INTEGRAL_LUAS

Sunday, November 22, 2015 2
Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa
kurva dapat ditentukan dengan menghitung
integral tertentu.

Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x)
kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva
y = f(x) terletak di atas atau pada kurva
y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi
kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a
Dan x = b adalah sebagai berikut:

X
Y
O
y1 =f(x)
x = a x = b
Luasnya ?
L = { }∫ −
b
a
dxxgxf )()(
y2 =g(x)
; f(x) > g(x)

Contoh 1:
Hitunglah luas daerah yang dibatasi
kurva y = 3x2
+ 6x , sumbu X, dan
garis-garis x = 0 dan x = 2

Penyelesaian:
Sketsalah terlebih dahulu
grafik y = 3x2
+ 6x
Titik potong dengan sumbu X
y = 0 3x→ 2
+ 6x = 0 3x(x + 2) = 0→
x = 0 atau x = -2
sehingga titik potong dengan sumbu X
adalah di (0,0) dan (-2,0)

Sketsa grafik y = 3x2
+ 6x
X
Y
O
y = 3x2
+ 6x
x =2
L=?
-2

X
Y
O
y = 3x2
+ 6x
-2
x =2
L=?
L = ∫ =+
2
0
2
)63( dxxx
luassatuan200)2.32( 23
=−+=
2
0
23
3x x+

Contoh 2:
Luas daerah yang dibatasi oleh
kurva y = x3
, sumbu Y, garis
y = 8 adalah…

X
Y
O
y = x3
Penyelesaian:
Sketsa grafik fungsi y = x3
dan garis y = 8
y = 8

X
Y
O
y = x3
y = 8
== ∫
d
c
xdyL =∫
8
0
3
1
dyy
3
1
yx =⇒
8
03
4
3
41
y
8
0
3
4
4
3
y=

=∫
8
0
3
1
dyy
8
0
3
4
4
3
y
)08(
4
3 3
4
3
4
−=
3
4
8.
4
3
= 3
4
.3
2.
4
3
=
16.
4
3
=
4
12=
Jadi, luasnya adalah luassatuan12

Contoh 3:
kurva y = x2
, sumbu Y, dan garis
y = x + 6 adalah…

Penyelesaian:
Sketsa grafik y = x2
dan garis y = x + 6
X
Y
–6
6
y = x2y =
x +
6

X
Y
–6
6y = x2
y =
x +
6
batas atas ditentukan oleh perpotongan
kedua grafik
?

Titik potong antara y = x2
dan y = x + 6
x2
= x + 6
X
Y
–6
6
y = x2y =
x +
6
→ x2
– x – 6 = 0
(x – 3)(x + 2) = 0

X
Y
–6
6
y = x2y =
x +
6
(x – 3)(x + 2) = 0
x = 3 → y = 9 → (3,9)
3
9
x = -2 → y = 4 → (-2,4)
-2

X
Y
–6
6
y = x2y =
x +
6
3
9
Jadi batas-batas pengintegralannya
adalah x1 = 0 dan x2 = 3
-2

X
Y
–6
6
y = x2y =
x +
6
3
9
-2
L = ∫ =−+
3
0
2
)6( dxxx
3
0
3
3
12
2
1
)6x( xx −+
−−+= 3
3
12
2
1
3.3.63. )0.0.60.( 3
3
12
2
1
−+

L = −−+ 3
3
12
2
1
3.3.63. )0.0.60.( 3
3
12
2
1
−+
09184 2
1
−−+=
2
1
13=
satuan luas2
1
13
Jadi,
luasnya adalah

Pembahasan soal
LUAS DAERAH
(INTEGRAL)

Soal 1:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2
– 6x + 8 dan sumbu X adalah…

Penyelesaian:
Sketsa grafik kurva y = x2
- 6x + 8
y = 0 x→ 2
- 6x + 8 = 0
→ (x - 2)(x - 4) = 0 x→ 1 = 2 dan x2 = 4
Sehingga titik potong dengan sumbu X
di (2,0) dan (4,0)

di (2,0) dan (4,0)
X
Y
O
y = x2
– 6x + 8
2 4L=?
L = ∫ =+−−
4
2
2
)86( dxxx
[ ]−+−−= )4.84.34.( 23
3
1
4
2
23
3
1
)83x(- xx +−
[ ])2.82.32.( 23
3
1
+−

[ ])2.82.32.()4.84.34.( 23
3
123
3
1
+−−+−−
[ ])1612()3248( 3
8
3
64
+−−+−−=
[ ])4()16( 3
8
3
64
+−−−=
[ ])20()( 3
8
3
64
−+−−=
[ ])()( 3
60
3
56
−+−= [ ]3
4
−−=
Jadi, luasnya adalah luassatuan3
4
L =

Soal 2:
Kurva y = x3
– 1, sumbu X, garis
x = -1 dan x = 2 adalah…

Penyelesaian:
Sketsa grafik y = x3
– 1
diperoleh dengan menggeser
grafik y = x3
sejauh 1 satuan
ke bawah

X
Y
O
y = x3
y = x3
– 1
–1
x = –1
x = 2
1
L = ∫−
+−−
1
1
3
)1( dxx
–1 2
∫ −
2
1
3
)1( dxx
+−−=
−
1
1
4
4
1
)x( x
2
1
4
4
1
)x( x−

L = ∫−
+−−
1
1
3
)1( dxx ∫ −
2
1
3
)1( dxx
+−−=
−
1
1
4
4
1
)x( x
2
1
4
4
1
)x( x−
[ ]++−−−= )1()1( 4
1
4
1
[ ])1()24( 4
1
−−−

[ ]++−−−= )1()1( 4
1
4
1
[ ])1()24( 4
1
−−−
[ ] +−−= 2 [ ])2( 4
3
+
4
3
22 +=
4
3
4=
Jadi,
luasnya adalah 4¾ satuan luas

Contoh 3:
grafik fungsi y = 2 – x2
, dan garis
y = x adalah…

Penyelesaian:
Karena kedua titik batas pengintegralan
belum diketahui,
maka kita harus menentukannya,
dengan cara menentukan titik potong
kedua grafik fungsi

Penyelesaian:
Titik potong grafik fungsi y = 2 – x2
dan y = x sebagai berikut;
2 – x2
= x
x2
+ x – 2 = 0
(x + 2)(x – 1) = 0 → x1 = -2 dan x2 = 1
Luas daerah yang dimaksud seperti
gambar berikut:

Luas daerah yang dimaksud seperti
gambar berikut:
X
Y
–2
2
y = 2 - x2
y =
x
1

X
Y
–2
2
y = 2 - x2
y =
x
1
L =
∫−
=−−
1
2
2
)2( dxxx
1
2
2
2
13
3
1
)(2x
−
−− xx
−−−= )1.1.1.2( 2
2
13
3
1
[ ]2
2
13
3
1
)2.()2.()2.(2 −−−−−

L = −−− )1.1.1.2( 2
2
13
3
1
[ ]2
2
13
3
1
)2.()2.()2.(2 −−−−−
−−−= )2( 2
1
3
1
[ ]2)4( 3
8
−+−
2
1
3
8
3
1
62 −−−+=
2
1
3
9
8 −−=
2
1
4=
Jadi,
luasnya adalah 2
1
4 satuan luas

INTEGRAL_LUAS

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à INTEGRAL_LUAS

Similaire à INTEGRAL_LUAS (20)

Dernier

Dernier (20)

INTEGRAL_LUAS