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1. Introducción
En el presente trabajo, se detallarán las características de las
diferentes funciones matemáticas y susaplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida
cotidiana.
Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes:
Función Trigonométrica
Función Cuadrática
Función Afín (Lineal)
Función Logarítmica
Función Exponencial
Función Polinómica
El principal objetivo de esta monografía es poder entender el uso de las funciones y así poder
utilizarlas frente a los problemas diarios. El método deinvestigación es la consulta bibliográfica
y el análisis de la misma.
2. Funciones
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación
o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez
en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable
x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a
varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más
generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet
(1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de
un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a
X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se
dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores,
se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se
llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen
el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".
Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y
solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos
condiciones, a saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio
puede tener más de una imagen.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del
dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
Observaciones:
En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.
Un elemento y E B puede:
No ser imagen de ningún elemento x E A
Ser imagen de un elemento x E A
Ser imagen de varios elementos x E A.
La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.
Formas de expresión de una función
Mediante el uso de tablas:

X Y


-1 1

0 0

½ ¼

1   1

2 4




Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al
conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejescartesianos ortogonales tienen
coordenadas [x, f (x)] donde x E A
3. Aplicaciones de las funciones reales
Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da
cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está
usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para
resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística,
de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área
social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de
determinados objetos o productos alimenticios, con elcosto en pesos para así saber cuánto
podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una
ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".
Función Afín
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y
la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la
demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por
ejemplo, si un consumidordesea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que
el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo
determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se
denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el
precio por unidad del artículo y m y b son constantes.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones
requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un
ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación
de información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y
ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
Dada la ecuación y=mx+b:
Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es una recta
paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el origen de
coordenadas (0,0).
Función Cuadrática
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también
en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota
lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma
que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen,
con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como
punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en laconstrucción de puentes colgantes que se
encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los
organismos.
Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse.
Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus
cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S
de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½
gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad
y t es el tiempo.
La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una
curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un
máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.
Función Logarítmica
La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para
el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un
terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y
A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros
del epicentro del terremoto).
Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos
cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y
la magnitud.
En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede
mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la
siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo
en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que
el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene
un ruidode fondo de 65 decibeles.
El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado
a.
Logb a = N si bN = a
Notación logarítmica
Notación exponencial



4. Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 = a
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente
de la potencia: logb am = m, ya que bm = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es
negativo si la base b del logaritmo es b>1.
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es
positivo si la base b del logaritmo es b<1.
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1.
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1.
Propiedades de los logaritmo
Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno
de ellos.
logb(X · Y)= logb X + logb Y
Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el
logaritmo del denominador.




Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de
la potencia.
loga Xn = n loga X
Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.




Función Exponencial
Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su
cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el
elemento decrece o decae.
En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log H+ , donde H+ es la
concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PH del agua destilada
es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor
que 7, se dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia
debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de
azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.
Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio
(elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de
acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa
al cabo de un tiempo y t es el tiempo en días.
El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre
una curva de característica exponencial que sugiere elmodelo matemático dado por: N = N0
ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante.
(En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida
para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la
cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del
hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en
el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce
con el nombre de modelo Malthusiano).
En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que
la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.
En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean
las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial
de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá
el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años,
la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los
intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés
(anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).
Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la
función f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».
Propiedades de la función exponencial y = ax
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a
3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva
da como resultado un número positivo.
4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.
5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.
Ecuaciones Exponenciales
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.
No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial.
Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:
1. ax = ay   x=y
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como
potencias de la misma base.
5. Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un
ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su
posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte
positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un
ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas
según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está
en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre
positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.




Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:




Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es
evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus
respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,



Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero;
por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales,
la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto
P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°,
180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede
ser igual a 0.
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y
+1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q
pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no
depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.
Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las
funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a
continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3,
si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP =
r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:




Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener
con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b =
a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2=
2a2 o que c = a¶2. Por tanto




Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden
hallar de forma aproximada
dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de
ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con
calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores
de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se
mencionan en el siguiente apartado.
Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos,
así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias.
En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por
ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello
ésta se aparta cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m,
aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre,
determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar
al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la
torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para
determinar el desplazamiento de la torre.
En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto
material.
En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un
ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran
entre los mismos.
El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea
recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino
correcto.
Funciones Polinómicas
Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales (o más
generalmente de números de cualquier anillo), por potencias enteras de una variable
generalmente representada por la letra x; es decir, un polinomio es una expresión del tipo P(x)
= a + bx + cx2 + dx3 + ex4..., en la que la mayor potencia de la variable se la llama grado del
polinomio.
Un polinomio se puede también interpretar como una función real de variable real, en la que la
x es una variable numérica de la función; así, por ej., P(x) = 3x + 2, sería la función que asigna
al valor 1, P(1) + 3.1 +2 = 5, etc. De esta manera (interpretando las x como variables numéricas)
se pueden generalizar las operaciones definidas en los números reales a operaciones de
polinomios, que quedan entonces definidas como:
Suma de polinomios: Se suman todos los términos aplicando axn + bxn = (a + b)xn; así, por ej.,
(3x2 + 4x + 2) + (5x – 1) = 3x2 + (4 + 5) x + (2-1) = 3x2 + 9x + 1.
Producto de un número por un polinomio: Se multiplican todos los términos por el número.
Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el segundo por –1 y se suman.
Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los términos de un polinomio por todos los
del otro [teniendo en cuenta que (axn) . (bxm) = abxn+m], y se suman los resultantes
División de polinomios: generalmente es irrealizable (su resultado no es un polinomio).
P. Booleano: expresión simbólica constituida por la aplicación repetida de algunas operaciones
sobre un retículo distributivo complementado.
P. Característico: Nombre que recibe, para una matriz A, el determinante de A – xl, donde / es
la matriz identidad. Es de gran importancia dado que esta asociado a todas
las matrices semejantes y es útil para reducirlas a su forma canónica.
P. Formal: Sucesión indefinida de elementos de un anillo A en la que a partir de un cierto lugar
todos los términos son nulos. Sus términos se numeran comenzando por el índice 0, existiendo
por tanto un desfase de una unidad entre el índice que caracteriza un término y su orden.
P. Homogéneo: Aquel cuyos sumandos son todos de igual grado respecto del conjunto de las
variables, por lo que un polinomios de estas características constituye una función homogénea
cuyo grado de homogeneidad coincide con el grado mencionado.
P. Irreducible: Llamado también polinomio primo, es aquel P del anillo k que no puede
descomponerse en producto de polinomios de grado inferior pertenecientes a k.
P. Nulo: Aquel cuyos coeficientes son todos nulos.
P. Primitivo: El que tiene sus coeficientes primos entre sí.
6. Conclusiones
Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy
importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y
la química.
El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo
del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber también
estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a
cierta problemática.
Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se
cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también
esta monografía nos será útil en la practica.
7. Bibliografía
Enciclopedia Microsoft Encarta 1999
Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.ar
Análisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición.
Enciclopedia Clarín, Tomo 20
Resumen
Teniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas, comenzamos a
interiorizarnos en el tema buscando la definición de la palabra función. Luego, nos inclinamos
sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como la función trigonométrica,
cuadrática, logarítmica, exponencial, afín y polinómica.
Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones sobre otras ciencias y además
aprendimos los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver cualquier
situación que se nos presente en la vida diaria.
Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la monografía, debido a que incorporamos
gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva manera de enfrentar
problemáticas en campos donde creíamos que la matemática era inútil.
Desde el punto de vista personal, creemos que las funciones matemáticas han facilitado la labor
en muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados precisos para cada
situación.

Función matemática
No debe confundirse con Función (informática).
En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le
corresponde su número de lados.




Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u
objetos de «salida»


En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera
depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de
                                                                                  2
su radio r: el valor del área esproporcional al cuadrado del radio, A = π·r . Del mismo modo, la
duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km
depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la
velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable
dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en
matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de
un segundo conjunto. Por ejemplo, cadanúmero entero posee un único cuadrado, que resulta ser
un número natural (incluyendo el cero):
                                      ... −2 → +4, −1 → +1, ±0 → ±0,
                                          +1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, ...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de
los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no
son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne
su letra inicial:
                    ..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras
del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

         f: A → B
            a → f(a),

          donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es
          el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla
          o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario adel dominio A, es decir,
          el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para
          especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el
          ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían
          entonces como:

         f: Z → N
                    2                           2
            k → k , o sencillamente f(k) = k ;
         g: V → A
            p → Inicial de p;

                             si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

                             Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado
                             algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla
                             de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su
                             imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una
                             imagen de la función.

                                                     Índice
                                                    [ocultar]


                             1 Historia

                             2 Introducción

                             3 Definición

                                o   3.1 Funciones con múltiples variables
o    3.2 Notación. Nomenclatura

 o    3.3 Imagen e imagen inversa

 o    3.4 Igualdad de funciones

4 Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

5 Álgebra de funciones

 o    5.1 Composición de funciones

 o    5.2 Función identidad

 o    5.3 Función inversa

 o    5.4 Restricción y extensión

6 Representación de funciones

7 Definición formal

8 Véase también

9 Referencias

10 Enlaces externos

Historia




     Gottfried Leibniz acuñó el término «función» en en siglo XVII.


El concepto de función como un objeto matemático independiente,
susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios
                                  1
del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried
Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos
cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función»,
«variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue utilizada por
primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en su
                                                 2 3 4
obra Commentarii de San petersburgo en 1736.

Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una
expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta
definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden
arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos
cantidades pueden expresarse de esta manera. En
1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como
una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que
asocia a cada número en el primer conjunto un único número del
segundo.

La intuición sobre el concepto de función también evolucionó.
Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como
un proceso físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley
física que correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se
vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin
expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación
con ningún fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como
funcionescontinuas sin derivada en ningún punto.

Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl
Weierstrass, Georg Cantor, partiendo de un estudio profundo de
los números reales, desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta
                                                             [cita requerida]
teoría independiente del sistema de numeraciónempleado.                         Con
el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la
definición actual de función, como una correspondencia entre dos
conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente
           5
numéricos. También se asoció con otros conceptos vinculados como el
de relación binaria.

Introducción
Representación Gráfica de la trayectoria de un cuerpo acelerando a 0,66 m/s2.


Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la
dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de
varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función
numérica es la relación entre laposición y el tiempo en el movimiento de
un cuerpo.
                                                                   2
Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s recorre una
distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice
que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas
magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden
consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un
instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)

Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la
distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos
distinos:


            Tiempo t (s) Distancia d (m)



                0,0             0,0



                0,5             0,1
1,0            0,3



                               1,5            0,7



                               2,0            1,3



                               2,5            2,0


                 La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la
                 misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja
                 de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos
                 y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse un regla
                 o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso,
                 la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la
                 expresión:
            2
d = 0,33 × t ,

                     donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres
                     modos se refleja que existe una dependencia entre ambas
                     magnitudes.

                     Una función también puede reflejar la relación de una variable
                     dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del
                     ejemplo se mueve con una aceleración constante pero
                     indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces
                                                    2
                     de a y t; en particular, d = a·t /2. Las funciones también se utilizan
                     para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no
                     solo los números. Por ejemplo, existe una función que a
                     cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a
                     cada día de la semana le asigna el siguiente:

Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes
                         Definición

                         La definición general de función hace referencia a la
                         dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.
Dados dos conjuntos A y B,
una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una
asociación6 f que a cada elemento de A le asigna
un único elemento de B.

Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de
partida o conjunto inicial) de f y que B es
su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).


Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina
la variable independiente; y un objeto genérico b del
dominio B es la variable dependiente. También se les llama
valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición
es precisa, aunque en matemáticas se utiliza unadefinición
formal más rigurosa, que construye las funciones como un
objeto concreto.

Ejemplos


    Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe
    la función «cubo» que a cada número en el dominio R le
    asigna su cubo en el codominio R.
    Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un
    único inverso. Existe entonces la función «inverso» cuyo
    dominio son los números reales no nulos R  {0}, y con
    codominio R.
    Cada mamífero conocido se clasifica en un género,
    como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto una función
    «clasificación en géneros» que asigna a cada mamífero de
    la colección M = {mamíferos conocidos} su género. El
    codominio de «clasificación en géneros» es la colección G =
    {géneros de Mammalia}.
    Existe una función «área» que a cada triángulo del plano
    (en la colección T de todos ellos, su dominio), le asigna
    su área, un número real, luego su codominio es R.
    En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un
    único voto, existe una función «voto» que asigna a cada
elector el partido que elija. En la imagen se muestra un
    conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una
    función entre ellos.
Funciones con múltiples variables
Existen muchos ejemplos de funciones que «necesitan dos
valores» para ser calculadas, como la función «tiempo de
viaje» T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la
velocidad media v: cada pareja de números reales positivos (una
distancia y una velocidad) tiene asociada un número real
positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una función puede tener
dos (o más) variables independientes.

La noción de función de múltiples variables independientes no
necesita de una definición específica separada de la de función
«ordinaria». La generalidad de la definición anterior, en la que se
contempla que el dominio sea un conjunto de objetos
matemáticos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos
(o más) conjuntos de variables independientes, A1 y A2, por
ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto
de las parejas (a1, a2), con primera componente en A1 y segunda
componente en A2. Este conjunto se denomina el producto
cartesiano de A1y A2, y se denota por A1 × A2.

De este modo las dos variables independientes quedan reunidas
en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de la función T, su
                           +   +
dominio es el conjunto R × R , el conjunto de parejas de
números reales positivos. En el caso de más de dos variables, la
definición es la misma, usando un conjunto ordenado de
múltiples objetos, (a1,..., an), una n-tupla. También el caso de
múltiples variables dependientes se contempla de esta manera.
Por ejemplo, una función división puede tomar dos números
naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar
dos números naturales como valores de salida (cociente y
resto). Se dice entonces que esta función tiene como dominio y
codominio el conjunto N × N.

Notación. Nomenclatura
La notación habitual para presentar una función f con
dominio A y codominio B es:




También se dice que f es una función «de A a B» o
«entre A y B». El dominio de una función f se denota también
por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla
que permite obtener el elemento de B asociado a un
                                           6
cierto a ∈ A, denominado la imagen de a.

Ejemplos


    La función «cubo» puede denotarse ahora como f: R → R,
                3
    con f(x) = x para cada número real x.
    La función «inverso» es g: R  {0} → R, con g(x) = 1/x para
    cada x real y no nulo.
    La función «clasificación en géneros» puede escribirse
    como γ: M → G, donde γ(m) = Género de m, para cada
    mamífero conocido m.
    La función «área» se puede denotar como A: T → R, y
    entonces A(t) = Área de t = B · H/2, donde t es un triángulo
    del plano, B su base, y H su altura.
    La función «voto» se puede escribir como v: E → P,
    donde v(a) = Partido que a votó, para cada votante a.

La notación utilizada puede ser un poco más laxa, como por
ejemplo «la función f(n) = √n». En dicha expresión no se
especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio.
En general, estos vendrán dados por el contexto en el que se
especifique dicha función. En el caso de funciones de varias
variables (dos, por ejemplo), la imagen del par (a1, a2) no se
denota por f((a1, a2)), sino por f(a1, a2), y similarmente para más
variables.

Existen además terminologías diversas en distintas ramas de las
matemáticas para referirse a funciones con determinados
dominios y codominios. Algunas bastante extendidas son:
Función real. f: R → R
    Función compleja. f: C → C
                            n
    Función escalar. f: R → R
                                n   m
    Función vectorial. f: R → R

En particular, las palabras «función», «aplicación», «mapeo», u
otras como «operador», «funcional», etc. pueden designar tipos
concretos de función según el contexto.

Imagen e imagen inversa
Artículo principal: Conjunto imagen.




    Dado un conjunto de votantes y un conjunto de posible partidos, en
    unas elecciones, el sentido del voto de cada individuo se puede
    visualizar como una función.


Los elementos del codominio B asociados con algún elemento
del dominio A constituyen la imagen de la función.

Dada una función f : A → B, el elemento de B que corresponde a
un cierto elemento a del dominio A se denomina
la imagen de a, f(a).

El conjunto de las imágenes de cada elemento del dominio es
la imagen de la función f (también rango o recorrido de f). El
conjunto de las imágenes de un subconjunto cualquiera del
dominio, X ⊆ A, se denomina la imagen de X.
La imagen de una función f se denota por Im(f), y la de un
subconjunto X por f(X) o f[X]. En notación conjuntista las
imágenes de f y X se denotan:




    La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electores que lo
    votaron.


La imagen de una función f es un subconjunto del codominio de
la misma, pero no son necesariamente iguales: pueden existir
elementos en el codominio que no son la imagen de ningún
elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen.

La imagen inversa (también anti-imagen o preimagen) de un
elemento b del codominio B es el conjunto de elementos del
dominio A que tienen a b por imagen. Se denota por f−1(b).

La imagen inversa de un subconjunto cualquiera del
codominio, Y ⊆ B, es el conjunto de las preimágenes de cada
elemento de Y, y se escribe f−1(Y).


Así, la preimagen de un elemento del codominio puede no
contener ningún objeto o, por el contrario, contener uno o más
objetos, cuando a uno o varios elementos del dominio se les
asigna dicho elemento del codominio. En notación conjuntista,
se escriben:
Ejemplos


                               La imagen de la función cubo f es todo R, ya que todo
                               número real posee una raíz cúbica real. En particular, las
                               raíces cúbicas de los números positivos (negativos) son
                               positivas (negativas), por lo que se tiene, por
                                          −1    +    +
                               ejemplo, f (R ) =R .
                               El recorrido de la función inverso g no es igual a su
                               codominio, ya que no hay ningún número real x cuyo
                               inverso sea 0, 1/x = 0.
                               Para la función «clasificación en géneros» γ se tiene:
                     −1
γ(Perro) = Canis, y γ (Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}.


                                    Como el área es siempre un número positivo, el
                                                                           +
                                    recorrido de la función área A es R .
                                    En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la
                                    función voto v no coincide con el codominio, ya que el
                                    partido C no recibió ningún voto. Sin embargo puede
                                                                 −1
                                    verse que, por ejemplo, v (Partido A) tiene 2
                                    elementos.
                               Igualdad de funciones
                               Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener
                               el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a
                               cada elemento del dominio:

                               Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D,
                               son iguales o idénticas si se cumple:


                                               Tienen el mismo dominio: A = C
                                               Tienen el mismo codominio: B = D
                                               Asignan las mismas imágenes: para
                                               cada x ∈ A = B, se tiene que f(x) = g(x)

                               Funciones inyectivas, suprayectivas y
                               biyectivas
Artículos principales: Función inyectiva, Función
suprayectiva y Función biyectiva.

La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser
vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a
la siguiente clasificación:


 Funciones             Inyectiva               No inyectiva




Sobreyectiv
a




                       Biyectiva




No
sobreyectiva




               Se dice que una función f : A → B es inyectiva si
               las imágenes de elementos distintos son
               distintas:



                   o, de modo equivalente, si sólo asigna
                   imágenes idénticas a elementos idénticos:
Una función f : A → B se
                 dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su
                 imagen es igual a su codominio:



                 o, de modo equivalente, si todo elemento del
                 codominio es la imagen de algún elemento
                 del dominio:




Las funciones inyectivas no repiten las imágenes: si b = f(a),
ningún otro a' tiene por imagen a b, por lo que la anti-
imagen de este último sólo contiene al elemento a. Las
funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo
que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de
función suprayectiva asume que esta tiene un codominio
especificado previamente. De lo contrario, la noción de
suprayectividad no tiene sentido.

Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se
dice que es una biyección entre ambos conjuntos:


        Una función f : A → B se dice biyectiva si es
        inyectiva y suprayectiva.


Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento
perfecto» entre los elementos del dominio y el codominio:
cada elemento en A tiene una única «pareja» en B —como
todas las funciones—, y a cada elemento de B le
corresponde uno solo en A —al menos uno por ser
suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva—.

Ejemplos.


    La función cubo f: R → R es biyectiva. Es inyectiva
    porque dos números reales que tienen el mismo cubo
    son idénticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.
La función «inverso» g: R  {0} → R es inyectiva, ya que
    el inverso de cada número real no nulo es único (1/x =
    1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no
    es suprayectiva, dado que Im(g) = R  {0}.
    La función de clasificación de mamíferos γ: M → G no
    es inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el
    mismo género (por ejemplo, γ(Yak) = γ(Toro) = Bos).
    Sin embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género
    de mamíferos hay clasificada al menos una especie de
    mamíferos.
    La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que
               +
    Im(A) = R . Tampoco es inyectiva, ya que pueden
    construirse con facilidad triángulos distintos con el
    mismo área.
    En la imagen pueden verse varios ejemplos de
    funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto
    de caras C.
Álgebra de funciones

Con las funciones puede realizarse una operación de
composición con propiedades similares a las de
la multiplicación.

Composición de funciones
La composición g ∘ f actúa sobre el objeto x transformándolo
    según f, y después transformando f(x) mediante g.

Artículo principal: Composición de funciones.

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos
usar los valores de salida de una de ellas como valores de
entrada para la otra., creando una nueva función.


         Sean dos funciones f : A → B y g : C → D,
         tales que el recorrido de la primera esté
         contenido en el dominio de la segunda,
         Im(f) ⊆ C. Entonces puede formarse
         la composición de g con f, la
         función g ∘ f : A → D que a cada a en el
         dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a)
         = g(f(a)).
Es decir, la composición g ∘ f hace actuar primero la
                                  función f sobre un elemento de A, y luego g sobre la imagen
                                  que se obtenga:



                                  La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente que este
                                  segundo paso se pueda llevar a cabo.

                                  Ejemplos


                                        La imagen de la función «inverso» g es R  {0} —puesto
                                        que todo número real no nulo es el inverso de otro—, y
                                        por tanto está contenido en el dominio de la función
                                        cubo f, que es R. La composición f ∘ g: R  {0}
                                                                                             3    3
                                        → R actúa entonces comof(g(x)) = f(1/x) = (1/x) = 1/x .
                                        Dadas las funciones
                                        reales h1: R → R y h2: R → R dadas por h1(x)
                                            2
                                        = x y h2(x) = x + 1, puede tomarse la composición en
                                        ambos órdenes, h1 ∘ h2 y h2 ∘ h1. Sin embargo, son
                                        funciones distintas, ya que:
                                                2     2
(h1 ∘ h2)(x) = h1(h2(x)) = h1(x + 1) = (x + 1) = x + 2x + 1, y
                              2     2
(h2 ∘ h1)(x) = h2(h1(x)) = h2(x ) = x + 1


                                                    La función γ que clasifica los mamíferos en
                                                    géneros puede componerse con la
                                                    función ω: G → Or que clasifica los géneros de
                                                    mamíferos en órdenes —que forman el
                                                    conjunto Or—. La función ω ∘ γ asigna a cada
                                                    mamífero su orden:
(ω ∘ γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω ∘ γ)(Guanaco) = ω(Lama) = Artiodactyla
                                                    Función identidad
                                                    Artículo principal: Función identidad.

                                                    En cualquier conjunto puede definirse una
                                                    función identidad, que teniendo como dominio
                                                    y codominio al propio conjunto, asocia cada
                                                    elemento consigo mismo.
Dado un conjunto A, la función
           identidad de A es la función
           idA : A → A que a cada a ∈ A le
           asocia idA(a) = a.


También se denota como IA. La función
identidad actúa como un elemento neutro al
componer funciones, ya que no «hace nada».

Dada una función cualquiera f : A → B se tiene:




Es decir, dado un elemento x ∈ A, se tiene que:




Función inversa
Artículo principal: Función inversa.

Una función puede tener inversa, es decir, otra
función que al componerla con ella resulte en
la identidad, del mismo modo que un número
multiplicado por su inverso da 1.

Dada una función f : A → B, se dice
que g : B → A es la inversa o recíproca de f si se
cumple:




La inversa se denota por g = f−1, y
tanto f como f−1 se dicen invertibles.


No todas las funciones son invertibles, sino que
solo aquellas que sean biyectivas poseen
inversa:
Toda función biyectiva f es
        invertible, y su inversa f−1 es
        biyectiva a su vez.
        Recíprocamente, toda función
        invertible f es biyectiva.


La notación para funciones inversas puede ser
confusa. Para un elemento del
               −1
codominio b, f (b) puede denotar tanto la anti-
imagen de b (un subconjunto del dominio),
como a la imagen de b por la función inversa
de f (un elemento del dominio), en el caso de
que f sea invertible.

Ejemplos.


    La función «exponencial» h: R → R, que
    asocia a cada número real
                              x
    su exponencial, h(x) = e , no es invertible,
    ya que no es suprayectiva: ningún número
    negativo pertenece a la imagen de h.
    Existe una función que calcula el cambio
    entre dos divisas. En el caso del cambio
    de rupias a quetzales (las monedas de
    la India y Guatemala), la conversión está
    dada (en 2011) por:
     Q(r) = 0,15 × r
    Esta función de cambio tiene inversa, la
    conversión recíproca de quetzales a
    rupias:
     R(q) = 6,65 × q
                              3
    La función cubo f(x) = x es invertible, ya
    que podemos definir la función inversa
                                  −1      3
    mediante la raíz cúbica, f (x) = √x.
    La función de clasificación en
    géneros γ: M → G no es invertible, ya que
no es inyectiva, y para cada género
                                          pueden existir varios mamíferos
                                          clasificados en él.
                                          La función que asigna a cada día de la
                                          semana su siguiente tiene por inversa la
                                          función que asigna a cada día de la
                                          semana su antecesor:
Lunes → Domingo, Martes → Lunes,..., Domingo → Lunes
                                          Restricción y extensión
                                          Artículo principal: Restricción de una función.




                                              La función que asigna a cada mujer del
                                              electorado su voto es una restricción de la
                                              función que a cada miembro del electorado le
                                              asigna su voto.


                                          La restricción de una función dada es otra
                                          función definida en una parte del dominio
                                          de la original, pero que «actúa igual» que
                                          esta. Se dice también que la primera es
                                          una extensión de la segunda.

                                          Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D,
                                          de forma que el dominio de g sea un
                                          subconjunto del dominio de f, C ⊆ A, y
                                          cuyas imágenes coinciden en este
                                          subconjunto:
se dice entonces que g es
                                               la restricción de f al subconjunto C, y
                                               que f es una extensión de g.


                                               La restricción de una función f: A → B a un
                                               subconjunto C ⊆ A se denota por f|C.

                                               Representación de funciones
                                               Artículo principal: Representación gráfica de
                                               una función.

                                               Las funciones se pueden presentar de
                                               distintas maneras:


                                                   usando una relación matemática
                                                   descrita mediante una expresión
                                                   matemática: ecuaciones de la
                                                   forma                 . Cuando la
                                                   relación es funcional, es decir
                                                   satisface la segunda condición de la
                                                   definición de función, se puede definir
                                                   una función que se dice definida por la
                                                   relación, A menos que se indique lo
                                                   contrario, se supone en tales casos
                                                   que el dominio es el mayor posible
                                                   (respecto a inclusión) y que el
                                                   codominio son todos los Reales. El
                                                   dominio seleccionado se llama
                                                   el dominio natural, de la función.
Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".


                                                              Como tabulación: tabla que
                                                              permite representar algunos
                                                              valores discretos de la
                                                              función.
Ejemplo:




                                                                  Como pares
                                                                  ordenados: pares
                                                                  ordenados, muy usados
                                                                  en teoría de grafos.
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}


                                                                      Como gráfica: gráfic
                                                                      a que permite
                                                                      visualizar las
                                                                      tendencias en la
                                                                      función. Muy utilizada
                                                                      para las funciones
                                                                      continuas típicas
                                                                      del cálculo, aunque
                                                                      también las hay
                                                                      para funciones
                                                                      discretas.
Ejemplo:
                               5                              X
                               4                          X
                               3                     X
                               2                X
                               1           X
                               0      X
                              y/x     -2   -1   0    1    2   3

                                                                      Definición
                                                                      formal

                                                                      Las funciones
                                                                      pueden definirse en
                                                                      términos de otros
                                                                      objetos matemáticos,
                                                                      como los conjuntos y
los pares ordenados.
En particular, una
función es un caso
particular de relación
binaria, luego su esta
definición está
basada en la que se
adopte para las
relaciones. En el
enfoque «extensivo»
se identifica una
función con
su gráfica:

Una función es un
conjunto f de pares
ordenados tal que no
contiene dos
pares distintos con la
misma primera
componente:



El dominio (la image
n) de la función es
entonces el conjunto
de primeras
(segundas)
componentes:




En la definición
extensiva no aparece
el concepto
de codominio como
conjunto potencial
donde está contenido
el recorrido. En
algunas áreas de las
matemáticas es
importante preservar
esta distinción, y por
tanto se usa una
                         7
definición distinta:

Una función es una
terna de
conjuntos f =
(A, B, G(f)),
el dominio,
el codominio y
el grafo de f, tales
que:


                1.   G(f)
                     ⊂A
                     ×B
                2. Tod
                     o
                     elem
                     ento
                     del
                     dom
                     inio
                     tien
                     e
                     imag
                     en:
                     para
                     cada
                     a∈
A,
                   exist
                   e
                   un b
                   ∈B
                   tal
                   que
                   (a, b
                   )
                   ∈ G(
                   f)
             3. Esta
                   imag
                   en
                   es
                   únic
                   a: si
                   (a, b
                   ),
                   (a, c
                   )
                   ∈ G(
                   f),
                   ento
                   nces
                   b=
                   c.


De este modo, puede
imponerse que dos
funciones con el
mismo grafo sean
distintas por tener
codominio distinto.
Véase
también

  Anexo:Funcione
  s matemáticas
  Sucesión
  matemática
  Función lineal
  Función
  exponencial
  Función
  cuadrática
  Representación
  gráfica de una
  función
Referencias

  1.   ↑ Esta

       sección está

       basada

       en Pedro

       Ponte, J.

       (1992). «The

       history of the

       concept of
       function and

       some

       educational

       implications» (

       en inglés,
       pdf). The

       Mathematics
       Educator 3 (2)

       . Consultado
       el 10-12-
       2011.
2.   ↑ Dunham,

     William
     (1999). Euler:

     The Master of

     Us All. The

     Mathematical

     Association of

     America.
     pp. 17.

3.   ↑ Friedrich

     Gauss, Carl

     (1995).

     Academia

     Colombiana

     de Ciencias

     Exactas,

     Físicas y
     Naturales. ed.

4.   ↑ Howard

     Eves
     (1990). Found

     ations and

     Fundamental

     Concepts of

     Mathematics (

     3 edición).

     Dover.

     p. 235. ISBN 0-
     486-69609-X.

5.   ↑ Dorronsoro,

     Jorge;

     Hernández,

     Eugenio
     (1996). Núme
     ros, grupos y
anillos.

     Adison-

     Wesley

     Iberoamerican

     a. ISBN 0-201-
     65395-8.
         a b
6.   ↑         En

     general una

     función está

     caracterizada

     por una regla

     o método que

     describe la

     asociación

     entre los

     elementos en

     estos

     conjuntos. Sin

     embargo en

     disciplinas

     más

     avanzadas de

     las

     matemáticas

     esto no

     siempre

     ocurre, como

     por ejemplo

     con

     las funciones

     de elección.

     Por ello la

     definición

     general de
     función se

     centra en la
asociación

       entre los

       objetos, y no

       en la regla o
       algoritmo.

  7.   ↑ Sobre la

       diferencia

       entre ambas

       definiciones,

       véase por

       ejemplo Forst

       er, Thomas

       (2003). Ǥ1.3.

       Notation for

       sets and

       relations» (en
       inglés). Logic,

       induction and

       sets.

       Cambridge

       University

       Press. ISBN 97

       80521533614.



  Dorronsoro,
  Jorge;
  Hernández,
  Eugenio
  (1996). Números
  , grupos y
  anillos. Adison-
  Wesley
  Iberoamericana.
  ISBN 0-201-65395-8.

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sobre funciones
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  • 1. 1. Introducción En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas y susaplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana. Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes: Función Trigonométrica Función Cuadrática Función Afín (Lineal) Función Logarítmica Función Exponencial Función Polinómica El principal objetivo de esta monografía es poder entender el uso de las funciones y así poder utilizarlas frente a los problemas diarios. El método deinvestigación es la consulta bibliográfica y el análisis de la misma. 2. Funciones Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido". Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber: Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen. El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f. Observaciones: En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B. Un elemento y E B puede: No ser imagen de ningún elemento x E A Ser imagen de un elemento x E A Ser imagen de varios elementos x E A. La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.
  • 2. Formas de expresión de una función Mediante el uso de tablas: X Y -1 1 0 0 ½ ¼ 1 1 2 4 Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejescartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A 3. Aplicaciones de las funciones reales Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con elcosto en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y". Función Afín Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidordesea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes. Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información. Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
  • 3. Dada la ecuación y=mx+b: Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b). Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0). Función Cuadrática El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial. Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en laconstrucción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo. La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son: Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo. Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo. Eje de simetría: x = xv. intersección con el eje y. Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado. Función Logarítmica La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto). Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud. En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruidode fondo de 65 decibeles. El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado
  • 4. a. Logb a = N si bN = a Notación logarítmica Notación exponencial 4. Consecuencias de la definición de logaritmo 1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 1 2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 = a 3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: logb am = m, ya que bm = am 4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero. 5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es negativo si la base b del logaritmo es b>1. 6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es positivo si la base b del logaritmo es b<1. 7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1. 8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1. Propiedades de los logaritmo Logaritmo de un producto El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos. logb(X · Y)= logb X + logb Y Logaritmo de un cociente El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Logaritmo de una potencia El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia. loga Xn = n loga X Logaritmo de una raíz El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz. Función Exponencial Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae. En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log H+ , donde H+ es la concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor
  • 5. que 7, se dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón. Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el tiempo en días. El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere elmodelo matemático dado por: N = N0 ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano). En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución. En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés (anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.). Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x». Propiedades de la función exponencial y = ax 1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1 2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a 3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0. Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva da como resultado un número positivo. 4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente. 5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente. Ecuaciones Exponenciales Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales. No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial. Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar. Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades: 1. ax = ay x=y Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma base.
  • 6. 5. Funciones Trigonométricas Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras. Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera: Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir, Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0. Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1. Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.
  • 7. Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente: Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado. Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias. En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la
  • 8. torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre. En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material. En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos. El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto. Funciones Polinómicas Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales (o más generalmente de números de cualquier anillo), por potencias enteras de una variable generalmente representada por la letra x; es decir, un polinomio es una expresión del tipo P(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4..., en la que la mayor potencia de la variable se la llama grado del polinomio. Un polinomio se puede también interpretar como una función real de variable real, en la que la x es una variable numérica de la función; así, por ej., P(x) = 3x + 2, sería la función que asigna al valor 1, P(1) + 3.1 +2 = 5, etc. De esta manera (interpretando las x como variables numéricas) se pueden generalizar las operaciones definidas en los números reales a operaciones de polinomios, que quedan entonces definidas como: Suma de polinomios: Se suman todos los términos aplicando axn + bxn = (a + b)xn; así, por ej., (3x2 + 4x + 2) + (5x – 1) = 3x2 + (4 + 5) x + (2-1) = 3x2 + 9x + 1. Producto de un número por un polinomio: Se multiplican todos los términos por el número. Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el segundo por –1 y se suman. Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los términos de un polinomio por todos los del otro [teniendo en cuenta que (axn) . (bxm) = abxn+m], y se suman los resultantes División de polinomios: generalmente es irrealizable (su resultado no es un polinomio). P. Booleano: expresión simbólica constituida por la aplicación repetida de algunas operaciones sobre un retículo distributivo complementado. P. Característico: Nombre que recibe, para una matriz A, el determinante de A – xl, donde / es la matriz identidad. Es de gran importancia dado que esta asociado a todas las matrices semejantes y es útil para reducirlas a su forma canónica. P. Formal: Sucesión indefinida de elementos de un anillo A en la que a partir de un cierto lugar todos los términos son nulos. Sus términos se numeran comenzando por el índice 0, existiendo por tanto un desfase de una unidad entre el índice que caracteriza un término y su orden. P. Homogéneo: Aquel cuyos sumandos son todos de igual grado respecto del conjunto de las variables, por lo que un polinomios de estas características constituye una función homogénea cuyo grado de homogeneidad coincide con el grado mencionado. P. Irreducible: Llamado también polinomio primo, es aquel P del anillo k que no puede descomponerse en producto de polinomios de grado inferior pertenecientes a k. P. Nulo: Aquel cuyos coeficientes son todos nulos. P. Primitivo: El que tiene sus coeficientes primos entre sí. 6. Conclusiones
  • 9. Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y la química. El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática. Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en la practica. 7. Bibliografía Enciclopedia Microsoft Encarta 1999 Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.ar Análisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición. Enciclopedia Clarín, Tomo 20 Resumen Teniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas, comenzamos a interiorizarnos en el tema buscando la definición de la palabra función. Luego, nos inclinamos sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como la función trigonométrica, cuadrática, logarítmica, exponencial, afín y polinómica. Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones sobre otras ciencias y además aprendimos los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver cualquier situación que se nos presente en la vida diaria. Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la monografía, debido a que incorporamos gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva manera de enfrentar problemáticas en campos donde creíamos que la matemática era inútil. Desde el punto de vista personal, creemos que las funciones matemáticas han facilitado la labor en muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados precisos para cada situación. Función matemática No debe confundirse con Función (informática).
  • 10. En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le corresponde su número de lados. Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida» En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de 2 su radio r: el valor del área esproporcional al cuadrado del radio, A = π·r . Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente. De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cadanúmero entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero): ... −2 → +4, −1 → +1, ±0 → ±0, +1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, ... Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no
  • 11. son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial: ..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ... Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español. La manera habitual de denotar una función f es: f: A → B a → f(a), donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario adel dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como: f: Z → N 2 2 k → k , o sencillamente f(k) = k ; g: V → A p → Inicial de p; si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}. Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función. Índice [ocultar] 1 Historia 2 Introducción 3 Definición o 3.1 Funciones con múltiples variables
  • 12. o 3.2 Notación. Nomenclatura o 3.3 Imagen e imagen inversa o 3.4 Igualdad de funciones 4 Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas 5 Álgebra de funciones o 5.1 Composición de funciones o 5.2 Función identidad o 5.3 Función inversa o 5.4 Restricción y extensión 6 Representación de funciones 7 Definición formal 8 Véase también 9 Referencias 10 Enlaces externos Historia Gottfried Leibniz acuñó el término «función» en en siglo XVII. El concepto de función como un objeto matemático independiente, susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios 1 del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue utilizada por
  • 13. primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en su 2 3 4 obra Commentarii de San petersburgo en 1736. Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos cantidades pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único número del segundo. La intuición sobre el concepto de función también evolucionó. Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley física que correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación con ningún fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como funcionescontinuas sin derivada en ningún punto. Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass, Georg Cantor, partiendo de un estudio profundo de los números reales, desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta [cita requerida] teoría independiente del sistema de numeraciónempleado. Con el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la definición actual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente 5 numéricos. También se asoció con otros conceptos vinculados como el de relación binaria. Introducción
  • 14. Representación Gráfica de la trayectoria de un cuerpo acelerando a 0,66 m/s2. Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función numérica es la relación entre laposición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo. 2 Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s recorre una distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.) Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos distinos: Tiempo t (s) Distancia d (m) 0,0 0,0 0,5 0,1
  • 15. 1,0 0,3 1,5 0,7 2,0 1,3 2,5 2,0 La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse un regla o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la expresión: 2 d = 0,33 × t , donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres modos se refleja que existe una dependencia entre ambas magnitudes. Una función también puede reflejar la relación de una variable dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces 2 de a y t; en particular, d = a·t /2. Las funciones también se utilizan para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no solo los números. Por ejemplo, existe una función que a cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a cada día de la semana le asigna el siguiente: Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes Definición La definición general de función hace referencia a la dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.
  • 16. Dados dos conjuntos A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una asociación6 f que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) de f y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final). Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina la variable independiente; y un objeto genérico b del dominio B es la variable dependiente. También se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición es precisa, aunque en matemáticas se utiliza unadefinición formal más rigurosa, que construye las funciones como un objeto concreto. Ejemplos Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe la función «cubo» que a cada número en el dominio R le asigna su cubo en el codominio R. Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un único inverso. Existe entonces la función «inverso» cuyo dominio son los números reales no nulos R {0}, y con codominio R. Cada mamífero conocido se clasifica en un género, como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto una función «clasificación en géneros» que asigna a cada mamífero de la colección M = {mamíferos conocidos} su género. El codominio de «clasificación en géneros» es la colección G = {géneros de Mammalia}. Existe una función «área» que a cada triángulo del plano (en la colección T de todos ellos, su dominio), le asigna su área, un número real, luego su codominio es R. En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, existe una función «voto» que asigna a cada
  • 17. elector el partido que elija. En la imagen se muestra un conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una función entre ellos. Funciones con múltiples variables Existen muchos ejemplos de funciones que «necesitan dos valores» para ser calculadas, como la función «tiempo de viaje» T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la velocidad media v: cada pareja de números reales positivos (una distancia y una velocidad) tiene asociada un número real positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una función puede tener dos (o más) variables independientes. La noción de función de múltiples variables independientes no necesita de una definición específica separada de la de función «ordinaria». La generalidad de la definición anterior, en la que se contempla que el dominio sea un conjunto de objetos matemáticos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos (o más) conjuntos de variables independientes, A1 y A2, por ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas (a1, a2), con primera componente en A1 y segunda componente en A2. Este conjunto se denomina el producto cartesiano de A1y A2, y se denota por A1 × A2. De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de la función T, su + + dominio es el conjunto R × R , el conjunto de parejas de números reales positivos. En el caso de más de dos variables, la definición es la misma, usando un conjunto ordenado de múltiples objetos, (a1,..., an), una n-tupla. También el caso de múltiples variables dependientes se contempla de esta manera. Por ejemplo, una función división puede tomar dos números naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar dos números naturales como valores de salida (cociente y resto). Se dice entonces que esta función tiene como dominio y codominio el conjunto N × N. Notación. Nomenclatura
  • 18. La notación habitual para presentar una función f con dominio A y codominio B es: También se dice que f es una función «de A a B» o «entre A y B». El dominio de una función f se denota también por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla que permite obtener el elemento de B asociado a un 6 cierto a ∈ A, denominado la imagen de a. Ejemplos La función «cubo» puede denotarse ahora como f: R → R, 3 con f(x) = x para cada número real x. La función «inverso» es g: R {0} → R, con g(x) = 1/x para cada x real y no nulo. La función «clasificación en géneros» puede escribirse como γ: M → G, donde γ(m) = Género de m, para cada mamífero conocido m. La función «área» se puede denotar como A: T → R, y entonces A(t) = Área de t = B · H/2, donde t es un triángulo del plano, B su base, y H su altura. La función «voto» se puede escribir como v: E → P, donde v(a) = Partido que a votó, para cada votante a. La notación utilizada puede ser un poco más laxa, como por ejemplo «la función f(n) = √n». En dicha expresión no se especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio. En general, estos vendrán dados por el contexto en el que se especifique dicha función. En el caso de funciones de varias variables (dos, por ejemplo), la imagen del par (a1, a2) no se denota por f((a1, a2)), sino por f(a1, a2), y similarmente para más variables. Existen además terminologías diversas en distintas ramas de las matemáticas para referirse a funciones con determinados dominios y codominios. Algunas bastante extendidas son:
  • 19. Función real. f: R → R Función compleja. f: C → C n Función escalar. f: R → R n m Función vectorial. f: R → R En particular, las palabras «función», «aplicación», «mapeo», u otras como «operador», «funcional», etc. pueden designar tipos concretos de función según el contexto. Imagen e imagen inversa Artículo principal: Conjunto imagen. Dado un conjunto de votantes y un conjunto de posible partidos, en unas elecciones, el sentido del voto de cada individuo se puede visualizar como una función. Los elementos del codominio B asociados con algún elemento del dominio A constituyen la imagen de la función. Dada una función f : A → B, el elemento de B que corresponde a un cierto elemento a del dominio A se denomina la imagen de a, f(a). El conjunto de las imágenes de cada elemento del dominio es la imagen de la función f (también rango o recorrido de f). El conjunto de las imágenes de un subconjunto cualquiera del dominio, X ⊆ A, se denomina la imagen de X.
  • 20. La imagen de una función f se denota por Im(f), y la de un subconjunto X por f(X) o f[X]. En notación conjuntista las imágenes de f y X se denotan: La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electores que lo votaron. La imagen de una función f es un subconjunto del codominio de la misma, pero no son necesariamente iguales: pueden existir elementos en el codominio que no son la imagen de ningún elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen. La imagen inversa (también anti-imagen o preimagen) de un elemento b del codominio B es el conjunto de elementos del dominio A que tienen a b por imagen. Se denota por f−1(b). La imagen inversa de un subconjunto cualquiera del codominio, Y ⊆ B, es el conjunto de las preimágenes de cada elemento de Y, y se escribe f−1(Y). Así, la preimagen de un elemento del codominio puede no contener ningún objeto o, por el contrario, contener uno o más objetos, cuando a uno o varios elementos del dominio se les asigna dicho elemento del codominio. En notación conjuntista, se escriben:
  • 21. Ejemplos La imagen de la función cubo f es todo R, ya que todo número real posee una raíz cúbica real. En particular, las raíces cúbicas de los números positivos (negativos) son positivas (negativas), por lo que se tiene, por −1 + + ejemplo, f (R ) =R . El recorrido de la función inverso g no es igual a su codominio, ya que no hay ningún número real x cuyo inverso sea 0, 1/x = 0. Para la función «clasificación en géneros» γ se tiene: −1 γ(Perro) = Canis, y γ (Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}. Como el área es siempre un número positivo, el + recorrido de la función área A es R . En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la función voto v no coincide con el codominio, ya que el partido C no recibió ningún voto. Sin embargo puede −1 verse que, por ejemplo, v (Partido A) tiene 2 elementos. Igualdad de funciones Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio: Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, son iguales o idénticas si se cumple: Tienen el mismo dominio: A = C Tienen el mismo codominio: B = D Asignan las mismas imágenes: para cada x ∈ A = B, se tiene que f(x) = g(x) Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
  • 22. Artículos principales: Función inyectiva, Función suprayectiva y Función biyectiva. La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente clasificación: Funciones Inyectiva No inyectiva Sobreyectiv a Biyectiva No sobreyectiva Se dice que una función f : A → B es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas: o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a elementos idénticos:
  • 23. Una función f : A → B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio: o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algún elemento del dominio: Las funciones inyectivas no repiten las imágenes: si b = f(a), ningún otro a' tiene por imagen a b, por lo que la anti- imagen de este último sólo contiene al elemento a. Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de función suprayectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad no tiene sentido. Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyección entre ambos conjuntos: Una función f : A → B se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento perfecto» entre los elementos del dominio y el codominio: cada elemento en A tiene una única «pareja» en B —como todas las funciones—, y a cada elemento de B le corresponde uno solo en A —al menos uno por ser suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva—. Ejemplos. La función cubo f: R → R es biyectiva. Es inyectiva porque dos números reales que tienen el mismo cubo son idénticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.
  • 24. La función «inverso» g: R {0} → R es inyectiva, ya que el inverso de cada número real no nulo es único (1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado que Im(g) = R {0}. La función de clasificación de mamíferos γ: M → G no es inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el mismo género (por ejemplo, γ(Yak) = γ(Toro) = Bos). Sin embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género de mamíferos hay clasificada al menos una especie de mamíferos. La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que + Im(A) = R . Tampoco es inyectiva, ya que pueden construirse con facilidad triángulos distintos con el mismo área. En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C. Álgebra de funciones Con las funciones puede realizarse una operación de composición con propiedades similares a las de la multiplicación. Composición de funciones
  • 25. La composición g ∘ f actúa sobre el objeto x transformándolo según f, y después transformando f(x) mediante g. Artículo principal: Composición de funciones. Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valores de salida de una de ellas como valores de entrada para la otra., creando una nueva función. Sean dos funciones f : A → B y g : C → D, tales que el recorrido de la primera esté contenido en el dominio de la segunda, Im(f) ⊆ C. Entonces puede formarse la composición de g con f, la función g ∘ f : A → D que a cada a en el dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a) = g(f(a)).
  • 26. Es decir, la composición g ∘ f hace actuar primero la función f sobre un elemento de A, y luego g sobre la imagen que se obtenga: La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente que este segundo paso se pueda llevar a cabo. Ejemplos La imagen de la función «inverso» g es R {0} —puesto que todo número real no nulo es el inverso de otro—, y por tanto está contenido en el dominio de la función cubo f, que es R. La composición f ∘ g: R {0} 3 3 → R actúa entonces comof(g(x)) = f(1/x) = (1/x) = 1/x . Dadas las funciones reales h1: R → R y h2: R → R dadas por h1(x) 2 = x y h2(x) = x + 1, puede tomarse la composición en ambos órdenes, h1 ∘ h2 y h2 ∘ h1. Sin embargo, son funciones distintas, ya que: 2 2 (h1 ∘ h2)(x) = h1(h2(x)) = h1(x + 1) = (x + 1) = x + 2x + 1, y 2 2 (h2 ∘ h1)(x) = h2(h1(x)) = h2(x ) = x + 1 La función γ que clasifica los mamíferos en géneros puede componerse con la función ω: G → Or que clasifica los géneros de mamíferos en órdenes —que forman el conjunto Or—. La función ω ∘ γ asigna a cada mamífero su orden: (ω ∘ γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω ∘ γ)(Guanaco) = ω(Lama) = Artiodactyla Función identidad Artículo principal: Función identidad. En cualquier conjunto puede definirse una función identidad, que teniendo como dominio y codominio al propio conjunto, asocia cada elemento consigo mismo.
  • 27. Dado un conjunto A, la función identidad de A es la función idA : A → A que a cada a ∈ A le asocia idA(a) = a. También se denota como IA. La función identidad actúa como un elemento neutro al componer funciones, ya que no «hace nada». Dada una función cualquiera f : A → B se tiene: Es decir, dado un elemento x ∈ A, se tiene que: Función inversa Artículo principal: Función inversa. Una función puede tener inversa, es decir, otra función que al componerla con ella resulte en la identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inverso da 1. Dada una función f : A → B, se dice que g : B → A es la inversa o recíproca de f si se cumple: La inversa se denota por g = f−1, y tanto f como f−1 se dicen invertibles. No todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas que sean biyectivas poseen inversa:
  • 28. Toda función biyectiva f es invertible, y su inversa f−1 es biyectiva a su vez. Recíprocamente, toda función invertible f es biyectiva. La notación para funciones inversas puede ser confusa. Para un elemento del −1 codominio b, f (b) puede denotar tanto la anti- imagen de b (un subconjunto del dominio), como a la imagen de b por la función inversa de f (un elemento del dominio), en el caso de que f sea invertible. Ejemplos. La función «exponencial» h: R → R, que asocia a cada número real x su exponencial, h(x) = e , no es invertible, ya que no es suprayectiva: ningún número negativo pertenece a la imagen de h. Existe una función que calcula el cambio entre dos divisas. En el caso del cambio de rupias a quetzales (las monedas de la India y Guatemala), la conversión está dada (en 2011) por: Q(r) = 0,15 × r Esta función de cambio tiene inversa, la conversión recíproca de quetzales a rupias: R(q) = 6,65 × q 3 La función cubo f(x) = x es invertible, ya que podemos definir la función inversa −1 3 mediante la raíz cúbica, f (x) = √x. La función de clasificación en géneros γ: M → G no es invertible, ya que
  • 29. no es inyectiva, y para cada género pueden existir varios mamíferos clasificados en él. La función que asigna a cada día de la semana su siguiente tiene por inversa la función que asigna a cada día de la semana su antecesor: Lunes → Domingo, Martes → Lunes,..., Domingo → Lunes Restricción y extensión Artículo principal: Restricción de una función. La función que asigna a cada mujer del electorado su voto es una restricción de la función que a cada miembro del electorado le asigna su voto. La restricción de una función dada es otra función definida en una parte del dominio de la original, pero que «actúa igual» que esta. Se dice también que la primera es una extensión de la segunda. Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, de forma que el dominio de g sea un subconjunto del dominio de f, C ⊆ A, y cuyas imágenes coinciden en este subconjunto:
  • 30. se dice entonces que g es la restricción de f al subconjunto C, y que f es una extensión de g. La restricción de una función f: A → B a un subconjunto C ⊆ A se denota por f|C. Representación de funciones Artículo principal: Representación gráfica de una función. Las funciones se pueden presentar de distintas maneras: usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma . Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función. Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales. Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades". Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.
  • 31. Ejemplo: Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos. Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)} Como gráfica: gráfic a que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas. Ejemplo: 5 X 4 X 3 X 2 X 1 X 0 X y/x -2 -1 0 1 2 3 Definición formal Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los conjuntos y
  • 32. los pares ordenados. En particular, una función es un caso particular de relación binaria, luego su esta definición está basada en la que se adopte para las relaciones. En el enfoque «extensivo» se identifica una función con su gráfica: Una función es un conjunto f de pares ordenados tal que no contiene dos pares distintos con la misma primera componente: El dominio (la image n) de la función es entonces el conjunto de primeras (segundas) componentes: En la definición extensiva no aparece el concepto de codominio como
  • 33. conjunto potencial donde está contenido el recorrido. En algunas áreas de las matemáticas es importante preservar esta distinción, y por tanto se usa una 7 definición distinta: Una función es una terna de conjuntos f = (A, B, G(f)), el dominio, el codominio y el grafo de f, tales que: 1. G(f) ⊂A ×B 2. Tod o elem ento del dom inio tien e imag en: para cada a∈
  • 34. A, exist e un b ∈B tal que (a, b ) ∈ G( f) 3. Esta imag en es únic a: si (a, b ), (a, c ) ∈ G( f), ento nces b= c. De este modo, puede imponerse que dos funciones con el mismo grafo sean distintas por tener codominio distinto.
  • 35. Véase también Anexo:Funcione s matemáticas Sucesión matemática Función lineal Función exponencial Función cuadrática Representación gráfica de una función Referencias 1. ↑ Esta sección está basada en Pedro Ponte, J. (1992). «The history of the concept of function and some educational implications» ( en inglés, pdf). The Mathematics Educator 3 (2) . Consultado el 10-12- 2011.
  • 36. 2. ↑ Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. pp. 17. 3. ↑ Friedrich Gauss, Carl (1995). Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. ed. 4. ↑ Howard Eves (1990). Found ations and Fundamental Concepts of Mathematics ( 3 edición). Dover. p. 235. ISBN 0- 486-69609-X. 5. ↑ Dorronsoro, Jorge; Hernández, Eugenio (1996). Núme ros, grupos y
  • 37. anillos. Adison- Wesley Iberoamerican a. ISBN 0-201- 65395-8. a b 6. ↑ En general una función está caracterizada por una regla o método que describe la asociación entre los elementos en estos conjuntos. Sin embargo en disciplinas más avanzadas de las matemáticas esto no siempre ocurre, como por ejemplo con las funciones de elección. Por ello la definición general de función se centra en la
  • 38. asociación entre los objetos, y no en la regla o algoritmo. 7. ↑ Sobre la diferencia entre ambas definiciones, véase por ejemplo Forst er, Thomas (2003). «§1.3. Notation for sets and relations» (en inglés). Logic, induction and sets. Cambridge University Press. ISBN 97 80521533614. Dorronsoro, Jorge; Hernández, Eugenio (1996). Números , grupos y anillos. Adison- Wesley Iberoamericana. ISBN 0-201-65395-8. Enlaces externos
  • 39. Wikimedia Commons alberg a contenido multimedia sobre funciones . The Wolfram Functions Site. Archivo de funciones matemáticas. FooPlot. Graficador de funciones matemáticas. Historia del concepto de función. Artículo traducido de MacTutor History of Mathematics archive.