Este documento descreve os principais tipos de intervalos reais e operações entre eles. Intervalos podem ser fechados, abertos ou mistos dependendo se incluem ou não os pontos extremos. A intersecção de intervalos retorna os elementos comuns entre eles, a união retorna todos os elementos ou a diferença retorna os elementos de um intervalo que não estão no outro.

1. Intervalos Reais
Profº Ildálio Aguiar de Souza Santos

2. Intervalos
No conjunto dos números reais destacaremos alguns
subconjuntos importantes, determinados por
desigualdades, na qual determinamos de intervalos

3. Intervalos
Dados dois números reais a e b, com a < b, tem-se:

4. Intervalos

5. Intervalos

6. Intervalos

7. Intervalos
Por exemplo, pense nos números 5 e 8.
 Na reta real os números compreendidos entre 5 e 8,
incluindo o 5 e o 8, constituem o intervalo fechado:
 Se excluirmos o 5 e 8, chamados extremos do intervalo,
teremos um intervalo aberto:
 Considerando ainda os intervalos mistos:

8. Intervalos
Outros exemplos:
]5, +∞[
] - ∞, 8[

9. Operações com intervalos

10. Intersecção de
Intervalos
Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números
reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos,
fazer a sua intersecção.
A intersecção de dois intervalos, A e B, é por definição, um
conjunto constituído pelos elementos comuns a A e a B.
Para melhor perceber a intersecção de intervalos estudemos
alguns exemplos:

11. Intersecção de
Intervalos
Exemplo 1
Consideremos os intervalos A = ] − 3, 2 [ e B = ] − 1, 4 ]
Vamos determinar A ∩ B começando por fazer a sua
representação gráfica
−∞ +∞
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
A partir desta representação é possível observar que os
elementos comuns estão entre − 1 e 2 .

12. Intersecção de
Intervalos
E o que podemos dizer relativamente aos extremos,
pertencem ou não à intersecção?
−∞ +∞
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Neste caso, podemos ver que nem o − 1 nem o 2 pertencem,
já que
− 1∉ B e 2 ∉ A
Então,
A ∩ B = ] − 1, 2 [

13. Intersecção de
Intervalos
Exemplo 2
Sejam C =  − 4, −
 2
 e D = [ 1, + ∞ [
Façamos a sua representação gráfica afim de determinar C ∩ D
−∞ - 2 +∞
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Não existem elementos comuns aos dois intervalos.
A intersecção é assim um conjunto vazio
C ∩ D ={ } ou ∅

14. Intersecção de
Intervalos
Exemplo 3
 1  1 
Dados os intervalos E =  − ∞, 
 2 
e F =  ,3 
2 
encontremos a sua intersecção.
A representação gráfica é
−∞ 1 +∞
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
2
Neste caso o único elemento comum aos dois intervalos é o 1
2
Logo, 1 1  1 
E∩F = , = 
2 2 2 

15. Intersecção de
Intervalos
Exemplo 4
Dados os intervalos G = ] − ∞; 0, 5 ] e H = ] 0, 5; 3 ] procuremos a
intersecção dos dois intervalos.
A representação gráfica é
−∞ +∞
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
0, 5
Agora não existem elementos que pertençam
simultaneamente aos dois intervalos já que o 0, 5
pertence a G
mas não pertence a H .
Assim,
G ∩ H = [ 0, 5; 0, 5 [ = { } ou ∅

16. Intersecção de
Intervalos
Exemplo 5
Dados os intervalos B = ] − 1, 4 ] e H = ] 0, 5; 3 ] procuremos a
intersecção dos dois intervalos.
A representação gráfica é
−∞ +∞
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
0, 5
Neste caso temos H ⊂ B ,
Logo, B ∩ H = H
Assim, B ∩ H = ] 0,5;3]

17. Reunião de Intervalos
A reunião de intervalos, A e B, é por definição um conjunto
constituído pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Isto significa que para que um dado elemento pertença ao
conjunto reunião basta que pertença a um dos conjuntos.
Na prática, para obter a reunião de dois ou mais conjuntos o
que fazemos é “juntar” os elementos dos conjuntos dados.
Mais uma vez a observação de alguns exemplos pode
ajudar-nos a compreender melhor a reunião de intervalos:

18. Reunião de Intervalos
Exemplo 1
Consideremos os intervalos
A = ] − ∞, 2 ] e B = ] − 1, 4 ]
Comecemos por fazer a representação gráfica de A e B .
−∞ +∞
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Assim,
A ∪ B = ] − ∞, 4 ]

19. Reunião de Intervalos
Exemplo 2
Consideremos os intervalos
A = ] − ∞, 2 ] e C = [ 2, + ∞ [
Mais uma vez, vamos começar por fazer a representação
gráfica, de A e C .
−∞ +∞
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Neste caso verificamos que, unindo os elementos de A
com os de C obtemos todos os elementos de R .
Portanto: A ∪ C = ] − ∞, + ∞ [ = ¡

20. Reunião de Intervalos
Exemplo 3
Consideremos os intervalos
C = [ 2, + ∞ [ e D = [ − 3, 0 ]
A representação gráfica destes dois intervalos é.
−∞ +∞
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
A intersecção dos intervalos C e D é o conjunto vazio.
Não nos é possível representar esta reunião sob a forma
de um único intervalo.
C ∪ D = [ 2, + ∞ [ ∪ [ − 3, 0 ]

21. Reunião de Intervalos
Exemplo 4
Consideremos os intervalos
A = ] − ∞, 2 ] e D = [ − 3, 0 ]
No nosso último exemplo pretendemos determinar a reunião de A
com .
D
−∞ +∞
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
Atendendo a que D ⊂ A temos que a reunião é
A ∪ D = ] − ∞, 2 ]
Ou seja, a reunião destes dois conjuntos é o próprio
conjunto A .

22. Diferença de Intervalos
Sendo os intervalos conjuntos, cujos elementos são números
reais, é possível, quando temos dois ou mais intervalos,
fazer a sua diferença.
A diferença de dois intervalos, A e B, é por definição, um
conjunto constituído pelos elementos de A que não estão em
B.
Para melhor perceber a diferença de intervalos estudemos
alguns exemplos:

23. Diferença de Intervalos
Exemplo 1
Consideremos os intervalos A = ] − 3, 2 [ e B = ] − 1, 4 ]
Vamos determinar A - B começando por fazer a sua
A∩ B
representação gráfica
−∞ +∞
- 5 - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 5
A partir desta representação é possível observar que os
elementos que sobraram estão entre -3 e -1 .

24. Diferença de Intervalos
E o que podemos dizer relativamente aos extremos,
pertencem ou não à diferença?
Neste caso, podemos ver que o -1 pertence e o -3 não
pertence, já que
− 1∉ B e