1. 1956 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК Т. 40 (82), № 1
Об единицах алгебраических полей третьего
и четвертого порядков
К. К, Биллевич (Орджоникидзе)
В 1896 г. была опубликована известная докторская диссертация
Г. Ф. Вороного [1], в которой Вороной излагает особую точку зрения
на алгорифм непрерывных дробей и предлагает новое его обобщение для
кубических полей как положительных, так и отрицательных дискрими­
нантов. Алгорифмы Вороного в обоих случаях сказываются периодическими
и приводят к способам нахождения основных единиц соответствующих по­
лей. Помимо этого Вороным решаются задачи об эквивалентности идеалов
и о числах классов идеалов кубических полей. Исследования Вороного об­
лечены в чисто алгебраическую форму.
Нахождением основных единиц кубических полей весьма интересовались
многие математики, особо можно выделить работы Е. И. Золотарева [2]г
Шарва [3], Г. Минковского [4], которые, однако, по глубине
уступают исследованиям Вороного. В 1923 г. Б. Н. Делоне в работе
[5] дал замечательную геометрическую интерпретацию исследованиям
Вороного для случая отрицательного дискриминанта. Б. Н. Делоне сов­
местно с К. Латышевой была составлена таблица основных единиц куби­
ческих полей отрицательных дискриминантов, не превышающих по абсолют­
ной величине 379. Известна также таблица Л. А. Маркова [6] единиц
з
кубических полей О (ос), где а = У а, для всех а •< 70. В 1940 г.
Д. К. Фаддеевым в монографии [7] был интерпретирован также и слу­
чай кубического поля положительного дискриминанта.
Способ Вороного разыскания основных единиц кубических полей по­
ложительных дискриминантов практически оказывается мало пригодным
для составления таблиц основных единиц полей, так как здесь пришлось
бы проделать огромные вычисления. Алгорифмы Вороного для нахождения
единиц не допускают непосредственного обобщения на случай алгебраи­
ческих полей более высоких порядков, вследствие несправедливости
в пространстве измерения выше 3 основной теоремы Вороного об общем
элементе двух разнонаправленных последовательностей относительных
минимумов.
В нашей работе предлагаются способы нахождения систем основных
единиц алгебраических полей третьего и четвертого порядков; эти спосо­
бы оказываются практически пригодными для составления таблиц основ­
ных единиц соответствующих полей и могут быть обобщены на случав
полей более высоких порядков. Прилагаются таблица основных единиц ку­
бических полей положительных дискриминантов и две таблицы основных
единиц полей четвертого порядка.
9*

2. 324 К. К. Биллевич
§ 1. Области (ук
> и последовательности {1}{к)
точек решетки [со],
повторяющейся умножением
Рассмотрим в /г-мерном комплексном пространстве Кп /г-мерную ре­
шетку, повторяющуюся умножением, с базисными точками coj,co2, . . .,<оп,
т. е. совокупность точек вида о^1х1 -ь со2лг2 + . . . + ыпхп, где хх, х2,.. ., хп—
все возможные системы п целых рациональных чисел. Предположим, что
первые г координат со^0
, сс42)
,. . ., со^г)
у всякой базисной точки со& веще­
ственны, остальные же п — r = 2t координат — комплексные числа, по­
парно сопряженные следующим образом:
,ч(Н-1) __ .(1) , ; <1) ,Аг+2) _ М , (1)
,An-i) it) i / a ( 0 (л) M . (0
• • • t toft = pft "Г *^A , COft = pft — JSft .
В соответствующем пространству /См n-мерном сигнатурном пространстве
/?«,* рассматриваемой решетке будет соответствовать решетка [со], также
повторяющаяся умножением, у всякой точки которой все координаты —
вещественные Всякой базисной точке со^ будет соответствовать точка с
вещественными координатами со^), coj^, .. ., со£>, р£о, <з^,..., р'Д з£ ко­
торая будет базисной точкой решетки [со]. Всякая точка решетки [со]
имеет координаты, равные значениям форм
^ = ^)
х1 + с4°*а +... + Л „
Ч1° = Л + Р2°*2 + • - . + Рп'Хп,
(, _ ах лгх -f- а2 #2 -f- . . . -[- ил х я
при определенных целых рациональных значениях х15 х2,. . ., #л. Точка
1 принадлежит решетке [со] и является в ней относительным минимумом.
Область пространства Rn$t> У всякой точки которой все параметры, за ис­
ключением какого-нибудь А-го, не больше единицы, а k-и может быть
каким угодно, назовем о б л а с т ь ю (l){k>
. Очевидно, что, например, в слу­
чае п = 3, г = 3, £ = 0, область (l)(fe)
ограничена бесконечной четырех­
гранной призмой с ребрами, параллельными оси си
и квадратными пер­
пендикулярными сечениями; когда /г = 3, г = 1, t=l, & = 1, обл сть
(1)(1)
ограничена бесконечным круговым цилиндром с образующими , п рал-
лельными оси с(1)
.
Точка 1 решетки [со] лежит на границе области (l)(fe)
. Станем
увеличивать k-й параметр точки 1, оставляя все прочие ее пара­
метры неизменными, тогда объем соответствующего точке норменного те­
ла будет возрастать, и, когда он превысит в 2п
раз объем основного
параллелепипеда решетки, согласно теореме Минковского о выпуклом те­
ле с центром симметрии в точке решетки, внутри тела окажутся по
^крайней мере две точки решетки, симметричные друг с другом отно­
сительно начала координат и имеющие, следовательно, соответственно
равные параметры. По мере дальнейшего увеличения норменного тела
внутрь него будут попадать все новые и новые пары точек решет­
ки [со]. Вследствие отсутствия в решетке [со] делителей нуля, в ней не
( / = 1 , 2 , . . . , г),
( / = 1 , 2 , . . . , О,
(1)

3. Об единицах алгебраических полей третьего и четвертого порядков 125
будет точек с равными £-ми координатами, поэтому k-e параметры точек
всякой из этих пар отличны от k-x параметров точек любой другой
пары. Из каждой пары будем выбирать лишь одну точку. Расположив
выбранные таким образом точки в порядке возрастания их k-x пара­
метров, мы получим последовательность точек, которую назовем после­
д о в а т е л ь н о с т ь ю {1 }{к)
; сами точки будем обозначать через )vl, Х2, Х3, . . . .
Точку 1 также будем причислять к последовательности. Все точки последо­
вательности принадлежат области (1){к
Нетрудно доказать следующую лемму:
Лемма. Если Xt- и Xt-+1— две соседние точки последовательности
{}{h
то k-й параметр точки Х/+1 удовлетворяет условию
или условию
T f f i ^ i y ^ y т(
/>, когдак = г + 8./ 0 < s < / ,
где Д — определитель форм (1), Х;-— точка последовательности, совпа­
дающая с точкой X/, если последняя есть относительный минимум
решетки; в противном случае X/ есть относительный минимум, ближай­
ший в последовательности к точке Xt- и предшествующий ей.
§ 2. Вычисление последовательностей {}^
Рассмотрим случай когда г = п, t = 0. В этом случае формы (1)
будут £{i)
= м[1)
х1 + <41)
*2 + • • • + ы^Хп ( / = 1 , 2 , . . . , п); коэффициенты,
всех форм — действительные числа. Координаты всякой точки решетки
[со] суть сопряженные целые алгебраические числа п-то порядка.
Положим k=l. В последовательность {1}(1)
условимся включать точ­
ки с положительными координатами с(1
>.
Проведем через базисные точки со2, ео3, . . . , со„ и начало координат (п — 1 )-
мерную плоскость Q0. В плоскости Q0 будет находиться (п—1)-мерная парал™
лелепипедальная система точек решетки [со]; основными векторами системы
будут 0со2,0со3, . . . , 0соя. Всю решетку [со] представляем себе состоящей из бес­
численного множества таких (п—1)-мерных параллелепипедальных сис­
тем, расположенных в параллельных (я— 1)-мерных плоскостях . . . , Q_2,
Q_i> Qo» Qi» Q2» • • • ' проходящих соответственно через точки . . . , —2сох>
—сох, 0, сох, 2coi5 . . . и получаемых из одной какой-либо системы, напри­
мер, системы плоскости Q0, путем переноса ее параллельно вектору 0со2
на прочие плоскости.
Вследствие симметрии решетки [со] относительно начала координат,
оказывается достаточным рассматривать лишь плоскости Q0, Qu Q2, ....
Плоскости Qt будут пересекать область (I)*1
) по некоторым (п—^-мер­
ным параллелепипедам (Qi). Если на какой-либо из плоскостей Q; име­
ются точки последовательности {1}(1)
, то они должны находиться внутри
соответствующего параллелепипеда (Qt).

4. 126 К. К. Биллевич
Для вычисления последовательности {1}(1
> нам нужно будет находить
последовательно точки решетки [со], лежащие на плоскостях QQ, Ql9
Q2, . .. внутри параллелепипедов (Q0), (QJ, (Q2),
Рассмотрим какую-нибудь плоскость QPl; находящуюся на ней (/2—1)-
мерную параллелепипедальную систему точек решетки [б>] обозначим че­
рез [6)i, б)2, . . . ,6)Я]А; плоскость QPl проходит через точку р^1т Обозна­
чим через pL9 p2i..., рп значения переменных хъ х2,..., хп, соответству­
ющие какой-либо точке последовательности {1}(1)
, находящейся внутри
параллелепипеда {QPl).
Нахождение значений ръ /?2,. . . , рп основано на проектировании
системы [б)х, б)2,.. . ><х>п]Рх сначала параллельно оси $d> на (п— 1)-мерную
координатную плоскость № е(3)
. . . с(/2)
, затем полученной проекции
параллельно оси g(a) на (п — 2)-мерную координатную плоскость
с<3
) £<4
>...УЛ
> и т. д., пока, наконец, не дойдем до проекции на двумер­
ную координатную плоскость #*-ЩМ. Способ вычисления ри р2, .. . , р„
состоит в следующем. Зная plt находим значения р2 из условий:
•dL<
Л2) ,ч (3)
^1 6)
,(2) (3)
Оо 6)о
6)„ 6 ) я
6)
,(л)
(л)
л<*>
л +
6),,
(2) ,ч (3)
6).'2
6).
(2) (3)
СО.ч
^(2)
^(3)
6)„ 6)„
6U
(Л)
со:.<«>
6);:*)
P2<dy, (*)
где 6/L = | Л п | + | Л121 + . . . + | Аип-х |, а Лп , Л12,. . . , Л1Л_Х — миноры
первой строки какого-либо из определителей, входящего в условия (*).
Для каждой пары значений pL, p2 значения р3 находим из условий:
d2<
coi 6)j
6)4 6)4
, Я ,ч(4)
&>„ 6)д
+
6)3
6)4
, ч ( 3 )
. . . 6) '
. . . 6)4
(л)
6)3 . . .
6)4 . . .
^(4)
6 ) д . . .
Pl +
(") 1
6)4
1 ^(3)
^(4)
6)2 6)2
, ъ ( 3 )
^ ( 4 )
6)4 6)4
Ps<d2,
- ы2
. со4
р2
(#*)
ГДе rf2 = | Л21 | + А22 I + • • • + I А
2.п-2 N а Л
21, Л2> • • • > ^2,«-2 — МИНОрЫ
первой строки какого-либо из определителей условий (**), и т. д. Наконец,
для каждой вычисленной системы значений ри p2,*-->Pn-i значения рп
находятся из условий:
— 1 < ^Pi + <4L)
P2 + ...+ <№рп < 1,
— 1 <<4V + 42)
P2 + • • • + ^рп < 1,
1 . W
l Pi + W
2 /?2 "Г
An)
+ <%<!.

5. Об единицах алгебраических полей третьего и четвертого порядков 127
На некоторых первых плоскостях Q/ внутри параллелепипедов (Qt-) могут
оказаться точки с отрицательными координатами S*1
*; для таких точек
нужно вычислять точки, симметричные им относительно начала коорди­
нат, и включать последние в последовательность {1}(1)
. Если нужно
ограничиться в последовательности {1}(1)
лишь точками, у которых коорди­
наты £(1)
не превышают определенного положительного значения /г, то
номер i последней плоскости Q/, на которой еще нужно искать такие
точки, будет находиться по формуле i = гк~ >где Д—определитель систе­
мы (1), § = A1h + A2 + .. , + Ап, а Аъ Л2,. .. ,Ап — миноры пер­
вого столбца определителя Д.
Приведенный способ вычисления последовательности {l}<fe
> для случая
г = п, t = 0, k=l без труда распространяется [и на всякие другие
случаи. При этом, если t-фО и &>г, то необходимо пользоваться лем­
мой, приведенной в § 1.
§ 3. Теоремы об основных единицах
Всякой единице е решетки [со] сопоставляют в (г + 0"м е
Рн о м
вещест-
венном эвклидовом пространстве Rr+t точку s с прямоугольными коорди­
натами у(1)
, у(2)
,. . . , t/(r
+') — параметрами этой единицы s. Система точек
s лежит в Rr+t на поверхности у(1)
у(2)
. .. у(г
+^ = 1. Всякой точке е при­
водят в соответствие точку г, координаты которой суть логарифмы соответ­
ствующих координат точки s. Система точек г лежит в (г + t — 1)-мерной
плоскости Рг-к-1 с уравнением
yd) _)_ J/(2) + • • . + t/<r
+'-U = 0
и представляет собой (г + t—1)-мерную параллелепипедальную систему
fsj, Т2 ,... Я-к-i1 = 1>Ь гдееь е2, . .., Sr+*-i—основные единицы решетки[со].
Случай r + t = 2. В решетке [со] будет лишь одна основная еди­
ница.
Теорема 1. Первая после точки 1 единица в последовательности
{}{h)
может быть принята за основную единицу решетки [со].
Действительно, такая единица не может быть целой рациональной
степенью никакой другой единицы решетки [со] и потому может быть
принята за основную.
Когда г + t = 2, возможны следующие случаи:
1) я = 2, г = 2, t = 0; 2) п = 3, г = 1, * = 1; 3) п = 4, г = 0, * = 2.
Случай г + £ = 3. Плоскость Р2, уравнение которой у^ f- */(2
> -f- У(3)
=
= 0, пересекается координатными плоскостями у№ = О, г/(2
> = 0, t/(3
> = О
по трем прямым №, №, /(3
>, проходящим через начало координат Т и
разделяющим плоскость Р2 на шесть равных областей, как указано на
фиг. 1.
Всякой единице е в R3tt соответствует на плоскости Р2 определенная
точка s в той или иной области. Всем единицам решетки [со] соответствует
плоская решетка [е]. В области (1)<*> (&=1, 2,3) имеется бесчисленное
множество единиц. Область плоскости Р2> в
которой расположатся точки,

6. 128 К. К. Биллевич
Фиг. 1
соответствующие единицам области (l)(fe)
, обозначим через (1)(
Ч Усло­
вимся при переходе от единиц s к точкам s считать основание системы
логарифмов меньшим 1, тогда области (Ty~l
(1)(2)
, (1)<3
) расположатся в
плоскости Р2, как указано на фиг. 1. Чем дальше единица s расположена
в области (1)(/г
> от точки 1, тем больше по абсолютной величине k-я ко­
ордината точки s и, следовательно, тем дальше точка е отстоит на пло­
скости Р2 от прямой /<*>.
Теорема 2. Первая после точки 1 единица зх в последовательно­
сти {1}(/г
> может быть принята за первую основную единицу решетки
[со], за вторую основную единицу мож­
но принять следующую в последо­
вательности {1}(/г
> единицу г2, у ко­
торой один из параметров, помимо
~77j7t) k-го, больше соответствующего пара-
+ метра единицы е1#
Первая после точки 1 единица е1
в последовательности {1}(й)
может
быть принята за первую основную
единицу решетки [со] по той причине,
что она не может быть целой рацио­
нальной степенью никакой другой
единицы, так как точка е± будет в об­
ласти (l)(fe
> ближайшей к прямой /<fe
) точкой решетки [г], и, следователь­
но, на отрезке 1е15 кроме точек 1 из1} не будет других точек решетки.
Проведем через точку ех плоскости, параллельные координатным пло­
скостям у{1)
= 0, у(2)
= 0, z/(3)
= 0; они пересекут плоскость Р2 по трем
прямым l{
i l{
i lf соответственно параллельным прямым 1^ /(2)
, /(3)
.
Положим для определенности &= 1. Найдем в области (1)(1
> следую­
щую после точки е± точку s2 решетки [s], ближайшую к прямой /(1)
и
находящуюся в области, состоящей из полос между прямыми /<2)
, /(
х
2)
и
/<3
>, /i3)
. Как легко видеть, параллелограмм, построенный на векторах
ls1,Ie2, будет основным параллелограммом решетки [г], следовательно, еди­
ницу s2 можно принять за вторую основную единицу решетки [со]. Еди­
ница г2 удовлетворяет условиям теоремы.
Нетрудно доказать следующую теорему:
Теорема 3. Пусть 81? о2, о3 — первые после точки 1 единицы, на­
ходящиеся соответственно в последовательностях {1}(1)
, {1}(2)
, {1}(3)
. Лю­
бая пара из этих единиц составляет основную систему единиц решетки
N.
Теоремы 2 и 3 справедливы во всех случаях, когда г + t = 3, т. е.
когда: 1) л = 3, г = 3, * = 0, 2) п = 4, г = 2, t = l, 3)/z = 5 , r = l ,
t = 2, 4) п = 6, г = 0, * = 3.
Случай г + ^ ~ 4 ; / 2 = 4, г = 4, t—0. Трехмерная плоскость Ps
пересекается координатными плоскостями у(1
> = 0, #(2
> = 0, у^ = 0, у{й)
=
= 0 по четырем двумерным плоскостям <^(1)
, ^(2)
, gr(3)
, ^(4)
, проходя­
щим через начало координат 1 и составляющим между собой такие же
углы, какие составляют плоскости, проведенные через одну точку парал-

7. Об единицах алгебраических полей третьего и четвертого порядков 129
лельно граням правильного тетраэдра. Плоскость Р3 разделяется при
этом на 14 попарно симметричных относительно начала координат обла­
стей, 8 из которых будут трехгранными, а 6 четырехгранными (фиг. 2).
Рассмотрим пару симметричных трехгранных областей. Нетрудно ви­
деть, что, если основание системы логарифмов выбрать меньшим 1, у
всякой точки одной области знаки трех
координат будут положительными, а знак
оставшейся четвертой координаты — отри­
цательный; в другой области знаки коор­
динат любой точки противоположны зна­
кам соответствующих координат точек
первой области. Единицам, находящимся
в последовательности {l}(ft)
, соответствуют
точки такой трехгранной области, у кото­
рой всякая точка имеет отрицательную Фиг. 2
&-ую координату, а все прочие координа­
ты— положительные. Эту трехгранную область будем называть обла­
стью (l)(fe)
. Плоскость <^(fe)
будет составлять с ребрами области (1)^>
равные углы.
Единицам, находящимся в последовательности {1}(/{)
> следующим друг
за другом в порядке возрастания k-ых параметров, будут соответствовать
в области (l)(fe)
точки, следующие друг за другом в порядке возрастания
их расстояний от плоскости ^ к
а
следовательно, и в порядке возраста­
ния абсолютных величин их k-ых
координат.
Первая единица после точки 1
в последовательности {l}(fe
) может
быть принята за первую основную
единицу ег решетки [со], за вторую
основную единицу s2 можно принять
первую единицу, которая следует
в последовательности {1}(&)
за едини­
цей е± и у которой хотя бы один из
параметров, помимо &-го, больше соответствующего параметра единицы
ег. Это доказывается подобно тому, как доказывалась теорема 2.
Проведем через точки 1, е1? г2 двумерную плоскость £/0, в ней рас­
положится параллелограмматическая система [е1? s2]0 точек с основными
векторами 1ги Ге2. Все же точки системы [s] расположатся в параллель­
ных плоскостях . . . , £/_2, U_ъ ^о> Uъ ^2> • • • с равными расстояниями
между всякими соседними плоскостями. Каждая плоскость Ut будет со­
держать параллелограмматическую систему [гх, г2]г точек решетки [s],
такую же, как и система [s1, s2]0 точек плоскости UQ.
Плоскости .. . , (7_2, £/_i, U0, Ul9 U2, . . . пересекают область (){к
К
как примерно указано на фиг. 3. Координатные плоскости у(1
> = О,
у№ = 0, t/<3) = 0, z/(4)
= 0 пересекут плоскость U0 по некоторым прямым
о~ IQ2
1{
Q 1(
О пересекающимся В точке 1. Примерное расположение

8. 130 К. К. Биллевич
прямых дано на фиг. 4, где индексы k, p, q, s суть числа 1, 2, 3, 4,
взятые, может быть, в ином порядке. На плоскости Ui в пересечении с
координатными плоскостями мы тоже получим прямые, которые обозна­
чим через # lf lfJt
Если через точки е19 е2 провести плоскости, параллельные координат­
ным плоскостям, то они пересекут каждую плоскость Ui по прямым,
которые мы соответственно точкам обозначим через l{
0
1)f
, lfy
, lfy
, lfy
и
/(1)" ;(2)" ;(3)" /(4)"
1
i у L
i > l
i у l
i
Рассмотрим координаты точек el9 s2, исключив k-e координаты. Оче­
видно, что у какой-либо из этих точек две из оставшихся координат
меньше, а третья больше соответствующих координат другой точки. При­
мем для первой точки обозначение si, а для второй —sn . Указанным пер­
вым двум координатам условимся приписывать индексы р, q, а третьей —
индекс s. Соответствующим координатам всякой точки пространства i?4
припишем те же индексы.
Обозначим через Si область плоскости £/*, состоящую из точек, коор­
динаты yip), у(<*)9 y(s
) которых удовлетворяют условиям:
0<уМ<Ж */<*>> 0, 0 < £<*><#>, (2)
если / > 0 , и условиям:
У™ > 0, 0 < у ^ < Ж 0 < */<*> < e[s)
, (3)
если / < 0 . Через S0 обозначим на плоскости U0 область, состоящую из
точек, у которых указанные координаты удовлетворяют по крайней мере
одной тройке условий (2), (3). Такая область ограничивается на плоско­
сти Un многоугольником lBLene (фиг. 4).
Фиг. 4
Имеют место следующие леммы:
Лемма 1. 5 области S не может быть точек системы [е1У е2]0, кро­
ме точек 1, еъ е2, лежащих на границах области.

9. Об единицах алгебраических полей третьего и четвертого порядков 131
Лемма 2. Никакая из областей Si {1ф0) не может иметь на
своих границах точек системы[е1У е2],-.
Лемма 3. На плоскостях Ut не может быть точек решетки [в], коор­
динаты у(р
у№, y{s)
которых удовлетворяли бы одновременно условиям*
#(/>>> 0, 0<уМ<Ж 0<y^<s[s)
, если / > 0 ,
и условиям:
О < У{р)
< Ж У{я)
> 0, 0 < у^ < ^F, если i < 0.
Лемма 4. На всякой плоскости Ut ЦфО) внутри области St име­
ется по крайней мере одна точка решетки |>], причем, если />>0, то
в области Si могут оказаться только такие точки решетки [г], у кото­
рых координаты у№, y(q)
, y{s)
удовлетворяют условиям
0<У^<Ж У^>Ж 0<^)<slF)
,
а если г < 0 , то — условиям
ум>№, 0<^)<вЙ5
, 0<О<'><#>.
Лемма 5. Всякая единица ц, находящаяся в последовательности
•{l}{h
у которой координаты у.м, L^ ySs
) удовлетворяют условиям
| s ^ | < | ^ | < i , 1^>|<1, ^<^8
Л<и
или условиям
не зависит от единиц гь en.
Эти леммы и дальнейшее детальное изучение расположения точек ре­
шетки [s] на плоскостях U-tприводят к следующей теореме:
Т е о р е м а 4. Первая после точки 1 единица в последовательности
{iyh
) может быть принята за первую основную единицу е2 решетки [со];
за вторую основную единицу s2 можно принять следующую в последова­
тельности {1}(А)
единицу, у которой хотя бы один из параметров, по­
мимо k-го, больше соответствующего параметра единицы е1# Не рассмат­
ривая k-ых параметров единиц ely s2, обозначим через sj my из единиц,
у которой два из прочих параметров больше, а третий меньше соот­
ветствующих параметров другой единицы, последнюю обозначим через
ВЦ. Параметрам припишем соответственно индексы р, qr s. В последо­
вательности {iyk)
имеются единицы v, удовлетворяющие условиям:
*№<№><1, И>|<1, |eie )
|<|v«|<l, (4)
а также единицы, удовлетворяющие условиям:
| v ^ ) | < l , | e (
# | < | v M | < l , |sis )
|<|v(*>|<l; (5)

10. 132 К. К. Биллевич
под v будем подразумевать первую единицу, следующую в последователь­
ности за единицами si, sn и удовлетворяющую или условиям (4), или
условиям (5). Если v<fe
) > е^ей*, то единицу v можно принять за третью
основную единицу е3. Если v(fe
> <d si^^iV и единица v удовлетворяет усло­
виям (4), но яе удовлетворяет хотя бы одному из условий
S
II
р(/>)
,(s)
£
1
£
II
< | V < / » | < 1 ,
< V < * > < 1 ,
(6>
ила удовлетворяет условиям (5), яо яе удовлетворяет хотя бы одному из
условий
Лч)
ф
Е
11
0 « > | < 1 ,
< v's
> < 1,
(7)
то единицу v можно принять за третью основную единицу е3 решетки
[со]. £с/ш v ^ o i ^ e i V а единица v удовлетворяет условиям (4) и (6) или
условиям (5) и (7), ж? в последовательности {l}(fe
) между единицей v а
первой точкой с k-ым параметром, уже превышающим
единиц к, удовлетворяющих в первом случае условиям
V^h'ih{h
нет
Jp)
<1*<»1<К'>1 ,(<?>
| < 1 ,
eis )
|<l"( S ,
l<|sii,
|,
(8)
а во втором случае — условиям
YSP) I I s
n К. I* I
e ^ K l x ^ l I £
и
<ь (9)
то единицу v можно принять за третью основную единицу е3. Пусть
единицы х. имеются, и пусть среди них имеются I единиц vb для кото­
рых единицы sisiiwT"1
удовлетворяют тем же из условий (8), (9), что и
единицы Vj-; тогда третьей основной единицей s3 будет та из единиц v^
_1_
sI£iivv7*1
, которая совпадает с одной из точек, {^i4i)m
, где т = 21, если
точка "j/eisnv — одна из точек vt) и т =• 21 -f 1 в противном случае, а

11. Об единицах алгебраических полей третьего и четвертого порядков 133
пары чисел a, b определяются условиями: а + b = 2т — d, d = т,
/n — 1 , . . . , 2; a, b = m—l, m — 2,...,m — d+l. В случае отсут­
ствия среди единиц у. единиц v/ третьей основной единицей г3 будет еди­
ница V.
Эта теорема дает возможность находить среди точек последователь­
ности {1}(/г)
основные единицы el9 s2, г3 решетки [со]; необходимая для
этого последовательность действий ясна из формулировки самой тео­
ремы.
Приведем еще одну теорему, которая также пригодна для нахожде­
ния основных единиц и которая легко обобщается для любых полей л-го
порядка.
Теорема 5. Первая после точки 1 единица в последовательности
{ук
> может быть принята за первую основную единицу е±; за вторую ос-
новную единицу г2 можно принять следующую в последовательности {{^еди­
ницу, у которой хотя бы один из параметров, помимо k-го, больше со­
ответствующего параметра единицы е1#
Пусть [л — первая единица, следующая в последовательности {1}(/г)
за единицами еи г2 и такая, что
l g l ^ l i g i ^ i ig^i
JO i
ig|«n ig|4m)
ig4° I im)
2 !
(P)
h
AP)
Ф0,
где k, I, m, p= 1,2,3, 4;k=£= I =£= тфр. Если {L(k)
>s[k)
e(
2
k
то единицу
{i можно принять за третью основную единицу s3. Если p/ft
> < s[h)
e{
2
h)
, но
в последовательности {l}(ft)
между единицей L и первой точкой, у кото­
рой k-u параметр превышает j A i ^ s ^ V 0
, или совсем нет единиц, или
нет таких единиц щу для каждой из которых определитель
Д* =
I g l ^ l lgMm)
|
igl4°l ig|4m)
|
h 14° I sim )
|
Iglf^l
Igle^l
rrJP)
отличен от нуля, имеет тот же знак, что и определитель А,
и |А/1< | А |, то единица L снова может быть принята за третью основ­
ную з3.
При наличии единиц [л,- выделяем из них ту единицу (л*, которой
соответствует наименьшее из всех значений |Д,-|, |Д —Д,|, или любую
из таких единиц, если их оказывается несколько. Если единице L* будет
соответствовать какое-либо из значений |Д/|, то третья основная еди­
ница s3 = [х*, если же — какое-нибудь из значений | А — Д/1, то
Ч = Si^Wi,*"1
.
Теоремы 4 и 5 будут справедливыми для всех случаев, когда г + t = 4:
1) п = 5, г = 3, t = 1, 2) п = 6, г = 2, t = 2, 3) п = 7, г = 1, / = 3,
4) /i = 8, г = О, / = 4, следует только каждый раз производить соответ­
ствующие изменения в обозначениях параметров единиц.

12. 134 К. К. Биллевич
Т а б л и ц а с и с т е м о с н о в н ы х е д и н и ц ч и с т о в е щ е с т в е н н ы х
а л г е б р а и ч е с к и х п о л е й т р е т ь е г о п о р я д к а , д и с к р и м и н а н т ы
к о т о р ы х не п р е в ы ш а ю т 1296 *
5хС
Коэффициенты
уравнения
Р3
—5Р2
+ </р—
- / 1 = 0
Базис поля Основные единицы поля Примечания
49
81
148
' 169
229
257
316
321
361
404
469
473
564
568
592
621
697
729
733
756
761
784
785
788
837
892
916
940
961
985
993
1016
1076
1101
1129
1229
1257
1264
1264
1296
1,
0,
1,
1,
0,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
о,
1,
1,
1,
о,
о,
о,
1,
о,
1,
2
1,
1,
0,
1,
1,
о,
1,
1,
1,
1,
о,
1,
о,
1,
1,
о,
1,
о,
—1
1
—1
1
1
—3
—2
—1
1
—4
1
—3
2
—1
—3
—5
—9
—5
3
1
—10:
—4
4
-8-10,
- 6 , - 1
- 6 , - 3
-6, —2
-8, 6
- 9 , - 1 2
-7, 3
- 9 , - 6
-8, —9
-7,2
-7, 1
-12, 8
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р2
,Р,1
Р2
, Р, 1
Р2
,Р,1
Р2
, Р> 1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р2
,Р,1
Р2
,Р,1
Р2
, Р, 1
Р2
,Р,1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р 2
р2
, р, 1
р2
, р. 1
Р2
, Р , 1
P 2
, P , I
р2
, Р, 1
р2
. р. 1
9 9, 1
Р2
,Р,1
Р2
, Р, 1
Р*.Р.1
Р2
,Р,1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р, 1
Р2
, Р. 1
Р2
, Р,1
Р2
— 1, Р2
+ Р - 1
Р + 1, Р 2
+ Р
р2 + р - 1 , 2р» + 2 р - 1
Р + 1, Р2
+ Р
р2
+ 2р, 2р2
+ 4р + 1
Р2
+ р - 1 , Р
2
+ р - 2
р2_зр + 1, 2р2
-6р + 3
р2_Зр + 1, 2р2-5р + 1
р - 2 , р2_Зр + 2
2р2 + 4р + 1, 6р2
+ 11р + 2
2р2
+ 3р —3, Зра
+ 4р — 5
р2
+ 2р, 2р2
+ 5р + 1
2 р 2 _ р _ ю , 5р2
—2р —26
2р2 + 4р + 1, Зр2
+ 7р + 3
р2 + 2р, 3Р
2
+ 5 р - 1
2р2__5р + 2, 9р2
—24р + 10
р 2 _ 3 р + 2, 4р2
— 12р — 7
- р + 2, Р
2
- З р + 2
2р2__7р + 5, 7р2
—26р + 21
. р 2 _ з р + 1, 2р2
—5р + 1
р2
+ 2р, Зр2 + 6р + 1
р2
+ 2 р - 2
2р2
+ 3р-
2
2р2
+ 3р —4, Зр2
+ 5р — 6
2р2 _}- 5р + 2, Ир2
+ 26р + Ю
6р2
+ 15р + 2, 15р2
+ 38р + 6
Зр2 + 5р — 11, 20р2
+ 32р —77
Зр2_р__19, 6р2
— 2р — 37
5р2__3р —33, Зр2
— 7р — 5
5р2
— р — 51, р2-)-Зр + 55
р2 + 2р, Зр2
+ 6р —1
р2
+ 2 р - 1 , Зр* + 5 р - 4
7р2
+ 13р — 5 , р2_Зр + 1
Зр2
+ Юр + 7, 13р2
+ 41р + 25
2р2_8р + 7, Зр2
— 12р + 11
р2 + 3р + 1 , 13р2
+ 37р + 14
2р 2_8р —5, 6р2
+ 13р —11
4р2 + 7р —13, 7р2
+ 12р —23
р2 + зР + 1, 11ра
+ 31р + 9
р 2 _ 3 р — 1 , 2р2
—6р —1
р2 + 4Р -Ь 2 7р2
+ 26р + 14
Решетка № 15»
содержится в ре­
шетке №3. Еди­
ницы е ь е2 ре­
шетки выража­
ются через еди­
ницы $ ь §2 Ре­
шетки № 3; гг—-
= § 1 , ^2 = &2
Решетка № 18»
содержится в.
решетке № 2;
Решетка № 22
содержится в-
решетке № 1;
гг = $!$21 ^2 = •
= 8*8^
Решетка № 27
содержится в-
решетке № 5;
Решетки № 38-
и №39 содержат­
ся в решетке
№7; £!=$-%,
e2=S.—6а
,£1=8ь•2 — « ! - 2 ' '
£2 = § 2
Решетка №40
содержится в.
решетке № 2;
ег = §1§2? £
2 =
* Дискриминанты и базисы полей взяты по таблице кубических решеток положи­
тельных дискриминантов, вычисленной Д. К. Фаддеевым (см. [7], стр# 125).

13. Об единицах алгебраических полей третьего и четвертого порядков 135
Т а б л и ц а с и с т е м о с н о в н ы х е д и н и ц ч и с т о в е щ е с т в е н н ы х
а л г е б р а и ч е с к и х п о л е й ч е т в е р т о г о п о р я д к а , д и с к р и м и н а н т ы
к о т о р ы х не п р е в ы ш а ю т 7168*
K m
Коэффициенты
уравнения
p4
+mp3
+/ip2
+pp+
+?=0
Базис поля Система основных единиц поля
725
1125
1600
1957
2000
2048
2225
2304
2525
2624
2777
3600
3981
4205
4225
4352
4400
4525
4752
4913
5125
5225
5725
5744
6125
6224
6809
7053
7056
7168
- 1 , - 3 , 1 , 1
- 1 , - 4 , 4 , 1
0,-6,0, 4
0, —4, 1, 1
0, —5, 0, 5
0, - 4 , 0 , 2
- 1 , - 5 , 2 , 4
0 , - 4 , 0 , 1
-2.,—4,5,—5
- 2 , - 3 , 2 , 1
- 1 , - 4 , 1 , 2
-2,-7, ,1
—1,—4,2,1ц
- 1 , - 5 , - 1 , 1
0, —9,0,4
0 , - 6 , 4 , 2
0 , - 7 , 0 , 1 1
— 1 , - 7 , 3, 9
- 2 , - 3 , 4 , 1
—1, - 6 , 1, 1
— 2 , - 6 , 7, И
—1, —8, 1, И
— 1 , - 8 , 6 , —И
0 , - 5 , 2 , 1
- 1 , - 9 , 9 , 1 1
—2,-4,2,2
0,-5,1,1
—2,-4,3,3
0,-5,0,1
0,-6,0,7
Р3
,Р2
,Р,1
Р3
, Р2
, Р, 1
Г' "Г'9
'1
Р3
, Р2
, р, 1
Р3
,Р2
,Р,1
Р3
,Р2
,Р,1
Р3
+ Р2
+ р
Р2
, р,1
Р3
, Р2
, р, 1
Р3
, Р2
, р, 1
Р3
,Р2
,Р,1
р3
, Р2
, р, 1
р З + 2 р 2 + р _ 2
7 Р2
, рЛ
Р3
, Р2
, Р, 1
Р3
, Р2
, Р, 1
-р+2 Р2
+р
• 1 , р З + р 2 - р - 1 , рЗ + 2 р 2 - 1
•1, Рз •р, рЗ__4р2 + Зр + 1
Р3
+2р2
—2р—2 рЗ+Зр2-2 5p3
-f-llp2—4р—8
4 ' 2
Р3
, Р2
, Р, 1
Р3
, Р2
, Р, 1
,Р2
, Р,1
Р3
, Р2
, Р, 1
+ 1 о .
-TJ— > Р " » Р » [
Р3
,Р2
, Р,1
0 3
+ 1
9Bj
r? + 1
Р2
, Р, 1
р3
, р, 1
Р3
, Р2
, Р, 1
Р3
, Р2
, Р, 1
Р3
, Р2
, Р, 1
Р3
, Р2
, Р, 1
Р3
, Р2
< Р, 1
Р3
, Р2
, Р, 1
Р3
, Р2
, Р, 1
2 ' 2 ' 2
p 8 _ p 2 _ p f p8_2 p» + lf 2 рЗ-4р2 + 1
рЗ + 2 р 2 _ р _ з , 2рЗ + 4 р 2 - З р - 6 ,
ЗрЗ + бр2 — 4р — 8
р3
+2р2—1, 2р3
+4р2_р—3, 5р3
+9р2—Зр—5
р З + ^ - р ^ Р3
+Зр2 -р-4 ^р 3 + р 2 _ 2 р _ 1
р3
+2р2, 2р3
+4р2—1, ЮрЗ+19р2—Зр—5
р з_3р_1) рЗ+р2__Зр—3, 6р3
+3р2—17р—13-
р2 + 1, р З _ р , р З + р 2 _ р _ 1
Р3
+Р2
-Р—1, Р3
+2р2
—1, 6р3
+8р2—5р—5
рз + 2 р 2 + р _ 2 2р3
+ 4р2
—5р —4
7 7
9р3
+ lip2
—26р — 4
7
р3
- Зр2 + р + 1, Зр3
- 8р2 + 2р + 2,
9р3
— 25р2
+ 8р + 5
рз_Зр2+р, 2р3
-6р2
+р+1, 4р3
—11р2
+2
Р 3
+ 3 р 2 - 2 > 3 р 3 + 1 0 р 2 + р - 6 > р 3 + 3 р 2 _ _ 1
р2 + р _ 1 , рЗ+ 2 р 2 - 1 , рЗ+ Зр2 + 2 р - 1
2рз + 4р2
— 5р — 10, 2р3
+ 4р2 _ 5 р — 9,
ЗрЗ + 7р2 — 7р — 17
р3
+ 2р2
— р — 3 2р3
+ 4р2
— 5р — 9
1С 19р2
—26р- 36
р3
— 2р, р3
+ р2
— 2р — 1, 2р3
+ р 2 - 4 р —1
Р3 + 2
/ " " 1
, P3
+ 2р2
, 2рз + Зр2 _ 2р
рз _j_ р2 _ 4р — 5, 2р3
+ р2 — 8р — 7,
11р3
+ 8р2
—45р—45
р3
—2р—1 р3
+2р2
—2р—3 Зр3
+6р2 — 4р - 9
2р3
—6р2
2
- р + 8
7р3
— 24
4рЗ_15р2-
3
р2 + 4 р + 31
2
4-4р + 19
3
— р2
+ 2, р3
— 2р2
, Зр3
— 7р2 + 2р + 1
•2р2
+ Зр+4, рЗ__2р2
—р+1, рз—4р2
+2р+4
•1, Р3
+ Р2 1, 5р3
+ 5р2
— 4р — 3
—р2
+ 2р, рз—2р2
, 8р3
—18р2
+ р + 4
р 2
- 1 , р З + р 2 _ р _ _ 1 ) 2 р З + р 2 _ З р - 1
р3
+ 2р2
—р—1, 2рЗ+4р2
—р—1, ЗрЗ+7р2
—2
2рЗ_)-4р2
—Зр —6, Зр3
+ 6р2
—5р —9,
7р3
+ 15р2
— Ир — 24
* Дискриминанты и базисы полей взяты по таблице чисто вещественных областей:
четвертого порядка Б. Делоне, И. Соминского, К. Биллевича [8].

14. 136 К. К. Биллевич
Таблица систем основных единиц полей четвертого порядка,
для которых г = 2, t = 1 и дискриминанты не п р е в ы ш а ю т
по абсолютной величине 848 *
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
Дискриминант
поля Q (р)
—275
—283
—331
—430
—448
—475
—491
—507
—563
—643
—688
—731
—751
—775
—848
Коэффициенты урав­
нения р4
+тр3
+лр2
+
- 1 , 0 , 2 , - 1
0 , 0 , - 1 , - 1
0, - 2 , - 3 , - 1
0 , 1 , 0 , - 1
—2, 1, —2, 1
- 1 , - 2 , - 2 , - 1
—2, 2, - 3 , 1
- 1 , - 1 , - 1 , 1
—1, 1 , - 1 , - 1
— 1 , 0 , - 2 , 1
- 2 , 0, 0, - 1
0 , - 2 , - 1 , - 1
0 , - 3 , - 1 , 2
- 1 , 0 , - 3 , - 1
0 , - 1 , - 2 , 1
Базис поля
р3
, р2
, р- 1
Р 3
, Р 2
, Р , 1
Р3
,Р2
, p , i
р3
, P 2
, P , I
р3
, р2
, Р, 1
р3
, р2
,рд
р3
, Р2
, р, 1
Р 3
, Р 2
, Р , 1
Р 3
, Р 2
, Р Д
р3
, Р2
, р, 1
р3
,Р2
,рЛ
р3
, Р2
, р, 1
Р3
,Р2
,Р,1
Р 3
+ * р2 р !
9 ' Р ' Р»
рз
, р2
. Р, 1
Основные единицы поля
р3
+ 2, 2 р З - р 2 - р + 4
Р2
+ Р + 1, Р3
+ Р 2
+ Р
р + 1 , р3
— р — 1
Р 3
+ Р 2
+ Р + 1, р 3
+ Р
2
+ 2р + 1
Р, Р 3
- Р 2
+ Р - 1
Р. Р + 1
р З _ р 2 + р + 1( рЗ_р2 + 2 р _ 1
р. р 3
- 1
Р3
+ р, р 3
+ р + 1
рЗ + р - 1 , р З + р 2 + р _ 1 •
р, р 8
+ р + 1
р2+р, рЗ+р2
р 3 + р 2 _ р _ 1 ( рЗ+ 2 р 2_1
р3
—1 р3
+ 2р —1
~^Г~ ' 2
Р 3 + р 2 _ 1 , р З + р 2 + р _ 1
(Поступило в редакцию 1/VIII 1955 г.)
Литература
1. Г. Ф. В ор он о й, Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей, Варшава,
1896.
2. Е. И. З о л о т а р е в , Об одном неопределенном уравнении 3-ей степени, СПб, 1896.
3. L. С h a r v e, De la reduction des formes quadratiques ternaires positives et de son
application aux irrationnelles du3-medegre, Ann. l'Ecole, Norm, Sup. (2), 9 (1880).
4. G. M i n k o w s k i , Zur theorie der Kettenbriiche, Ges. Abh.; Generalisation de la
theorie des fractions continues, Ann. l'Ecole Norm. Sup. (3), XIII (1896), 41—60.
5. Б. H. Д е л о н е , Interpretation g'^ometrique de la generalisation de l'algorithme
des fractions continues donnee par Voronoi, C. R. (1923).
6. А. А. М а р к о в , Sur les nombres entiers dependants d'une racine cubique d'un
nombre entier ordinaire, Mem. de l'Acad. Petersbourg (VII), 38.
7. Б. Н. Д е л о н е и Д. К. Ф а д д е е в , Теория иррациональностей 3-ей степени, Тру­
ды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. XI (1940).
8. Б. Н. Д е л о н е , И. С. С о м и н с к и й, К. К. Б и л л е в и ч , Таблица чисто веще­
ственных областей 4-го порядка, Изв. АН СССР, № 10 (1935), 1267—1297.
* Дискриминанты и базисы полей взяты по таблице этих полей, вычисленной
Ч. Поплавским (см. [7], стр. 156).