1. หน้าที่ 20
3. ให้ A เป็ นทรานสโพสของเมตริ กซ์ A ; Bt เป็ นทรานสโพสของเมตริ กซ์ B
2 5 4 1
กาหนด A =  , B=   จงหาเมตริ กซ์ต่อไปนี้
1 3  0  2
( 1 ) At =
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
( 2 ) ( At )t =
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
( 3 ) At + Bt =
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
(4) (A+B)t =
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………….
ข้ อสรุ ป การบวกเมตริ กซ์มีสมบัติดงนี้
ั
ให้ S เป็ นเซตของ m  n เมตริ กซ์ กาหนด A, B, C เป็ นสมาชิกใด ๆ ของ S
A = [ aij ] m  n B = [ bij ] m  n C = [ cij ] m  n
(1) สมบัติปิดของการบวก A  S และ B  S แล้ว A + B  S
(2) สมบัติการสลับที่ของการบวก A + B = B + A
(3) สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก ( A + B ) + C = A + ( B + C )
( 4 ) มีเอกลักษณ์สาหรับการบวก มี 0 m n โดยที่ A + 0 = A =A+ 0
  
นันคือ
่ 0 m n เป็ นเอกลักษณ์สาหรับการบวก

( 5 ) แต่ละสมาชิกมีอินเวอร์ สาหรับการบวก แต่ละ A  S จะมี - A  S
โดยที่ A + ( - A ) = 0 = ( - A ) + A

ดังนั้น A และ ( - A ) เป็ นอินเวอร์ สสาหรับการบวกซึ่ งกันและกัน
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

2. หน้าที่ 21
3.7 สมบัติเกียวกับการคูณเมตริกซ์ ด้วยเมตริกซ์
่
ถ้า a, b, c เป็ นจานวนจริ งใด ๆ จะมีสมบัติเกี่ยวกับการคูณดังนี้
1. สมบัติปิดของการคูณ ถ้า a  R และ b  R แล้ว ab  R
2. สมบัติการสลับทีของการคูณ
่ ab = ba
3. สมบัติการเปลียนกลุ่มได้ ของการคูณ ( a b ) c = a ( b c )
่
4. มีเอกลักษณ์ การคูณ มี I  R โดยที่ I . a = a . I = a ทุกค่า a  R
5. มีอนเวอร์ สการคูณสาหรับการคูณสาหรับจานวนจริงแต่ ละจานวนทีไม่ ใช่ 0
ิ ่
แต่ ละ a  R จะมี a- 1 = 1 ซึ่งเป็ นจานวนจริ ง โดยที่
a
. -1 -1 .
a a = a a = 1
6. สมบัติการแจกแจง a( b + c ) = ab + ac
( a + b ) c = ac + bc
และสมบัติอื่น ๆ ที่สาคัญบางประการ เช่น สมบัติการตัดออกของการคูณ
ถ้า ab = ac และ a  0 แล้ว b = c
จากสมบัติการคูณของจานวนจริ งข้างต้นนี้ เมื่อพิจารณาถึงการคูณของเมตริ กซ์สองเมตริ กซ์ A และ
B ใด ๆ ที่สามารถหาการคูณ AB และ BA ได้เสมอ ซึ่ งจะเห็นว่า ต้องเป็ นเมตริ กซ์จตุรัสมิติ ั
n  n ตัวอย่างเช่ น 2  2 เมตริ กซ์ นันคือ ถ้าให้ S เป็ นเซตของเมตริ กซ์ที่มีมิติ 2  2 โดยที่สมาชิก
่
่
ทุกตัวของเมตริ กซ์เป็ นจานวนจริ ง เมื่อพิจารณาถึงผลคูณของเมตริ กซ์ดวยเมตริ กซ์ จะได้วา
้
มีสมบัติเกี่ยวกับการคูณบางประการ ดังนี้
สมบัติปิดเกียวกับการคูณ
่
ให้ S เป็ นเซตของ 2  2 และ A, B เป็ นสมาชิกใด ๆ ของ S
 a11 a12   b11 b12 
กาหนดให้ A =   และ B =  
 a 21 a 22   b 21 b 22 
 a11 b11  a12 b 21  a12 b 22 
่
จะได้วา AB = 
a11 b12

 a 21 b 21  a 22 b 21 a 21 b12  a 22 b 22 
่
ดังนั้น ถ้า A และ B เป็ น 2  2 เมตริ กซ์ จะได้วา A B เป็ น 2  2 เมตริ กซ์
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

3. หน้าที่ 22
สมบัตเิ กียวกับการคูณเมตริกซ์ ด้วยเมตริกซ์ สาหรับ 2
่  2 เมตริกซ์
1. สมบัติปิดของการคูณ
ให้ A และ B เป็ น 2  2 เมตริ กซ์ ใด ๆ แล้ว ผลคูณ A B เป็ น 2  2 เมตริ กซ์ เสมอ
2. สมบัติการเปลียนกลุ่มของการคูณ
่
ให้ A , B และ C เป็ น 2  2 เมตริ กซ์ ใด ๆ แล้ว ( A B ) C = A ( B C )
3. การมีเอกลักษณ์ สาหรับการคูณ
1 0
จะมีเมตริ กซ์ I =   ซึ่งเป็ น 2  2 เมตริ กซ์ ที่ทาให้ A I = I A = A ทุกเมตริ กซ์
0 1
ซึ่งเป็ น 2  2 เมตริ กซ์ใด ๆ
1 0
เรี ยก I =   ว่าเอกลักษณ์สาหรับการคูณในเซตของ 2  2 เมตริ กซ์ หรื อเรี ยกว่า เมตริกซ์
0 1
เอกลักษณ์ ( Unit matrix )
4. การทีแต่ ละเมตริกซ์ มีอนเวอร์ สสาหรับการคูณ
่ ิ
a b
ให้ A =   เป็ น 2  2 เมตริ กซ์ โดยที่ ad - bc  0 จะมีเมตริ กซ์ A– 1 เป็ น 2  2
c d
 d b
เมตริ กซ์ โดยที่ A– 1 = 1
ad  bc
  ซึ่งทาให้ AA- 1 = A– 1 A = I
c a
เรี ยก A– 1 ว่า อินเวอร์ สการคูณของ A
5. สมบัติการแจกแจงสาหรับการคูณ
ให้ A, B และ C เป็ น 2  2 เมตริ กซ์ ใด ๆ
สมบัติการแจกแจงทางซ้าย A ( B + C ) = A B + A C
สมบัติการแจกแจงทางขวา ( A + B ) C = A C + B C
ข้ อสั งเกตสาหรับการสลับทีของการคูณ A B และ B A
่
ถ้า A และ B เป็ น 2  2 เมตริ กซ์ ใด ๆ ผลคูณ A B และผลคูณ BA อาจจะมีค่าเท่ากัน
หรื อไม่เท่ากันก็ได้
บทนิยาม กาหนดให้ A เป็ น n  n เมตริ กซ์ ใด ๆ จะมี In  n เป็ นเอกลักษณ์ของการคูณ ซึ่งทาให้
A I = I A = A โดยที่ I = [ipq ] n  n
กาหนดโดย ipq = 1 เมื่อ p = q
0 เมื่อ p  q
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

4. หน้าที่ 23
นั้นคือ เอกลักษณ์ของการคูณ 1  1 เมตริ กซ์ คือ [ 1 ]
1 0
เอกลักษณ์ของการคูณ 2  2 เมตริ กซ์ คือ  
0 1
1 0 0
 
เอกลักษณ์ของการคูณ 3  3 เมตริ กซ์ คือ 0 1 0
0
 0 1

1 0 0 0
 
เอกลักษณ์ของการคูณ 4  4 เมตริ กซ์ คือ 0
0
1 0 0
เป็ นต้น
0 1 0
 
0 0 0 1
บทนิยาม กาหนดให้ A เป็ น n  n เมตริ กซ์ ใด ๆ จะมีเมตริ กซ์ B ซึ่งมีมิติ n  n เป็ นอินเวอร์ส
การคูณของเมตริ กซ์ A ก็ต่อเมื่อ AB = BA = I
เมื่อ I คือ เมตริ กซืเอกลักษณ์มิติ n  n เขียนแทน B ซึ่งเป็ นอินเวอร์สของ A ด้วย A – 1
 1
นั้นคือ ถ้า A = [a] ซึ่งเป็ น I  I เมตริ กซ์ จะได้วา A – 1 =
่ a โดยที่ a  0
 
 1  1
ซึ่งทาให้ A . A – 1 = [a] a = a a = [1] = I
   
 1 1 
A –1 . A = a [a] =  a a  = [1] = I
   
a b  d  b
ถ้า A =   ซึ่งเป็ น 2  2 เมตริ กซ์ จะได้วา A – 1 =
่ 1
ad  bc
 
c d c a
เมื่อ ad – bc  0 ซึ่งทาให้ A . A– 1 = A– 1. A = I
จะเห็นได้วา เมื่อกาหนด A เป็ น n  n เมตริ กซ์ ใด ๆ อาจจะหาเมตริ กซ์ A– 1 ได้ หรื ออาจจะหา
่
เมตริ กซ์ A– 1 ไม่ได้ ขึ้นอยูกบเมตริ กซ์ A
่ ั
กรณี หา A– 1 ไม่ได้ จะเรี ยกเมตริ กซ์ A เช่นนี้วา ซิงกูลาร์ เมตริกซ์ ( singular matrix ) หรื อ เมตริกซ์
่
เอกฐาน
กรณี ที่หา A– 1 ได้ เรี ยกเมคริ กซ์ A เช่นนี้วา นอนซิงกูลาร์ เมตริกซ์ ( non – singular matrix ) หรื อ
่
เมตริกซ์ ซึ่งไม่ ใช่ เมตริกซ์ เอกฐาน
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

5. หน้าที่ 24
แบบฝึ กหัด 7
่
1. จงพิจารณาว่า เมตริ กซื ที่กาหนดให้ตอไปนี้มีอินเวอร์ สการคูณหรื อไม่ ถ้ามีจงหาอินเวอร์ สของเมตริ กซ์
นั้น ๆ
2 5
(1) A =   พิจารณา ad – bc = 2(3) – 1(5)  0
1 3
 d  b 1  3 5  3 5
ดังนั้น A- 1 = 1
  =   =  
ad  bc c a 6 5  1 2  1 2
1  3
(2) B =   พิจารณา ad – bc = ………………………………………………..
2 4
ดังนั้น B- 1 =
2 4
(3) C =   พิจารณา ad – bc = ……………………………………………….
3 6
ดังนั้น C- 1 =
2 0
(4) D =   พิจารณา ad – bc = ……………………………………………….
0 2
ดังนั้น D- 1 =
1 0
(5) I =   พิจารณา ad – bc = ……………………………………………..
0 1
ดังนั้น I – 1 =
0 0
(6) 0 =   พิจารณา ad – bc = ………………………………………………….
 0 0
-1
ดังนั้น 0 =

โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

6. หน้าที่ 25
3 2 3 5
2. ให้ A =   และ B =   จงหาเมตริ กซ์ต่อไปนี้
4 3 1 2
( 1 ) A- 1 =
( 2 ) ( A- 1 ) – 1 =
( 3 ) B- 1 =
( 4 ) A- 1 B- 1 =
( 5 ) B- 1 . A- 1 =
( 6 ) AB =
( AB ) – 1 =
ข้ อสั งเกต ( 1 ) จงพิจารณาว่ามีผลลัพธ์ในข้อใดที่มีค่าเท่ากัน
……………………………………………………………………………….
( 2 ) (A– 1) – 1 และ A เป็ นเมตริ กซ์ที่เท่ากันหรื อไม่
……………………………………………………………………………….
1 2
3. กาหนด A =   จงหาผลของเมตริ กซ์ต่อไปนี้
0 1
(1) A.A =
(2) A.(A.A)=
(3) (A.A)A. =
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

7. หน้าที่ 26
ข้ อสั งเกต ผลลัพธ์ A . ( A . A ) และ ( A . A ) A . เป็ นเมตริ กซ์ที่เท่ากันหรื อไม่
……………………………………………………………………………
0 2
4. กาหนด A =   จงหา A2
0 0
A . A = …………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………….
่
5. กาหนดให้ A, B และ C เป็ นเมตริ กซ์ที่มีมิติ n  n จงพิจารณาดูวาข้อความต่อไปนี้ ถูกหรื อผิด
…………… ( 1 ) 0A = 0 และ A 0 = 0 และ 0 . 0 = 0
      
…………… ( 2 ) ถ้า A B = 0 แล้ว A = 0 หรื อ B = 0
  
…………… ( 3 ) ถ้า A A = 0 แล้ว A = 0
 
…………… (4) ถ้า A = B แล้ว A C = B C
…………… (5) ถ้า A = B แล้ว A C = C B
…………… (6) ถ้า AB = AC แล้ว B = C
…………… (7) ถ้า AB = AC และ A  0 แล้ว B = C

…………… ( 8 ) ถ้า A B = A แล้ว B = In  n
…………… ( 9 ) ถ้า A B = A และ A  0 แล้ว B = In  n

…………… ( 10 ) ( A B ) – 1 = A– 1 B– 1
สมบัตเิ พิมเติมบางประการในการคูณเมตริกซ์
่
บทนิยาม ถ้า A เป็ นเมตริ กซ์จตุรัสใด ๆ และ n เป็ นจานวนเต็มบวก แล้ว
ั
An = A . A . … . A ( n เมตริ กซ์ )
นั้นคือ A2 = A . A
A3 = A . A . A
เนื่องจากการคูณเมตริ กซ์มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้สาหรับการคูณ
ดังนั้น A . A . A = ( A . A ) A = A2 . A
หรื อ A . A . A = A . ( A . A ) = A . A2
ดังนั้น A2 . A = A . A2
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

8. หน้าที่ 27
คุณสมบัติเพิมเติมบางประการ สาหรับเมตริ กซ์ A, B ใด ๆ ที่หา A B และ B A ได้
่
1. ถ้า A = B แล้ว A B = B A 5. ( A + B ) ( A – B ) = ( A + B ) ( A + ( - B ) )
2
2. ( A + B ) = ( A + B ) ( A + B ) = AA + A ( - B ) + BA + B( - B )
= AA + AB + BA + BB = A2 + ( -AB ) + BA + ( - B2 )
= A2 + AB + BA + B2 = A2 - AB + BA + B2
3. ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 6. ( A + B ) ( A – B ) = A2 - B2
ก็ต่อเมื่อ AB = BA 7. c( AB ) = ( c A )B = A( c B )
4. A( - B ) = ( -A )B = - AB เมื่อ c เป็ นจานวนจริ งใด ๆ
8. ถ้า A = B แล้ว AC = BC
( การคูณด้วยเมตริ กซ์ที่เท่ากันทางขวามือ )
9. ถ้า A = B แล้ว CA = CB ( การคูณด้วยเมตริ กซ์ที่เท่ากันทางซ้ายมือ )
10. กาหนด A, B เป็ น n  n เมตริ กซ์ ถ้า AB = A โดยที่ A  0

และ A เป็ นนอนซิงกูลาร์เมตริ กซ์แล้ว B = In  n
คุณสมบัตของทรานสโพส
ิ
t
1. ถ้า A เป็ นเมตริ กซ์ที่มีมิติ m  n แล้ว ( At ) = A
2. ถ้า A เป็ นเมตริ กซ์ที่มีมิติ m  n และ k เป็ นจานวนจริ ง แล้ว ( k A )t = k At
3. ถ้า A และ B เป็ นเมตริ กซ์ที่มีมิติ m  n แล้ว ( A  B )t = At  Bt
 
4. ถ้า A เป็ นเมตริ กซ์ที่มีมิติ m  n และ B เป็ นเมตริ กซ์ที่มีมิติ n  k แล้ว ( AB )t = At Bt
ทฤษฎีเกียวกับอินเวอร์ สการคูณของเมตริกซ์
่
ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้า A และ B เป็ นนอนซิ งกูลาร์ เมตริ กซ์ ซึ่ งมีมิติเท่ากับ n  n แล้ว
A B จะเป็ นนอนซิงกูลาร์ดวย และ
้ ( AB )- 1 = B-1A-1
ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า A เป็ นนอนซิงกูลาร์เมตริ กซ์ จะได้วา A– 1 เป็ นนอนซิงกูลาร์เมตริ กซ์
่
และ ( A– 1 ) – 1 = A
่
ทฤษฎีบทที่ 3 ถ้า A, B และ C เป็ น n  n เมตริ กซ์ และ A เป็ นนอนซิ งกูลาร์ เมตริ กซ์ จะได้วา
( 1 ) ถ้า AB = AC แล้ว B = C
( 2 ) ถ้า BA = CA แล้ว B = C
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

9. หน้าที่ 28
แบบฝึ กหัด 8
1. จงหาเมตริ กซ์ A จากสมการต่อไปนี้
1 2  0 1
(1)   A =  
1 3  1 2
3 2  5 0
(2) A.   =  
2 2  1  1
5 2 1 3 1 0
(3)   A-   =  
2 1 1 1 0 2
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

10. หน้าที่ 29
2. บทนิยาม ถ้า A เป็ นนอนซิงกูลาร์เมตริ กซ์ และ n  I*
A- n = ( A– 1 ) n
2 5
กาหนดให้ A =   จงหา A- 2
1 3
3.8 ดีเทอร์ มินันต์ ( Determinant )
a b
ในการพิจารณาอินเวอร์สการคูณของเมตริ กซ์ A =   จะเห็นว่า เมตริ กซ์ A จะมีอินเวอร์ส
c d
่ ั ่
การคูณหรื อไม่ข้ ึนอยูกบค่าของ ad – bc ซึ่ งเป็ นจานวนจริ งจานวนหนึ่งและมีคาเดียวสาหรับเมตริ กซ์ A จะ
่
เรี ยกจานวนจริ งที่เกิดในรู ปแบบนี้วา ดีเทอร์ มินันต์ ของ A
ให้ A เป็ น n  n เมตริ กซ์ จะหาจานวนจริ งในรู ปแบบดีเทอร์มินนต์ของ A นี้ได้เสมอ ไม่วา A จะ
ั ่
มีมิติเช่นไร
กาหนดให้ A = [aij ] n  n ดีเทอร์มินนต์ของ A จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
ั
a11 a12 . . . a1n
det (A) หรื อ | A | = . . . .. .
a n1 a n 2 . . . a nn
บทนิยาม ถ้า A = [a] เป็ นเมตริ กซ์ที่มีมิติ 1  1 แล้ว det ( A ) = a
ตัวอย่างที่ 1 ถ้า A = [5 ] แล้ว det ( A ) = 5
ถ้า A = [0 ] แล้ว det ( A ) = 0
 1
ถ้า A =   2 แล้ว det ( A ) = - 1
  2
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

11. หน้าที่ 30
 a11 a12 
บทนิยาม ถ้า A =   เป็ นเมตริ กซ์ที่มีมิติ 2  2 แล้ว
 a 21 a 22 
det ( A ) = a 11 a 22 - a 21 a 12
2 1
ตัวอย่างที่ 2 ถ้า A =   แล้ว det ( A ) = 2(3) - 6(1) = 0
6 3
2 1
ถ้า A =   แล้ว det ( A ) = (-2)4 - 3(1) = (-8) - 3
 3 4
2  3
ถ้า A =   แล้ว det ( A ) = 2(5) - 1(-3) = 10 + 3 = 13
1 5
จากบทนิยามดีเทอร์มินนต์ของ 2  2 เมตริ กซ์ที่ให้ไว้ขางต้น จะนาไปใช้ในการนิยามดีเทอร์มินนต์
ั ้ ั
n  n เมตริ กซ์ ที่ n > 2 ดังบทนิยามต่อไปนี้
บทนิยามการหาไมเนอร์ ( Minor ) ของสมาชิก a i j ของ n  n เมตริกซ์ A ( n  2)
บทนิยาม กาหนดเมตริ กซ์ A = [aij ] n  n โดยที่ a ij  R และ n เป็ นจานวนเต็ม
มีมากกว่าหรื อเท่ากับ 2 ไมเนอร์ของ aij คือ ดีเทอร์มินนต์ของเมตริ กซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i
ั
และหลักที่ j ของเมตริ กซ์ A ออก
เขียนแทนไมเนอร์ ของ aij ด้ วย M ij( A )
ตัวอย่างที่ 3 จงหาไมเนอร์ของสมาชิกทุกตัวของเมตริ กซ์ A เมื่อ
2 1 1
 
A = 1 4 0
2
 0  2

วิธีทา จากบทนิยามการหาไมเนอร์ของ aij จะต้องตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของเมตริ กซ์ออก แล้วจึงหาดี
เทอร์มินนต์ของเมตริ กซ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหลือ
ั
ดังนั้น จะได้ M ij ( A ) แต่ละตัว ดังนี้
M 11 ( A ) = 4
0
0
2
= (-8)–0 = -8
M 12 ( A ) = 1
2
0
2
= (-2)–0 = -2
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

12. หน้าที่ 31
M 13 ( A ) = 1 4
= 0–8 = -8
2 0
1
M 21 ( A ) = 0
1
2
= 2–0 = 2
M 22 ( A ) = 2 1
= (-4)–2 = -6
2 2
1
M23 ( A ) = 2
= 0–(-2) = 2
2 0
1
M 31 ( A ) = 4
1
0
= 0–4 = -4
M 32 ( A ) = 2 1
= 0–1 = -1
1 0
1
M 33 ( A ) = 2
1 4
= 8–(-1) = 9
บทนิยามการหาโคแฟกเตอร์ ( Cofactor ) ของสมาชิก a i j ของ n  n เมตริกซ์ A ( n  2)
บทนิยาม กาหนด A = [aij ] n  n โดยที่ a ij  R และ n เป็ นจานวนเต็มที่มากว่าหรื อเท่ากับ 2
โคแฟกเตอร์ของ aij คือ ผลคูณ ( - 1 )I+ j และ M ij ( A )
เขียนแทนโคแฟกเตอร์ ของ aij ด้ วย C ij ( A )
จากบทนิยามจะได้วา C ij ( A ) = ( - 1 ) I+ j . M ij ( A )
่
ตัวอย่างที่ 4 จงหาโคแฟกเตอร์ของสมาชิกทุกตัวของเมตริ กซ์ A ในตัวอย่างที่ 3
2 1 1
 
A = 1 4 0
2
 0  2

วิธีทา จากบทนิยาม C ij ( A ) = ( - 1 ) I+ j . M ij ( A )
ใช้ค่า M ij ( A ) จากตัวอย่างที่ 3 จะหาค่า C ij ( A ) แต่ละจานวนดังนี้
C 11 ( A ) = ( - 1 ) 1+1 . M 11 ( A ) = ( 1 ) ( -8 ) = - 8
C 12 ( A ) = ( - 1 ) 1+2 . M 12 ( A ) = ( -1 ) ( -2 ) = 2
C 13 ( A ) = ( - 1 ) 1+3 . M 13 ( A ) = ( 1 ) ( -8 ) = - 8
C 21 ( A ) = ( - 1 ) 2+1 . M 21 ( A ) = ( -1 ) ( 2 ) = - 2
C 22 ( A ) = ( - 1 ) 2+2 . M22 ( A ) = ( 1 ) ( -6 ) = - 6
C 23 ( A ) = ( - 1 ) 2+3 . M 23 ( A ) = ( -1 ) ( 2 ) = - 2
C 31 ( A ) = ( - 1 ) 3+1 . M 31 ( A ) = (1 ) ( - 4) = - 4
C 32 ( A ) = ( - 1 ) 3+2 . M 32 ( A ) = ( -1 ) ( -1 ) = 1
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

13. หน้าที่ 32
C 33 ( A ) = ( - 1 ) 3+3 . M 33 ( A ) = ( 1 ) ( 9 ) = 9
จากบทนิยามของไมเนอร์และโคแฟกเตอร์ของสมาชิก aij ของเมตริ กซ์จตุรัส n  n ที่กล่าวมาข้างต้น
ั
จะนาไปใช้การหาดีเทอร์มินนต์ของเมตริ กซ์ โดยนิยามดีเทอร์มินนต์ของเมตริ กซ์จตุรัส n  n เมื่อ n  2
ั ั ั
ได้ดงนี้
ั
บทนิยาม กาหนด A = [aij ] n  n โดยที่ a ij  R และ n เป็ นจานวน เต็มที่มากกว่าหรื อเท่ากับ 2
ดีเทอร์มินนต์ของ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ det (A)
ั
กาหนดโดย det ( A ) = ai1 C i1(A) + a i2Ci2 ( A ) + … + ainCin( A )
หรื อ det ( A ) = a1j C 1 j(A) + a 2jC2j ( A ) + … + anjCnj( A )
จากบทนิยาม จะหาค่า det ( A ) อย่างง่าย โดยใช้แถวที่ 1 ดังนี้
det ( A ) = a11C 11+ a 12C12 ( A ) + … + a1nC 1n( A )
หรื ออาจจะหาค่า det ( A ) โดยใช้แถวที่ 1 ดังนี้
det ( A ) = a11 C 11 + a 21C21 ( A ) + … + an1Cn1( A )
ตัวอย่างที่ 5 จงหาดีเทอร์มินนต์ของเมตริ กซ์ A จากตัวอย่างที่ 4
ั
2 1 1
 
วิธีทา det ( A ) = 1 4 0
2
 0  2

จากบทนิยามของดีเทอร์มินนต์ det ( A ) = a11 C 11(A) + a 12C12 ( A ) + a13C13( A ) ใช้แถวที่ 1
ั
= 2 ( -8 ) + ( -1 ) ( 2 ) + 1 ( -8 )
= ( -16 ) + ( -2 ) + ( -8 ) = - 26
หรื อ det ( A ) = a11 C 11 + a 21C21 ( A ) + a31C31( A ) ใช้แถวที่ 1
= 2 ( -8 ) + 1 ( -2 ) + 2 ( -4 )
= ( -16 ) + ( -2 ) + ( -8 ) = - 26
ในทานองเดียวกัน จะสามารถหาค่า det ( A ) จากบทนิยามโดยใช้แถวที่ i ใด ๆ หรื อหลักที่ j ใด ๆ ได้เสมอ
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

14. หน้าที่ 33
แบบฝึ กหัดที่ 9
1. จงหาดีเทอร์ มินันต์ ของเมตริกซ์ ต่อไปนี้
2 3 2 3
(1) A =  ; det ( A ) =   = ( -2 ) ( -1 ) - 3 ( 5 ) = 2 – 5 = - 13
 5  1  5  1
 2 4  2 4
(2) B =   ; det ( B ) =   = 2 ( 5 ) - 3 ( 4 ) = 10 – 12 = - 2
 3 5  3 5
3 6
(3) C =   ; det ( C ) =
2 4
 x x  1
(4) D =   ; det ( D ) =
 x 1 2x 
 cos x sin x 
(5) E =   ; det ( E ) =
 sin x cos x 
2 4  1
 
2. กาหนด A = 3 4 6 จงหาค่า det ( A ) จากบทนิยาม ตามเงื่อนไขดังนี้
1
 0 1
(1 ) det ( A ) = a11 C 11 + a 12C12 ( A ) + a13C13( A )
(2) det ( A ) = a11 C 11 + a 21C21 ( A ) + a31C31( A )
(3) det ( A ) = a 31 C 31 + a 32C32 ( A ) + a33C33( A )
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

15. หน้าที่ 34
ข้ อสั งเกต การหา det ( A ) จากข้อ ( 1 ) - ( 3 ) มีค่าเท่ากันหรื อไม่ ……………………….
3.
การหาค่าดีเทอร์ มินนต์ของ 3  3 เมตริ กซ์ที่กาหนด อาจหาโดยวิธีลดได้ดงนี้
ั ั ั
2 4  1
 
ให้ A = 3 4 6
1
 0 1
ขั้นที่ 1 นาสมาชิกเมตริ กซ์ไปเขียนเรี ยงกันโดยเขียนเพิ่มอีก 2 หลัก เหมือนหลัก 2 หลักแรก
2 4 -1 2 4
3 4 6 3 4
1 0 1 1 0
ขั้นที่ 2 หาผลคูณตามแนวลูกศร โดยคูณลงเป็ นบวก คูณขึ้นเป็ นลบ
- - -
2 4 -1 2 4
3 4 6 3 4
1 0 1 1 0
+ + +
ขั้นที่ 3 หาค่า det ( A ) คือ ผลบวกของผลคูณทั้งหมด
det ( A ) = 8 + 24 + 0 – ( -4 ) – 0 – 12 = 24
จงใช้วธีการเดียวกับข้างต้นหาค่าดีเทอร์ มินนต์ต่อไปนี้
ิ ั
1 2 3
 
( 1 ) ให้ B = 4 5 6 จงหา det ( B )
7
 8 9

2 3  4
 
( 2 ) ให้ C =  0 5 7  จงหา det ( C )
 1
 2 1 

โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

16. หน้าที่ 35
2 3 1
 
( 3 ) ให้ D = 4 0 1 จงหา det ( D )
0
 0 0

 1 2 3
 
( 4 ) ให้ E =  1 5 1 จงหา det ( E )
 1 2
 3

2 3 1 1 2 3
   
(5) ให้ F = 1 2 3 และ G = 2 3 1 จงหา det ( F ) และ det ( G )
2
 1 1
 2
 1 1

ข้ อสั งเกต เมตริ กซ์ G เกิดจากการสลับแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ของเมตริ กซ์ F
จงพิจารณาว่า det ( G ) และ det ( F ) มีความสัมพันธ์อย่างไร
…………………………………………………………………………
1 2 3 2 4 6
   
5. ให้ A = 4 5 6 และ B = 4 5 6 จงหาค่าต่อไปนี้
1 1
 2
 1
 1 2

(1) det ( A ) =
(2) det ( B ) =
ข้ อสั งเกต เมตริ กซ์ B เกิดจากการนา 2 คูณกับแถวของเมตริ กซ์ A
จงพิจารณาว่า det ( B ) และ det ( A ) มีความสัมพันธ์อย่างไร
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32

17. หน้าที่ 36
…………………………………………………………………………
1 2 3  1 2 3 
   
6. ให้ A = 4 5 6 และ C =  4 5 6 
1 1
 2
  2(1)  1
 2(2)  1 2 ( 3)  2 

โดยแถวที่ 3 ของ C เกิดจาก 2 เท่าของสมาชิกแถวที่ 1 ของ A บวกกับแถวที่ 3 ของ A จงหา
det ( A ) และ det ( C )
(1) det ( A ) =
(2) det ( C ) =
ข้ อสั งเกต det ( A ) และ det ( C ) มีค่าเท่ากันหรื อไม่ ……………………………
 1 2 3 
 
7. ให้ A =  3(1) 3( 2 ) 3( 3)  จงหา det ( A )
 1
 0 2 
.
โดย นายศราวุธ เสาเกลียว โรงเรี ยนพลับพลาชัยพิทยาคม สานักงานเขตพืนที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 32