Hướng dẫn giải bài tập Cơ Kỹ Thuật 2 - Phần Động Lực Học - TNUT

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CƠ KỸ THUẬT 2 PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC
GV. Nguyễn Thị Kim Thoa
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP
CƠ KỸ THUẬT 2
(PHẦN ĐỘNG LỰC HỌC)

Phần II ĐỘNG LỰC HỌC (KINETICS)
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG CỦA CƠ HỆ VÀ VẬT RẮN
I. KHỐI TÂM CỦA CƠ HỆ
Khối tâm G của cơ hệ là một điểm mà vịtrícủa nó được xác định bởi phương trình:
1
1 n
i i
i
m
m 
 r r
1
1
1
1
1
1
n
i i
i
n
i i
i
n
i i
i
x m x
m
y m y
m
z m z
m















1
1 n
i i
i
m
m 
 v v
1
1 n
i i
i
m
m 
 a a
II. MOMEN QUÁN TÍNH KHỐI LƯỢNG CỦA VẬT RẮN
 Định nghĩa
Momen quán tính khối lượng của vật đối với trục a được định nghĩa là
 Bán kính quán tính
Bán kính quán tính của vật đối với trục a được định nghĩa là
2a
a a a
I
k hay I mk
m
 
Hệ n chất
điểm
Miền V

 Định lý song song
Liên hệ momen quán tính giữa hai trục song song : trục a và trục đi qua khối tâm G và song
song với trục a
2
a aI I md 
Trong đó
 aI là momen quán tính khối lượng của vật đối với trục
a.
 aI là momen quán tính khối lượng của vật đối với trục
đi qua khối tâm và song song với trục a.
 m là khối lượng của vật.
d là khoảng cách giữa hai trục.
 Momen quán tính của vật thể phức hợp
Momen quán tính của vật thể đối với một trục cho trước bằng tổng momen quán tính của
các phần của vật đối với trục đó.
 Momen quán tính khối lượng của một số vật rắn đồng chất
Thanh mảnh Thanh
mảnh
G
aI
d
aI
a
G
x
z
y
l /2
2
12
Gy Gz
ml
I I 
l /2
A
x
z
yl
2
3
Ay Az
ml
I I 

Vành
tròn
Đĩa tròn
Khối cầu Khối trụ
Khối
nón
Khối hộp chữ nhật
C
z
x
y
G
R
2
2
Gz
mR
I  ;
2
4
Gx Gy
mR
I I 
C
z
x
y
G
R
2
GzI mR ;
2
2
Gx Gy
mR
I I 
z
2
2
5
Gx Gy Gz
mR
I I I   ;
x
2
2
Gz
mR
I  ;
2 2
(3 )
12
Gx Gy
m R h
I I

 
z
23
10
GzI mR ;
2 23
(4 )
80
Gx GyI I m R h  
2 2
( )
12
Gx
m b c
I

 ;
2 2
( )
12
Gy
m c a
I

 ;
2 2
( )
12
Gz
m a b
I



CÁC BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Cơ hệ trong Hình (a) bao gồm ba vật thể đồng chất: trụ nặng 10-kg; thanh mảnh nặng 2-kg; và
khối cầu nặng 4-kg. Với cơ hệ đó, tính toán:
(1) Ix, mô men quán tính khối lượng đối với trục x.
(2) 𝐼𝑥 𝑣à 𝑘, mô men quán tính khối lượng và bán kính quán tính đối với trục đi qua
khối tâm của hệ và song song với trục x.
Lời giải
Các khối tâm của trụ (G1), thanh (G2), và khối cầu (G3) được chỉ ra trong Hình (b). Do tính đối
xứng , khối tâm G của hệ nằm trên trục y, với tọa độ 𝑦 cần được xác định.
Phần 1:
Trụ: Mô men quán tính của trụ đối với trục đi qua khối tâm của chính nó và song song với trục x
là

Theo định lý trục song song, mô men quán tính của trụ đối với trục x là
Thanh mảnh: Bởi vì G2 chính là gốc của hệ trục xyz, mô men quán tính của thanh đối với trục x là
Khối cầu: Mô men quán tính của khối cầu đối với trục đi qua khối tâm của chính nó và song song
với trục x là
Sử dụng định lý trục song song, mô men quán tính của khối cầu đối với trục x là

Cơ hệ: Mô men quán tính của cơ hệ đối với một trục bằng tổng mô men quán tính của các phần
thuộc hệ đối với trục đó. Do đó, cộng các giá trị mà chúng ta tính được ở trên, ta được
Phần 2:
Theo Hình (b), tọa độ 𝑦 của tâm G là
     i i
i
m y 10 0 24 2 0 4 0 27
y 0 0825m
m 10 2 4
. .
.
 
  
 


Bởi vì 𝑦 là khoảng cách giữa trục x và trục đi qua khối tâm của cơ hệ và song song với trục x nên
Bán kính quán tính tương ứng là
Bài 2
Một chi tiết máy nặng 290-kg trong Hình (a) được tạo bởi việc khoan một cái lỗ lệch tâm đường
kính 160mm, một trụ đường kính 400mm dài 350mm. Xác định:
(1) Iz (mô men quán tính của chi tiết máy đối với trục z.)
(2) 𝑘 (bán kính quán tính của chi tiết máy đối với đi qua khối tâm của nó và song song với
trục z.)

Lời giải
Chi tiết máy trong Hình (a) có thể được xem gồm hai phần khác nhau, đó là các khối trụ đồng
chất A và B trong Hình (b) và (c). Mật độ khối lượng của chi tiết máy là

Do đó, khối lượng của các trụ A và B là
Như một sự kiểm tra việc tính toán, chúng ta chú ý rằng mA – mB = m, như mong đợi.
Phần 1
Mô men quán tính của trụ A đối với trục z, trục mà trùng với trục trung tâm z của nó là
Mô men quán tính của trụ B đối với trục trung tâm z của nó là
Bởi vì khoảng cách giữa trục z và trục trung tâm z của vật B là d =0.11m, mô men quán tính của B
đối với trục z được tính từ định lý trục song song:
Do đó, mô men quán tính của chi tiết máy đối với trục z là
Phần 2
Do tính đối xứng, tọa độ x và z của khối tâm của phần máy là 𝑥 = 0 𝑣à 𝑧 = −0.175𝑚. Tọa độ y
được tính như sau

Mô men quán tính của chi tiết máy đối với trục trung tâm z của nó (trục đi qua khối tâm của nó
và song song với trục z) có thể được tính từ định lý trục song song:
Bán kính quán tính tương ứng là

ĐỘNG LỰC HỌC
PHƢƠNG PHÁP LỰC – KHỐI LƢỢNG – GIA TỐC
I. PHƯƠNG PHÁP LỰC – KHỐI LƯỢNG – GIA TỐC ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM
mF a
Các bước áp dụng:
 Vẽ FBD của chất điểm (gồm tất cả các lực tác dụng lên chất điểm).
 Lực hoạt động: lực cho trước và trọng lực (nếu có).
 Phản lực liên kết: lực do các vật đỡ gây ra, gồm cả lực ma sát (TH chuyển động ms kF N ),
lực cản (nếu có).
 Vẽ MAD cho chất điểm (thể hiện véc tơ ma).
 Chọn hệ trục tọa độ
 Sử dụng phần động học (bài 2) để phân tích phương, chiều của véc tơ gia tốc a. Nếu chiều
của a chưa biết thì chúng ta giả thiết chiều của mỗi thành phần gia tốc a hướng theo chiều
dương của các trục tọa độ.
 Thể hiện véc tơ ma trên hình vẽ.
 Từ hai sơ đồ FBD và MAD viết phương trình chuyển động cho chất điểm.
 Sử dụng liên hệ giữa gia tốc, vận tốc và vị trí (phần động học chất điểm), thực hiện các phép tính
đạo hàm hoặc tích phân để xác định các đại lượng được yêu cầu.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Khối A trọng lượng 300N trong hình M2.5a đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang, khi một lực P
tác dụng tại thời điểm t=0. Tìm vận tốc và vị trí của khối khi t=5s. Hệ số ma sát động lực là 0.2.
(a)
Lời giải
 Sử dụng phương pháp Lực – Khối lượng – Gia tốc
 Vẽ FBD (hình (b))

- Lực cho trước: P =200N
- Trọng lực: W =mg
- Phản lực liên kết: phản lực NA và lực ma sát FA =µkNA.
 Vẽ MAD (hình (b))
- Chọn hệ trục tọa độ xy như trong hình (b).
- Chuyển động là chuyển động thẳng theo phương ngang nên ay =0.
(b)
 Viết PT chuyển động của chất điểm từ FBD và MAD
F am
P W N F aA A m    
0
0
0 => W sin30 0 (1)
=> cos30 (2)
y A
x A
F N P
F ma P F ma
   
  


Từ phương trình (1) có được 0 0
W sin30 300 200sin30 400AN P N    
Do đó lực ma sát là   . 0.2 400 80A k AF N N  
Từ phương trình (2) ta có:
0 0 21 9.81
( cos30 ) (200cos30 80) 3.048 /
300
Aa P F m s
m
    
 Sử dụng các liên hệ động học giải tìm vận tốc v và tọa độ vị trí x

Ta có: và
dv dx
a v
dt dt
 
Nên
1
2
1 1 2
3.048 3.048 (3)
(3.048 ) 1.524 (4)
v adt dt t C
x vdt t C dt t C t C
   
     
 
 
Trong đó C1 và C2 là các hằng số tích phân có thể được tìm ra từ các điều kiện đầu. Như đã biết
ban đầu v =0. Tuy nhiên, chúng ta có nhiều lựa chọn gốc tọa độ x. Lựa chọn thuận lợi nhất là đặt
x =0 khi t =0. Do đó điều kiện đầu là:
v =0 và x =0 khi t =0
Thay các giá trị này vào (3) và (4) ta có C1=0 và C2=0. Do đó vận tốc và tọa độ vị trí của khối lúc
t=5s là
  
  2
3.048 5 15.24 ( / )
1.524 (5) 38.10 ( )
v m s
x m
 
 
Bài 2
Hình (a) biểu diễn một kiện hàng khối lượng m nằm yên trên sàn thùng của một chiếc xe tải. Hệ
số ma sát tĩnh giữa hai bề mặt là 0.64. Để cho kiện hàng trượt xuống thì sàn thùng có vị trí như
hình vẽ, xe tải phải chuyển động có gia tốc sang phải. Xác định gia tốc a nhỏ nhất để kiện hàng
bắt đầu trượt. Biểu diễn đáp án theo gia tốc trọng trường g.
Lời giải
(a)

- Trọng lực: W =mg
- Phản lực liên kết: phản lực N và lực ma sát F =0.64N (do kiện hàng ở trạng thái sắp
trượt, F bằng với giá trị ma sát tĩnh lớn nhất s N ).
- Chọn hệ trục tọa độ xy như trong hình (b).
- Do kiện hàng và xe tải có cùng gia tốc trước khi sự trượt xuất hiện, véctơ lực quán tính
của kiện hàng là ma, hướng theo phương ngang.
(b)
F am
W N F am   
0 0
0 0
0 cos30 0.64 sin30 - 0 (1)
- sin30 0.64 cos30 (2)
y
x
F N N mg
F ma N N ma
   
   


Từ phương trình (1) ta có 0 0
0.8432 (3)
cos30 0.64sin30
mg
N mg 

Thay vào phương trình (3) vào phương trình (2) ta có
0 0
0.8432 ( sin30 0.64cos30 )
0.0458
mg ma
a g
  
 
Nhận thấy rằng kết quả là độc lập với khối lượng m.

Bài 3
Một quả bóng trong hình (a) có trọng lượng 1.5N và được ném lên với vận tốc ban đầu 20m/s.
Tính toán chiều cao lớn nhất mà quả bóng đạt được nếu (1) bỏ qua sức cản không khí; và (2) khi
không khí sinh ra lực cản FD được biết như là ảnh hưởng khí động học, ngược với vận tốc. Giả
thiết rằng FD=cv2
trong đó c=2.10-3
N.s2
/m2
.
Lời giải
Phần 1
Khi sức cản không khí được bỏ qua, chỉ có trọng lực tác dụng lên quả bóng
trong suốt quá trình chuyển động, được chỉ ra trong hình (b). Do chuyển
động là thẳng nên giá trị của véctơ quán tính là max=ma, như chỉ ra trong
hình MAD trong hình (b). Áp dụng định luật II Newton (pp Lực – Khối lượng – Gia tốc) ta có:
xF ma mg ma   
từ đó ta có thể tìm ra: 2
9.8m/s (1)a g   
Sử dụng liên hệ động học giữa gia tốc với vận tốc và tọa độ vị trí theo thời gian, ta xác định được
vận tốc và vị trí như sau:
1
2
1 1 2
( 9.8) 9.8 (2)
( 9.8 ) 4.9 (3)
v adt dt t C
x vdt t C dt t C t C
     
       
 
 
Các hằng số tích phân có thể được tính toán dựa vào các điều kiện đầu x =0 và v =0 khi t =0 kết
quả là:C1 =20m/s, C2 =0. Do đó vận tốc và vị trí của quả bóng được xác định là:
Hình (a)

2
9.8 20 (4)
4.9 20 (5)
v t
x t t
  
  
Quả bóng đạt tới độ cao lớn nhất khi v =0 ta có 9.8 20 0 2.04t t s     .Thay t =2.04s vào
phương trình (5) ta có ax 20.4mx m
Chú ý trong trường hợp này gia tốc, vận tốc và vị trí của quả bóng độc lập với trọng lượng của
nó.
Phần 2
Khi kể đến ảnh hưởng của sức cản khí động học, FBD và MAD của quả bóng trong quá trình bay
lên được chỉ ra trong hình (c).
Quan sát thấy rằng lực FD, luôn ngược chiều vận tốc, tác dụng hướng xuống
dưới bởi vận tốc theo chiều dương là hướng lên. Từ định luật II Newton,
chúng ta có các phương trình chuyển động:
2
(6)x xF ma mg cv ma    
Sử dụng liên hệ động học: a=vdv/dx, phương trình (6) trở thành:
2 dv
mg cv m v
dx
  
Phân ly biến số, ta có:
2
mvdv
dx
mg cv
 

Tích phân cả hai vế của phương trình này (sử dụng bảng tích phân nếu cần thiết), ta có:
2
3ln( )
2
m
x mg cv C
c
   
Trong đó C3 là hằng số tích phân. Thay số vào ta được :
3 2
338.25ln(1.5 2 10 )x v C
    

Sử dụng điều kiện đầu: v =20m/s khi x =0, ta tìm được C3 =31.86m. Do đó:
3 2
38.25ln(1.5 2 10 ) 31.86x v
    
Bởi vì độ cao lớn nhất đạt được khi v =0 ta có
ax 38.25ln1.5 31.86 16.4( )mx m   
Dĩ nhiên giá trị này nhỏ hơn giá trị lớn nhất có được trong phần 1, khi bỏ qua sức cản khí động
học.
Bài 4
Vật A khối lượng 12kg trong hình (a) trượt không ma sát trong một máng nửa hình tròn bán kính
R=2m. Vật A bắt đầu chuyển động từ vị trí có góc 0
30  và đạt vận tốc v0=4m/s hướng về phía
đáy máng. Tìm biểu thức vận tốc của vật và lực giữa máng và vật theo  .
Lời giải
- Quỹ đạo là đường tròn nên có thể chọn sử dụng hệ tọa độ quỹ đạo (hệ tọa độ tiếp
tuyến – pháp tuyến).
- Gia tốc của vật gồm hai thành phần: gia tốc tiếp và gia tốc pháp.
- Các véc tơ nma (chiều hướng về tâm của quỹ đạo) và tma (vẽ theo chiều dương của
trục tiếp tuyến) được thể hiện trong hình vẽ.

F am
W N a aA n tm m   
Chiếu PT này lên hai phương tiếp tuyến và pháp tuyến, ta được
cos (1)
- sin (2)
t
A n
mg ma
N mg ma




 Sử dụng các liên hệ động học:
2
vàt n
vdv v
a a ds Rd
ds


  
ta có
2
cos (3)
- sin (4)A
vdv
mg m
Rd
v
N mg m






Phân ly biến số, PT (3) trở thành cosgR d vdv   . Tích phân hai vế phương trình này sử dụng
điều kiện đầu 0 4v v m / s  khi 0
30 
/ 6 4
cos
v
gR d vdv


   
  2 9.8 2 sin 1.81 39.2sin 3.62 /v m s          
Thay kết quả này vào PT (4), ta nhận được

39.2sin 3.62
12 9.8sin
2
352.8sin 21.7
AN
N



 
  
 
 
Bài 5
Một vật B khối lượng 100g như trong hình (a) trượt dọc theo tay quay OA. Hệ số ma sát động
giữa B và OA là 0 2k .  . Tại vị trí như hình vẽ, 1 5R m / s, rad / s  và 2
3rad / s  . Tại vị trí
này, xác định R, gia tốc tương đối của B so với OA.
Lời giải
- Trọng lực: W =mg =(0.1)(9.8) =0.98N
- Phản lực liên kết: phản lực NB và lực ma sát F =0.2NB , chiều của F ngược với chiều của
R , vận tốc tương đối của B so với thanh OA.
- Chọn hệ tọa độ cực  R,
- Có Rm m m  a a a .
(a)

F am
W N F a aB Rm m     
Chiếu PT này lên hai phương vuông góc
 
 2
2
R
F m R R
F m R R
  

  

 


 

      
  
0
20
0.98cos40 0.1 0.4 3 2 1 5
0.98sin40 0.2 0.1 0.4 5
B
B
N
N R
      
 
      

2
0.04 /R m s  
Dấu âm nghĩa là gia tốc tương đối của B so với tay quay OA là hướng về O.
BN
0.2 BF N

II. PHƯƠNG PHÁP LỰC – KHỐI LƯỢNG – GIA TỐC ĐỐI VỚI CƠ HỆ
Phương trình chuyển động của khối tâm
mF a
trong đó F là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ, m là tổng khối lượng của các chất điểm thuộc
hệ, a là gia tốc khối tâm của hệ.
Các bước áp dụng:
 Cách 1
- Vẽ FBD và MAD cho từng chất điểm thuộc hệ . Từ đó, viết các phương trình chuyển
động cho từng chất điểm.
- Biểu diễn liên hệ động học giữa các chất điểm.
- Giải các đại lượng được yêu cầu.
 Cách 2
- Vẽ FBD của toàn hệ (chỉ vẽ các ngoại lực tác dụng lên hệ).
- Viết phương trình chuyển động khối tâm của hệ: mF a .
- Vẽ FBD, MAD và viết phương trình chuyển động cho một số chất điểm của hệ nếu cần
thiết.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Người đàn ông trong hình (a) đi từ đầu cuối bên trái sang đầu cuối bên phải của một tấm ván
đồng chất. Ban đầu tấm ván ở trạng thái nghỉ trên mặt băng. Xác định dịch chuyển của người khi
anh ta đến đầu cuối bên phải. Trọng lượng của người và tấm ván tương ứng là 60kg và 15kg. Bỏ
qua ma sát giữa tấm ván và mặt băng.

Lời giải
Sơ đồ vật thể tự do của hệ gồm người và tấm ván được biểu diễn trong hình (b). Các lực xuất
hiện trong FBD này là trọng lượng của người, trọng lượng của tấm ván và phản lực N. Phản lực
pháp tuyến và lực ma sát giữa người và tấm ván không xuất hiện trong FBD, bởi vì chúng là các
nội lực của hệ.
Từ FBD trong hình (b), chúng ta thấy rằng không
có lực tác dụng lên hệ theo phương x. Do đó, theo
phương trình mF a , khối tâm G của hệ vẫn đứng ở
một chỗ như được chỉ ra trong các hình (c) và (d).
Tiếp theo chúng ta tính x , toạ độ-x của điểm G,
khi người đàn ông ở đầu cuối bên trái của tấm ván.
Theo hình (c), chúng ta có
     
1
60 15 60 0 15 2
n
i i
i
mx m x
x


  

Phương trình này cho 0.4mx  . Lặp lại các bước trên với thời điểm người đàn ông ở đầu cuối
bên phải của tấm ván, như biểu diễn trong hình (d), chúng ta có
   60 15 60 15 2x d d   
Phương trình này cho 0.4d x  . Thay 0.4mx  (nhắc lại rằng x không đổi khi người di chuyển
dọc theo tấm ván), chúng ta có
d = 0.8 m
Quan sát thấy rằng mỗi bước đi của người dẫn đến kết quả là người dịch chuyển sang phải và
tấm ván dịch chuyển sang trái. Độ lớn của các dịch chuyển này ở một tỉ lệ thích hợp để đảm bảo
rằng khối tâm của hệ không di chuyển theo phương ngang.

Chúng ta cũng có thể giải bài toán này bằng cách chú ý rằng khoảng cách giữa người và
khối tâm G phải như nhau trong hình (c) và (d), do sự đối xứng của hai cấu hình. Nói cách khác,
,hay 2x d x d x   .
Bài 2
Dây cáp trong hình A được vắt qua ròng rọc, một đầu dây buộc vào vật A nặng 60N, đầu kia chịu
tác dụng của lực 90N. Trong hình (b), lực 90N được thay bằng vật B nặng 90N. Bỏ qua khối lượng
của ròng rọc, xác định gia tốc của vật A và sức căng trong dây cáp với hai trường hợp trên.
Lời giải
Hệ trong hình (a)
Hình (c) biểu diễn sơ đồ vật thể tự do (FBD) của vật A. Vì khối lượng của ròng rọc được bỏ qua,
sức căng của dây cáp là như nhau dọc theo dây cáp. Ta có
T = 90 N
Hình (c) cũng biểu diễn sơ đồ khối lượng – gia tốc
(MAD) của vật A, trong đó gia tốc a được giả thiết hướng lên.
Định luật hai Newton cho
60
90 60yF ma a
g

   
Từ phương trình này gia tốc của vật A là
2
4.9m/s
2
g
a  

Hệ trong hình (b)
FBD và MAD của các vật A và B được biểu diễn trong hình (d). Vì dây cáp không dãn, gia tốc của
vật A bằng gia tốc của vật B về độ lớn, nhưng ngược hướng. Chúng ta giả thiết gia tốc của A
hướng lên. Do đó phương trình chuyển động của vật A là
60
60yF ma T a
g

   
Đối với vật B, chúng ta có
90
90yF ma T a
g

    
Giải đồng thời hai phương trình trên, chúng ta nhận được
72NT  và 29
1.96m/s
5
a   .
Chú { rằng sự tác dụng lực 90N vào đầu cuối dây cáp không tương đương với việc buộc
dây với trọng lượng 90N.
Bài 3
Hình (a) biểu diễn một hệ gồm ba khối hộp được liên kết bằng một dây cáp không dãn vắt qua
bốn ròng rọc. Khối lượng của các khối hộp A, B, và C tương ứng là 60kg, 80kg, và 20kg. Sử dụng
các toạ độ đã chỉ ra và bỏ qua khối lượng của các ròng rọc , hãy tìm gia tốc của mỗi khối hộp và
sức căng T trong dây cáp.
Lời giải

Chúng ta sẽ dùng phương pháp lực – khối lượng – gia tốc để rút ra phương trình chuyển động
của mỗi khối hộp.
Phân tích động học
Đặt L là chiều dài của dây cáp vắt qua các ròng rọc trong hình (a), chúng ta có
12 2A B CL y y y C   
trong đó C1 là hằng số được tính từ chiề u dài các đoạn cáp quấn quanh các ròng rọc và hai đoạn
cáp ngắn đỡ hai ròng rọc phía trên . Bởi vìchiều dài L là không đổi, đạo hàm phương trình trên ta
được
2 2 0A B Cv v v  
Đạo hàm phương trình liên hệ vận tốc theo thời gian, ta được liên hệ gia tốc giữa các khối hộp:
2 2 0A B Ca a a   (a)
Phân tích động lự c học
Hình (b) biểu diễn sơ đồ vật thể tự do của khối hộp A và B (cùng với ròng rọc khối lượng không
đáng kể m à chúng được gắn vào ), và khối hộp C. Chú { rằng sức căng T là hằng số từ đầu đến
cuối dây cáp. Các sơ đồ khối lượng – gia tốc tương ứng cũng được biểu diễn trong hình (b). Áp
dụng định luật hai Newton yF ma đối với từng khối hộp, các phương trình chuyển động là

 
 
 
60 9.8 2 60
80 9.8 2 80
20 9.8 20
A
A
A
T a
T a
T a



  
  
  
(b)
Giải các phương trình (a) và (b), ta tìm được sức căng của dây cáp và gia tốc của các khối hộp:
2
2
294 N
0
2.45m/s
4.9m/s
A
B
C
T
a
a
a



 
Các dấu chỉ ra rằng gia tốc của B hướng xuống, trong khi đó gia tốc của C hướng lên.

III. PHƯƠNG PHÁP LỰC – KHỐI LƯỢNG GIA TỐC ĐỐI VỚI VẬT RẮN, HỆ VẬT RẮN
 Phương trình chuyển động của vật chuyển động phẳng
Vật chuyển động phẳng tổng quát
Vật chuyển động tịnh tiến (ω = 0, α = 0)
Vật quay quanh một trục cố định
 
F a
A A
m
M I mr r I

  

   
 Các bước áp dụng phương pháp Lực – Khối lượng – Gia tốc
 Vẽ FBD của vật: thể hiện tất cả các lực, ngẫu lực tác dụng lên vật.
 Sử dụng động học, xác định mối liên hệ giữa a và  .
 Vẽ MAD: thể hiện véc tơ quán tính ma tác dụng tại khối tâm và ngẫu lực quán tính
I  (sử dụng kết quả của bước hai).
 Viết phương trình chuyển động của vật bằng cách cân bằng hai sơ đồ FBD và MAD.
Lưu ý: Nếu bài toán gồm một hệ các vật rắn , thì ta áp dụng phương pháp Lực – Khối lượng –
Gia tốc cho từng vật rắn thuộc hệ, hoặc áp dụng cho toàn hệ vật (các nội lực
sẽ bị triệt tiêu).
A
m
M I mad

 


F a
0G
m
M




F a
G là khối tâm của vật.
Với A là điểm bất kì.
Với A là điểm nằm trên trục quay
MAD

Bài 1
Thanh đồng chất trong Hình (a) có khối lượng m và chiều dài L. Thanh, quay tự do quanh bản lề
tại O trong mặt phẳng thẳng đứng, được thả ra từ trạng thái nghỉ tại vị trí θ=0. Tìm gia tốc góc α
của thanh khi θ=600
.
Lời giải
Hình (b) thể hiện FBD và MAD của thanh khi θ=600
. FBD chứa trọng lực W của thanh, tác dụng
tại khối tâm G của nó (vị trí trung điểm của thanh) và các thành phần của phản lực tại bản lề O.
Trong MAD, ngẫu quán tính I  được vẽ với giả thiết rằng  cùng chiều kim đồng hồ, và sử
dụng 2
/12I mL . Các thành phần của véc tơ quán tính ma được tìm từ chú ý rằng quĩ đạo của
G là đường tròn có tâm tại O. Do đó, các thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến của 𝒂 là
2
( / 2)na L  và ( / 2)ta L  . Chiều của na hướng về O bất chấp chiều của ω. Chiều của ta phù
hợp với chiều giả thiết của α.

Chúng ta chú ý rằng có tổng cộng là bốn đại lượng chưa biết trong Hình (b): Ox, Oy, α, và
ω. Bởi vì chỉ có ba phương trình chuyển động độc lập, chúng ta không thể xác định được tất cả
các đại lượng chưa biết đó bằng việc chỉ sử dụng FBD và MAD. L{ do đó là ω phụ thuộc vào lịch
sử chuyển động: dt C   . Do đó, các phương trình chuyển động tại một vị trí cụ thể của
thanh sẽ không xác định được vận tốc góc tại vị trí đó. Tuy nhiên, xem xét kỹ FBD và MAD thấy
rằng có thể xác định được gia tốc góc α, bởi vì nó là đại lượng chưa biết duy nhất xuất hiện trong
phương trình mô men khi O được sử dụng là tâm mô men. Theo các sơ đồ trong Hình (b),
phương trình mô men là
từ đó chúng ta tìm được

Bài 2
Một vật thể trong Hình (a) bao gồm thanh đồng chất 1 được gắn cứng với quả cầu đồng chất 2.
Vật thể đang quay trong mặt phẳng thẳng đứng quanh bản lề tại O. Khi vật có vị trí mà góc
θ=300
, vận tốc góc của nó là ω=1.2rad/s cùng chiều kim đồng hồ. Tại vị trí này, hãy xác định gia
tốc góc α và độ lớn của phản lực tại bản lề O.
Lời giải
FBD và MAD của vật thể tại vị trí θ=300
được thể hiện trong Hình (b). Trong các sơ đồ đó, thanh
và quả cầu được coi là các vật riêng lẻ, mỗi vật có ngẫu quán tính và véc tơ quán tính của nó.
(Một dạng tương đương của MAD có thể thu được bởi việc thể hiện ngẫu quán tính và véc tơ
quán tính của cả hệ). Các chi tiết của các sơ đồ được mô tả như ở bên dưới.
Sơ đồ vật thể tự do: Các lực On và Ot là các thành phần của phản lực bản lề theo các trục n
và t được thể hiện trên hình vẽ. Các trọng lực W1 và W2 của thanh và quả cầu tác dụng tại khối
tâm của chúng là G1 và G2 tương ứng. Các khoảng cách 1 0.4r m và 2 1.0r m , được đo từ O tới
các khối tâm.
Sơ đồ khối lượng gia tốc: Trong MAD, chúng ta giả thiết rằng gia tốc góc α, được tính
bằng rad/s2
, cùng chiều kim đồng hồ. Sử dụng thực tế rằng vật thể quay quanh điểm cố định O,

phân tích động học giúp chúng ta biểu diễn các gia tốc của G1 và G2 theo α và ω của vật thể. Các
thành phần quán tính xuất hiện trong MAD được tính toán theo cách sau đây.
Với thanh mảnh:
Với quả cầu:
Trong MAD, chiều của các thành phần tiếp tuyến của véc tơ quán tính (chứa α) phù hợp với
chiều kim đồng hồ, chiều giả thiết của α. Các thành phần pháp tuyến của véc tơ quán tính (chứa
ω2
) hướng về tâm quay O, bất chấp chiều của ω.

Từ Hình (b) chúng ta thấy rằng có hai đại lượng chưa biết trong FBD (On và Ot) và một đại lượng
chưa biết (α) trong MAD. Do đó, tất cả có thể xác định từ việc xây dựng và giải ba phương trình
chuyển động độc lập.
Cân bằng mô men đối với O trên FBD và MAD trong Hình (b), chúng ta được
từ đó chúng ta tìm được
Sử dụng α =8.914 rad/s2
và theo Hình (b), các phương trình lực theo hướng t và n là
và
Do đó, độ lớn của phản lực bản lề tại O là
Bài 3

Dây cáp nối với vật nặng B trong Hình (a) quấn chặt vòng quanh đĩa A, đĩa có thể quay tự do
quanh trục tại khối tâm G của nó. Khối lượng của A và B là 60-kg và 20-kg, và 400k mm đối với
đĩa. Xác định gia tốc góc của đĩa A và sức căng trong dây cáp.
Lời giải
Các sơ đồ vật thể tự do và khối lượng gia tốc của hệ được thể hiện trong Hình (b). FBD chứa các
trọng lực WA=60(9.8)=588N và WB=20(9,8)=196N cùng với các phản lực chưa biết tại bản lề G.
Sức căng trong dây cáp, là một lực trong, không xuất hiện trong sơ đồ FBD đó.
MAD thể hiện ngẫu quán tính của đĩa và véc tơ quán tính của vật nặng. Không có véc tơ
quán tính của đĩa bởi vì khối tâm của đĩa không chuyển động. Gia tốc góc α của đĩa được giả
thiết có chiều kim đồng hồ. Ngẫu quán tính tương ứng của đĩa là
cũng có chiều kim đồng hồ. Bởi vì dây cáp không trượt trên đĩa, gia tốc của vật nặng là aB=Rα,
tạo nên véc tơ quán tính

Có ba đại lượng chưa biết trên FBD và MAD: hai thành phần phản lực bản lề tại G và gia tốc góc α
của đĩa. Bởi vì số phương trình độc lập từ FBD và MAD là ba, tất cả các đại lượng đó có thể được
xác định.
Gia tốc góc α có thể được tìm bởi việc cân bằng mô men tổng đối với G trong FBD và
MAD.
Để tìm sức căng trong dây cáp, chúng ta phân tích riêng vật nặng (cũng có thể xác định
sức căng trong dây cáp bằng cách phân tích chuyển động riêng của đĩa). FBD và MAD của vật
nặng được thể hiện trong Hình (c), với T là sức căng của dây cáp.
Tổng các lực theo phương y dẫn đến

Bài 4
Bánh xe mất cân bằng trong Hình (a) đang lăn không trượt dưới tác dụng của ngẫu lực ngược
chiều kim đồng hồ C0=20Nm. Khi bánh xe ở vị trí đã cho, vận tốc góc của nó là ω=2rad/s cùng
chiều kim đồng hồ. Tại vị trí đó, tính gia tốc góc α và các lực tác dụng lên bánh xe tại C bởi mặt
phẳng ngang nhám. Bán kính quán tính của bánh xe đối với khối tâm G là 200k mm .
Lời giải
Sơ đồ vật thể tự do và sơ đồ khối lượng gia tốc cho bánh xe được thể hiện trong Hình (b).
Sơ đồ vật thể tự do: FBD bao gồm ngẫu lực tác dụng C0, trọng lực W =40(9.8)=392N, và lực pháp
tuyến và lực ma sát tác dụng tại điểm tiếp xúc C, được ký hiệu bởi NC và FC. Quan sát thấy rằng FC
được giả thiết hướng sang phải.

Sơ đồ khối lượng gia tốc: Trong MAD của bánh xe, gia tốc góc α, đo bằng rad/s2
, được giả thiết
cùng chiều kim đồng hồ. Ngẫu quán tính tương ứng được thể hiện trong sơ đồ đó là
Bởi vì bánh xe lăn không trượt, gia tốc của tâm O là aO =Rα =0.250α m/s2
, hướng sang
phải. Áp dụng quan hệ gia tốc giữa G và O, chúng ta thu được (đơn vị của mỗi số hạng là m/s2
)
từ đó chúng ta tìm được 2
0.250 0.480 /xa m s  và 2
0.120 /ya m s . Nhân các kết quả này
với m=40-kg, các thành phần của véc tơ quán tính trở thành  10 19.2xma N  , hướng sang
phải, và 4.8yma N , hướng xuống dưới.

FBD và MAD trong Hình (b) bây giờ chỉ chứa ba đại lượng chưa biết: NC, FC, và α, chúng có
thể được xác định bằng việc sử dụng ba phương trình chuyển động độc lập.
Bởi vì NC và FC tác dụng tại C, thật thuận tiện khi sử dụng một phương trình mô men đối
với C:
Giải phương trình này ta được
Bởi vì α là dương, chiều của nó cùng chiều kim đồng hồ, như đã giả thiết.
Các lực tại C bây giờ có thể được tìm từ các phương trình hình chiếu:
và
dẫn đến
Bởi vì các lực đều dương, chiều của nó như đã thể hiện trong FBD.

ĐỘNG LỰC HỌC
PHƢƠNG PHÁP CÔNG – NĂNG LƢỢNG
I. CÔNG CỦA LỰC VÀ NGẪU LỰC
1. Công của lực
 Định nghĩa
+ Công vi phân của lực F:
dU d F r
+ Công hữu hạn của lực F trên dịch chuyển từ vị trí 1 sang vị trí 2:
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
1 2 cos
s s
t
s s
x y z
x y z
x y z
U d F ds Fds
F dx F dy F dz
    
  
  
  
r
r
F r
 Công của một số lực thường gặp
 Công của lực hằng
 Công của trọng lực
 Công của lực hướng tâm
1 2U W h   
1 2U F d  
dr
r +dr
r

Nếu F = const thì
 1 2 2 1U F R R   
 Công của lực lò xo
trong đó δ1 và δ2 tương ứng là độ biến dạng của lò xo tại các vịtrí 1 và 2.
2. Công của ngẫu lực
 Công vi phân
dU d C θ
 Trường hợp đặc biệt (chuyển động phẳng):
C và dθ song song với nhau

2
1
1 2U Cd


  
II. ĐỘNG NĂNG
 Động năng của chất điểm
21
2
T mv
 Động năng của hệ chất điểm
2
1
1 2
R
R
U FdR  
Mặt phẳng của ngẫu

21
2
k kT m v 
 Động năng của vật rắn chuyển động tịnh tiến
21
2
T mv
 Động năng của vật rắn chuyển động quay quanh một trục cố định đi qua A
21
2
AT I 
 Động năng của vật rắn chuyển động phẳng tổng quát (chuyển động song phẳng)
2 21 1
2 2
T I mv 
III. PHƯƠNG PHÁP CÔNG – NĂNG LƯỢNG (CÔNG – ĐỘNG NĂNG) ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM
1 2 2 1U T T T    
 Vẽ FBD của chất điểm tại vị trí bất kz: thể hiện tất cả các lực tác dụng lên chất điểm
 Tính tổng công của các lực trên dịch chuyển của chất điểm từ vị trí 1 sang vị trí 2 (phản lực N nếu
cần xác định thường được tìm từ PT hình chiếu lên phương pháp tuyến của PT mF a).
 Tính động năng của chất điểm tại các vị trí 1 và 2
2 2
1 1 2 2
1 1
2 2
T mv T mv 
 Thay các đại lượng đã tính ở trên vào phương trình
1 2 2 1U T T  
 Giải các đại lượng được yêu cầu
BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Một vòng đai A khối lượng m = 1.8kg được thể hiện trong
hình (a) trượt trên thanh dẫn không ma sát. Thanh dẫn
nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Một sợi dây được gắn
vào A và được vòng qua một ròng rọc tại B. Lực P nằm

ngang không đổi được đặt vào cuối sợi dây. Vòng đai bắt đầu chuyển động từ trạng thái nghỉ ở vị
trí 1.
(1) Hãy xác định tốc độ của vòng đai ở vị trí 2 nếu P = 20N.
(2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P để vòng đai đi đến vị trí 2.
Lời giải
Thảo luận sơ bộ
Chúng ta được yêu cầu xác định sự thay đổi tốc độ của vòng đai giữa hai vị trí đã được chỉ rõ,
một nhiệm vụ rất phù hợp với phương pháp công – năng lượng.
FBD của vòng đai được biểu diễn trong hình (b).
Chỉ trọng lượng W của vòng đai và lực tác dụng T =P do
dây gây ra là sinh công. Phản lực pháp tuyến NA, vuông
góc với thanh dẫn (đường di chuyển của vòng đai), không
sinh công. Do đó, trong hình (b) NA được biểu diễn bằng
mũi tên đứt đoạn, để chỉ ra rằng nó không phải là một
phần của sơ đồ lực hoạt động (nhắc lại rằng sơ đồ lực
hoạt động có thể nhận được bằng cách xóa bỏ tất cả các
lực không sinh công từ FBD).
Công của W Công được thực hiện bởi trọng lượng W = mg của vòng đai có thể thu được từ
phương trình:
 1 2 WU mg h mgh      (1)
trong đó h là sự thay đổi cao độ đã được chỉ ra trong hình (a).
Công của P Lực P trong hình (b) là lực hướng tâm (nó luôn hướng về B) và có độ lớn không đổi.
Do đó, công của nó có thể được tính từ phương trình:
   
2
1
1 2 1 2
L
L
U P P dL P L L     (2)
trong đó L1 và L2 là các chiều dài được chỉ ra trong hình (a).

Phần 1
Ký hiệu tốc độ của vòng đai ở vị trí 2 là v2, chúng ta có T1 = 0 (vòng đai ở trạng thái nghỉ tại vị trí
1) và 2
2 2
1
2
T mv . Vậy nguyên lý công – năng lượng cho
1 2 2 1U T T  
2
1 2 2
1
( ) 0
2
mgh P L L mv     (3)
Công 1 2U  có được bằng cách cộng công của W và P trong các phương trình (1) và (2). Từ hình
(a), chúng ta có 0
2sin30 1.0h m  ,  
20 2
1 2cos30 2.5 3.041L m   , và 2 2.5 1.0 1.5L m   . Thay
các giá trị này, cùng với m = 1.8kg và P = 20N, vào phương trình (3), chúng ta nhận được
        2
2
1
1.8 9.81 1.0 20 3.401 1.5 1.8
2
v   
Suy ra
2 3.82 /v m s
Phần 2
Trong phần này của bài toán, vòng đai cũng ở trạng thái nghỉ ở vị trí 2, vì thế T1 = T2 = 0. Do đó,
bài toán trở thành tìm giá trị của P để 1 2 0U   , tức là
 1 2 0mgh P L L   
Suy ra
   
1 2
1.8 9.81 1.0
11.46
3.041 1.5
mgh
P N
L L
  
 
.
Chú ý
 Nếu giá trị cho trước của P trong phần 1 nhỏ hơn 11.46N, 1 2U  sẽ âm, dẫn đến một tốc độ
không có thật (căn bậc hai của một số âm) tại vị trí 2. Kết quả này chỉ ra rằng vòng đai
không thể đi đến vị trí 2.

 Nếu ma sát giữa vòng đai và thanh dẫn không được bỏ qua, chúng ta phải thêm lực ma sát
động k k AF N vào sơ đồ lực hoạt động trong hình (b). Bởi vì NA thay đổi theo tọa độ chỉ
vị trí x, Fk cũng sẽ phụ thuộc vào x. Do đó, sẽ cần phải tích phân để tính công của lực ma
sát. Và phương pháp công – năng lượng sẽ không thuận lợi hơn phương pháp FMA. Tuy
nhiên, với trường hợp lực pháp tuyến là hằng số, công của lực ma sát có thể nhận được
mà không cần tích phân (xem bài 7).
Bài 2
Như đã biểu diễn trong hình (a), khối hộp khối lượng m = 1.6kg được đặt trên một mặt phẳng
ngang và được nối với một lò xo l{ tưởng. Các hệ số ma sát tĩnh và động lực giữa khối hộp và
mặt phẳng được cho trong hình vẽ. Lò xo có độ cứng k =
30N/m và không biến dạng khi x = 0. Khối hộp được phóng
tại vị trí x = 0 với vận tốc 6m/s hướng sang phải. (1) Hãy
xác định giá trị của x khi khối hộp đến trạng thái nghỉ lần
đầu. (2) Hãy chỉ ra rằng khối hộp không giữ nguyên trạng
thái nghỉ ở vị ví đã tìm trong phần 1. (3) Hãy xác định tốc
độ của khối hộp khi nó tới vị trí x = 0 lần thứ hai.
Lời giải
Sử dụng pp Công – Năng lượng (Theo đề bài các đại lượng xuất hiện: tốc độ, vị trí, lực hằng, lực
lò xo)
Phần 1
Hình (b) biểu diễn FBD của khối hộp, với giả sử chuyển động
hướng sang phải. Trọng lượng mg = (1.6)(9.81) = 15.696N và
phản lực pháp tuyến NA được biểu diễn bằng các mũi tên
đứt đoạn, vì chúng không sinh công (các lực này vuông góc
với đường di chuyển của khối hộp). Tuy nhiên chúng ta phải
tìm NA, bởi vì nó xác định lực ma sát động lực Fk – thành
phần sinh công. Từ phương trình 0yF  , chúng ta có
15.696AN mg N  . Do đó   0.2 15.696 3.139k k AF N N   . Chú ý rằng kF là hằng số (NA là
hằng số), và vì nó ngược với chiều chuyển động, công của nó âm.
Vị trí lò xo không biến dạng

Còn một lực sinh công đó là lực lò xo P = kx (trong trường hợp này, dịch chuyển x của khối
hộp trùng với độ biến dạng của lò xo).
Áp dụng nguyên lý công – năng lượng giữa vị trí được phóng 1 và vị trí vật ở trạng thái
nghỉ 2, chúng ta có
1 2 2 1U T T  
 2 2 2 2
2 1 2 2 1
1 1 1
2 2 2
kk x x F x mv mv    
     
22
2 2
1 1
30 0 3.193 0 1.6 6
2 2
x x    
Hai nghiệm tìm được là 2 1.2850x m và 1.4942m . Vì vận tốc phóng hướng sang phải, chỉ có
nghiệm dương là có { nghĩa vật lý; tức là
2 1.2850x m
Phần 2
FBD của khối hộp ở vị trí 2 được biểu diễn trong hình (c). Lực lò
xo P = kx2 = (30)(1.2850) = 38.55N, có xu hướng kéo khối hộp
sang trái, bị chống lại bởi lực ma sát tĩnh Fs. Sự cân bằng ở vị trí
2 có thể xảy ra chỉ khi 38.55sF P N  . Lực ma sát lớn nhất có
thể là   ax 0.3 15.696 4.709m s AF N N   . Bởi vì axs mF F , sự cân bằng là không thể, và khối hộp
sẽ chuyển động sang trái.
Phần 3
Vị trí của khối hộp khi nó tới x = 0 lần thứ hai được ký hiệu là 3 trong hình (a). Để nhận được tốc
độ của khối hộp ở vị trí này, chúng ta áp dụng nguyên lý công – năng lượng giữa vị trí 1 và 3
(chọn vị trí 2 và 3 sẽ cho cùng một kết quả). Công của lực lò xo bằng không vì lò xo không biến
dạng tại cả hai vị trí. Công thực hiện bởi lực ma sát động lực là 2kF x khi khối hộp di chuyển từ 1
sang 2, và 2kF x giữa 2 và 3 (nhắc lại rằng công của lực ma sát luôn âm). Vậy tổng công của lực
ma sát là 22 kF x . Nguyên lý công – năng lượng trở thành

 
     
1 3 3 1
2 2
2 3 1
2 2
3
1
2
2
1
2 3.139 1.285 1.6 6
2
k
U T T
F x m v v
v
  
  
  
Giải phương trình này, ta nhận được
3 5.09 /v m s
Chú ý
Nếu v3 trở nên không tưởng (căn bậc hai của một số âm), chúng ta kết luận rằng khối hộp không
thể tới vi trí 3 vì nó sẽ đến trạng thái nghỉ tại vị trí giữa 2 và 3. Vị trí nghỉ này có thể được xác
định bằng một áp dụng khác nữa của nguyên lý công – năng lượng.
Bài 3
Vòng khuyên 2kg trong hình (a) trượt dọc theo thanh dẫn không ma sát. Độ dài tự nhiên của lò
xo nối với vòng khuyên là L0 = 1.2m, và độ cứng của nó là k = 60N/m. Nếu vòng khuyên di chyển
xuống với vận tốc 4 /Av m s khi nó ở A, hãy xác định vận tốc của vòng khuyên khi nó tới B.
Lời giải
Sử dụng pp Công – Năng lượng (Theo đề bài các đại lượng xuất hiện: tốc độ, vị trí, trọng lực, lực
lò xo)
FBD của vòng khuyên khi nó ở vị trí bất kz cách A một khoảng s như hình vẽ được biểu diễn
trong hình (b). Các lực tác dụng lên vòng khuyên là trọng lực W, lực lò xo F và phản lực pháp

tuyến N tác dụng bởi thanh dẫn. Chỉ W và F sinh công trên di chuyển của vòng khuyên; N không
sinh công vì nó vuông góc với đường di chuyển AB của vòng khuyên.
Công của W
Công của trọng lực là
    2 9.81 0 0.8 15.7A B A BU W z z N m         (1)
Công của F
Công thực hiện bởi lực lò xo
 2 21
2
A B B BU k      (2)
Đặt LA và LB là chiều dài của lò xo khi vòng khuyên ở A và B, tương ứng, độ biến dạng tương ứng
của lò xo là
2 2
0
0
0.6 0.8 1.2 0.2
2 1.2 0.8
A A
B B
L L m
L L m


      
    
Dấu âm chỉ ra rằng lò xo bị nén khi vòng khuyên ở A. Thay các giá trị của A và B vào phương
trình (2), chúng ta nhận được công của lực lò xo:
     
2 21
60 0.8 0.2 18
2
A BU N m
       
 
(3)
Tổng công của các lực trên di chuyển của vòng khuyên là
15.7 18 2.3 .A BU N m    

Áp dụng nguyên l{ công năng lượng giữa vị trí A và B, chúng ta có
 
  
 
 
2 2
2 2
1
2
2 9.811
2.3 4
2 9.81
A B B A B A
B
W
U T T v v
g
v
    
  
Vậy 3.7 /Bv m s
Chú ý
 Nếu phân tích dự đoán vB là không có thật (căn bậc hai của một số âm), chúng ta sẽ kết
luận rằng vòng khuyên đạt trạng thái nghỉ trước khi tới B.
Việc tìm được vB một cách dễ dàng chứng tỏ khả năng của phương pháp công – năng lượng
trong lời giải của một số bài toán. Xem xét kĩ FBD trong hình (b), ta thấy rằng liên hệ giữa lực lò
xo F và tọa độ vị trí s sẽ khá phức tạp. Như vậy nếu chúng ta dùng phương pháp FMA, vế trái của
phương trình chuyển động F ms  sẽ là một hàm phức tạp của s. Kết quả là tích phân phương
trình này sẽ rất khó. Tuy nhiên, sử dụng phương pháp công – năng lượng, chúng ta tránh được
sự khó khăn này bởi vì sự tích phân đã hình thành sẵn trong biểu thức rút ra từ nguyên lý công –
năng lượng.
Bài 4
Hình vẽ biểu diễn một vòng khuyên nặng 1kg trượt dọc thanh thẳng đứng không ma sát dưới tác
dụng của trọng lực và một lò xo l{ tưởng . Lò xo có độ cứng 160 N/m, và chiều dài tự nhiên là 0.9
m. Vòng khuyên được thả từ trạng thái nghỉ tại vị trí 1. Hãy sử dụng nguyên l{ bảo toàn cơ năng
để xác định tốc độ của vòng khuyên tại vị trí 2.
Mốc thế năng

Lời giải
Không cần vẽ sơ đồ vật thể tự do của vòng khuyên , chúng ta thấy rằng chỉ trọng lượng và lò xo
sinh công khi con chạy di chuyển dọc theo thanh . (Phản lực pháp tuyến giữa vòng khuyên v à
thanh không sinh công .) Bởi vìtrọng lực và lực lò xo đều bảo toàn , chúng ta giải bài toán bằng
cách dùng nguyên l{ bảo toàn cơ năng.
Thế năng hấp dẫn Để thuận tiện , ta lấy vịtrí 1 là mốc để tính thế năng , từ đường m ốc đó độ
cao h được xác định. Do đó,
       21 2
0 1 9.8 0.8 7.84N mg gV V Wh    
Thế năng đàn hồi Độ biến dạng của lò xo tại hai vị trí là
2 2
1
2
0.8 1 0.9 0.38m
1 0.9 0.1m


   
  
Do đó
    
    
22
11
22
22
1 1
160 0.38 11.552N m
2 2
1 1
160 0.10 0.8N m
2 2
e
e
V k
V k


   
   
Động năng Chú { rằng vòng khuyên nghỉ tại vị trí 1, động năng tại hai vịtrílà
 2 2 2
1 2 2 2 2
1 1
0 1 0.5
2 2
T T mv v v   
Sự bảo toàn cơ năng Cho năng lượng đầu và cuối bằng nhau, chúng ta được
       1 21 21 2
2
20 0 11.552 0.5 7.84 0.8
g e g eT V V T V V
v
    
    
Giải phương trình này ta có tốc độ của vòng khuyên tại vịtrí2
2 2.4m/sv 

IV. PHƯƠNG PHÁP CÔNG – NĂNG LƯỢNG (CÔNG – ĐỘNG NĂNG) ĐỐI VỚI HỆ CHẤT ĐIỂM
   1 2 1 2 intext
U U T   
trong đó
 1 2 ext
U  là tổng công của các ngoại lực.
 1 2 int
U  là tổng công của các nội lực.
2
1 1
1
2
n n
i i i
i i
T T m v
 
   .
Chú ý:
 Các vật nối trong cứng, chẳng hạn các dây không dãn, các bản lề, …, tổng công của các nội lực
bằng không.
 Các vật nối trong biến dạng (như lò xo) và các bề mặt có ma sát mà có sự trượt tương đối có
khả năng sinh công trên hệ.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1
Các khối hộp A và B được nối với nhau bởi một dây không dãn
vắt qua hai ròng rọc khối lượng không đáng kể , như biểu diễn
trong hình (a). Hê ̣số ma sát động giữa mă ̣t phẳng nghiêng và
khối A là 0.4. Nếu vâ ̣n tốc ban đầu của A là 3 m/s hướng xuống,
xác định dịch chuyển As của khối A (được đo từ vi ̣trí ban đầu
của nó) khi hê ̣đến tra ̣ng thái nghỉ.
Lờ i giải
Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp công – năng lượng để phân tích bài toán này , vì nó phù hợp để
xác định dịch chuyển xảy ra trong khi sự thay đổi tố c độđã cho trước. Xét FBD của toàn hê ̣trong
hình (b), chúng ta quan sát thấy rằng các lực sinh công là trọng lượng WA và WB của các khối hộp,
và lực ma sát FA dưới khối A. Các lực được biểu diễn bằng mũi tên đứt đoạn không sinh công.
1. Tính lực ma sát
Lực ma sát FA có thể được xác định bằng cách dùng FBD của khối A trong hình (c):

2. Động học
Xét hình (a), chúng ta thấy rằng ràng buộc động học bị áp đặt bởi
chiều dài dây cáp không đổi lên vị trí của các khối hộp là
constantA Bs s 
Do đó , các dịch chuyển ( As và Bs ) và các vận tốc của hai khối
hộp liên hê ̣với nhau bởi
2 0 2 0A B A Bs s v v      (b)
3. Nguyên lý công – năng lƣợng
Ký hiệu 1 và 2 cho vi ̣trí đầu và vi ̣trí cuối (nghỉ) của hệ. Áp dụng
nguyên lý công – năng lượng, phương trình (15.24), cho hê ̣, chúng ta
được
   1 2 1 2 2 1ext int
U U T T   
     
2 20
1 1
1
sin 20 0 0
2
A B
A A A A B B A B
W W
W s F s W s v v
g g
 
           
 
(c)
Thay các giá tri ̣đã biết và sử dụng phương trình (b), phương trình công – năng lượng trở thành
      
2
20
1
1
1 49 29.4 3
5 9.8 sin 20 18.42 3 9.8 3
2 2 9.8 9.8 2
A
A A
s
s s
     
         
     
Giải phương trình trên, ta được dich chuyển của khối A là
1.58mAs 
Chú ý
Bài toán này cũng có thể được giải bằng cách sử dụng hai phương trình công – năng lượng, mỗi
khối hộp một phương trình . Trong trường hợp đó , công được thực hiê ̣n bởi sứ c căng của dây sẽ
xuất hiê ̣n trong mỗi phương trình. Tuy nhiên, khi hai phương trình đó được cộng la ̣i, công của sứ c
căng sẽ bi ̣triê ̣t tiêu và chúng ta cũng sẽ kết thúc bài toán bằng phương trình (c).

Bài 5
Hai con cha ̣y A và B được biểu diễn trong hình (a) trượt dọc theo các thanh dẫn không ma sát ,
nằm cùng trong một mă ̣t phẳng thẳng đứ ng và hai thanh dẫn cách
nhau 1.2 m. Độ cứng của lò xo là k = 100 N/m, và chiều dài tự
nhiên của nó là L0 = 1.2 m. Nếu hê ̣được thả ra từ tra ̣ng thái nghỉ ta ̣i
vị trí như hình (a), nơi mà lò xo bị dãn tới chiều dài 1 1.8mL  , tính
tốc độlớn nhất hai con cha ̣y đa ̣t được.
Lờ i giải
Khi hê ̣được thả ra từ tra ̣ng thái nghỉ ta ̣i vi ̣trí như trong hình (a), vị trí mà chúng ta coi là vị trí 1,
sứ c căng trong lò xo kéo hai con cha ̣y về phía nhau . Bởi vì chiều dài tự nhiên của lò xo bằng với
khoảng cách giữa h ai thanh dẫn , lò xo sẽ không biến dạng khi A ở ngay trên B. Vị trí này , vị trí
mà chúng ta sẽ coi là vị trí 2, là vị trí mà tốc độ của các con chạy là lớn nhất . Sau khi qua vi ̣trí 2,
sứ c căng trong lò xo làm giảm tốc độ của các con chạy , cuối cùng dẫn chúng tới điểm dừ ng ta ̣m
thời. Sau đó chuyển động đổi chiều, hê ̣trở la ̣i vi ̣trí 1, vì hệ bảo toàn.
Chúng ta sẽ phân tích hệ gồm hai con chạy và lò xo . Hình (b) biểu diễn FBD của hê ̣ở vi ̣trí bất
kỳ. Các ngoại lực tác dụng lên hệ là trọng lượng của các con chạy , WA và WB, và các phản lực, NA
và NB, được tác dụng bởi thanh dẫn. Lực trong lò xo không xuất hiê ̣n trên FBD của hê ̣vì nó là nội
lực.
Từ FBD trong hình (b), chúng ta thấy rằng  1 2 ext
0U   vì các
ngoại lực vuông góc với đường di chuyển của các con chạy . Do đó ,
nguyên lý công – năng lượng, * phương trình (15.24), cho
   
 
1 2 1 2 2 1ext int
1 2 2int
0 0
U U T T
U T
 

  
  
Sử dụng phương trình (4.10) để tính  1 2 int
U  , công được thực hiê ̣n bởi lực lò xo , và nhận thấy
rằng động năng của hê ̣bằng tổng động năng của các con chạy, phương trình trên trở thành
     
2 22 2
2 1 2 2
1 1 1
2 2 2
A A B Bk m v m v    

Thay các giá tri ̣số – chú ý rằng độ biến dạng của lò xo là 1 1 0 1.8 1.2 0.6mL L      và 2 0  –
chúng ta được
         
2 2 2
2 2
1 1 1
100 0 0.6 12 8
2 2 2
A Bv v    
 
Phương trình này có thể được đơn giản hoá thành
   
2 2
2 2
6 4 18A Bv v  (a)
2. Phƣơng pháp Lực – Khối lƣợng – Gia tốc
Phương trình thứ hai thể hiê ̣n mối liên hê ̣giữa các vâ ̣n tốc cuối của A và B có thể thu được bằng
cách áp dụng phương trình chuyển động khối tâm của cơ hê ̣. Từ FBD của hê ̣trong hình (b), chúng
ta thấy rằng không có ngoa ̣i lực tác dụng theo phương x và vì ban đầu hệ đứng yên nên
   2 2
0
0
0
A A B B
A A B B
A A B B
m a m a
m v m v
m v m v


 
  
  
trong đó vâ ̣n tốc của các con cha ̣y đều được giả thiết là hướng sang phải . Thay các giá tri ̣khối
lượng, phương trình trên trở thành
   2 2
12 8 0A Bv v  (b)
Giải đồng thời các phương trình (a) và (b), tốc độlớn nhất của các con chạy là
 2
1.095m/sAv   và  2
1.643m/sBv  
Sự đối ngược về dấu trong các kết quả này chỉ ra rằng nếu con cha ̣y A di chuyển sang phải khi nó
qua vi ̣trí 2, thì con chạy B di chuyển sang phải, và ngược lại.

V. PHƯƠNG PHÁP CÔNG – NĂNG LƯỢNG ĐỐI VỚI VẬT RẮN VÀ HỆ VẬT RẮN
 Một vật rắn đơn lẻ
 1 2 2 1ext
U T T  
 Hệ các vật rắn được liên kết với nhau
   1 2 1 2 2 1ext int
U U T T   
 Nếu tất cả các nội lực và ngoại lực tác dụng lên hệ bảo toàn:
1 1 2 2T V T V  
Bài 1
Hình (a) thể hiện một ngẫu lực ngược chiều kim đồng hồ C(θ) tác dụng lên thanh đồng chất AB
nặng 1.5kg. Tính tổng công sinh ra trên thanh khi nó quay trong mặt phẳng thẳng đứng quanh A
từ θ =0 đến θ =1800
nếu
(1) C(θ) =4.9sinθ Nm.
(2) C(θ) biến đổi như trong Hình (b).
Lời giải
Tổng công sinh ra trên thanh là tổng công sinh ra bởi trọng lực W và ngẫu lực C(θ). Công sinh ra
bởi W có thể được tính toán từ (U1-2)W = – WΔh, với Δh là khoảng dịch chuyển lên bởi trọng tâm
của thanh giữa θ =0 (vị trí 1) và θ =1800
(vị trí 2). Bởi vì thanh là đồng chất, Δh =0.4 m, dẫn đến
(U1-2)W = – 1.5(9.8)(0.4) = – 5.9 Nm. Tính công của ngẫu lực C có phần phức tạp hơn, bởi vì độ lớn
của nó không phải hằng số.

Phần 1:
Công sinh ra bởi C(θ) khi thanh quay từ θ =0 đến θ =1800
(π-rad) là
Do đó, tổng công sinh ra trên thanh là
Phần 2:
Nhớ lại rằng công sinh ra bởi ngẫu lực bằng với diện tích bên dưới biểu đồ C-θ trong Hình
(b), chúng ta có
Và tổng công sinh ra trên thanh là
Bài 2
Thanh AB của cơ cấu trong Hình (a) đang quay ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc
không đổi ωAB=2.5rad/s. Tính động năng của cơ cấu khi nó có vị trí như hình vẽ. Khối
lượng trên một đơn vị dài của các thanh là 2kg/m.

Lời giải
Trước khi tính động năng của các thanh, chúng ta phải tính vận tốc góc của các thanh BC
và CD bằng động học, và tính mô men quán tính của mỗi thanh.
Phân tích động học:
Tâm tức thời của thanh BC, ký hiệu là O trong Hình (b), có vị trí là giao điểm của các
đường thẳng vuông góc với các véc tơ vận tốc của B và C. Bởi vì vB và vC vuông góc với AB
và CD tương ứng, điểm O là giao điểm của AB và CD. Gọi G là khối tâm của thanh BC,
chúng ta có thể tính các kích thước của tam giác OBC:
Các vận tốc góc của BC và CD bây giờ có thể được tìm
như sau:
1. Thanh AB quay quanh trục cố định qua A:
2. Thanh BC chuyển động phẳng tổng quát với O là
tâm vận tốc tức thời:

3. Thanh CD quay quanh trục cố định qua D:
Tính các mô men quán tính:
Khối lượng của các thanh là mAB=mBC=2(0.8)=1.6kg, và mCD=2(0.4)=0.8kg.
Động năng:
Động năng T của cơ cấu được tìm bằng việc cộng các động năng của ba thanh.

Bài 3
Thanh đồng chất AC nặng 20-kg trong Hình (a) quay trong mặt phẳng thẳng đứng quanh bản lề
tại B. Lò xo l{ tưởng AD có độ cứng k=15N/m và có chiều dài tự nhiên L0=2m. Khi thanh ở trạng
thái nghỉ tại vị trí θ=0, nó được kéo đến một dịch chuyển góc nhỏ và được thả ra. Tìm vận tốc
góc của thanh khi nó đến vị trí nằm ngang.
Lời giải
Bài toán này phù hợp để giải bằng phương pháp công – năng lượng bởi vì nó liên quan giữa sự
thay đổi vận tốc và vị trí. Bởi vì hệ là bảo toàn, có thể giải bằng nguyên lý công – năng lượng hoặc
nguyên lý bảo toàn năng lượng cơ học. Chúng ta sử dụng phương pháp thứ nhất; bạn có thể thử
sức theo phương pháp thứ hai.
Hình (b) thể hiện các vị trí đầu và cuối của thanh, ký hiệu là 1 và 2 tương ứng. Công được sinh ra
trên thanh bởi trọng lực của nó và bởi lò xo tuyến tính. Chú ý rằng khối tâm G của thanh di
chuyển xuống một đoạn là 0.5m giữa vị trí 1 và 2, nên công của trọng lực là

Từ Hình (b) chúng ta thấy rằng chiều dài của lò xo tại vị trí 1 là L1=1m, và tại vị trí 2 là
2 2
2 3 4 5L m   . Bởi vì chiều dài tự nhiên của lò xo là L0=2m, nên độ biến dạng tại vị trí đầu
và cuối của lò xo tương ứng là 1 1 0 1 2 1L L m       và 2 2 0 5 2 3L L m      . (Các dấu
thể hiện rằng lò xo bị nén tại vị trí đầu, và bị kéo tại vị trí cuối). Công sinh ra bởi lò xo trên thanh
là
Bởi vì điểm B là cố định, động năng của thanh có thể được tính từ công thức T=(1/2)IBω2
.
Sử dụng định lý trục song song, chúng ta tìm được
Từ các phương trình (a) và (b), và biết rằng thanh được thả ra từ trạng thái nghỉ (T1=0), nguyên lý
công – năng lượng trở thành

Dẫn đến
Bài 4
Hình (a) thể hiện một thanh mảnh, đồng chất AB có khối lượng m và chiều dài L. Khi thanh đứng
yên tại vị trí θ=0, nó được đẩy nhẹ và bắt đầu chuyển động. Xác định vận tốc góc và gia tốc góc
của thanh là hàm của góc θ. Bỏ qua ma sát và giả thiết rằng đầu A của thanh luôn tiếp xúc với
tường thẳng đứng.
Lời giải
Chúng ta sử dụng sự bảo toàn cơ năng để giải bài toán (trọng lực của thanh là lực duy nhất sinh
công). Một lời giải tương tự cũng có thể thu được bằng việc áp dụng nguyên lý công – năng
lượng.
Hình (b) thể hiện thanh ở vị trí được thả ra 1, và một vị trí bất kz 2 được xác định bởi góc
θ. Sử dụng mặt phẳng nằm ngang làm gốc thế năng, thế năng của thanh tại hai vị trí đó là

Động năng ban đầu của thanh rõ ràng T1=0, bởi vì thanh được thả ra từ trạng thái nghỉ,
động năng tại vị trí 2 có thể được tính toán bởi quan sát thấy rằng điểm O là tâm tức thời của
vận tốc của thanh (Điểm O có vị trí là giao điểm của các đường thẳng vuông góc với vận tốc của
các điểm đầu A và B). Sử dụng định lý trục song song, mô men quán tính khối lượng của thanh
đối với O là 2 2 2 2
( /12) ( / 2) / 3OI I md mL m L mL     . Do đó, động năng tại hai vị trí đó là
Bởi vì năng lượng cơ học được bảo toàn, nên chúng ta có
Thay phương trình (a) và (b) vào phương trình cuối, ta được

Từ đó, vận tốc góc của thanh tại vị trí 2 được tìm
Gia tốc góc của thanh có thể thu được bởi việc đạo hàm vận tốc góc ω theo thời gian, ta
có
Thay biểu thức đã tìm được ở trên với   , gia tốc góc của thanh là
Bài 5
Hình (a) thể hiện một cơ cấu tay quay – con trượt mà chịu tác dụng bởi ngẫu lực không đổi cùng
chiều kim đồng hồ M=0.5Nm. Tất cả các thành phần của cơ cấu đều đồng chất, với khối lượng
và kích thước đã được chỉ ra. Khi cơ cấu có vị trí như trong Hình (a), vận tốc góc của đĩa quay là
1 12 /rad s  cùng chiều kim đồng hồ. Xác định vận tốc góc của đĩa quay sau khi nó quay được
900
từ vị trí ban đầu đó. Bỏ qua ma sát và giả thiết rằng cơ cấu chuyển động trong mặt phẳng
thẳng đứng.

Lời giải
Lời giải của bài toán này phù hợp với phân tích công – năng lượng bởi vì nó liên quan đến sự
thay đổi vận tốc và vị trí. Rất thuận tiện khi phân tích toàn bộ cơ cấu, bởi nếu xét riêng từng vật
thì phải quan tâm đến công sinh ra tại các liên kết bản lề tại B và C. Vị trí đầu và cuối của cơ cấu,
ký hiệu là 1 và 2, được thể hiện trong Hình (b).
Phân tích động học:
Các bước được sử dụng trong phân tích động học mà kết quả được các vận tốc thể hiện trong
Hình (b) là
Vị trí 1
1. Bởi vì O là điểm cố định, vB =Rω1 =(0.1)(12) =1.2m/s
2. Nhận thấy rằng vB và vC nằm ngang, chúng ta kết luận rằng ωBC=0, nghĩa là thanh BC đang
tịnh tiến tức thời tại vị trí này.
3. Bởi vì thanh BC đang tịnh tiến, vận tốc của các điểm trên thanh là giống nhau. Do đó, vận
tốc của khối tâm của thanh BC là 1.2 /BCv m s .
Vị trí 2
1. Bởi vì O là điểm cố định, vB =Rω2 =0.1ω2 m/s (hướng xuống). Giả thiết rằng ω2 có chiều kim
đồng hồ.

2. Bởi vì vB thẳng đứng và quĩ đạo của C nằm ngang, chúng ta kết luận rằng C là tâm tức thời
của vận tốc của thanh BC, nghĩa là vC=0.
3. Bởi vì vC=0, chúng ta biết rằng ωBC= vB/LBC= (0.1ω2)/0.3= ω2/3 rad/s ngược chiều kim đồng
hồ, và vận tốc của khối tâm của BC là 2 2/2 0.1 /2 0.05BC Bv v    .
Động năng:
Động năng của toàn cơ cấu là tổng động năng của ba vật:
2 2 2 21 1 1 1
2 2 2 2A BC C
T I I mv mv
     
        
     
  (a)
Mô men quán tính khối lượng của đĩa A và thanh BC đối với khối tâm của chúng là
Vị trí 1: Thay giá trị của 1, , 12 / , 0A BC A BCI I rad s     , và 1.2 /BC Cv v m s  vào phương
trình (a), chúng ta thu được
dẫn đến
1 0.72 0.432 0.576 1.728T N m     (b)
Vị trí 2: Thay các giá trị 2 2 2, , , / 3, 0.05 , 0A BC A BC BC CI I v v        vào phương trình (a),
chúng ta tìm được

dẫn đến
 3 2
2 26 10T N m
   (c)
Chú ý rằng động năng của thanh BC tại vị trí 2 cũng có thể được tính từ công thức (1/2)ICω2
bởi vì
vC=0.
Tổng công:
       
     
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
0.5 0 0.6 9.81 0.05 0
2
A BC CM W W W
U U U U U       
 
    
 
 (d)
Áp dụng nguyên lý Công – Năng lượng:
1 2 2 1U T T  
 3 2
20.294 0.785 6 10 1.728
   
từ đó vận tốc góc tại vị trí cuối được tìm là

ĐỘNG LỰC HỌC
PHƢƠNG PHÁP XUNG LƢỢNG – ĐỘNG LƢỢNG
I. XUNG LƯỢNG CỦA LỰC
II. ĐỘNG LƯỢNG
III. PHƯƠNG PHÁP XUNG LƯỢNG – ĐỘNG LƯỢNG ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM
1. Phương pháp Xung lượng tuyến tính – Động lượng tuyến tính
1 2 2 1  L p p
2
1
2
1
2
1
2 1
2 1
2 1
t
x x x
t
t
y y y
t
t
z z z
t
F dt mv mv
F dt mv mv
F dt mv mv
 
 
 



 Vẽ các sơ đồ cần thiết:
+ FBD của chất điểm tại thời điểm bất kz: thể hiện tất cả các lực tác dụng lên chất điểm.
+ Sơ đồ động lượng của chất điểm tại thời điểm t1: thể hiện véc tơ mv1.
 Thiết lập một hệ trục tọa độ Đề các. Từ FBD tính các thành phần hình chiếu của xung lượng của
các lực tác dụng chất điểm trong khoảng thời gian từ t1 đến t2
 Viết các phương trình hình chiếu của nguyên l{ xung lượng – động lượng, trong đó các thành
phần hình chiếu của các véc tơ động lượng được xác định từ các sơ đồ động lượng.
 Giải tìm các đại lựợng được yêu cầu
2. Phương pháp Xung lượng góc – Động lượng góc
     1 2 2 1A A A
 A h h
với A là điểm cố định bất kz

2
1
2 2 1 1r F r v r v
t
t
dt m m    
Các PT hình chiếu:
     
     
     
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
Ax Ax Ax
Ay Ay Ay
Az Az Az
A h h
A h h
A h h



 
 
 
 Vẽ các sơ đồ cần thiết:
+ FBD của chất điểm tại thời điểm bất kz: thể hiện tất cả các lực tác dụng lên chất điểm
 Thiết lập một hệ trục tọa độ Đề các. Từ FBD, tính các thành phần hình chiếu của xung lượng góc
của các lực tác dụng chất điểm trong khoảng thời gian từ t1 đến t2.
 Từ hai sơ đồ động lượng, tính động lượng góc của chất điểm đối với các trục tọa độ tại hai thời
điểm t1 và t2.
 Thay các đại lượng đã tính được vào các phương trình hình chiếu của nguyên l{ xung lượng góc –
động lượng góc.
 Giải tìm các đại lượng được yêu cầu.
Bài 1
Tại thời điểm t = 0, vận tốc của chất điểm khối lượng 0.5kg trong hình
(a) là 10m/s hướng sang phải. Ngoài trọng lượng của nó (mặt phẳng
xy thẳng đứng), chất điểm còn chịu tác dụng bởi lực P(t). Hướng của
P(t) không đổi trong suốt quá trình chuyển động, nhưng độ lớn của nó
thay đổi theo thời gian như biểu diễn trong hình (b). Hãy tính vận tốc
của chất điểm khi t = 4s.

Lời giải
Phương pháp xung lượng – động lượng là phương pháp trực tiếp nhất để giải bài toán này vì (1)
phương pháp xung lượng – động lượng liên quan trực tiếp đến sự thay đổi động lượng (vận tốc)
trong một khoảng thời gian, và (2) xung lượng của lực có thể tính được một cách dễ dàng.
Các sơ đồ cần thiết để giải bài toán này bằng phương pháp xung lượng – động lượng
được biểu diễn trong các hình (c) – (e), các chỉ số dưới 1 và 2 tương ứng với t = 0 và 4s. FBD của
chất điểm tại thời điểm t bất kz được biểu diễn trong hình (c). Hình (d) biểu diễn sơ đồ động
lượng khi t = 0, trong đó p1 = mv1 = 0.5(10)I = 5i N.s. Sơ đồ động lượng khi t = 4s được biểu diễn
trong hình (e), trong đó các thành phần của mv2 được vẽ theo các hướng dương của các trục tọa
độ.
Xung lượng của trọng lực Vì trọng lực là một lực hằng, các thành phần xung lượng của nó dễ
dàng tính được từ phương trình (4.35):
 
    
1 2
1 2
0
0.5 9.81 4 19.620
x
y
L
L mg t N s



       
(a)
Xung lượng của P(t)Diện tích dưới sơ đồ P-t trong hình (b) giữa 0 và 4s là
     5 2 4 1 2 1 16 N s    . Vì hướng của P(t) là không đổi, các thành phần xung lượng của nó là
 
 
0
1 2
0
1 2
16cos60 8.0
16sin60 13.865
x
y
L N s
L N s


  
  
(b)
Thay các phương trình (a) và (b) vào nguyên l{ xung lượng – động lượng, phương trình
(4.40), chúng ta nhận được
(c) FBD tại thời điểm t (d) sơ đồ động lượng (t = 0) (e) sơ đồ động lượng (t = 4s)

Các phương trình này cho
 
 
2
2
26.00 /
11.53 /
x
y
v m s
v m s

 
Véc tơ vận tốc tại thời điểm t = 4s được biểu diễn dưới đây
Bài 2
Phần thẳng của một ván trượt tuyết nghiêng một góc 600
so với phương ngang. Sau khi rời vị trí
xuất phát với vận tốc không đáng kể, người trượt tuyết nặng 50kg đạt được tốc độ 25m/s trong
3.5s. Hãy xác định hệ số ma sát động giữa ván trượt và đường trượt. Bỏ qua sức cản không khí.
Lời giải
Sử dụng pp Xung lượng – Động lượng (Thông tin, yêu cầu từ đề bài liên
quan đến: tốc độ, khoảng thời gian,lực)
Từ FBD của người trượt tuyết trong hình vẽ, chúng ta có được
Để nhận được lực ma sát F, chúng ta áp dụng nguyên l{ xung lượng – động lượng theo phương
x. Chú ý rằng trọng lượng của người trượt tuyết và lực ma sát F là hằng số, nguyên l{ xung lượng
– động lượng cho

Do đó, hệ số ma sát động là
67.2
0.274
245
k
F
N
   
Bài 3
Một cái bàn tròn trong hình (a) đang quay với tốc độ góc không
đổi 20 /rad s  quanh trục-z thẳng đứng. Một khối hộp B khối
lượng m được đặt lên cái bàn đang quay với vận tốc đầu bằng 0
và dây AB căng. Nếu khối hộp trượt trong 3.11s trước khi đạt tới
tốc độ của bàn, hãy xác định hệ số ma sát giữa khối hộp và bàn.
Lời giải
Áp dụng pp Xung lượng góc – Động lượng góc đối với trục z để giải bài toán.
FBD của khối hộp được thể hiện trong hình (b). Sức căng T của đây đi qua trục-
z, trong khi trọng lượng W và phản lực pháp tuyến N song song với trục-z. Do
đó, momen của các lực này đối với trục z bằng không. Momen của lực ma sát
động F đối với trục z là  z kM N R . Thay N = mg (có thể thu được từ
phương trình 0zF  ), chúng ta có
z kM mgR
Nếu chúng ta đặt t1 = 0 là thời điểm khối hộp được đặt lên bàn, thì t2 =3.11s là thời điểm
khối hộp không trượt so với bàn. Bởi vì Mz là hằng số, xung lượng góc của lực ma sát với trục z
trong thời gian trượt là
Sự thay đổi tương ứng của động lượng góc của khối hộp đối với trục z là
trong đó chúng ta đã thay v R  . Áp dụng nguyên l{ xung lượng góc – động lượng góc đối với
trục z, chúng ta có

      2 2
21 2 2 1z z z kA h h mgRt mR 
   
Từ phương trình này, chúng ta tìm được hệ số ma sát động
  
  2
0.5 20
0.328
9.81 3.11
k
R
gt

   

.
Bài 4
Chất điểm khối lượng m = 0.3kg trong hình (a) di chuyển trên một
mặt phẳng ngang không ma sát. Một đầu của lò xo tuyến tính
được gắn với chất điểm, và đầu kia được gắn vào điểm cố định O.
Nếu chất điểm được phóng đi từ A với vận tốc v1 như đã chỉ ra
trên hình, hãy xác định độ cứng k của lò xo nếu khoảng cách lớn
nhất giữa chất điểm và điểm O là 400mm. Lò xo không biến dạng
khi chất điểm ở A.
Lời giải
Sơ đồ trong hình (b) biểu diễn các véc tơ động lượng mv1 và mv2 khi chất điểm ở vị trí A và B
tương ứng. Điểm B là vị trí của chất điểm khi độ dại của lò xo bằng với giá trị lớn nhất của nó L2
400 mm. Chú ý rằng hướng của v2 tiếp tuyến với đường cong quỹ đạo của chất điểm; nói cách
khác, véc tơ vận tốc v2 vuông góc với lò xo.
Vì lực lò xo luôn hướng về điểm O, động lượng góc bảo toàn. Xét các véc tơ động lượng
trong hình (b), và nhắc lại rằng động lượng góc bằng momen của động lượng tuyến tính (
Oh mvd ), chúng ta có
Từ phương trình này chúng ta giải tìm được
 00
1 1
2
2
2cos60 200cos60
0.500 /
400
v L
v m s
L
  
Mặt phẳng ngang
(a)
(b) Sơ đồ động lượng

Vì lực lò xo bảo toàn, cơ năng của chất điểm được bảo toàn:
1 1 2 2T V T V  
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
mv k mv k   
trong đó 1 và 2 là độ biến dạng của lò xo khi chất điểm ở A và B tương ứng. Thay
1 2 2 10, 200mm 0.200mL L      , và thay các giá trị của m, v1 và v2, chúng ta có
       
2 2 21 1 1
0.3 2 0 0.3 0.500 0.200
2 2 2
k  
Từ phương trình này chúng ta tìm được
k = 28.1 N/m
IV. PHƯƠNG PHÁP XUNG LƯỢNG – ĐỘNG LƯỢNG ĐỐI VỚI HỆ CHẤT ĐIỂM
Bài 1
Hai con cha ̣y A và B được biểu diễn trong hình (a) trượt dọc theo các thanh dẫn không ma sát ,
nằm cùng trong một mă ̣t phẳng thẳng đứ ng và hai thanh dẫn cách
nhau 1.2 m. Độ cứng của lò xo là k = 100 N/m, và chiều dài tự
nhiên của nó là L0 = 1.2 m. Nếu hê ̣được thả ra từ tra ̣ng thái nghỉ ta ̣i
vị trí như hình (a), nơi mà lò xo bi ̣dãn tới chiều dài 1 1.8mL  , tính
tốc độlớn nhất hai con cha ̣y đa ̣t được.
Lờ i giải
Khi hê ̣được thả ra từ t rạng thái nghỉ tại vị trí như trong hình (a), vị trí mà chúng ta coi là vị trí 1,
sứ c căng trong lò xo kéo hai con cha ̣y về phía nhau . Bởi vì chiều dài tự nhiên của lò xo bằng với
khoảng cách giữa hai thanh dẫn , lò xo sẽ k hông biến da ̣ng khi A ở ngay trên B. Vị trí này , vị trí
mà chúng ta sẽ coi là vị trí 2, là vị trí mà tốc độ của các con chạy là lớn nhất . Sau khi qua vi ̣trí 2,
sứ c căng trong lò xo làm giảm tốc độcủa các con cha ̣y , cuối cùng dẫn chúng tới điểm dừng tạm
thời. Sau đó chuyển động đổi chiều, hê ̣trở la ̣i vi ̣trí 1, vì hệ bảo toàn.

Chúng ta sẽ phân tích hệ gồm hai con chạy và lò xo . Hình (b) biểu diễn FBD của hê ̣ở vi ̣trí bất
kỳ. Các ngoại lực tác dụng lên hệ là trọng lượng của các con chạy , WA và WB, và các phản lực, NA
và NB, được tác dụng bởi thanh dẫn. Lực trong lò xo không xuất hiê ̣n trên FBD của hê ̣vì nó là nôi
lực.
Từ FBD trong hình (b), chúng ta thấy rằng  1 2 ext
0U   vì các
ngoại lực vuông góc với đường di chuyển của các con chạy . Do đó ,
nguyên lý công – năng lượng, * phương trình (15.24), cho
   
 
1 2 1 2 2 1ext int
1 2 2int
0 0
U U T T
U T
 

  
  
Sử dụng phương trình (4.10) để tính  1 2 int
U  , công được thực hiê ̣n bởi lực lò xo , và nhận thấy
rằng động năng của hê ̣bằng tổng động năng của các con chạy, phương trình trên trở thành
     
2 22 2
2 1 2 2
1 1 1
2 2 2
A A B Bk m v m v    
Thay các giá tri ̣số – chú ý rằng độ biến dạng của lò xo là 1 1 0 1.8 1.2 0.6mL L      và 2 0  –
chúng ta được
         
2 2 2
2 2
1 1 1
100 0 0.6 12 8
2 2 2
A Bv v    
 
Phương trình này có thể được đơn giản hoá thành
   
2 2
2 2
6 4 18A Bv v  (a)
2. Nguyên lý xung lƣợng – đô ̣ng lƣợng
Phương trình thứ hai thể hiê ̣n mối liên hê ̣giữa các vâ ̣n tốc cuối của A và B có thể thu được bằng
cách áp dụng nguyên lý xung lượng – động lượng cho cơ hê ̣ . Từ FBD của hê ̣trong hình (b),
chúng ta thấy rằng không có ngoại lực tác dụng theo phương x. Do đó , động lượng của hê ̣được
bảo toàn theo phương x. ( Sự thay đổi động lượng của hê ̣theo phương thẳng đứ ng cũng bằng
không, nhưng điều đó không cần quan tâm ở đây .) Vì động lượng theo phương x tại vị trí 1 bằng
không, nó cũng phải bằng không tại vị trí 2. Tính động lượng của hê ̣bằng cách cộng động lượng
của các con chạy, ta có

     2 2 2
0x A A B Bp m v m v
   
trong đó vâ ̣n tốc của các con cha ̣y đều được giả thiết là hướng sang phải . Thay các giá tri ̣khối
lượng, phương trình trên trở thành
   2 2
12 8 0A Bv v  (b)
Giải đồng thời các phương trình (a) và (b), tốc độlớn nhất của các con cha ̣y là
 2
1.095m/sAv   và  2
1.643m/sBv  
Sự đối ngược về dấu trong các kết quả này chỉ ra rằng nếu co n cha ̣y A di chuyển sang phải khi nó
qua vi ̣trí 2, thì con chạy B di chuyển sang phải, và ngược lại.
Bài 2
Khối A nă ̣ng 12kg trong hình (a) được thả ra từ tra ̣ng thái nghỉ ta ̣i đỉnh của vâ ̣t hình nêm B nă ̣ng
2kg (vị trí 1). Xác định vận tốc của A và B khi khối A tới vi ̣trí thấp nhất trên mă ̣t nghiêng của B
như được biểu diễn trong hình (b) (vị trí 2). Bỏ qua ma sát.
Lờ i giải
Lời giải của chúng ta gồm các bước sau (áp dụng cho hê ̣gồm khối A và vật hình nêm B)
Bƣớ c 1: Áp dụng nguyên lý bảo toàn cơ năng.
Bƣớ c 2: Áp dụng nguyên lý bảo toàn động lượng tuyến
tính theo phương x.
Bƣớ c 3: Sử dụng động học xác đi ̣nh liên hê ̣vâ ̣n tốc của A
và B.
Bƣớ c 4: Giải các phương trình nhận được từ bước 1 đến
bước 3.
Thứ tự các bước từ 1 đến 3 như đã nêu trên là không quan trọng .
Các hướng giả thiết cho các vận tốc của A và B tại vị trí 2 được
thể hiê ̣n trong hình (b). FBD của hê ̣ta ̣i vi ̣trí bất kỳ được biểu diễn
trong hình (c).
Bƣớ c 1: Sƣ̣bảo toàn cơ năng
(a) Vị trí 1
(b) Vị trí 2

Vì ma sát được bỏ qua, lực duy nhất sinh công trên di ̣ch chuyển của cơ hê ̣từ vi ̣trí 1 đến vị trí 2 là
trọng lượng của A. Điều này có nghĩa là cơ hê ̣bảo toàn . Chọn mặt phẳng ngang làm mốc để tính
thế năng Vg, như đã chỉ ra trong hình (c), nguyên lý bảo toàn cơ năng, * phương trình (15.26), cho
   
1 1 2 2
2 2
2 2
1 1
0 0
2 2
A A A B B
V T V T
m gh m v m v
  
   
Chú ý rằng 1 0T  và 2 0V  . Thay các giá tri ̣số , phương trình này trở
thành
        
2 2
2 2
1 1
12 9.81 0.4 12 2
2 2
A Bv v 
Hay
   
2 2
2 2
6 47.09A Bv v  (a)
Bƣớ c 2: Sƣ̣bảo toàn đô ̣ng lƣợng tuyến tính theo phƣơng x
Từ FBD trong hình (c) chúng ta thấy rằng không có lực tác dụng lên hệ theo phương x. Do đó ,
thành phần theo phương x của động lượng của hệ bảo toàn. (Các phản lực tác dụng giữa A và B có
thành phần -x, nhưng các lực này là nội lực của hê ̣.) Vì thành phần-x của động lượng của hệ tại vị
trí 1 bằng không, nên thành phần-x của động lượng của hệ tại vị trí 2 cũng bằng không. Sử dụng
các vận tốc đã được biểu diễn trong hình (b), chúng ta nhận được
     2 2 2
0x A Ax B Bp m v m v
   
Thay các giá tri ̣của mA và mB, chúng ta có
   2 2
12 2 0Ax Bv v  (b)
Bƣớ c 3: Sƣ̉ dụng đô ̣ng ho ̣c xác đi ̣nh liên hê ̣vâ ̣n tốc của A và B
Vâ ̣n tốc của A và B phải thoả mãn phương trình vận tốc tương đối /A A B B v v v . Ràng buộc động
học là /A Bv hướng dọc theo mă ̣t phẳng nghiêng của B. Giả thiết rằng /A Bv hướng xuống theo mă ̣t
phẳng nghiêng, chúng ta có
Mốc thế
năng

Sử dụng các vâ ̣n tốc đã được biểu diễn trong hình (b), phương trình vâ ̣n tốc tương đối cho vi ̣trí 2
là
     
         
/2 2 2
0 0
/ /2 2 2 22
cos30 sin30
A A B B
Ax Ay A B A B Bv v v v v
 
   
v v v
i j i j i
Cân bằng các thành phần véc tơ ta được hai phương trình vô hướng:
     0
/2 2 2
cos30Ax A B Bv v v  (c)
    0
/ 22
sin30Ay A Bv v  (d)
Bƣớ c 4: Giải các phƣơng trình nhận đƣợc tƣ̀ bƣớ c 1 đến bƣớc 3
Xem xét các phương trình từ (a) đến (d) ta thấy rằng bốn phương trình chứ a bốn ẩn :
       /2 2 22
, , ,Ax Ay B A Bv v v v . Bỏ qua chi tiết của các bước giải, ta có kết quả là
   
   
2 2
/2 2
0.58m/s 2.34m/s
3.48m/s 4.69m/s
Ax Ay
B A B
v v
v v
  
 
Vì dấu của  2Ayv là âm, chiều của nó ngược với chiều đã giả thiết trên hình (b).
Tốc độcủa A tại vị trí 2 là
         
22 2 2
2 2 2
0.580 2.34 2.41m/sA Ax Ayv v v    
Bài 3
Một bộlắp ráp được thể hiê ̣n trong hình (a) gồm hai quả cầu nhỏ , mỗi quả cầu có khối lượng m,
trượt trên khung AOB cứ ng, không ma sát , khối lượng không đáng kể . Ổ đỡ tại O cho phép sự
quay tự do của khung quanh trục z. Ban đầu khung đang quay với vâ ̣n tốc góc 1 trong khi các
dây giữ các quả cầu ở khoảng cách R1. Sau đó , các dây bị cắt đồng thời , cho phép các quả cầu
trượt về phía các vâ ̣t chắn ta ̣i A và B, các vật chắn cách trục z một khoảng R2. Xác định 2 , vâ ̣n
tốc góc cuối của cơ cấu, giả thiết rằng các quả cầu không bật lại sau khi chạm vật chắn.

Hướng dẫn giải bài tập Cơ Kỹ Thuật 2 - Phần Động Lực Học - TNUT

Hướng dẫn giải bài tập Cơ Kỹ Thuật 2 - Phần Động Lực Học - TNUT

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Hướng dẫn giải bài tập Cơ Kỹ Thuật 2 - Phần Động Lực Học - TNUT

Similaire à Hướng dẫn giải bài tập Cơ Kỹ Thuật 2 - Phần Động Lực Học - TNUT (20)

Plus de Minh Đức Nguyễn

Plus de Minh Đức Nguyễn (9)

Hướng dẫn giải bài tập Cơ Kỹ Thuật 2 - Phần Động Lực Học - TNUT