1
República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para La Educación
"Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco"
Barquisimeto, Edo – Lara
Maybell Moreno 27.025.877

2
Expresiones Algebraicas:
Una expresión algebraica es una combinación de letras o letras y números unidos por
medio de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación, de
manera finita.
Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se dice otra cosa,
representan valores fijos en la expresión. Estas letras también se pueden llamar parámetros.
Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos, representan variables que
pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales.
Simplificación de Expresiones
(En una variable)
Simplificar una expresión algebraica, consiste en escribirla como otra expresión algebraica
equivalente, más simple.
Para obtener la forma más simple equivalente de una expresión algebraica, se toma cada
uno de los términos y en lo posible escribirlos de tal manera que sean semejantes (sus partes
literales iguales), para luego aplicarles las operaciones indicadas en la expresión algebraica
original.
Al simplificar una expresión algebraica se deben tener en cuenta las reglas de los números
como también las reglas de la potenciación y de la radicación.
Simplifique con un sólo término la expresión algebraica:
Solución:
Propiedades de las potencias
Suma de términos semejantes
La expresión , es la simplificación con un solo termino de
La restricción , nos garantiza que el denominador no puede ser cero (0).
Ejemplo 2
Simplifique con un sólo término la expresión algebraica √ ⁄
√
solucion:

3
√ ⁄
√
√ √ √ √ Equivalencia de los exponentes
racionales y racionalización
√ √ √ √ Suma de términos semejantes
La expresión obtenida, es la simplificación con un sólo término de:
√ ⁄
√
√ La restricción b > 0 garantiza que la expresión √b es un número real y
diferente de cero (porque √b es un denominador de la expresión original).
Simplificación de Expresiones
(En dos o más Variables)
Simplifique con un sólo término la expresión algebraica a (-3b) -2ab.
Solución:
a(-3b) – 2ab = -3ab + -2ab Multiplicación entre dos expresiones
= -5ab Suma de expresiones
La expresión es la simplificación con un sólo término de la expresión a (-3b) -2ab, para todo
valor de a y b.
Ejemplo 2
Simplifique con un sólo término la expresión algebraica
La expresión es la simplificación con un sólo término de la expresión dada. La
restricción pq ≠ 0 es porque el denominador (pq)2
, no puede ser cero.
Polinomio
Un polinomio de grado n en la variable x, es de la forma:
dónde: y se les llama coeficientes del polinomio y n es un
número entero no negativo. El dominio de un polinomio son todos los números reales. Cada
término de un polinomio en una variable es de la forma axn
y tiene grado n.

4
Cada término de un polinomio en dos variables, es de la forma axn
ym
con n y m enteros no
negativos y tiene grado n + m.
Cada término de un polinomio en tres o más variables se define en forma similar.
Ejemplos
Las siguientes expresiones algebraicas, son polinomios:
Son polinomios en una variable con coeficientes reales. Se observa además que todos los
exponentes son números enteros no negativos.
Las siguientes expresiones algebraicas NO son polinomios:
√ √ √ √ ⁄
NO es un polinomio, porque el exponente de la variable x no es un
número natural.
√ NO es polinomio, porque la variable x en uno de los términos tiene un
exponente negativo.
Valor Numérico de una Expresión
Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se reemplaza el valor dado de
la(s) letra(s) y se realizan las operaciones indicadas en la expresión, ahora, entre números,
El valor obtenido, es el valor numérico de la expresión dada.
Ejemplo 1
Evalúe la expresión para x = -1.
Luego el valor numérico de la expresión para x = -1 , es 1.
Ejemplo 2
Evalúe la expresión (1 - √x)(1 + √x) para x = 2.
Solución:
(1-√x) (1+√x) = (1-√2) (1+√2) Al reemplazar x=2

5
=1.(1+√2) – √2.(1+√2) propiedades distributiva de la multiplicación respecto de la suma de numero reales
=1+√2-√2-(√2)
2
propiedades distributiva de la multiplicación respecto de la suma de numero reales
=1-(√2)
2
suma de números reales
=1-2 definición de potenciación
=-1 suma de números reales
El valor numérico de la expresión dada es -1.
Suma, Resta, Multiplicación y división
Suma y resta: para sumar o restar monomios deben ser semejantes. Se suman o
restan los coeficientes de cada monomio como resultado de sacar como factor común la
parte literal.
Por ejemplo:
 6 x2
+ 3 x2
= 9 x2
 (-3 x4
)-(-2 x4
) = -3 x4
+ 2 x4
= - x4
Producto: para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes entre sí y se suman
los grados (no es necesario que sean semejantes):
 6 x2
· 3 x5
= 18 x7
 2 x · 4 x5
= 8 x1+5
= 8 x6
 2 x3
(-3 x4
) = - 6 x7
Cociente: para dividir dos monomios se dividen los coeficientes entre sí y se restan los
grados (el resultado puede que no sea un monomio):
 6 x7
: 3 x5
= 2 x7-5
= 2 x2
 8 x7
: (-2 x) = -4 x7-1
= -4 x6
Potencia: la potencia de un monomio se obtiene elevando el coeficiente al exponente y
multiplicando el grado del monomio por el exponente de la potencia:
 (2 x2
)3
= 23
x2·3
= 8 x6
 (-2 x2
)3
=(- 2)3
x2·3
=-8 x6
Al igual que con los monomios, se puede operar con polinomios de forma muy parecida.
Suma y resta: para sumar o restar dos polinomios se suman o restan entre sí los
coeficientes de los monomios semejantes:

6
Producto: para multiplicar dos polinomios se multiplican todos y cada uno de los monomios
del primero por todos y cada uno de los monomios del segundo, agrupando a continuación
los monomios semejantes:
El producto también se puede realizar aplicando la multiplicación término a término y luego
simplificando los términos del mismo grado:
(2x +3)(2x-4) = 4x2
-8x + 6x - 12 = 4x2
-2x - 12
(2x-3)(x2
-2)= 2x3
-4x-3x2
+6 = 2x3
- 3x2
- 4x + 6
Cociente: para dividir dos polinomios, el grado del dividendo debe ser mayor o igual que el
grado del divisor. Colocamos el polinomio dividendo completo; de forma que si falta algún
término, se coloca un 0 en su lugar. Se dividen los términos principales de ambos polinomios,
obteniéndose el primer monomio del cociente. Se multiplica ese monomio por el divisor y se
resta del dividendo, con lo que el grado del dividendo disminuye. Se repite el proceso
mientras que el grado del dividendo sea mayor o igual que el del divisor. Al final, obtenemos
el polinomio cociente y el resto, que deberá tener grado menor que el divisor.
Multiplicación de fracciones algebraicas:
Las fracciones algebraicas son multiplicadas de la misma manera que las fracciones son
multiplicadas en aritmética. Veamos el ejemplo aritmético:
Que puede ser simplificado a
Aquí multiplicamos los numeradores para obtener el numerador del producto. Multiplicamos
los denominadores para obtener el denominador del producto. Con frecuencia podemos
simplificar la multiplicación cambiando los términos de las fracciones a forma de factorización
y luego cancelando factores iguales antes de multiplicar.
Cancelamos (dividimos) como sigue:
Aquí hemos dividido el 15 en el numerador y el 25 en el denominador por 5. Hemos dividido
el 7 del denominador por 7 y el 14 del numerador por 7. Multiplicando los factores resultantes
en el numerador y multiplicando los factores resultantes en el denominador, obtenemos
nuestra respuesta, 6/5.

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Estudiemos dos ejemplos algebraicos.
Ejemplos ilustrativos: Multiplicación de fracciones
1- Multiplicar:
Solución. Dado
Multiplicando numerador por numerador y denominador por denominador, obtenemos:
Que es la respuesta.
2- Multiplicar
Solución. Dado :
Recíprocos: El recíproco de una cantidad es el resultado obtenido de dividir el número 1 por
dicha cantidad. Por ejemplo, el recíproco de 2 es ½; el recíproco de 3x es ; el recíproco de a
+ b es
¿Cuál sería el recíproco de 2/3? De acuerdo con nuestra definición, sería ahora;
Significa
Así, el recíproco de 2/3 es 3/2. Observe que podemos obtener la respuesta simplemente
invirtiendo 2/3. De forma similar, el recíproco de x/y es y/x; el recíproco de 1/5 es 5/1 o sea 5.
División de fracciones. El procedimiento para dividir una fracción por otra en álgebra es
similar al método que usamos en aritmética. Invertimos el divisor y después procedemos
como en la multiplicación. En aritmética;
Para dividir una fracción por otra: invierta la fracción por lo cual está dividiendo y luego
prosiga con la multiplicación
Fracciones algebraicas.
Mínimo común denominador. En aritmética
aprendimos que podemos agregar solo
cantidades similares. Podemos agregar
dólares solo a dólares, años solo a años y
minutos solo a minutos. No podemos agregar
Factorizando, obtenemos:
Por cancelación (división) de factores comunes,
obtenemos: 1/3

8
minutos a horas hasta que los hayamos cambiado al mismo tipo de unidades, por ejemplo,
minutos. No podemos agregar centavos a dólares hasta que los hayamos cambiado a los
mismos a los mismos tipos de unidades, por ejemplo, centavos. Del mismo modo, no
podemos agregar tercios y quintos hasta que los cambiemos en el mismo tipo de unidades,
por ejemplo, quintos.
O sea, para sumar 2/3 y 3/5, cambiamos 2/3 a 10/15 y cambiamos 3/5 a 9/15. Después, los
sumamos para obtener 19/15. Así:
Podríamos haber cambiado 2/3 y 3/5 a las fracciones equivalentes con denominador 30 o
cualquier otro denominador divisible tanto por 3 como por 5. Por ejemplo, podríamos haber
cambiado estas fracciones por treintavos, cuarentaicinoavos, o sesentavos. Cada uno de estos
posibles denominadores, 15, 30, 45, 60 es llamado común denominador. El denominado común
más chico (en este caso el 15), es llamado mínimo común denominador (abreviado m.c.m.).
Al sumar fracciones cuyos denominadores no son similares, debemos primero cambiar todas las
fracciones a fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Podemos simplificar
nuestro trabajo usando como común denominador el mínimo común denominador. Antes de
profundizar más el tema de la adición de fracciones con distinto denominador, consideremos
cómo cambiamos tales fracciones a fracciones equivalentes con igual denominador.
Las fracciones en la historia.
Cambiar los respectivos numeradores y los denominadores de las fracciones para que las
mismas pudieran sumarse o restarse fue una operación difícil para los matemáticos durante
siglos. Los babilonios quisieron expresar sus fracciones con 60 como denominador y los
romanos trataron de hacer lo mismo con 12 como denominador. Aunque Euclides de
Alejandría (alrededor de 300 a.C.) supo cómo encontrar el mínimo común denominador de
dos o más fracciones, sin embargo, no fue hasta siglos más tarde que Occidente, siguiendo
las instrucciones de los árabes, adoptó nuestros métodos actuales para encontrar el más bajo
denominador común de fracciones.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS : Cambio de las fracciones a fracciones equivalentes cuyos
denominadores son mínimo común denominador.
1. Cambiar a fracciones equivalentes con el mínimo común denominador (m.c.m.) como
denominador en cada fracción para 5/8; 2/3; 1/4
Solución. Como 24 es el número más pequeño en el que se pueden dividir por 8, 3 y 4, 24 es
el mínimo común denominador. Por lo tanto, convertimos cada fracción en veinticuatroavos.
Dividimos 24 por 8 y obtenemos 3. Luego multiplicamos el numerador y el denominador de la
primera fracción por 3 y obtenemos 15/24. De manera similar, dividimos 24 por 3 y
obtenemos 8. Luego multiplicamos cada miembro de la segunda fracción por 8 y obtenemos
16/24. De manera similar, dividimos 24 por 4 y obtenemos 6. Luego multiplicamos cada
miembro de la tercera fracción por 6 y obtenemos 6/24. Así :

9
Dadas las fracciones , Fracciones equivalentes, el denominador de cada una es el
minimo comun denominador
2. Cambio a fracciones equivalentes con el mínimo común denominador en cada fracción:
Solución.
24 es el menor número que contiene a 6,8 y 4 como factores; a3
es la menor cantidad con
contiene a a2
, a y a3
; y b4
es la menor cantidad que contiene a b3
, b4
y b. Por lo tanto,
el mínimo común denominador es 24a3
b4
. Dividimos 24a3
b4
por 6a2
b3
y obtenemos 4ab, y
luego multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por 4ab y
obtenemos
Dividimos 24a3
b4
por 8ab4
y obtenernos 3a2
, y luego multiplicamos cada miembro de la
segunda fracción por 3a2
y obtenemos
Similarmente, dividimos 24a3
b4
por 4a3
b y obtenemos 6b3
, y luego multiplicamos cada
miembro de la tercera fracción por 6b3
y obtenemos
Debemos escribir nuestro trabajo como:
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Los productos notables son operaciones algebraicas, donde se expresan multiplicaciones de
polinomios, que no necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas
reglas se pueden encontrar los resultados de las mismas.es una fórmula que resulta de una
factorización, compuesta por polinomios de varios términos como por ejemplo binomios o
trinomios, llamados factores.
Los factores son la base de una potencia y tienen un exponente. Cuando se multiplican los
factores, los exponentes deben ser sumados.
Existen varias fórmulas de producto notable, unas son más usadas que otras, dependiendo
de los polinomios, y son las siguientes:
Binomio al cuadrado:
Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia, donde los
términos son sumados o restados:

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a. Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más el doble del
producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente
manera:
(a + b)2
= (a + b) * (a + b).
En la figura siguiente se puede observar cómo se desarrolla el producto según la regla
mencionada. El resultado es llamado de trinomio de un cuadrado perfecto.
Ejemplo
(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5)² = x² + 10x+ 25.
b. Binomio de una resta al cuadrado: se aplica la misma regla del binomio de una suma, solo
que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente:
Producto de binomios conjugados
Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos
diferentes, es decir, el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa. Se
resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se restan. Su fórmula es la siguiente:
(a + b) * (a – b)
En la siguiente figura se desarrolla el producto de dos binomios conjugados, donde se
observa que el resultado es una diferencia de cuadrados.
Producto de dos binomios con un término común
Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una
multiplicación de dos binomios que tienen un término en común. La regla indica lo siguiente:
 El cuadrado del término común.
 Más la suma los términos que no son comunes
y luego multiplicarlos por el término común.
Ejemplo:
(a – b)2
= [(a) + (- b)]2
(a – b)2
= a2
+2a * (-b) + (-b)2
(a – b)2
= a2
– 2ab + b2
.
Ejemplo:
(2x – 6)2
= (2x)2
– 2 (2x * 6) + 62
(2x – 6)2
= 4x2
– 2 (12x) + 36
(2x – 6)2
= 4x2
– 24x + 36.
Ejemplo
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 – 9b2.

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 Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.
Se representa en la fórmula: (x + a) * (x + b) y es desarrollada como se muestra en la imagen.
El resultado es un trinomio cuadrado no perfecto.
(x + 6) * (x + 9) = x2
+ (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2
+ 15x + 54.
Existe la posibilidad de que el segundo
término (el término diferente) sea negativo y
su fórmula es la siguiente: (x + a) * (x – b).
Ejemplo
(7x + 4) * (7x – 2) = (7x * 7x) + (4 – 2)* 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2
+ (2)* 7x – 8
(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2
+ 14x – 8.
También puede ser el caso de que ambos términos diferentes
sean negativos. Su fórmula será: (x – a) * (x – b).
Polinomio al cuadrado
En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se
eleva al cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un
término con otro; su fórmula es: (a + b + c)2 y el resultado de la operación es un
trinomio al cuadrado.
Ejemplo 1
(3x + 2y + 4z)2
= (3x)2
+ (2y)2
+ (4z)2
+ 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z)2
= 9x2
+ 4y2
+ 16z2
+ 12xy +24xz + 16yz.
Binomio al cubo

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Es un producto notable complejo. Para desarrollarlo se multiplica el binomio por su cuadrado,
de la siguiente manera:
a. Para el binomio al cubo de una suma:
 El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el
segundo.
 Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
 Más el cubo del segundo término.
(a + b)3
= (a + b) * (a + b)2
(a + b)3
= (a + b) * (a2
+ 2ab + b2
)
(a + b)3
= a3
+ 2a2
b + ab2
+ ba2
+ 2ab2
+ b3
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
.
b. Para el binomio al cubo de una resta:
 El cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el
segundo.
 Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
 Menos el cubo del segundo término.
(a – b)3
= (a – b) * (a – b)2
(a – b)3
= (a – b) * (a2
– 2ab + b2
)
(a – b)3
= a3
– 2a2
b + ab2
– ba2
+ 2ab2
– b3
(a – b)3
= a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
.
Cubo de un trinomio
Se desarrolla multiplicándolo por su cuadrado. Es un producto notable muy extenso porque
se tienen 3 términos elevados al cubo, más el triple de cada término elevado al cuadrado,
multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el producto de los tres términos.
Visto de una mejor forma:
(
a + b + c)3
= (a + b + c) × (a + b + c)2
(
a + b + c)3
= (a + b + c) × (a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc)
(
a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3a2
b + 3ab2
+ 3a2
c + 3ac2
+ 3b2
c + 3bc2
+ 6abc.

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Ejercicios a Resolver:
SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Simplifica: (5x2
+ 8x - 3) + (2x2
– 7x + 13x)
5x2
+ 8x – 3 + 2x2
– 7x + 13x
= 7x2
+ 14x – 3
B)- (5h3
– 8h) + (-2h3
– h2
– 2h)
5h3
– 8h – 2h3
– h2
– 2h
=3h3
– h2
– 10h
RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Restar Polinomios:
Simplifica: (-4x4
+ 6x2
+ 3) – (5x2
+ 3)
-4x4
+ 6x2
+ 3 – 5x2
+ 3
= -4x4
+ x2
+ 6
B)- (-w3
+ 8w2
– 3w) – (4w2
+ 5w - 7)
-w3
+ 8w2
- 3w- 4w2
– 5w + 7
= -w3
+ 4w2
+ 8w + 7
Resta de Polinomios:
A)- -2x2
+ 4x – 1 de 6x2
+ 3x – 9
6x2
+ 3x – 9 – (- 2x2
+ 4x -1)
6x2
+ 3x – 9 + 2x2
- 4x +1
= 8x2
– x – 8
B)- 3x2
+ 7x – 4 de 8x2
– 6x + 2
8x2
– 6x + 2 - 3x2
- 7x + 4
= 5x2
+ 13x + 6
MULTIPLICACION DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Multiplicar Monomios por Polinomios:
-4x2
×(3x2
+ 25x – 7)
= (-4x2
).(3x2
) + (-4x2
).(25x) + (-4x2
).(-7)
= 12x4
- 100x3
+ 28x2
B)- 4b2
× (b3
- 8)
= (4b2
).(b3
) + (4b2
).(-8)
= 4b5
– 32b2
Multiplicar Binomios por Polinomios:
(10a – 3)× (5a2
+ 7a – 1)
=10a × (5a2
+ 7a – 1) – 3 (5a2
+ 7a – 1)
=50a3
+ 70a2
– 10a – 15a2
– 21a +3
= 50a3
+ 55a2
– 31a + 3
B)- (d2
+ 3)×(d2
+ 2d + 1)
D2
×(d2
+ 2d + 1) + 3 ×(d2
+ 2d + 1)
D4
+ 2d3
+ d2
+ 3d2
+ 6d + 3
D4
+ 2d3
+ 4d2
+ 6d + 3
DIVISION DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
División de un Monomio entre un
Monomio
10y5
entre 2y2
10y5
/ 2y2
= 5y3
Un rectángulo tiene un área de 8x2
y una
longitud de 4x. Encuentra el ancho del
rectángulo usando la fórmula:
8x2
/4x =2x = 2x
División de un polinomio entre un
monomio:
32x2
+20x-12x3
/ 4x
(32x2
/ 4x) + (20x / 4x) - (12x3
/ 4x)
=8x+5-3x2
B)- 30f4
– 10f3
+ f2
– 20/10f2
30f4
/10f2
- 10f3
/ 10f2
+ f2
/10f2
– 20/10f2
=3f2
– f +