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2019-II Cálculo diferencial Examen final

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Problemas sobre cálculo diferencial

Publié dans : Ingénierie
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2019-II Cálculo diferencial Examen final

  1. 1. Universidad Nacional de Ingenier´ıa Facultad de Ingenier´ıa de Petr´oleo, Gas Natural y Petroqu´ımica Ciclo 2019-II Examen Final de C´alculo Diferencial (BMA01) Profesor : Alvaro Naupay Gusukuma. Fecha : 13 de Diciembre de 2019. Son importantes el orden y claridad en la resoluci´on de los problemas, caso contrario se puede invalidar completamente la respuesta. No hay consultas, si considera que alguna pregunta est´a errada o mal propuesta corrija el enunciado y justifique su proceder. Tiempo: 120 minutos. 1. Dada la funci´on fpxq “ 4|x| 1 ` x2 , a) Determine f1 pxq, f2 pxq y el dominio de estas derivadas. Soluci´on: f1 pxq “ 4xp1 ´ x2 q |x|p1 ` x2q2 , @x ‰ 0, note que ˆ x |x| ˙1 “ 0, @x ‰ 0, luego por la derivada del producto de funciones tenemos que f2 pxq “ 4 x |x| ˆ p1 ´ x2 q p1 ` x2q2 ˙1 “ 4x |x| ¨ 2xpx ´ ? 3qpx ` ? 3q p1 ` x2q3 “ 8x2 |x| ¨ px ´ ? 3qpx ` ? 3q p1 ` x2q3 en ambos casos el dominio es Rzt0u b) Determine los puntos cr´ıticos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Soluci´on: P.C. “ t´1; 0; 1u. Intervalos de crecimiento: x´8; ´1y Y x0; 1y Intervalos de decrecimiento: x´1; 0y Y x1; `8y c) Determine los puntos de inflexi´on, los puntos m´aximos y/o m´ınimos relativos, si lo hubiese, tambi´en los valores m´aximo y/o m´ınimos relativos de la funci´on. Soluci´on: f1 pxq f2 pxq @ ´8; ´ ? 3 D ` ` @ ´ ? 3; ´1 D ` ´ x´1; 0y ´ ´ x0; 1y ` ´ @ 1; ? 3 D ´ ´ @? 3; `8 D ´ ` Puntos de inflexi´on: t´ ? 3; ? 3u Puntos m´aximos globales: t´1; 1u Punto m´ınimo global: t0u Valor m´aximo global: 2 Valor m´ınimo global: 0
  2. 2. d) Determine todas la as´ıntotas de la funci´on f. Soluci´on: As´ıntota y “ 0. e) Bosqueje la funci´on f, en este bosquejo debe resaltar las as´ıntotas, intervalos de monoton´ıa y concavidad, los puntos de inflexi´on, los puntos y valores m´aximos y/o m´ınimos relativos si lo hubiese. Soluci´on: Para el bosquejo es necesario la siguiente tabla f1 pxq f2 pxq Gr´afica @ ´8; ´ ? 3 D ` ` @ ´ ? 3; ´1 D ` ´ x´1; 0y ´ ´ x0; 1y ` ´ @ 1; ? 3 D ´ ´ @? 3; `8 D ´ ` Punto de inflexión Punto de inflexión Punto mínimo Punto máximo Punto máximo 2. Un largo paso a desnivel de una autopista pasa por encima de una v´ıa de ferrocarril que est´a a 100 pies por debajo y forma un ´angulo recto con ´el. Si un autom´ovil que viaja a 45 millas por hora (66 pies por segundo) est´a directamente por arriba de la parte delantera de un tren que va a 60 millas por hora (88 pies por segundo), ¿qu´e tan r´apido se est´an separando 10 segundos despu´es? Soluci´on: Luego de un tiempo t tenemos el siguiente gr´afico donde dptq es la distancia con que se separan en funci´on del tiempo dptq “ a 1002 ` p3 ¨ 22tq2 ` p4 ¨ 22tq2p “ a p10 ¨ 10q2 ` p5 ¨ 22tq2p “ 10 a 102 ` p11tq2p
  3. 3. entonces la rapidez con que se separan es dpdptqq dt “ d1 ptq, realizando la derivada tenemos d1 ptq “ 10 2 ¨ 11t ¨ 11 2 a 102 ` p11tq2 p/s “ 10 ¨ 112 t a 102 ` p11tq2 p/s luego la rapidez con la que se separan 10 segundos despu´es es d1 p10q “ 10 ¨ 112 ¨ 10 ? 102 ` 112 ¨ 102 p/s “ 1210 ? 122 p/s « 109,5p/s 3. Sea A un conjunto no vac´ıo acotado de n´umeros reales. Si m “ ´ınf A, M “ sup A y D “ t|x ´ y| | x, y P Au, entonces demostrar que M ´ m “ sup D Soluci´on: Primero demostraremos que sup D ď M ´ m. Sean x, y P A. Tenemos que |x ´ y| “ " x ´ y ; x ě y (Caso 1) y ´ x ; x ă y (Caso 2) Caso 1: Si x ě y, |x ´ y| “ x ´ y, adem´as se cumple que x ď sup A e ´ınf A ď y, es decir ´y ď ´´ınf A, luego |x ´ y| “ x ´ y ď sup A ´´ınf A “ M ´ m ñ |x ´ y| ď M ´ m (α) Caso 2: Si x ă y, |x ´ y| “ y ´ x, adem´as se cumple que y ď sup A e ´ınf A ď x, es decir ´x ď ´´ınf A, luego |x ´ y| “ y ´ x ď sup A ´´ınf A “ M ´ m ñ |x ´ y| ď M ´ m (β) Luego considerando α y β tenemos que @x, y P A, |x ´ y| ď M ´ m esto quiere decir que M ´m es una cota superior para D, luego por definici´on de supremo tenemos que sup D ď M ´ m (i) Ahora veamos que tambi´en se cumple M ´ m ď sup D. Sea ε ą 0, entonces Dx P A e Dy P A tal que sup A ´ ε 2 ă x ^ y ă ´ınf A ` ε 2 M ´ ε 2 ă x ^ ´m ´ ε 2 ă ´y luego sumando estas dos ´ultimas inecuaciones tenemos que M ´ m ´ ε ă x ´ y ď |x ´ y| ď sup D ñ M ´ m ´ ε ă sup D como ε ą 0 es arbitrario, entonce podemos decir que @ε ą 0, M ´ m ´ ε ă sup D ñ M ´ m ď sup D . (ii) Finalmente considerando (i) y (ii) podemos concluir que M ´ m “ sup D
  4. 4. 4. Sean f, g : ra, bs Ñ R dos funciones continuas en ra, bs y derivables en sa, br tales que fpxq ą 0 y gpxq ą 0 para todo x P ra, bs. Si fpaqgpaq “ fpbqgpbq, entonces demuestre que existe x0 Psa, br tal que: f1 px0q fpx0q “ ´ g1 px0q gpx0q . Soluci´on: Considere la funci´on h : ra, bs Ñ R definida por hpxq “ lnpfpxqgpxqq “ lnpfpxqq ` lnpgpxqq continua en ra, bs y derivable en sa, br. Por el teorema del valor medio, existe x0 Psa, br tal que h1 px0q “ hpbq ´ hpaq b ´ a f1 px0q fpx0 ` g1 px0q gpx0q “ lnpfpbqgpbqq ´ lnpfpaqgpaqq b ´ a f1 px0q fpx0 ` g1 px0q gpx0q “ 0 f1 px0q fpx0 “ ´ g1 px0q gpx0q

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