ユークリッド最小全域木

ユークリッド
最小全域木
@maroon_kuri

このスライドはJOI夏季セミナー2016で発表したものです
アニメーションGIFが入っていたのですが
アップロードにできないので代わりにリンクを張りまし
た

ボロノイ図
２次元平面上の点がたくさんある
平面の最近点による分割を、ボロノイ図と呼ぶ
（画像はwikipediaから）

ボロノイ図
平面上の点を、サイトと呼ぶ
サイトP_iに対応する領域を、P_iのボロノイセルと呼ぶ

ドロネーグラフ
サイトPiとPjのボロノイセルが隣接するならば、その間に
辺を張る
こうしてできたグラフを、ドロネーグラフと呼ぶ

Fortuneのアルゴリズム
ボロノイ図やドロネーグラフを求めたい
Fortuneのアルゴリズムを使うと、頂点数がNの
時、O(NlogN)で求められる！

平面走査する
ここのGIFが大変わかりやすいです
https://en.wikipedia.org/wiki/Fortune%27s_algorithm

上から平面走査する
平面走査の各段階では、
現在までに確定した部分を保持する

走査線をLとおく
ある点Pを考えて、「y座標L以下の
いかなる点よりPの方が近い」
が成り立つ領域の境界は、
以下のようになる
L
P

Lより上にある全ての点で
この放物線を考える。
L

全ての放物線より下側にある
領域は、どのボロノイセルに
含まれるかわからない
L

２つの隣り合う放物線のもとになる
サイトのボロノイセルは隣接する
L

Lが小さくなるにつれ、新しい
放物線が増える
L

Lが小さくなるにつれ、
放物線が消える
L

走査線の移動に伴って変化する放物線
の出現と削除を管理すればよさそう
そのまま管理するのはもちろん
やばいので、陰に保持する
放物線の並ぶ順に、もとになった
サイトだけを保持しておけばいい

保持しているリスト
（0）
L
0
21

（0,1,0,2,0）
L
0
1 2

21
（0,1,2,0）
L
0

ここで、リストを平衡二分探索木を使って保持すると、
１回の挿入/削除がO(logN)で行える
あとは、放物線の出現、削除のタイミングが知りたい
出現は自明
じゃあ削除は？

隣り合う３点を通る円の最下部のy座標で
真ん中の放物線が消える

Fortune
新しく3点が隣り合うタイミングで、適切なy座標に、
放物線削除イベントを登録すればいい
これは、優先度付きキューで実現できる

Fortune
追加も削除もO(N)回
どの操作もO(logN)でできるので、合計O(NlogN)で求まる

ユークリッド最小全域木
ユークリッド最小全域木とは、２点間の辺コストを
そのユークリッド距離にした際の最小全域木
ドロネーグラフとの関係は？
ドロネーグラフの辺コストをユークリッド距離にすると、
その最小全域木はユークリッド最小全域木になる

証明
ある全域木Tがあり、点P_iとP_jを結ぶ辺がドロネーグラフ
に含まれないが、Tに含まれるとする

証明
少なくとも一つの点が、線分P_iーP_jを直径とする
円の内部に存在するので、これをP_kとおく
P_i
P_j
P_k

証明
Tから辺P_iーP_jを削除すると、P_kは、P_i,P_jのいずれか
と
非連結になる（一般化し、P_iと非連結とする）
P_k
P_i
P_j

証明
ここで、|P_k – P_i|<|P_i – P_j|より、P_iとP_kを結んで得
られる全域木T’は、Tよりもコストが低いので、
Tは最小全域木にはならない
P_k
P_i
P_j

ドロネーグラフの最小全域木を求めればよいとわかった
最小全域木は、O(ElogE)でもとまる
ドロネーグラフの辺数は、オイラーの定理より、
O(N)で抑えられる
ドロネーグラフはO(NlogN)で求まった
よってユークリッド最小全域木はO(NlogN)で求まる

応用
COCI 2015/2016 Second Round DRZAVA
問題概要
２次元平面上にN個の点があり、それぞれに値がある
距離D以下の点対を結んで、
以下の条件を満たす連結成分を作りたい
・条件　連結成分内の点をいくつか選ぶと、
　　　　その値の総和がKの倍数になる
Dの最小値を求めよ
制約：N≦50000,K≦30

おわり
ユークリッド最小全域木が社会常識になる日に備え、
今から実装しておこう！

ユークリッド最小全域木

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