1
ُ‫ترنسأ‬
:ُ‫أ‬‫جند‬‫فٗجاغٕزع‬َ‫ٔو‬‫الصأٖة‬‫الكائي‬‫املجمح‬‫فى‬
( ُ‫فإ‬h)‫جـ‬
2
(=h)‫ب‬
2
)‫جـ‬‫ب‬( +
2
،)‫جـ‬‫ب‬(
2
(=h)‫جـ‬
2
–(h)‫ب‬
2
( ،h)‫ب‬
2
(=h)‫جـ‬
2
–)‫جـ‬‫ب‬(
2
‫املكابن‬‫الػهن‬‫فى‬:
1)‫جـ‬‫جا‬=
‫وكابن‬
‫ٔتس‬
=
‫ب‬ h
‫جـ‬ h
2)‫جتا‬‫جـ‬=
‫دلأز‬
‫ٔتس‬
=
‫جـ‬ ‫ب‬
‫جـ‬ h
3)‫جـ‬‫ظا‬=
‫وكابن‬
‫دلأز‬
=
‫ب‬ h
‫جـ‬ ‫ب‬
: ‫أنىن‬1)‫جا‬‫ع‬=.....................
2)‫جتا‬‫ع‬=.....................
3)‫ظا‬‫ع‬=.....................
4‫جا‬ )‫ع‬..................... =
5‫جتا‬ )‫ع‬..................... =‫ظا‬‫ع‬..................... =
‫ج‬ ‫ب‬
h
h
‫ب‬‫ج‬
‫ٔتس‬
‫وكابن‬
‫دلأز‬
‫ع‬
‫ص‬‫غ‬
ٓ‫احلاد‬ْٖٔ‫لمصا‬‫لمصأٖة‬‫املجمجٗة‬‫الٍطب‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

2
‫جـ‬‫ب‬=(10)2
-(6)2
=100-36=8
‫جـ‬‫جا‬=
6
10
=
3
5
=‫جـ‬‫جتا‬
8
10
=
4
5
=‫جـ‬‫ظا‬
6
8
=
3
4
:ْ‫ِاو‬ ْ‫ومخٕظ‬ْٖٔ‫الصا‬‫قائي‬‫وجمح‬‫أى‬‫فى‬= ‫ع‬‫ظا‬
‫جاع‬
‫جتاع‬
ُ‫نا‬‫إذا‬‫جا‬‫ع‬=
2
7
= ‫ع‬ ‫جتا‬ ،
5
8
ُ‫فإ‬=‫ع‬‫ظا‬
2
5
:‫املكابن‬‫الػهن‬َ‫و‬‫أنىن‬
1)h‫جـ‬( =4)2
( +3)2
=16+9=25=5
2)‫جا‬h=....................
3)‫جتا‬h.................... =
4)‫ظا‬h=.....................
5)‫جـ‬‫جا‬................... =
6)‫جتا‬‫جـ‬=....................7)‫ظا‬‫جـ‬=....................
‫وجاه‬1‫جـ‬‫جا‬ ‫أٔجد‬‫املكابن‬‫الػهن‬‫فى‬‫جـ‬‫ظا‬ ، ‫جـ‬‫جتا‬ ،
‫احلـــــــــــــــــــــن‬
6‫ضي‬
10‫ضي‬
h
‫ب‬‫ج‬
h
‫ب‬‫ج‬
3
4‫ضي‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

3
‫فٗجاغٕزع‬َ‫و‬‫جـ‬‫جتا‬=
15
25
=
3
5
‫جـ‬‫ب‬=(20)2
( +15)2
=400+225=25‫ب‬‫جتا‬=
20
25
=
4
5
‫ب‬‫جتا‬‫جـ‬‫جتا‬–‫ب‬‫جا‬‫جـ‬‫جا‬=
3
5
×
4
5
–
4
5
×
3
5
‫جـ‬‫جا‬=
20
25
=
4
5
=
12
25
-
12
25
‫صفس‬ =‫ب‬‫جا‬=
15
25
=
3
5
5‫ظا‬h+1=13
5‫ظا‬h=13-1
5‫ظا‬h=12‫ظا‬h=
12
5
h‫جـ‬=(12)2
( +5)2
=144+25=169=13‫جا‬h=
12
13
‫جا‬h‫جتا‬ + ‫جـ‬‫جتا‬h‫جـ‬‫جا‬=
12
13
×
12
13
+
5
13
×
5
13
‫جـ‬‫جتا‬=
12
13
=
144
169
+
25
169
‫جتا‬h=
12
13
=
169
169
=1‫جـ‬‫جا‬=
12
13
5=‫جتاع‬3=‫ع‬‫جتا‬
3
5
،=‫ع‬‫ص‬25-9=4
‫جا‬2‫جا‬+‫ع‬2=‫ع‬
‫وجاه‬2‫املكابن‬‫الػهن‬‫فى‬h‫فٗة‬‫وجمح‬‫جـ‬‫ب‬r(h=)90°
‫ب‬‫جتا‬‫جـ‬‫جتا‬ ُ‫أ‬‫أثبت‬–‫صفس‬=‫ب‬‫جا‬‫جـ‬‫جا‬‫احلــــــــــن‬
h
‫ب‬‫ج‬
2015‫ض‬
‫وجاه‬3hْٗ‫ف‬‫وجمح‬ ‫جـ‬‫ب‬r(‫ب‬)=90°
،5‫ظا‬h+1=13‫جا‬ ‫قٗىة‬‫أحطب‬h‫جتا‬ + ‫جـ‬‫جتا‬h‫جـ‬ ‫جا‬
h ‫ب‬
‫ج‬
5‫ضي‬
12‫ضي‬
‫وجاه‬4‫فى‬‫الصأٖة‬‫قائي‬‫ع‬‫ص‬‫ع‬‫ص‬،5‫ع‬‫جتا‬–3=0‫أٔجد‬‫جا‬
2
‫جا‬+‫ع‬
2
‫ع‬‫احلــــــــــن‬
‫ص‬‫ع‬
‫ع‬
3
5
4
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

4
h‫ء‬=225-81=12
‫ء‬‫ب‬=169-144=5
(‫ظا‬‫جـ‬h=) ‫ء‬
9
12
(‫ظا‬ ،‫ب‬h=) ‫ء‬
5
12
5
12
9
12
5
12
–
9
12
=
( ‫ء‬ h ‫ب‬ ) ‫ظا‬ ( ‫ء‬ h ‫جـ‬ ) ‫ظا‬
( ‫ء‬ h ‫ب‬ ) ‫ظا‬ ( ‫ء‬ h ‫جـ‬ ) ‫ظا‬
=
7
2
‫ٌسضي‬‫العىن‬h‫جـ‬،ٔ‫ء‬‫جـ‬‫ب‬=‫جـ‬‫ء‬16+9=5
،(‫جتا‬=)‫ب‬‫جـ‬‫ء‬
4
5
،(‫ظا‬h=)‫ب‬‫جـ‬
3
10
(‫جتا‬)‫ب‬‫جـ‬‫ء‬-(‫ظا‬h)‫ب‬‫جـ‬=
4
5
-
3
10
=
1
2
‫تدزٖب‬2ْٗ‫ف‬ ‫ع‬‫ص‬‫ع‬r()‫ص‬=90
°
،2‫ع‬‫جتا‬–1‫جا‬ ‫أٔجد‬ ‫صفس‬=
2
‫جتا‬+‫ع‬
2
‫ع‬‫احلـــ‬‫ـن‬
‫وجاه‬5‫قٗىة‬‫أٔجد‬:‫املكابن‬‫الػهن‬‫فى‬
( ‫ء‬ h ‫ب‬ ) ‫ظا‬ ( ‫ء‬ h ‫جـ‬ ) ‫ظا‬
( ‫ء‬ h ‫ب‬ ) ‫ظا‬ ( ‫ء‬ h ‫جـ‬ ) ‫ظا‬
‫احلــــــــــن‬
h
‫ب‬‫جـ‬ ‫ء‬
13‫ض‬
9‫ضي‬
15‫ض‬
‫وجاه‬6hْٗ‫ف‬‫وٍخسف‬‫غبة‬‫ء‬‫جـ‬‫ب‬h‫ء‬//، ‫جـ‬‫ب‬r)‫ب‬ (=90°ُ‫نا‬‫فإذا‬،h=‫ب‬3، ‫ضي‬
h=‫ء‬6=‫جـ‬‫ب‬ ، ‫ضي‬10. ‫ضي‬)‫ب‬‫جـ‬‫ء‬ (‫جتا‬ُ‫أ‬‫أثبت‬–(‫ظا‬h)‫ب‬‫جـ‬‫احلـــــــن‬
h
‫ب‬‫جـ‬
‫ء‬
3‫ض‬
ٔ
6‫ض‬
4‫ضي‬ 6‫ض‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

5
h= ‫ب‬h، ‫جـ‬h= ‫جـ‬ ‫ء‬ = ‫ء‬‫ب‬ ‫جـ‬‫ب‬ ‫ء‬6‫ضي‬
‫املجمح‬‫فى‬h‫جـ‬‫ء‬h= ‫ء‬100-36=64=8
= ‫جـ‬‫جا‬
8
10
=
4
5
= ‫جـ‬‫جتا‬ ،
6
10
=
3
5
‫جا‬
2
‫جـ‬‫جتا‬+
2
‫جـ‬=(
4
5
)
2
+(
3
5
)
2
=
16
25
+
9
25
=
25
25
=1
= ‫ب‬‫جا‬ ‫ء‬‫ب‬‫أ‬ ‫املجمح‬‫فى‬ً‫ا‬ٌٗ‫ثا‬
8
10
=
4
5
‫جـ‬‫جتا‬ + ‫ب‬‫جا‬=
4
5
+
3
5
=
7
5
‫جـ‬‫جتا‬ + ‫ب‬‫جا‬1
=‫جـ‬‫ظا‬
3
4
‫وكابن‬
‫دلأز‬
=
3
4
6
‫جـ‬ ‫ب‬
=
3
4
= ‫جـ‬‫ب‬
4 6
3
=8
‫فٗجاغٕزع‬َ‫و‬h= ‫جـ‬82
+62
=64+36=100=10
‫جا‬h‫جتا‬ +h=
8
10
+
6
10
=
14
10
=
7
5
‫وجاه‬7h:ْٗ‫ف‬‫وجمح‬ ‫جـ‬‫ب‬h= ‫ب‬h= ‫جـ‬10= ‫جـ‬‫ب‬ ، ‫ضي‬12، ‫ضي‬hُ‫أ‬‫أثبت‬ ‫جـ‬‫ب‬ ‫ء‬
1)‫جا‬
2
‫جـ‬‫جتا‬+
2
= ‫جـ‬12‫جـ‬‫جتا‬ + ‫ب‬‫جا‬ )1‫احلـــــــن‬
h
‫ب‬
‫جـ‬ ‫ء‬
10‫ض‬
10‫ض‬
6‫ض‬ 6‫ض‬
‫وجاه‬8h‫ب‬‫فى‬ْٖٔ‫الصا‬‫قائي‬‫وجمح‬ ‫جـ‬‫ب‬،h= ‫ب‬6=‫جـ‬‫ظا‬ ، ‫ضي‬
3
4
‫أٔجد‬
1)، ‫جـ‬‫ب‬ َ‫و‬‫نن‬‫طٕه‬h‫جـ‬2‫جا‬ )h‫جتا‬ +h‫احلـــــــن‬
‫ب‬‫جـ‬
h
6‫ض‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

6
‫ِىا‬ ‫الصأٖتني‬ُ‫أ‬‫بفسض‬2، ‫ع‬7‫ع‬
‫وتتاوتني‬‫الصأٖتني‬ُ‫أ‬‫ٔحٗح‬2+‫ع‬7=‫ع‬90°
9=‫ع‬90= ‫ع‬
90
9
=10
=‫األٔىل‬‫الصأٖة‬2=‫ع‬2×10=20°= ‫الجاٌٗة‬‫الصأٖة‬7=‫ع‬7×10=70°
، ‫ع‬ ‫ِىا‬ ‫الصأٖتني‬ُ‫أ‬‫بفسض‬3‫ع‬
‫الصأٖتني‬ُ‫أ‬‫ٔحٗح‬‫وتهاومتني‬+‫ع‬3=‫ع‬180
4=‫ع‬180
= ‫ع‬
180
4
= ‫ع‬45
=‫ع‬ =‫األٔىل‬‫الصأٖة‬45°= ‫الجاٌٗة‬‫الصأٖة‬3=‫ع‬3×45=135°
‫تدزٖب‬3h‫جـ‬‫ب‬‫جا‬ ، ‫ب‬ ‫فى‬ْٖٔ‫الصا‬‫قائي‬‫وجمح‬h=0.6‫جا‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬h‫جتا‬ +‫جتاجـ‬h‫جاجـ‬+
‫وجاه‬9‫وتتاوتني‬‫شأٖتني‬‫قٗاضى‬‫بني‬‫الٍطبة‬‫ناٌت‬‫إذا‬2:7.‫وٍّىا‬‫لهن‬‫الطتٍٗى‬‫الكٗاع‬‫فأٔجد‬
‫وجاه‬10‫نٍطبة‬‫وتهاومتني‬‫شأٖتني‬‫بني‬‫الٍطبة‬‫ناٌت‬‫إذا‬1:3.‫وٍّىا‬‫لهن‬‫الطتٍٗى‬‫الكٗاع‬‫أٔجد‬
‫تدزٖب‬4‫ملجمح‬‫الداخمة‬‫الصٔاٖا‬‫قٗاضات‬‫بني‬‫الٍطبة‬‫ناٌت‬‫إذا‬3:4:7‫شأٖة‬‫لهن‬‫الطتٍٗى‬‫الكٗاع‬‫فأٔجد‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

7
1‫وتهاومتني‬ ‫شأٖتني‬‫قٗاضى‬‫بني‬‫الٍطبة‬‫ناٌت‬‫إذا‬ )3:5. ‫وٍّىا‬‫لهن‬‫الطتٍٗى‬‫الكٗاع‬‫فأٔجد‬
2)‫وتتاوتني‬‫شأٖتني‬‫قٗاضى‬‫بني‬‫الٍطبة‬‫ناٌت‬‫إذا‬2:7.‫وٍّىا‬‫لهن‬‫الطتٍٗى‬‫الكٗاع‬‫فأٔجد‬
3‫ملجمح‬‫الداخمة‬‫الصٔاٖا‬‫قٗاضات‬‫بني‬‫الٍطبة‬‫ناٌت‬‫إذا‬ )1:3:5.‫شأٖة‬‫لهن‬‫الطتٍٗى‬‫الكٗاع‬‫فأٔجد‬
4=‫ع‬‫ع‬ ، ‫ع‬ ‫فى‬ ‫الصأٖة‬‫قائي‬‫وجمح‬ ‫ع‬‫ص‬‫ع‬ )7=‫ص‬‫ع‬ ، ‫ضي‬25.َ‫و‬‫نن‬‫قٗىة‬‫أٔجد‬ ‫ضي‬
1‫ع‬‫ظا‬ )×‫ص‬‫ظا‬2‫جا‬)
2
‫جا‬+‫ع‬
2
‫ص‬
5)h، ‫ب‬ ‫فى‬‫الصأٖة‬‫قائي‬ ‫جـ‬‫ب‬5‫جـ‬‫جا‬–1=3‫لمصأٖتني‬ ‫املجمجٗة‬‫الدٔاه‬‫مجٗع‬‫أٔجد‬h‫جـ‬ ،
‫جا‬ ‫قٗىة‬‫أحطب‬‫ثي‬h‫جتا‬ + ‫جـ‬‫جتا‬h‫جـ‬‫جا‬
6=‫ع‬‫ع‬ : ْٗ‫ف‬ ‫ص‬‫فى‬ ‫الصٖٔة‬‫قائي‬‫وجمح‬ ‫ع‬‫ص‬‫ع‬ )13=‫ع‬‫ص‬ ، ‫ضي‬12‫نن‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬ ‫ضي‬:َ‫و‬
1‫ع‬‫جا‬ ‫ع‬‫جتا‬ + ‫ع‬‫جتا‬‫ع‬‫جا‬ )2)1‫ظا‬+
2
‫ع‬
7)h:ُ‫نا‬‫فإذا‬ ‫ب‬ ‫فى‬ ‫الصأٖة‬‫قائي‬‫وجمح‬ ‫جـ‬‫ب‬2h= ‫ب‬3h‫جـ‬‫جـ‬ ‫لمصأٖة‬ ‫االضاضٗة‬‫املجمجٗة‬‫الٍطب‬‫فأٔجد‬
8)hْٗ‫ف‬ ‫وٍخسف‬‫غبة‬ ‫ء‬‫جـ‬‫ب‬h‫ء‬//، ‫جـ‬‫ب‬r(=)‫ب‬90
°
ُ‫نا‬‫فإذا‬h=‫ب‬3، ‫ضي‬h=‫ء‬6‫ضي‬
=‫جـ‬‫ب‬ ،10(‫جتا‬ ُ‫أ‬‫فأثبت‬ ‫ضي‬)‫ب‬‫جـ‬‫ء‬-(‫ظا‬h=)‫ب‬‫جـ‬
1
2
9‫ٖأتى‬‫وا‬‫أنىن‬ )
1)8
//
38
/
85°‫بالدزجات‬.......................=
2)38.12°‫ٔالجٕاٌى‬‫ٔالدقائل‬‫بالدزجات‬..................... =
3:‫املكابن‬‫الػهن‬‫فى‬ )
:ُ‫نا‬‫إذا‬h‫جا‬ :ُ‫فإ‬ ‫ب‬ ‫فى‬ ‫الصأٖة‬‫قائي‬ ً‫ا‬‫وجمج‬‫جـ‬‫ب‬h..................... =‫ب‬h
‫ج‬
5
12
h
‫املجمجٗة‬‫الٍطب‬‫عمى‬َٖ‫متاز‬‫لمصأٖة‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

8
4:‫املكابن‬‫الػهن‬‫فى‬ )
‫جـ‬ ‫ب‬
‫جـ‬ h
................. ‫جتا‬ =
5:‫املكابن‬‫الػهن‬‫فى‬ )
...........................=‫ب‬‫جا‬ ، ................... = ‫ب‬ ‫جتا‬
10):‫املكابن‬‫الػهن‬‫فى‬
‫جا‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬h‫جتا‬ + ‫جـ‬‫جتا‬h‫جـ‬‫جا‬
11)= ‫ع‬‫ع‬ ، ‫ع‬ ‫فى‬ْٖٔ‫اشا‬‫قائي‬‫وجمح‬ ‫ع‬‫ص‬‫ع‬ ُ‫نا‬‫إذا‬7=‫ص‬‫ع‬ ، ‫ضي‬25‫ضي‬
َ‫و‬‫نن‬‫قٗىة‬‫أٔجد‬1‫ظاع‬ )×‫ص‬‫ظا‬2‫جا‬)
2
‫جا‬+‫ع‬
2
‫ص‬
12:‫املكابن‬‫الػهن‬‫فى‬ )h‫ء‬، ‫جـ‬‫ب‬h=‫جـ‬7= ‫جـ‬‫ء‬ ، ‫ضي‬15‫ضي‬
،h= ‫ب‬10:‫قٗىة‬‫أٔجد‬ ‫ضي‬3‫ب‬‫جا‬ + ‫ظاجـ‬
13)h:ْٗ‫ف‬‫الطاقني‬‫وتطأى‬ ‫وٍخسف‬‫غبة‬‫ء‬‫جـ‬‫ب‬h‫ء‬//، ‫جـ‬‫ب‬h=‫ء‬4‫ضي‬،
h=‫ب‬5=‫جـ‬‫ب‬ ، ‫ضي‬12. ‫ضي‬ُ‫أ‬‫أثبت‬
‫جتاجـ‬ ‫ظاب‬ 5
‫ب‬
2
‫جتا‬ ‫جـ‬
2
‫جتا‬
=3
‫ب‬‫ج‬
55
6
‫ء‬
h
‫ب‬‫ج‬
h
‫ب‬‫ج‬
h
‫ء‬
10‫ض‬17‫ضي‬
15‫ض‬
h ‫ب‬
‫ج‬
5
12
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

9
:‫املكابن‬‫الػهن‬‫فى‬‫لمصأٖتني‬‫املجمجٗة‬‫الٍطب‬(30°،60°)
‫جا‬30°=
1
2
‫جتا‬60°=
3
2
‫جا‬30°=
3
2
‫جتا‬60°=
1
2
‫ظا‬30°=
1
3
‫ظا‬60°=3
:‫املكابن‬‫الػهن‬‫فى‬‫لمصأٖة‬‫املجمجٗة‬‫الٍطب‬(45°)
‫جا‬45°=
1
2
‫جتا‬45°=
1
2
‫ظا‬45°=1
‫جا‬30‫جتا‬ +60‫ظا‬+45=
1
2
+
1
2
+1=2
‫جا‬30‫جتا‬60‫جا‬ +
2
60=
1
2
×
1
2
+(
3
2
)
2
=
1
4
+
3
4
=
4
4
=1
4‫جتا‬30‫جا‬60–‫ظا‬
2
60‫جا‬+30=4×
3
2
×
3
2
–(3)
2
+
1
2
=4×
3
4
–3+
1
2
=3-3+
1
2
=
1
2
h
‫ب‬‫ج‬
1
2
3
h
‫ب‬‫ج‬
1
1
60°
30°
45°
45°
2
‫وجاه‬1‫جا‬ : ‫قٗىة‬‫أٔجد‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬30‫جتا‬ +60‫ظا‬+45‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬2: ‫قٗىة‬‫أٔجد‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬‫جا‬30‫جتا‬60‫جا‬ +
2
60‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬3: ‫قٗىة‬‫أٔجد‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬4‫جتا‬30‫جا‬60–‫ظا‬
2
60‫جا‬+30‫احلــــــــــــن‬
‫الصٔاٖا‬‫لبعض‬‫األضاضٗة‬‫املجمجٗة‬‫الٍطب‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

11
‫جتا‬(45‫جا‬ +60‫جا‬()45–‫جا‬30)( =
1
2
+
3
2
()
1
2
-
3
2
)
=(
1
2
)
2
–(
3
2
)
2
=
1
2
–
3
4
=
1
4
:‫ِاوة‬‫ومخٕظة‬‫جا‬h(‫جتا‬ =90–h)
‫وجاه‬1‫جا‬30‫جتا‬=......،‫وجاه‬2‫جتا‬45‫جا‬=.......،‫وجاه‬3‫جا‬20‫جتا‬=.........
‫تدزٖب‬‫جا‬35‫جتا‬=......‫تدزٖب‬‫جا‬...........=‫جتا‬65
‫وجاه‬4‫جتا‬( : ‫قٗىة‬‫أٔجد‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬45‫جا‬ +60‫جا‬()45–‫جتا‬30)‫احلــــــــــــن‬
604570
‫تدزٖب‬1: ‫قٗىة‬‫أٔجد‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬‫جا‬30‫جتا‬ +60–‫ظا‬45‫احلــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬2‫أٔجد‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬: ‫قٗىة‬‫جا‬230‫جتا‬+230‫احلــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬3: ‫قٗىة‬‫أٔجد‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬2‫جا‬30‫جتا‬60–‫ظا‬45‫احلــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬1: ‫قٗىة‬‫أٔجد‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬‫جا‬30‫جتا‬ +60–‫ظا‬45‫احلــــــــــــن‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

11
:‫املجمجٗة‬‫املتطابكات‬
َ‫األمي‬‫الطسف‬=‫جا‬60=
3
2
= ‫األٖطس‬‫الطسف‬2‫جا‬30‫جتا‬30=2×
1
2
×
3
2
=
3
2
ُ‫وتطأٖا‬ُ‫الطسفا‬
= َ‫األمي‬‫الطسف‬‫جا‬
2
60‫جا‬+
2
45‫جا‬+
2
30=(
3
2
)
2
+(
1
2
)
2
+(
1
2
)
2
=
3
4
+
1
2
+
1
4
=
6
4
=
3
2
= ‫األٖطس‬‫الطسف‬‫جتا‬
2
30+
1
3
‫ظا‬
2
60–‫جتا‬
2
60=(
3
2
)
2
+
1
3
(×3)
2
–(
1
2
)
2
=
3
4
+
1
3
×3–
1
4
=
3
4
+1–
1
4
=
3
2
ُ‫وتطأٖا‬ُ‫الطسفا‬
= َ‫األمي‬‫الطسف‬‫ظا‬60=3
= ‫األٖطس‬‫الطسف‬
30 ‫ظا‬ 2
30 ‫ظا‬2 1
=
1
3
2
2(
1
3
) 1
=
2
3
2
3
=
2
3
×
3
2
=3
ُ‫وتطأٖا‬ُ‫الطسفا‬
‫وجاه‬1‫جا‬ :ُ‫أ‬‫أثبت‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬60=2‫جا‬30‫جتا‬30‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬2ُٔ‫بد‬‫جا‬ :ُ‫أ‬‫أثبت‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬
2
60‫جا‬+
2
45‫جا‬+
2
30‫جتا‬=
2
30+
1
3
‫ظا‬
2
60–‫جتا‬
2
60
‫وجاه‬3‫احل‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬ُ‫أ‬‫أثبت‬‫اضبة‬‫ظا‬ :60=
30 ‫ظا‬ 2
30 ‫ظا‬2 1
‫احلــــــــــــن‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

12
= َ‫األمي‬‫الطسف‬3‫ظا‬
2
45–2‫جا‬60‫جتا‬30=3( ×1)
2
-2×
3
2
×
3
2
=3×1-2×
3
4
=3-
3
2
=
3
2
‫األٖطس‬‫الطسف‬=
3
2
ُ‫وتطأٖا‬ُ‫الطسفا‬
‫وجاه‬4:ُ‫أ‬‫أثبت‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬3‫ظا‬
2
45–2‫جا‬60‫جتا‬30=
3
2
‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬5‫املجمح‬h‫ظا‬ ُ‫فإ‬ ‫الطاقني‬‫ٔوتطأى‬ ‫ب‬ ‫فى‬ ‫الصأٖة‬‫قائي‬ ‫جـ‬‫ب‬h=.........1
‫تدزٖب‬1:ُ‫أ‬‫أثبت‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬‫جتا‬60=2‫جت‬‫ا‬
2
30-1‫احلــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬2:ُ‫أ‬‫أثبت‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬‫ظا‬
2
60-‫ظا‬
2
45‫ج‬ =‫ا‬
2
60+2‫جت‬‫ا‬
2
60+2‫جا‬30
‫احلــــــــــــن‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

13
‫املجمجٗة‬‫الٍطب‬‫عمىت‬‫إذا‬‫الصأٖة‬‫إجياد‬‫الصأٖة‬ٓ‫هلر‬
shift sin
1
2
= 30‫احلاضبة‬ً‫باضتددا‬
=‫ع‬30°
shift sin 0.8 = ,,,‫احلاضبة‬ً‫باضتددا‬
=‫ع‬48//
7/
53°
shift cos 0.25= ,,,‫احلاضبة‬ً‫باضتددا‬
=‫ع‬20
//
31
/
75°
shift tan 0.69 = ,,,‫احلاضبة‬ً‫باضتددا‬
=‫ع‬20
//
36
/
34°
=‫ع‬‫ظا‬4×
1
2
×
1
2
=‫ع‬‫ظا‬1=‫ع‬45°
‫ع‬‫جا‬=
3
2
×
3
2
-
1
2
×
1
2
=
3
4
-
1
4
=
2
4
=
1
2
=‫ع‬‫جا‬
1
2
=‫ع‬30°
‫وجاه‬1= ‫ع‬‫جا‬ ُ‫نا‬‫إذا‬ ‫حادة‬ ‫شأٖة‬ ‫ع‬ ‫حٗح‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬
1
2
‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬2= ‫ع‬‫جا‬ ُ‫نا‬‫إذا‬ ‫حادة‬ ‫شأٖة‬ ‫ع‬ ‫حٗح‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬0.8‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬3=‫ع‬‫جتا‬ ُ‫نا‬‫إذا‬ ‫حادة‬ ‫شأٖة‬ ‫ع‬ ‫حٗح‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬0.25‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬4=‫ع‬‫ظا‬ ُ‫نا‬‫إذا‬ ‫حادة‬ ‫شأٖة‬ ‫ع‬ ‫حٗح‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬0.69‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬5=‫ع‬‫ظا‬ ُ‫نا‬‫إذا‬ ‫حادة‬ ‫شأٖة‬ ‫ع‬ ‫حٗح‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬4‫جتا‬60‫جا‬30‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬6‫جا‬=‫ع‬‫جا‬ ُ‫نا‬‫إذا‬ ‫حادة‬ ‫شأٖة‬ ‫ع‬ ‫حٗح‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬60‫جتا‬30–‫جتا‬60‫جا‬30
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

14
3‫جا‬=‫ع‬‫جا‬45‫جتا‬45‫جا‬+30‫جتا‬60‫جتا‬+
2
30
3‫ع‬‫جا‬=
1
2
×
1
2
+
1
2
×
1
2
+(
3
2
)
2
3‫ع‬‫جا‬=
1
2
+
1
4
+
3
4
=
3
2
3= ‫ع‬‫جا‬
3
2
=‫ع‬‫جا‬
3
2
×
1
3
=‫ع‬‫جا‬
1
2
=‫ع‬30°
‫جا‬ ‫ع‬30‫جتا‬
2
45=‫ج‬‫ا‬
2
60
‫ع‬×
1
2
×(
1
2
)
2
=(
3
2
)
2
‫ع‬×
1
2
×
1
2
=
3
4
‫ع‬×
1
4
=
3
4
= ‫ع‬
3
4
×
4
1
= ‫ع‬3
‫وجاه‬7ُ‫نا‬‫إذا‬ ‫حادة‬ ‫شأٖة‬ ‫ع‬ ‫حٗح‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬
3‫جا‬=‫ع‬‫جا‬45‫جتا‬45‫جا‬+30‫جتا‬60‫جتا‬+
2
30
‫وجاه‬8ُ‫نا‬‫إذا‬ ‫حادة‬ ‫شأٖة‬ ‫ع‬ ‫حٗح‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬‫جا‬‫ع‬30‫جتا‬
2
45=‫ج‬‫ا‬
2
60
‫تدزٖب‬1ُ‫نا‬‫إذا‬ ‫حادة‬ ‫شأٖة‬ ‫ع‬ ‫حٗح‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬2‫جا‬=‫ع‬‫جا‬30‫جتا‬60‫ج‬+‫ت‬‫ا‬30‫جا‬60
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

15
2=‫ع‬60=‫ع‬30°
+‫ع‬10=60=‫ع‬60-10=50=‫ع‬50°
2=‫ع‬‫جا‬3‫عمى‬ْ‫بالكطى‬2‫ع‬‫جا‬=
3
2
=‫ع‬60°
(‫جا‬h= ) ‫ب‬‫جـ‬
15
25
r(h= )‫ب‬‫جـ‬12
//
52
/
36°
= ‫جـ‬‫ب‬(25)2
-(15)2
=625-225=400=20
‫املطتطٗن‬‫وطاحة‬h‫ء‬‫جـ‬‫ب‬‫الطٕه‬ =×= ‫العسض‬15×20=300‫ضي‬2
‫تدزٖب‬2ُ‫نا‬‫إذا‬ ‫حادة‬ ‫شأٖة‬ ‫ع‬ ‫حٗح‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬‫ج‬‫ع‬‫ا‬
2
45=‫ظ‬‫ا‬
2
60‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬9‫جا‬ ُ‫نا‬‫إذا‬2=‫ع‬(
3
2
)..............=‫ع‬ ُ‫فإ‬‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬10+‫ع‬(‫جتا‬ ُ‫نا‬‫إذا‬10=)
1
2
..............=‫ع‬ ُ‫فإ‬‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬11ُ‫نا‬‫إذا‬2=‫ع‬‫جا‬3..................=‫ع‬ُ‫فإ‬‫احلــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬3ُ‫نا‬‫إذا‬(‫جتا‬3+‫ع‬6‫جا‬=)30.................=‫ع‬ُ‫فإ‬‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬12‫الػهن‬‫فى‬:‫املكابن‬hْٗ‫ف‬ ‫وطتطٗن‬ ‫ء‬‫جـ‬‫ب‬h=‫ب‬15، ‫ضي‬h=‫جـ‬25‫أٔجد‬ ‫ضي‬r(h)‫ب‬‫جـ‬
‫املطتطٗن‬‫وطاحة‬ ،h‫ء‬‫جـ‬‫ب‬‫احلــــــــــــن‬
h
‫ب‬
‫ء‬
‫ج‬
15‫ضي‬
25‫ضي‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

16
1:‫واٖأتى‬‫أنىن‬ )
1‫جا‬)60‫جتا‬ +30–‫ظا‬60................ =
2)2‫جا‬30‫جتا‬60–‫ظا‬45.................. =
3‫جا‬ )
2
30‫جتا‬+
2
30......................=
4‫جا‬ )45–‫جتا‬45.................. =
5‫جا‬ )30‫جتا‬60‫جا‬+
2
60..................... =
6)4‫جتا‬30‫ظا‬60........................... =
7‫جا‬ )45‫جتا‬45‫جا‬+30‫جتا‬60-‫جتا‬
2
30.................. =
8‫ظا‬ )
2
60‫جتا‬+60-5‫ظا‬45..................... =
9‫جا‬ )25....................... ‫جتا‬ =
10‫جا‬ )45.......................‫جتا‬=
11‫ع‬(‫جتا‬ )-10= )
1
2
=‫ع‬ ُ‫فإ‬..........
12+‫ع‬(‫جا‬ )15= )
1
2
=‫ع‬ ُ‫فإ‬.............
13+‫ع‬(‫ظا‬ )10= )3=‫ع‬ ُ‫فإ‬........................
14=‫جاع‬:ُ‫ٔنا‬‫حادة‬‫شأٖة‬ ‫ع‬ ُ‫نا‬‫إذا‬ )
1
2
‫جا‬ ُ‫فإ‬2....................... = ‫ع‬
15ُ‫نا‬‫إذا‬ )2‫ظا‬=‫جاع‬60=‫ع‬ ُ‫فإ‬..........16=‫ع‬‫ظا‬ )
1
3
‫ظا‬ُ‫فإ‬2...............=‫ع‬
‫الزوايا‬ ‫لبعض‬ ‫األساسية‬ ‫املثلثية‬ ‫النشب‬ ‫على‬ ‫متارين‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

17
2:‫مماٖأتى‬ً‫ال‬‫ن‬‫أثبت‬‫احلاضبة‬ً‫أضتددا‬ُٔ‫بد‬ )
1‫جتا‬ )60=2‫جتا‬
2
30–1
2‫ظا‬ )
2
60–‫ظا‬
2
45=4‫جا‬30
3‫جتا‬ )
2
60=5‫جا‬230–‫ظا‬
2
45
4‫ظا‬ )
2
60–‫ظا‬
2
30=
30 ‫ظا‬ 60 ‫ظا‬ 1
30 2‫جتا‬
3: ‫مماٖأتى‬ً‫ن‬‫ن‬‫فى‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬ )
1)2‫ظا‬ = ‫ع‬‫جا‬
2
60–2‫ظا‬45
2)4‫جتا‬ = ‫ع‬
2
30‫ظا‬
2
30‫ظا‬
2
45
3)2‫جا‬ = ‫ع‬‫جا‬30‫جتا‬60‫جتا‬+30‫جا‬60
4‫جا‬‫ع‬ )45‫جتا‬45‫ظا‬60‫ظا‬=
2
45–‫جتا‬260
5)3‫ع‬‫ظا‬–4‫جا‬
2
30=8‫جتا‬
2
60
6‫جا‬ )
2
45‫ظا‬ ‫ع‬‫جتا‬=30
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

18
‫بفسض‬h‫ع‬(1‫ص‬،1‫ع‬(‫ب‬ ، )2‫ص‬،2: ُ‫فإ‬ ‫وطتٕى‬‫فى‬‫ٌكطتني‬ )
‫طٕه‬h=‫ب‬‫(ع‬1-‫ع‬2)
2
‫(ص‬ +1-‫ص‬2)
2
‫ٌكطتني‬‫بني‬‫البعد‬ُ‫أ‬‫أى‬=‫الصادات‬‫فسم‬‫وسبع‬ + ‫الطٍٗات‬‫فسم‬‫وسبع‬
h= ‫ب‬(3-7)
2
( +4-1)
2
=16+9=25=5
h( = ‫ب‬7-3)
2
( +2+1)
2
=16+9=25=5
‫ٌكطتني‬‫بني‬‫البعد‬
‫وجاه‬1‫الٍكطة‬‫بني‬‫البعد‬‫أٔجد‬h(3،4)‫ب‬ ،(7،1)‫احلــــــــــــــــــــــن‬
‫وجاه‬2‫الٍكطة‬‫بني‬‫البعد‬‫أٔجد‬h(7،2)‫ب‬ ،(3،-1)‫احلــــــــــــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬1‫الٍكطة‬‫بني‬‫البعد‬‫أٔجد‬h(3،6)‫ب‬ ،(-1،4)‫احلــــــــــــــــــــــن‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

19
10( =2-‫ع‬)
2
( +4+2)
2
‫الطسفني‬‫برتبٗع‬
(10)
2
=(2-)‫ع‬
2
( +4+2)
2
100=4+‫ع‬
2
-4‫ع‬+36
100=‫ع‬
2
-4‫ع‬+40
‫ع‬
2
-4‫ع‬-60=0
‫ع‬ (–10‫ع‬()–6=)0
= ‫ع‬10،‫أ‬= ‫ع‬6
:ً‫ِا‬1)‫بعد‬‫ال‬= ‫االصن‬‫ٌكطة‬َ‫ع‬)‫ص‬،‫ع‬(‫ٍكطة‬‫ع‬
2
‫ص‬ +
2
2)‫بعد‬‫ال‬‫ٌٕجد‬ ‫الصادات‬‫ذلٕز‬َ‫ع‬)‫ص‬،‫ع‬( ‫ٍكطة‬| ‫ع‬ |
3)‫بعد‬‫ال‬‫ٌٕجد‬ ‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬َ‫ع‬)‫ص‬،‫ع‬( ‫ٍكطة‬| ‫ص‬ |
‫وجاه‬1‫الٍكطة‬‫بني‬‫البعد‬‫أٔجد‬h(–3،4‫احلــــــــــــــــــــــن‬ ‫االصن‬‫ٌٔكطة‬ )
h( = ٔ–3)
2
(+4)
2
=9+16=25=5
‫وجاه‬2( ‫الٍكطة‬‫بعد‬–2،–4‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬َ‫ع‬ )=|4 |=4
‫وجاه‬3( ‫الٍكطة‬‫بعد‬–6،3‫الصادات‬‫ذلٕز‬َ‫ع‬ )=|6 |=6
‫تدزٖب‬2‫الٍكطة‬‫بني‬‫البعد‬‫أٔجد‬h(–5،12‫االصن‬‫ٌٔكطة‬ )‫احلــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬3( ‫الٍكطة‬‫بعد‬–3،–5‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬َ‫ع‬ )=...................
‫تدزٖب‬4( ‫الٍكطة‬‫بعد‬2،3‫الصادات‬‫ذلٕز‬ َ‫ع‬ )=................
‫وجاه‬5‫ٌكطتني‬‫بني‬‫البعد‬ُ‫نا‬‫إذا‬h(2،4،‫ع‬(‫ب‬ ، )–2‫ٖطأى‬ )10‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أحطب‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

21
32)‫ع‬( =2
( +–)‫ع‬2
‫املعطاة‬‫بالكٗي‬ ‫ٔالتعٕٖض‬‫الطسفني‬‫برتبٗع‬
( 2 3 )2
)‫ع‬( =2
( +–) ‫ع‬2
18‫ع‬ =2
‫ع‬ +2
=2‫ع‬2
18=2‫ع‬2
‫ع‬2
=
18
2
‫ع‬2
=9=‫ع‬3
‫وجاه‬6،‫ع‬( ‫الٍكطة‬‫بني‬‫البعد‬ُ‫نا‬‫إذا‬–‫االصن‬‫ٌكطة‬َ‫ع‬)‫ع‬32‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬ ‫طٕه‬‫ٔحدة‬
‫تدزٖب‬5‫الٍكطة‬‫بعد‬ُ‫نا‬‫إذا‬h(4،1(‫ب‬‫الٍكطة‬َ‫ع‬)1‫ٖطأى‬)‫ص‬،5.‫ص‬‫قٗىة‬‫فأٔجد‬‫ٔحدات‬
‫تدزٖب‬6(‫بني‬‫البعد‬h،0)،(0،1)ُ‫فإ‬‫طٕه‬‫ٔحدة‬ِٕh=...................
‫تدزٖب‬7(‫وسنصِا‬‫التى‬‫الدائسة‬‫قطس‬8،5)،‫بالٍكطة‬‫ٔمتس‬(4،2)
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

21
1‫ٔاحدة‬‫اضتكاوة‬‫عمى‬‫تكع‬‫ٌكاط‬‫ثالثة‬‫أى‬ُ‫أ‬‫إلثبات‬)ُ‫أ‬‫ٌجبت‬‫ثي‬‫ٌكطتني‬‫نن‬‫بني‬‫البعد‬‫ٌٕجد‬
َٖ‫األخس‬َٖ‫البعد‬‫دلىٕع‬‫ٖطأى‬‫بعد‬‫أنرب‬
2‫ع‬‫ع‬ ، ‫ع‬‫ص‬ ، ‫ص‬‫ع‬ ‫االطٕاه‬‫ٌٕجد‬‫وجمح‬‫زءٔع‬‫ِى‬ ‫ع‬،‫ص‬،‫ع‬ ‫الٍكاط‬ُ‫أ‬‫ألثبات‬)
‫الجالح‬‫الطمع‬‫طٕه‬َ‫أنربو‬‫ضمعني‬‫أى‬‫طٕىل‬‫دلىٕع‬ُ‫أ‬‫ٌجبت‬‫ثي‬
3‫حاد‬(‫ع‬‫ص‬‫ع‬‫املجمح‬‫ٌٕع‬‫لتعني‬ )–‫قائي‬–:‫املجمح‬‫أضالع‬‫أنرب‬ ‫ع‬‫ع‬ َ‫لٗه‬) ‫وٍفسج‬
1)‫ع‬‫ع‬( ُ‫نا‬‫إذا‬ )
2
)‫ص‬‫ع‬(
2
)‫ع‬‫ص‬( +
2
‫ص‬ ‫فى‬‫الصأٖة‬‫وٍفسج‬ ‫املجمح‬ُ‫فإ‬
2)‫ع‬‫ع‬( ُ‫نا‬‫إذا‬ )
2
)‫ص‬‫ع‬( =
2
)‫ع‬‫ص‬( +
2
‫ص‬ ‫فى‬‫الصأٖة‬‫قائي‬ ‫املجمح‬ُ‫فإ‬
3)‫ع‬‫ع‬( ُ‫نا‬‫إذا‬ )
2
)‫ص‬‫ع‬(
2
)‫ع‬‫ص‬( +
2
‫ص‬ ‫فى‬‫الصأٖة‬‫حاد‬ ‫املجمح‬ُ‫فإ‬
4‫املجمح‬ ُ‫أ‬‫إلثبات‬ )h‫األضالع‬‫وتطأى‬ ‫جـ‬‫ب‬ُ‫أ‬ ‫ٌجبت‬h‫جـ‬=‫جـ‬‫ب‬=‫ب‬h
5‫املجمح‬ ُ‫أ‬‫إلثبات‬ )h‫الطاقني‬‫وتطأى‬ ‫جـ‬‫ب‬‫وتطأٖني‬‫ضمعني‬‫أى‬ ُ‫أ‬ ‫ٌجبت‬
6‫الػهن‬ُ‫أ‬‫إلثبات‬ )h‫أضالع‬‫وتٕاشى‬ ‫ء‬‫جـ‬‫ب‬‫ٌٕجد‬(4ُ‫أ‬‫ٌٔجبت‬ )‫أضالع‬h=‫جـ‬‫ب‬ ، ‫ء‬‫جـ‬=‫ب‬h‫ء‬
7‫الػهن‬ُ‫أ‬‫إلثبات‬)h‫وعني‬ ‫ء‬‫جـ‬‫ب‬‫ٌٕجد‬(6ُ‫أ‬‫ٌٔجبت‬ )‫أضالع‬h‫ء‬=‫ء‬‫جـ‬=‫جـ‬‫ب‬=‫ب‬h
‫الكطس‬ ُ‫أ‬‫أى‬ ُ‫وتطأٖا‬‫غري‬ُ‫الكطسا‬ ُ‫أ‬‫ٌجبت‬‫ثي‬h‫جـ‬‫ء‬‫ب‬‫الكطس‬
8‫الػهن‬ُ‫أ‬‫إلثبات‬ )h‫وطتطٗن‬ ‫ء‬‫جـ‬‫ب‬‫ٌٕجد‬(6ُ‫أ‬‫ٌٔجبت‬ )‫أضالع‬h، ‫ء‬‫جـ‬=‫ب‬h‫جـ‬‫ب‬=‫ء‬
‫الكطس‬ ُ‫أ‬‫ٌجبت‬‫ثي‬h‫ء‬‫ب‬‫الكطس‬= ‫جـ‬
9‫الػهن‬ُ‫أ‬‫إلثبات‬ )h‫وسبع‬ ‫ء‬‫جـ‬‫ب‬‫ٌٕجد‬(6ُ‫أ‬‫ٌٔجبت‬ )‫أضالع‬h‫ء‬=‫ء‬‫جـ‬=‫جـ‬‫ب‬=‫ب‬h
‫الكطس‬ ُ‫أ‬‫ٌجبت‬‫ثي‬h‫ء‬‫ب‬‫الكطس‬= ‫جـ‬
10‫الٍكاط‬ ُ‫أ‬‫إلثبات‬ )hً ‫وسنصِا‬ ‫لدائسة‬‫تٍتىى‬ ‫ء‬ ، ‫جـ‬ ، ‫ب‬ ،ُ‫أ‬‫ٌجبت‬ًh‫ٌل‬ = ‫ء‬ً = ‫جـ‬ً = ‫ب‬ً =
‫ِاوة‬‫ٌتائج‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

22
ًh=(3–3)
2
( +4+1)
2
=0+25=5
=‫ب‬ً(3–6)
2
( +4–8)
2
=9+16=5
=‫جـ‬ً(3+1)
2
( +4-1)
2
=16+9=5
ًh‫جـ‬ً = ‫ب‬ً ==5‫الدائسة‬‫وسنص‬‫ِى‬ ً= ‫ٌل‬5‫ضي‬
=‫الدائسة‬‫وطاحة‬π‫ٌل‬
2
=
22
7
(5)
2
=
550
7
=‫الدائسة‬‫ذلٗط‬ ،2π= ‫ٌل‬2×
22
7
×5=
220
7
h= ‫ب‬(1–3)
2
( +4+2)
2
=4+36=40=210
=‫جـ‬‫ب‬(3+3)
2
(+-2-16)
2
=36+324=360=610
h= ‫جـ‬(1+3)
2
( +16+4)
2
=16+144=160=410
= ‫جـ‬‫ب‬h+ ‫ب‬h‫جـ‬
h‫ٔاحدة‬‫أضتكاوة‬‫عمى‬‫تكع‬ ‫جـ‬ ، ‫ب‬ ،
‫وجاه‬1( ‫الٍكطة‬ُ‫أ‬‫إثبت‬3،4‫املجمح‬‫بسؤٔع‬‫املازة‬ ‫الدائسة‬‫وسنص‬‫ِى‬ )h‫حٗح‬ ‫جـ‬‫ب‬
h(3،–1، )(‫ب‬6،8(‫جـ‬، )–1،1‫احلـــــــــــــــــــن‬ . ‫ٔذلٗطّا‬‫وطاحتّا‬‫ٔأٔجد‬ )
‫وجاه‬2‫الٍكط‬‫ناٌت‬‫وا‬‫إذا‬‫وا‬‫بني‬h(1،4(‫ب‬ ، )3،–2(‫جـ‬ ، )–3،16)
‫احلـــــــــــــــــــن‬ ‫ال‬ً‫أ‬‫ٔاحدة‬‫أضتكاوة‬‫عمى‬‫تكع‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

23
h‫ب‬=(5+1)
2
( +-5-7)
2
=36+144=180
h= ‫جـ‬(5-15)
2
( +-5-15)
2
=100+400=500
‫جـ‬‫ب‬=(-1-15)
2
( +7-15)
2
=256+64=320
(h) ‫جـ‬
2
( =h) ‫ب‬
2
( +‫جـ‬‫ب‬)
2
‫املجمح‬h‫ب‬ ‫فى‬ ‫الصأٖة‬‫قائي‬‫جـ‬‫ب‬
= ‫املجمح‬‫وطاحة‬
1
2
×‫ب‬‫جـ‬×‫ب‬h=
1
2
×320×180=
1
2
×240=120‫وسبعة‬‫ٔحدة‬
h= ‫ب‬(-1-1)
2
( +4-1)
2
=4+9=13
=‫جـ‬‫ب‬(1+1)
2
( +1+2)
2
=4+9=13
= ‫ء‬‫جـ‬(-3+1)
2
( +1+2)
2
=4+9=13
h= ‫ء‬(-1+3)
2
( +4-1)
2
=4+9=13
h= ‫جـ‬(-1+1)
2
( +4+2)
2
=0+36=6
= ‫ء‬‫ب‬(1+3)
2
( +1-1)
2
=16+0=4
h‫ء‬=‫ء‬‫جـ‬=‫جـ‬‫ب‬=‫ب‬h‫الكطس‬ ،h‫جـ‬‫ء‬‫ب‬‫الكطس‬‫الػهن‬h‫وعني‬ ‫ء‬‫جـ‬‫ب‬
=‫املعني‬‫وطاحة‬
1
2
×=َٖ‫الكطس‬‫ضسب‬‫حاصن‬
1
2
×6×4=12‫وسبعة‬‫ٔحدة‬
‫وجاه‬3‫الٍكط‬ْ‫زؤٔض‬‫الرى‬ ‫املجمح‬ُ‫أ‬‫إثبت‬h(5،–5(‫ب‬ ، )–1،7(‫جـ‬ ، )15،15)
‫احلـــــــــــــــــــن‬ . ْ‫وطاحت‬‫أٔجد‬‫ثي‬ ‫ب‬ ‫فى‬‫الصأٖة‬‫قائي‬
‫وجاه‬4‫الٍكاط‬ُ‫أ‬‫إثبت‬h(–1،4(‫ب‬ ، )1،1(‫جـ‬، )-1،-2(‫ء‬ ، )-3،1)
.ْ‫وطاحت‬‫ٔأٔجد‬ ‫وعني‬‫زؤٔع‬‫ِى‬‫احلـــــــــــــــــــن‬‫ٌٕجد‬(6)‫أضالع‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

24
‫احلــــــــــــــــــــــــــن‬
h‫جـ‬‫ب‬=‫ب‬
(‫ع‬-3)
2
( +3-2)
2
=(3-5)
2
( +2-1)
2
‫الطسفني‬‫برتبٗع‬
(‫ع‬-3)
2
( +3-2)
2
=(3-5)
2
( +2-1)
2
‫ع‬
2
+9-6‫ع‬+1=4+1
‫ع‬
2
-6‫ع‬+10=5
‫ع‬
2
–6+‫ع‬5=0
‫ع‬(–1‫ع‬()–5= )0
=‫ع‬1=‫ع‬ ،5
‫وجاه‬5‫ناٌت‬‫إذا‬h،‫ع‬(3(‫ب‬ ، )3،2(‫جـ‬ ، )5،1‫ٔناٌت‬ )h‫ع‬ ‫قٗىة‬‫فأٔجد‬ ‫جـ‬‫ب‬=‫ب‬
‫تدزٖب‬1‫املجمح‬ُ‫أ‬‫اثبت‬hْ‫زؤٔض‬‫الرى‬‫جـ‬‫ب‬h(1،4(‫ب‬،)–1،–2(‫جـ‬ ، )2،–3)
ْ‫وطاحت‬‫ٔأٔجد‬‫الصأٖة‬‫قائي‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

25
‫تدزٖب‬3ُ‫نا‬‫إذا‬h(5،3(‫ب‬،)6،–2(‫جـ‬،)1،–1(‫ء‬،)0،4‫الػهن‬ُ‫أ‬‫إثبت‬ )h‫ء‬‫جـ‬‫ب‬
ْ‫وطاحت‬‫ٔأٔجد‬ ‫وعني‬‫احلــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬2‫الٍكاط‬ُ‫أ‬‫أثبت‬h(3،–1(‫ب‬،)–4،6(‫جـ‬،)2،–2‫التى‬‫الدائسة‬‫عمى‬‫تكع‬ )
(ً ‫وسنصِا‬–1،2‫ٔاملطاحة‬‫احملٗط‬‫أٔجد‬‫ثي‬)‫احلــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬4ُ‫نا‬‫إذا‬h(–3،0(‫ب‬،)3،4(‫جـ‬،)1،–6‫املجمح‬ُ‫أ‬‫أثبت‬ )h‫الطاقني‬‫وتطأى‬‫جـ‬‫ب‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

26
1:‫واٖأتى‬‫أنىن‬ )
1( ‫الٍكطتني‬‫بني‬‫البعد‬)3،3( ، )2،2.......................... ‫ٖطأى‬ )
2(‫الٍكطة‬‫بني‬‫البعد‬ )–3،4........................... ‫ٖطأى‬‫االصن‬‫ٌٔكطة‬ )
3( ‫الٍكطة‬‫بعد‬ )0،–3‫طٕه‬‫ٔحدة‬....................... = ‫الصادات‬‫ذلٕز‬َ‫ع‬ )
4( ‫الٍكطة‬‫بعد‬ )–7،4‫طٕه‬‫ٔحدة‬....................... = ‫الصادات‬‫ذلٕز‬َ‫ع‬ )
5( ‫الٍكطة‬‫بعد‬)–5،0‫طٕه‬‫ٔحدة‬....................... = ‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬َ‫ع‬ )
6( ‫الٍكطة‬‫بعد‬ )7،–6‫ٔحدة‬....................... = ‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬َ‫ع‬ )‫طٕه‬
7(‫وسنصِا‬‫التى‬‫الدائسة‬‫قطس‬‫ٌصف‬‫طٕه‬)7،4(‫بالٍكطة‬‫ٔمتس‬)3،1.......................‫ٖطأى‬)
2‫طٕه‬ ‫أٔجد‬)h‫ب‬1)h(–1،5(‫ب‬ ، )4،1)2)h(–7،–9(‫ب‬ ، )–3،–5)
3‫ٔاحدة‬‫أضتكاوة‬‫عمى‬‫تكع‬‫األتٗة‬‫الٍكاط‬ُ‫أ‬‫إثبت‬ )h(1،4(‫ب‬ ، )3،–2(‫جـ‬ ، )7،5)
4‫املجمح‬‫ٌٕع‬‫بني‬ )h(1،–1(‫ب‬، )2،1(‫جـ‬، )–3،–2)
5‫املجمح‬ُ‫أ‬‫إثبت‬ )h‫حٗح‬ ‫األضالع‬‫وتطأى‬ ‫جـ‬‫ب‬h(5،0(‫ب‬ ، )7،23(‫جـ‬ ، )3،23)
6)‫الٍكاط‬ُ‫أ‬‫إثبت‬h‫ء‬، ‫جـ‬،‫ب‬،:‫حٗح‬‫أضالع‬‫وتٕاشى‬‫زؤٔع‬‫ِى‬h(–1،1( ‫ب‬ ، )0،5( ‫جـ‬،)5،6(‫ء‬ ،)4،2)
7:‫الٍكط‬ُ‫أ‬‫إثبت‬)h(3،3(‫ب‬ ، )0،3(‫جـ‬ ، )0،0(‫ء‬ ، )3،0ْ‫وطاحت‬‫ٔأٔجد‬‫وسبع‬‫زؤٔع‬‫ِى‬)
8‫الٍكط‬ْ‫زؤٔض‬‫الرى‬‫املجمح‬ُ‫أ‬‫)إثبت‬h(5،–5(‫ء‬،)–1،7(‫جـ‬،)15،15ْ‫وطاحت‬‫ٔأٔجد‬‫ب‬‫فى‬‫قائي‬)
9‫الٍكاط‬ُ‫أ‬‫إثبت‬ )h(3،–1(‫ب‬،)–4،6(‫جـ‬،)2،–2‫تكع‬)(ً‫وسنصِا‬‫دائسة‬‫عمى‬–1،2‫ذلٗطّا‬‫ٔأٔجد‬)
10‫الٍكطتني‬‫بني‬‫البعد‬ُ‫نا‬‫إذا‬)h(0(‫ب‬،)‫ك‬،4،0‫ٖطأى‬)5‫ك‬ ‫قٗىة‬‫فأٔجد‬‫طٕه‬‫ٔحدة‬
11‫الٍكطتني‬‫بني‬‫البعد‬ُ‫نا‬‫إذا‬ )(h(‫ب‬،)‫ك‬،–2،3‫ٖطأى‬)5‫قٗىة‬‫فأٔجد‬‫طٕه‬‫ٔحدة‬h
َٖ‫متاز‬‫عمى‬‫ٌكطتني‬‫بني‬‫البعد‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

27
‫بفسض‬h‫ع‬(1‫ص‬،1‫ع‬(‫ب‬ ، )2‫ص‬،2‫بني‬ ‫املطافة‬‫وٍتصف‬‫أحداثى‬ُ‫فإ‬ ‫وطتٕى‬‫فى‬‫ٌكطتني‬ )h‫ب‬ ،
ِٕ‫حٗح‬ ْ‫التكط‬=)‫ص‬،‫ع‬(‫جـ‬(
2‫ص‬ 1‫ص‬
2
،
2‫ع‬ 1‫ع‬
2
)
=‫جـ‬(
2‫ص‬ 1‫ص‬
2
،
2‫ع‬ 1‫ع‬
2
)=(
3 1
2
،
2 4
2
)( =1،–1)
‫احلـــــــــــــــــــن‬‫أى‬ ‫الدائسة‬‫وسنص‬‫ِى‬ً‫وٍتصف‬ً ُ‫أ‬h‫ب‬
=ً(
2‫ص‬ 1‫ص‬
2
،
2‫ع‬ 1‫ع‬
2
)=(
7 1
2
،
2 4
2
)( =1،3)
‫ٌل‬=h=ً(1–4)
2
( +3+1)
2
=9+16=5
= ‫الدائسة‬‫ذلٗط‬2π= ‫ٌل‬2×
22
7
×5=
220
7
‫طٕه‬‫ٔحدة‬
( ْ‫الٍكط‬4،6‫وٍصف‬ )h‫ب‬
(4،6= )(
‫ًص‬ 3
2
،
6 ‫ع‬
2
)
4=
6 ‫ع‬
2
6=
‫ًص‬ 3
2
+‫ع‬6=83‫ص‬+=12
=‫ع‬8-6=2=‫ص‬12–3=9
‫وطتكٗىة‬‫قطعة‬‫وٍتصف‬‫أحداثٗات‬
‫وجاه‬1‫وٍتصف‬‫أحداثى‬‫أٔجد‬h‫حٗح‬ ‫ب‬h(4،1(‫ب‬ ، )–2،–3‫احلـــــــــــــــــــن‬ )
‫وجاه‬2ُ‫نا‬‫إذا‬h‫ب‬‫حٗح‬ ً ‫الدائسة‬‫فى‬ً‫ا‬‫قطس‬h(4،–1(‫ب‬ ، )–2،7ً ‫ٌكطة‬‫إحداثى‬‫أٔجد‬ )
‫وجاه‬3‫وٍتصف‬ ‫جـ‬ ‫ناٌت‬‫إذا‬h‫حٗح‬ ‫ص‬،‫ع‬ ‫فأٔجد‬ ‫ب‬h،‫ع‬(3(‫ب‬ ، )6(‫جـ‬ ، )‫ص‬،4،6)
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

28
‫وجاه‬4‫وٍتصف‬‫ِى‬‫االصن‬‫ٌكطة‬ُ‫نا‬‫إذا‬h‫حٗح‬‫ب‬h(5،–2‫إحداثى‬ُ‫فإ‬)ِٕ‫ب‬...............
‫تدزٖب‬2‫وٍتصف‬‫ِى‬‫االصن‬‫ٌكطة‬ُ‫نا‬‫إذا‬h‫حٗح‬‫ب‬h(-3،1‫إحداثى‬ُ‫فإ‬)ِٕ‫ب‬...............
‫بفسض‬h)‫ص‬،‫(ع‬=( ْ‫الٍكط‬ ،2،1‫وٍتصف‬‫ِى‬ )h‫ب‬
(2،1= )(
0 ‫ص‬
2
،
3 ‫ع‬
2
)
2=
3 ‫ع‬
2
1=
0 ‫ص‬
2
+‫ع‬3=4‫ص‬=2
=‫ع‬4-3=1
(2h-3،h-( ‫وٍتصف‬ ) ‫ب‬7،–1(، )3،7)
(2h-3،h-= ) ‫ب‬(
7 1
2
،
3 7
2
)
(2h-3،h-( = ) ‫ب‬5،3)
2h-3=5h-= ‫ب‬3( ‫املعادلة‬ َ‫و‬1‫عٍد‬ )h=4
2h=5+34–=‫ب‬3
2h=84–3‫ب‬ =
h=
8
2
=4(1)=‫ب‬1
‫تدزٖب‬1‫املطتكٗىة‬‫الكطعة‬‫بني‬‫الٕاصمة‬‫املطتكٗىة‬‫الكطعة‬‫وٍتصف‬‫أٔجد‬(2،5(،)4،3)‫احلـــــــن‬
(-5،2)
‫وجاه‬4(‫جـ‬ ‫ناٌت‬‫إذا‬2،1‫وٍتصف‬‫ِى‬)h(‫ب‬ ، ‫ب‬3،0‫فأٔجد‬ )h‫احلـــــــــــــــــن‬
‫وجاه‬5‫قٗىة‬‫أٔجد‬h( ُ‫أ‬‫حتكل‬‫ٔالتى‬‫ب‬،2h–3،h–‫طسفّا‬‫التى‬‫املطتكٗىة‬‫الكطعة‬‫وٍتصف‬ ) ‫ب‬
(7،–1(، )3،7‫احلـــــــــــــــن‬ )
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

29
(h)‫ب‬
2
( =2–6)
2
(+–4–0)
2
=16+16=32
)‫جـ‬‫ب‬(
2
( =–4–2)
2
(+2+4)
2
=36+36=72
(h)‫جـ‬
2
( =–4–6)
2
( +2–0)
2
=100+4=104
(h)‫جـ‬
2
( =h)‫ب‬
2
)‫جـ‬‫ب‬( +
2
h‫ب‬‫فى‬‫الصأٖة‬‫قائي‬‫وجمح‬‫زؤٔع‬‫ِى‬ ‫ء‬‫جـ‬ ‫ب‬ ،
‫ء‬‫إلجياد‬)‫ص‬،‫ع‬(‫جتعن‬‫التى‬hً‫ال‬ٗ‫وطتط‬‫ء‬‫جـ‬‫ب‬‫االخس‬‫وٍّىا‬ً‫ال‬‫ن‬‫ٍٖصف‬ُ‫الكطسا‬‫املطتطٗن‬
‫وٍتصف‬‫ٌكطة‬h‫وٍتصف‬‫بفسض‬ ، ‫ء‬‫ب‬ ‫وٍتصف‬‫ٌكطة‬‫ٌفظ‬‫ِى‬ ‫جـ‬hً ِٕ ‫جـ‬
= ً(
2 0
2
،
4 6
2
)( =1،1) ‫ص‬،‫ع‬(=‫ء‬‫بفسض‬ ‫ء‬‫ب‬‫وٍتصف‬ ً ُ‫أ‬‫ٔحٗح‬ )
(1،1= )(
‫ًص‬ 4
2
،
‫ع‬ 2
2
)
1=
‫ع‬ 2
2
1=
‫ًص‬ 4
2
2=2‫ع‬+2=–4‫ص‬+
=‫ع‬02+4‫ص‬ ==‫ص‬6
(‫ء‬ ‫إحداثى‬0،6)
‫وطتطٗن‬ٔ‫أ‬‫وعني‬ٔ‫أ‬‫وسبع‬ٔ‫أ‬‫أضالع‬‫وتٕاشى‬‫الػهن‬ُ‫نا‬ ‫إذا‬ ‫ء‬ ْ‫الٍكط‬‫الجياد‬‫أخس‬‫حن‬
=‫ء‬h‫جـ‬ +-( = ‫ب‬6،0( + )–4،2)-(2،–4( = )0،6)
‫تدزٖب‬3ُ‫نا‬‫إذا‬‫جـ‬(2،1)‫وٍتصف‬h‫ب‬‫حٗح‬h(3،-4)‫احداثى‬ ‫أٔجد‬‫ب‬
‫وجاه‬6: ‫الٍكط‬ُ‫أ‬‫أثبت‬h(6،0(‫ب‬، )2،–4(‫جـ‬ ، )–4،2‫ب‬‫فى‬‫الصأٖة‬‫قائي‬‫وجمح‬‫زأؤٔع‬‫ِى‬)
‫الػهن‬‫جتعن‬‫التى‬ ‫ء‬ ‫ٌكطة‬‫إحداثى‬‫أٔجد‬‫ثي‬،h‫احلـــــــــــــــــــن‬ . ً‫ال‬ٗ‫وطتط‬‫ء‬‫جـ‬‫ب‬
h
‫ب‬‫جـ‬
‫ء‬
ً
‫تدزٖب‬4ُ‫نا‬‫إذا‬h‫أضالع‬‫وتٕاشى‬‫ء‬‫جـ‬‫ب‬h(3،2(‫ب‬،)4،–5(‫جـ‬،)0،–3،‫ء‬‫إحداثى‬‫أٔجد‬ )َٖ‫الكطس‬‫تكاطع‬‫ٌكطة‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

31
1):‫واٖأتى‬‫أنىن‬
1( ‫الٍكطتني‬‫بني‬‫الٕاصمة‬‫املطتكٗىة‬‫الكطعة‬‫وٍتصف‬ )1،3( ، )0،–5........................ ‫ِى‬ )
2( ‫الٍكطتني‬‫بني‬‫الٕاصمة‬‫املطتكٗىة‬‫الكطعة‬‫وٍتصف‬ )3،1( ، )1،–5........................ ‫ِى‬ )
3)h‫ب‬‫حٗح‬‫الدائسة‬‫فى‬‫قطس‬h(–1،4(‫ب‬ ، )7،6....................... ‫الدائسة‬‫وسنص‬‫إحداثى‬ُٕ‫فٗه‬ )
4‫املطتكٗىة‬‫الكطعة‬‫وٍتصف‬‫ِى‬‫األصن‬‫ٌكطة‬‫ناٌت‬‫إذا‬)h‫حٗح‬ ‫ب‬h(5،–2).......ِٕ‫ب‬ ‫أحداثى‬ُ‫فإ‬
5(ً‫ناٌت‬‫إذا‬)2،7‫اال‬‫وتٕاشى‬‫قطسى‬‫تكاطع‬‫ٌكطة‬‫)ِى‬‫ضالع‬h‫حٗح‬‫ء‬‫جـ‬‫ب‬h(3،1‫ِى‬‫جـ‬ُ‫فإ‬)......
6‫ناٌت‬‫إذا‬ )h(1،3(‫ب‬ ، )3،–5‫وٍتصف‬ُ‫فإ‬ )h................. ‫ِى‬ ‫ب‬
2(‫ء‬ ‫ناٌت‬‫إذا‬ )3،–2‫وٍتصف‬ )h‫حٗح‬ ‫ب‬h،‫ع‬(2(‫ب‬ ، )3‫ص‬ ، ‫ع‬ ‫قٗىتى‬‫فأٔجد‬ )‫ص‬،
3‫ع‬(‫ء‬ ‫ناٌت‬‫إذا‬ )
2
‫ص‬ ،
2
‫وٍتصف‬)h‫حٗح‬ ‫ب‬h(5،–5(‫ب‬ ، )–5،7‫ص‬ ، ‫ع‬ ‫قٗىتى‬‫فأٔجد‬)
4‫الٍكط‬‫ناٌت‬‫إذا‬ )h(3،2(‫ب‬،)4،–3(‫جـ‬،)–1،–2(‫ء‬،)–2،3‫فأٔجد‬‫وعني‬‫زؤٔع‬‫ِى‬)
1َٖ‫الكطس‬‫تكاطع‬‫ٌكطة‬‫إحداثى‬)2‫املعني‬‫وطاحة‬)h‫ء‬‫جـ‬‫ب‬
5‫الٍكط‬ُ‫أ‬‫إثبت‬ )h(5،3(‫ب‬،)3،–2(‫جـ‬،)–2،–4،‫ب‬‫فى‬‫الصأٖة‬‫وٍفسج‬‫وجمح‬‫زؤٔع‬‫ِى‬،)
‫الػهن‬‫تعن‬‫التى‬‫ء‬‫ٌكطة‬‫إحداثى‬‫أٔجد‬‫ثي‬hٔ‫ٔأ‬ً‫ا‬ٍٗ‫وع‬‫ء‬‫جـ‬‫ب‬.ْ‫ضطخ‬‫وطاحة‬‫جد‬
6‫الٍكط‬ُ‫أ‬‫إثبت‬ )h(–3،0(‫ب‬،)3،4(‫جـ‬، )1،–6ْ‫زأض‬‫الطاقني‬‫وتطأى‬‫وجمح‬‫زؤٔع‬‫ِى‬)h،
َ‫و‬‫املسضٕوة‬‫املطتكٗىة‬‫الكطعة‬‫طٕه‬‫أٔجد‬‫ثي‬h‫جـ‬‫ب‬‫عمى‬‫عىٕدٖة‬
7)h‫الرتتٗب‬‫عمى‬ْ‫زؤٔض‬‫وسبع‬‫ء‬‫جـ‬‫ب‬h(0،5(‫ب‬ ، )3،2(‫جـ‬ ، )0،–1)‫ص‬،‫ع‬(‫ء‬ ، )
. ‫ء‬ ‫الٍكطة‬‫إحداثى‬‫أٔجد‬
‫وطتكٗىة‬‫قطعة‬‫وٍتصف‬‫أحداثٗات‬‫عمى‬َٖ‫متاز‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

31
‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫اخلط‬‫وٗن‬‫ع‬(1‫ص‬،1‫ع‬( ، )2‫ص‬،2:‫العالقة‬َ‫و‬‫ٖتعني‬ )
=‫املٗن‬
‫الصادات‬ ‫فسف‬
‫الطٍٗات‬ ‫فسم‬
=
1‫ص‬ 2‫ص‬
1 ‫ع‬ 2‫ع‬
=‫املٗن‬
1‫ص‬ 2‫ص‬
1 ‫ع‬ 2‫ع‬
=
3 7
2 4
=
4
2
=2
‫املٗن‬=
3 4
2 5
=
7
3
=‫املٗن‬=
3 3
2 1
=
0
1
=0
‫املطتكٗي‬‫اخلط‬‫وٗن‬
‫وجاه‬1( ‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫اخلط‬‫وٗن‬‫أٔجد‬2،3( ، )4،7)‫احلــــــــــــــــن‬
‫وجاه‬3( ‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫اخلط‬‫وٗن‬‫أٔجد‬2،3( ، )1،3)‫احلــــــــــــــــن‬
‫وجاه‬2( ‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫اخلط‬‫وٗن‬‫أٔجد‬2،-3( ، )5،4)‫احلــــــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬1( ‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫اخلط‬‫وٗن‬‫أٔجد‬4،-1( ، )5،-3)‫احلــــــــــــــــن‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

32
ُ‫فإ‬ ‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬‫ٖٕاشى‬‫املطتٗي‬ُ‫نا‬‫إذا‬‫املٗن‬‫صفس‬ =
‫املٗن‬ُ‫فإ‬‫الصادات‬‫ذلٕز‬‫ٖٕاشى‬‫املطتٗي‬ُ‫نا‬‫إذا‬‫وعسف‬‫غري‬=
‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬‫ٖٕاشى‬‫املطتٗي‬‫املٗن‬‫صفس‬ =
2 ‫ص‬
3 2
=‫صفس‬
+ ‫ص‬2=0= ‫ص‬-2
‫الصادات‬‫ذلٕز‬‫ٖٕاشى‬‫املطتٗي‬‫املٗن‬‫وعسف‬‫غري‬ =
1 9
6 ‫ع‬
=‫وعسف‬‫غري‬
‫ع‬+6=0= ‫ص‬-6
‫املٗن‬=3
‫ص‬ 1
3 5
=3
‫ص‬ 1
2
=3
1-‫ص‬=6
-= ‫ص‬6-1-= ‫ص‬5= ‫ص‬-5
‫وجاه‬4‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬ُ‫نا‬‫إذا‬h(-3،-2)(‫ب‬ ،-2،‫ص‬)‫قٗىة‬‫فأٔجد‬‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬‫ٖٕاشى‬
‫ص‬
‫وجاه‬5‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬ُ‫نا‬‫إذا‬h(-6،-1(‫ب‬ ، )‫ع‬،9)‫ال‬‫ذلٕز‬‫ٖٕاشى‬‫صادات‬‫قٗىة‬‫فأٔجد‬‫ع‬
‫وجاه‬5ُ‫نا‬‫إذا‬‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬(3،‫ص‬(‫ب‬ ، )5،1)ِٕ3‫ص‬‫قٗىة‬‫أٔجد‬‫احلــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬2‫املطتكٗي‬ُ‫نا‬‫إذا‬h‫حٗح‬‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬‫ٖٕاشى‬ ‫ب‬h(8،3(‫ب‬ ، )2‫ك‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬)‫ك‬،
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

33
: ‫ِـ‬ ‫قٗاضّا‬ْٖٔ‫شا‬‫مبعمٕوٗة‬‫املٗن‬‫حٗح‬‫املٗن‬=‫ِـ‬‫ظا‬
‫املٗن‬=‫ِـ‬‫ظا‬=‫ظا‬45=1
‫املٗن‬=‫ِـ‬‫ظا‬=‫ظا‬135=-1
‫ِـ‬‫ظا‬=‫املٗن‬
‫ِـ‬‫ظا‬=
1 6
3 5
‫ِـ‬‫ظا‬=
5
2
‫ِـ‬=54
//
11
/
68°
‫ِـ‬‫ظا‬=‫املٗن‬
‫ِـ‬‫ظا‬=
3 5 3 7
2 4
‫ِـ‬‫ظا‬=
3 2
2
=3‫ِـ‬=60°
‫ِـ‬‫ظا‬=‫املٗن‬
‫ظا‬45=
1 ‫ص‬
2 6
1=
1 ‫ص‬
4
+ ‫ص‬1=4= ‫ص‬4-1= ‫ص‬3
‫وجاه‬5ْٖٔ‫شا‬‫ٖصٍع‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬‫أٔجد‬45°
‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬5ْٖٔ‫شا‬‫ٖصٍع‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬‫أٔجد‬135°
‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬5‫أٔجد‬(‫بالٍكطتني‬‫ميس‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫ٖصٍعّا‬‫التى‬ْٖٔ‫الصا‬‫قٗاع‬3،1)( ،5،6)‫احلـ‬‫ــن‬
‫وجاه‬6‫أٔجد‬(‫بالٍكطتني‬‫ميس‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫ٖصٍعّا‬‫التى‬ْٖٔ‫الصا‬‫قٗاع‬2،53)( ،4،73)
‫وجاه‬7( ‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬ُ‫نا‬‫إذا‬2،-1)( ،6)‫ص‬ ،‫ثٗاضّا‬ْٖٔ‫شا‬ ‫ٖصٍع‬45‫قٗىة‬‫أٔجد‬‫ص‬
‫تدزٖب‬3‫أٔجد‬(‫بالٍكطتني‬‫ميس‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫ٖصٍعّا‬‫التى‬ْٖٔ‫الصا‬‫قٗاع‬-2،3)( ،-3،4)
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

34
: ‫وطتكٗي‬‫وعادلة‬‫مبعمٕوٗة‬‫املٗن‬‫حٗح‬‫ِى‬ْ‫املعادل‬ُ‫أ‬h+‫ص‬‫ب‬+‫ع‬=‫جـ‬0
= ‫املٗن‬
‫ع‬ ‫وعاون‬
‫وعاون‬ ‫ص‬
=
h
‫ب‬
= ‫املٗن‬
‫ع‬ ‫وعاون‬
‫وعاون‬ ‫ص‬
=
4
7
= ‫املٗن‬
‫ع‬ ‫وعاون‬
‫وعاون‬ ‫ص‬
=
2
3
= ‫املٗن‬
‫ع‬ ‫وعاون‬
‫وعاون‬ ‫ص‬
=
3
2
‫وجاه‬8: ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬‫أٔجد‬4+‫ع‬7‫ص‬-1=0‫احلــــــــــــــــن‬
‫وجاه‬9: ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬‫أٔجد‬3‫ص‬-2‫ع‬=1‫احلــــــــــــــــن‬
‫تدزٖب‬4: ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬‫أٔجد‬2‫ع‬-3‫ص‬+1=0‫احلــــــــــــــــن‬
‫وجاه‬10: ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬‫أٔجد‬3‫ع‬=2+ ‫ص‬1‫احلــــــــــــــــن‬
‫وجاه‬10: ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬‫أٔجد‬5‫ع‬=6+‫ص‬7‫احلــــــــــــــــن‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

35
ُ‫وطتكٗىا‬‫تٕاشى‬‫غسط‬‫ه‬1
‫ه‬،2
‫ه‬ ُ‫نا‬‫إذا‬1
//‫ه‬2
ً ‫الجاٌى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬=‫االٔه‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬ ُ‫فإ‬1
ً=2
ً ُ‫نا‬‫إذا‬ ‫صخصٗح‬‫ٔالعهظ‬1
ً=2
‫ه‬ ُ‫فإ‬1
‫ه‬//2
ً1
=
‫ع‬ ‫وعاون‬
‫وعاون‬ ‫ص‬
=
4
7
=
4
7
،ً2
=
1‫ص‬ 2‫ص‬
1 ‫ع‬ 2‫ع‬
=
1 5
4 3
=
4
7
ً1
ً=2
‫وتٕاشٖني‬‫املطتكٗىني‬
ً1
‫وٗن‬ =h‫ب‬=
6 8
3 5
=
2
2
=1،ً2
‫ظا‬ =45=1
ً1
ً=2
‫وتٕاشٖني‬‫املطتكٗىني‬
ً1
=
3
2
،ً2
=
6
4
=
3
2
ً1
ً=2
‫وتٕاشٖني‬‫املطتكٗىني‬
‫وتٕاشٖني‬‫املطتكٗىني‬ً1
ً=2
‫ك‬
2
=
6
3
-‫ك‬=
6 2
3
=-4= ‫ك‬4
‫وجاه‬1: ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬ُ‫أ‬‫إثبت‬4‫ع‬–7=‫ص‬3‫ٖٕاشى‬‫ميس‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬
‫بالٍكطتني‬h(–4،1(‫ب‬ ، )3،5)‫احلــــــــــــــــــــن‬
‫وجاه‬2‫املاز‬‫املطتكٗي‬ُ‫أ‬‫إثبت‬h(3،6(‫ب‬ ، )5،8‫قٗاضّا‬‫شأٖة‬‫ٖصٍع‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫ٖٕاشى‬ )45°
‫وجاه‬3: ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬ُ‫أ‬‫إثبت‬3+‫ع‬2=‫ص‬4ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫ٖٕاشى‬:4=‫ص‬8-6‫ع‬
‫وجاه‬4ُ‫املطتكٗىا‬ُ‫نا‬‫إذا‬‫ع‬‫ك‬–2+‫ص‬3=0،6+‫ع‬3‫ص‬–5=0‫ك‬ ‫قٗىة‬‫أٔجد‬ ُ‫وتٕاشٖا‬‫احلـن‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

36
‫وتٕاشٖني‬‫املطتكٗىني‬ً1
ً=2
2 6
4 ‫ع‬
=
5 1
0 1
4
4 ‫ع‬
=
4
1
4
4 ‫ع‬
=4
4‫ع‬(-4= )4
4‫ع‬-16=44=‫ع‬4+16
4= ‫ع‬20= ‫ع‬
20
4
=5
‫ٖصٍعّا‬‫التى‬‫الصأٖة‬‫إلجياد‬h‫ب‬‫حٗح‬h(4،2(‫ب‬ ، )5،6)
=‫ِـ‬‫ظا‬
2 6
4 5
=
4
1
=4=‫ِـ‬54
//
11
/
68°
‫وٗن‬h=‫ب‬
3 1
2 1
=2=‫جـ‬‫ب‬ ‫وٗن‬ ،
1 1
1 0
=2
‫وٗن‬h=‫ب‬‫جـ‬‫ب‬ ‫وٗن‬،ْ‫وػرتن‬ ْ‫ٌكط‬ ‫ب‬‫الٍكاط‬hٓ‫ٔاحد‬ْ‫اضتكاو‬‫عمى‬‫تكع‬ ‫جـ‬ ، ‫ب‬ ،
‫وجاه‬5‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬ُ‫نا‬‫إذا‬h(4،2،‫ع‬(‫ب‬ ، )6‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫ٖٕاشى‬ )
(‫جـ‬0،5(‫ء‬، )–1،1‫ٖصٍعّا‬‫التى‬‫الصأٖة‬‫ٔقٗاع‬ ‫ع‬ ‫قٗىة‬‫أحطب‬ )h‫املٕجب‬‫االجتاة‬‫وع‬ ‫ب‬
‫حملٕزالطٍٗات‬‫احلـن‬
‫وجاه‬5‫الٍكاط‬ُ‫أ‬‫أثبت‬h(2،3(‫ب‬ ، )1،1)‫جـ‬(0،-1)ٓ‫ٔاحد‬ْ‫اضتكاو‬‫عمى‬‫تكع‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

37
h‫ٔاحدة‬‫أضتكاوة‬‫عمى‬‫تكع‬ ‫جـ‬ ، ‫ب‬ ،
‫وٗن‬h‫جـ‬‫ب‬ ‫وٗن‬ =‫ب‬
3 1
1 4
=
1 ‫ص‬
4 5
2
3
=
1 ‫ص‬
1
3‫ص‬(–1=)–2
3‫ص‬–3=–23=‫ص‬–2+33=‫ص‬1=‫ص‬
1
3
ُ‫وطتكٗىا‬‫تعاود‬‫غسط‬‫ه‬1
‫ه‬،2
‫ه‬ ُ‫نا‬‫إذا‬1
‫ه‬2
ُ‫فإ‬ً1
×ً2
=-1
‫صخصٗح‬‫ٔالعهظ‬ً ُ‫نا‬‫إذا‬1
×ً2
=-1ُ‫فإ‬‫ه‬1
‫ه‬2
ً1
=
2
3
،ً2
=
3
2
ً1
×ً2
=
2
3
×
3
2
=-1‫وتٕاشٖني‬‫املطتكٗىني‬
‫وجاه‬2=‫وطتكٗي‬‫وٗن‬ُ‫نا‬‫إذا‬
4
9
= ْٗ‫عم‬‫العىٕدى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬ُ‫فإ‬...............
‫وٗن‬h= ‫ب‬
1‫ص‬ 2‫ص‬
1 ‫ع‬ 2‫ع‬
=
0 2
6 4
=
2
10
=
1
5
=‫العىٕدى‬‫وٗن‬5
‫وجاه‬5‫الٍكاط‬‫ناٌت‬‫إذا‬h(1،3(‫ب‬ ، )4،1(‫جـ‬ ، )5)‫ص‬،‫ص‬‫قٗىة‬‫أٔجد‬ ‫ٔاحدة‬‫أضتكاوة‬‫عمى‬‫تكع‬
‫وجاه‬1ُ‫املطتكٗا‬ُ‫أ‬‫أثبت‬2+‫ع‬3=‫ص‬1‫املطتكٗي‬‫عمى‬‫عىٕدى‬3= ‫ع‬1+2‫احلـــــــــــن‬ ‫ص‬
‫وجاه‬3‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫عمى‬‫العىٕدى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬‫أٔجد‬h(6،0(‫ب‬ ، )–4،2)‫احلـ‬‫ــــــ‬‫ن‬
9
4
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

38
‫وٗن‬h‫ب‬=ً1
=
4 5
3 4
=
1
1
=-1
‫قٗاضّا‬‫شأٖة‬‫ٖصٍع‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬45°=ً2
‫ظا‬ =45=1
ً1
×ً2
=-1×1=-1ُ‫وتعاودا‬ُ‫املطتكٗىا‬
ُ‫وتعاودا‬ُ‫املطتكٗىا‬ً1
×ً2
=–1
h
2
×
4
1
=–1
h 4
2
=–14h=2h=
2
4
=
1
2
‫وٗن‬h‫ب‬=
1‫ص‬ 2‫ص‬
1 ‫ع‬ 2‫ع‬
=
1 3
1 2
=
4
3
= ‫جـ‬‫ب‬ ‫وٗن‬
1‫ص‬ 2‫ص‬
1 ‫ع‬ 2‫ع‬
=
3 0
2 6
=
3
4
ً1
×ً2
=
4
3
×
3
4
=–1ُ‫وتعاودا‬ُ‫املطتكٗىا‬‫قائىة‬ ‫ب‬
‫تدزٖب‬1‫املطتكٗي‬‫عمى‬‫العىٕدى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬‫أٔجد‬7=‫ع‬5+‫ص‬1‫احلـ‬‫ـــــــــــــــ‬‫ن‬
‫وجاه‬3‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬ُ‫أ‬‫إثبت‬h(–3،4(‫ب‬، )–4،5‫املطتكٗي‬‫عمى‬‫عىٕدى‬ )
‫قٗاضّا‬‫شأٖة‬‫ٖصٍع‬‫الرى‬45°
. ‫الطٍٗات‬‫حملٕز‬‫املٕجب‬‫االجتاة‬‫وع‬‫احلـ‬‫ــــــ‬‫ن‬
‫وجاه‬3:‫املطتكٗي‬ُ‫نا‬‫إذا‬h‫ع‬–2+‫ص‬3=0: ‫املطتكٗي‬‫عمى‬‫عىٕدى‬4=‫ص‬+‫ع‬9
‫قٗىة‬‫أٔجد‬h‫احلـ‬‫ــــــ‬‫ن‬
‫وجاه‬3‫املجمح‬ُ‫أ‬‫إثبت‬h‫حٗح‬ ‫جـ‬‫ب‬h(–1،–1(‫ب‬، )2،3(‫جـ‬، )6،0‫ب‬ ‫فى‬‫الصأٖة‬‫قائي‬ )
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

39
: ‫هام‬ ‫تلخيص‬
:‫االتٗة‬‫اخلٕاص‬‫إحدى‬‫ٌجبت‬‫أضالع‬‫وتٕاشى‬‫الػهن‬ُ‫أ‬‫إلثبات‬
1ٔ‫أ‬ ‫وتٕاشٖني‬‫وتكابمني‬‫ضمعني‬‫نن‬)2‫وتطأٖني‬‫وتكابمني‬‫ضمعني‬‫نن‬)
3ٔ‫أ‬ ‫االخس‬‫وٍّىا‬‫نن‬‫ٍٖصف‬ُ‫الكطسا‬)3‫الطٕه‬‫فى‬ُ‫ٔوتطأٖا‬ُ‫وتٕاشٖا‬ُ‫وتكابال‬ُ‫ضمعا‬)
‫احلالتني‬‫إحدى‬‫ٌجبت‬‫ثي‬‫االضالع‬‫وتٕاشى‬‫حاالت‬‫إحدى‬‫ٌجبت‬‫وطتطٗن‬‫الػهن‬ُ‫أ‬‫إلثبات‬
1ٔ‫أ‬ ‫الطٕه‬‫فى‬ُ‫وتطأٖا‬ُ‫الكطسا‬ )2ُ‫وتعاودا‬ْٗ‫ف‬ُ‫وتجأزا‬ُ‫ضمعا‬)
‫احلالتني‬‫إحدى‬‫ٌجبت‬‫ثي‬‫االضالع‬‫وتٕاشى‬‫حاالت‬‫إحدى‬‫ٌجبت‬‫وعني‬‫الػهن‬ُ‫أ‬‫إلثبات‬
1ٔ‫أ‬ ُ‫وتعاودا‬ُ‫الكطسا‬)2‫وتج‬ُ‫ضمعا‬)‫الطٕه‬‫فى‬ُ‫وتطأٖا‬ُ‫أزا‬
‫احلالتني‬‫إحدى‬‫ٌجبت‬‫ثي‬‫االضالع‬‫وتٕاشى‬‫حاالت‬‫إحدى‬‫ٌجبت‬ ‫وسبع‬‫الػهن‬ُ‫أ‬‫إلثبات‬
1‫فى‬ُ‫ٔوتطأٖا‬ُ‫وتعاودا‬ْٗ‫ف‬ُ‫وتجأزا‬ُ‫ضمعا‬)‫الطٕه‬ٔ‫أ‬2)‫الطٕه‬ ‫فى‬ُ‫ٔوتطأٖا‬ُ‫وتعاودا‬ُ‫الكطسا‬
)‫االخس‬‫وٍّىا‬‫نن‬‫ٍٖصف‬ُ‫الكطسا‬( ‫الطالع‬‫وتٕاشى‬ٌْ‫أ‬ً‫ال‬ٔ‫أ‬‫ٌجبت‬ ‫احلــــــــــــــــــــن‬
‫وٍتصف‬h= ‫جـ‬(
2‫ص‬ 1‫ص‬
2
،
2‫ع‬ 1‫ع‬
2
)=(
7 2
2
،
5 2
2
)( =
7
2
،
5
2
( )1)
=‫ء‬‫ب‬ ‫وٍتصف‬(
2‫ص‬ 1‫ص‬
2
،
2‫ع‬ 1‫ع‬
2
)=(
1 4
2
،
1 8
2
)( =
7
2
،
5
2
( )2)
(َ‫و‬1(، )2)‫االخس‬‫وٍّىا‬‫نن‬‫ٍٖصف‬ُ‫الكطسا‬h‫اضالع‬‫وتٕاشى‬‫ء‬‫جـ‬‫ب‬
)ُ‫وتعاودا‬ْٗ‫ف‬ُ‫وتجأزا‬ُ‫(ضمعا‬َ‫لته‬‫املطتطٗن‬‫حاالت‬َ‫و‬‫حالة‬‫ٌجبت‬‫ثي‬
‫وٗن‬h= ‫ب‬
1‫ص‬ 2‫ص‬
1 ‫ع‬ 2‫ع‬
=
2 4
2 8
=
6
6
=1‫وٗن‬=‫جـ‬‫ب‬
4 7
8 5
=
3
3
=–1
ً1
×ً2
=1×-1=-1‫املطتكٗي‬h‫املطت‬ ، ‫ب‬ُ‫وتعاودا‬ ‫جـ‬‫ب‬ ‫كٗي‬h‫وطتطٗن‬ ‫ء‬‫جـ‬‫ب‬
‫وجاه‬1‫الٍكاط‬ُ‫أ‬‫إثبت‬h(2،–2(‫ب‬، )8،4(‫جـ‬، )5،7(‫ء‬، )–1،1‫وطتطٗن‬‫زؤٔع‬‫ِى‬)
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

41
‫وتٕاشٖني‬‫غري‬َٖ‫أخس‬‫ٔضمعني‬ ‫وتٕاشٖني‬‫وتكابمني‬‫ضمعني‬‫ٖٕجد‬ٌْ‫أ‬‫ٌجبت‬ ‫احلــــــــــــــــن‬
‫وٗن‬h= ‫ب‬
4 2
7 3
=
6
4
=
3
2
= ‫جـ‬‫ب‬ ‫وٗن‬
2 0
3 2
=
2
1
=–2
= ‫ء‬‫جـ‬‫وٗن‬
0 3
2 4
=
3
2
‫وٗن‬h= ‫ء‬
4 3
7 4
=
1
3
=
1
3
‫وٗن‬h‫وٗن‬ = ‫ب‬‫جـ‬‫ب‬ ‫وٗن‬ ، ‫ء‬‫جـ‬‫وٗن‬h‫ء‬
h‫وٍخسف‬‫غبة‬ ‫ء‬‫جـ‬‫ب‬
1)h‫ب‬//‫ء‬‫جـ‬‫وٗن‬ُ‫ٔنا‬h=‫ب‬
3
4
=‫ء‬‫جـ‬ ‫وٗن‬ُ‫فإ‬.................
2)h‫ب‬‫ء‬‫جـ‬‫وٗن‬ُ‫ٔنا‬h=‫ب‬
2
3
=‫ء‬‫جـ‬‫وٗن‬ُ‫فإ‬...................
3)h‫ب‬‫ء‬‫جـ‬‫وٗن‬ُ‫ٔنا‬h=‫ب‬0.5‫وٗن‬ُ‫فإ‬‫ء‬‫جـ‬=..................
‫وجاه‬1‫الٍكاط‬ُ‫أ‬‫إثبت‬h(7،4(‫ب‬، )3،–2(‫جـ‬، )2،0(‫ء‬، )4،3‫وٍخسف‬‫غبة‬ ‫زؤٔع‬‫ِى‬ )
‫تدزٖب‬‫ه‬‫املطتكٗىني‬‫وعادلتا‬‫ناٌت‬‫إذا‬1‫ه‬،2‫ع‬ ‫ِىا‬‫الرتتٗب‬‫عمى‬-4=‫ص‬0،+‫ع‬‫ك‬=‫ص‬5
ُ‫نا‬‫إذا‬‫ك‬‫قٗىة‬‫أٔجد‬1ُ‫وتٕاشٖا‬ُ‫املطتكٗىا‬)2ُ‫وتعاودا‬ُ‫املطتكٗىا‬)
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

41
1:‫ٖأتى‬‫وا‬‫أنىن‬ )
1............................ =‫الطٍٗات‬‫حملٕز‬‫املٕاشى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬ )
2............................ =‫الصادات‬‫حملٕز‬‫املٕاشى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬ )
3‫قٗاضّا‬‫وٕجبة‬‫شأٖة‬‫الطٍٗات‬‫حملٕز‬‫املٕجب‬ٓ‫االجتا‬‫وع‬‫ٖصٍع‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬ )135°‫ٖطأى‬.......
4‫قٗاضّا‬‫وٕجبة‬‫شأٖة‬‫الطٍٗات‬‫حملٕز‬‫املٕجب‬ٓ‫االجتا‬‫وع‬‫ٖصٍع‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬ )45°‫ٖطأى‬........
5: ُ‫نا‬‫إذا‬ )h‫ب‬//‫وٗن‬ُ‫ٔنا‬ ‫ء‬‫جـ‬h=‫ب‬
2
3
....................... ‫ٖطأى‬ = ‫ء‬‫جـ‬ ‫وٗن‬ُ‫فإ‬
6: ُ‫نا‬‫إذا‬ )h‫ب‬‫وٗن‬ُ‫ٔنا‬ ‫ء‬‫جـ‬h= ‫ب‬
1
2
....................... ‫ٖطأى‬ = ‫ء‬‫جـ‬ ‫وٗن‬ ُ‫فإ‬
7( ‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫لمىطتكٗي‬‫املٕاشى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬ )2،3( ، )–2،3........................... ‫ٖطأى‬ )
8ُ‫انا‬‫إذ‬ )h‫حٗح‬ ‫أضالع‬‫وتٕاشى‬‫ء‬‫جـ‬‫ب‬h(–1،4(‫ب‬ ، )0،1................... = ‫جـ‬‫ء‬ ‫وٗن‬ ُ‫فإ‬ )
9‫املطتكٗي‬ ُ‫نا‬‫إذا‬ )h‫حٗح‬ ‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬‫ٖٕاشى‬ ‫ب‬h(8،3(‫ب‬ ، )2...................=‫ك‬ ُ‫فإ‬)‫ك‬،
10‫املطتكٗي‬ ُ‫نا‬‫إذا‬ )h‫حٗح‬ ‫الصادات‬‫ذلٕز‬‫ٖٕاشى‬ ‫ب‬h،ً(4((‫ب‬ ، )–5،7............... =ً ُ‫فإ‬)
11ً ُ‫نا‬‫إذا‬ )1
ً ،2
....................... ُ‫فإ‬ ‫وتٕاشٖني‬
12‫وٗالِىا‬ُ‫المرا‬ُ‫املطتكٗىا‬)
2
7
،
7
2
..................... ُ‫ٖهٌٕا‬
2‫امل‬‫الصأٖة‬‫قٗاع‬‫أٔجد‬ )ْٕ‫وٗم‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫ٖصٍعّا‬‫التى‬‫جبة‬1)0.32)1.0246
3‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬ُ‫أ‬‫أثبت‬ )h(–3،4(‫جـ‬ ، )–3،–2‫املطتكٗي‬‫عمى‬‫عىٕدى‬ )
‫بالٍكطتني‬‫املاز‬(‫ب‬1،2(‫ء‬ ، )–3،2)
4‫امل‬‫وٗن‬‫أٔجد‬)‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫عمى‬‫العىٕدى‬‫طتكٗي‬h(2،–3(‫ب‬)3،5)
‫املطتكٗي‬‫اخلط‬‫وٗن‬‫عمى‬َٖ‫متاز‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

42
5( ‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬ُ‫أ‬‫إثبت‬)2،–1( ، )6،3‫وٕجبة‬‫شأٖة‬‫ٖصٍع‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫ٖٕاشى‬ )
‫قٗاضّا‬45°‫الطٍٗات‬‫حملٕز‬‫املٕجب‬ٓ‫االجتا‬‫وع‬
6( ‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬ُ‫أ‬‫إثبت‬ )–1،–7( ، )2،–4‫شأٖة‬‫ٖصٍع‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫عمى‬‫عىٕدى‬ )
‫قٗاضّا‬‫وٕجبة‬135°‫الطٍٗات‬‫حملٕز‬‫املٕجب‬ٓ‫االجتا‬‫وع‬
7ْ‫زؤٔض‬‫الرى‬‫املجمح‬ُ‫نا‬‫إذا‬)h(3،–1،‫ع‬(‫ب‬، )3(‫جـ‬، )5،3‫فى‬‫الصٖٔة‬‫قائي‬ )h‫ع‬ ‫قٗىة‬‫فأٔجد‬
8‫املطتكٗي‬ُ‫نا‬‫إذا‬ )h‫ب‬‫ٖٕاشى‬‫حٗح‬ ‫الصادات‬‫ذلٕز‬h،‫ع‬(7(‫ب‬ ، )3،5‫ع‬ ‫قٗىة‬‫فأٔجد‬ )
9‫املطتكٗي‬ُ‫نا‬‫إذا‬ )h‫ب‬‫ٖٕاشى‬‫حٗح‬ ‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬h(4،2(‫ب‬ ، )–5‫ص‬ ‫قٗىة‬‫فأٔجد‬ )‫ص‬،
10‫ه‬ ‫املطتتكٗي‬ُ‫نا‬‫إذا‬ )1
(‫بالٍكطتني‬‫ميس‬3،1( ، )2‫ه‬ ‫املطتكٗي‬ ، )‫ك‬،2
‫شأٖة‬‫ٖصٍع‬45°ٓ‫االجتا‬‫وع‬
‫جتعن‬‫التى‬ ‫ك‬ ‫فأٔجد‬ ‫الطٍٗات‬‫حملٕز‬‫املٕجب‬1ُ‫وتٕاشٖا‬ُ‫املطتكٗىا‬ )2ُ‫وتعاودا‬ُ‫املطتكٗىا‬ )
11‫الٍكاط‬ُ‫أ‬‫إثبت‬ )h(–1،4(‫ب‬ ، )–2،2(‫جـ‬ ، )–3،0‫ٔاحدة‬‫اضتكاوة‬‫عمى‬‫تكع‬ )
12ُ‫نا‬‫إذا‬ )h(–1،–1(‫ب‬ ، )2،3(‫جـ‬، )6،0‫املجمح‬ُ‫أ‬‫إثبت‬ )h‫ب‬ ‫فى‬ ‫الصأٖة‬‫قائي‬ ‫جـ‬‫ب‬
14‫الٍكط‬ ُ‫أ‬‫إثبت‬)h(–1،1(‫ب‬ ، )0،5(‫جـ‬ ، )4،2(‫ء‬ ، )5،6‫أضالع‬‫وتٕاشى‬‫زؤٔع‬‫ِى‬)
15‫الٍكط‬ ُ‫أ‬‫إثبت‬)h(–1،3(‫ب‬ ، )5،15(‫جـ‬ ، )6،4(‫ء‬ ، )0،6)‫وطتطٗن‬‫زؤٔع‬‫ِى‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

43
:‫ِى‬‫وطتكٗي‬‫خط‬‫ملعادلة‬‫العاوة‬‫الصٕزة‬‫ص‬‫جـ‬ +‫ع‬ً =
‫حٗح‬ً = ‫املٗن‬‫الصادات‬‫ذلٕز‬َ‫و‬‫املكطٕع‬‫اجلصاء‬‫طٕه‬ ‫جـ‬ ،
‫جـ‬ +‫ع‬ً =‫ص‬
=‫ص‬3+‫ع‬2
‫جـ‬ +‫ع‬ً =‫ص‬=‫ص‬4‫ع‬-3
‫جـ‬ +‫ع‬ً =‫ص‬
=‫ص‬4‫جـ‬ +‫ع‬
( ْ‫الٍكط‬-1،5ْ‫املعادل‬‫حتكل‬ )5=4×-1‫جـ‬ +
5=-4‫جـ‬ += ‫جـ‬5+4=9
‫ِى‬ ْ‫املعادل‬= ‫ص‬4+ ‫ع‬9
‫جـ‬ +‫ع‬ً =‫ص‬
= ً
2 7
3 0
=
5
3
‫ِى‬ ‫املعادلة‬=‫ص‬
5
3
‫جـ‬ + ‫ع‬
( ْ‫الٍكط‬0،7ْ‫املعادل‬‫حتكل‬ )7=
5
3
×0‫جـ‬ += ‫جـ‬7
‫ِى‬ ‫املعادلة‬=‫ص‬
5
3
+‫ع‬7‫املعادلة‬‫بطسب‬×33=‫ص‬5+‫ع‬21
‫وطتكٗي‬‫اخلط‬ ‫وعادلة‬
‫وجاه‬1ْ‫وٗم‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬3‫ٔحدتني‬ ‫الصادات‬‫حملٕز‬‫املٕجب‬‫اجلصء‬َ‫و‬‫ٖٔكطع‬
‫احلــــن‬
‫وجاه‬2ْ‫وٗم‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬4‫احلــــن‬ ‫ٔحدتني‬ ‫الصادات‬‫حملٕز‬‫الطالب‬‫اجلصء‬َ‫و‬‫ٖٔكطع‬
‫وجاه‬3ْ‫وٗم‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬4(ْ‫بالٍكط‬‫ٔميس‬-1،5‫احلـــــــــــــــن‬ )
‫وجاه‬3( ‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬–3،2( ، )0،7)‫احلـــــــــــــــن‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

44
‫جـ‬ +‫ع‬ً =‫ص‬
‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬‫ٖٕاشى‬‫املطتكٗي‬=ً ‫املٗن‬0
=‫ص‬‫جـ‬
ْ‫الٍكط‬(–3،5‫حتكل‬ )ْ‫املعادل‬5‫جـ‬ ==‫ص‬5
‫جـ‬ +‫ع‬ً =‫ص‬
= ‫املعطى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬
2
3
‫ِى‬ ‫املعادلة‬=‫ص‬
2
3
‫ع‬+‫جـ‬
ْ‫الٍكط‬(-2،1‫حتكل‬ )ْ‫املعادل‬1=
2
3
×-2+‫جـ‬
1=
4
3
‫جـ‬+
‫جـ‬=1+
4
3
=
7
3
‫ِى‬ ‫املعادلة‬=‫ص‬
2
3
+ ‫ع‬
7
3
‫املعادلة‬‫بطسب‬×33=‫ص‬2+‫ع‬7
‫جـ‬ +‫ع‬ً =‫ص‬
‫املعطى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬ً=
1
3
=
1
3
‫ا‬‫وٗن‬‫املطمٕب‬‫ملطتكٗي‬=3
‫ِى‬ ‫املعادلة‬=‫ص‬3‫جـ‬ +‫ع‬
ْ‫الٍكط‬(–3،–5‫املعادلة‬‫حتكل‬ )-5=3×-3‫جـ‬+
-5=-9‫جـ‬+=‫جـ‬-5+9=4
=‫ص‬ ‫ِى‬ ‫املعادلة‬3+‫ع‬4
‫وجاه‬4( ‫بالٍكطة‬‫ٔميس‬‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬‫ٖٕاشى‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬–3،5)‫احلــــــــــــن‬
‫وجاه‬5( ‫بالٍكطة‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬–2،1‫املطتكٗي‬‫ٖٕٔاشى‬)3‫ص‬–2+‫ع‬7=0‫احلـــــن‬
‫وجاه‬6( ‫بالٍكطة‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬–3،–5=‫ع‬ ‫املطتكٗي‬‫عمى‬‫ٔعىٕدى‬)11–3‫ص‬‫احلـــــن‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

45
‫جـ‬ +‫ع‬ً =‫ص‬
= ً‫ظا‬45=1‫ِى‬ ‫املعادلة‬‫ع‬ =‫ص‬+‫جـ‬
ْ‫الٍكط‬(3،1)‫املعادلة‬‫حتكل‬1=1×3‫جـ‬ +
=‫جـ‬1-3=-2‫ِى‬ ‫املعادلة‬‫ع‬ =‫ص‬-2
= ‫جـ‬‫ب‬‫وٍتصف‬ ‫ء‬َ‫لٗه‬(
3 7
2
،
1 3
2
)( =2،2)
‫جـ‬ +‫ع‬ً =‫ص‬
‫بالٍكطتني‬‫ميس‬‫املطتكٗي‬‫ٔبالتاىل‬h(5،–6)(‫ء‬،2،2)
‫وٗن‬h‫ء‬=
6 2
5 2
=
8
3
=
8
3
‫ِى‬ ‫املعادلة‬=‫ص‬
8
3
‫جـ‬ + ‫ع‬
ْ‫الٍكط‬(2،2)‫املعادلة‬‫حتكل‬2=
8
3
×2‫جـ‬ +2=
16
3
‫جـ‬ +
= ‫جـ‬2+
16
3
=
22
3
‫ِى‬ ‫املعادلة‬=‫ص‬
8
3
+ ‫ع‬
22
3
‫فى‬‫بالطسب‬3
3=‫ص‬-8+‫ع‬22
‫وجاه‬7‫بالٍكطة‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬(3،1‫شأٖة‬‫ٖٔصٍع‬ )45°‫حملٕز‬‫املٕجب‬‫التجاة‬‫وع‬‫الطٍٗات‬
‫وجاه‬8ُ‫نا‬‫إذا‬h(5،–6)(‫ب‬ ،3،7(‫جـ‬، )1،–3‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫اخلط‬‫وعادلة‬‫فأٔجد‬ )
‫بالٍكطة‬‫ميس‬h‫جـ‬‫ب‬ ‫وٍتصف‬‫ٔبٍكطة‬‫احلـــ‬‫ــــــــــ‬‫ــن‬
h
‫ء‬
‫جـ‬
‫ب‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

46
‫جـ‬ +‫ع‬ً =‫ص‬
‫وٍتصف‬h‫ب‬=(
4 6
2
،
1 3
2
)( =1،5)
= ‫املعطى‬‫املطتكٗي‬‫وٗن‬
4
2
=2= ‫العىٕدى‬‫وٗن‬
1
2
‫ِى‬ ‫املعادلة‬=‫ص‬
1
2
‫جـ‬ + ‫ع‬
ْ‫الٍكط‬(1،5)‫املعادلة‬‫حتكل‬5=
1
2
×1‫جـ‬ +
5=
1
2
‫جـ‬ +‫جـ‬=5+
1
2
=
11
2
‫ِى‬ ‫املعادلة‬=‫ص‬
11
2
+ ‫ع‬
22
3
‫فى‬‫بالطسب‬2
2=‫ص‬-+‫ع‬11
‫جـ‬ +‫ع‬ً =‫ص‬
= ً=
0 9
4 0
=
9
4
=
9
4
‫ِى‬ ‫املعادلة‬=‫ص‬
9
4
‫جـ‬ + ‫ع‬
‫ِى‬ ‫املعادلة‬=‫ص‬
9
4
+ ‫ع‬9
=‫ص‬‫ع‬‫وٍتصف‬(
6 2
2
،
5 3
2
)( =-1،2)
‫وجاه‬9‫حٗح‬ ‫أب‬‫مبٍتصف‬‫ميس‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬h(3،6)(‫ب‬ ،-1،4)‫ٔعىٕدى‬
ْ‫وعادلت‬‫الرى‬ ‫املطتكٗي‬‫عمى‬2‫ص‬-4+ ‫ع‬1=0‫احلـــ‬‫ــــــــــ‬‫ــن‬
‫وجاه‬10َٖ‫جصء‬‫ٔالصادى‬‫الطٍٗى‬‫االحداثٗات‬‫ذلٕزى‬َ‫و‬‫ٖكطع‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬
‫طٕالِىا‬‫وٕجبني‬4،9‫الرتتٗب‬‫عمى‬‫احلـــ‬‫ــــــــــ‬‫ــن‬
(4،0)
(0،9)
‫وجاه‬11‫وعادلة‬‫أٔجد‬ْ‫املطتكٗى‬ْ‫الكطع‬‫متاثن‬‫ذلٕز‬(‫ع‬ ‫حٗح‬‫ص‬‫ع‬3،-2(‫ص‬ ،)-5،6)
‫ع‬‫ص‬
= ‫ص‬‫ع‬‫وٗن‬
2 6
3 5
=
8
8
=-1= ‫العىٕدى‬‫وٗن‬1‫أنىن‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

47
1:‫واٖأتى‬‫أنىن‬ )
1: ُ‫املطتكٗىا‬ُ‫نا‬‫إذا‬)3‫ع‬–4‫ص‬–3=0+‫ص‬‫ك‬ ،4‫ع‬–8=0.................=‫ك‬ُ‫فإ‬ َٖ‫وتعاود‬
2=‫ص‬+‫ع‬ ُ‫املطتكٗىا‬ُ‫نا‬‫إذا‬)5+‫ع‬‫ك‬ ،2=‫ص‬0........................ =‫ك‬ ُ‫فإ‬ ‫وتٕاشٖني‬
3ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬)2‫ع‬–3‫ص‬–6=0................... = ْ‫طٕل‬ً‫ا‬‫جصء‬‫الصادات‬‫ذلٕز‬ َ‫و‬‫ٖكطع‬
4ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬)2+‫ع‬5‫ص‬–10=0................... = ْ‫طٕل‬ً‫ا‬‫جصء‬‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬َ‫و‬‫ٖكطع‬
5ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬)3‫ع‬–3+ ‫ص‬5=0..=‫الطٍٗات‬‫حملٕز‬‫املٕجب‬‫االجتاة‬‫وع‬ ‫وٕجبة‬‫شأٖة‬‫ٖصٍع‬........
6(‫بالٍكطة‬‫ميس‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬)3،5..................... ‫ِى‬‫الطٍٗات‬‫ذلٕز‬‫ٖٕٔاشى‬)
7=ْ‫وٗم‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬)2(‫الٍكطة‬‫عٍد‬‫الصادات‬‫ذلٕز‬‫ٖٔكطع‬0،3....................‫ِى‬ْ‫وعادلت‬)
2‫الصادات‬‫ذلٕز‬َ‫و‬‫املكطٕع‬‫ٔاجلصء‬‫املٗن‬‫أٔجد‬)
1=‫ص‬ )5‫ع‬–32)2‫ع‬–3‫ص‬–6=03)
‫ع‬
2
+
‫ص‬
3
=1
3ْ‫وٗم‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬)2‫الصادات‬‫حملٕز‬‫املٕجب‬‫اجلصء‬َ‫و‬‫ٖٔكطع‬7‫ٔحدات‬
4‫ٔحدتني‬ ‫الصادات‬‫حملٕز‬‫الطالب‬‫اجلصء‬َ‫و‬‫ٖٔكطع‬ ‫صفس‬ ْ‫وٗم‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬)
5ْ‫وٗم‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬ ‫أٔجد‬)
1
2
( ‫بالٍكطة‬‫ٔميس‬0،–3)
6= ْ‫وٗم‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬ )–2‫األصن‬‫بٍكطة‬‫ٔميس‬
7ْ‫طٕل‬ ً‫ا‬‫جصء‬ ‫الصادات‬‫حملٕز‬‫الطالب‬‫اجلصء‬َ‫و‬‫ٖكطع‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬)3‫املطتكٗي‬‫ٖٕٔاشى‬‫ٔحدات‬
ْ‫وعادلت‬‫الرى‬2‫ع‬–3=‫ص‬6
8‫قٗاضّا‬‫شأٖة‬‫ٖصٍع‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬)135°‫الطٍٗات‬‫حملٕز‬‫املٕجب‬‫االجتاة‬‫وع‬
‫وطتكٗي‬‫اخلط‬ ‫وعادلة‬‫عمى‬َٖ‫متاز‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959

48
9( ‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬)2،–1( ، )1،1)
10(‫بالٍكطة‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬)3،–5=‫ع‬ ‫املطتكٗي‬‫ٖٕٔاشى‬ )7–2‫ص‬
11(‫بالٍكطة‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬)–2،3=‫ص‬ ‫وعادلتة‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬‫عمى‬ً‫ا‬ٖ‫عٕد‬)
1
2
‫ع‬–5
12(‫ع‬ ‫حٗح‬ ‫ص‬‫ع‬ ‫املطتكٗىة‬‫الكطعة‬‫متاثن‬‫ذلٕز‬‫وعادلة‬‫أٔجد‬)3،–2(‫ص‬ ، )–5،6)
13ْ‫وعادلت‬‫الرى‬‫املطتكٗي‬ُ‫أ‬‫إثبت‬)2+ ‫ص‬+‫ع‬8=0( ‫بالٍكطتني‬‫املاز‬‫املطتكٗي‬‫عمى‬ً‫ا‬ٖ‫عىٕد‬2،3(،)–2،1)
14)hْٗ‫ف‬‫وسبع‬‫ء‬‫جـ‬‫ب‬h(5،4(‫جـ‬، )–1،6‫ء‬‫ب‬ ‫وعادلة‬‫فأٔجد‬)
‫ٔالتفٕم‬ ‫بالٍجاح‬‫األوٍٗات‬‫أطٗب‬‫وع‬
‫دعائهي‬‫صاحل‬َ‫و‬‫ٔالتٍطٌٕا‬
‫أ‬/‫امحدفكرى‬/‫ت‬01114733959