1. Espacio Vectorial
3
1.- Se considera R con la suma habitual y con el producto por un escalar que se
indica en los casos siguientes. Prueba que en ninguno de ellos, (R3, +,·) es
espacio vectorial señalando alguna propiedad del producto que no se cumpla:
a) λ ( x, y, z ) = ( λ x, λ y, z )
b) λ ( x, y, z ) = ( 0, 0, 0 )
c) λ ( x, y, z ) = ( 3λx, 3λy, 3λz )
2.- Definimos en R2 las operaciones siguientes:
( x, y ) + ( x ', y ') = ( x + x ', y + y '+ 1)
λ ( x, y ) = ( λ x, λ y + λ − 1)
Determinar, para la suma, el elemento neutro y el elemento opuesto de (x, y)
Probar que R2 con dichas operaciones es un espacio vectorial.
3.- En cada caso, determinar si F es un subespacio vectorial de R3. En caso
afirmativo, buscar una base y unas ecuaciones implícitas y paramétricas de F.
a) F = { (1, α, β ) ∈ R3 / α, β ∈ R}
b) F = { ( 0, α, β ) ∈ R / α, β ∈ R}
3
c) F = { ( x, y, z ) ∈ R / − x + 3y + 2z = 0}
3
d) F = { ( 2α, −β , γ ) ∈ R / α, β, γ ∈ R}
2 3
e) F = {(x,y,z) ∈R3 / x+2y+z = 0, z = y-x }
f) F = {(x,y,z) ∈R3 / x, y, z ≥ 0}
g) F= {(x,y,z) ∈R3 / máx(x,y,z)<1}
4.- Sea A={(2,1,3), (-1,2,3), (-3,1,0), (5,0,3)}. Indicar si son correctas o
falsas las siguientes cuestiones:
a) A es libre.
b) A es sistema generador de un subespacio vectorial.
c) A es una base de R3.
d) rango(A)=4.
e) El vector (2,1,3) es combinación lineal de los vectores de A.
f) El vector (1,1,1) ∈< A > .
5.- ¿Qué valores deben tener m y n para que el vector
(-3,m,n,2m-n) ∈< {( 1, 0, 0, 0 ) , ( 0,1,1,1) ,(1,1,1,1)} > ?
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2. Espacio Vectorial
6.- Sea Pn(x) el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y de
grado menor o igual que n. Demostrar que el polinomio xn y sus n primeras
derivadas forman una base de Pn(x) e indicar las coordenadas del polinomio
1+x+x2 en esta base.
7.- Determinar si los conjuntos siguientes G1 y G2 generan el mismo subespacio
vectorial de R3 o subespacios distintos G1={(1,0,-1), (0,1,-1)} y G2 = {(1,1,-2),
(2,1,-3), (0,1,-1)}
8.- Sea el subespacio vectorial E formado por el conjunto de matrices cuadradas
0 1
que permutan con la matriz A . Y sea el subespacio vectorial
1 0
a b
F= / a,b, c R Se pide:
c a
a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.
b) Una base de E.
c) Los subespacios vectoriales E F y E+F.
9.- a) ¿Para qué valores de x los siguientes sistemas de vectores son bases de
R3? B1 1, 1, 0 , x,1, 0 , 0,2,3 ; B2 2, x,1 , 1, 0,1 , 0,1,3
b) Para x = 0, escribir las ecuaciones de cambio de base de B1 a la canónica,
de la canónica a B1, de B1 a B2 y de B2 a B1.
10.- Hallar las coordenadas del vector u x, y, z en la base B ' v1, v2 , v3
donde v1 1,2, 0 , v2 3, 7,1 y v 3 0,2, 1 . ¿Cuál es la matriz de
cambio de la base B’ a la canónica?
11.-a) Probar que los sistemas de vectores G1 y G2 generan el mismo subespacio
vectorial F de R4.
G1= {(1,2,-1,0), (4,8,-4,-3), (0,1,3,4), (2,5,1,4)}
G2= {(1,-2,-13,-1), (1,1,-4,-5), (2,3,-5,-2), (1,1,-4,-1)}
b) Hallar la dimensión, una base “escalonada”, unas ecuaciones paramétricas y las
ecuaciones cartesianas de F.(Vamos a llamar bases “escalonadas” de F a aquellas
cuyos vectores se pueden disponer como las filas de una matriz escalonada)
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3. Espacio Vectorial
4
c) Sea H = {(x, y, z, t) ∈ R tales que x + y + z = 0, x + z -3 t = 0}. Se pide:
1. Hallar la dimensión y una base de H, de F + H y de F ∩ H
respectivamente.
2. Unas ecuaciones cartesianas de F + H y de F∩H.
d) ¿Es H un subespacio suplementario de F? En caso contrario halla un subespacio
suplementario de F.
⎛1 2 4⎞3
⎜ ⎟
0 1 − 2 − 1⎟
12.- Sea la matriz A = ⎜ de cambio de base de B a B’, siendo
⎜1 4 7 0⎟
⎜ ⎟
⎝2 5 8 3⎠
{ →
B = u1,..., u4
→
} { → →
} →
y B ' = v1,..., v4 . Escribir u2 en función de los vectores de la
base B’. Hallar la matriz de cambio de base de B’ a B.
13.- Comprobar que B= {(1,2,1), (1,1,0), (3,1,1)} y B’= {(1,3,1), (0,1,1),
(2,1,0)} son bases de R3 y calcular las ecuaciones matriciales de cambio
a) de la base B a la base canónica BC
b) de la base B’ a BC
c) de la base B a B’
d) de la base B’ a B.
14.- Se consideran los tres subespacios de R4 siguientes:
F = { ( α, β, 0, 0 ) / α, β ∈ R}
1
F =< ( 0,1, 0, 0 ) ,
2 ( 0, 0,1, 0 ) >
F3 =< (1, 0, 0, 0 ) >
a) Hallar F + F
1 2
b) Hallar F3 + F2
c) Las sumas anteriores ¿son sumas directas? Cuando así ocurra, escribir la
descomposición única de cada vector de la suma en suma de dos vectores uno de
cada subespacio.
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4. Espacio Vectorial
15.- Dados los subespacios vectoriales F determinado por las ecuaciones
⎧ x1 = λ 1
⎪x = λ + λ
⎧ x1 + x2 − x3 = 0 ⎪ 2
⎪
1 2
cartesianas ⎨ y G por las ecuaciones paramétricas ⎨ x3 = λ 1 + λ 2
⎩ x1 + x4 − x5 = 0 ⎪x = λ + λ
⎪ 4 1 3
⎪ x5 = λ 1 + λ 3
⎩
del espacio vectorial R5, se pide: bases de F, G, F+G y F ∩ G .
16.- Determinar, en cada caso, si los vectores dados generan y/o libre de R4.
a) {(1,1,1,1) , ( 0,1,1,1) , ( 0, 0,1,1) , ( 0, 0, 0,1)}
b) {(1, 3, −5, 0 ) , ( −2,1, 0, 0 ) , ( 0,2,1, −1) , (1, −4,5, 0 )}
c) {(1, 0, −2,5 ) , ( 2,1, 0, −1) , (1,1,2,1)}
17.- Escribir cada uno de los siguientes polinomios como combinación lineal de
x + 1, x 2 + x, x2 + 2 .
a) x 2 + 3x + 2
b) 2x2 − 3x + 1
c) x2 + 1
d) x
18.- Determinar si los conjuntos siguientes G1 y G2 generan el mismo subespacio
vectorial de R3 o subespacios distintos
a. G1={(1,0,-1), (1,1,0), (0,1,1)} y G2 = {(2,1,-1), (1,2,1)}
b. G1={(1,0,-1), (1,1,0), (0,1,1)} y G2 = {(2,1,-1), (1,-1,0)}
19.- Si { u, v, w, z} es libre, ¿cuáles de los siguientes conjuntos también lo son?
→ → → →
a) { u − v, v − w, w − u}
→ → → → → →
b) { u + v, v + w, w + u}
→ → → → → →
c) { u − v, v − w, w − z, z − u}
→ → → → → → → →
d) { u + v, v + w, w + z, z + u}
→ → → → → → → →
20.- En V = R3, sea F = { ( x, y, z ) / 2x + y + z = 0} . Buscar un subespacio
suplementario de F.
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5. Espacio Vectorial
21.- Sean F1 y F2 los siguientes subespacios vectoriales de R5:
{ →
F = x / x1 + ... + x5 = 0
1 }
F = {x }
→
2 / x1 = ... = x5
Analizar si F1 y F2 son subespacios suplementarios de R5 obteniendo la
→ → → → →
descomposición de cualquier vector u ∈ R5 en suma u = u1 + u2 , donde u1 ∈ F y
1
→
u2 ∈ F .
2
→ →
22.- En cada caso, encontrar una base de V que contenga a v y/ó w :
→
a) V = R3, v = (0, 1, 0)
→ →
b) V = R4, v = (1, −1,1, −1) , w = ( 0,1, 0,1)
→ →
c) V = P3, v = x 2 + 1 , w = x2 + x
23.- Sea el subespacio vectorial F generado por los siguientes vectores de
espacio vectorial R4: u1 = (2, 3,1, 0); u2 = (1, 0,1, 0); u3 = (0, 3, −1, 0) . Se pide:
a) Rango de H = {u1; u2 ; u3 } . ¿Qué clase de sistema es H? ¿Existe alguna relación
de dependencia entre los vectores u1, u2 y u3 ?
b) Dimensión y una base F.
c) Las coordenadas de los vectores u1, u2 y u3 respecto de la base obtenida en el
apartado anterior.
d) Unas ecuaciones paramétricas de F.
e) Unas ecuaciones cartesianas o implícitas de F.
f) A partir de las ecuaciones cartesianas otras ecuaciones paramétricas distintas
del apartado d).
g) ¿El vector (1,0,0,0) pertenece o no a F?
h) Una base B* del espacio vectorial R4 que contenga a los vectores de una base
de F.
i) Las ecuaciones del cambio de base de la base B* (del apartado anterior) a la
base canónica Bc de R4.
j) Las ecuaciones del cambio de la base Bc a la base B*
k) La expresión analítica del vector e2 de la base canónica respecto de la base
B*.
24.- Si F y G son subespacios de V, demostrar que F ∪ G es subespacio de V si y
solo si F ⊂ G ó G ⊂ F .
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6. Espacio Vectorial
25.- Sea V el espacio vectorial de las funciones reales de variable real. Sea
F = {f ∈ V / f es par} y F = {g ∈ V / g es impar} . Demostrar:
1 2
a) F1 y F2 son subespacios vectoriales de V.
f ( x) + f ( −x) f ( x) − f ( −x)
b) V = F ⊕ F (Nota: f ( x ) =
1 2 + ).
2 2
26.- Consideremos el conjunto R2 formado por todas las parejas (x,y) de números
reales. Se define en R2 la operación interna (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’) y una de las
operaciones externas siguientes:
a) λ(x,y)=(λx,0)
b) λ(x,y)=(λx,λy)
c) λ(x,y)=(λ+λx-1,λ+λy-1)
d) λ(x,y)=(λy,λy)
para λ ∈ R .Decir, para cada uno de los cuatro casos, si se obtiene o no una
estructura de espacio vectorial en R2.
27.- Comprobar que el conjunto {(1,1,0), (1,0,2), (0,1,2)} forma una base del
espacio R3. Hallar las coordenadas del vector (2,5,10) en dicha base.
28.- Demostrar que los vectores (1,0,-2,1), (1,3,2,-2) y (2,3,4,1) son
linealmente independientes. Construir, a partir de la base canónica, una base que
contenga a estos tres vectores.
29.- Encontrar una base del subespacio F de R3 engendrado por los vectores
(1,2,3) (-1,5,2) y (1,9,8). ¿Qué valor hay que dar a x para que el vector
(x,16,13) sea de este subespacio?
30.- Si los números 1,3 y 5 son las coordenadas de un vector v en la base
{(1,1,0),(0,1,1), (1,0,1)}, hallar las coordenadas del vector v en la base
canónica.
31.- Sean B = { u, v, w} y B ' = { u ', v ', w '} dos bases de R3, tales que
u ' = u + v + w, v ' = u + v y w ' = u + w . Hallar las ecuaciones del cambio de la
base B a B’ y de la base B’ a B.
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7. Espacio Vectorial
32.- Dadas las bases de R3, B={ u1 = (2,1,0), u2 = (-1,0,1), u3 = (0,1,-2)} y
B´={ v1 = (0,1,1), v2 = (1,0,0), v3 = (2,0,1)}. a) Hallar la expresión analítica del
cambio de base de B a B´, de B´a B y de B´a la base canónica. b) Si
a = (1,1,1) respecto de B ¿cuáles son sus coordenadas respecto de B’? c) Si
b = v2 − v3 , escribir la expresión de b respecto de B.
⎛ 1 1 1⎞
⎜ ⎟
33.- Sea la matriz A= ⎜ 2 0 2 ⎟ de cambio de base de B a B’, siendo
⎜1 1 4⎟
⎝ ⎠
B={ u1 , u2 , u3 } y B´={ v1 , v2 , v3 }. Escribir el vector u2 en función de los vectores de
B’. Hallar la matriz del cambio de base de B’ a B.
34.- Consideremos las bases de V3:
B1= {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,1, 0), e3 = (0, 0,1)} ,
⎧ 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫
B2 = ⎨ u1=( , , ),u2 =( ,0,- ), u3 =( ,- , ) ⎬.
⎩ 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎭
a) Hallar el cambio de base de B1 a B2 b) Hallar el conjunto F de vectores que
tienen las mismas coordenadas respecto de B1 y de B2. Demostrar que F es
subespacio de V3 y hallar una base de F.
⎛ 1 2 −4 3 ⎞
⎜ ⎟
35.- a) Hallar el rango de la matriz A= ⎜ 2 5 −3 4 ⎟ . b) Hallar una base del
⎜ 6 17 −7 10 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 1 3 −3 2 ⎠
subespacio engendrado por los vectores fila de la matriz A. c) Hallar unas
ecuaciones vectoriales, paramétricas e implícitas de dicho subespacio.
36.- Hallar una base del subespacio vectorial F formado por las matrices de la
⎛ a b⎞
forma ⎜ ⎟ . Encontrar un subespacio suplementario de F.
⎝ −b 0 ⎠
37.- Sea F el subespacio vectorial F = < (1,-1,0), (0,6,2), (1,5,2), (3,3,2) >.
Se pide:
a) Una base y unas ecuaciones paramétricas de F.
b) Un subespacio G suplementario del subespacio F.
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8. Espacio Vectorial
→ → → →
c) Sea x = (3, −1, −3) . Indicar si x ∈ F ó x ∈ G ó x ∈ F + G . Descomponer el
→
vector x en suma de dos vectores, uno paralelo y otro perpendicular al vector
→
u = (1, −1, 0) ∈ F .
d) Una base B1 del espacio vectorial F+G.
3 2 2
e) Una superficie en R tiene de ecuación 3x +2xy-2xz+3y +2yz+3z2=1.
Determinar la ecuación (lo más simplificada posible) de esta superficie, respecto
⎧ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎫
de la nueva base: B2 = ⎨ u = ⎜ , 0, ⎟ , v = ⎜ , − , 0 ⎟ , w = ⎜ 0, , − ⎟ ⎬ .
⎩ ⎝2 2⎠ ⎝2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠⎭
f) Ecuaciones del cambio de base de B1 a B2.
g) El conjunto H de vectores que tienen las mismas coordenadas respecto de B1 y
B2.
h) Demostrar que H es un subespacio vectorial del espacio vectorial R3.
38.- Se considera el espacio vectorial V = R4. Se pide:
a) Determinar si los siguientes conjuntos de vectores generan V:
F = { → → → →
u1 = (1,1,1,1) , u2 = ( 0,1,1,1) , u3 = ( 0, 0,1,1) , u4 = ( 0, 0, 0,1) }
{ → → → →
H = v1 = (1, 3, −5, 0 ) , v2 = ( −2,1, 0, 0 ) , v3 = ( 0,2,1, −1) , v4 = (1, −4,5, 0 ) }
¿Cuál de ellos es, pues, una base de R4, que llamaremos B?
b) Sean S = x, y, z { → → →
} {
y T = u, v, w
→ → →
} donde:
→ →
x = (1,2,5, 3 ) u = ( 2,1, 4, −3 )
→ →
y = ( 3,1, 5, −6 ) v = ( 3,1, 3, −2 )
→ →
z = (1,1, 3, 0 ) w = ( 9,2, 3, −1)
Sea U =< S > y V =< T > . Hallar la dimensión y una base de cada uno de los
subespacios U, V, U + V y U ∩ V.
c) Completar la base de U + V obtenida en el apartado anterior para formar una
base B’ de R4. Escribir las ecuaciones de cambio de base de B a B’ y de B’ a B.
39.- a) Demostrar que si los vectores e1, e2 , e3 son base de R3 y el vector u es
tal que u=λ 1e1 + λ 2 e2 + λ 3 e3 con λ 2 ≠ 0 entonces los vectores e1, u, e3 son base
de R3.
b) Generalizar el resultado anterior: Si e1, e2 ,..., en son una base de un espacio
vectorial V y u=λ 1e1 + λ 2 e2 + ... + λ n en , con λ i ≠ 0 , entonces los vectores
e1, e2 ,...ei − 1, u, ei+1,...., en son también base de V.
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9. Espacio Vectorial
40.- Sea { v1, v2 ,..., vn } una base de un espacio vectorial E. Demostrar que los n
vectores de E siguientes:
w1 = v1, w2 = v1 + v2 , w3 = v1 + v2 + v3,..., wn = v1 + v2 + ... + vn son base de E.
41.- a) Hallar la suma y la intersección de los subespacios vectoriales E y F
definidos por los siguientes sistemas generadores:
E=<(1,1,1), (1,0,1), (2,6,2)>; F=<(2,0,1), (1,-1,3), (0,2,-5)>
b) ¿Son E y F suplementarios?
c) Sean B1={(1,1,1), (1,0,1), (0,0,1)} y B2={(2,0,1), (0,1,0), (1,-1,1)} dos bases
de R3. Hallar el cambio de base de B1 a B2 y las coordenadas respecto de B1 y
de B2 del vector de coordenadas (1,0,0) en la base canónica.
42.- En R3 se considera el subespacio vectorial S engendrado por los vectores
{(1,0,1), (1,1,0), (1,-1,2)} y el hiperplano H de ecuación {x + y = 0} respecto de
la base canónica de R3.
Se pide:
1. Ecuaciones paramétricas e implícitas de S y de H
2. Obtener las bases de S ∩ H y S+H
⎛ 1 1 0⎞
⎜ ⎟
43.- a) Hallar el rango de la matriz A = ⎜ 0 −2 2 ⎟
⎜ 1 −3 4 ⎟
⎝ ⎠
b) Sea F el subespacio vectorial de .3 engendrado por los vectores fila de la
matriz A. Hallar una base de F.
c) Hallar unas ecuaciones paramétricas de F.
d) Hallar unas ecuaciones implícitas de F.
e) Sea C el subespacio vectorial de .3 engendrado por los vectores columna de la
matriz A. Hallar una base de C.
f) Encontrar una relación de dependencia lineal existente entre los vectores
columna de la matriz A.
g) Hallar unas ecuaciones paramétricas de C.
h) Hallar unas ecuaciones implícitas de C.
i) ¿F y C son hiperplanos distintos?
j) Calcular una base y unas ecuaciones paramétricas de F∩C.
44.- Sea G el subconjunto de vectores de .4 formado por los vectores
{(2,3,2,0), (4,6,4,1), (1,0,1,0), (0,0,0,6)} y sea S el subespacio vectorial
generado por dichos vectores. Se pide:
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10. Espacio Vectorial
a) Obtener una base de S
b) Ecuaciones paramétricas e implícitas de S
c) Valores de los parámetros a y b para que los vectores (a,a,2,2) y (1,b,1,b)
pertenezcan ambos a S.
45.- Se consideran en R4 los subespacios vectoriales S = < (1, 1, 1, 1), (1, -1,
1, -1)> y T = < (1, 1 ,0, 1), (1, 2, -1, 2), (3, 5, -2, 5)>
a) Hallar la dimensión y unas ecuaciones implícitas del subespacio S + T.
b) Hallar la dimensión y unas ecuaciones paramétricas del subespacio S ∩ T.
{ → → →
46.- Dadas las bases B1 = u1 = (1,0,0 ) , u2 = (1,1, 0 ) , u3 = (1, 0, −1) }y
{ → → →
B2 = v1 = ( 2,1,0 ) , v2 = ( 3,2, −1) , v3 = ( 0, 0,1) } del espacio vectorial R . Se pide:
3
a) Ecuación matricial del cambio de base de B1 a la base B2.
b) Ecuación matricial del cambio de base de B2 a la base B1.
c) Si el vector tiene coordenadas (1,1,1) respecto de la base B1 ¿cuáles son sus
coordenadas respecto de la base B2?
47.- Sea el subespacio vectorial F de R4 generado por los siguientes vectores:
u1 = (1,1,2, 0 ) ; u2 = ( 2, −1, 0,1) ; u3 = ( 5, −1,2,2 ) . Se pide:
a) Una base de F.
b) Ecuaciones paramétricas de F.
c) Una base B’ de R4 que contenga la base de F obtenida en el apartado a).
d) Las ecuaciones del cambio de base de la canónica Bc de R4 a la base B’ (del
apartado anterior).
48.- En el espacio vectorial real R4, se consideran los siguientes conjuntos de
vectores:
S = { u = ( 2, 3,1, −5 ) , v = ( 0,2, −1, 3) , w = ( 4, 0, 5, −19 ) , t = ( −2,1, −3,11) }
T = { p = ( 2,5, 0, −1) , q = ( 2,1,2, −7 ) }
Sean F y G los subespacios engendrados por S y T, respectivamente, es decir:
F = S y G = T .
a) Hallar los rangos de S y de T.
b) Hallar a y b para que el vector (2, a, 3, -b) ∈ F .
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11. Espacio Vectorial
c) Dar unas ecuaciones implícitas de F y de G.
d) Calcular la dimensión y una base de cada uno de los subespacios siguientes:
F, G, F+G y F ∩ G . ¿Es F+G suma directa?
e) Hallar una base B de ℜ4 que contenga a los vectores { u, v, p } . Escribir
las ecuaciones de cambio de base de B a la base canónica y de la base
canónica a B.
49.- Sea A = {(1, 3, -1, 4), (3, 8, -5, 7), (2, 9, 4, 23)}⊂R4. Se pide:
a) Estudiar si A es un sistema libre o ligado.
b) Si F es el subespacio vectorial de R4 generado por A, hallar a partir de A,
una base escalonada BF, unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones
cartesianas de F.
c) Hallar una base BS de un subespacio S, que sea suplementario de F, tal que BF
∪ BS sea una base escalonada de R4.
d) Sean B = {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 2, 3)} y B’ = {(-1, 0, 1), (0, 2, 1), (0, 0,
1)} ⊂ R3. Comprobar que B y B’ son bases de R3 y hallar las ecuaciones del cambio
de B a B’.
50.- Sean los subespacios vectoriales:
E = {( α + γ, β + γ, α + β + 2γ ) / α, β, γ ∈ R} ; F = {( x, y, z ) ∈ R 3
/ x − y + 2z = 0}
Se pide:
a) Bases de E, F, E+F y E ∩ F .
b) Ecuaciones implícitas de E ∩ F .
51.- Sea el vector a = (1,2,3) expresado en la base B= { v1, v2 , v3 } del espacio
vectorial R3. Hallar las coordenadas de a en la base B ' = {u1, u2 , u3 } , sabiendo
que:
u1 = 3v1 + 2v2 − v3 ⎫
⎪
u2 = 4v1 + v2 + v3 ⎬
u3 = 2v1 − v2 + v3 ⎭⎪
52.- Dado el espacio vectorial R3:
a) Hallar una base del subespacio vectorial generado por los vectores:
S= {a = ( 2, 4, 0 ) , b = (1,2,1) , c = ( 3,2,1) , d = ( 3, 4,1)} y expresar el vector d en
dicha base.
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12. Espacio Vectorial
b) Encontrar un vector común al subespacio E generado por los vectores
u1 = (1,2, 3) y u2 = (3,2,1) y al subespacio F generado por los vectores
v1 = (1, 0,1) y v2 = ( 3, 4, 3 ) .
c) Indicar si los subespacios vectoriales
H = {(x, y, z) / 2x + y − z = 0; x + y = 0} y
G= {( α − β + 2 γ, β − α − 2γ, α − β + 2γ ) / α, β, γ ∈ R} son iguales.
d) Sean B = {u = ( 2,1, 0 ) , v = ( −1, 0,1) , w = ( 0,1, −2 )} y
B ' = {u ' = ( 0,1,1) , v ' = ( −1, 0, 0 ) , w ' = ( 2, 0,1)} . Hallar la matriz del cambio de
base de B a B’.
53.- a) Dados los subespacios vectoriales de R4 siguientes:
⎧ x = 2λ 1 + λ 2
⎪y = λ − λ
⎪ 1 2 ⎧2x + y − z = 0
F ≡ ⎨ λ 1, λ 2 ∈ R G ≡ ⎨
⎪z = λ2 ⎩ x + 2y − t = 0
⎪ t = −λ 1 − λ 2
⎩
Se pide calcular sendas bases de F, G, F + G, F ∩ G.
b) Dadas las bases de R3 siguientes:
B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0, 0)} y B’ = {(2,1,2), (1,0,3), (-1,4,2)}
Se pide hallar la ecuación matricial del cambio de la base B a la base B’.
54.- Sea G el subconjunto de R4 formado por los vectores {(2,3,2,0), (4,6,4,1),
(1,0,1,0), (0,0,0,6)} y sea S el subespacio vectorial generado por dichos
vectores. Se pide:
a) Obtener una base de S
b) Ecuaciones paramétricas e implícitasde S
c) Valores de los parámetros a y b para que los vectores (a,a,2,2) y
(1,b,1,b) pertenezcan ambos a S.
55.- Encontrar los escalares que permiten escribir el vector de R4, (8, 4, 2, 0)
como combinación lineal de los vectores (1, 0, 0, 0), (1, 2, 0, 0), (2, 1, 1, 0).
56.- Se consideran los vectores a1 =(2,1,0,0), a2 =(1,1,-1,0), a3 =(3,1,1,0) y
E =< a1, a2 , a3 > y G = {( x , x , x , x ,) ∈ R / x
1 2 3 4
4
2 = − x3 } subespacios vectoriales
4
de R . Se pide: a) Dimensión y bases de E y G. b) Dimensión y una base de un
suplementario de E que se denominará F. c) Ecuaciones implícitas de E. d)
Dimensión y una base de E ∩ G . e) Formar una nueva base de R4, B’ formada por
12 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
13. Espacio Vectorial
los vectores a1 , a2 y los restantes vectores pertenecientes a G. f) Encontrar las
coordenadas de los vectores a1 y b = 2e1 + 2e2 + 2e3 + 2e4 en la base B’, siendo
B = { e1, e2 , e3, e4 } la base canónica.
57.- En el espacio vectorial R3 se tienen las siguientes bases:
B = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} , B ' = { (1,1,0), (0,-1,0), (1,0,1)} y
B * = {u1, u2 , u3 } . Sean (x, y, z), (x’, y’, z’) y (x*, y*, z*) las coordenadas de un
vector en las bases B, B’ y B* respectivamente.
a.- Escribir la ecuación matricial del cambio de base de B a B’.
⎧ x = x * + z*
⎪
b.- Sabiendo que ⎨ y = y * − z * , dar las coordenadas de los vectores u1, u2 , u3
⎪
⎩z = −x + z
* *
respecto de B y de B’.
⎧ x = α−β
⎪
58.- Se considera un subespacio F de ecuaciones ⎨ y = α .
⎪z = β
⎩
a.- Obtener una base de F.
b.- Si G es el subespacio generado por el sistema {(1,1, − 1) , (1,1,0)} ,
b.1.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianas
del subespacio G.
b.2.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianas
del subespacio F ∩ G .
59.- En el espacio vectorial R3 se tienen las siguientes bases:
B = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} , B ' = { (1,0,1), (1,1,0), (0,-1,0) } y
B * = {u1, u2 , u3 } . Sean (x, y, z), (x’, y’, z’) y (x*, y*, z*) las coordenadas de un
vector en las bases B, B’ y B* respectivamente.
a.- Escribir la ecuación matricial del cambio de base de B a B’.
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14. Espacio Vectorial
⎧ x = y + z*
*
⎪
b.- Sabiendo que ⎨ y = x − z , dar las coordenadas de los vectores u1, u2 , u3
* *
⎪
⎩z = − y + z
* *
respecto de B y de B’.
⎧x = α
⎪
60.- Se considera un subespacio F de ecuaciones ⎨ y = α − β .
⎪z = β
⎩
a.- Obtener una base de F.
b.- Si G es el subespacio generado por el sistema {(1,-1, − 1) , (1,2,0)} ,
b.1.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianas
del subespacio G.
b.2.- Hallar unas ecuaciones paramétricas y unas ecuaciones cartesianas
del subespacio F ∩ G .
61.- En un espacio vectorial V, sea la base canónica B = { e1, e2, e3} . Se
considera el subespacio S1 de ecuación cartesiana en x = y-z.
a) Obtener una base de S1 formada por vectores unitarios.
b) Si S2 es el subespacio engendrado por el sistema { e1 + e2-e3, e1 + e2 } , hallar
unas ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio S2.
c) Hallar una base de cada uno de los subespacios vectoriales S1 ∩ S2 y S1+S2.
62.- Dado el espacio vectorial R4 consideremos los subespacios:
V1 = <(1, 2, 0, 1)>
V2 = {( x, y, z, t ) / x-y + z + t = 0, y-z = 0 }
⎧ x1 = λ
⎪x = λ +μ
⎪ 2
V3 = ⎨
⎪ x3 = γ
⎪ x4
⎩ = μ
a) Hallar una base de cada uno de los subespacios anteriores.
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15. Espacio Vectorial
b) ¿Pertenece el vector v = (2, 4, 0, 2) a V1 ó V2 ó V3? En caso afirmativo
calcular sus coordenadas respecto de la base correspondiente obtenida en el
apartado a).
63.- En R4 consideramos los subespacios vectoriales
A = {( x, y, z, t ) ∈ R 4
| x = y = z} ,
B = {( x, y, z, t ) ∈ R / x
4
= α + β + γ + μ, y = α + β + 2μ, z = γ + μ, t = β + γ }
a) Calcular una base y dimensión de A y de B.
b) Calcular una base y dimensión de A ∩ B y de A + B .
c) Determinar un subespacio F suplementario de A.
64.- En el espacio vectorial real de dimensión cuatro. Se dan las bases
B = {u1, u2, u3, u4 } y B ' = { v1, v2, v3, v4 } las cuales están relacionadas por
u1 = 2v1 + v3 + 2v4
u2 = v1 + v2 − v3
u3 = 2v1 + v2 − v3
u4 = − v1 + 2v3 + 3v4
4
1º Se considera el vector x ∈ R cuyas coordenadas respecto de la base B' son
x = (1, 2, 0, 0 ) . Determinar sus coordenadas respecto de la base B.
4
2º Se considera el vector y ∈ R cuyas coordenadas respecto de la base B son
y = (-1, 2, 0, 1) . Determinar sus coordenadas respecto de la base B'.
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16. Espacio Vectorial
3
1.- Se considera R con la suma habitual y con el producto por un escalar que se
indica en los casos siguientes. Prueba que en ninguno de ellos, (R3, +,·) es
espacio vectorial señalando alguna propiedad del producto que no se cumpla:
a) λ ( x, y, z ) = ( λx, λy, z )
b) λ ( x, y, z ) = ( 0, 0, 0 )
c) λ ( x, y, z ) = ( 3λ x, 3λ y, 3λ z )
Solución:
a)
[A6] (λ + μ)a = λa + μa ∀λ, μ ∈ K y ∀a ∈ R 3 .
(λ + μ)a = ( λ + μ )( x, y, z ) = ( ( λ + μ ) x, ( λ + μ ) y, z ) = ( ( λx + μx ) , ( λy + μy ) , z )
λa + μa = λ ( x, y, z ) + μ ( x, y, z ) = ( λx, λy, z ) + ( μx, μy, z ) = ( ( λx + μx ) , ( λy + μy ) , 2z )
( λ + μ ) ≠ λa + μa .
No se cumple la condición A6
b)
[A8] 1. a = a para cualquier a ∈ R 3 .
1a = 1( x, y, z ) = ( 0, 0, 0 ) ≠ a
1⋅ a ≠ a .
No se cumple la condición A8
c)
[A8] 1. a = a para cualquier a ∈ R 3 .
1a = 1( x, y, z ) = ( 3x,3y,3z ) ≠ a
1⋅ a ≠ a .
No se cumple la condición A8
16 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
17. Espacio Vectorial
2.- Definimos en R2 las operaciones siguientes:
( x, y ) + ( x ', y ') = ( x + x ', y + y '+ 1)
λ ( x, y ) = ( λx, λy + λ − 1)
Determinar, para la suma, el elemento neutro y el elemento opuesto de (x, y)
Probar que R2 con dichas operaciones es un espacio vectorial.
Solución:
Previamente comprobemos que R2 con la suma tiene estructura de grupo abeliano:
( ) ( )
[A1] Asociativa: a + b + c = a + b + c ∀a , b, c ∈ R 2 .
Sean a = ( x, y), b = ( x' , y'), c = ( x'' , y'') ∈ R 2 entonces:
( a+b ) +c= ( (x,y)+(x',y') ) +(x'',y'')=(x+x',y+y'+1)+(x'',y'')= ( (x+x')+x'',(y+y')+y''+2 )
a+ ( b+c ) =(x,y)+ ( (x',y')+(x'',y'') ) =(x,y)+(x'+x'',y'+y''+1)= ( x+(x'+x''),y+(y'+y'')+2 ) .
Por ser R un cuerpo se cumple la asociativa y se tiene que
( )
a + b + c = ( x+x'+x'',y+y'+y''+2 ) = a + b + c ( ) y se verifica la propiedad asociativa
( a + b) + c = a + ( b + c )
[A2] Existencia de elemento neutro: Existe un elemento el vector nulo, que designaremos
0 = (0, −1) que verifica que a + 0 = 0 + a = a para cualquier a ∈ R 2 .
En efecto: a + 0 = (x, y) + (0, −1) = (x + 0, y − 1 + 1) = (x, y) = a y por otra
parte 0 + a = (0, −1) + (x, y) = (0 + x, −1 + y + 1) = (x, y) = a luego a + 0 = 0 + a = a y 0 = (0,0) es el
vector nulo.
[A3] Existencia de elemento simétrico: Para cualquier a ∈ R 2 existe un único elemento de
R2, que designaremos por - a =–(x, y) = (-x, -2-y) tal que a + ( −a ) = ( − a ) + a = 0 .
El elemento −a = (− x, − y − 2) es el elemento opuesto del vector a = ( x, y) ∈ R 2 ya que
a + (−a) = (x, y) + (− x, − y − 2) = (x − x, y − y − 2 + 1) = (0, −1) = 0 y que
(−a) + a = (− x, − y − 2) + (x, y) = (− x + x, − y − 2 + y + 1) = (0, −1) = 0 y se cumple
a + ( −a) = ( −a) + a = 0 .
[A4] Conmutativa: a + b = b + a ∀a , b ∈ R 2
Sean a = ( x, y), b = ( x', y' ) ∈ R 2 entonces: a+b=(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y'+1) y
permutando b+a=(x',y')+(x,y)=(x'+x, y'+y+1) y por ser conmutativo R a + b = b + a .
Por tanto, es (R2,+) un grupo conmutativo.
λ(x,y)=(λx, λy+λ-1)
Vamos a estudiar las cuatro condiciones:
[A5] λ(a + b) = λa + λb λ ∈ K ∀a , b ∈ R 2
En efecto: λ (a + b) = λ ( (x,y)+(x',y') ) =λ (x+x',y+y'+1) =
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 17
18. Espacio Vectorial
=(λx+λx',λy+λy'+λ +λ-1) = (λx,λy+λ -1)+(λx',λy'+λ -1) = λa + λb
[A6] (λ + μ)a = λa + μa ∀λ, μ ∈ K y ∀a ∈ R 2 .
En este caso:
(λ + μ)a = ( λ + μ )( x, y ) = ( ( λ + μ ) x, ( λ + μ ) y + ( λ + μ ) − 1) = ( ( λx + μx ) , ( λ y + μy + λ + μ − 1) ) =
= ( λx + μx, λy + λ − 1 + μy + μ − 1 + 1) = ( λ x, λy + λ − 1) + ( μx, μy + μ − 1) = λ ( x, y ) + μ ( x, y ) = λ a + μa
[A7] λ(μa ) = (λμ )a ∀λ, μ ∈ K y ∀a ∈ R 2 .
Ahora:
λ ( μa ) = λ ( μ(x, y) ) = λ ( μx, μy + μ − 1) = ( λμx, λμy + λμ − λ + λ − 1) = (λμ)(x, y) = (λμ)a
[A8] El elemento unidad del cuerpo K, que designaremos por 1, verifica 1. a = a para
cualquier a ∈ R 2 .
Por último: 1.a = 1(x, y) = (1x,1y + 1 − 1) = (x, y) = a .
Cumple las ocho condiciones y con estas operaciones R2 es un espacio vectorial sobre K.
18 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
19. Espacio Vectorial
3.- En cada caso, determinar si F es un subespacio vectorial de R3. En caso
afirmativo, buscar una base y unas ecuaciones implícitas y paramétricas de F.
a) F = { (1, α, β ) ∈ R 3 / α, β ∈ R}
b) F = { ( 0, α, β ) ∈ R / α, β ∈ R}
3
c) F = { ( x, y, z ) ∈ R / − x + 3y + 2z = 0}
3
d) F = { ( 2α, −β , γ ) ∈ R / α, β, γ ∈ R}
2 3
e) F = {(x,y,z) ∈R3 / x+2y+z = 0, z = y-x }
f) F = {(x,y,z) ∈R3 / x, y, z ≥ 0}
g) F= {(x,y,z) ∈R3 / máx(x,y,z)<1}
Solución:
→
a) No es subespacio, pues 0 ∉ F .
b) Sí es subespacio; una base es {(0,1,0), (0,0,1)} .
⎧x = 0
⎪
Ecuaciones paramétricas: ⎨ y = α ; implícitas: x = 0.
⎪z = β
⎩
c) Sí es subespacio; una base es {(3,1,0), (2,0,1)} .
⎧x = 3α + 2β
⎪
Ecuaciones paramétricas: ⎨ y = α ; implícitas: -x+3y+2z = 0.
⎪z = β
⎩
→
d) No es subespacio; (− 1) x ∉ F , en general.
⎛ x⎞
⎧x + 2y + z = 0 ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 0⎞
e) En este caso, el sistema ⎨ se puede escribir ⎜ ⎟ y =⎜ ⎟
⎩ z = y-x ⎝ 1 −1 1⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠
⎜ ⎟
⎝ z⎠
⎛ x⎞
⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 0⎞
abreviadamente AX=0 y el subconjunto F={X/AX=0} siendo A = ⎜ ⎟ ; X = ⎜ y⎟ ;0 = ⎜ ⎟ ,
⎝ 1 −1 1⎠ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠
⎝ z⎠
⎧ a = X ∈ F ⇒ AX = 0
⎪
entonces ∀λ, μ ∈ K, ∀a, b ∈ F ⇒ λa + μb ∈ F se cumple, puesto que ⎨ y resulta
⎪b = X ' ∈ F ⇒ AX ' = 0
⎩
que λa + μb = λX + μX ' ∈ F ya que A ( λX) + B(μX') = λ( AX) + μ(AX') = λ 0 + μ 0 = 0 + 0 = 0 .
Tenemos un subespacio vectorial, por ser un sistema de ecuaciones lineales homogéneo.
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20. Espacio Vectorial
⎧ ⎧x=α
⎪y=0 ⎪
Para obtener una base resolvemos dicho sistema quedando ⎨ ⇔ ⎨ y = 0 y una base posible
⎪z = − x ⎪z = − α
⎩ ⎩
{(1,0,-1)}.
f) En este caso: F = {(x,y,z) ∈R3 / x, y, z ≥ 0} basta con considerar un vector (1,0,0) del subconjunto
F y observar que su opuesto (-1)(1,0,0) = (-1,0,0) ya no es un vector del subconjunto F , ya que
−1 < 0 y no se cumple x ≥ 0 . Por tanto F no es un subespacio vectorial.
g) F = {(x,y,z) ∈R3 / máx(x,y,z)<1} es un caso análogo al anterior, tomando al vector (1/2,0,0) del
subconjunto F y se le multiplica por 3 se obtiene 3(1/2,0,0)=(3/2,0,0) con 3/2>1 y por consiguiente
(3 / 2, 0, 0) ∉ F , luego F no es un subespacio vectorial.
20 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
21. Espacio Vectorial
4.- Sea A={(2,1,3), (-1,2,3), (-3,1,0), (5,0,3)}. Indicar si son correctas o
falsas las siguientes cuestiones:
a) A es libre.
b) A es sistema generador de un subespacio vectorial.
c) A es una base de R3.
d) rango (A)=4.
e) El vector (2,1,3) es combinación lineal de los vectores de A.
f) El vector (1,1,1) ∈< A > .
Solución:
a) Falso, el sistema A de cuatro vectores de un espacio vectorial de dimensión 3 es siempre ligado,
puesto que el mayor número de vectores linealmente independientes es 3.
b) Verdadero, cualquier sistema de vectores genera un subespacio vectorial.
c) Falso, por no ser libre.
⎛2 1 3⎞
⎜ ⎟
−1 2 3⎟
d) Falso, no hay menores de orden 4; r = ⎜ = 2.
⎜ −3 1 0⎟
⎜ ⎟
⎝5 0 3⎠
e) Verdadero, es uno de los vectores de A.
⎛2 1 3⎞
⎜ ⎟
⎜ −1 2 3⎟
f) Falso, no se puede poner como combinación lineal de los vectores de A, r = ⎜ −3 1 0⎟ = 3
⎜ ⎟
⎜5 0 3⎟
⎜1 1 1⎟
⎝ ⎠
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 21
22. Espacio Vectorial
5.- ¿Qué valores deben tener m y n para que el vector
(-3,m,n,2m-n) ∈< {(1, 0, 0, 0 ) , ( 0,1,1,1) , (1,1,1,1)} > ?
Solución:
Es obvio, que (1,1,1,1)=(1,0,0,0)+(0,1,1,1), luego el subespacio generador por los tres vectores es el
mismo que el generado por los dos primeros.
( −3, m, n, 2m − n ) ∈< {(1, 0, 0, 0 ) , ( 0,1,1,1)} >⇔ ( −3, m, n, 2m − n ) = λ (1, 0, 0, 0 ) + μ ( 0,1,1,1)
−3 = λ ⎫
m=μ ⎪
⎪
⎬⇒ m =n
n =μ ⎪
2m − n = μ ⎪
⎭
22 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
23. Espacio Vectorial
6.- Sea Pn(x) el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales y de
grado menor o igual que n. Demostrar que el polinomio xn y sus n primeras
derivadas forman una base de Pn(x) e indicar las coordenadas del polinomio
1+x+x2 en esta base.
Solución:
Derivando Qn(x)=xn Qn’(x)=nxn -1; Qn’’(x)=n(n-1)xn-2;…; Qnn)(x)=n!
Tenemos que {Qn(x), Qn’(x), Qn’’(x),…, Qnn)(x)} que demostrar que es una base de Pn(x).
El espacio vectorial Pn(x) = {a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a n x n / a i ∈ R} es de dimensión n+1.
Es suficiente con demostrar que cualquier vector se puede poner como combinación lineal de las
sucesivas derivadas:
Pn (x) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + ... + a n x n = λ 0 Q n (x) + λ1Q n '(x) + λ 2Q n ''(x) + ... + λ n Q n n ) (x) =
λ 0 x n + λ1nx n −1 + λ 2 n(n − 1)x n − 2 + ... + λ n n! ⇒
λ0 = a n ⎫
⎪
λ0 = a n ⎫ λ1 = a n −1 ⎪
λ1n = a n −1 ⎪ n ⎪
⎪ a n −2 ⎪
⎪
λ 2 n(n − 1) = a n − 2 ⎪ λ 2 = ⎪
⎬⇒ n(n − 1) ⎬
. ⎪ . ⎪
. ⎪ ⎪
⎪ . ⎪
λ n n! = a 0 ⎪
⎭ ⎪
a ⎪
λn = 0
n! ⎭
El sistema formado por las sucesivas derivadas es sistema generador de cualquier polinomio y el
número de polinomios coinciden con la dimensión, por tanto, forma una base.
( 2x ) + ⎛ ⎞ 2 , entonces (1,1/2,1/2) son las coordenadas respecto de
1 1
En particular, 1+x+x 2 =1x 2 + ⎜ ⎟
2 ⎝2⎠
la base {x2,2x,2}
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 23
24. Espacio Vectorial
7.- Determinar si los conjuntos siguientes G1 y G2 generan el mismo subespacio
vectorial de R3 o subespacios distintos G1={(1,0,-1), (0,1,-1)} y G2 = {(1,1,-2),
(2,1,-3), (0,1,-1)}
Solución:
Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G1
⎡ x 1 0 ⎤
⎢ ⎥
#1: DET ⎢ y 0 1 ⎥ = 0
⎢ ⎥
⎣ z -1 -1 ⎦
#2: x + y + z = 0
⎡ 1 1 -2 ⎤
⎢ ⎥
#3: RANK ⎢ 2 1 -3 ⎥ = 2
⎢ ⎥
⎣ 0 1 -1 ⎦
Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G2
⎡ x 1 2 ⎤
⎢ ⎥
#5: DET ⎢ y 1 1 ⎥ = 0
⎢ ⎥
⎣ z -2 -3 ⎦
#6: -x - ·y - ·z = 0
Son iguales, luego son subespacios idénticos.
24 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
25. Espacio Vectorial
8.- Sea el subespacio vectorial E formado por el conjunto de matrices cuadradas
⎛ 0 1⎞
que permutan con la matriz A = ⎜ ⎟ . Y sea el subespacio vectorial
⎝ −1 0 ⎠
⎧⎛ a b ⎞
⎪ ⎫
⎪
F= ⎨⎜ ⎟ / a,b, c ∈ R ⎬ Se pide:
⎪⎝ c − a ⎠
⎩ ⎪
⎭
a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.
b) Una base de E.
c) Los subespacio vectorial E ∩ F y E+F.
Solución:
⎧⎛ x y ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ x y ⎞ ⎛ x y ⎞ ⎛ 0 1 ⎞⎫
a) E = ⎨⎜ ⎟ ∈ M2 / ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎬
⎩⎝ z t ⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝ − 1 0 ⎠ ⎭
⎛⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x y ⎤ ⎡ x y ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎞
#1: SOLVE⎜⎢ ⎥·⎢ ⎥ = ⎢ ⎥·⎢ ⎥, [x, y, z, t], Real⎟
⎝⎣ -1 0 ⎦ ⎣ z t ⎦ ⎣ z t ⎦ ⎣ -1 0 ⎦ ⎠
#2: x - t = 0 ∧ y + z = 0
⎛⎡ 0 1 ⎤ ⎡ x y ⎤ ⎡ x y ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎞
#3:SOLUTIONS⎜⎢ ⎥·⎢ ⎥ = ⎢ ⎥·⎢ ⎥, [x, y, z, t], Real⎟
⎝⎣ -1 0 ⎦ ⎣ z t ⎦ ⎣ z t ⎦ ⎣ -1 0 ⎦ ⎠
#4: [[@1, @2, -@2, @1]]
⎧⎛ α β ⎞ ⎫
E = ⎨⎜ ⎟ ∈ M 2 / α, β ∈ R ⎬
⎩⎝ −β α ⎠ ⎭
E es un subespacio vectorial ⇔ ∀λ, μ ∈ K, ∀a, b ∈ E ⇒ λa + μb ∈ E
⎛ α β⎞ ⎛ α' β'⎞
En este caso a = ⎜ ⎟∈E y b = ⎜ ⎟ ∈ E , luego
⎝ −β α ⎠ ⎝ −β ' α ' ⎠
⎛ α β⎞ ⎛ α ' β ' ⎞ ⎛ λα + μα ' λβ + μβ ' ⎞
λa + μb = λ ⎜ ⎟ +μ⎜ ⎟ = ⎜ − λβ + μβ ' λα + μα ' ⎟ ∈ E
⎝ −β α ⎠ ⎝ −β ' α ' ⎠ ⎝ ( ) ⎠
Siendo E un subespacio vectorial de dimensión 2.
⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎫
b) BE = ⎨⎜ ⎟,⎜ ⎟⎬
⎩⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎭
c) El subespacio intersección, será:
⎛⎡ α β ⎤ ⎡ a b ⎤ ⎞
#5: SOLVE⎜⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, [a, b, c, α, β], Real⎟
⎝⎣ -β α ⎦ ⎣ c -a ⎦ ⎠
#6: a = 0 ∧ b - β = 0 ∧ c + β = 0 ∧ α = 0
⎛⎡ α β ⎤ ⎡ a b ⎤ ⎞
#7: SOLUTIONS⎜⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, [a, b, c, α, β], Real⎟
⎝⎣ -β α ⎦ ⎣ c -a ⎦ ⎠
#8: [[0, @3, -@3, 0, @3]]
⎧⎛ 0 β ⎞ ⎫
E ∩ F = ⎨⎜ ⎟ ∈ M 2 / β ∈ R ⎬ con dim E ∩ F = 1
⎩⎝ −β 0 ⎠ ⎭
Aplicando la fórmula dim(E + F) = dim E + dim F − dim(E ∩ F) = 2 + 3 − 1 = 4
E+F es el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden 2.
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 25
26. Espacio Vectorial
9.- a) ¿Para qué valores de x los siguientes sistemas de vectores son bases de
R3? B1 = {(1, −1, 0 ) , ( x,1, 0 ) , ( 0,2,3 )} ; B2 = {( 2, x,1) , (1, 0,1) , ( 0,1,3 )}
b) Para x = 0, escribir las ecuaciones de cambio de base de B1 a la canónica,
de la canónica a B1, de B1 a B2 y de B2 a B1.
Solución:
a1) Para cualquier número real x ≠ -1, en efecto:
⎡ 1 -1 0 ⎤
⎢ ⎥
#1: DET ⎢ x 1 0 ⎥ = 3·x + 3
⎢ ⎥
⎣ 0 2 3 ⎦
#2: SOLVE(3·x + 3, x, Real)
#3: x = -1
a2) Para cualquier número real x ≠ -1/3, en efecto:
⎡ 2 x 1 ⎤
⎢ ⎥
#4: DET ⎢ 1 0 1 ⎥ = - 3·x - 1
⎢ ⎥
⎣ 0 1 3 ⎦
#5: SOLVE(- 3·x - 1, x, Real)
1
#6: x = - ⎯
3
b) Cambio de B1 a la canónica:
⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ c ⎥ ⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥
⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥
#7: ⎢ c ⎥ = ⎢ -1 1 2 ⎥·⎢ 1 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ z ⎥ ⎣ 0 0 3 ⎦ ⎢ z ⎥
⎣ c ⎦ ⎣ 1 ⎦
#8: xc = x1 ∧ yc = - x1 + y1 + 2·z1 ∧ zc = 3·z
Cambio de la canónica a B1:
⎡ 1 0 0 ⎤
⎢ ⎥
⎡ 1 0 0 ⎤-1 ⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ 1 1 - ⎯ ⎥
#9: ⎢ -1 1 2 ⎥ = ⎢ 3 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 0 0 3 ⎦ ⎢ 1 ⎥
⎢ 0 0 ⎯ ⎥
⎣ 3 ⎦
⎡ x ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ c ⎥
⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥
⎢ y ⎥ ⎢ 1 1 - ⎯ ⎥ ⎢ y ⎥
#10: ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 3 ⎥·⎢ c ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ z ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ z ⎥
⎣ 1 ⎦ ⎢ 0 0 ⎯ ⎥ ⎣ c ⎦
⎣ 3 ⎦
26 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
27. Espacio Vectorial
2 zc zc
#11: x1 = xc ∧ y1 = xc + yc - ⎯⎯⎯⎯ ∧ z1 = ⎯⎯
3 3
Matriz de paso de B2 a la canónica:
⎡ 2 1 0 ⎤
⎢ ⎥
#12: ⎢ 0 0 1 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 1 1 3 ⎦
Cambio de B2 a la canónica:
⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ c ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎡ 2 1 0 ⎤ ⎢ ⎥
⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥
#13: ⎢ c ⎥ = ⎢ 0 0 1 ⎥·⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ z ⎥ ⎣ 1 1 3 ⎦ ⎢ z ⎥
⎣ c ⎦ ⎣ 2 ⎦
igualando las ecuaciones matriciales del cambio de base de B1 a Bc y de B2 a
Bc:
⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ c ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ 2 1 0 ⎤ ⎢ ⎥
⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥
#14: ⎢ c ⎥ = ⎢ -1 1 2 ⎥·⎢ 1 ⎥ = ⎢ 0 0 1 ⎥·⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ z ⎥ ⎣ 0 0 3 ⎦ ⎢ z ⎥ ⎣ 1 1 3 ⎦ ⎢ z ⎥
⎣ c ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦
del sistema matricial anterior podemos responder al cambio de base de B1 a B2
y de B2 a B1, simplemente despejando:
Cambio de B1 a B2:
⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎡ 2 1 0 ⎤-1 ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ y ⎥
#15: ⎢ 0 0 1 ⎥ ·⎢ -1 1 2 ⎥·⎢ 1 ⎥ = ⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 1 1 3 ⎦ ⎣ 0 0 3 ⎦ ⎢ z ⎥ ⎢ z ⎥
⎣ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦
5·x - 6·y - 6·z = y ∧ 2·x - 3·y - 3·z = - x ∧ x - y -
#16: 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
2·z = - z
1 2
Cambio de B2 a B1:
⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤
⎢ 1 ⎥ ⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎡ 1 0 0 ⎤-1 ⎡ 2 1 0 ⎤ ⎢ ⎥
⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥
#17: ⎢ 1 ⎥ = ⎢ -1 1 2 ⎥ ·⎢ 0 0 1 ⎥·⎢ 2 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ z ⎥ ⎣ 0 0 3 ⎦ ⎣ 1 1 3 ⎦ ⎢ z ⎥
⎣ 1 ⎦ ⎣ 2 ⎦
4·x y x y
2 2 2 2
#18: x = 2·x + y ∧ y = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯ - z ∧ z = ⎯⎯ + ⎯⎯ + z
1 2 2 1 3 3 2 1 3 3 2
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 27
28. Espacio Vectorial
10.- Hallar las coordenadas del vector u x, y, z en la base B ' v1, v2 , v3
donde v1 1,2, 0 , v2 3, 7,1 y v 3 0,2, 1 . ¿Cuál es la matriz de
cambio de la base B’ a la canónica?
Solución:
#1: [x, y, z] = λ·[1, 2, 0] + μ·[-3, -7, 1] + γ·[0, -2, 1]
#2: x = λ - 3·μ ∧ y = - 2·γ + 2·λ - 7·μ ∧ z = γ + μ
#3:SOLVE([x, y, z] = λ·[1, 2, 0] + μ·[-3, -7, 1] + γ·[0, -2, 1], [λ,μ,γ],Real)
#4: λ = 3·(y + 2·z) - 5·x ∧ μ = - 2·x + y + 2·z ∧ γ = 2·x - y - z
Cambio de B’ a la canónica:
⎡ x ⎤ ⎡ 1 -3 0 ⎤ ⎡ x’ ⎤
#5: ⎢ y ⎥ = ⎢ 2 -7 -2 ⎥·⎢ y’ ⎥
⎣ z ⎦ ⎣ 0 1 1 ⎦ ⎣ z’ ⎦
28 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
29. Espacio Vectorial
11.-a) Probar que los sistemas de vectores G1 y G2 generan el mismo subespacio
vectorial F de R4.
G1= {(1,2,-1,0), (4,8,-4,-3), (0,1,3,4), (2,5,1,4)}
G2= {(1,-2,-13,-1), (1,1,-4,-5), (2,3,-5,-2), (1,1,-4,-1)}
b) Hallar la dimensión, una base “escalonada”, unas ecuaciones paramétricas y las
ecuaciones cartesianas de F.(Vamos a llamar bases “escalonadas” de F a aquellas
cuyos vectores se pueden disponer como las filas de una matriz escalonada)
c) Sea H = {(x, y, z, t) ∈ R4 tales que x + y + z = 0, x + z -3 t = 0}. Se pide:
1.- Hallar la dimensión y una base de H, de F + H y de F ∩ H
respectivamente.
2.- Unas ecuaciones cartesianas de F + H y de F∩H.
d) ¿Es H un subespacio suplementario de F? En caso contrario halla un subespacio
suplementario de F.
Solución:
a) Disponemos los vectores de G1 como los vectores fila de una matriz y aplicamos la reducción por
filas de Gauss y análogamente hacemos para los vectores de G2
Observamos que se obtiene la misma reducción, luego G1 y G2 generan el mismo subespacio
F de R4 .
b) La dimensión de F es 3 (el número de vectores no nulos obtenidos en la reducción por Gauss)
Una base escalonada de F está formada por los vectores no nulos obtenidos en la reducción por
Gauss del apartado anterior
BF = {(1,0,-7,0), (0,1,3,0), (0,0,0,1)}
⎧x = λ
⎪y = μ
⎪
Unas ecuaciones paramétricas de F son ⎨ , λ, μ ,γ ∈ R
⎪ z = −7λ + 3μ
⎪t = γ
⎩
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 29
30. Espacio Vectorial
Ecuación cartesiana de F : 7x - 3y + z =0 , ya que todo vector (x, y, z, t) de F depende
linealmente de los vectores de BF
c) 1. Para hallar una base de H resolvemos el sistema dado por sus ecuaciones cartesianas
Por tanto, una base de H es BH = {(1,0,-1,0), (0,1,-1,-1/3)} y su dimensión es 2.
Un sistema generador del subespacio F + H está formado por los vectores de BF y de BH. Para hallar
una base de F + H aplicamos la reducción por Gauss a la matriz cuyas filas son los vectores de
dichas bases de F y H
Observamos que las filas no nulas son los vectores de la base canónica de R4 , luego F + H = R4
(dimensión 4) y una base es, por ejemplo, la base canónica {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0),
(0,0,0,1)}
F∩H es el subespacio formado por los vectores comunes a F y H, luego dichos vectores deben
verificar las ecuaciones de F y las de H. Unas ecuaciones paramétricas de F∩H se obtienen al
resolver el sistema formado por las ecuaciones de F y H
Luego la dimensión de F ∩ H es 1 y una base es {(2, 3, -5, -1)}
2. Como F + H = R4 no tiene ecuaciones cartesianas, pues la única condición para que (x, y, z, t)
∈ R4 es que x, y, z, t ∈ R
⎧7 x − 3 y + z = 0
⎪
Unas ecuaciones cartesianas de F ∩ H ≡ ⎨ x + y + z = 0 pero podemos hallar más.
⎪ x + z − 3t = 0
⎩
30 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
31. Espacio Vectorial
Para hallar otras ecuaciones cartesianas de F∩H partimos de que todo vector (x,y,z,t) de F∩H
⎛x y z t ⎞
depende linealmente de su base luego rg ⎜ ⎜ 2 3 − 5 − 1⎟ =1, en consecuencia, los menores de
⎟
⎝ ⎠
orden 2 son todos nulos y como dim(F∩H)=1, necesitamos 4-1= 3 ecuaciones cartesianas
linealmente independientes,
⎧3 x − 2 y = 0
x y x z x t ⎪
= 0, = 0, = 0 ⇒ F∩H ≡ ⎨5 x + 2 z = 0
2 3 2 −5 2 −1 ⎪ x + 2t = 0
⎩
d) H no es un suplementario de F porque F∩H ≠ 0{}
Todo subespacio suplementario de F tiene dimensión = 4- dimF= 4-3 = 1.
Un subespacio S suplementario de F se construye a partir de un vector u ∉F, por ejemplo S =
(0,1,1,0) ya que
y en consecuencia F + S = R4 y F∩H = 0 {}
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 31
32. Espacio Vectorial
⎛1 2 34⎞
⎜ ⎟
12.- Sea la matriz A = ⎜0 1 − 2 − 1⎟
de cambio de base de B a B’, siendo
⎜1 4 7 0⎟
⎜ ⎟
⎝2 5 8 3⎠
{ →
B = u1,..., u4
→
} y B ' = {v ,..., v } .
→
1
→
4
→
Escribir u2 en función de los vectores de la
base B’. Hallar la matriz de cambio de base de B’ a B.
Solución:
⎡ -1 2 3 4 ⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 1 -2 -1 ⎥
#1: A ≔ ⎢ ⎥
⎢ 1 4 7 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 2 5 8 3 ⎦
La segunda columna de A son las coordenadas de u2 en la base B', luego:
u = 2·v + v + 4·v + 5·v
#2: 2 1 2 3 4
Matriz de cambio de base de B' a B:
⎡ 2 1 13 31 ⎤
⎢ - ⎯ - ⎯⎯ - ⎯⎯ ⎯⎯ ⎥
⎢ 5 20 30 60 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 9 1 1 ⎥
⎢ ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯ ⎥
-1 ⎢ 10 20 15 60 ⎥
#3: A = ⎢ ⎥
⎢ 1 1 1 ⎥
⎢ 0 - ⎯ ⎯ - ⎯⎯ ⎥
⎢ 4 6 12 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 1 4 11 ⎥
⎢ ⎯⎯ - ⎯⎯ - ⎯⎯ ⎯⎯ ⎥
⎣ 10 20 15 60 ⎦
32 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
33. Espacio Vectorial
13.- Comprobar que B= {(1,2,1), (1,1,0), (3,1,1)} y B’= {(1,3,1), (0,1,1),
(2,1,0)} son bases de R3 y calcular las ecuaciones matriciales de cambio:
a) de la base B a la base canónica BC
b) de la base B’ a BC
c) de la base B a B’
d) de la base B’ a B.
Solución:
B= {(1,2,1), (1,1,0), (3,1,1)} y B’= {(1,3,1), (0,1,1), (2,1,0)} son bases de R3 porque
⎛ xc ⎞ ⎛ 1 1 3⎞⎛ x ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
a) Ecuación de cambio de la base B a la base canónica BC ⎜ y c ⎟ = ⎜ 2 1 1 ⎟⎜ y ⎟
⎜ z ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟⎜ z ⎟
⎝ c⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ xc ⎞ ⎛ 1 0 2 ⎞⎛ x' ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
b) Ecuación de cambio de la base B’ a la base canónica BC ⎜ y c ⎟ = ⎜ 3 1 1 ⎟⎜ y ' ⎟
⎜ z ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟⎜ z ' ⎟
⎝ c⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ 1 1 3⎞⎛ x ⎞ ⎛ 1 0 2 ⎞⎛ x' ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
Luego ⎜ 2 1 1 ⎟⎜ y ⎟ = ⎜ 3 1 1 ⎟⎜ y ' ⎟ ⇒
⎜ 1 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟⎜ z ' ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
−1 −1
⎛ x' ⎞ ⎛ 1 0 2 ⎞ ⎛ 1 1 3 ⎞⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 1 1 3 ⎞ ⎛ 1 0 2 ⎞⎛ x' ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ y ' ⎟ = ⎜ 3 1 1 ⎟ ⎜ 2 1 1 ⎟⎜ y ⎟ y ⎜ y ⎟ = ⎜ 2 1 1 ⎟ ⎜ 3 1 1 ⎟⎜ y ' ⎟
⎜ z ' ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟⎜ z ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟⎜ z ' ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Operando, tenemos que
⎛1 1 ⎞
⎜ − 1⎟
⎛ x' ⎞ ⎜ 3 3 ⎟⎛ x ⎞
⎜ ⎟ 2 1 ⎜ ⎟
c) Ecuación de cambio de la base B a B’ ≡ ⎜ y ' ⎟ = ⎜ − 2 ⎟⎜ y ⎟
⎜ ⎟
⎜ z' ⎟ ⎜ 3 3
⎟⎜ z ⎟
⎝ ⎠ 1 1 ⎝ ⎠
⎜ 2⎟
⎝3 3 ⎠
⎛ 4 1⎞
⎜ 1 − ⎟
⎛ x⎞ ⎜ 3 3 ⎟⎛ x' ⎞
⎜ ⎟ 2 4 ⎟⎜ ⎟
d) Ecuación de cambio de la base B’ a B ≡ ⎜ y ⎟ ⎜ −1
= ⎜ y'⎟
⎜z⎟ ⎜ 3 3 ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ 1 1 ⎟⎝ z ' ⎠
⎜− 0 ⎟
⎝ 3 3 ⎠
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 33
34. Espacio Vectorial
14.- Se consideran los tres subespacios de R4 siguientes:
F = { ( α, β, 0, 0 ) / α, β ∈ R}
1
F =< ( 0,1, 0, 0 ) ,
2 ( 0, 0,1, 0 ) >
F3 =< (1, 0, 0, 0 ) >
a) Hallar F + F
1 2
b) Hallar F3 + F2
c) Las sumas anteriores ¿son sumas directas? Cuando así ocurra, escribir la
descomposición única de cada vector de la suma en suma de dos vectores uno de
cada subespacio.
Solución:
a) Bases de F1 , F2 y F3 son: B1 = {(1,0,0,0 ), (0,1,0,0 )}, B 2 = {(0,1,0,0 ), (0,0,1,0 )}, y B 3 = {(1,0,0,0)} ,
respectivamente.
Una base B12 de F1 + F2 está constituida por los vectores linealmente independientes de
B1 ∪ B 2 = {(1,0,0,0 ), (0,1,0,0 ), (0,0,1,0 )}, es decir:
B12 = {(1,0,0,0 ), (0,1,0,0 ), (0,0,1,0 )}
Por tanto, F1 + F2 = { (α, β, γ ,0 ) / α, β, γ ∈ R }
b) Una base B 23 de F2 + F3 está constituida por los vectores linealmente independientes de
B 2 ∪ B 3 = {(0,1,0,0 ), (0,0,1,0), (1,0,0,0)} , es decir:
B 23 = {(0,1,0,0), (0,0,1,0), (1,0,0,0)}
Por tanto, F2 + F3 = { (α, β, γ ,0 ) / α, β, γ ∈ R } = F1 + F2
c)
F1 + F2 no es suma directa pues B1 ∩ B 2 = {(0,1,0,0 )} ≠ φ
F2 + F3 sí es suma directa pues B 2 ∩ B 3 = φ
Descomposición única de un vector de F2 + F3 :
(α, β, γ,0) = (0, β, γ,0) + (α,0,0,0)
34 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
35. Espacio Vectorial
15.- Dados los subespacios vectoriales F determinado por las ecuaciones
⎧ x1 = λ 1
⎪x = λ + λ
⎧ x1 + x2 − x3 = 0 ⎪ 2
⎪
1 2
cartesianas ⎨ y G por las ecuaciones paramétricas ⎨ x3 = λ 1 + λ 2
⎩ x1 + x4 − x5 = 0 ⎪x = λ + λ
⎪ 4 1 3
⎪
⎩ x5 = λ 1 + λ 3
del espacio vectorial R5, se pide: bases de F, G, F+G y F ∩ G .
Solución:
a) Una base del subespacio vectorial F debe tener tres vectores de F linealmente independientes,
puesto que la dimensión de F es la dimensión del espacio vectorial R5 menos el número de
ecuaciones linealmente independientes de F. Los tres vectores necesarios son soluciones
⎧ x1 = α ⎛ x1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞
⎪ x =β ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪ 2 ⎜x2 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟
⎧x 1 + x 2 − x 3 = 0 ⎪ ⎜ x ⎟ = α⎜ 1 ⎟ + β⎜ 1 ⎟ + γ⎜ 0 ⎟
particulares del sistema ⎨ ⇔ ⎨x 3 = α + β ⇔ 3
⎩x 1 + x 4 − x 5 = 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎪ x =γ ⎜x4 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟
⎪ 4
⎜x ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟
⎪x 5 = α + γ
⎩ ⎝ 5⎠ ⎝1⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ ⎠
⎧⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪ ⎪
⎪
luego una base de F puede ser ⎨⎜ 1 ⎟, ⎜ 1 ⎟, ⎜ 0 ⎟⎬ .
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎪⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪
⎩ ⎭
b) En el caso del subespacio vectorial G tenemos las ecuaciones paramétricas
⎧ x 1 = λ1 ⎛ x1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎧⎛1⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎫
⎪x = λ + λ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎪ 2 1 2 ⎜x2 ⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎪⎜1⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎪
⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎨ x 3 = λ 1 + λ 2 ⇔ ⎜ x 3 ⎟ = λ 1 ⎜1⎟ + λ 2 ⎜ 1 ⎟ + λ 3 ⎜ 0 ⎟ ; una base: ⎨⎜1⎟, ⎜ 1 ⎟, ⎜ 0 ⎟⎬
⎪x = λ + λ ⎜x4 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 0⎟ ⎜1⎟ ⎪⎜1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎪
⎪ 4 1 3
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪
⎪
⎩ x 5 = λ1 + λ 3 ⎝ x5 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ 0⎠ ⎝1⎠ ⎪⎝1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎪
⎩ ⎭
c) Una base del subespacio suma sale de la unión de los vectores de cada base quitando los que sean
combinación lineal de los restantes, para ello calculamos el rango de la siguiente matriz
⎛1 0 0 1 0 0⎞
⎜ ⎟
⎜ 0 1 0 1 1 0⎟
r⎜ 1 1 0 1 1 0 ⎟ = 4 , la matriz que identifica el rango indica los vectores linealmente
⎜ ⎟
⎜ 0 0 1 1 0 1⎟
⎜1 0 1 1 0 1⎟
⎝ ⎠
independientes y por lo tanto la base, {(1,0,1,0,1), (0,1,1,0,0), (0,0,0,1,1), (1,1,1,1,1)} . Si queremos escribir
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 35
36. Espacio Vectorial
las ecuaciones del subespacio F+G, podemos escribir el siguiente determinante
1 0 0 1 x1
0 1 0 1 x2
1 1 0 1 x3 = 0 ⇔ x2 − x3 − x4 + x5 = 0
0 0 1 1 x4
1 0 1 1 x5
d) Para obtener las ecuaciones del subespacio vectorial F ∩ G solamente debemos juntar las
⎧x + x 2 − x 3 = 0
ecuaciones cartesianas de cada subespacio vectorial F ⎨ 1 y G; de las ecuaciones
⎩x 1 + x 4 − x 5 = 0
paramétricas de G obtenemos las ecuaciones x 2 = x 3 ; x 4 = x 5 .
Por tanto, x1=0; x 2 = x 3 ; x 4 = x 5 cuya dimensión es 2.
⎧⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪
⎪⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎪
⎪ ⎪
Una base de F ∩ G puede ser ⎨⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬ .
⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪
⎪⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪
⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭
36 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
37. Espacio Vectorial
16.- Determinar, en cada caso, si los vectores dados generan y/o libre de R4.
a) {(1,1,1,1) , ( 0,1,1,1) , ( 0, 0,1,1) , ( 0, 0, 0,1)}
b) {(1, 3, −5, 0 ) , ( −2,1, 0, 0 ) , ( 0,2,1, −1) , (1, −4,5, 0 )}
c) {(1, 0, −2,5 ) , ( 2,1, 0, −1) , (1,1,2,1)}
Solución:
a) Sí son un sistema generador (libre con 4 vectores), en efecto:
⎡ 1 1 1 1 ⎤
⎢ 0 1 1 1 ⎥
#14: DET ⎢ ⎥
⎢ 0 0 1 1 ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦
#15: 1
b) No son un sistema generador, ni libre:
⎡ 1 3 -5 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢ -2 1 0 0 ⎥
#16: DET ⎢ ⎥
⎢ 0 2 1 -1 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 1 -4 5 0 ⎦
#17: 0
c) No son un sistema generador, pues solamente hay tres, pero si es libre:
⎡ 1 0 -2 5 ⎤
⎢ ⎥
#18: RANK ⎢ 2 1 0 -1 ⎥ = 3
⎢ ⎥
⎣ 1 1 2 1 ⎦
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 37
39. Espacio Vectorial
18.- Determinar si los conjuntos siguientes G1 y G2 generan el mismo subespacio
vectorial de R3 o subespacios distintos:
a) G1={(1,0,-1), (1,1,0), (0,1,1)} y G2 = {(2,1,-1), (1,2,1)}
b) G1={(1,0,-1), (1,1,0), (0,1,1)} y G2 = {(2,1,-1), (1,-1,0)}
Solución:
a)
⎡ 1 1 0 ⎤
⎢ ⎥
#1: RANK ⎢ 0 1 1 ⎥
⎢ ⎥
⎣ -1 0 1 ⎦
#2: 2
Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G1
⎡ x 1 0 ⎤
⎢ ⎥
#3: DET ⎢ y 1 1 ⎥ = 0
⎢ ⎥
⎣ z 0 1 ⎦
#4: x - y + z = 0
Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G2
⎡ x 2 1 ⎤
⎢ ⎥
#5: DET ⎢ y 1 2 ⎥ = 0
⎢ ⎥
⎣ z -1 1 ⎦
#6: 3·x - 3·y + 3·z = 0
Son iguales, luego son subespacios idénticos.
b) Ecuación cartesiana del subespacio vectorial generado por G2
⎡ x 2 1 ⎤
⎢ ⎥
#7: DET ⎢ y 1 -1 ⎥ = 0
⎢ ⎥
⎣ z -1 0 ⎦
#8: -x - y - 3·z = 0
Son ecuaciones distintas.
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 39
40. Espacio Vectorial
19.- Si { u, v, w, z} es libre, ¿cuáles de los siguientes conjuntos también lo son?
→ → → →
a) { u − v, v − w, w − u}
→ → → → → →
b) { u + v, v + w, w + u}
→ → → → → →
c) { u − v, v − w, w − z, z − u}
→ → → → → → → →
d) { u + v, v + w, w + z, z + u}
→ → → → → → → →
Solución:
⎛ → →⎞ ⎛→ → ⎞ ⎛ → →⎞ →
a) No es libre: λ1 ⎜ u − v ⎟ + λ 2 ⎜ v − w ⎟ + λ 3 ⎜ w − u ⎟ = 0 ⇒
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧λ 1 − λ 3 = 0
(λ1 − λ 3 ) u + (− λ1 + λ 2 ) v + (− λ 2 + λ 3 ) w = 0 ⇒ ⎪− λ1 + λ 2 = 0 ⇒ λ1 = λ 2 = λ 3
→ → → →
⎨
⎪− λ + λ = 0
⎩ 2 3
⎛→ →⎞ ⎛→ → ⎞ ⎛ → →⎞ →
b) Sí es libre : λ 1 ⎜ u + v ⎟ + λ 2 ⎜ v + w ⎟ + λ 3 ⎜ w + u ⎟ = 0 ⇒
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧λ 1 + λ 3 = 0
(λ1 + λ 3 ) u + (λ1 + λ 2 ) v + (λ 2 + λ 3 ) w = 0 ⇒ ⎪λ1 + λ 2 = 0 ⇒ λ1 = λ 2 = λ 3 = 0
→ → → →
⎨
⎪λ + λ = 0
⎩ 2 3
⎛→ →⎞ ⎛→ → ⎞ ⎛ → →⎞ ⎛→ →⎞ →
c) No es libre: λ 1 ⎜ u − v ⎟ + λ 2 ⎜ v − w ⎟ + λ 3 ⎜ w − z ⎟ + λ 4 ⎜ z − u ⎟ = 0 ⇒
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→ → → → →
(λ 1 − λ 4 ) u + (− λ 1 + λ 2 ) v + (− λ 2 + λ 3 ) w + (− λ 3 + λ 4 ) z = 0 ⇒
⎧λ 1 − λ 4 = 0
⎪− λ + λ = 0
⎪ 1 2
⎨ ⇒ λ1 = λ 2 = λ 3 = λ 4
⎪− λ 2 + λ 3 = 0
⎪− λ 3 + λ 4 = 0
⎩
⎛→ →⎞ ⎛→ → ⎞ ⎛ → →⎞ ⎛→ →⎞ →
d) No es libre : λ 1 ⎜ u + v ⎟ + λ 2 ⎜ v + w ⎟ + λ 3 ⎜ w + z ⎟ + λ 4 ⎜ z + u ⎟ = 0 ⇒
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→ → → → →
(λ 1 + λ 4 ) u + (λ 1 + λ 2 ) v + (λ 2 + λ 3 ) w + (λ 3 + λ 4 ) z = 0 ⇒
⎧λ 1 + λ 4 = 0
⎪λ + λ = 0
⎪ 1 2
⎨ ⇒ λ 1 = −λ 2 = λ 3 = − λ 4
⎪λ 2 + λ 3 = 0
⎪λ 3 + λ 4 = 0
⎩
40 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
41. Espacio Vectorial
3
20.- En V = R , sea F = { ( x, y, z ) / 2x + y + z = 0} . Buscar un subespacio
suplementario de F.
Solución:
F es un plano vectorial de R3. Un subespacio suplementario de F es cualquier
recta vectorial no contenida en él. Por ejemplo:
#1: [x, y, z] = λ·[2, 1, 1] que es ortogonal al plano (de hecho es su
subespacio ortogonal)
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 41
42. Espacio Vectorial
21.- Sean F1 y F2 los siguientes subespacios vectoriales de R5:
{ →
F = x / x1 + ... + x5 = 0
1 }
{ →
F = x / x1 = ... = x5
2 }
Analizar si F1 y F2 son subespacios suplementarios de R5 obteniendo la
→ → → → →
descomposición de cualquier vector u ∈ R5 en suma u = u1 + u2 , donde u1 ∈ F y
1
→
u2 ∈ F .
2
Solución:
→ → →
Sea u ∈ F1 ∩ F2 ⇒ u = (x 1 ,..., x 5 ) con x1 + ... + x 5 = 0 y x1 = ... = x 5 , es decir, u = (x,..., x ) ,
→ →
⎧→ ⎫
con 5x = 0 y, por tanto, u = 0 . Luego, F1 ∩ F2 = ⎨ 0 ⎬ .
⎩ ⎭
F1 + F2 = V . En efecto:
→ →
u ∈ V, u = (x 1 ,..., x 5 ) = (y1 ,..., y 5 ) + (t ,..., t ) = (y1 + t ,..., y 5 + t ) ⇒
∈F1 ∈F2
x 1 + ... + x 5
x 1 + ... + x 5 = (y1 + t ) + ... + (y 5 + t ) = (y1 + ... + y 5 ) + 5t = 5t ⇒ t =
5
x 1 + ... + x 5
x i = yi + t ⇒ yi = x i − t = x i − , i = 1,...,5
5
Queda demostrado que V = F1 ⊕ F2 , es decir, que F1 y F2 son subespacios suplementarios.
42 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
43. Espacio Vectorial
→ →
22.- En cada caso, encontrar una base de V que contenga a v y/ó w :
→
a) V = R3, v = (0, 1, 0)
→ →
b) V = R4, v = ( 1, −1,1, −1) , w = ( 0,1, 0,1)
→ →
c) V = P3, v = x 2 + 1 , w = x2 + x
Solución:
a) B = {(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)}
⎡ 0 1 0 ⎤
⎢ ⎥
#61: DET ⎢ 1 0 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 1 ⎦
#62: -1
b) B = {(1,-1,1,-1),(0,1,0,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0)}
⎡ 1 -1 1 -1 ⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 1 0 1 ⎥
#63: DET ⎢ ⎥
⎢ 1 0 0 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 1 0 0 ⎦
#64: 1
c) B =
2 2 3
#65: {x + 1, x + x, 1, x }
2 2 3
#66: x + 1 = 1 + 0·x + 1·x + 0·x
2 2 3
#67: x + x = 0 + 1·x + 1·x + 0·x
2 3
#68: 1 = 1 + 0·x + 0·x + 0·x
3 2 3
#69: x = 0 + 0·x + 0·x + 1·x
⎡ 1 0 1 0 ⎤
⎢ ⎥
⎢ 0 1 1 0 ⎥
#70: DET ⎢ ⎥
⎢ 1 0 0 0 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 0 0 0 1 ⎦
#71: -1
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 43
44. Espacio Vectorial
23.- Sea el subespacio vectorial F generado por los siguientes vectores de
espacio vectorial R4: u1 = (2, 3,1, 0); u2 = (1, 0,1, 0); u3 = (0, 3, −1, 0) . Se pide:
a) Rango de H = {u1; u2 ; u3 } . ¿Qué clase de sistema es H? ¿Existe alguna relación
de dependencia entre los vectores u1, u2 y u3 ?
b) Dimensión y una base F.
c) Las coordenadas de los vectores u1, u2 y u3 respecto de la base obtenida en el
apartado anterior.
d) Unas ecuaciones paramétricas de F.
e) Unas ecuaciones cartesianas o implícitas de F.
f) A partir de las ecuaciones cartesianas otras ecuaciones paramétricas distintas
del apartado d).
g) ¿El vector (1,0,0,0) pertenece o no a F?
h) Una base B* del espacio vectorial R4 que contenga a los vectores de una base
de F.
i) Las ecuaciones del cambio de base de la base B* (del apartado anterior) a la
base canónica Bc de R4.
j) Las ecuaciones del cambio de base Bc a la base B*
k) La expresión analítica del vector e2 de la base canónica respecto de la base
B*.
Solución:
a) El rango del sistema de vectores H se halla como rango de la matriz formada por dichos vectores
⎛ 2 3 1 0⎞
⎜ ⎟
⎜ 1 0 1 0 ⎟ que es 2, entonces r(H)=2
⎜ 0 3 −1 0⎟
⎝ ⎠
El sistema H es ligado y la relación de dependencia existente es u1 = 2 u 2 + u 3 , como se comprueba
fácilmente.
b) Ya que H = {u 1 ; u 2 ; u 3 } es ligado se cumple F =< H >=< u 2 ; u 3 > . Tenemos que BF={ u 2 ; u 3 } es
una base del espacio vectorial F y su dimensión es 2 , el cardinal de cualquier base.
c) De la relación u1 = 2 u 2 + u 3 resulta u1 = 2 u 2 + u 3 = (2,1) B F coordenadas respecto de la base BF y
para u 2 = 1 u 2 + 0u 3 = (1,0) B F y u 3 = 0 u 2 + 1u 3 = (0,1) BF
d) Veamos, unas ecuaciones paramétricas de V. Como ∀x ∈ F ⊂ R 4 se tiene que
x1 = λ ⎫
x 2 = 3μ ⎪⎪
x = λu 2 + μu 3 ⇔ (x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = λ(1,0,1,0) + μ(0,3,−1,0 ) ⇔ ⎬, o bien,
x 3 = λ − μ⎪
x4 = 0 ⎪⎭
44 U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía.
45. Espacio Vectorial
⎛ x1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ x2 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 3⎟
⎜ x ⎟ = λ⎜ 1 ⎟ + μ⎜ − 1⎟ Ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial F, pues dando valores a
⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜x ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜0⎟
⎝ 4⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
los parámetros λ , μ se obtiene las coordenadas de los vectores de F, siendo la dimensión de F el
número de parámetros linealmente independientes que tienen sus ecuaciones paramétricas.
e) Eliminando los parámetros obtenemos las ecuaciones cartesianas o implícitas de F.
⎛1 0 ⎞ ⎛ x1 1 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0 3 ⎟ ⎜ x2 0 3 ⎟
r (H) = r⎜ = 2 y por el teorema de Rouche-Fröbenius r⎜ = 2 luego todos los
1 − 1⎟ x 3 1 − 1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜0 0 ⎟ ⎜x 0 0 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠
x1 1 0 x1 1 0
menores de orden 3 son nulos x 2 0 3 = 0 y x 2 0 3 = 0 ⇒ −3x1 + x 2 + 3x 3 = 0 y x4=0 son
x 3 1 −1 x4 0 0
las ecuaciones cartesianas o implícitas que identifica a F; las coordenadas de cualquier vector de F
cumplen la ecuación anterior. Podemos observar que la dim F=dim R4 - número de ecuaciones
linealmente independientes. Cuando F=R4 no hay ecuaciones cartesianas.
f) Se puede pasar de las ecuaciones cartesianas a las ecuaciones paramétricas, simplemente
resolviendo el sistema de ecuaciones. En nuestro caso, con la ecuación −3x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 se
⎧ x1 = α
⎪x = 3α − 3β
⎪
despeja una incógnita x 2 = 3x 1 − 3x 3 quedando en función de las otras dos ⎨ 2 otras
⎪ x3 = β
⎪
⎩ x4 = 0
ecuaciones paramétricas de F.
g) Las ecuaciones permiten saber que vectores son del subespacio vectorial F. Sustituyendo las
coordenadas en las ecuaciones -3.1+0+3.0=0 y 0=0, evidentemente no se cumple, por tanto la
respuesta es que (1,0,0,0 ) ∉ F .
h) Ampliamos la base de F del apartado b) { u 2 ; u 3 } con el vector del apartado e) puesto que no es
de F y conseguimos { u 2 ; u 3 ;(1,0,0,0)} tres vectores linealmente independientes, basta conseguir
otro, por ejemplo (0,0,0,1) puesto que evidentemente no pertenece a F y que no sea combinación
lineal de los otros tres. Por tanto, una base del espacio vectorial R4 es
B*={ u 2 ; u 3 ;(1,0,0,0);(0,0,0,1)} , ya que:
1 0 1 0 ⎛1 0 1 0⎞
⎜ ⎟
0 3 −1 0 ⎜0 3 −1 0⎟
≠ 0 ⇔ r⎜ =4
1 0 0 0 1 0 0 0⎟
⎜ ⎟
0 0 0 1 ⎜0 0 0 1⎟
⎝ ⎠
U. D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía. 45
