Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan sifat-sifat fungsi monoton, ekstrim fungsi, kecekungan fungsi, dan titik belok. Secara ringkas, dibahas bahwa fungsi dikatakan monoton naik atau turun jika turunannya bernilai positif atau negatif. Ekstrim fungsi terjadi pada titik kritis dimana turunan bernilai nol. Kecekungan fungsi dapat ditentukan dari tanda turunan kedua. Titik belok terj

2. Definisi. Fungsi f(x) dikatakan
monoton naik pada interval I jika untuk
x1 x2 f x1 f x2 , x1 , x2 I
monoton turun pada interval I jika untuk
x1 x2 f x1 f x2 , x1, x2 I .
Fungsi monoton naik atau turun disebut fungsi monoton

3. f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
x1
x2
(a) monoton turun
x1
x2
(b) monoton naik

4. Andaikan f diferensiabel di selang I, maka
i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika :
f '( x) 0 x I
ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika:
f '( x) 0 x I
Contoh
Tentukan interval – interval dimana f(x) monoton naik
dan turun jika :
f ( x)
1 x3
3
x2
3x 4

5. f ( x)
1 x3
3
x2
3x
4
f '( x)
x2
2x 3
Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f '( x)
f '( x)
x2
0
x
0
2x
(x 1 x
)(
3
3)
0
(-)
(+)
1
x
(+)
0
f’
-1
x
I
3
f(x) monoton naik pada selang (
, 1 dan (3, )
)
3

6. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( x) 0
f '( x)
x2
x
I
0
2x 3
( x 1 x 3)
)(
0
0
(-)
(+)
(+)
f’
x
1
x
3
-1
f(x) monoton turun pada selang ( 1
,3)
3

7. Contoh
Tentukan
f ( x)
selang
kemonotonan
(x 1 2
)
x
J
awab
(x 1 2
)
x2 2x 1
f ( x)
x
x
(2x 2)( x) ( x2 2x 1 )
)(1
f '( x)
x2
2x2 2x x2 2x 1
)
x2
x2 1
x2

8. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f '( x) 0
f '( x)
x I
0
x2 1
(+)
(-)
(-)
0
2
x
(x 1 x 1
)(
)
0
2
-1
0
x
f(x) monoton naik pada selang ( , 1 dan (1 )
)
,
Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( x) 0
f '( x)
(+)
f’
1
x I
0
(+)
(-)
x2 1
0
2
x
(x 1 x 1
)(
)
-1
0
0
2
x
f(x) monoton naik pada selang ( 1 dan (0,1
,0)
)
(+)
(-)
f’
1

9. Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah
definisinya.
Definisi. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c I.
maksimum
f(c) disebut nilai
global dari f pada I jika
minimum
f (c) f ( x)
x I
f (c) f ( x)
maksimum
f(c) disebut nilai
lokal dari f pada I jika terdapat selang
minimum
f (c) f ( x)
buka yang memuat c sehingga
untuk setiap x pada selang
f (c) f ( x)
buka tadi.

10. Max
global
Min
lokal
a
b
c
Min
global
d
Max
lokal
e
Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]
f

11. • Titik pada daerah definisi dimana
kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi
disebut titik kritis.
• Ada tiga jenis titik kritis :
a. Titik ujung selang I
b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana f '(c)
0)
c. Titik singular ( x = c dimana f '(c) tidak ada )

12. Max
global
Min
lokal
a
b
c
Min
global
d
Max
lokal
e
 Titik x = a dan x = f merupakan ujung selang
 Titik x = b , x = c, x = d merupakan titik stasioner
 Titik x = e merupakan titik singular
f

13. 0
f '( x)
pada selang (c ,c) dan
0
f '( x)
maksimum
maka f(c) merupakan nilai
lokal f.
minimum
J
ika
f '( x)
f '( x)
0
pada selang (c,c
0
f(c)
f(c)
c
f(c) nilai maks lokal
Disebelah kiri c monoton naik
(f ’>0) dan disebelah kanan c
monoton turun (f’<0)
c
f(c) nilai min lokal
Disebelah kiri c monoton turun
(f ’<0) dan disebelah kanan c
monoton naik (f’>0)
),

14. Misalkan f '(c)
0 J
ika
f ''(c)
f ''(c)
0
maksimum
maka f(c) merupakan nilai
minimum
0
lokaldari f.
Cont oh
1 x3
x2 3x
Tentukan nilai ekstrim fungsi f ( x)
3
J
awab:
1 3
f ( x)
x
x2 3x 4
f '( x) x2 2x 3
3
Nilai ektrim terjadi pada tititk stasioner
f '( x) 0
x2
2x
(x 1 x
)(
x1
3
0
3)
1 dan x2
0
3
4

15. 1 3
f ( x)
x x2 3x 4
3
1
1
1
f( 1
)
( 1 3 ( 1 2 3( 1 4
)
)
)
( 1 (1 4
) )
1 3 4
3
3
3
1 3
1
2
f (3)
(3) (3) 3(3) 4
(27) 9 4 9 9 9 4
5
3
3
5
2
3

16. Pada contoh sebelumnya di[peroleh hasil sebagai berikut.
(-)
(+)
(+)
f’
-1
Pada selang (
3
, 1 , f ' ( x)
)
0
Pada selang ( 1 , f ' ( x) 0
,3)
2
)
J f ( 1 5 merupakan nilai maksimum lokal
adi
3
Pada selang ( 1 , f ' ( x)
,3)
0
Pada selang (3, ) , f ' ( x) 0
J f (3)
adi
5 merupakan nilai minimum lokal

17. Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I
bila f '( x) naik pada interval I.
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah pada interval I
bila f '( x) turun pada interval I
Uji turunan kedua untuk kecekungan
1. J f "( x) 0 , x I maka f(x) cekung ke atas pada I
ika
2. J f "( x) 0 ,
ika
x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.

18. Tentukan selang kecekungan dari f ( x)
J
awab
f '( x)
3x2 dan f "( x)
6x
f cekung ke atas jika pada f "( x)
f "( x)
0
x3
6x
0,
x I
0
x 0
J f cekung ke atas pada selang (0,+∞)
adi
f cekung ke bawah jika pada f "( x) 0 ,
f "( x)
0
6x
0
x 0
J f cekung ke bawah pada selang (-∞, 0)
adi
x I

19. • Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) )
disebut titik belok dari kurva f(x) jika terjadi
perubahan kecekungan di x = b, yaitu di
sebelah kiri x = b cekung ke atas dan di
sebelah kanan x = b cekung ke bawah atau
sebaliknya.
• Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik
belok bila berlaku (f’’(b) = 0) atau f(x) tidak
diferensiabel dua kali di x = b ( tidak ada ).

20. f(c)
f(c)
c
(c,f(c)) titik belok
Karena disebelah kiri c cekung
keatas dan disebelah kanan c
cekung kebawah
c
(c,f(c)) titik belok
Karena disebelah kiri c cekung
kebawah dan disebelah kanan c
cekung keatas

21. f(c)
c
(c,f(c)) bukan titik belok
Karena disekitar c tidak
Terjadi perubahan kecekungan
c
Walaupun di sekitar c
Terjadi perubahan
Kecekungan tapi tidak ada
Titik belok karena f tidak
terdefinisi di c

22. Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :
a.
b.
c.
f ( x)
f ( x)
f ( x)
2x3 1
4
x
x
1
3
1

23. a. Dari f ( x) 2x3 1 maka f "( x) 12 x .
Bila f "( x)
0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok.
Fungsi f kontinu di x = 0.
Untuk x < 0 maka f "( x) 0 , sedangkan untuk x > 0 maka
f "( x) 0 .
Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = -1. J
adi
titik ( 0,-1 ) merupakan titik belok.
----------
+++++++
0
f”

24. b. Dari f ( x) x4 maka f "( x) 12 x2 .
Bila f "( x)
0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok
Fungsi f kontinu di x = 0
Untuk x < 0 dan x > 0 maka f "( x) 0 .
Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. J ( 0,0 )
adi
bukan merupakan titik belok.
+++++++
+++++++
0
f”

25. 2
1
c. f ( x) x 3 1 maka f "( x)
5
.
9x 3
Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0.
Fungsi f kontinu di x = 0.
Untuk x < 0 maka f "( x) 0 , sedangkan untuk x > 0 maka
f "( x)
0 .
Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = 1.
J ( 0,1 ) merupakan titik belok.
adi
----------
+++++++
0
f”

26. 1. Jika f ( x) x2 6x 5 , tentukan:
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (jika ada)

27. 3
2
9x ,tentukan:
2. Jika f ( x) x 6x
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (jika ada)

28. 3
2
2. Jika f ( x) 2x 3x 12x 8 ,tentukan:
a. Selang kemonotonan
b. Ekstrim Lokal
c. Selang kecekungan
d. Titik belok (jika ada)

29. Soal Latihan Pilihan Ganda
Bab : Penggunaan Turunan
1. Grafik fungsi f x
a.
b.
c.
0,1
b.
c.
x2 1
monoton turun pada selang ….
d.
1,0
1,
, 1
, 1
, 1
1,0
1,
1,0
, 1
1
,0
, 1
e.
1,
2. Grafik fungsi f x
a.
x2
x2
x2 1
naik pada selang ….
1
,
d. (
, 1
]
( 1
,0)
e.
0,1
, 1
1
,
1
,0
3. Nilai minimum dari fungsi f x
a. -4
b. -2
c. 0
d. 1
e. 2
,3
x3 3x2 2 pada selang 1 adalah ….

30. 4. Titik stasioner fungsi f x
a. x
b. x
c. x
1 dan x 3
3dan x 1
1
3dan x
1 3
x 2 x 2 3x 4 adalah ….
3
d. x 1dan x 3
e. Tidak ada titik stasioner
1 3
x 2 x 2 3x 4 monoton turun pada selang ….
3
a. 1 x 3
d. x 1
e. x 3
b. x 1 x 3
c. x 3
1 3
6. Fungsi f x
x 2 x 2 3x 4 cekung ke atas pada selang ….
3
a. ( ,2)
d. (2, )
b. (0,2)
e. ( 2,0)
c. ( 2, )
5. Fungsi f x

31. 7. Titik belok fungsi f x
a. (3,4)
b. (1,4 2 )
3
c. (2,4 2 )
3
1 3
x 2 x 2 3x 4 adalah ….
3
d. (0,4)
e. ( 2, 26 )
3
8. Titik ekstrim maksimum fungsi f x
a.
b.
c.
d.
e.
(3, 2 )
9
(2, 1 )
4
(1,0)
3
( 2, 4 )
( 1, 2)
x 1
adalah ….
2
x

32. x 1
monoton turun pada selang ….
2
x
9. Fungsi f x
a.
b.
c.
d.
e.
(0,2)
(
,0)
(3,
(
(2,
)
,0)
(0,3)
(0,3)
x 1
monoton naik pada selang ….
x2
10. Fungsi f x
a.
b.
c.
d.
e.
)
(0,2)
(
,0)
(3,
(
(2,
)
,0)
(0,3)
(0,3)
)