto V (vértice)

5. Una sección cónica es la intersección de un
plano y un cono. Cambiando el ángulo y el lugar
de la intersección, podemos crear:

6. LA CIRCUNFERENCIA
Circunferencia de centro C y radio r es el lugar
geométrico de los puntos P tales que d(P, C) = r

7. Ecuación de la circunferencia
Datos
P(x,y)
C(a,b)
Definición
d(P,C) =r
Ejercicio
Desarrolla la expresión anterior y llega a una del
tipo:
Relaciona A, B y C con a, b, y r

8. Observa que
Y por tanto:

9. Conclusiones
Para que una expresión de 2º grado sea una
circunferencia se tiene que cumplir:
1.- Coeficientes de x2 e y2 iguales
2.- No hay término en xy
3.- La expresión r2 = (A/2)2 + (B/2)2 – C tiene
que ser positiva

10. Posiciones relativas de una recta y
una circunferencia
DATOS : Recta(s) y circunferencia de radio r y
centro C
PROCESO
-Calcula d(C,s). La llamamos d
- Si d > r → s es exterior a la circunferencia
- Si d = r → s es tangente a la circunferencia (Un
punto de corte)
- Si d < r → s y la circunferencia son secantes (2
puntos de corte)

11. Ejercicios de circunferencias
1.- Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio 2.
2.- Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el
centro y el radio
3.- Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el
punto C(3,1) y es tangente a la recta: 3x - 4y + 5 = 0.
4.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
A(2,0), B(2,3), C(1, 3).
Muy interesante la página de donde he sacado estos ejercicios, hay
más y todos con solución:
http://www.vitutor.com/geo/coni/f_e.html

12. La elipse es el
lugar geométrico
de todos los
puntos de un
plano, tales que
la suma de las
distancias a otros
dos puntos fijos
llamados focos es
constante.
ELIPSE

13. Elementos de una elipse
• Focos : son los puntos fijos F y F‘
• Centro de la elipse: es el punto de intersección
de los ejes
• Radios vectores: son los segmentos que van
desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
• Distancia focal: es el segmento de longitud 2c; c
es el valor de la semidistancia focal.
• Vértices: son los puntos de intersección de la
elipse con los ejes: A, A', B y B'.

15. • Relación entre la distancia focal y los semiejes
Ejercicio: demuestra que k= 2·a y BF = a

16. Ecuación reducida de una elipse

17. APLICACIONES DE LA ELIPSE
• Los planetas giran alrededor del sol
describiendo órbitas elípticas siendo el sol uno
de los focos (Primera ley de Kepler)
• Debido a la resistencia del viento, las
trayectorias que realizan los aviones cuando
hacen viajes circulares se vuelven elípticas.
• En arquitectura se utilizan con mayor
frecuencia arcos con forma elíptica.

18. Cometas y Satélites como la orbita de la luna,
describen una elipse

19. HIPÉRBOLA
La hipérbola es una
curva plana, abierta,
con dos ramas; se
define como el lugar
geométrico de los
puntos cuya
diferencia de
distancias a otros
dos fijos, llamados
focos, es constante.

20. Elementos de una hipérbola
• Focos : son los puntos fijos F y F‘
• Centro de la hipérbola: es el punto de
intersección de los ejes
• Radios vectores: son los segmentos que van
desde un punto de la hipérbola a los focos: PF
y PF'.
• Distancia focal: es el segmento de longitud 2c;
c es el valor de la semidistancia focal.
• Vértices: A, A', B y B'.

22. Ecuación reducida de la hipérbola
• Partiendo de la definición de hipérbola:
d(P,F)-d(P,F’) = 2·a y tomando P(x,y)
se llega a la ecuación reducida de la hipérbola
2
2
x
y
− 2 =1
2
a
b
Se demuestra de igual forma que el caso de la
elipse

23. Aplicaciones de la hipérbola
• Óptica
• Navegación
• Trayectorias de cometas
• Construcciones

24. Ejercicio de investigación
a)¿Qué es una hipérbola equilátera?
b)¿Cuál es su ecuación reducida?
c)Escribe cuales serían las ecuaciones de sus
asíntotas y el valor de la excentricidad

25. PARÁBOLA
Es el lugar
geométrico de los
puntos del plano, P
que equidistan de
un punto llamado
foco F y una recta
llamada directriz d.

26. Elementos de la parábola
• El foco es el punto F.
• La directriz es la recta d.
• El radio vector de un punto P es el segmento PF
que lo une al foco
• p es la distancia de F a d
• El eje de la parábola es también un eje de
simetría.
• El vértice es el punto V en que el eje corta a la
parábola.

27. Ecuación reducida de la parábola

28. APLICACIONES
• Los cables de los puentes
colgantes forman la
envolvente de una
parábola
• La trayectoria de
proyectiles tienen una
forma parabólica
• Chorro de agua de una
fuente
• Los espejos dentro de
focos y linternas

29. • En la forma de
antenas, telescopio,
detectores de radar
se muestra una
parábola.

30. PAGINAS INTERESANTES PARA
TRABAJAR ESTA UNIDAD
http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Lugar
%20Geometrico.pdf
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didactico
s/Lugares_geometricos_conicas/index.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-012204/conicas/tierra.html → Aparte de los conceptos teóricos también
aparecen ejemplos en la vida real de las cónicas.
http://www.iesadpereda.net/envios/envio4/bacman/mates/Conicas.
pdf →Página con ejercicios resueltos
http://www.monografias.com/trabajos82/secciones-conicasaplicaciones/secciones-conicas-aplicaciones2.shtml→ Ejemplos
reales de cónicas y su historia
http://divulgamat2.ehu.es/html/conicas/conicas/fotos1.htm →
Imágenes con ejemplos de cónicas en la realidad