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Chapitre VI
Poutre en flexion simple – Etat Limite
de Service (ELS)
1. Hypothèses
2. Section rectangulaire
Marwan SADEK 1
2. Section rectangulaire
3. Section en T
4. Ouverture de fissures
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
INTRODUCTION (SECTION 7 – EC2-1-1)
 Limitation des contraintes (Acier et Béton)
 Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 2
 Limitation des flèches (SBA2)
H1) Principe de Navier-Bernoulli : au cours des déformations, les sections
droites restent planes (Champ de déformation linéaire dans la section)
H2) La résistance du béton tendu est négligée
H3) un groupe de barres disposées en plusieurs lits est équivalent à une barre
unique située au C.D.G du groupe
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
 HYPOTHÈSES
Marwan SADEK 3
H4) Pas de glissement relatif entre acier et béton - Adhérence parfaite entre
l’acier et le béton
H5) Les matériaux ont des comportement élastiques linéaires :  = E.
Coefficient d’équivalence e
Coefficient d'équivalence effectif
(noté n dans les précédentes règles françaises)
 La valeur généralement obtenue est bien supérieure à celle des anciennes
règles françaises (BAEL, n=15)
 Coefficient d’équivalence (EC2 / Règles professionnelles)
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 4
La France (recommandations
professionnelles) propose de
minorer e sous comb. ELS carac.
 Note 1 :
Sous action de courte durée uniquement, on retient un coefficient e= Es/Ecm
 Note 2 :
La maîtrise de fissuration est généralement réalisée en combinaison
 Quasi-permanente pour les bâtiments
 fréquente pour les ponts (selon ANF NF EN 1992-2-NA)
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 5
 fréquente pour les ponts (selon ANF NF EN 1992-2-NA)
Si une grande précision n’est pas
nécessaire, on pourra retenir
e= 15
 Note 3 :
 Limitation des contraintes (Acier et Béton)
Béton Acier
ELS Caractéristique c  0,6.fck (pertinent) s  0,8.fck
ELS quasi permanent c  0,45.fck , sinon fluage non linéaire Maîtrise de fissuration
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 6
 Combinaison Caractéristique
"il peut être pertinent" de limiter les contraintes de compression
c  0.6 fck , pour les Classes XD, XF et XS
 Note 1: ce n’est pas une obligation comme en BAEL
 Note 2 : Aucune limitation pour les classes X0, XC
Contrainte de compression dans le béton c
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 7
 Note 2 : Aucune limitation pour les classes X0, XC
 Combinaison quasi-permanente (surtout précontrainte)
si c  0.45 fck  fluage linéaire
Sinon fluage non-linéaire
 sous combinaisons Caractéristique
s  0.8 fyk
 Contrainte de traction dans l’acier
Afin d’éviter des déformations inélastiques, une fissuration ou des flèches
inacceptables
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 8
 Note : s  1fyk si la contrainte est provoquée par une déformation imposée
Section rectangulaire – Calcul ELS
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 9
(e=n )
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 10
Inertie équivalente – section homogénéisée
I = b.x3/3 + n As′ (x–d′)² + n As (d–x)²
 Note : On néglige l’inertie des aciers par rapport à leur propre CDG
 Contraintes sous M
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 11
 Contraintes sous Mser
c = K.x Béton comprimé
s= n.K. (d – x) Acier tendu As
 Acier comprimé A’s ’s= n.K. (x – d’)
(K=Mser / I)
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 12
 Forces internes
 Béton comprimé Fc = c.b.x/2 = K.b.x²/2
 Acier tendu As Fs=As.s= n.K. As .(d – x)
 Acier comprimé A’c F’s=A’s.’s= n.K. A’s(x – d’)
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 13
 Equilibre des forces :
 Position de l’axe neutre x=?
b x² / 2 + n.(As + A’s ).x – n (As.d + A’s .d’)=0
 Cas particulier – sans armature comprimée
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 14
I = b.x3/3 + n As (d–x)²
1) Problème 1: As, A’s connues Vérification des contraintes
 Position de l’axe neutre x
 Inertie de la section homogénéisée
Calcul détaillé :
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 15
 Inertie de la section homogénéisée
 Calcul des contraintes dans le béton et l’acier
 Comparaison avec les valeurs limites
Vérification rapide en utilisant les tableaux (Thonier 2012)
(Sans armature comprimée A’s=0)
 Valeurs limite c correspondant à une contrainte limite du béton c = 0.6 fck
 Valeurs limite s correspondant à une contrainte limite dans l’acier s = 0.8 fyk
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 16
 Des tableaux de vérification et de dimensionnement rapides sont également fournis dans Perchat (2013)
2) Problème 2 :
 Contrainte de compression dans le béton vérifiée c  c
 Contrainte de traction dans l’acier dépassée s  s
Détermination de la nouvelle valeur de As = ? (A’s = 0 )
 On fait travailler la nouvelle section à s
 Inconnus : As, x, c
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 17
 Inconnus : As, x, c
 Eq 1 - Equilibre des forces
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 18
Fc = c.b.x/2 = Fs = As .s
 Eq 1 - Equilibre des forces
 Eq 2 - Equilibre des moments
Mser = Fc .(d-x/3) = c.b.x/2 .(d-x/3)
 Eq 3 - Diagramme de contraintes (linéaire)
c / x = (s / n ) / (d-x)
 = Mser / (b.d²)
 = x / d
 3 équations à trois inconnus
On obtient une équation de 3ème degré en 
On pose
Résolution par itérations successives
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
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Résolution par itérations successives
Utilisation de tableaux (Thonier 2012)
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
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3) Problème 3 :
La contrainte de compression dans le béton est dépassée c  c
 2 possibilités :
a) Changer les dimensions de la section du béton
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 21
ou
b) Introduire des armatures comprimées
3a) Changer les dimensions de la section du béton b, h
 On fait travailler les 2 matériaux à leurs limites maximales c et s
 La position de l’axe neutre est connue
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 22
Pourc = 0.6 fck , on obtient :
3b) introduction de A’s,
?? Inconnus : As, A’s,  ??
 On fait travailler les 2 matériaux à leurs limites maximales c et s
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 23
3b) Introduction de A’s
2 sections fictives
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 24
 Le moment repris par le béton comprimé (c = 0.6 fck) :
3b) introduction de A’s,
 Le moment repris par A’s (ou A2) :
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 25
3b) introduction de A’s,
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 26
Section en T – Calcul ELS
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
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 Axe neutre
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 28
 Inertie homogénéisée
c = K.x
s= n.K. (d – x)
 K= Mser / I
 Note :
 En principe, si on trouve x<hf , l’axe neutre est dans la table, on est
amené au calcul d’une section rectangulaire
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 29
 En général , on néglige la résistance du béton situé entre 0.8 x et x,
on pourra donc considérer que l’axe neutre est dans la table lorsque
x 1.25 hf (Thonier 2012)
Section en T – Calcul de l’armature
 Si la contrainte dans l’acier est dépassée, il faudra recalculer la section
d’armature As. Si l’axe neutre est dans la nervure, le calcul est relativement
complexe. On pourra calculer As en prenant une formule approchée
conservatrice pour le bras de levier
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 30
 Dans cette formule on suppose que le béton est suffisant pour
reprendre l’effort de compression, ce qui est généralement le cas (A’s = 0)
MAÎTRISE DE LA FISSURATION
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 31
Fissuration
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 32
(Perchat 2013)
 Limites des ouvertures admises par l’Eurocode 2 (ELS quasi-permanent)
 Modifications apportées par l’Annexe nationale française
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 33
Maîtrise de fissuration- sans calcul direct (ELS quasi-permanent)
- Les éléments dont les fissures sont dues principalement aux charges et
respectant les dispositions du Tableau 7.2N ou 7.3N peuvent être dispensées de
calcul direct (tableau 7.2 N uniquement en cas de fissures dues à des déformations
gênées)
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 34
ou
 Les conditions données par ces tableaux sont très défavorables pour le
dimensionnement. Il est recommandé d’avoir recours au calcul de fissures.
 Maîtrise de fissuration- sans calcul direct (ELS quasi-permanent)
 Terme correcteur des diamètres proposés en fonction des enrobages
a) si la fissuration est due à une flexion
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 35
b) si la fissuration est due à une traction
kc = 0.4 (en flexion simple)
hcr: hauteur de la zone tendue avant la fissuration, comme approximation
on pourra retenir hcr = 0.5 h en flexion simple
Dans le cas des dalles en béton armé ou précontraint dans les bâtiments, sollicitées
à la flexion sans traction axiale significative, aucune disposition particulière n'est
nécessaire pour la maîtrise de la fissuration lorsque l'épaisseur totale de la dalle
n'excède pas 200 mm et que les spécifications de 9.3 sont respectées (dispositions
constructives relatives aux dalles pleines)
 Maîtrise de fissuration- sans calcul direct
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 36
 Maîtrise de fissuration- sans calcul direct (ANF Ponts NF EN 1992-2-NA)
En remplacement des valeurs tabulées très pénalisantes définies ci-dessus, la
France propose dans son Annexe Nationale sur les ponts la méthode suivante :
1. l’espacement des armatures est inférieur à 5 (c + /2) ;
2. la contrainte σs dans les aciers passifs ne dépasse pas 1000.wk sous la
combinaison d’Action fréquente pour des éléments ou parties d’éléments
 Eléments en flexion (face comprimée et face tendue)
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 37
combinaison d’Action fréquente pour des éléments ou parties d’éléments
fléchis.
(Méthode testée par le SETRA, Paillé 2009)
σs ≤ 1000.wk (σs est exprimée en MPa et wk en mm)
 Maîtrise de fissuration - sans calcul direct (ANF Ponts)
la deuxième condition (2.) devient :
σs ≤ 600.wk (au lieu de 1000.wk)
 Cas des sections soumises à une traction
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 38
pour des éléments ou parties d’éléments entièrement tendus
(combinaison fréquente)
 Armature minimale (maîtrise de fissuration)
 Act : aire du béton tendu juste avant formation de la première fissure
Act = 0,5.b.h (pour une section rectangulaire bh)
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 39
 fct,eff = fctm
 k = 1 pour les âmes de hauteur h  300 mm ou les membrures de largeur au
plus égale à 300 mm
 k = 0.65 pour les âmes de hauteur h  800 mm ou les membrures de largeur au
moins égale à 800 mm
 Armature minimale (maîtrise de fissuration)
Pour les sections rectangulaires et les âmes des poutres en T ou en caisson
 k1 = 1 en flexion simple
 h* = Min[h,1m]
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 40
 h* = Min[h,1m]
 c : contrainte moyenne du béton s’exerçant sur la partie de section considérée
c = Ned/Ac (=0 en flexion simple)
kc=0.4 (en flexion simple)
Note : pour une section rectangulaire en flexion simple, le pourcentage minimale pour la maîtrise de
fissuration est moins exigent que celui de la non fragilité. On peut donc se dispenser de le vérifier.
 Armature de peau (maîtrise de fissuration)
 Cas des poutres de hauteur > 1 m
L’eurocode 2 impose de disposer des armatures de peau sur le parement de la poutre, à
l’intérieur des cadres , dans la partie tendue (en dessous de l’axe neutre)
k =0.4 en flexion simple, 1 en traction pure ; k=0.5 ;  = f
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 41
peau = As / Act = 0.2 fctm / fyk en flexion
 peau = As / Act = 0.5 fctm / fyk en traction pure
kc=0.4 en flexion simple, 1 en traction pure ; k=0.5 ; s = fyk
 Diamètres et espacements sont à disposer selon les tableaux 7.2N et 7.3N (ci-
avant), avec une contrainte de traction de l’acier égale à la moitié de celle
estimée pour les aciers de flexion
 Armature de peau (maîtrise de fissuration)
Note 1 : Cas de gros diamètres ( 32 mm)
l’Eurocode prévoit de mettre des armatures longitudinales
de peau dans la zone tendue en dehors des cadres.
Ces armatures sont soumises aux Annexes nationales,
et n’ont pas été retenus par la France.
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 42
Note 2 : Cas de ponts
Comme l’Eurocode ne dit rien sur les poutres de hauteur > 1 m, la France impose,
dans l’Annexe nationale de la partie Ponts, de disposer dans les poutres de
grande hauteur des armatures de peau une section minimale dans le sens de la
fibre moyenne, d’au moins 3 cm² par mètre de paroi perpendiculaire à la direction
de ces armatures sans pouvoir être inférieure à 0,10 % de la section droite de la
poutre.
Pour les poutres situées en classe d’exposition XD et XS il y a lieu de disposer au
moins 5 cm² par mètre de paroi perpendiculaire à la direction de ces armatures.
 Largeur de fissures
‘Tirant’ BA de section droite Ac ou zone de béton
entourant les armatures d’une poutre fléchie
assimilable à un tirant
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 43
Etat homogène non fissuré :
Aspect théorique
L’ouverture moyenne wm d’une fissure peut être déterminé en calculant l’allongement
moyen d’une armature par rapport à l’allongement du béton sur la longueur comprise
entre deux fissures :
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
 Largeur de fissures
Marwan SADEK 44
 Note : Le lecteur pourra consulter l’ouvrage de Paillé 2009, ou Perchat 2013 pour
plus de détails sur l’aspect théorique de l’ouverture de fissures.
 Calcul de l’ouverture des fissures wk
Aspect réglementaire
a) Espacement des barres adhérentes < 5(c+/2) [cas de poutres en général]
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
 Largeur de fissures
Marwan SADEK 45
k1 = 0,8 pour la barres HA, 1,6 pour des aciers effectivement lisses
k2 = 0,5 en flexion, 1 en traction pure
k3 = 3,4 Cette valeur a été invalidée par la France pour les
enrobages forts  Prendre 3,4*(25/c)2/3 si c > 25 mm (AN, M. Cortade)
hc,eff =Min[2,5.(h – d) ; h/2 ;(h – x)/3]
x : distance de la fibre supérieure à l’axe neutre
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 46
 : diamètre des barres (à remplacer par eq si plusieurs diamètres)
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 47
s : contrainte dans les aciers sous combinaison quasi-permanente (G + 0,3Q) en supposant la
section fissurée
kt = 0,4 pour un chargement de longue durée, 0,6 pour une courte durée
b) Espacement des barres adhérentes > 5(c+/2) [cas de dalles en général]
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 48
Max des 2 valeurs
Exercices
 Section rectangulaire sans armature comprimée :
 Calcul As ELU
Vérification ELS
 Section rectangulaire avec armature comprimée :
 Calcul As ELU
49
M. SADEK
 Calcul As ELU
 Vérification ELS
Maîtrise de la fissuration
 Utilisation des tableaux
 Méthode utilisée pour les ponts
 Calcul de l’ouverture des fissures

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  • 1. Chapitre VI Poutre en flexion simple – Etat Limite de Service (ELS) 1. Hypothèses 2. Section rectangulaire Marwan SADEK 1 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Ouverture de fissures
  • 2. Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration INTRODUCTION (SECTION 7 – EC2-1-1)  Limitation des contraintes (Acier et Béton)  Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 2  Limitation des flèches (SBA2)
  • 3. H1) Principe de Navier-Bernoulli : au cours des déformations, les sections droites restent planes (Champ de déformation linéaire dans la section) H2) La résistance du béton tendu est négligée H3) un groupe de barres disposées en plusieurs lits est équivalent à une barre unique située au C.D.G du groupe Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration  HYPOTHÈSES Marwan SADEK 3 H4) Pas de glissement relatif entre acier et béton - Adhérence parfaite entre l’acier et le béton H5) Les matériaux ont des comportement élastiques linéaires :  = E. Coefficient d’équivalence e
  • 4. Coefficient d'équivalence effectif (noté n dans les précédentes règles françaises)  La valeur généralement obtenue est bien supérieure à celle des anciennes règles françaises (BAEL, n=15)  Coefficient d’équivalence (EC2 / Règles professionnelles) Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 4 La France (recommandations professionnelles) propose de minorer e sous comb. ELS carac.
  • 5.  Note 1 : Sous action de courte durée uniquement, on retient un coefficient e= Es/Ecm  Note 2 : La maîtrise de fissuration est généralement réalisée en combinaison  Quasi-permanente pour les bâtiments  fréquente pour les ponts (selon ANF NF EN 1992-2-NA) Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 5  fréquente pour les ponts (selon ANF NF EN 1992-2-NA) Si une grande précision n’est pas nécessaire, on pourra retenir e= 15  Note 3 :
  • 6.  Limitation des contraintes (Acier et Béton) Béton Acier ELS Caractéristique c  0,6.fck (pertinent) s  0,8.fck ELS quasi permanent c  0,45.fck , sinon fluage non linéaire Maîtrise de fissuration Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 6
  • 7.  Combinaison Caractéristique "il peut être pertinent" de limiter les contraintes de compression c  0.6 fck , pour les Classes XD, XF et XS  Note 1: ce n’est pas une obligation comme en BAEL  Note 2 : Aucune limitation pour les classes X0, XC Contrainte de compression dans le béton c Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 7  Note 2 : Aucune limitation pour les classes X0, XC  Combinaison quasi-permanente (surtout précontrainte) si c  0.45 fck  fluage linéaire Sinon fluage non-linéaire
  • 8.  sous combinaisons Caractéristique s  0.8 fyk  Contrainte de traction dans l’acier Afin d’éviter des déformations inélastiques, une fissuration ou des flèches inacceptables Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 8  Note : s  1fyk si la contrainte est provoquée par une déformation imposée
  • 9. Section rectangulaire – Calcul ELS Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 9 (e=n )
  • 10. Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 10 Inertie équivalente – section homogénéisée I = b.x3/3 + n As′ (x–d′)² + n As (d–x)²  Note : On néglige l’inertie des aciers par rapport à leur propre CDG
  • 11.  Contraintes sous M Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 11  Contraintes sous Mser c = K.x Béton comprimé s= n.K. (d – x) Acier tendu As  Acier comprimé A’s ’s= n.K. (x – d’) (K=Mser / I)
  • 12. Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 12  Forces internes  Béton comprimé Fc = c.b.x/2 = K.b.x²/2  Acier tendu As Fs=As.s= n.K. As .(d – x)  Acier comprimé A’c F’s=A’s.’s= n.K. A’s(x – d’)
  • 13. Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 13  Equilibre des forces :  Position de l’axe neutre x=? b x² / 2 + n.(As + A’s ).x – n (As.d + A’s .d’)=0
  • 14.  Cas particulier – sans armature comprimée Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 14 I = b.x3/3 + n As (d–x)²
  • 15. 1) Problème 1: As, A’s connues Vérification des contraintes  Position de l’axe neutre x  Inertie de la section homogénéisée Calcul détaillé : Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 15  Inertie de la section homogénéisée  Calcul des contraintes dans le béton et l’acier  Comparaison avec les valeurs limites
  • 16. Vérification rapide en utilisant les tableaux (Thonier 2012) (Sans armature comprimée A’s=0)  Valeurs limite c correspondant à une contrainte limite du béton c = 0.6 fck  Valeurs limite s correspondant à une contrainte limite dans l’acier s = 0.8 fyk Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 16  Des tableaux de vérification et de dimensionnement rapides sont également fournis dans Perchat (2013)
  • 17. 2) Problème 2 :  Contrainte de compression dans le béton vérifiée c  c  Contrainte de traction dans l’acier dépassée s  s Détermination de la nouvelle valeur de As = ? (A’s = 0 )  On fait travailler la nouvelle section à s  Inconnus : As, x, c Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 17  Inconnus : As, x, c
  • 18.  Eq 1 - Equilibre des forces Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 18 Fc = c.b.x/2 = Fs = As .s  Eq 1 - Equilibre des forces  Eq 2 - Equilibre des moments Mser = Fc .(d-x/3) = c.b.x/2 .(d-x/3)  Eq 3 - Diagramme de contraintes (linéaire) c / x = (s / n ) / (d-x)
  • 19.  = Mser / (b.d²)  = x / d  3 équations à trois inconnus On obtient une équation de 3ème degré en  On pose Résolution par itérations successives Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 19 Résolution par itérations successives
  • 20. Utilisation de tableaux (Thonier 2012) Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 20
  • 21. 3) Problème 3 : La contrainte de compression dans le béton est dépassée c  c  2 possibilités : a) Changer les dimensions de la section du béton Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 21 ou b) Introduire des armatures comprimées
  • 22. 3a) Changer les dimensions de la section du béton b, h  On fait travailler les 2 matériaux à leurs limites maximales c et s  La position de l’axe neutre est connue Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 22 Pourc = 0.6 fck , on obtient :
  • 23. 3b) introduction de A’s, ?? Inconnus : As, A’s,  ??  On fait travailler les 2 matériaux à leurs limites maximales c et s Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 23
  • 24. 3b) Introduction de A’s 2 sections fictives Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 24  Le moment repris par le béton comprimé (c = 0.6 fck) :
  • 25. 3b) introduction de A’s,  Le moment repris par A’s (ou A2) : Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 25
  • 26. 3b) introduction de A’s, Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 26
  • 27. Section en T – Calcul ELS Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 27
  • 28.  Axe neutre Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 28  Inertie homogénéisée c = K.x s= n.K. (d – x)  K= Mser / I
  • 29.  Note :  En principe, si on trouve x<hf , l’axe neutre est dans la table, on est amené au calcul d’une section rectangulaire Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 29  En général , on néglige la résistance du béton situé entre 0.8 x et x, on pourra donc considérer que l’axe neutre est dans la table lorsque x 1.25 hf (Thonier 2012)
  • 30. Section en T – Calcul de l’armature  Si la contrainte dans l’acier est dépassée, il faudra recalculer la section d’armature As. Si l’axe neutre est dans la nervure, le calcul est relativement complexe. On pourra calculer As en prenant une formule approchée conservatrice pour le bras de levier Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 30  Dans cette formule on suppose que le béton est suffisant pour reprendre l’effort de compression, ce qui est généralement le cas (A’s = 0)
  • 31. MAÎTRISE DE LA FISSURATION Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 31
  • 32. Fissuration Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 32 (Perchat 2013)
  • 33.  Limites des ouvertures admises par l’Eurocode 2 (ELS quasi-permanent)  Modifications apportées par l’Annexe nationale française Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 33
  • 34. Maîtrise de fissuration- sans calcul direct (ELS quasi-permanent) - Les éléments dont les fissures sont dues principalement aux charges et respectant les dispositions du Tableau 7.2N ou 7.3N peuvent être dispensées de calcul direct (tableau 7.2 N uniquement en cas de fissures dues à des déformations gênées) Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 34 ou  Les conditions données par ces tableaux sont très défavorables pour le dimensionnement. Il est recommandé d’avoir recours au calcul de fissures.
  • 35.  Maîtrise de fissuration- sans calcul direct (ELS quasi-permanent)  Terme correcteur des diamètres proposés en fonction des enrobages a) si la fissuration est due à une flexion Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 35 b) si la fissuration est due à une traction kc = 0.4 (en flexion simple) hcr: hauteur de la zone tendue avant la fissuration, comme approximation on pourra retenir hcr = 0.5 h en flexion simple
  • 36. Dans le cas des dalles en béton armé ou précontraint dans les bâtiments, sollicitées à la flexion sans traction axiale significative, aucune disposition particulière n'est nécessaire pour la maîtrise de la fissuration lorsque l'épaisseur totale de la dalle n'excède pas 200 mm et que les spécifications de 9.3 sont respectées (dispositions constructives relatives aux dalles pleines)  Maîtrise de fissuration- sans calcul direct Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 36
  • 37.  Maîtrise de fissuration- sans calcul direct (ANF Ponts NF EN 1992-2-NA) En remplacement des valeurs tabulées très pénalisantes définies ci-dessus, la France propose dans son Annexe Nationale sur les ponts la méthode suivante : 1. l’espacement des armatures est inférieur à 5 (c + /2) ; 2. la contrainte σs dans les aciers passifs ne dépasse pas 1000.wk sous la combinaison d’Action fréquente pour des éléments ou parties d’éléments  Eléments en flexion (face comprimée et face tendue) Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 37 combinaison d’Action fréquente pour des éléments ou parties d’éléments fléchis. (Méthode testée par le SETRA, Paillé 2009) σs ≤ 1000.wk (σs est exprimée en MPa et wk en mm)
  • 38.  Maîtrise de fissuration - sans calcul direct (ANF Ponts) la deuxième condition (2.) devient : σs ≤ 600.wk (au lieu de 1000.wk)  Cas des sections soumises à une traction Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 38 pour des éléments ou parties d’éléments entièrement tendus (combinaison fréquente)
  • 39.  Armature minimale (maîtrise de fissuration)  Act : aire du béton tendu juste avant formation de la première fissure Act = 0,5.b.h (pour une section rectangulaire bh) Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 39  fct,eff = fctm  k = 1 pour les âmes de hauteur h  300 mm ou les membrures de largeur au plus égale à 300 mm  k = 0.65 pour les âmes de hauteur h  800 mm ou les membrures de largeur au moins égale à 800 mm
  • 40.  Armature minimale (maîtrise de fissuration) Pour les sections rectangulaires et les âmes des poutres en T ou en caisson  k1 = 1 en flexion simple  h* = Min[h,1m] Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 40  h* = Min[h,1m]  c : contrainte moyenne du béton s’exerçant sur la partie de section considérée c = Ned/Ac (=0 en flexion simple) kc=0.4 (en flexion simple) Note : pour une section rectangulaire en flexion simple, le pourcentage minimale pour la maîtrise de fissuration est moins exigent que celui de la non fragilité. On peut donc se dispenser de le vérifier.
  • 41.  Armature de peau (maîtrise de fissuration)  Cas des poutres de hauteur > 1 m L’eurocode 2 impose de disposer des armatures de peau sur le parement de la poutre, à l’intérieur des cadres , dans la partie tendue (en dessous de l’axe neutre) k =0.4 en flexion simple, 1 en traction pure ; k=0.5 ;  = f Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 41 peau = As / Act = 0.2 fctm / fyk en flexion  peau = As / Act = 0.5 fctm / fyk en traction pure kc=0.4 en flexion simple, 1 en traction pure ; k=0.5 ; s = fyk  Diamètres et espacements sont à disposer selon les tableaux 7.2N et 7.3N (ci- avant), avec une contrainte de traction de l’acier égale à la moitié de celle estimée pour les aciers de flexion
  • 42.  Armature de peau (maîtrise de fissuration) Note 1 : Cas de gros diamètres ( 32 mm) l’Eurocode prévoit de mettre des armatures longitudinales de peau dans la zone tendue en dehors des cadres. Ces armatures sont soumises aux Annexes nationales, et n’ont pas été retenus par la France. Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 42 Note 2 : Cas de ponts Comme l’Eurocode ne dit rien sur les poutres de hauteur > 1 m, la France impose, dans l’Annexe nationale de la partie Ponts, de disposer dans les poutres de grande hauteur des armatures de peau une section minimale dans le sens de la fibre moyenne, d’au moins 3 cm² par mètre de paroi perpendiculaire à la direction de ces armatures sans pouvoir être inférieure à 0,10 % de la section droite de la poutre. Pour les poutres situées en classe d’exposition XD et XS il y a lieu de disposer au moins 5 cm² par mètre de paroi perpendiculaire à la direction de ces armatures.
  • 43.  Largeur de fissures ‘Tirant’ BA de section droite Ac ou zone de béton entourant les armatures d’une poutre fléchie assimilable à un tirant Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 43 Etat homogène non fissuré :
  • 44. Aspect théorique L’ouverture moyenne wm d’une fissure peut être déterminé en calculant l’allongement moyen d’une armature par rapport à l’allongement du béton sur la longueur comprise entre deux fissures : Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration  Largeur de fissures Marwan SADEK 44  Note : Le lecteur pourra consulter l’ouvrage de Paillé 2009, ou Perchat 2013 pour plus de détails sur l’aspect théorique de l’ouverture de fissures.
  • 45.  Calcul de l’ouverture des fissures wk Aspect réglementaire a) Espacement des barres adhérentes < 5(c+/2) [cas de poutres en général] Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration  Largeur de fissures Marwan SADEK 45 k1 = 0,8 pour la barres HA, 1,6 pour des aciers effectivement lisses k2 = 0,5 en flexion, 1 en traction pure k3 = 3,4 Cette valeur a été invalidée par la France pour les enrobages forts  Prendre 3,4*(25/c)2/3 si c > 25 mm (AN, M. Cortade)
  • 46. hc,eff =Min[2,5.(h – d) ; h/2 ;(h – x)/3] x : distance de la fibre supérieure à l’axe neutre Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 46  : diamètre des barres (à remplacer par eq si plusieurs diamètres)
  • 47. Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 47 s : contrainte dans les aciers sous combinaison quasi-permanente (G + 0,3Q) en supposant la section fissurée kt = 0,4 pour un chargement de longue durée, 0,6 pour une courte durée
  • 48. b) Espacement des barres adhérentes > 5(c+/2) [cas de dalles en général] Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration Marwan SADEK 48 Max des 2 valeurs
  • 49. Exercices  Section rectangulaire sans armature comprimée :  Calcul As ELU Vérification ELS  Section rectangulaire avec armature comprimée :  Calcul As ELU 49 M. SADEK  Calcul As ELU  Vérification ELS Maîtrise de la fissuration  Utilisation des tableaux  Méthode utilisée pour les ponts  Calcul de l’ouverture des fissures