1. Závěrečný úkol KPI
Matěj Klusáček, 324101
Téma jsem si vybral proto, že mnoho lidí nerozumělo tématu mé bakalářské práce a chtěl
jsem to zkusit odborně, ale zároveň pochopitelně vysvětlit. Narozdíl od skutečně
odborného matematického textu jsem se snažil vynechávat složité symbolické zápisy,
definice a důkazy, místy text mírně přesahuje do populárně-naučného stylu. Zastávám ale
názor, že alespoň ze začátku si to jako autor mohu dovolit. Proto mírně chytlavý začátek,
který má zaujmout. Název prošel postupným ubíráním odborných termínů tak, aby zaujal i
odborníky z jiných odvětví.
Anotace:
Text se zabývá otázkou, jaké grafy (tj. body spojené čarami) lze nakreslit tak, aby se
žádné dvě spojnice nekřížily. Takto nakreslené grafy mají několik výhod – především
některé algoritmy z oblasti dopravy, chemie či sociálních sítí s nimi pracují rychleji. V textu
jsou představeny matematické charakteristiky zmíněných grafů a také jedna z pokročilých
konstrukcí, jak křížení odstranit. Závěrem je nastíněn současný stav výzkumu v této
oblasti teorie grafů.
Klíčová slova: graf, rovinný graf, planární obal, nakreslení grafu

2. O (NE)KŘÍŽENÍ CEST
Starobylé město Královec se pyšnilo sedmi mosty. Ještě v osmnáctém století si místní
obyvatelé lámali hlavy, zda lze najít takovou procházku, která by vedla po každém mostě
právě jedenkrát. Tato stará hádanka dala vzniknout novému matematickému oboru – teorii
grafů.
Obr. 1. Mosty v Královci
Zmíněný obor se zabývá výpočty nad grafy – grafem je v tomto případě nějaká množina
bodů vzájemně propojených spojnicemi. Na obrázku lze vidět problém mostů v Královci a
jeho zjednodušený přepis do řeči teorie grafů. Jednotlivé kousky pevniny jsou body
(vrcholy), mosty pak tvoří spojnice (hrany) mezi nimi. Přesně takové struktury mají
v dnešní době nespočetné využití (především v navigačních systémech, sociálních sítích,
chemii a dopravě). Existují grafy jednoduché s nemnoha body a naopak sítě nesmírně
složité s velkým množstvím vrcholů a hran, které se často kříží.
V tomto textu se zaměříme právě na problém křížících se hran. Existují případy nakreslení
grafů, v nichž se hrany kříží, ačkoli to není nutné. Představme si čtyři body uspořádané do
čtverce. Každý bod je propojený s každým, tedy vzniká jakýsi čtverec s křížením
uprostřed. Nicméne pokud jednu z diagonálních hran nakreslíme tak, že povede z jednoho
do druhého bodu okolo, odstraníme křížení, přičemž struktura grafu zůstane zachována.
Pokud bychom si představili pět bodů, kde jsou všechny vzájemně spojené, už se nám
nakreslení bez křížení nepovede. Proč je to důležité? Grafy, které je možné nakreslit bez
křížení, se nazývají rovinné a jsou z pohledu matematiky velmi důležité – některé
algoritmy s nimi pracují rychleji než na grafech nerovinných.
Nejdříve se podíváme na podmínky, které musí být splněny, aby byl graf rovinný. V druhé

3. části práce pak prezentujeme jeden nápad, jak z některých nerovinných grafů udělat
rovinné s podobnými vlastnostmi.
Kdy je graf rovinný? Jak již bylo zmíněno výše, rozhodně to nesmí být graf na pěti
vrcholech, které jsou vzájemně úplně propojené (takovému grafu se říká K 5 ). Stejně tak
jakýkoliv graf, který v sobě K 5 obsahuje, nemůže být rovinný. Druhý z takových malých
grafů, který zabraňuje rovinnosti, je graf na šesti vrcholech, které jsou rozděleny na dvě
poloviny (tři a tři). Každý vrchol je spojen se všemi vrcholy z druhé poloviny a zároveň není
spojen s žádným vrcholem své poloviny. Takový graf je nazýván K 3,3 . A to je vše.
Matematicky lze dokázat, že rovinné jsou právě ty grafy, které v sobě neobsahují žádný ze
dvou zmíněných zakázaných grafů - K 5 a K 3,3 .
Důležitá je ještě správná definice pojmu „obsahovat“. Definujme ho takto: Graf G obsahuje
graf H právě tehdy když můžeme H dostat z g aplikováním libovolného počtu následujících
operací:
– odebrání hrany či vrcholu
– sloučení dvou sousedních (tedy spojených hranou) vrcholů do jednoho (tak, že
původní hrany obou vrcholů nyní vychází z nového vrcholu)
Tím jsme charakterizovali třídu grafů, které rovinné jsou, i třídu těch, které nikoliv.
Obr.2. Nerovinné grafy K 5 a K 3,3
Zajímavý koncept nadále rozšiřující otázku rovinnosti grafů předložil v roce 1988 Seyia
Negami[3]. Jednalo se o takzvaný planární (neboli rovinný) obal – graf, který je
strukturálně velmi podobný nějakému nerovinnému grafu, nicméně neobsahuje žádné
křížení hran. Co ale znamená „strukturálně velmi podobný“? Nejdříve postupně očíslujme
libovolně vrcholy grafu G, kterému budeme konstruovat planární obal. Nyní použijme
matematickou definici: Graf H je planárním obalem grafu G, pokud je rovinný a zároveň lze
každému vrcholu z H přiřadit číslo takové, že sousedí (je spojen hranou) se stejně

4. očíslovanými vrcholy jako původní vrchol stejného čísla v G. Co to znamená? Intuitivně si
celou konstrukci lze představit tak, že pokud bychom se nalézali v libovolném vrcholu a
podívali se na své nejbližší sousedy, pak bychom nepoznali, zda jsme v G či v H. Nejlépe
to ilustruje obrázek níže.
Obr.3. Planární obal grafu K 5 a samotný K 5
Přirozená otázka zněla: Jak popsat třídu těch grafů, kterým lze sestrojit planární obal?
Motivací je opět fak, že na planárním obalu (tedy rovinném grafu) mohou některé algoritmy
fungovat lépe a rychleji než na původním narovinném grafu. Negami ve stejném roce
publikoval domněnku, která říká, že graf má planární obal pouze tehdy, pokud lze nakreslit
bez křížení hran na tzv. projektivní rovině. Projektivní rovina je typ povrchu, který nelze
nakreslit ve 3D zobrazení – jedná se o jakousi zkroucenou pneumatiku, která prochází
sama sebou. Tato teze nicméně stále není zcela dokázaná, pěkné shrnutí dosavadního
výzkumu a dostupných poznatků můžeme nalézt v odborném článku Petra Hliněného
z roku 2008[1].
V současné době je nejrozsáhlejší výzkum zaměřen na efektivní hledání zakázaných
nerovinných grafů ve velkých grafech (tedy efektivní zjišťování rovinnosti), stejně jako
pokračují studie planárních obalů a také ještě mírně rozšířenějšího konceptu (takzvaných
planárních emulátorů). Vše je ale jen nepatrných kouskem koláče zvaného Teorie Grafů,
který díky mostům v Královci upekl teprve před dvěma stoletími slavný matematik
Leonhard Euler, když si mosty schematicky překreslil a následně problém vyřešil. Jak už
asi tušíte, procházka po všech mostech možná není.

5. Obr. 4. Některé zajímavé grafy a jejich vlastnosti související s rovinností

6. Seznam použité literatury
[1] HLINĚNÝ, Petr. 20 Years of Negami’s Planar Cover Conjecture. Graphs and
Combinatorics. 2010, č. 26, s. 525-536.
[2] Mathematics of Michigan [online]. [cit. 2013-01-05].
Dostupné z: http://www.math.lsa.umich.edu/
[3] NEGAMI, Seyia. Graphs Which Have No Finite Planar Covering, Bulletin of the Institute
of Math, Academia Sinica 1988, č. 16, s. 378–384.
[4] PICKOVER, Clifford A. Matematická kniha: od Pythagora po 57. dimenzi : 250 milníků
v dějinách matematiky. 1. vyd. v českém jazyce. Praha: Argo, 2012, 542 s. Zip (Argo:
Dokořán). ISBN 978-80-257-0705-0.
Krátké hodnocení zdrojů:
[1]
– kvalitní erudovaný autor (v oboru jeden z největších odborníků)
– článek vyšel v odborném periodiku
– článek používá odborné termíny (navíc je psán v angličtině)
– článek obsahuje poměrně aktuální informace
– informace jsou přesné a pořádně matematicky dokázané
[2]
– kvalitní univerzita nabízející dobré online kurzy
– erudovaní autoři kurzů
– pěkně a názorně vysvětlené
– přesné informace
– aktuální informace
[3]
– kvalitní erudovaný autor (v oboru jeden z největších odborníků)
– informace jsou přesné a pořádně matematicky dokázané
– článek vyšel v odborném periodiku
– článek používá odborné termíny (navíc je psán v angličtině)
– velmi pěkně strukturovaný článek (kapitoly, tvrzení, důkazy)
[4]
– kvalitní autor
– pěkně a názorně vysvětlené
– dobře členěné, vzájemné odkazy
– přesné informace
– ne zcela dostačující hloubka je nahrazena odkazy na další související materiály