BELİRLİ İNTEGRAL

2. Tanım:f fonksiyonu [a,b] aralığında
tanımlı ve integrallenebilen fonksiyon
ise;
b b
∫ f ( x)dx = F ( x)
a a
= F (b) − F (a )
*Özellikleri *Eğri Altında Kalan Alan Hesabı
*İntegral Türevi *İki Eğri Arasında Kalan Alan
*Özel tanımlı Fonksiyonların İntegrali *Dönel Cisimlerin Alanı

3. ÖZELLİKLERİ
b b b b
1) ∫ f ( x )dx = 0 4) ∫ [ f ( x )  g( x )]d = ∫ f ( x )dx  ∫ g( x )dx
a a a a
b b 5)a < c < b
2) ∫ f ( x )dx = − ∫ f (X)dx b c b
a a ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a a c
b b
b b
3) ∫ cf ( x )dx = c ∫ f ( x )dx 6) ∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( x ) dx
a a a a
(a < b )

4. 7)a < b ve f(x) ≤ g(x) ise,
b b
∫ f ( x )dx ≤ ∫ g( x )dx
a a
8)f(x) çift fonksiyon ise f(-x) = f(x)
a a
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
−a 0
9) f(x) tek fonksiyon ise
a
∫ f(x)dx = 0
-a

5. n
Ör = ∫(2 x +3)dx =6
1
ise n =?
2x 2
Çözüm = f(x) = +3x f(n) - f(1) =6
2
f(n ) =10 ⇒ n 2 +3n = 10 ⇒ n =2
x, 0 ≤ x ≤1  2
 
Ör =f(x) =  π
cos , 1 ≤ x ≤ 2

ise  ∫f ( x )dx =?

 2 
0
1 2 1 2
π
Çözüm =∫f(x)dx + ∫f(x)dx =∫x dx +∫cos x dx
0 1 0 1
2
1 2
x2 2 π 1 2 π 1 2
= + sin x = + (sin π−sin ) = −
2 0 π 2 2 π 2 2 π
1

6. 2
Ör = ∫ 4 − x 2 dx = ?
1
Çözüm = x = 2sinu dx = 2cosu
2 2 2
∫ 4 - 4sin u ⋅ 2 cos u du = 4 ∫ cos u du = 2 ∫1 + cos 2u
2 2
1 1 1
1 2 2
= 2(u + sin 2u 1 =2u + sin 2u
2 1
1 π
x =1 ⇒ 1 = sin2u ⇒ sinu = ⇒u =
2 6
π
x =2 ⇒ 2 = 2sinu ⇒ sinu = 1 ⇒ u =
2
π
π 2π 3
= 2u + sin 2u 2
π = − π − sin
3 + π + sin π = −
6 3 3 2

7. İNTEGRAL TÜREVİ
x
d
1) ∫ f (t )dt = f (x )
dx a
g(x)
d
2)
dx ∫ f (t )dt = f [ g(x)]g' (x )
a
g(x)
d
3) ∫xf) (t )dt = f [ g(x )] ⋅ g' (x ) − f [ h (x )] h ' (x )
dx h (

8. 3u 2
d
Ör =
du ∫ cos 4xdx = ?
0
Çözüm = cos 4(3u 2 ) ⋅ 6u = 6u cos12u 2
2x
d2
Ör = 2 ( ∫ sin udu ) = ?
dx 3
d
Çözüm = [ sin 2x ⋅ 2] = 2 ⋅ 2 ⋅ cos 2x = 4 cos 2x
dx

9. ln x 2 1
dy
Ör = ∫ e dt + ∫ (2 t − 1)dt = 0 ise =?
2t
1 y
dx
ln x 2 y
d d
Çözüm = ∫ e dx − ∫ (2 t − 1)dt = 0
2t
dx 1
dx 1
2x
2 ln x 2 dy lnx 4 2 dy
e ⋅ 2 − (2 y − 1) = 0 ⇒ e ⋅ = (2 y − 1)
x dx x dx
dy 2x 3 dy
2 x = (2 y − 1)
3
⇒ =
dx 2y - 1 dx

10. ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ
3
Ör = ∫ ( x − 1 + 2 − x )dx = ?
x 1 2
x −1 1- x x -1 x -1
−1
2-x 2-x 2-x x-2
x -1 + 2 − x 3 - 2x 1 2x - 3
1 3 3
Çözüm = ∫ (−2x + 3)dx + ∫ dx + ∫ (2x − 3)dx = 23
−1 1 2

11. π
Ör = ∫ (sin x + sin x )dx = ? x -π 0 π
x -x x
−π
sin x sin(-x9 = -sinx sinx
sinx - +
sinx - sinx sinx
sin x + sin x - 2sinx 2sinx
0 π
Çözüm = ∫ − 2 sin xdx + ∫ 2 sin xdx = 8
−π 0

12. 4
Ör = ∫ Sgn ( x 2 − 5x + 6)dx = ?
x 1 2 3 4
1 x 2 - 5x + 6 + - +
Sgn 1 -1 1
2 3 4
Çözüm = ∫ dx − ∫ dx + ∫ dx = 1
1 2 3
3 x -1 0
Ör = ∫ ( x ⋅ sgn( x + 1)dx = ? x -x -x x
−1
x +1 - + -
sgn(x + 1) - 1 1 1
- x -1 - x +1 x +1
0 3
Çözüm = ∫ (− x + 1)dx + ∫ ( x + 1)dx = 5
−1 0

13. 2
3 4 5 6
Ör = ∫ 3x − 4 dx = ? x
3 3 3 3
1
3x 3 4 5 6
3x - 4 -1 0 1 2
3x - 4 -1 0 1
4 6
3 3
Çözüm = ∫ − dx + ∫ dx = 0
1 5
3

14. 9
x x 0 4 8 12
Ör : ∫ dx = ? x
0
4 0 1 2 3
4
x
0 1 2
4
8 9
Çözüm : ∫ dx + ∫ 2dx = 6
4 8

15. 2
Ör : ∫ ( x − 1 + x + 1 )dx = ? x 0 1 2
0 x -1 1- x x -1
x +1 1 2 3
x +1 1 2
x −1 + x + 1 2-x x +1
1 2
Çözüm : ∫ ( 2 - x )dx + ∫ ( x + 1)dx = 4
0 1

16. 3
Ör : ∫ sgn x dx = ? x -1 0 1 2 3
-1 x -1 0 1 2
sgn x -1 0 1 1
0 3
Çözüm : ∫ - dx + ∫ dx = 1
-1 1

17. 2π
Ör : ∫ sgn sinx dx = ? x π 2 π 3π 2 2π
π sinx 1 0 -1 0
2
sinx 0 -1 -1
sgn sinx 0 -1
2π
Çözüm : ∫ - dx = -π
π

18. 2π
Ör : ∫ cosx ⋅ cos x dx = ?
π
x π 3π 2 2π
cosx -1 0 1
cosx -1 0
cosx - cosx cosx
cosx ⋅ cos x cosx 0
3π 2
Çözüm : ∫ cos x dx = −1
π

19. EĞRİ ALTINDA KALAN ALANIN HESABI
1)
y
y=f(x)
A1
b
a c x
A2
b c b
A = A1 + A2 = ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx
a a c

20. 2) y
y=f(x)
x
a b
b b
A = ∫ f ( x)dx = ∫ ydx
a a

21. 3)
y
a b x
y=f(x)
b
A = − ∫ f ( x)dx
a

22. 4) y
b x=f(y)
A1
x
A2
a
A = A1 + A2
b b c
∫
a
f ( y ) dy = ∫ f ( y )dy − ∫ f ( y )dy
c a

23. 5) y
b
x
a
x=f(y)
b b
A = ∫ f ( y )dy = ∫ xdy
a a

24. 6)
y
b
x
a
x=f(y)
b
A = −∫ f ( y ) dy
a

25. Ör : y = 2x - x 2 eğğrisile x ekseni arasıras kalan
bölgenin alanı nedir?
y
0 2 x
y = x(2 − x) x=0 x=2
2
2x 2 x3 4 2
S = ∫ 2x - x 2 dx = − = br
0
2 3 3

26. Ör : x + 2 doğoğrusx = -1, x = 2 doğoğrulave x ekseni
arasıras kalan alan kaç br 2 ' dir ?
y
2 2
2 2 x
A = ∫ f ( x)dx = ∫ ( x + 2)dx = + 2 x
2 −1 −1 2 −1
 22   1  15 2
=  + 2 ⋅ 2  −  − 2  = br
-2
-1 2
x  2  2
 2
  

27. Ör: f(x)=2-x2/2 eğrisi ile ox ekseni arasında kalan alanı bulunuz.
ÇÖZÜM:
y 2
2 x2  1 x3
A = ∫  2 − dx = 2 x − ⋅
−2  2 
2
  2 3 −2
 2   3
=  2 ⋅ 2 −  − 2 ⋅ ( − 2 ) −
( − 2) 
3
  
-2 2 x  6  6 
4 4 16 2
= 4 − + 4 − = br
3 3 3

28. İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN
y
f(x)
a b c x
g(x)
b
S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a

29. y
f(x)
S
g(x)
a b x
b
S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a
*Üstteki eğriden alttaki eğri çıkartılır!

30. y
b f(y)
g(y)
x
a
b
S = ∫ f ( y ) − g ( y ) dy
a
*Sağdaki eğriden soldaki eğri çıkartılır!

31. ÖR:y2=x eğrisi ile y=x-6 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br 2dir?
ÇÖZÜM:
y2=y+6 y2-y-6=0 (y+2) (y-3)=0
y=-2 , y=3
y y=x-6
3
( y + 6 − y )dy = y2
2 3
3 y
3 A=∫ 2
+ 6y −
−2 3 −2
9 27   4 8 9 8
-2
x =  + 18 −  −  − 12 +  = + 9 + 10 −
2 3  2 3 2 3
9 8 11 125 2
y2=x
= 19 + − = 19 + = br ' dir
2 3 6 6

32. DÖNEL CİSİMLERİN ALANI
y
y=f(x)
a b x
b b
Vx = π ∫ [ f ( x)] dx = π ∫ y dx
2 2
a a

33. y
x=f(y)
b
x
a
b b
V y = π ∫ [ f ( y )] dy = π ∫ x dy
2 2
a a

34. Ör : y = 1 − x 2 parabolüyle ox ekseni arasıras kalan bölgenin ox ekseni
etrafinda 3600 döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi nedir?
1
Vx = π ∫ (1 − x ) dx
y 2
−1
1
Vx = π ∫ (1 − 2 x + x ) dx
2 4
−1
-1 1 x
16
Vx = π
15