El documento presenta una serie de ejercicios sobre el cálculo de raíces y operaciones con radicales. Los ejercicios incluyen calcular raíces exactas y aproximadas, extraer factores comunes de expresiones radicales, racionalizar fracciones y simplificar expresiones con radicales.

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RADICALES
1.- Calcula las siguientes raíces con aproximación de décimas:
a) 48 b) 45 c) 82 d) 23
e) 38 f) 14 g) 50 h) 21
Sol: a) 6,9; b) 6,7; c) 9,0; d) 4,7; e) 6,1; f) 3,7; g) 7,0; h) 4,5
2.- Calcula por descomposición factorial, las siguientes raíces:
a) 62500 b) 360000 c) 2025 d) 4000000
e) 2500 f) 122500 g) 22500 h) 5625
Sol: a) 250; b) 600; c) 45; d) 2000; e) 50; f) 350; g) 150; h) 75
3.- Calcula de forma sencilla las siguientes raíces:
a) 49.36.100 b) 25.9.100 c) 625 : 25 d) 16 : 4
e) 81.4.25 f) 36.49.9 g) 25.100 h) 81.16.25
Sol: a) 7.6.10; b) 5.3.10; c) 5; d) 2; e) 9.2.5; f) 6.7.3; g) 5.10; h) 9.4.5
4.- Realiza las siguientes operaciones:
a) 125 : 5 b) 3 30 . 3 36 . 3 25 c) 3. a2 . 3
d) a 2 b . b3 e) 3 625 : 3 5
Sol: a) 5; b) 30; c) 3a; d) ab2; e) 5
5.- Calcula las siguientes raíces:
a) 5 1 b) 36 c) 4 81 d) 5 - 1
e) 3 - 27 f) 144 g) 4 16 h) 3 26
Sol: a) 1; b) 6; c) 3; d) -1; e) -3; f) 12; g) 2; h) 4
6.- ¿Son ciertas las siguientes igualdades?
a) 16 + 9 = 25 b) 4 + 36 = 40
c) 9 . 25 = 225 d) 36 - 4 = 32
e) 100 : 4 = 25 f) 36 : 4 = 9
Sol: c) e) f) sí
7.- Saca todos los factores que puedas fuera del signo radical, previa descomposición
en factores primos:
a) 12 b) 72 c) 2250 d) 3 256
e) 432 f) 3 192 g) 5 128 h) 1350
Sol: a) 2. 3 ; b) 6. 2 ; c) 15. 10 ; d) 4. 43
e) 12. 3 ; f) 4.3 3 ; g) 2.5 4 ; h) 15. 6
8.- Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:
a) 25 . 310 . 7 11 b) 3 26 . 39 . 53 c) 23 . 32 . 53 d) 3 32 . 24 . 5

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e) 3 . 25 . 53 f) 4 36 . 24 . 55 g) a 2 . b3 . c h) x3 . a2 . c3
Sol: a) 2 2 .35 .7 5 . 2.7 ; b) 22.33.5; c) 2.3.5. 2.5 ; d) 2.3 32 .2.5
e) 2 2 .5. 3.2.5 ; f) 3.2.5.4 32 .5 ; g) a.b. b.c ; h) x.a.c. x.c
9.- Efectúa las siguientes operaciones de radicales:
a) 3 . 3 b) 3 5 . 3 52 c) 3 9 : 3 3 d) 50 : 2
e) 27 . 3 f) 100 : 4 g) 3 3 . 3 9 h) 3 375 : 3 3
Sol: a) 3; b) 5; c) 3 3 ; d) 5; e) 9; f) 5; g) 3; h) 5
10.- Calcula el valor de "a" para que las siguientes raíces sean exactas:
a) 23 . 3 . 52 . a b) 2 . a . 32 . 53 c) 9 . a . 2 . 53
d) a . 33 . 5 e) 25 . a . 27 f) 3 . 75 . a
Sol: a) a=6; b) a)10; c) a=10; d) a=15; e) a=3; f) a=1
11.- Introduce en el radical los factores que aparecen fuera de él:
a) 2. 5 b) 5. 3 c) 2.3 3 d) 4. 3
e) 3. 2 f) 3. 2
3
g) 2. 3
4
h) 7. 3
Sol: a) 20 ; b) 75 ; c) 3 24 ; d) 48 ; e) 18 ; f) 3 54 ; g) 4 48 ; h) 147
12.- Halla el valor de las letras en las siguientes igualdades:
a) a = 15 b) 2x = 5 c) 3a = 9 d) 20 x = 10
e) 6 x = 12 f) 2 b = 2
3
g) 27 a = 3
3
h) 4 27 x = 3
Sol: a) a=225; b) x=25/2; c) a=27; d) x=5; e) x=24; f) b=4; g) a=1; h) x=3
13.- Escribe sin exponentes fraccionarios ni negativos las siguientes potencias:
1 3
-
1/2 3/5 -2/3  3 3  3 4
a) 3 b) 3 c) 2 d)   e)  
 5   2 
1 2
- -
-1/3 1/4  1 2  3 3
f) 5 g) 2 h)   i)   j) 35/3 k) 1-3/4
 2   2 
3
1 3 2
Sol: a) 3 ; b) 5 33 ; c) ; d) 3 ; e) 4  
3
22 5 3
2
2
1
f) 3 ; g) 4 2 1; h) 2 ; i) 3   ; j) 3 35 ; k) 1
5 3
14.- Simplifica las siguientes expresiones:
( )
a) 5 3
5
(
b) 6 24
3
c) ) 3 . 2 ( )
2
(
d) 2 . 3 ) e) (
2
3
2 . 3 )
6
( )
2 6
   
f) ( 3 2 ) ( )
3 3
g)   h)  
2 4 3
3 i) 3 . 4
2 j) 3
3 . 3
22
   
 2   2 

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Sol: a) 3; b) 4; c) 6; d) 12; e) 108; f) 18; g) 3/4; h) 9/4; i) 18; j) 12
15.- Extrae de los radicales los factores que se indican:
a) De 27 el 3 b) De 3 8 2 el 2 c) De 3
81 el 3
d) De 125 el 5 e) De 50 el 5 f) De 80 el 2
2
Sol: a) 3. 3 ; b)2 ; c) 3. 3 ; d) 5. 5 ; e) 5. 2 ; f) 2 5
3 2
16.- Simplifica las expresiones:
a) 3 . 3 2 + 4 . 3 2 - 2 . 3 2 b) 2 . 3 + 3 . 3 - 9 . 3
c) 50 - 72 - 2 . 2 d) 8 - 3 . 2 + 4 . 18 + 50
e) 3 - 3 . 12 + 5 . 27 f) 12 + 5 . 3 - 27
g) 12 - 27 + 3 h) 18 + 50 - 8 - 2
i) 45 - 20 + 80 - 5 j) 27 - 12 - 75 + 3
k) 18 - 3 8 - 2 + 5 2 l) 3 5 - 2 45 - 20 + 3 20
Sol: a) 5 2 ; b) - 4 3 ; c) - 3 2 ; d) 16. 2 ; e) 10. 3 ; f) 4 3
3
g) 0; h) 5 2 ; i) 4 5 ; j) - 3 3 ; k) 2 ; i) 5
17.- Racionaliza las siguientes fracciones:
1 2 2 3 2 3
a) b) c) d)
2 3 3 3 3+ 5
3 2 3 3
e) f) 3 g) h)
3 + 2 2 5 - 2 6
2 2 6 9 - 3 5
Sol: a) ; b) ; c) 6 ; d)
2 9 4
6
e) 3 - 6 ; f) 3 2 2 ; g) 5 + 2 ; h)
2
18.- Racionaliza las siguientes fracciones:
3 2 3 4 6 7 - 2 3
a) b) c) d)
2 5 2 2 3
6 - 1 3 8 1
e) f) g) h)
2 5 5 +2 6 - 12 2 - 3
2 5 1+ 2 2 - 3 3
i) j) k) l)
5 +2 1- 2 3 + 2 2 - 3
3 5 7 3 -6 30 - 5
Sol: a) ; b) 6 ; c) 4 3 ; d) e) ; f) 3 5 - 6
10 3 10
6 +2 3
g) ; h) - 2 - 3 ; i) 10 - 4 5 ; j) - 3 - 2 2 ; k) 2 6 - 5 l) - 6 - 3
3

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Introduce dentro de una raíz:
a
3
b2 a
6
ab c 2 4 c 3
6 3 2 4 5 2
ab a b b a3 b
b) b 3 c b ab
a) c)
a 2 b3 2
4
a b 8 ab b c 4 c3
2
6 b 4
b2 2 c b ab
a2 b a b a a
4 : 2
a b b b a b c b
d) : e) f) 3 b 4
3
: 6
b
2
2
a a b b b c b c c
:
b a a a
9 4 7 11
1 b 2 ; c) 1 c ; d) 4 3 b ; e) a ; f) 24 b
Sol: a) b3 12
b a ; b)
3 4 24 12
a
a2 a4 b ba c
Racionaliza:
a + b a + b 3 2 a - b
a) c) b) d)
a - b a 2 + 3 ab
3 2 ab 2+ 2 a - b
e) 3 f) g) h)
2 a 2 2ab
3 - 2 a - b 3- 2 1
i) j) k) l) 3
3+ 2 3
a2 3 2 7
a
a + 2 ab + b a + ab a b - b a
Sol: a) ; b) ; c) 3 6 - 6 ; d) ; e) 3 6 2 ;
a - b a ab
6 5 2 3
a 2b - b 2a 11 - 6 2 a - 6 a b 3 2 - 2
f) b ; g) 2 + 1 ; h) ; i) ; j) ; k) ;
2ab 7 a 6
7 4
l) a
a
Racionaliza:
3
4 + 3 a a (a - b) 2
a) b) c) 4 d)
4 3
4 - 3 a a a + b
3+ a 22 +2 3 3 - a 2 2 + 3
e) f) h) g)
a 3 2 a +3 2 + 3
3 2 a - bc 2 2 +1 a + c
i) j) k) l)
2 + 3 ac - b 2 - 1 a - c
3 2 + 3 ab - bc 3 a +3 b
m) n) o)
2 - 3 a + b a- b
3 a +a a 2+ 6
Sol: a) 7 + 2 12 ; b) 4 a ; c) 12 a ; d) 2a - 2b ; e) ; f)
a 3

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-9 - a + 6 a a c - c ba - b c + ab
g) ; h) 6 - 1 ; i) 3 6 - 6 ; j) ;
a - 9 ac - b
a + c + 2 ac a b - b a - abc + b c
k) 5 + 3 2 ; l) ; m) 9 - 4 6 ; n) ;
a - c a - b
3 [a ( a + b ) + ab + b]
o)
a2 - b
- Resuelve:
10000 . 100 . 3 10 2 .1000
a) b) 9000 + 10 105 - 3 16000 + 4 90
10 2 . 10 100. 103 . 100
1
Sol: a) 12 ; b) 922 10
10
- Simplifica:
a) ( 3 - 4 48 ) b) 3 900 c) 16 d) 2 3
512 e) 2 3
Sol: a) - 15 3 ; b) 6 30 ; c) 2; d) 4; e) 4 12
- Racionaliza:
2 3 - 2 3 4 1+ 3 3
a) b) c) d) e) f)
3 - 2 3 + 2 5
23 7
42 1- 3 5
32
-5 2 - 3 4 7 2 4
g) h) i) j) k) l)
3
5+ 5 2+ 3 5 8
7 3 +1 7
43
5 3
m) n)
2 5 5
32
5 2
3 2 ; d) 7 2 ; e) - 2 - 5 - 5
Sol: a) 6 + 2 ; b) 5 - 2 6 ; c) 4 3 ; f) 5 33 ; g) 2;
2 -4
4 5 5
h) - 7 + 4 3 ; i) ; j) 8 75 ; k) 3 - 1 3; l) 7 4 4 ; m) ; n) 5 33
5 2
- Extrae factores:
27 5 x 10 8 x4 y 32
a) b) 5 c) 3
4 y8 n
6
3 x2 5 2 x y10
Sol: a) 3 ; b) 5 ; c) 3
x y2
2 y y3 n
2
- Opera:
a) 1 + 6 + 5+ 16 b) 28 81 256

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c) 7 54 - 3 24 - 6 d) (3 + 9) 5 - 125 + 5 a2
Sol: a) 2; b) 12 7 ; c) 14 6 ; d) (7 + a) 5
- Simplifica:
3 5
3 2 3 . 2 . 81
a) 2 48 + 75 + 12 b) c) d) 4 x 6
4
2 3 - 2 4 y
3
e) 3
4
2
3 x4 x 3
Sol: a) 14 3 ; b) 2 3 + 2 2 ; c) 3 3 ; d) ; e) 3 3
y y2 2

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Extrae factores de las raíces
16 a3 81 a5 b2
a) 8 a 3 b 2 b) 3 24 a5 b3 c) d) 4
b2 c3 c7 d 8
4
- a3 b9 7
b 4
e) a6 f) 3 g) 3 a 5 c h) a 2 b3 c5
b c12 d
4a a 3a a b2
Sol: a) 2 a b 2 a ; b) 2 a b 3 a ; c)
3 2
; d) 2 4
bc c cd c3
2
-a 3 2
c a b c
e) a3 ; f) 4b ; g) a 3
2
; h) a c 4
b3 c
b c d d
Realiza las siguientes operaciones:
a) 125 - 2 5 + 20 b) 75 - 8 +3 12 - 2 32
c) 4a b -2
9 ab + 32
a - 2a b d) 2 a + 8b - 3 2b + 3 a3
16 1 4
25 8 2 2
e) - 2 - 2 +3 f) - 3 - 2 + 32
3 27 33 9 9 16
5 45
g) 125 - + 2 - 2 5 h) 50 + 8 + 2 - 3 2
4 9
i) 18 + 20 - 2 8 + 45 j) 3 a - 4b + 3 4a + 3 b
Sol: a) 5 5 ; b) 11 3 - 10 2 ; c) (3 - 3b) a ; d) (2 + 3a) a - 2b
1 19 9
e) - 9 ; f) 2 ; g) 5 ; h) 5 2 ; i) 5 5 - 2 ; j) 9 a + b
3 6 2
Introduce dentro de la raíz:
a b2 2 c2 abc cd
a) a b cb b) a b 3
a b 2
c) 3 d)
c b d a
c a c a b2
e) 2 a b 5 f) 3 b c 2 g) a b h) a 2 c 4
4a c ab c3
b
i) - 2 a b 3
4 a
3 5
2 a b2 c3
Sol: a) a 2 b3 c ; b) 3 a 4 b5 c) 3 a b ; d)
c d
e) 5 8 a4 b5 c ; f) 6 b2 c3 a ; g) 4 a b c ; h) 4 a 9 b 2 c ; i) 3 - 2 a 2 b4
Multiplica:
a) 3 a b . 3
2 a b2 b) a 2 b . 4
a b c c) 3 a 2 b . 6
2 a c . 3
3 a c2
2a b 3 a c2
d) 4 . e) 3 a b c . a2 b . 4
a b2 f) 3 a 2 b c . 5
a b2 c
c b2

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4 a b2 b c d2
g) 3 a 2 b c . a b2 c h) . 4
cd 2a
2
a c . a b
i) a b c 3 . 3 6
b c3
j) 6 a b . 4
3ab . 3
2 a2 b
2 . 32 a 3 c 3
Sol: a) 6 33 22 a5 b7 ; b) 4 a 5 b 3 c ; c) 6 35 2 a 9 c5 b3 ; d) 4 ;
b3
8 a b5
e) 12 a19 b16 c 4 ; f) 15 a13 b 8 c11 ; g) 6 a7 b8 c5 ; h) 4 ; i) 3 a 4 b c 4 ;
c
j) 12 24 a 13 b9 33
Racionaliza:
1 1 2 2 3 2
a) b) c) d)
3 2 3 3 3
1 2 2 - 2 2 + 3
e) f) g) h)
2+ 3 2 + 3 3 6 2 - 3
6 2 3 2 - 3 1+ 5
i) j) k) l)
2 2 2 - 3 2+ 2 1- 2
2 3 3 8 -1 3+ 2
m) n) o) p)
3 + 2 3 - 2 2 2 3 - 2
3 3 2 6 6 - 3
Sol: a) ; b) ; c) ; d) 6 ; e) 2 - 3 ; f) 6 - 2 ; g) ;
3 6 3 9
3 2 2 2 - 2 3 + 6 - 2
h) - 5 - 2 6 ; i) ; j) 6 + 4 3 ; k) ;
2 2
4 - 2 11 + 6 2
l) - 1 - 2 - 5 - 10 ; m) 6 - 2 6 ; n) 3 + 6 ; o) ; p)
4 7
Multiplica:
(
a) 2 + 3 ) . ( 2 - 3 ) b) ( 3 - 2 ) . ( 3 + 2 ) c) ( 3 + 2 ) . ( 3 + 2 )
d) ( 2 + 2 ) . ( 3 - 2 ) e) ( 2 8 + 3 ) . ( 3 2 - 1 )
f) ( 3 + 2 3 ) . ( 3 - 2 )
g) ( 2 + 3 ) . ( 2 - 3 ) h) ( 2 + 3 ) . ( 3 2 + 2 3 )
i) ( 3 - 2 ) . ( 2 + 2 ) j) ( 3 - 2 ) . ( 2 - 3 ) k) ( 2 + 8 ) . ( 2 2 - 8 )
Sol: a) 1; b) 7; c) 11 + 6 2 ; d) 4 + 2 ; e) 21 + 5 2 ; f) - 3 ; g) -1;
h) 12 + 5 6 ; i) 4 + 2 ; j) 2 6 - 5 ; k) 0
Divide:

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3 32 3 32 - 2 8 8 - 32 + 3 72 8 a3 b
a) b) c) d)
2 8 2 2 a b
3
a b2 3 a2 b 3
a b2 c2 2 a b
e) f) g) h) 3
3
a b 2 a b 3
a2 b c 2 a b
4
2 a2 b 3
2 a3 b4 c 2 a b . 3 2 a2 b
i) j) k)
2 a 2 a b c2 6
2 a b
3 a2 b
l) 3
a b c .6 3b c
2
4
a3 b 3 3
b c3 d
m) n) a
a b c a b2 c
3 a b c b
Sol: a) 12; b) 4; c) 16; d) 2a; e) 3 b ; f) ; g) 3 ; h) 6 2 a b ; i) 4
2 a 2
3 5 2 4
a b a 3 2
j) 6 a b4 ; k) 3 2 2 a3 b2 ; l) 6 3 3a ; m) 4 2 ; n) 6 c 4 d
2 c c c b
Realiza la operación y expresa el resultado en forma de raíz:
1 2 2 1 1 1 1 1 1
a) a 2 . a 3 b) a 3 . a 3 c) a 2 . a 3 d) a 4 . a 3 . a- 2
1 2 1 1 2 1 3 1 4
e) x 3 . x 3 . 2 3 f) a 2 . a - 3 . b 6 g) x 2 . x 3 . x 6
2
h) x 2 . x 3 . x- 1
2 1 1 1
3 . a2 3 2 . 2 a3
j) 3 a k) a
1
i) a . a . a 3 1 2
a . a 4 a6 . a3
b
Sol: a) 6 a7 b) a; c) 6 a 5 ; d) 12 a ; e) x 3
2 ; f) 6 ; g) x 5 ; h) 3 x 5
a
3
i) 6 a 11 ; j) 3 a ; k)
2
Opera y extrae de las raíces:
a) 3
a2 b) 3 8 a a4 b3 c) a 3 b2 c d) a 2 b a3 b5
5 6
a2 b3 c 3 5
c x6 a2
e) f) a 2 b g) 3 a 5b h) 3
3
4 a4 b c a b c c b 3
b9 c 3
i) 4 a 6 b3 c4 j) a 2 b c 3 b3
b c
Sol: a) 3 a ; b) 2 a b ; c) a b a c ; d) a b 4
a3 b 3 ; e) a b 3
2 a2

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b a b2 2
a ; h) x a
f) a 4
2
; g) 3 3 ; i) a c 4
a 2 b3 ; j) a b 4
c3 b
c c c b b c
Opera y extrae los factores que puedas:
a) ( 3
3 a2 b c3 )
2
b) ( a b2 c ) 3
c)( 4
2 a3 b2 c5 )
2
d) 2 ( 3
a2 b c3 )
2
e) ( ) g) ( )
2 4
f)  a b 
4 2  
 
  h)
3 2 4 3 2 4
3 2
2 a b c 3
a b 6 7
a b c 4 2
 a b c 
  



3
 
2  a b 
2
i) 

3 2
a b 4
a b
3 5 
 j)  
   c3 
 
 
Sol: a) a c2 3
32 a b 2 ; b) a b c
3
a c ; c) a b c 2 2 a c ; d) 2 2 a c 2 3
a b2
e) 2 a2 b c 4 2 a 2 b ; f) a b3
3 3
a2 ; g) a 2 b 3
a b c2 ; h) a b 2 3
a b2 c 2
3
b b
i) a b 6 5
a b 3
; j) a 4
c c