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Chapitre V
Poutre en flexion simple – Etat Limite Ultime ELU
1. Introduction
2. Hypothèses de calcul
3. Section rectangulaire sans armature comprimée
4. Section rectangulaire avec armature comprimée
5. Section en T
6. Divers
2
M. SADEK
 Poutre noyée
 Poutre avec retombée
 Poutre avec rehausse
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
3
M. SADEK
 Poutre sollicitée en flexion simple : M(x), V(x)
Note : en Béton Armé, les effets de ces deux sollicitations sont traités séparément.
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
4
M. SADEK
 Flexion simple / pure
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
5
 Apparition des premières fissures
 Accentuation des fissures
 Allongement excessif de l’acier / écrasement du béton
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
6
M. SADEK
 Poutre sollicitée en flexion simple (ELU)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
7
HYPOTHÈSES
H1) Principe de Navier-Bernoulli : au cours des déformations, les
sections droites restent planes et conservent leurs dimensions (Champ
de déformation linéaire dans la section)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
8
HYPOTHÈSES
H2) La résistance du béton tendu est négligée
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
9
HYPOTHÈSES
H3) un groupe de barres disposées en plusieurs lits est
équivalent à une barre unique située au C.D.G du groupe.
H4) Pas de glissement relatif entre acier et béton - Adhérence
parfaite entre l’acier et le béton :
au contact entre le béton et les armatures : s=c
H5) Les diagrammes de calcul contrainte-déformation pour le
béton et l'acier sont :
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
10
Béton – diagramme pour le calcul des sections
a) Parabole-rectangle
b) Bilinéaire simplifié
fcd :valeur de calcul de la résistance à la compression sur cylindre (t28j)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
11
c) Rectangulaire simplifié
Note : Dans notre calcul des sections à l’ELU, on adoptera le diagramme c.
L’utilisation des diagrammes a et b est autorisée par le code, voir annexe
pour le coefficient de remplissage et la position du CDG.
cc= 1 (ANF)
C = 1.5 (Situation durable) ; 1.2 (accidentelle)
Béton – diagramme pour le Calcul des sections
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
12
 Diagrammes de calcul :
 Branche sup. horizontale (sans limitation de la déformation de l’acier)
 Branche sup. inclinée (s  ud) ,
s = 1.15 (durable)
1.0 (accidentelle)
Acier – diagrammes pour le Calcul des sections
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
13
Exemple : Cas durable : fyd = fyk / s = 435 MPa
se = fyd/Es = 2.17.10-3
 < se => s = 200 000 
 > se => s = 435 MPa.
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
14
 s > se (situation durable)
s  435 + 727 (s -2.17.10-3) < 466 MPa pour les aciers B
s  435 + 952 ( s -2.17.10-3) < 454 MPa pour les aciers A
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
15
Règle de 3 Pivots :
Le dimensionnement à l’ELU se fait en supposant que le diagramme des
déformations passe par l’un des trois Pivots A, B ou C
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
16
 Pivot A (peu fréquent)
 Acier : c  cu
s = ud dépend du type d’acier (A, B ou C)
(pas de limitation si diagramme à palier horizontal)
Différence avec le BAEL : L’EC2 ne retient plus un pivot A à 10x10-3 mais à ud
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
17
 Pivot B (Cas courant)
 Béton : c = cu2 =3.5 ‰ , c2 =2 ‰ (pour fck50 MPa)
s  ud
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
18
Pivot C
(h-y) / h = c2/cu2 => y = (1-c2/cu2).h
(Compression, flexion composée)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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Flexion simple, ELU
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
20
 Combinaison fondamentale (Détail - Ch. 2)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
21
c
s
sc
Diagramme de
Déformations Efforts internes
Fc,sc
Fsc
Fc
Fs
z
 A : aire des armatures tendues
 d : hauteur utile - distance du centre de gravite des armatures tendues As à la fibre la plus comprimée
 A’ : aire des armatures comprimées éventuelles
 d’ : distance du centre de gravite de A’ à la fibre de béton la plus comprimée
 z : bras de levier
M > 0
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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 Fc : résultante des efforts de compression dans le béton
 Fsc : résultante des efforts de compression dans les aciers comprimés
 Fc,sc : résultante de Fc et Fsc
 Fs : résultante des efforts de traction dans les armatures tendues
 x : position de l’Axe Neutre
c
s
sc
Diagramme de
Déformations Efforts internes
x Fc,sc
Fsc
Fc
Fs
z
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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c
s
sc
Diagramme de
Déformations Efforts internes
x Fc,sc
Fsc
Fc
Fs
z
 Equilibre des forces Fs = Fc,sc
 Equilibre des moments MEd = Fc,sc .z = Fs.z
 3 Inconnus (en général) : A, A’, x
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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Section rectangulaire, sans armature comprimée (A’=0)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
25
Section rectangulaire, sans armature comprimée (A’=0)
Simplification de la loi de
comportement de l’acier
EC2 3.1.7(3)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
26
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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Fc
FS
Fc = Fs
MED = Fc.z
z
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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 Ecriture adimensionnelle :
On pose :
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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 fck 50 MPa,  = 1 ; =0.8
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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On note que :
x = u.d =(c / c+s) d
u = (c / c+s)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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 Frontières des pivots A, B
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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 Frontières des pivots A, B
 Acier type A  ud = 22,5 .10-3  AB = (3.5 / 3.5+22.5) = 0.135  AB = 0.102
 Acier type B   AB =0.072  AB = 0.056
 Acier type C   AB =0.049  AB = 0.039
 fck  50 MPa,  = 1 ; =0.8
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
33
 Pivot B AB  u
En général, on constate que l’on est pratiquement toujours en pivot B
 c = cu2 =3.5 ‰ ; s  ud
 s = (1/u -1) cu
(on fait travailler le béton au max)
 Frontières des pivots A, B
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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 Pivot B AB  u  lim
 Il ne faut pas avoir un acier sur le palier élastique, si non l’acier sera mal utilisé !
Dans ce cas, il faudra soit diminuer la section d’acier, soit prévoir une armature
comprimée pour mobilier un moment résistant plus élevé.
 Frontières des pivots A, B
s  ud mais s  se
Droite BE (section de poutre en
Pivot B et acier à la limite élastique)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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 Frontières des pivots A, B
(fck  50 Mpa)
Combinaisons Durables Combinaisons Accidentelles
s = 1.15 s = 1
fyk(MPa) lim lim lim lim
400 0.668 0.392 0.636 0.380
500 0.617 0.372 0.583 0.358
lim = BE
 Pivot B AB  u  lim
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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 Frontières des pivots A, B
 Pivot A
s =ud ; c =cu
u  AB
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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 Calcul de l’armature tendue A (fck 50 MPa)
a) Diagramme à palier incliné
i. u  AB  Pivot A
s = 454 MPa (Acier A) , 466 MPa (acier B)
ii. AB  u  lim  Pivot B
s = (1/u -1) cu
s  435 + 727 (s -2.17.10-3) < 466 MPa pour les aciers B
s  435 + 952 (s -2.17.10-3) < 454 MPa pour les aciers A
(A’=0, u  lim )
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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 Calcul de l’armature tendue A (fck 50 MPa)
b) Diagramme à palier horizontal
(A’=0, u  lim )
s = fyd
Note : Pas de limitation pour la déformation de l’acier
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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Note 1
 Hauteur utile d – valeur initiale de calcul
 d ne peut pas être déterminé exactement avant le calcul et le choix de l’armature
 prendre d  0.9 h pour les poutres courantes (formule trop favorable pour les poutres
noyées et les dalles d’épaisseur  20 cm)
 prendre d = h – cnom – 1 cm (dalle d’épaisseur  20 cm )
 Après détermination de l’armature, il est possible de calculer précisément la
hauteur utile dréel. Si dréel est nettement différente de dinitial , il peut être judicieux de
recalculer As.
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
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 Note 2
 Formule approchée pour le calcul de A
(pour vérifier l’ordre de grandeur)
z  0.9d ; d  0.9 h
 Avec cette formule approchée, aucune information n’est donnée sur la
contrainte de compression du béton. Elle sera complètement erronée si une
armature comprimée est nécessaire.
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
41
 Armature de fragilité
 Pour une section rectangulaire bh, le moment résistant ultime du béton non armé
MRc = (I/v)  fctm = (b.h²/6)  fctm
 La section As,min équilibre un moment
MRs = As,min  fyk  z
 En considérant MRc = MRs , et en remplaçant z  0.9 d ; h d / 0.9
As,min = b.d.[fctm/(0.9  0.81  6)fyk]  0.23 b d fctm / fyk
 L’EC2 remplace la valeur 0.23 par 0.26 et borne inférieurement la quantité 0.26
fctm/fyk à la valeur 0.0013
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
42
 Armature minimale
 Armature maximale
As,max = 0,04 Ac
 Ac représente la section transversale du béton
 As,max : section max des armatures tendues ou comprimées
 As,min : section min d’armatures longitudinales tendues
 bt : largeur moyenne de la zone tendue
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
43
Section rectangulaire, avec armature comprimée (A’0)
u  lim
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
44
Section rectangulaire, avec armature comprimée (A’0)
 3 inconnues (A, A’, x) / 2 équations ???
 Infinité de solutions
 Possibilité n°1 : Minimum de " A+ A’ " (calcul long)
 Possibilité n°2 : Notion de moment limite (adoptée en général)
Résolution par la Méthode de décomposition en 2 sections fictives
u  lim
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
45
2 sections fictives
 On fait travailler le béton au max sous Mlim  A1
 L’armature comprimée A’ reprend (Med  Mlim)  A2
u  lim  Med  Mlim= lim .b.d².fcd
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
46
cu
s
sc
x=lim.d
d’
d
A1 = Mlim / (1 – 0.4.lim).d.fyd
A’ = (Med – Mlim) / [sc . (d-d’)]
sc = 3,5.10-3. (1-d’/xlim)
La valeur de sc est proche de 3 °/°° (>se), qui donne une valeur de sc=fyd avec le
diagramme à palier horizontal et une valeur légèrement supérieur à fyd avec le
diagramme à palier incliné. Dans tous les cas, on pourra retenir une valeur de sc=fyd .
A2 = A’. sc / s = A’. fyd/ s
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
47
A1 = Mlim / [(1 – 0.4.lim).d.fyd]
A2 = A’. sc / s
A’ = (Med – Mlim) / [fyd . (d-d’)]
 Lorsque A et A’ de même type  sc = s = fyd  A2 = A’
A = A1 + A2
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
48
 Note 1 : l’EC2 ne limite plus le moment repris par l’armature
comprimée comme dans le BAEL (40% Med). Cependant, elle sera bornée
par la valeur de
A+A’  As,max = 0,04 Ac
 Note 2 : Il convient de maintenir toute armature longitudinale
comprimée (de diamètre ) prise en compte dans le calcul de résistance
au moyen d'armatures transversales espacées au plus de 15 
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
49
Section en T
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
50
 Largeur participante des tables de compression
 l0 : distance entre points de moment nul
(EC 2-1-1, 5.3.2)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
51
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
 Largeur participante des tables de compression
52
(EC 2-1-1, 5.3.2)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
 Largeur participante des tables de compression
53
 Moment maximum repris par la poutre dans le cas où la
table travaille entièrement en compression
2
f
uT eff f cd
h
M b h f (d ) 
1sA
ux fh
s 1sN
1cN
 ff h,dz 501
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
54
1er cas: cas fréquent M Mu uT
bw
b = beff
d
hf
L’axe neutre est situé dans la table de
compression, seule une partie de la table est
comprimée
la section en T se calcule comme une section
rectangulaire de largeur beff et de hauteur h
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55
2ème cas: L’axe neutre est situé dans la nervureM Mu uT
Décomposition en 2 sections fictives
Il faut s’attendre à une section d’armatures très importante
bw
b=beff
d
hf
=
beff-bw
A1
A2
bw
+
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
56
M Mu uT
1
eff w
u uT
eff
b b
M M
b

 Section A1 va résister :
bw
b=beff
d
hf
=
beff-bw
A1
A2
bw
+
A1= (beff-bw)×h0×fcd / s
(s = fyd, si diagramme à
palier horizontal)
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
57
M Mu uT
 Section A2 va résister
 Calcul comme section rectangulaire de largeur bw et de hauteur h
bw
b=beff
d
hf
=
beff-bw
A1
A2
bw
+
M M Mu u u2 1 
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
58
M Mu uT
 s = fyd , si diagramme à palier horizontal ou Pivot A (palier incliné)
 s = à déterminer en fonction de s si Pivot B (diagramme à palier incliné) ,
cette contrainte pourra être utilisée pour le calcul de A1
cdw
u
u
fdb
M
2
2
2   u u2 2125 1 1 2  , ( )
 Attention : Nécessité de A’ si u2 > lim
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
59
M Mu uT
bw
b=beff
d
hf
=
beff-bw
A1
A2
bw
+
A = A1 + A2
A1= (beff-bw)×h0×fcd / s
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
60
Prédimensionnement – Section rectangulaire (ordre de grandeurs)
b
h
Si b n’est pas imposée on peut prendre
0.3 h  b  0.5 h
On fixe une valeur pour b et on cherche la
valeur de h
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
61
Prédimensionnement – Section rectangulaire (ordre de grandeurs)
b
h
b/h  0.4 ; h  2.5 b
d  0.9 h = 2.25 d
 Pivot B AB  u  lim
 Acier B 0.056  u  0.372
0.056  Med / bd²fcd  0.372
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
62
Prédimensionnement – Section rectangulaire (ordre de grandeurs)
b
h
 Autres critères
- Dimensionnement ELS, flèche
 Acier A
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
63
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
64
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
65
1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
 source :Thonier (2013)
66
M. SADEK
Exercices
 Section rectangulaire sans armature comprimée :
 Calcul de armature tendue
o diagramme avec palier incliné
o Diagramme avec palier horizontal
o Calcul de la valeur exact de d
 Section rectangulaire avec armature comprimée :
 Calcul armature tendue et comprimé
 Prédimensionnement d’une poutre rectangulaire et calcul
d’armature avec prise en compte du poids propre
 Calcul d’une poutre en T

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SBA1 - EC2 - Chap 5 - Flexion simple - ELU

  • 1. 1 Chapitre V Poutre en flexion simple – Etat Limite Ultime ELU 1. Introduction 2. Hypothèses de calcul 3. Section rectangulaire sans armature comprimée 4. Section rectangulaire avec armature comprimée 5. Section en T 6. Divers
  • 2. 2 M. SADEK  Poutre noyée  Poutre avec retombée  Poutre avec rehausse 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 3. 3 M. SADEK  Poutre sollicitée en flexion simple : M(x), V(x) Note : en Béton Armé, les effets de ces deux sollicitations sont traités séparément. 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 4. 4 M. SADEK  Flexion simple / pure 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 5. 5  Apparition des premières fissures  Accentuation des fissures  Allongement excessif de l’acier / écrasement du béton 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 6. 6 M. SADEK  Poutre sollicitée en flexion simple (ELU) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 7. 7 HYPOTHÈSES H1) Principe de Navier-Bernoulli : au cours des déformations, les sections droites restent planes et conservent leurs dimensions (Champ de déformation linéaire dans la section) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 8. 8 HYPOTHÈSES H2) La résistance du béton tendu est négligée 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 9. 9 HYPOTHÈSES H3) un groupe de barres disposées en plusieurs lits est équivalent à une barre unique située au C.D.G du groupe. H4) Pas de glissement relatif entre acier et béton - Adhérence parfaite entre l’acier et le béton : au contact entre le béton et les armatures : s=c H5) Les diagrammes de calcul contrainte-déformation pour le béton et l'acier sont : 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 10. 10 Béton – diagramme pour le calcul des sections a) Parabole-rectangle b) Bilinéaire simplifié fcd :valeur de calcul de la résistance à la compression sur cylindre (t28j) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 11. 11 c) Rectangulaire simplifié Note : Dans notre calcul des sections à l’ELU, on adoptera le diagramme c. L’utilisation des diagrammes a et b est autorisée par le code, voir annexe pour le coefficient de remplissage et la position du CDG. cc= 1 (ANF) C = 1.5 (Situation durable) ; 1.2 (accidentelle) Béton – diagramme pour le Calcul des sections 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 12. 12  Diagrammes de calcul :  Branche sup. horizontale (sans limitation de la déformation de l’acier)  Branche sup. inclinée (s  ud) , s = 1.15 (durable) 1.0 (accidentelle) Acier – diagrammes pour le Calcul des sections 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 13. 13 Exemple : Cas durable : fyd = fyk / s = 435 MPa se = fyd/Es = 2.17.10-3  < se => s = 200 000   > se => s = 435 MPa. 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 14. 14  s > se (situation durable) s  435 + 727 (s -2.17.10-3) < 466 MPa pour les aciers B s  435 + 952 ( s -2.17.10-3) < 454 MPa pour les aciers A 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 15. 15 Règle de 3 Pivots : Le dimensionnement à l’ELU se fait en supposant que le diagramme des déformations passe par l’un des trois Pivots A, B ou C 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 16. 16  Pivot A (peu fréquent)  Acier : c  cu s = ud dépend du type d’acier (A, B ou C) (pas de limitation si diagramme à palier horizontal) Différence avec le BAEL : L’EC2 ne retient plus un pivot A à 10x10-3 mais à ud 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 17. 17  Pivot B (Cas courant)  Béton : c = cu2 =3.5 ‰ , c2 =2 ‰ (pour fck50 MPa) s  ud 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 18. 18 Pivot C (h-y) / h = c2/cu2 => y = (1-c2/cu2).h (Compression, flexion composée) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 19. 19 Flexion simple, ELU 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 20. 20  Combinaison fondamentale (Détail - Ch. 2) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 21. 21 c s sc Diagramme de Déformations Efforts internes Fc,sc Fsc Fc Fs z  A : aire des armatures tendues  d : hauteur utile - distance du centre de gravite des armatures tendues As à la fibre la plus comprimée  A’ : aire des armatures comprimées éventuelles  d’ : distance du centre de gravite de A’ à la fibre de béton la plus comprimée  z : bras de levier M > 0 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 22. 22  Fc : résultante des efforts de compression dans le béton  Fsc : résultante des efforts de compression dans les aciers comprimés  Fc,sc : résultante de Fc et Fsc  Fs : résultante des efforts de traction dans les armatures tendues  x : position de l’Axe Neutre c s sc Diagramme de Déformations Efforts internes x Fc,sc Fsc Fc Fs z 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 23. 23 c s sc Diagramme de Déformations Efforts internes x Fc,sc Fsc Fc Fs z  Equilibre des forces Fs = Fc,sc  Equilibre des moments MEd = Fc,sc .z = Fs.z  3 Inconnus (en général) : A, A’, x 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 24. 24 Section rectangulaire, sans armature comprimée (A’=0) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 25. 25 Section rectangulaire, sans armature comprimée (A’=0) Simplification de la loi de comportement de l’acier EC2 3.1.7(3) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 26. 26 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 27. 27 Fc FS Fc = Fs MED = Fc.z z 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 28. 28  Ecriture adimensionnelle : On pose : 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 29. 29  fck 50 MPa,  = 1 ; =0.8 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 30. 30 On note que : x = u.d =(c / c+s) d u = (c / c+s) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 31. 31  Frontières des pivots A, B 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 32. 32  Frontières des pivots A, B  Acier type A  ud = 22,5 .10-3  AB = (3.5 / 3.5+22.5) = 0.135  AB = 0.102  Acier type B   AB =0.072  AB = 0.056  Acier type C   AB =0.049  AB = 0.039  fck  50 MPa,  = 1 ; =0.8 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 33. 33  Pivot B AB  u En général, on constate que l’on est pratiquement toujours en pivot B  c = cu2 =3.5 ‰ ; s  ud  s = (1/u -1) cu (on fait travailler le béton au max)  Frontières des pivots A, B 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 34. 34  Pivot B AB  u  lim  Il ne faut pas avoir un acier sur le palier élastique, si non l’acier sera mal utilisé ! Dans ce cas, il faudra soit diminuer la section d’acier, soit prévoir une armature comprimée pour mobilier un moment résistant plus élevé.  Frontières des pivots A, B s  ud mais s  se Droite BE (section de poutre en Pivot B et acier à la limite élastique) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 35. 35  Frontières des pivots A, B (fck  50 Mpa) Combinaisons Durables Combinaisons Accidentelles s = 1.15 s = 1 fyk(MPa) lim lim lim lim 400 0.668 0.392 0.636 0.380 500 0.617 0.372 0.583 0.358 lim = BE  Pivot B AB  u  lim 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 36. 36  Frontières des pivots A, B  Pivot A s =ud ; c =cu u  AB 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 37. 37  Calcul de l’armature tendue A (fck 50 MPa) a) Diagramme à palier incliné i. u  AB  Pivot A s = 454 MPa (Acier A) , 466 MPa (acier B) ii. AB  u  lim  Pivot B s = (1/u -1) cu s  435 + 727 (s -2.17.10-3) < 466 MPa pour les aciers B s  435 + 952 (s -2.17.10-3) < 454 MPa pour les aciers A (A’=0, u  lim ) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 38. 38  Calcul de l’armature tendue A (fck 50 MPa) b) Diagramme à palier horizontal (A’=0, u  lim ) s = fyd Note : Pas de limitation pour la déformation de l’acier 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 39. 39 Note 1  Hauteur utile d – valeur initiale de calcul  d ne peut pas être déterminé exactement avant le calcul et le choix de l’armature  prendre d  0.9 h pour les poutres courantes (formule trop favorable pour les poutres noyées et les dalles d’épaisseur  20 cm)  prendre d = h – cnom – 1 cm (dalle d’épaisseur  20 cm )  Après détermination de l’armature, il est possible de calculer précisément la hauteur utile dréel. Si dréel est nettement différente de dinitial , il peut être judicieux de recalculer As. 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 40. 40  Note 2  Formule approchée pour le calcul de A (pour vérifier l’ordre de grandeur) z  0.9d ; d  0.9 h  Avec cette formule approchée, aucune information n’est donnée sur la contrainte de compression du béton. Elle sera complètement erronée si une armature comprimée est nécessaire. 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 41. 41  Armature de fragilité  Pour une section rectangulaire bh, le moment résistant ultime du béton non armé MRc = (I/v)  fctm = (b.h²/6)  fctm  La section As,min équilibre un moment MRs = As,min  fyk  z  En considérant MRc = MRs , et en remplaçant z  0.9 d ; h d / 0.9 As,min = b.d.[fctm/(0.9  0.81  6)fyk]  0.23 b d fctm / fyk  L’EC2 remplace la valeur 0.23 par 0.26 et borne inférieurement la quantité 0.26 fctm/fyk à la valeur 0.0013 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 42. 42  Armature minimale  Armature maximale As,max = 0,04 Ac  Ac représente la section transversale du béton  As,max : section max des armatures tendues ou comprimées  As,min : section min d’armatures longitudinales tendues  bt : largeur moyenne de la zone tendue 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 43. 43 Section rectangulaire, avec armature comprimée (A’0) u  lim 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 44. 44 Section rectangulaire, avec armature comprimée (A’0)  3 inconnues (A, A’, x) / 2 équations ???  Infinité de solutions  Possibilité n°1 : Minimum de " A+ A’ " (calcul long)  Possibilité n°2 : Notion de moment limite (adoptée en général) Résolution par la Méthode de décomposition en 2 sections fictives u  lim 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 45. 45 2 sections fictives  On fait travailler le béton au max sous Mlim  A1  L’armature comprimée A’ reprend (Med  Mlim)  A2 u  lim  Med  Mlim= lim .b.d².fcd 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 46. 46 cu s sc x=lim.d d’ d A1 = Mlim / (1 – 0.4.lim).d.fyd A’ = (Med – Mlim) / [sc . (d-d’)] sc = 3,5.10-3. (1-d’/xlim) La valeur de sc est proche de 3 °/°° (>se), qui donne une valeur de sc=fyd avec le diagramme à palier horizontal et une valeur légèrement supérieur à fyd avec le diagramme à palier incliné. Dans tous les cas, on pourra retenir une valeur de sc=fyd . A2 = A’. sc / s = A’. fyd/ s 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 47. 47 A1 = Mlim / [(1 – 0.4.lim).d.fyd] A2 = A’. sc / s A’ = (Med – Mlim) / [fyd . (d-d’)]  Lorsque A et A’ de même type  sc = s = fyd  A2 = A’ A = A1 + A2 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 48. 48  Note 1 : l’EC2 ne limite plus le moment repris par l’armature comprimée comme dans le BAEL (40% Med). Cependant, elle sera bornée par la valeur de A+A’  As,max = 0,04 Ac  Note 2 : Il convient de maintenir toute armature longitudinale comprimée (de diamètre ) prise en compte dans le calcul de résistance au moyen d'armatures transversales espacées au plus de 15  1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 49. 49 Section en T 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 50. 50  Largeur participante des tables de compression  l0 : distance entre points de moment nul (EC 2-1-1, 5.3.2) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 51. 51 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers  Largeur participante des tables de compression
  • 52. 52 (EC 2-1-1, 5.3.2) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers  Largeur participante des tables de compression
  • 53. 53  Moment maximum repris par la poutre dans le cas où la table travaille entièrement en compression 2 f uT eff f cd h M b h f (d )  1sA ux fh s 1sN 1cN  ff h,dz 501 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 54. 54 1er cas: cas fréquent M Mu uT bw b = beff d hf L’axe neutre est situé dans la table de compression, seule une partie de la table est comprimée la section en T se calcule comme une section rectangulaire de largeur beff et de hauteur h 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 55. 55 2ème cas: L’axe neutre est situé dans la nervureM Mu uT Décomposition en 2 sections fictives Il faut s’attendre à une section d’armatures très importante bw b=beff d hf = beff-bw A1 A2 bw + 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 56. 56 M Mu uT 1 eff w u uT eff b b M M b   Section A1 va résister : bw b=beff d hf = beff-bw A1 A2 bw + A1= (beff-bw)×h0×fcd / s (s = fyd, si diagramme à palier horizontal) 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 57. 57 M Mu uT  Section A2 va résister  Calcul comme section rectangulaire de largeur bw et de hauteur h bw b=beff d hf = beff-bw A1 A2 bw + M M Mu u u2 1  1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 58. 58 M Mu uT  s = fyd , si diagramme à palier horizontal ou Pivot A (palier incliné)  s = à déterminer en fonction de s si Pivot B (diagramme à palier incliné) , cette contrainte pourra être utilisée pour le calcul de A1 cdw u u fdb M 2 2 2   u u2 2125 1 1 2  , ( )  Attention : Nécessité de A’ si u2 > lim 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 59. 59 M Mu uT bw b=beff d hf = beff-bw A1 A2 bw + A = A1 + A2 A1= (beff-bw)×h0×fcd / s 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 60. 60 Prédimensionnement – Section rectangulaire (ordre de grandeurs) b h Si b n’est pas imposée on peut prendre 0.3 h  b  0.5 h On fixe une valeur pour b et on cherche la valeur de h 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 61. 61 Prédimensionnement – Section rectangulaire (ordre de grandeurs) b h b/h  0.4 ; h  2.5 b d  0.9 h = 2.25 d  Pivot B AB  u  lim  Acier B 0.056  u  0.372 0.056  Med / bd²fcd  0.372 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 62. 62 Prédimensionnement – Section rectangulaire (ordre de grandeurs) b h  Autres critères - Dimensionnement ELS, flèche  Acier A 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 63. 63 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 64. 64 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers
  • 65. 65 1. Introduction 3. Sec. rect. (A’=0) 5. Section en T2. Hypothèses 4. Sec. rect. avec A’ 6. Divers  source :Thonier (2013)
  • 66. 66 M. SADEK Exercices  Section rectangulaire sans armature comprimée :  Calcul de armature tendue o diagramme avec palier incliné o Diagramme avec palier horizontal o Calcul de la valeur exact de d  Section rectangulaire avec armature comprimée :  Calcul armature tendue et comprimé  Prédimensionnement d’une poutre rectangulaire et calcul d’armature avec prise en compte du poids propre  Calcul d’une poutre en T