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ROYAUME DU MAROC


          FACULTE DES SCIENCES ET ETCHNIQE

                    ERRACHIDIA




                   RÉSUMÉ THÉORIQUE




MODULE N°:01          TOPOGRAPHIE ELEMENTAIRE   1
                            (INITIATION)




         SECTEUR :
         SPÉCIALITÉ :
         NIVEAU :
         ANIMATEUR : OURAHOU MED




                              OCTOBRE 2010
SOMMAIRE


Présentation du module

Résumé de théorie
  I. GÉNÉRALITÉ
        I.1. La topométrie
       I.2. La géodésie
       I.3. La topographie
       I.4. La photogrammétrie
       I.5. L’astronomie géodésique

    II. LA TOPOGRAPHIE – GÉNÉRALITÉ
       II.1. Objet de la topographie
       II.2. Unités de mesures
       II.3. Coordonnées géographiques, azimut
       II.4. Coordonnées rectangulaires
       II.5. Les axes
       II.6. Canevas géodésique et système de triangulation
       II.7. Canevas planimétrique de précision
       II.8. Canevas altimétrique

  III. MESURE DES DISTANCES
     III.1. Généralité
     III.2. Des Instruments pour mesure des distances
     III.3. Le jalonnement
     III.4. Mesurage à plat
     III.5. Précision du mesurage
     III.6. Mesure de longueurs indirectes
     III.7. Rappels de trigonométrie

   IV. MESURE DES ANGLES
     IV.1. Généralités
     IV.2. Les équerres optiques
     IV.3. Unités de mesures des angles
     IV.4. Le théodolite

   V. CARTES ET PLANS
     V.1. Les échelles
     V.2. Précision d’un plan

  VI. PENTES ET DISTANCES




                                                              2
VII. NIVELLEMENT
  A) DEFFINITION
  B) DEFFINITION ET PRINCIPES GÉNÉRAUX DE NIVELLEMEN
  C) NIVELLEMENT DIRECT
   VII.1. Principe du nivellement direct ordinaire
   VII.2. Niveau et mire
   VII.3. Dénivelée élémentaire
   VII.4. Nivellement par rayonnement
   VII.5. Nivellement par cheminement encadré
   VII.6. Point nodal et cheminements nodaux
   VII.7. Cheminements fermé
   VII.8. Nivellement simultané d’un cheminement et des points
      de détail
   VII.9. Précision
   VII.10. Cheminement mixte
   VII.11. Nivellement des surfaces
   VII.12. Nivellement géométrique de précision

  VIII. MESURE DES ANGLES
   IX. CALCUL DES COORDONNEES
   X. PROFIL EN LONG & PROFIL EN TRAVERS
   VIII.1. Lever d’un profil en long du terrain naturel

Guide de travaux pratique
     I. TP n°1 : Mesurage direct d’un alignement comprenant des
         points intermédiaires
    II. TP n°2 : Mise en station un niveau de chantier
   III. TP n°3 : Etablissement d’un angle droit avec un niveau de
        chantier
   IV. TP n°4 : Calcule d’un nivellement direct par rayonnement
   V.TP n° 5 : Calcule d’un nivellement direct par cheminement
        entre deux repères N.G.M.
  VI.TP n° 6 : Relevé d’un profil en long sur le terrain

Evaluation de fin du module
Liste bibliographique




                                                                    3
MODULE 01: TOPOGRAPHIE ELEMENTAIRE 1(INITATION)

Durée : 30 H



                    OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAU
                                DE COMPORTEMENT




      COMPORTEMENT ATTENDU

       Pour démontrer sa compétence, le stagiaire doit savoir les mesures des distances et
      des angles, le nivellement et les profils, selon les conditions, les critères et les
      précisions qui suivent.




      CONDITIONS D’ EVALUATION

                     •       Tests écrits sur la théorie
                     •       Connaissances sur les méthodes topographiques
                     •       Savoir les exigences topographiques pour les calculs et
                      les mesures


      CRITERES GENERAUX DE PERFORMANCE

                •    Apprendre les systèmes des mesures en Maroc
                •    Connaissances sur les unités des mesures
                •    Savoir exprimer les diverses méthodes selon les conditions
                •    Savoir les échelles et la méthode de la détermination
                •    Connaître le principe de nivellement
                •     Savoir les divers types de nivellement
                •    Connaissances sur les croquis et les carnets pour les mesures
                •    Connaître les erreurs permises et évaluation d’exactitude
                •    Respecter les normes de topographie




                                                                                             4
PRECISIONS SUR LE         CRITERES PARTICULAIRS DE PERFORMANCE
       COMPORTEMENT
            ATTENDU
1. Généralités            - Système de triangulation
                          - Système d’altimétrie
                          - Matérialisation des deux systèmes avec des
                          bornes sur le terrain
                          -Bornes de triangulation
                          - Bornes d’altimétrie

2. Mesure des distances   - Méthode direct
                          - Méthode indirect
                              ° sur un terrain plat ; ° sur un terrain en pente
                           - Alignement
                          - jalonnement

3. Mesure des angles      - Unité
                          - Différence entre degré et grade
                          - Index pour lecture des angles

4. Pentes et distances    - Unité pour les pentes
                          - Interpolation
                          - Extrapolation

5. Nivellement            -   Principe de nivellement
                          -   Nivellement direct
                          -   Nivellement par rayonnement
                          -   Nivellement par cheminement
                          -   Nivellement mixte
                          -   Nivellement de précision
                          -   Erreur permise
                          -   Distribution d’erreur
6. Profil en long
                          - Besoin d’un profil en long
                          - Méthode de relever sur le terrain
                          - Croquis et carnet pour les mesures
                          - Grilles pour les dessins d’un profil en long
                          - Détermination des échelles
                          - Détermination de cote relative
                          - Profil en long avec les courbes de niveau
                          * dans les limites d’un lotissement
                          * sur un plan coté
                          - Changement de la cote relative



                                                                                  5
OBJECTIFS OPERATIONNELS DE SECOND NIVEAU



Le stagiaire doit maîtriser les savoirs, savoir – faire, savoir- percevoir ou savoir –
être jugés préalable aux apprentissages directement requis pour
l’atteinte de l’objectif de premier niveau, tels que :

Avant d’apprendre à 1, 2, 3 et 4 :
1. Connaissances en Math, Géométrie, Trigonométrie
2. Les unités des mesures des distances et des angles
3. Les échelles
4. Connaître les cercles de mesure
5. Savoir travailler avec l’index de l’appareil pour le cercle horizontal

Avant d’apprendre à 5 :
1. Niveau de chantier
2. Stationnement de niveau de chantier
3. Horizontalement de niveau de chantier avec les trois vis
4. Lectures sur la mire
5. Position de niveau de chantier au milieu des deux points

 Avant d’apprendre à 6 :
1. Besoin de profil en long
2. Divers types des profils en long
3. Mesures des distances directes
4. Mesures des distances indirectes
5. Faire un carnet pour les mesures des distances et des altitudes




                                                                                         6
PRESENTATION DU MODULE




Le module : « TOPOGRAPHIE ELEMENTAIRE 1 (INITIATION) » s’apprend
pendant le premier semestre de formation, donc dans         la   première année de
formation. Ce module est dispensé en 30 heures.


Le module № 1 consiste à doter le géomètre topographe des notions de base de
la topographie et de lui faire apprendre à faire des      mesures topographiques,
destinés pour élaboration des plans topographiques dans la réalisation des travaux
en construction sur le chantier ou bien dans l’élaboration des études dans un bureau
d’étude.


Le module a été élaboré en deux parties : Résumé de théorie et Guide de
travaux pratique




                                                                                   7
GENERALITES

        La topographie est nécessaire pour la connaissance du terrain, ces limites, son relief,
le bâtiment. Elle permet à l’architecture de donner des instructions de précisions (géomètre,
…).

   I.      Historique.
       C’est une science fort ancienne. Ces origines sont confondues avec celles de la
géographie (mesurage des propriétés agricoles, cadastre, pyramide de Gizeh). On retrouve
des traces de géomètres au fil du temps, à travers différentes époques et civilisations.

      Le témoignage le plus ancien n'est pas égyptien. C'est en chaldée - à Telloh, asie
mineure - que l'on a retrouvé une tablette reproduisant le plan d'une ville et datant de 4000
ans avant J.C. Le document recouvre la cité de formes géométriques simples, les lots
mesurée, la surface et la nature des biens et des informations relatives au relief.


       Ensuite, Les Égyptiens semble les premiers fonder un cadastre selon Hérodote, pour
la construction des pyramides et pour remettre en place les limites de cultures après les
crues du Nil mais aussi pour délimiter les terres soumises à l'autorité du pharaon. De
nombreuses stèles ont été retrouvées au proche-orient.

        À partir de l'Empire romain, les arpenteurs ont été chargés de borner les terres,
divisant les champs et mesurant ainsi le territoire en vue de l'application de l'impôt. Ils sont
aussi en charge d'implanter les bâtiments et les routes. Les conquêtes des romains et leurs
constructions démontrent une grande pratique basée en partie sur l'angle droit. L'une des
fonctions essentielles des arpenteurs romains fut la réalisation d'un cadastre. Une fois la
prise de mesures réalisée sur le terrain, l'ensemble du plan était transcrit sur des plaques de
marbre en deux exemplaires identiques dont l'une était destinée aux archives de l'état,
formant ainsi un cadastre juridique et technique.

       En période de conquête arabe, nous citons Al Khwarizimi mathématicien, astronome
et géographe (780-850) consacrant une étude de l'astrolabe et mathmématicien dont les
notions de calcul qu'il mit au point (calcul de valeur négative entres-autres) furent la base
des connaissances mathématiques transmises jusqu'au 14eme. siècle en occident.

        En France pendant le Moyen Âge, les Mérovingiens, se contentent de maintenir
l'organisation romaine. Les Carolingiens instaureront la taille, impôt au profit du Roi, qui
nécessite la restauration des documents terriers mais sans mesurages. C'est à la renaissance
que les premiers plans de ville sont réalisés.

    On peut citer quelques topographes célèbres, Claude Chastillon (1559-1616) fut le
topographe du roi de France Henri IV pour lequel il réalisa 544 gravures. Jean-Dominique
Cassini IV (1748-1845) fut chargé de terminer la carte de France entamée par son père, qui
ne fut achevée qu'en 1815.


   Les traces écrites sont arrivées plus tardivement :

        ♦ 983PCN : le premier traité d’arpentage est rédigé par HERON DE BYZANCE.
        ♦ A partir du 12e siècle, on trouve des documents de délimitations.
        ♦ 1250 : 2 sortes d’arpenteurs :


                                                                                              8
Celui qui prend les mesures
         Celui qui exerce la fonction d’architecte ou d’expert
       ♦ 16e siècle : les géomètres commencent à dresser des cartes.
       ♦ 17e siècle : évolution radical des techniques, les découvertes faites en optique
         introduisent des instruments.

       Les travaux entrepris ont pour but de remplir les cartes mais aussi le génie civil et le
    remembrement rural (=rééquilibre des parcelles du point de vue quantité en qualité) au
    cours des dernières décennies. Tout cela a été réalisé grâce à des évolutions au niveau
    des techniques de mesurage et grâce à de nouveaux outils/matériaux permettant
    toujours plus de précisions et de rapidité (photogrammétrie, GPS,…)

       Les opérations de topographie peuvent toujours être réalisées de manière classique
par un architecte (exemple : le nivellement). Pour les travaux plus importants, on fait appel
à un spécialiste qui sans les instructions d’un architecte.


II. La science géodésique

       La science géodésique, aussi appelée la géométronique, est la discipline qui globe
toutes les méthodes d’acquisition et de traitement des dimensions physiques de la terre et
de son entourage.

      Si l’on veut satisfaire aux exigences de la vie moderne, on ne peut se dispenser de la
science géodésique. On y a recours pour :

a) cartographier de la terre, tant au- dessous du sol, et au fond des mers ;

 b) dresser des cartes de navigation aérienne, terrestre et maritime ;

 c) établir les limites de propriétés tant publiques que privées ;

  d) créer des banques de données relatives aux ressources naturelles et à l’utilisation des
terres ;

 e) déterminer la forme et les dimensions de la terre, de même que l’étude de la gravité et
du champ magnétique ;

  f) dresser des cartes de notre satellite naturel et, éventuellement, des autres planètes.

      La science géodésique joue un rôle extrêmement importent dans plusieurs branches du
génie. Par exemple, elle est requise avant, pendent et après la planification et construction
d’autoroutes, de chemins de fer, de tunnels, de canaux, de ponts, de bâtisses, de systèmes
d’acqueduc et d’égout, de galeries de mine, d’oléoducs, de sites de lancement de fusées, de
stations de repérage et de poursuite de satellites, et le reste.

     La science géodésique comprend: la topométrie, la géodésie, la topographie, la
photogrammétrie, l’astronomie géodésique.




                                                                                              9
I.1. LA TOPOMETRIE

          La topométrie (du grec topos = lieu et metron = mesure) est l’ensemble des
techniques de mesurage géométriques servant à déterminer la forme et les dimensions
d’objets et des lieux, sans tenir compte de la courbure de la terre.

I.2. LA GEODESIE

       La géodésie tire son nom des mots grecs Géo (Terre) et désie (je divise).

       La géodésie est la science qui a pour objet l’étude qualitative et quantitative de la
forme de la terre et de ses propriétés physique (la gravité, le champ magnétique, ect.).

        La géodésie permet de localiser, avec une grande précision, des points géodésiques
servant d’ossature aux levés topographiques.

I.3. LA TOPOGRAPHIE

         La topographie (du grec graphien = dessiner) est l’art de représenter
graphiquement un lieu sous forme de plans ou de cartes. La confection proprement dite de
ces cartes ou de ces plans relève de la cartographie. Une carte ou un plan est la
représentation graphique, à une certaine échelle, de la projection orthogonale de détails de
la surface de la terre, qu’ils soient naturels (rivières, montagnes, forêts, etc.),artificiels
(bâtisse, routes, etc.) ou conventionnels (limites administratives).

I.4. LA PHOTOGRAMEMETRIE

       La photogrammétrie est la science qui permet d’obtenir              des informations
quantitatives et qualitatives au moyen de photos. Comme l’indique la définition, la
photogrammétrie englobe deux champs d’activité : l’un métrique et l’autre interprétatif.
       Le premier consiste à prendre, directement ou indirectement, des mesures sur des
photos aériennes ou terrestres en vue de déterminer la forme et les dimensions d’objets.
       La photogrammétrie interprétative quant à elle consiste à déduire certains
renseignements en examinant des images obtenues au moyen de senseurs optique ou non
optiques (comme les senseurs infrarouges, le radar, etc.). Cette partie de la
photogrammétrie implique nécessairement que l’interprétateur possède de bonnes
connaissances dans le domaine concerné (géologie, foresterie, etc.).

           Les photos sont prises de telle sorte qu’une photo recouvre environ 60% de la
précédente. L’ensemble de ces deux perspectives observées dans un restituteur forment un
modèle stéréoscopique dans lequel sont prises directement ou indirectement les mesures
requises. C’est ainsi qu’on obtient la restitution.




                                                                                               10
I.5. L’ASTRONOMIE GEODESIQUE

         Basée sur des principes d’astronomie et de trigonométrie sphérique, l’astronomie
géodésique permet, à partir d’observations relatives aux astres, de déterminer la position
absolue de points et la direction absolue de lignes sur la surface de la terre. La position
absolue est donnée par la latitude et la longitude par rapport à l’équateur et au méridien
origine de Greenwich, et la direction absolue par l’angle que fait la ligne par rapport au
méridien du lieu.




                                                                                              11
II. LA TOPOGRAPHIE – GENERALITES

II.1. DEFINITION DE LA TOPOGRAPHIE

         La topographie est l’art de représenter sur un plan ou sur une carte la configuration
d’un terrain avec tous les détails et ondulations qui se trouvent à sa surface.
              C’est une phase de l’établissement des cartes. Elle consiste en un ensemble
d’opérations : de mesures sur terrain, calculs et dessin.

       Définition d’un levé topographique :
       C’est l’ensemble d’opérations permettant une représentation plane d’un territoire.

II.2. OBJET DE LA TOPOGRAPHIE.

          La topographie comprend deux disciplines :

          -   la topométrie qui est la technique d’exécution des mesures du
              terrain ;
          -   la topologie ou science des formes de ce terrain, directement lié à la
              géographie physique. C’est l’étude de l’efficacité des parcours par
              l’optimisation des tracés qui déterminent des réseaux de communication au
              niveau du sol, des cours d’eau, de la mer et des fonds sous-marins, ainsi que
              dans l’espace ; elle est aussi l’étude de toutes les combinaisons et
              intersections possibles entre ces différents tracés.

II.3. DIVISIONS DE LA TOPOGRAPHIE

       1. La planimètrie

       C’est un ensemble des opérations qui ont pour objet de déterminer la position exacte
de détails d’une partie réduite de la surface terrestre considérée comme plane.
         C’est la technique qui consiste à exécuter les levés dans lesquels la position de tout
détail est calculée et reportée sur le plan par des coordonnées. Elle exige les mesures de
longueurs et d’angles horizontaux sur le terrain.


       2. L’altimètrie

      C’est la partie de la topographie qui traite le relief du sol et permet sa présentation sur
le plan et sur la carte.

          - Nivellement :
          L’altimètrie exige la mesure des hauteurs ou altitude par rapport à un plan de
comparaison (de référence) et l’opération qui consiste à déterminer la distance verticale
(hauteur) s’appelle le nivellement.

          -    Géoïde :
             La surface de niveau c’est le niveau moyen des mers, supposé prolongé sous les
continents et prend l’appellation de géoïde.
             C’est le niveau zéro qui correspond à la moyenne des hauteurs relevées dans le
port choisi pour origine des nivellements à l’aide d’un marégraphe.




                                                                                               12
- Dénivelée :
             C’est la différence d’altitude entre deux (2) points.

              - Altitude :
               C’est sa hauteur au dessus du niveau moyen des mers mesuré suivant la verticale
du lieu.

II.4. UNITES DE MESURES.

             1. Mesure des distances

          Le mètre est définit pour base des unités de longueur de la façon suivant :
           « Longueur à la température de 0° du prototype international en platine iridié qui
a été sanctionné par la conférence générale des Poids et Mesures tenue à Paris en 1889, et
qui à été déposé au Pavillon de Breteuil, à Sèvres ».




                            La barre de platine-iridium utilisée comme prototype du mètre de 1889 à 1960.


         Les dispositions légales précitées définissent un multiple du mètre qui est le mille
marin :« longueur moyenne de la minute sexagésimale de latitude terrestre » soit 1852m.
Le mille marin s’emploie pour la mesure des longueurs marines et aéronautiques.

             2. Mesue des surfaces

         Les mêmes textes ont fixé pour mesure fondamentale de superficie le « mètre
carré » ou « centiare », superficie contenue dans un carré d’un mètre de côté.

             Les multiples et sous – multiples usuels de la mesure de superficie sont :
             le kilomètre carré (km2), qui vaut 1 000 000 mètres carrés ;
             …etc;

             3. Mesure des angles

           La loi du 14 janvier 1948 fixe pour unité légale de mesure d’angle l’angle droit, ainsi
défini :

      « Angle formé par deux droites se coupent sous des angles adjacents égaux’. Il se
représente par le symbole D. »

                        o     Unités angulaires :

    On rencontre trois systèmes :




                                                                                                            13
a- Système sexagésimal
      C’est un système permettant d’avoir les valeurs d’un angle en degré.

              le degré (d ou °), qui vaut 1/90 de D ;
             la minute d’angle, ou « minute sexagésimale », qui vaut 1/60 D et désignée par ‘ ;
      la seconde d’angle, ou « seconde sexagésimale », qui vaut 1/60 de minute désignée par
‘’.
          N.B : La circonférence d’un cercle est de 360°.

          b- Système centésimal
      C’est un système permettant d’avoir les valeurs d’un angle en grade.

               le grade (gr), qui vaut 1/100 de D ;
               le décigrade (dgr), qui vaut 1/1 000 de D ;
               le centigrade (cgr), qui vaut 1/ 10 000 de D, désigné couramment par ‘ ;
               le milligrade (mgr), qui vaut 1/100 000 de D.

          N.B : La circonférence d’un cercle est de 400 gr.

          c-  Système circulaire
          C’est un système qui permet d’avoir d’un angle en radian.

          N.B : La circonférence d’un cercle est de 2 ∏.

          Conversion des unités :


                                          D°      gr           rad
                                        ----- = ------     = ------
                                        180      200           ∏



         Pratiquement, pour toutes les opérations topographiques, on utilise actuellement le
grade et ses sous – multiples. Le degré reste employé pour toutes les mesures
astronomiques, ainsi que pour la navigation maritime et aérienne, parce que des rapports
simples existent entre les mesures de temps et les mesures en degrés (1 h correspond à
15°).

d) Définitions des altitudes.

          Les différences de niveau sont toujours calculées par rapport au plan horizontal du
point de station. Mais nous avons vu qu’en nivellement ce plan horizontal ne peut être
assimilé à la surface de la terre que sur une très petite portion.

               - Distances courtes ou précision désirée limitée :

         On considère que le plan horizontal H du point de station est parallèle au plan
horizontal P d’altitude zéro (fig. 19).
         Les différences de niveau sont mesurées perpendiculairement à ces plans. C’est
pour cette raison que les altitudes ainsi obtenues sont appelées ortho métriques.



                                                                                              14
La limite de distance jusqu’à la quelle on peut accepter cette assimilation dépend
de la précision désirée. En effet, l’erreur en résultant est de 0,03 mm à 20 m et elle est
proportionnelle au carré de la distance. Sa valeur est donc de 1 mm à 120 m et de 1 cm à
400 m.

         Généralement, on considère que cette assimilation de la surface de niveau au plan
horizontal n’est acceptable que dans le nivellement tachéométrique, parce qu’on ne cherche
pas une précision supérieure au centimètre, et dans les rayonnements effectués sur courtes
distances en nivellement direct.

           - Distances moyennes et bonne précision :

           Lorsque les distances dépassent quelques dizaines de mètres et que la précision
désirée est de l’ordre du millimètre, il faut tenir compte de la sphéricité de la terre. On
considère alors que la surface de niveau sphérique S tangente au plan horizontal H du point
de station est concentrique avec la sphère de niveau zéro (fig. 20).




        Les dénivelées sont mesurées perpendiculairement à ces surfaces. Les altitudes sont
ici aussi orthométriques.

e) Utilisation des repères N.G.M.

          Tous les levés importants doivent être rattachés au N.G.M. Pour cela, on établit
des cheminements partant d’un repère de nivellement et allant sur un autre repère de
nivellement.
          On peut éventuellement ferler sur le repère de nivellement de départ mais il faut
alors être certain de son altitude. En effet, certains repères sont inexacts parce que depuis
leur détermination, leur altitude a été modifiée, soit parce que l’ouvrage, (pont par exemple)
sur lequel ils sont posés, s’est légèrement affaissé par suite de tassement du sol, soit parce
qu’ils ont été maladroitement déposés (par un maçon pour refaire l’enduit d’une façade par
exemple) et mal replacés en suite.
        Un cheminement n’utilisant qu’un seul repère ne permet pas de mettre en évidence
une telle faute et les altitudes obtenues ne doivent pas être considérées comme exactes tant
que le repère n’a pas été vérifié par rattachement à un autre repère.

                 o   Matérialisation permanente des repères

Généralement, on distingue :



                                                                                              15
-   des repères de nivellement (R.N) qui sont généralement des bornes en béton
    connues en altitudes, on les trouve le long des routes nationales,
-   des balises : qui sont des matérialisations placées sur les sommets de
    triangulation et qui doivent être vues de très loin.
-   Des piquets : qui sont des matérialisations des points connus dans les zones
    urbaines, ce sont des clous, parfois avec des têtes en laiton enfoncés dans les
    routes ou dans les trottoirs.




                                                                                  16
17
18
19
III- CARTES ET PLANS



I. Les échelles

       C’est le rapport de similitude de la figue du plan à la figue du terrain.

       Autrement dit, L’échelle d’un plan ou d’une carte est le rapport exprimé dans
la même unité entre une longueur mesurée sur la carte ou le plan et une longueur
mesurée sur le terrain.

        La formule principale pour les échelles est :

                             Distance sur la carte ou plan
                        --------------------------------------------
                   Distance horizontale correspondante sur terrain


        Ou :
               1 = 1
               E   A

      Où :
      1 : échelle ;
      E
      A : distance sur le terrain (en m)

        L’échelle est toujours indiquée avec 1 au numérateur.

Exemple :

         a) Si on mesure une distance de 2,5 cm sur un plan et que la distance sur le
terrain est 25 m, l’échelle sera :

                                            2,5    =     1
                                           2500        1000

        b) Si on mesure une longueur de 7, 4 cm sur un plan à l’échelle de 1/500, la
longueur réelle sera :

                              7,4 x 500 = 3 700 cm = 37 m.

        c) Inversement si une longueur mesurée sur le terrain est : 85 m, elle sera
représentée sur un plan à 1/200 par :

                               85 = 0, 425 m = 42, 5 cm
                              200



                                                                                   20
L’échelle d’un plan ou d’une carte est une fraction. Elle sera d’autant plus
grande, que son dénominateur sera petit.

       Sur les plans, l’échelle est souvent indiquée sous sa forme décimale suivie de
la forme fractionnaire, entre parenthèses.


II. Classification sommaire des cartes et plans




                                                                                   21
III. Précision d’un plan

      1. Topométrie graphique (levés dits réguliers)

        Elle aboutit à un modèle graphique, appelé aussi plan conventionnel dans
lequel l’erreur sur la détermination d’un point par rapport au point voisin est limitée à
l’erreur graphique soit 0,1 mm. Elle nécessite un support stable, un dessin finement
exécuté et un matériel très précis.
        Cette erreur représente sur le terrain :
        1,5 cm à l’échelle 1/100
        3 cm à l’échelle 1/200

       Echelle graphique : c’est un instrument qui sert à reporter sur une carte
établie à une échelle numérique donnée des distances mesurées sur le terrain et
réduites à l’horizontale ou invrsement de déterminer la distance horizontale dans la
nature par la mesure de la droite correspondante sur la carte.

      Exemple : L’échelle graphique représentant l’échelle numérique 1/100.000 :




      2. Topomètrie numérique

       La topométrie numérique suppose un équipement opérationnel approprié :
tachéomètre électronique, calculateur programmable, lecteur enregistreur, micro-
ordinateur, traceur rapide, …etc.
       Elle aboutit à un document dont tous les éléments sont définis par leurs
coordonnées rectangulaires.
       Plus précise que la topométrie graphique, elle permet l’établissement d’un
modèle graphique à toute échelle.

      Echelle numérique : c’est le rapport de réduction entre la distance qui
sépare deux sur la carte et la distance horizontale correspondante sur le terrain.

IV. Carte et plan

       C’est une représentation plane d’une partie de la surface terrestre.
       Lorsque le terrain à relever est d’une superficie assez restreinte et qu’il est
possible de représenter tous les détails à échelle, qui est toujours assez grande, la
représentation est appelée plan (plan parcellaire, plan d’aménagement, …).




                                                                                       22
Plan d’aménagement d’Errachidia




       Par contre, lorsque la surface est assez grande et qu’on doit représenter
certains détails par les signes conventionnels, à cause de la petite échelle requise,
cette représentation est appelée carte.

On distingue trois types de cartes :

      1- carte topographique :

Les cartes topographiques (aspect descriptif de la physionomie du terrain, échelles
du 1 : 5000 au 1 : 100 000). Sur ce type de cartes figurent essentiellement les
résultats des observations directes concernant la position planimétrique et
altimétrique, la forme, la dimension et l'identification de phénomènes concrets fixes
et durables existant à la surface du globe.




                                                                                   23
Carte topographique d’Errachidia 1/100 000
2- Carte thématique

Les cartes thématiques : il s'agit de la représentation sur un fond repère d'une
information spécifiquee. Cette information peut être physique, économique ou,
concerner la géographie humaine et la géographie générale.




     Poster Afrique Politique                       Carte géologique




                                                                                   24
V. Relief

       Le relief peut être représenté sur un plan ou sur une carte par un ensemble de
points d’altitudes connues ou par des lignes qui joignent les points de même
altitudes.

V.1. Courbes de niveau

       C’est une surface de niveau à laquelle tous les points sont à la même altitude.
Elle est représentée sur un plan ou sur une carte par une ligne réunissant des points
de même altitudes.

On distingue :
                 -   Courbes hypsométriques ou isotypes : qui décrivent la surface du
                     sol ;
                 -   Courbes bathymétriques ou isobathes : qui décrivent les fonds
                     marins.

                  Courbes hypsométriques ou isotypes

      On distingue quatre types :

                 -   Courbes maîtresses : ce sont des lignes représentées par un trait
                     foncé permettant une lecture rapide du relief. Ces courbes
                     portent, souvent, un chiffre correspondant à leur altitude.
                 -   Courbes intermédiaires : ce sont des lignes tracées à une
                     équidistance choisie.
                 -   Courbes intercalaires : ce sont des lignes tracées à mi-
                     équidistance ;
                 -   Courbes sous-intercalaires : ce sont des lignes tracées au ¼ de
                     l’équidistance. Elles permettent de lire le relief aux endroits où la
                     pente est très faible.

             Courbes maîtresses                  :

             Courbes intermédiaires              :

             Courbes intercalaires               :

             Courbes sous-intercalaires          :


V.2. Equidistance, intervalle et pente

                       a- Equidistance

       C’est la différence d’altitude entre deux courbes de niveau consécutives. Elle
varie suivant l’échelle du plan et la nature du terrain.


                                                                                        25
b- Intervalle

       C’est la distance réelle horizontale sur le plan ou la carte entre deux courbes
de niveau consécutives.

                      c- Pente

       C’est le rapport de différence d’altitude (équidistance) avec la distance
horizontale (intervalle).

      La pente à un endroit donné est :

                     équidistance      e
                 p = -------------- = -----
                      intervalle        i

      La pente moyenne entre deux points est :

          différence d’altitude entre les 2 points          ∆H
      p= -------------------------------------------------- = -----
         distance horizontale entre ces 2 points            DH

V.3. Interpolation d’altitude

      C’est le calcul d’un point se trouvant entre deux courbes de niveau :




On a : p = tg α = e / i   de même tg α = h / d



                                                                                         26
Donc : e / i = h / d


     e
h = ---- x d = p x d
     i


Hr = Hb + h

VI. Profil en long et Profil en travers du terrain naturel

      Les profils sont des représentations graphiques détaillant le relief d’un terrain
naturel.


VI.1. Profil en long

      C’est une représentation du terrain naturel suivant la longueur de l’axe de la
zone considérée.

        Autrement dit, c’est une coupe suivant un plan vertical permettant d’avoir le
relief du terrain naturel le long de la zone considérée.




                                                                                        27
i1 grand               pente faible

        i2 petit                  pente forte



                     H         e
        tg β = p = ------- = -------
                     DH        i


        VI.2. Profil en travers

       C’est une représentation transversale du terrain naturel permettant une bonne
lecture du relief suivant la perpendiculaire de l’axe de la zone considérée.

        Généralement, on réalise un profil en travers pour chaque piquet du profil en
long.




                                                                                    28
IV. MESURE DES DISTANCES


IV.1. GENERALITE

          Le mesurage linéaire, généralement appelé chaînage, est la base de tout opération
topo métrique. Même si le chaînage semble à première vue très simple, il faut se méfier ; il
faut lui apporter toute l’attention possible et utiliser la bonne technique.

         Le chaînage est un procédé donnant la distance directe sur le terrain entre deux
points A et B.

          La mesure linéaire s’effectue de trois façons : par la mesure directe, par la mesure
indirecte ou par la mesure électronique.

IV.2. LES INSTRUMENTS POUR MESURES DIRECTES DES DISTANCES.

       A- Instruments de terrain

   1) Compteur kilométrique

           C’est un moyen permettant d’avoir rapidement et approximativement la distance
entre deux points. Il est utilisé que lors des travaux de reconnaissance.




                                           Odomètre

   2) Le pas ou le double pas

          Cette méthode permet de mesurer rapidement les dimensions de certains détails
pour les levés à petit échelle (1/2 000 et en - dessous). Elle permet également de vérifier si
une erreur importante n’a pas été commise sur la mesure d’une distance. Il est valable sur
un terrain relativement plat et dégagé.




                                          Podomètre électronique




                                                                                            29
3) Mesure à la roue de connaissance

         Connaissant le rayon R de la roue et marquant le point de départ, on peut mesurer
une distance entre deux points quelconque A et B en comptant le nombre de tours de la
roue :
                                          DAB = n x 2 Π R

         Avec :

         n     : nombre de tours de la roue entre A et B

         Ce procédé donne d’assez bons résultats en terrain plat et dégagé.




                                         Odomètre à roue



   4) Mesures à l’aide des chaînes et des fils

             a. La chaîne d’arpente

         Présentant de nombreux inconvénients (maillons de fil de fer, reliés entre eux par
les anneaux), elle est actuellement abandonnée.




             b. Le mètre ou le double mètre

        Ruban métallique enroulé dans un boîtier. D’un maniement aisé il est utilisé pour la
mesure de détails (hauteur des tourillons, mesures en renforcement…..).




                                                                                          30
Un mètre ruban rétractable                    un décamètre

           c.    Le ruban (étalon à bouts)

        Il est en acier ou en inox, de longueurs 10, 20, 30 ou 50 m, il est bien adapté pour
tous les travaux topo métriques.




           d.    La roulette (étalon à traits)

        Montée dans un boîtier avec un sans marche, elle est d’un emploi plus aisé.
        Elle est munie, soit d’un ruban plastifié (très sensible aux différences de
températures, allongement important) soit d’un ruban d’acier, de 10, 20, 30 ou 50 m.
Graduations tous les centimètres. L’anneau des rubans à roulette n’est pas compris dans la
longueur.
          Malgré l’utilisation de plus en plus courante des roulettes, les rubans restent
l’instrument le plus précis pour les raisons suivantes :

          -      Les mesures sont faites « bout à bout », les poignées articulées étant
                 comprises dans la longueur.
          -      Les poignées possèdent des cannelures demi circulaires du même diamètre
                 que les fiches.




                                                                                               31
B- Instruments de bureau




                       Kutsch                               Régles



III.3. LE JALONNEMENT

        Un jalon est un tube métallique de 200 x 3 cm environ, constitué de un ou plusieurs
éléments, peint en rouge et blanc, enfoncé par percussions successives dans un sol meuble,
maintenu par un trépied léger sur une surface dure, comme un trottoir asphalté par exemple
(fig.).




         Le jalonnement consiste à aligner plusieurs jalons entre deux autres, afin de
disposer de repères intermédiaires au cours du mesurage.

       Le jalonnement d’un alignement peut se faire, selon la longueur et la précision
demandée :

         -   à vue,
         -   à l’aide d’un jalon,
         -   au moyen du réticule d’une lunette,
         -   avec un laser d’alignement.

         Plusieurs cas peuvent se présenter :

a) De A on voit B et le jalonnement est sans obstacle

              A vue


                                                                                         32
L’opérateur se place à quelques mètres derrière le jalon A , vise le bord du jalon en
direction de B et fait placer par un aide les jalons intermédiaires 1, 2, 3 en commençant de
préférence par le plus éloigné. Dans le cas d’une distance courte, l’opérateur peut aligner
chaque portée de ruban sans jalonnement préalable.


           Avec un théodolite




         Après avoir mis le théodolite en station au point A , viser le jalon B à son axe et le
plus près possible du sol de façon à réduire l’influence du défaut de verticalité, puis faire
placer par un aide les jalons intermédiaires en commençant impérativement par le plus
éloigné.

           Oculaire laser

          Un laser, mot constitué par les initiales de l’expression anglais Light Amplifier by
Stimulated Emission of Radiation, est un appareil qui fournit un faisceau lumineux
monochromatique de très faible divergence : le milliradian. Un oculaire laser verrouillé sur un
théodolite donne un faisceau lumineux rouge de forte brillance, permanent, qui permet la
visualisation sur cible de tout point entre A et B.

       Diamètre du point lumineux : 4 mm/100 m et 6,5 mm/200 m

       Portée : environ 150 m de jour et 400 m la nuit




                                                                                             33
b) Procédé dit du «fourrier » le point B n’est pas visible de A.




                                                                   Fig.27

         L’opérateur M se place aussi près que possible de l’alignement AB, de telle sort qu’il
puisse voir B, par exemple en M1. L’aide N aligné par l’opérateur sur N1B se place en N1 d’où
il aligne à son tour l’opérateur en M2 sur N1A. L’opérateur M2 aligne ensuite l’aide en N2 sur
M2B. Et ainsi de suite jusqu’à ce que les alignements successifs aboutissent aux points
corrects M et N, où les rectifications de position ne sont plus nécessaires.

III.4. PROCEDES ET EXECUTION D’UN CHAINAGE

       A. MESURAGE A PLAT

               a) le terrain est horizontal

          Règle générale :

          L’opérateur se place à l’arrière, l’aide à l’avant, en se mettant sur le côte du
ruban ; L’opérateur place l’extrémité 0 du ruban sur le repère, aligne l’aide qui tend le ruban
et marque son extrémité en enfonçant une fiche au sol.

        Cette fiche doit être enfoncée perpendiculairement au ruban et inclinée vers le sol.
La même opération se répète autant de fois qu’il est nécessaire.




                                            Fig. 28



                                                                                              34
b) le terrain est incliné, la pente régulière

         On applique la règle générale, la distance obtenue est une distance suivant la
pente (dp). La distance à introduire dans les calculs est la distance horizontale.

            - si on a mesuré le site (i), on aura :

                                              dh = dp cos i

            - si on connaît la dénivelée (dh) entre A et B on applique la formule :

                           c = dp – dh = dn2          ou dh = dp - c
                                         2 dp

          On peut également à l’aide des calculatrices, obtenir la distance horizontale:

                                          dh2 = dp2 – dn2

Application :

Vous mesurez une distance suivant la pente de 37,25 m et vous mesurez, au clisimètre, une
pente de 2,3%. Quelles sont les valeurs de Dh et ∆H ?


          c) Le terrain est incliné, la pente irrégulière

         On décompose la distance en tronçons d’égale inclinaison, on mesure le site ou la
dénivelée de chaque tronçon.

          Mesurage par ressauts horizontaux (cultellation)

            Méthode utilisée lorsque le terrain est très irrégulier, caillouteux, broussailleux,
….etc).




         On opère par portées horizontales (1 portée ou fraction de portée).
         L’extrémité « avant » est projetée verticalement au sol à l’aide d’un fil à plomb
(chaînage en descendant).

        Le chaînage est très délicat en montant ou lorsque les deux extrémités doivent être
plombées.




                                                                                                   35
c)   Mesure à l’aide d’un clisimètre

        Une distance mesurée sur un terrain en pente régulière peut être réduite en utilisant
un clisimètre




III.5. PRECISION DU MESURAGE

       1.   Les fautes grossières (erreurs parasites)

           On parle de fautes lorsqu’il s’agit d’une grosse erreur dont la valeur dépasse une
certaine limité appelée « tolérance ». Elle provient en général de l’inattention de l’opérateur
par :

            -   oubli d’une portée de ruban (mauvais décompte des fiches),
            -   faute de lecture ;
            -   confusion de chiffres.

            Les fautes représentent en général un écart important. Le mesurage aller et
retour fait apparaître les fautes.

          On peut donc les éliminer et améliorer le résultat soit par contrôle direct (répéter
la même mesure par le même procédé) soit par contrôle indirect (méthode différente et
indépendante de la première).

       2. Les erreurs systématiques

         Dans les mêmes conditions d’utilisation ce sont celles qui se reproduisent toujours
dans le même sens. Elles sont cumulatives.

           En général ces erreurs sont dues aux imperfections des instruments. Connaissant
leurs causes, on peut éliminer ou diminuer leur effet soit en calculant les corrections à
apporter aux mesures, soit en adoptant un mode opératoire précis.

       On peut procéder à la correction par :

            -   Calibration de l’instrument avant mesure,
            -   Calcul de la correction après mesure.



                                                                                            36
-   Principales erreurs systématiques

                a) Etalonnage

       C’est la différence entre la longueur nominale et la longueur actuelle de la chaîne.
       Le ruban, lors de l’emploi est soumis à des déformations diverses qui modifient la
longueur vraie du ruban. La seule vérification est celle effectuée sur une base précise. Il
convient ensuite de tenir compte de la correction d’étalonnage.

       Il faut bien noter, qu’avec un double décamètre trop long, on obtiendra une quantité
trop petite dans le résultat de la mesure.

                                     E = Lo – Lac et Ce = - E

       La distance réelle mesurée par une chaîne représentant une erreur d’étalonnage est :

                                        L = D * (Lo / Lac)

Où
       D : distance mesurée sur le terrain avec une chaîne erronée
       L : longueur réelle mesurée.


                b) Dilatation

         Seule la dilatation des rubans en acier peut être calculée.

         Sous l’effet de la température, la chaîne change de grandeur.
         La longueur à un température t = to + ∆t est :

                                           Lac = Lo * (1 + σ ∆t)

         Le coefficient de dilatation de l’acier est σ = 0, 0000108 ce qui fait une variation
de 1,1 mm pour 100 m et pour une variation de température de 1° C.

                                           Cd = Lo σ ∆t
                c) Elasticité

         Sous l’effet de la tension, le ruban, comme tous les métaux subit un allongement
élastique. C’est à dire, dans le courant, le métal reprend sa longueur initiale quand on
relâche la tension. Il prend une déformation permanente lorsque l’effort dépasse une
certaine limite.

       La correction d’élasticité est :

                                    Ce = Lo (T – To) / (E x S)
Où :
       Lo       :   longueur du ruban ;
       T        :   tension au moment de mesure ;
       To       :   tension initiale (au moment d’étalonnage) ;
       E        :   module d’élasticité qui est 20.000 kg/mm² pour l’acier ;



                                                                                                37
S        : section du ruban.

         A titre indicatif : une tension de 5 kg donne un allongement de 2 mm pour une
section de 2 mm2, et 1 mm pour une section de 5 mm2.

                d) Chaînette (lorsqu’on opère en mode suspendu)

           Cette erreur est fonction du poids de la chaîne, de sa longueur et de la tension
appliquée pendant la mesure. C’est une erreur rencontrée pendant le chaînage par
cultellation. La correction de la chaînette est :

                                        Cc = P² x Lo / (24 T²)

           P    : poids de la chaîne en kg ;
           T    : tension appliquée lors de la mesure en kg.

         Une tension moyenne permet d’annuler l’influence de l’élasticité, et de l’erreur de
chaînette.

                               Y




                  A                              B              X

                               O



                e) Alignement

           C’est le type même de l’erreur accidentelle à caractère systématique.

           L’erreur est donnée par :

                            Ea = AB’ – AB = L – L cos φ = L (1 – Cos φ)
                                       E a= L ( 2 sin² (φ/2))

           Comme φ est petit donc φ rad est confondu avec son sinus : Ea = 2 L (φ/2)²

           Donc : Ea = L – D = L φ² / 2 Or L φ = h donc Ea = h φ L/ 2 L = h² / (2 L)




         Avec un double décamètre, une erreur d’alignement de 20 cm engendre une erreur
de (0,20)2 = 0,001 m = 1 mm
      40


                                                                                          38
f) Horizontalité

          Le défaut d’horizontalité se produit sur les mesures par ressauts horizontaux. Elle
est identique à celle qui provient du défaut d’alignement.

       3. Les erreurs accidentelles

       Ce sont des erreurs qui affectent encore le résultat de mesures une fois que l’on a
éliminé les erreurs systématiques. Ces erreurs paraissent soumises aux caprices du hasard et
échappent au contrôle de l’opérateur. Elles ne peuvent être ni calculées, ni éliminées par un
mode opératoire.

      Elles peuvent être réduites seulement en répétant les mesures plusieurs fois et en
prenant comme valeur probable la moyenne des mesures.

           - erreur de plombage,
           - fiche non verticale,
           - erreur de mise bout à bout, mauvais tracé.

           4. Erreurs apparentes

           On appelle erreurs apparentes ou résiduelles, les quantités suivantes :

           L1 – Lo = V1
           L2 – Lo = V2
           ….
           Ln – Lo = Vn

           Donc : Σ Li – n Lo = Σ Vi

           Or Lo = Σ Li / n   Donc Σ Li = n Lo

           Ainsi n Lo – n Lo = Σ Vi = 0

               « La somme des résiduelles est nulle. C-à-d, pour un grand échantillon, à tout
erreur positive correspond une erreur négative. »



III.6. TOLERANCE, ECART MOYEN, VARIANCE, ECART TYPE

       1. Tolérance (Erreur maximale)

       L’erreur maximale est l’erreur qui correspond à la probabilité de 1% d’être dépassé
en valeur absolue.

      On l’appelle tolérance car c’est la valeur maximale admissible qu’elle ne faut pas
dépasser lors des mesures :


                                          T = 2,6 σ



                                                                                                39
2. Ecart moyen

C’est l’erreur moyenne arithmétique d’un grand nombre de mesures :

                                m = ! V1 + V2 + …+ Vn ! / n

                          m = Σ ! Li – Lo ! / n = = Σ ! Vi ! / n

      3. Variance

      Elle est définie par :

                               σ² = (V1² + V2² + … + Vn²) / (n – 1)

                          σ² = Σ Vi² / (n – 1) = Σ (Li – Lo)² / (n – 1)

      Lo : moyenne arithmétique

      4. Ecart type

      Il est défini par la racine carrée de la variance :

                                               σ = √ σ²


   III.7. MESUES INDIRECTES A L’AIDE DES APAREILS DE MESURE

      Ces appareils permettent de mesurer les distances avec une grande précision.

       Le principe de ces appareils consiste à mesurer le temps requis pour qu’un rayon du
   milieu magnétique ou laser (light amplication system by électric radiation) émis depuis
   un émetteur situé à l’extrémité de la ligne à mesurer revient à celui-ci après avoir réfléchi
   par un réflecteur placé à l’autre extrémité de la ligne.

      Il existe actuellement trois (3) systèmes utilisant la vitesse de propagation :

          -   des ondes électromagnétiques (Tachéomètre)
          -   des ondes lumineuses (Théodolite)
          -   des rayons laser ( Télémètre Laser)




         Une mesure indirecte est une mesure que l’on obtient par un mesurage optique ou
électrooptique, sans que l’opérateur ait à parcourir la longueur à mesurer.


                                                                                             40
1. Mesure optique

       a) Mesure parallactique

        Principe
            On dispose en M un stadia horizontal (en métal invar). Un petit viseur permet
d’orienter le stadia perpendiculairement à la direction SM.

         La stadia est munie de deux voyants A et B symétriques par rapports à M’ et
écartés exactement de 2 m.

         L’opérateur en station en S, mesure l’angle horizontal ou parallactique entre A et B
avec un théodolite de précision (Wild T2, Zeiss TH2…).

         Le calcul donne la distance horizontale.

               AB = 2 m        AM’ = 1 m            A = 100 gr – a/2

                 1         SM’
             --------- = ---------
             sin a/2     cos a/2

                          cos a/2
            d’ où : SM’ = --------- = cotg a/2
                          sin a/2


              SM’ = 1 / tg a/2       = distance horizontale




       Des tables donnent directement la distance horizontale en fonction de alpha.

        Deux paires de séquences sont nécessaires pour la mesure de alpha. La précision de
ce procédé est d’environ 1 cm pour une distance de 35 m.




                                                                                            41
b) Les mesures stadimétriques

          On utilise pour effectuer des mesures stadimétriques, soit un tachéomètre,
opticomécanique non autoréducteur (la distance horizontale est obtenue après un calcul),
soit un tachéométre optico-mécanique autoréducteur (la distance horizontale est donnée
directement).

            •   Les stadimètres non autoréducteurs à angle constant

          Ils sont actuellement très peu utilisés en topométrie (portées et précisions
réduites). Ils sont par contre toujours utilisés en nivellement direct. Le niveau étant un
stadimètre à axe optique horizontal.

         Une lunette stadimétrique est une lunette dont le réticule porte deux traits
symétriques par rapport au trait niveleur. L’image de la mire se projette sur le réticule et
forme un angle stadimétrique α.

Principe

           c, b = traits du réticule
           CB = images de c et b sur la mire
           l    = différence de lecture sur une mire : lect sur C – lect sur B

           m et le rapport : m = tg α est constant
                             d

           En général       m = 1 de radian = α = 0, 63662gr
                            d  100e

                    l = m la distance D est proportionnelle à l.
                    D   d

                    D =     l/2 ≈    l         d’où      D = l / 2cotg α/2 = l
                 cos α/2 sin α/2  sin α                                     tg α


                 l’angle α étant petit on peut écrire      D ≈ l/tg α

                  tg α = tg 0, 63662grades = 0,01       donc    D = 100 l




                                                                                           42
Les lectures sont faites sur la mire au millimètre par interpolation à vue.
         La distance D est donc donnée au mieux à : + 1 mm. 100 soit 10 cm près.

                                     l = 1, 217 – 1, 068 = 0, 149

                                 distance D = 100 l = 14, 90 m

         Cette méthode n’est applicable qu’en terrain sensiblement horizontal, la mire étant
perpediculaire à la visée donc tenue verticalement.

          •   Mesures stadimétriques en terrain incliné


       c) Les instruments de mesure électronique des longueurs (I.M.E.L.)

       Principe

          Les instruments de mesure électronique des longueurs (I.M.E.L.) fonctionnent
comme des chronomètres. Ils utilisent les ondes électromagnétiques qui se propagent en
ligne droite, à une vitesse constante et connu.

        L’intensité de l’onde porteuse (électromagnétique, centimétrique ou lumineuse) est
modulée à l’émission par une fréquence plu basse.

          L’onde porteuse est émise par un poste émetteur récepteur et renvoyée par celui-
ci, soit par un réflecteur, soit par un deuxième récepteur (ondes radio). Les (I.M.E.L.)
mesurent en fait des temps de parcours.

       Formule générale

                      distance = vitesse x temps de parcours
                                               2
l’onde porteuse faisant l’aller – retour.

        On distingue les instruments n’effectuant que des mesures de distances, est les
tachéomètres électro – optiques.

III.8. Règles essentielles d’un bon chaînage

       Il faut :
            - Connaître sa chaîne ;
            - Adopter un système de signaux simples ;
            - procéder à un alignement entre les deux points, soit à l’œil ou avec l’appareil,
            - Exercer une tension sur la chaîne pour la rendre tendue et rectiligne,
            - Marquer la portée avec une fiche plantée verticalement;
            - Planter correctement toutes les fiches ;
            - Noter la mesure de chaque portée au fur et à mesure du chaînage ;
            - Ecarter la chaîne de la fiche implantée pour éviter de refaire le chainage,
            - Ne jamais tirer sur la chaîne si on sent de la résistance car elle peut être
                 bloquée par un obstacle,
            - Répéter les lectures au moins deux, et faire la moyenne ;




                                                                                            43
-     Prendre grand soin de l’équipement et se méfier des personnes, des animaux
                 et des véhicules.

Il ne faut pas   :
            -    Donner des secousses brusques à la chaîne ou la tirer quand elle est bloquée ;
            -    Déranger une fiche ou un jalon pendant la mesure ;
            -    Oublier de ramasser les fiches ;
           -     Enrouler une chaîne mouillée ou terreuse




                                                                                             44
V. MESURE DIRECTE DES DENIVELLEES

I. DÉFINITION.

        C’est l’ensemble des opérations qui permettent :

             -   d’un part, de mesurer les différences de niveau entre deux ou
                 plusieurs points ;
             -   d’autre parte, de calculer par une opération simple (addition et
                 soustraction) l’altitude où la côte de chacun des points concernés
                 par rapport à un niveau de base (plan horizontal de référence).

        Les travaux de nivellement permettent :

        a) de compléter la mise en plan des détails ;

        b) de planifier la construction de routes, de chemins de fer, de canaux, etc ;

        c) de calculer des volumes d’excavation, et ainsi de suite.

II. DÉFINITIONS ET PRINCIPES GÉNÉRAUX DE NIVELLEMENT.

        Altimétrie : partie de la topographie qui traite du relief du sol et de sa
représentation sur les plans et cartes.

          Surface de niveau : surface libre d’un liquide ; en chacun des ses points,
elle est perpendiculaire à la pesanteur.

         En topographie, la surface de niveau de base est, en général, le niveau
moyen des mers, prolongé par la pensée sous les continents. C’est ce que l’on
appelle le géoïde terrestre.

         Hauteur d’un point où cote : La hauteur d’un point où cote est la distance
verticale entre le point et une surface de niveau choisi arbitrairement.

        Lorsque la surface de niveau est celle de la mer, la hauteur prend comme
nom : altitude avec comme convention la lettre Z.

        La distance AB prend nom de différence de niveau où dénivelée : ∆ ZA et
∆ZC sont dits au même niveau quand leurs distances AE et CD à la surface de la mer
sont égales.

         Au Maroc, la surface de niveau de base retenu correspond au niveau moyen
de l’océan Atlantique. C’est le plan de comparaison du système de nivellement, le
N.G.M (Nivellement Général du Maroc).




                                                                                    45
Le nivellement consiste à déterminer les différences de niveaux entre les
points situés sur des surfaces de niveaux différentes et les rattacher à des repères de
nivellement au moyen des visées réalisées sur le terrain.

         Le nivellement peut s’effectuer selon trois procédés qui sont par ordre de
précision décroissante :

               -   le nivellement direct ou géométrique,

               -   le nivellement indirect ou trigonométrique,

               -le nivellement barométrique (méthode de nivellement basée sur des
               mesures de pressions atmosphériques) peu précis, n’est pas traité
               dans cet ouvrage.

      Nous nous intéressons plus particulièrement au nivellement direct.

III. LE NIVELLEMENT DIRECT.

        Définition :

        Le nivellement direct s’appuie exclusivement sur des visées horizontales. En
général il est exécuté avec un niveau. Un niveau matérialise une ligne de visée
horizontale, mais ne permet pas de mesurer des angles verticaux.

       Il a pour but de mesurer directement les différentes d’altitudes ou les
dénivelées au moyen de visées horizontales effectuées avec un niveau sur des points
où l’on place la mire.

   1. Nivellement direct ou géométrique

        Le principe du nivellement géométrique est la mesure d’une différence
d’altitude, ou d’une succession de différences, par rapport à un point d'altitude
connue. L'altitude du point connu et ces différences d'altitude mesurées, permettent
par simple soustraction de déterminer l'altitude des points.



                                                                                     46
47
48
49
Il est réalisé au niveau de chantier, au niveau optique ou au niveau
numérique, et à l'aide d'une mire graduée. Le principe est en fait assez simple, le
niveau faisant toujours une lecture à l'horizontale, chaque dénivelée est simplement
lue sur la mire qui est tenue à la verticale.

                                       Nivelée

                                 Portée
Lecture avant                                                        Lecture arrière




                                                                     Mire



                    A                                                B




   2.   Différents types de nivellement direct

              a.   Nivellement simple :

        Il consiste à déterminer la différence de niveau entre deux points à partir d’une seule
station.

                                ZA = ZB + ∆ZAB D’où : ∆ZAB =ZA - ZB


              b. Nivellement composé ou nivellement par cheminement

       Consiste à déterminer la différence de niveau entre 2 points à partir de stations
intermédiaires. C-à-d une suite de nivellement simple.

        ∆Z1 = ZA1 – ZB1
        ∆Z2 = ZB2 – ZC2
        ….


                   ∆ZAB = ∆Z1 + ∆Z2 + ∆Z3 + …+ ∆Zn = Σ (ZAi - ZBi )
                               Donc : Zn = ZA + ∆ZAB




                                                                                             50
c. Nivellement par rayonnement

        Consiste à déterminer la différence de niveau de plusieurs points à partir d’une seule
station.




                                  H1 = HRN1 + (R – V1)
                                  H2 + HRN1 + (R – V2)

   3. Nivellement fermé et nivellement ouvert:

                 -    Nivellement fermé : Il est fermé quand les lignes les points observés
                      sont rattachées à leurs extrémités à des repères dont les altitudes sont
                      connues.

                              1

                 RN                             2                                         RN'


                      RN et RN’ sont des repères dont les altitudes sont connues.



                                                                                           51
-   Nivellement ouvert : Il est dit ouvert quand l’altitude du point
                      d’arrivée est inconnue.



      RN                                                                               6


             RN aune altitude connue, tandis que l’altitude du point 6 est inconnue.


             Il est indispensable de procéder à la vérification d’un cheminement :

             -    Soit par cheminement en sens inverse : revenir au point de départ R en
                  reprenant les points fixes déjà nivelés;

                                              aller


             RN                                 retour                                     6



             -    Soit par fermeture : revenir au point de départ R en prenant de nouveaux
                  points intermédiaires.




       En pratique, les portées conseillées pour un cheminement sont de 60 m et
pour le rayonnement 100 m.


   4. Appareils de nivellement direct

             a. Sans lunettes

                       •   Niveau à eau

      C’est un niveau qui donne une précision de l’ordre de 2 cm par lecture.




                                                                                               52
b. Avec lunettes

        Les niveaux avec lunettes sont classés en trois catégories. Chaque catégorie
correspond à des besoins différents, et à des méthodes appropriées.

        - Niveau de précision → Nivellement direct de haute précision
        - Niveau d’ingénieurs → Nivellement direct de précision
        - Niveau de chantier → Nivellement direct ordinaire

      Dans chacune de ces catégories, il existe des niveaux de type classique, et des
niveaux automatiques.

Niveau optique :

Appelé aussi lunette/niveau( à lunette et nivelle fixes), le niveau optique est utilisé
pour faire des nivellements. Il est composé d'une lunette optique fixée sur un
trépied. Il est utilisé par l'opérateur pour lire les mesures sur une règle graduée
(mire), qui est tenue par un opérateur. C’est un appareil conçu pour les travaux de
haute précision.




Niveau de chantier




                                                                                     53
C’est un niveau sans vis de fin calage. Il offre généralement une précision très
moyenne et est d’une mise en œuvre simple. Le calage est assuré par une nivelle
torique.




Niveau automatique

     C’est un niveau moderne dans les quels le calage définitif se fait
automatiquement à l’aide d’un diapositif propre à l’appareil sans intervention
humaine (nivelle sphérique).




Niveau numérique

        D’une grande simplicité d’utilisation, il utilise des principes de compensation
similaires au niveau automatique. Il permet de s’abstenir complètement de la mesure
et des erreurs qu’il comporte.




             c. Accessoires de nivellement

                      •   Mires :

      Ce sont des règles graduées permettant d’exécuter des lectures. Elles sont
munies d’un dispositif de verticalité. Elles sont en bois ou en aluminium.
      Il existe trois types de mires classées selon la précision qu’elles donnent et
leur mode de graduation et d’utilisation. On distingue :

         -   Mire à voyant : utilisée pour les travaux n’exigeant pas une grande
             précision. Elle est utilisée avec les niveaux sans lunettes, c’est donc le


                                                                                          54
porte-mire qui fait les lectures en manipulant le voyant sur indication de
             l’opérateur.

         -   Mire parlante : utilisé pour le travaux qui exigent une certaine
             précision avec un niveau avec lunette.




         -   Mire en invar : utilisé pour le travaux de haute précision




IV. NIVELLEMENT INDIRECT OU TRIGONOMETRIQUE


       Le nivellement trigonométrique est réalisé par calcul du dénivelé et non plus
sa mesure directe. On ne mesure plus la dénivelée entre 2 points pour déduire une
altitude, mais on calcule tout d'abord cette dénivelée grâce à des mesures d'angles
et de distances réalisés à l'aide d'un théodolite ou d'un tachéomètre.




       Ce type de nivellement est utilisé dans la cas d’un terrain très accidenté ou
dans le cas où la distance qui sépare les 2 points est grande.



                                                                                     55
Il est réalisé par le calcul trigonométrique à partir d’un triangle rectangle.

       Principe :
       On mesure la distance horizontale entre les 2 points. On mesure la hauteur
entre le point de repère et l’axe optique, LA.

                           ∆HAB = La + (Dh x tg i) - Lb
                               HB = HA + ∆HAB




       En général, ce nivellement est moins précis que le nivellement direct
(horizontal). Mais malgré tout, on peut obtenir un nivellement de haute précision
sans certaines conditions (visée peu inclinée, …).

V. ERREURS DE NIVELLEMENT

      Les sources d’erreurs sont de trois types :

         -   Erreurs instrumentales
         -   Erreurs personnelles
         -   Erreurs de causes naturelles

                    1. Erreurs instrumentales

                          a. Erreur de réglage de la nivelle
       C’est une erreur d’inclinaison de la ligne de visée : il faut procéder à un
nivellement par portées égales.

                              Si d1 = d2 , donc e = e’

                              R + e – (V + e’) = R – V

                             b. longueur erronée de la mire
      Il faut vérifier les graduations de la mire avec un étalon de mesure.



                                                                                       56
2. Erreurs personnelles
       Elles sont dues à l’opérateur et au porte mire.

                              a. Bulle non en coïncidence
       Erreur grave pour des visées longues. Il faut faire la coïncidence puis la
lecture et ensuite vérifier la coïncidence.




                             b. Parallaxe oculaire
        C’est une erreur due au mode d’observation de l’opérateur : il faut rendre la
réticule noire et l’image nette avant de commencer les observations.

                            c. Erreur d’appoint
       Erreur de lecture et d’interprétation : chaque lecture faite sur la mire doit être
faite au moins deux fois.

                            d. Erreur de verticalité de la mire

       Dans le cas d’une mire qui n’a ni nivelle sphérique, ni nivelle pendule, il faut la
faire basculer de l’avant vers l’arrière et insérer la valeur la plus basse qui
correspondra à une position verticale de la mire.




                     3.   Erreurs de causes naturelles

                            a. Vent


                                                                                        57
Il ne faut pas niveller quand il y a beaucoup de vent.

                           b. Stabilité du sol
       Dans le cas d’un terrain mou, il faut utiliser des supports rigides « crapauds »
de la mire et bien enfoncer les pointes du trépied dans le sol.

VI. TOLERANCE, ECART DE FERMETURE ET COMPENSATION

      1. Tolérance

       Pour un cheminement quelconque, la tolérance est l’erreur maximale
admissible. Elle peut être imposée soit par l’administration, soit par le client ou par
l’opérateur lui-même.

      Pour l’altimétrie, la tolérance est :

                                         T = 2.7 e √n

      n : nombre de dénivelées dans un cheminement ;
      e : erreur systématique commise sur chaque dénivelée.
      2,7 : coefficient de sécurité.

      On a : ec² = e1² + e2² + …+ en²

      Or e1 = e2 = ….= en

      Donc ec² = n e² ainsi ec = e √n


      2.   Ecart de fermeture

       C’est la différence entre l’altitude connue du point de fermeture B (HB) et son
altitude (H’B) calculée à partir des observations des dénivelées sur le terrain :

      ε = HB - H’B

             Si ε > T, le cheminement est à refaire, avec « T » tolérance.




                                                                                     58
LES TOLERANCES OFFICIELLES



             Tolérance en mm                  n <= 16                   N >= 16




                   Ordinaire              4 √ (36 L + L²)         4 √ (36 N + (N²/16))




                   Précision               4 √ (9 L + L²)          4 √ (9 N + (N²/16))




              Haute précision                  8√ L                       2√ N




      3. Compensation

       C’est l’ensemble de l’écart de fermeture (avec ε < T) sur l’ensemble des
observations qui en les corrigeant permettent de donner des résultats proches de la
valeur réelle de l’inconnue.

      HB = H’B + ε
      H1 = HA + Dn1 + ε1
      H2 = H1 + Dn2 + ε2 = HA + Dn1 + Dn2 +ε1 + ε2


                                  HB = HA + Σ Dni + Σ εi

               -     Répartition de l’écart de fermeture

      Soit   L : longueur totale de cheminement
             li : longueur de chaque dénivelée
             ε : écart de fermeture

                                     εi = (ε / L) x li


      Si les longueurs de n nivelées sont sensiblement égales :



                                                                                  59
L1 = l2 = …= ln donc L = n li

                     εi = (ε / L) x li = (ε / n li) x li = ε / n

VII. EXEMPLES PRATIQUES




                                                                   60
VI. MESURE DES ANGLES

IV.1. GÉNÉRALITÉS.

         En principe, en topographie, les angles se mesurent toujours dans un plan
horizontal ou dans un plan vertical (jamais dans un plan oblique).

        Les angles horizontaux appelés aussi azimutaux peuvent être enregistrés de deux
manières différentes :

         a) Observés et dessinés directement sur une feuille de papier placée sur une
planchette horizontale. L’instrument utilisé est un goniographe composé, d’un trépied, d’une
planchette, d’un organe de visée et d’une règle.


          b) Mesurés à l’aide d’un goniomètre. Dans ce cas les instruments utilisés sont les
suivants :




         Le choix de la méthode d’observation angulaire dépendra de l’instrument utilisé et
de la précision recherchée.

IV.2. LES APPAREILS DE MESURE

       On distingue, en général, deux grandes catégories :
               1.    Les appareils à visée directe ;
               2.    Les appareils à lunette.

             1. les appareils à visée directe :

       Ce sont des anciens instruments qui n’ont pas de lunette et qui permettent d’établir
des levés de faible précision. Parmi ces instruments :

                       -   nivellatrice (alidade à pinnule) :

        Le but de cet appareil (nivelle) est de contrôler le calage d’un point, d’un plan, d’un
axe de visée, ….
        Elle permet un levé graphique et direct sur terrain. Les angles sont reportés
directement et graphiquement sur le plan ou le terrain et ceci en traçant les directions
observées. Par contre, les distances sont mesurées sur terrain à la chaîne et reportées sur la
direction tracée à l’échelle du plan : levé à planchette.




                                                                                               61
-   Equerres optiques

        C’est un instrument de mesure d’angle dans un plan horizontal le plus simple : il ne
permet que d’élever des perpendiculaires ou de se situer sur l’alignement entre deux points.
        Il est constamment utilisé pour les levers de détails par le procédé des abscisses et
ordonnée et pour de nombreuses constructions géométriques rapides effectués au cours des
levers.

   On distingue :

       o   Equerre à prisme simple : se compose de deux miroirs dont les plans perspectifs
           font un angle de 50 gr ;
       o   Equerre à prisme double : constitué par deux prismes superposés. Elle permet les
           mêmes opérations que le simple mais plus rapide.




            2. les appareils à lunette :

                       •   Lunettes :

        Ce sont de systèmes optiques comprenant un réticule et plusieurs lentilles, dont un
dispositif de mise au point. Le réticule est le dispositif de lecture et de visée.




                                                                                          62
On distingue trois types de lunettes :

       -   lunette astronomique (seule lecture sur la mire).
       -   lunette stadimètrique,
       -   lunette stadimètrique anallatique.

                •   Lunette astronomique




                •   Lunette stadimètrique




                                                               63
Principe de Stadia :



      C’est une méthode qui consiste à utlisr les traiangles semblables Fab et FAB pour
déterminer la distance D’ et par suite la distance D.

                     h         N                                 fxN        f
      On a :     -------- = --------        d’où :             --------- = ----- x N
                     f        D’                                   h         h

      Or f = constante et h = constante

      Donc : f / h = cte = « k » constante de multiplication
                   (en général k = 100).

                                             D’ = k x N

             -   visée horizontale :

      La distance D est : D = D’ + f + c

      Or f = cte et c = cte

      Donc f + c = cte « k’ » appelée constante de l’appareil

                                        D = k N + k’
      Si N est subdivisé en n divisions dont chaque division correspond à 1 cm, on a :

                              N = 1 cm x n donc Ncm = n

                              D’ = k N = 100 Ncm = 100 n

                                D’ (m) = n donc D = D’ + k’

      Parmi ces appareils :

            1. Cercle d’alignement

      C’est un appareil composé de :

             -   un triangle à vis calantes ;
             -   une nivelle tubulaire ;
             -   d’une lunette astronomique ;
             -   d’un limbe et d’une alidade pour la lecture des angles horizontaux.

      Il est utilisé surtout pour réaliser des alignements et lire les angles horizontaux.




                                                                                             64
2. Théodolite


       Un théodolite est une lunette montée sur les deux axes vertical et horizontal. Chacun
des axes est équipé d’un cercle gradué permettant les lectures des angles.

       C’est un cercle d’alignement qui porte en plus d’un cercle, une alidade pour la lecture
des angles verticaux, c’est un goniomètre complet.




                                                                                            65
On distingue :

         -   le pivot, ou axe principal, calé verticalement et centré, c’est-à-dire
             confondu avec la verticale du point au sol ou au « toit » en travaux
             souterrains ; le théodolite est alors en station, c’est-à-dire prêt pour le
             mesurage des angles horizontaux et verticaux ;

         -   l’axe de basculement, encore appelé axe secondaire ou axe des
             tourillons, perpendiculaire au précédent, donc horizontal au moment des
             observations ;

         -   l’axe optique de la lunette, perpendiculaire à l’axe de basculement,
             balaye un plan de visée vertical ;

         -   le cercle horizontal, centré sur le pivot, permet la mesure des angles
             horizontaux ;

         -   le cercle vertical, ou éclimètre, centré sur l’axe de basculement, autorise
             la mesure des angles verticaux.


On distingue entre :

         -   Théodolite tachéomètrique Wild T1 (répétiteur):

      Le cercle horizontal et le cercle vertical ont des divisions de 1 gr et les
micromètres ont des divisions de 0.01 gr.




                                                                                           66
•   Théodolite Wild T2 (réitérateur) :

       Les cercles sont gradués de 0.2 gr et les micromètres ont des divisions de
2°c.




                                                                               67
68
• Tachéomètre :
       C’est un instrument qui permet de lire les angles et de faire des levés tant
planimétrique qu’altimétrique. Il permet aussi la mesure des distances grâce à des fils
stadimétrique fixes sur la lunette.




                                     Théodolite électronique

            3. Station totale

            Goniomètre       :   mesure des angles horizontaux ;
            Eclimètre        :   mesure des angles verticaux ;
            Théodolite       :   mélange des deux ;
            Tachéomètre      :    mélange des deux et mesure des distances (goniomètre
            complet);
            Station totale   : tachéomètre à mémoire.




            4. Rapporteur en Grade




                                                                                     69
IV.3. UNITES DE MESURE


   •   En trigonométrie et dans les calculs d’erreurs, on utilise comme unité le
       « radian (rad) » ;
       Le radian est un arc dont la longueur est égale au rayon. Dans un cercle, la
   circonférence est égale au : diamètre x Π, le rayon étant égale à l’unité.

   •   En navigation et en astronomie, on utilise l’unité « degré (°) »
      Le degré est l’angle au centre qui intercepte sur la circonférence un arc d’une
   longueur &gale à 1/360 de cell de cette circonférence.

   •   En topométrie, l’unité employée est «le « grade (gr) ». la circonférence vaut 400 gr.




IV.4. PROCEDES DE DETERMINATION D’ANGLES

        Trois procédés peuvent être appliqués pour déterminer la valeur d’un angle avec
précision :

 I. Double retournement (angles horizontaux et verticaux) :

    C’est une méthode utilisée pour avoir deux valeurs d’un même angle avec le cercle
vertical occupant deux positions différentes :

                       -   1ère position : la lecture faite sur la direction observée avec le
                           cercle vertical à gauche de l’opérateur s’appelle LCG ;
                       -   2ème position : la lecture faite sur la direction observée avec le
                           cercle vertical à droite de l’opérateur s’appelle LCD.

      La valeur adoptée pour l’angle est la moyenne arithmétique entre les deux angles
   observés.

        Pour passer de la 1ère à la 2ème position, il faut donner une rotation de 200 gr à
l’appareil et une demi-révolution à la lunette d’où l’appellation : double retournement.

       Ce procédé est, aussi, utilisé pour détecter le défaut des appareils.




                                                                                                70
II. Réitération

    C’est une méthode qui détermine plusieurs valeurs d’un même angle, en changeant à
chaque fois la lecture de départ pour utiliser les quatre (4) quadrants du cercle horizontal (0-
100 gr, 100-200 gr, 200-300 gr et 300-400 gr). La valeur adoptée est la moyenne
arithmétique des quatre valeurs observées.

                 Station      Pts visés           Lectures    Angles (β)
                 C            A                   L1 (I)
                              B                   L2          β1 = L2-L1

                              A                   L3
                              B                   L4          β2 = L4-L3

                              A                   L5
                              B                   L6          β3 = L6-L5

                              A                   L7
                              B                   L8          Β4 = L8-L7

                                  βm = (β1 + β2 + β3 + β4) / 4

III. Répétition

Il permet d’avoir la valeur d’un angle horizontal avec précision. Il consiste à prendre pour
toute la lecture de départ la lecture d’arrivée de la détermination précédente.


                 Station      Pts visés           Lectures    Angles (β)
                 C            A                   L1
                              B                   L2          β1 = L2-L1
                              Bloquer L2

                              A                   L2
                              Libérer L2
                              B                   L3          β2 = L3-L2

                              Bloquer L3

                              A                   L3
                              Libérer L3
                              B                   L4          β3 = L4-L3

                              …




                 βm = (β1 + β2 + β3 + … βn) / N = (Ln+1 – L1) / N




                                                                                             71
VII. CALCUL DES COORDONEES

   I-      GENERALITES

           1. Principe

Le cercle horizontal ou limbe est la graduation du théodolite sur laquelle l’opérateur lit les
angles horizontaux. Il est lié au socle de l’appareil mais peut aussi pivoter sur lui-même de
manière à régler le zéro des graduations sur une direction donnée.

La graduation sont croissantes de 0 à 400 grades dans le sens horaire c.-à-d. d dans le sens
des aiguilles d’une montre.




Après la mise en station du théodolite, ce cercle est horizontal, ce qui explique que les
angles lus soient des angles projetés sur le plan horizontal et appelés angles horizontaux (ou
azimutaux).

           2. Terminologie des mesures d’angles horizontaux

L’appareil étant dans sa position de référence et le zéro de la graduation horizontale n’étant
pas modifié après mise en station, l’opérateur effectue une lecture azimutale L A sur le point
A puis une lecture LB sur B et en déduit l’angle ASB :

                                        ZAB = LB – LA




                                                                                            72
Définition :

Le Gisement d’une direction AB est l’angle horizontal mesuré positivement dans le sens
horaire entre l’axe des ordonnées du système de projection utilisé et cette direction AB. On
le note GAB.

Mathématiquement, c’est l’angle positif en sens horaire entre l’axe des ordonnées du repère
et la droite (AB). Un gisement est toujours compris entre 0 et 400 grades.
GAB est l’angle entre le Nord (ordonnées) et la direction AB.
GBA est l’angle entre le Nord (ordonnées) et la direction AB.




La relation qui lie GAB et GBA est :

                                         GBA =     GAB + 200



   II-     UTILITAIRES DES GISEMENTS

           1. calcul d’un gisement à partir de coordonnées cartésiennes

   Considérons les coordonnées de deux points A (XA, YA) et B (XB, YB).

   La relation suivante permet de calculer GAB :

                                                       XB – XA
                                       Tan GAB =    ------------
                                                       YB – XB
   Application :

   Calculez à partir de la formule le gisement de la direction AB suivante avec : A (10 ; 50)
   et B (60 ; 10)




                                                                                          73
Quadrant 1 : B est à l’Est et au Nord de A
(∆X > 0 et (∆Y > 0)

                  GAB = g

Quadrant 2 : B est à l’Est et au Sudf de A
(∆X > 0 et (∆Y < 0)

       GAB = g + 200 (avec g < 0)

Quadrant 3 : B est à l’Ouest et au Sud de A
(∆X < 0 et (∆Y < 0)

       GAB = g + 200 (avec g > 0)

Quadrant 4 : B est à l’Ouest et au Nord de
A (∆X < 0 et (∆Y > 0)

       GAB = g + 400 (avec g < 0)


           2. Calcul de coordonnées cartésiennes à partir d’un gisement

Connaissant le point de station S (XS, YS), et cherchant les coordonnées d’un point P visible
depuis S.

On dit que le point P est rayonné depuis S si l’on peut mesurer la distance horizontale DSP et
le gisement GSP.




Quel que soit le quadrant, on peut alors calculer les coordonnées du point P par les formules
suivantes :

                                 XP = XS + DSP . sin GSP

                                 YP = YS + DSP . cos GSP

Application :


                                                                                            74
S (680 379,84 ; 210 257,06) est donné en coordonnées Lambert, calculez les coordonnées
de P telles que DSP = 45,53 m et GSP = 172,622 gr.




                                                                                    75
VIII. CANEVAS PLANIMETRIQUE & PARTAGE DES TERRES


        Le partage des terres est basé sur les différents principes de la géométrie
(calculs simples).
        Le partage peut s’effectuer soit équitablement, soit en fonction de différentes
directives des copropriétaires. Chaque lot fait un tout complet indépendant les uns
des autres. Il faut éviter les angles trop aigus et préférer un quadrilatère à un
triangle. Aucun propriétaire ne peut être lésé.

       On peut diviser un terrain par une méthode :
                      - numérique
                      - graphique

       Pour diviser les terres, soit on passe par un point donné, soit on suit une des
directions et on fait une parallèle ou une perpendiculaire.

            I. LA TRIANGULATION

            i. Définition et principe

   La triangulation c’est la mesure d’angles. On établit les angles et on relève les
sommets. Les triangles sont déterminés par des mesures d’angles mais on a aussi
besoin d’une base au lever (qui est la longueur d’un des côtés du triangle, la base) /

   -   Soit on mesure 2 angles sur 3. C’est une méthode rapide mais moins précise.
       C’est une triangulation non entièrement stationnée.
       Une triangulation se fait à grande échelle (exemple : un pays). Il n’y a qu’un
       seul ordre de triangle.
       Quand on connaît les coordonnées des différents points, on fait un
       rayonnement (pour les plus petites mesures).

   -   Soit on stationne sur les 3 sommets. C’est une triangulation entièrement
       stationnée. On part sur de bonnes bases.

    La triangulation est dite locale lorsque les triangles qui la composent sont
relativement petits (de 20 à 30 m). Certaines déformations sont négligeables.

           ii. Causes des déformations :

     la courbure de la terre et la réfraction atmosphérique (la visée traverse des
couches d’air de densité différente. La visée est donc déformée). Sur 100 Km, il faut
faire attention aux déformations : formules existantes.

   Les triangles doivent être bien ouverts (les angles ne doivent pas être trop aigus).
On peut repérer les sommets par des photos aériennes (photogrammétrie). La
résolution des triangles se fait à partir de la base et des angles.




                                                                                     76
II. L’INTERSECTION

   L’intersection est aussi une mesure d’angles.




       On recherche le point P, A et B sont des points de coordonnées connues.

      On fait des visées à partir de A et B sur lesquels on stationne. L’intersection
détermine les coordonnées du point P.

       Si A et B sont des points élevés, cela pose un problème. Il faut alors faire un
rabattement des points connus au sol. Il y a 2 types de rabattement :

   -   le rabattement direct (visible), il se fait perpendiculairement
   -   le rabattement indirect (on rabat devant) : exemple : on ne peut pas aller au
       centre de l’église.




   La résolution se fait par transfère de coordonnées, c’est l’une des méthodes les
plus fiables.

           III. LE RELEVEMENT (mesure d’angles)




      La station est effectuée sur le point inconnu. Il faut au minimum 3 points
connus en coordonnées.




                                                                                    77
Il n’y a pas de problème avec les points élevés. Ils sont même plus faciles à
viser que les autres.

       C’est la configuration du terrain qui détermine quelle technique utiliser.

           IV. LE RECOUPEMENT (mesure d’angles)

      Le recoupement est une combinaison de 2 méthodes : de l’intersection et du
relèvement. Il est assez souvent utilisé dans la pratique.

       Résolution avec les coordonnées.




            V. LE CHEMINEMENT OU LA POLYGONATION ( mesure d’angles
               et de distances)

       C’est une progression à partir du théodolite et du ruban.

       On part d’un point connu A vers un autre point connu B. La polygonale peut
être ouverte ou fermée :

   -   fermée : le point de départ = le point d’arrivée. En général, ce cheminement
       est utilisé pour de faibles étendues.

   -   ouvert : le point de départ est différent du point d’arrivée.

       On peut rayonner à partir d’un point intermédiaire.




                                                                                      78
Le cheminement peut être :

   -   encadré : les point des départs et d’arrivée sont connus en coordonnées.

   -   tendu : les angles mesures sont proches de 200 gons (180°)

           VI. LE RAYONNEMENT (mesure d’angles et de distances).

       Le rayonnement associe une mesure angulaire à une mesure de distance qui
est la portée du rayonnement

       Il faut 2 points de départ pour établie une base.




       Ce procédé est acceptable quand A et B sont assez proches l’un de l’autre,
c’est-à-dire écarté au maximum de 50m.
       La résolution du système se fait pas transfère de coordonnées.

          VII. LA TRILATERATION (mesure de distance)

       On part d’un angle mais on mesure tous les côtés d’un réseau de triangles.
C’est une méthode plus rapide et de bonne précision.




                                                                                  79
IX. PROFILS EN LONG & PROFILS EN TRAVERS


      I. Définition

   Les profils sont des représentations graphiques détaillant le relief d’un terrain
donné.

     II. Profils en long

       C’est une représentation du terrain naturel suivant la longueur de l’axe de la
zone considérée.
       Autrement dit : C’est une coupe verticale du TN et du projet faite suivant l’axe
du tracé, avec lequel Il est établi conjointement (fig. 72) ; il autorise le dessin
ultérieur des profils en travers et la cubature de terrassements.




      Le profil en long est obtenu après :

                -   Etablissement du tracé définitif du projet ;
                -   Réalisation des opérations planimétriques pour implanter les
                    piquets du profil ;
                -   Nivellement de ces piquets.




                                                                                     80
Exemple :




            b) Cheminement de nivellement indirect au théodolite




                                                                   81
c) Lever tachéométrique du profil en long




                                            82
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  • 1. ROYAUME DU MAROC FACULTE DES SCIENCES ET ETCHNIQE ERRACHIDIA RÉSUMÉ THÉORIQUE MODULE N°:01 TOPOGRAPHIE ELEMENTAIRE 1 (INITIATION) SECTEUR : SPÉCIALITÉ : NIVEAU : ANIMATEUR : OURAHOU MED OCTOBRE 2010
  • 2. SOMMAIRE Présentation du module Résumé de théorie I. GÉNÉRALITÉ I.1. La topométrie I.2. La géodésie I.3. La topographie I.4. La photogrammétrie I.5. L’astronomie géodésique II. LA TOPOGRAPHIE – GÉNÉRALITÉ II.1. Objet de la topographie II.2. Unités de mesures II.3. Coordonnées géographiques, azimut II.4. Coordonnées rectangulaires II.5. Les axes II.6. Canevas géodésique et système de triangulation II.7. Canevas planimétrique de précision II.8. Canevas altimétrique III. MESURE DES DISTANCES III.1. Généralité III.2. Des Instruments pour mesure des distances III.3. Le jalonnement III.4. Mesurage à plat III.5. Précision du mesurage III.6. Mesure de longueurs indirectes III.7. Rappels de trigonométrie IV. MESURE DES ANGLES IV.1. Généralités IV.2. Les équerres optiques IV.3. Unités de mesures des angles IV.4. Le théodolite V. CARTES ET PLANS V.1. Les échelles V.2. Précision d’un plan VI. PENTES ET DISTANCES 2
  • 3. VII. NIVELLEMENT A) DEFFINITION B) DEFFINITION ET PRINCIPES GÉNÉRAUX DE NIVELLEMEN C) NIVELLEMENT DIRECT VII.1. Principe du nivellement direct ordinaire VII.2. Niveau et mire VII.3. Dénivelée élémentaire VII.4. Nivellement par rayonnement VII.5. Nivellement par cheminement encadré VII.6. Point nodal et cheminements nodaux VII.7. Cheminements fermé VII.8. Nivellement simultané d’un cheminement et des points de détail VII.9. Précision VII.10. Cheminement mixte VII.11. Nivellement des surfaces VII.12. Nivellement géométrique de précision VIII. MESURE DES ANGLES IX. CALCUL DES COORDONNEES X. PROFIL EN LONG & PROFIL EN TRAVERS VIII.1. Lever d’un profil en long du terrain naturel Guide de travaux pratique I. TP n°1 : Mesurage direct d’un alignement comprenant des points intermédiaires II. TP n°2 : Mise en station un niveau de chantier III. TP n°3 : Etablissement d’un angle droit avec un niveau de chantier IV. TP n°4 : Calcule d’un nivellement direct par rayonnement V.TP n° 5 : Calcule d’un nivellement direct par cheminement entre deux repères N.G.M. VI.TP n° 6 : Relevé d’un profil en long sur le terrain Evaluation de fin du module Liste bibliographique 3
  • 4. MODULE 01: TOPOGRAPHIE ELEMENTAIRE 1(INITATION) Durée : 30 H OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAU DE COMPORTEMENT COMPORTEMENT ATTENDU Pour démontrer sa compétence, le stagiaire doit savoir les mesures des distances et des angles, le nivellement et les profils, selon les conditions, les critères et les précisions qui suivent. CONDITIONS D’ EVALUATION • Tests écrits sur la théorie • Connaissances sur les méthodes topographiques • Savoir les exigences topographiques pour les calculs et les mesures CRITERES GENERAUX DE PERFORMANCE • Apprendre les systèmes des mesures en Maroc • Connaissances sur les unités des mesures • Savoir exprimer les diverses méthodes selon les conditions • Savoir les échelles et la méthode de la détermination • Connaître le principe de nivellement • Savoir les divers types de nivellement • Connaissances sur les croquis et les carnets pour les mesures • Connaître les erreurs permises et évaluation d’exactitude • Respecter les normes de topographie 4
  • 5. PRECISIONS SUR LE CRITERES PARTICULAIRS DE PERFORMANCE COMPORTEMENT ATTENDU 1. Généralités - Système de triangulation - Système d’altimétrie - Matérialisation des deux systèmes avec des bornes sur le terrain -Bornes de triangulation - Bornes d’altimétrie 2. Mesure des distances - Méthode direct - Méthode indirect ° sur un terrain plat ; ° sur un terrain en pente - Alignement - jalonnement 3. Mesure des angles - Unité - Différence entre degré et grade - Index pour lecture des angles 4. Pentes et distances - Unité pour les pentes - Interpolation - Extrapolation 5. Nivellement - Principe de nivellement - Nivellement direct - Nivellement par rayonnement - Nivellement par cheminement - Nivellement mixte - Nivellement de précision - Erreur permise - Distribution d’erreur 6. Profil en long - Besoin d’un profil en long - Méthode de relever sur le terrain - Croquis et carnet pour les mesures - Grilles pour les dessins d’un profil en long - Détermination des échelles - Détermination de cote relative - Profil en long avec les courbes de niveau * dans les limites d’un lotissement * sur un plan coté - Changement de la cote relative 5
  • 6. OBJECTIFS OPERATIONNELS DE SECOND NIVEAU Le stagiaire doit maîtriser les savoirs, savoir – faire, savoir- percevoir ou savoir – être jugés préalable aux apprentissages directement requis pour l’atteinte de l’objectif de premier niveau, tels que : Avant d’apprendre à 1, 2, 3 et 4 : 1. Connaissances en Math, Géométrie, Trigonométrie 2. Les unités des mesures des distances et des angles 3. Les échelles 4. Connaître les cercles de mesure 5. Savoir travailler avec l’index de l’appareil pour le cercle horizontal Avant d’apprendre à 5 : 1. Niveau de chantier 2. Stationnement de niveau de chantier 3. Horizontalement de niveau de chantier avec les trois vis 4. Lectures sur la mire 5. Position de niveau de chantier au milieu des deux points Avant d’apprendre à 6 : 1. Besoin de profil en long 2. Divers types des profils en long 3. Mesures des distances directes 4. Mesures des distances indirectes 5. Faire un carnet pour les mesures des distances et des altitudes 6
  • 7. PRESENTATION DU MODULE Le module : « TOPOGRAPHIE ELEMENTAIRE 1 (INITIATION) » s’apprend pendant le premier semestre de formation, donc dans la première année de formation. Ce module est dispensé en 30 heures. Le module № 1 consiste à doter le géomètre topographe des notions de base de la topographie et de lui faire apprendre à faire des mesures topographiques, destinés pour élaboration des plans topographiques dans la réalisation des travaux en construction sur le chantier ou bien dans l’élaboration des études dans un bureau d’étude. Le module a été élaboré en deux parties : Résumé de théorie et Guide de travaux pratique 7
  • 8. GENERALITES La topographie est nécessaire pour la connaissance du terrain, ces limites, son relief, le bâtiment. Elle permet à l’architecture de donner des instructions de précisions (géomètre, …). I. Historique. C’est une science fort ancienne. Ces origines sont confondues avec celles de la géographie (mesurage des propriétés agricoles, cadastre, pyramide de Gizeh). On retrouve des traces de géomètres au fil du temps, à travers différentes époques et civilisations. Le témoignage le plus ancien n'est pas égyptien. C'est en chaldée - à Telloh, asie mineure - que l'on a retrouvé une tablette reproduisant le plan d'une ville et datant de 4000 ans avant J.C. Le document recouvre la cité de formes géométriques simples, les lots mesurée, la surface et la nature des biens et des informations relatives au relief. Ensuite, Les Égyptiens semble les premiers fonder un cadastre selon Hérodote, pour la construction des pyramides et pour remettre en place les limites de cultures après les crues du Nil mais aussi pour délimiter les terres soumises à l'autorité du pharaon. De nombreuses stèles ont été retrouvées au proche-orient. À partir de l'Empire romain, les arpenteurs ont été chargés de borner les terres, divisant les champs et mesurant ainsi le territoire en vue de l'application de l'impôt. Ils sont aussi en charge d'implanter les bâtiments et les routes. Les conquêtes des romains et leurs constructions démontrent une grande pratique basée en partie sur l'angle droit. L'une des fonctions essentielles des arpenteurs romains fut la réalisation d'un cadastre. Une fois la prise de mesures réalisée sur le terrain, l'ensemble du plan était transcrit sur des plaques de marbre en deux exemplaires identiques dont l'une était destinée aux archives de l'état, formant ainsi un cadastre juridique et technique. En période de conquête arabe, nous citons Al Khwarizimi mathématicien, astronome et géographe (780-850) consacrant une étude de l'astrolabe et mathmématicien dont les notions de calcul qu'il mit au point (calcul de valeur négative entres-autres) furent la base des connaissances mathématiques transmises jusqu'au 14eme. siècle en occident. En France pendant le Moyen Âge, les Mérovingiens, se contentent de maintenir l'organisation romaine. Les Carolingiens instaureront la taille, impôt au profit du Roi, qui nécessite la restauration des documents terriers mais sans mesurages. C'est à la renaissance que les premiers plans de ville sont réalisés. On peut citer quelques topographes célèbres, Claude Chastillon (1559-1616) fut le topographe du roi de France Henri IV pour lequel il réalisa 544 gravures. Jean-Dominique Cassini IV (1748-1845) fut chargé de terminer la carte de France entamée par son père, qui ne fut achevée qu'en 1815. Les traces écrites sont arrivées plus tardivement : ♦ 983PCN : le premier traité d’arpentage est rédigé par HERON DE BYZANCE. ♦ A partir du 12e siècle, on trouve des documents de délimitations. ♦ 1250 : 2 sortes d’arpenteurs : 8
  • 9. Celui qui prend les mesures Celui qui exerce la fonction d’architecte ou d’expert ♦ 16e siècle : les géomètres commencent à dresser des cartes. ♦ 17e siècle : évolution radical des techniques, les découvertes faites en optique introduisent des instruments. Les travaux entrepris ont pour but de remplir les cartes mais aussi le génie civil et le remembrement rural (=rééquilibre des parcelles du point de vue quantité en qualité) au cours des dernières décennies. Tout cela a été réalisé grâce à des évolutions au niveau des techniques de mesurage et grâce à de nouveaux outils/matériaux permettant toujours plus de précisions et de rapidité (photogrammétrie, GPS,…) Les opérations de topographie peuvent toujours être réalisées de manière classique par un architecte (exemple : le nivellement). Pour les travaux plus importants, on fait appel à un spécialiste qui sans les instructions d’un architecte. II. La science géodésique La science géodésique, aussi appelée la géométronique, est la discipline qui globe toutes les méthodes d’acquisition et de traitement des dimensions physiques de la terre et de son entourage. Si l’on veut satisfaire aux exigences de la vie moderne, on ne peut se dispenser de la science géodésique. On y a recours pour : a) cartographier de la terre, tant au- dessous du sol, et au fond des mers ; b) dresser des cartes de navigation aérienne, terrestre et maritime ; c) établir les limites de propriétés tant publiques que privées ; d) créer des banques de données relatives aux ressources naturelles et à l’utilisation des terres ; e) déterminer la forme et les dimensions de la terre, de même que l’étude de la gravité et du champ magnétique ; f) dresser des cartes de notre satellite naturel et, éventuellement, des autres planètes. La science géodésique joue un rôle extrêmement importent dans plusieurs branches du génie. Par exemple, elle est requise avant, pendent et après la planification et construction d’autoroutes, de chemins de fer, de tunnels, de canaux, de ponts, de bâtisses, de systèmes d’acqueduc et d’égout, de galeries de mine, d’oléoducs, de sites de lancement de fusées, de stations de repérage et de poursuite de satellites, et le reste. La science géodésique comprend: la topométrie, la géodésie, la topographie, la photogrammétrie, l’astronomie géodésique. 9
  • 10. I.1. LA TOPOMETRIE La topométrie (du grec topos = lieu et metron = mesure) est l’ensemble des techniques de mesurage géométriques servant à déterminer la forme et les dimensions d’objets et des lieux, sans tenir compte de la courbure de la terre. I.2. LA GEODESIE La géodésie tire son nom des mots grecs Géo (Terre) et désie (je divise). La géodésie est la science qui a pour objet l’étude qualitative et quantitative de la forme de la terre et de ses propriétés physique (la gravité, le champ magnétique, ect.). La géodésie permet de localiser, avec une grande précision, des points géodésiques servant d’ossature aux levés topographiques. I.3. LA TOPOGRAPHIE La topographie (du grec graphien = dessiner) est l’art de représenter graphiquement un lieu sous forme de plans ou de cartes. La confection proprement dite de ces cartes ou de ces plans relève de la cartographie. Une carte ou un plan est la représentation graphique, à une certaine échelle, de la projection orthogonale de détails de la surface de la terre, qu’ils soient naturels (rivières, montagnes, forêts, etc.),artificiels (bâtisse, routes, etc.) ou conventionnels (limites administratives). I.4. LA PHOTOGRAMEMETRIE La photogrammétrie est la science qui permet d’obtenir des informations quantitatives et qualitatives au moyen de photos. Comme l’indique la définition, la photogrammétrie englobe deux champs d’activité : l’un métrique et l’autre interprétatif. Le premier consiste à prendre, directement ou indirectement, des mesures sur des photos aériennes ou terrestres en vue de déterminer la forme et les dimensions d’objets. La photogrammétrie interprétative quant à elle consiste à déduire certains renseignements en examinant des images obtenues au moyen de senseurs optique ou non optiques (comme les senseurs infrarouges, le radar, etc.). Cette partie de la photogrammétrie implique nécessairement que l’interprétateur possède de bonnes connaissances dans le domaine concerné (géologie, foresterie, etc.). Les photos sont prises de telle sorte qu’une photo recouvre environ 60% de la précédente. L’ensemble de ces deux perspectives observées dans un restituteur forment un modèle stéréoscopique dans lequel sont prises directement ou indirectement les mesures requises. C’est ainsi qu’on obtient la restitution. 10
  • 11. I.5. L’ASTRONOMIE GEODESIQUE Basée sur des principes d’astronomie et de trigonométrie sphérique, l’astronomie géodésique permet, à partir d’observations relatives aux astres, de déterminer la position absolue de points et la direction absolue de lignes sur la surface de la terre. La position absolue est donnée par la latitude et la longitude par rapport à l’équateur et au méridien origine de Greenwich, et la direction absolue par l’angle que fait la ligne par rapport au méridien du lieu. 11
  • 12. II. LA TOPOGRAPHIE – GENERALITES II.1. DEFINITION DE LA TOPOGRAPHIE La topographie est l’art de représenter sur un plan ou sur une carte la configuration d’un terrain avec tous les détails et ondulations qui se trouvent à sa surface. C’est une phase de l’établissement des cartes. Elle consiste en un ensemble d’opérations : de mesures sur terrain, calculs et dessin. Définition d’un levé topographique : C’est l’ensemble d’opérations permettant une représentation plane d’un territoire. II.2. OBJET DE LA TOPOGRAPHIE. La topographie comprend deux disciplines : - la topométrie qui est la technique d’exécution des mesures du terrain ; - la topologie ou science des formes de ce terrain, directement lié à la géographie physique. C’est l’étude de l’efficacité des parcours par l’optimisation des tracés qui déterminent des réseaux de communication au niveau du sol, des cours d’eau, de la mer et des fonds sous-marins, ainsi que dans l’espace ; elle est aussi l’étude de toutes les combinaisons et intersections possibles entre ces différents tracés. II.3. DIVISIONS DE LA TOPOGRAPHIE 1. La planimètrie C’est un ensemble des opérations qui ont pour objet de déterminer la position exacte de détails d’une partie réduite de la surface terrestre considérée comme plane. C’est la technique qui consiste à exécuter les levés dans lesquels la position de tout détail est calculée et reportée sur le plan par des coordonnées. Elle exige les mesures de longueurs et d’angles horizontaux sur le terrain. 2. L’altimètrie C’est la partie de la topographie qui traite le relief du sol et permet sa présentation sur le plan et sur la carte. - Nivellement : L’altimètrie exige la mesure des hauteurs ou altitude par rapport à un plan de comparaison (de référence) et l’opération qui consiste à déterminer la distance verticale (hauteur) s’appelle le nivellement. - Géoïde : La surface de niveau c’est le niveau moyen des mers, supposé prolongé sous les continents et prend l’appellation de géoïde. C’est le niveau zéro qui correspond à la moyenne des hauteurs relevées dans le port choisi pour origine des nivellements à l’aide d’un marégraphe. 12
  • 13. - Dénivelée : C’est la différence d’altitude entre deux (2) points. - Altitude : C’est sa hauteur au dessus du niveau moyen des mers mesuré suivant la verticale du lieu. II.4. UNITES DE MESURES. 1. Mesure des distances Le mètre est définit pour base des unités de longueur de la façon suivant : « Longueur à la température de 0° du prototype international en platine iridié qui a été sanctionné par la conférence générale des Poids et Mesures tenue à Paris en 1889, et qui à été déposé au Pavillon de Breteuil, à Sèvres ». La barre de platine-iridium utilisée comme prototype du mètre de 1889 à 1960. Les dispositions légales précitées définissent un multiple du mètre qui est le mille marin :« longueur moyenne de la minute sexagésimale de latitude terrestre » soit 1852m. Le mille marin s’emploie pour la mesure des longueurs marines et aéronautiques. 2. Mesue des surfaces Les mêmes textes ont fixé pour mesure fondamentale de superficie le « mètre carré » ou « centiare », superficie contenue dans un carré d’un mètre de côté. Les multiples et sous – multiples usuels de la mesure de superficie sont : le kilomètre carré (km2), qui vaut 1 000 000 mètres carrés ; …etc; 3. Mesure des angles La loi du 14 janvier 1948 fixe pour unité légale de mesure d’angle l’angle droit, ainsi défini : « Angle formé par deux droites se coupent sous des angles adjacents égaux’. Il se représente par le symbole D. » o Unités angulaires : On rencontre trois systèmes : 13
  • 14. a- Système sexagésimal C’est un système permettant d’avoir les valeurs d’un angle en degré. le degré (d ou °), qui vaut 1/90 de D ; la minute d’angle, ou « minute sexagésimale », qui vaut 1/60 D et désignée par ‘ ; la seconde d’angle, ou « seconde sexagésimale », qui vaut 1/60 de minute désignée par ‘’. N.B : La circonférence d’un cercle est de 360°. b- Système centésimal C’est un système permettant d’avoir les valeurs d’un angle en grade. le grade (gr), qui vaut 1/100 de D ; le décigrade (dgr), qui vaut 1/1 000 de D ; le centigrade (cgr), qui vaut 1/ 10 000 de D, désigné couramment par ‘ ; le milligrade (mgr), qui vaut 1/100 000 de D. N.B : La circonférence d’un cercle est de 400 gr. c- Système circulaire C’est un système qui permet d’avoir d’un angle en radian. N.B : La circonférence d’un cercle est de 2 ∏. Conversion des unités : D° gr rad ----- = ------ = ------ 180 200 ∏ Pratiquement, pour toutes les opérations topographiques, on utilise actuellement le grade et ses sous – multiples. Le degré reste employé pour toutes les mesures astronomiques, ainsi que pour la navigation maritime et aérienne, parce que des rapports simples existent entre les mesures de temps et les mesures en degrés (1 h correspond à 15°). d) Définitions des altitudes. Les différences de niveau sont toujours calculées par rapport au plan horizontal du point de station. Mais nous avons vu qu’en nivellement ce plan horizontal ne peut être assimilé à la surface de la terre que sur une très petite portion. - Distances courtes ou précision désirée limitée : On considère que le plan horizontal H du point de station est parallèle au plan horizontal P d’altitude zéro (fig. 19). Les différences de niveau sont mesurées perpendiculairement à ces plans. C’est pour cette raison que les altitudes ainsi obtenues sont appelées ortho métriques. 14
  • 15. La limite de distance jusqu’à la quelle on peut accepter cette assimilation dépend de la précision désirée. En effet, l’erreur en résultant est de 0,03 mm à 20 m et elle est proportionnelle au carré de la distance. Sa valeur est donc de 1 mm à 120 m et de 1 cm à 400 m. Généralement, on considère que cette assimilation de la surface de niveau au plan horizontal n’est acceptable que dans le nivellement tachéométrique, parce qu’on ne cherche pas une précision supérieure au centimètre, et dans les rayonnements effectués sur courtes distances en nivellement direct. - Distances moyennes et bonne précision : Lorsque les distances dépassent quelques dizaines de mètres et que la précision désirée est de l’ordre du millimètre, il faut tenir compte de la sphéricité de la terre. On considère alors que la surface de niveau sphérique S tangente au plan horizontal H du point de station est concentrique avec la sphère de niveau zéro (fig. 20). Les dénivelées sont mesurées perpendiculairement à ces surfaces. Les altitudes sont ici aussi orthométriques. e) Utilisation des repères N.G.M. Tous les levés importants doivent être rattachés au N.G.M. Pour cela, on établit des cheminements partant d’un repère de nivellement et allant sur un autre repère de nivellement. On peut éventuellement ferler sur le repère de nivellement de départ mais il faut alors être certain de son altitude. En effet, certains repères sont inexacts parce que depuis leur détermination, leur altitude a été modifiée, soit parce que l’ouvrage, (pont par exemple) sur lequel ils sont posés, s’est légèrement affaissé par suite de tassement du sol, soit parce qu’ils ont été maladroitement déposés (par un maçon pour refaire l’enduit d’une façade par exemple) et mal replacés en suite. Un cheminement n’utilisant qu’un seul repère ne permet pas de mettre en évidence une telle faute et les altitudes obtenues ne doivent pas être considérées comme exactes tant que le repère n’a pas été vérifié par rattachement à un autre repère. o Matérialisation permanente des repères Généralement, on distingue : 15
  • 16. - des repères de nivellement (R.N) qui sont généralement des bornes en béton connues en altitudes, on les trouve le long des routes nationales, - des balises : qui sont des matérialisations placées sur les sommets de triangulation et qui doivent être vues de très loin. - Des piquets : qui sont des matérialisations des points connus dans les zones urbaines, ce sont des clous, parfois avec des têtes en laiton enfoncés dans les routes ou dans les trottoirs. 16
  • 17. 17
  • 18. 18
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  • 20. III- CARTES ET PLANS I. Les échelles C’est le rapport de similitude de la figue du plan à la figue du terrain. Autrement dit, L’échelle d’un plan ou d’une carte est le rapport exprimé dans la même unité entre une longueur mesurée sur la carte ou le plan et une longueur mesurée sur le terrain. La formule principale pour les échelles est : Distance sur la carte ou plan -------------------------------------------- Distance horizontale correspondante sur terrain Ou : 1 = 1 E A Où : 1 : échelle ; E A : distance sur le terrain (en m) L’échelle est toujours indiquée avec 1 au numérateur. Exemple : a) Si on mesure une distance de 2,5 cm sur un plan et que la distance sur le terrain est 25 m, l’échelle sera : 2,5 = 1 2500 1000 b) Si on mesure une longueur de 7, 4 cm sur un plan à l’échelle de 1/500, la longueur réelle sera : 7,4 x 500 = 3 700 cm = 37 m. c) Inversement si une longueur mesurée sur le terrain est : 85 m, elle sera représentée sur un plan à 1/200 par : 85 = 0, 425 m = 42, 5 cm 200 20
  • 21. L’échelle d’un plan ou d’une carte est une fraction. Elle sera d’autant plus grande, que son dénominateur sera petit. Sur les plans, l’échelle est souvent indiquée sous sa forme décimale suivie de la forme fractionnaire, entre parenthèses. II. Classification sommaire des cartes et plans 21
  • 22. III. Précision d’un plan 1. Topométrie graphique (levés dits réguliers) Elle aboutit à un modèle graphique, appelé aussi plan conventionnel dans lequel l’erreur sur la détermination d’un point par rapport au point voisin est limitée à l’erreur graphique soit 0,1 mm. Elle nécessite un support stable, un dessin finement exécuté et un matériel très précis. Cette erreur représente sur le terrain : 1,5 cm à l’échelle 1/100 3 cm à l’échelle 1/200 Echelle graphique : c’est un instrument qui sert à reporter sur une carte établie à une échelle numérique donnée des distances mesurées sur le terrain et réduites à l’horizontale ou invrsement de déterminer la distance horizontale dans la nature par la mesure de la droite correspondante sur la carte. Exemple : L’échelle graphique représentant l’échelle numérique 1/100.000 : 2. Topomètrie numérique La topométrie numérique suppose un équipement opérationnel approprié : tachéomètre électronique, calculateur programmable, lecteur enregistreur, micro- ordinateur, traceur rapide, …etc. Elle aboutit à un document dont tous les éléments sont définis par leurs coordonnées rectangulaires. Plus précise que la topométrie graphique, elle permet l’établissement d’un modèle graphique à toute échelle. Echelle numérique : c’est le rapport de réduction entre la distance qui sépare deux sur la carte et la distance horizontale correspondante sur le terrain. IV. Carte et plan C’est une représentation plane d’une partie de la surface terrestre. Lorsque le terrain à relever est d’une superficie assez restreinte et qu’il est possible de représenter tous les détails à échelle, qui est toujours assez grande, la représentation est appelée plan (plan parcellaire, plan d’aménagement, …). 22
  • 23. Plan d’aménagement d’Errachidia Par contre, lorsque la surface est assez grande et qu’on doit représenter certains détails par les signes conventionnels, à cause de la petite échelle requise, cette représentation est appelée carte. On distingue trois types de cartes : 1- carte topographique : Les cartes topographiques (aspect descriptif de la physionomie du terrain, échelles du 1 : 5000 au 1 : 100 000). Sur ce type de cartes figurent essentiellement les résultats des observations directes concernant la position planimétrique et altimétrique, la forme, la dimension et l'identification de phénomènes concrets fixes et durables existant à la surface du globe. 23
  • 24. Carte topographique d’Errachidia 1/100 000 2- Carte thématique Les cartes thématiques : il s'agit de la représentation sur un fond repère d'une information spécifiquee. Cette information peut être physique, économique ou, concerner la géographie humaine et la géographie générale. Poster Afrique Politique Carte géologique 24
  • 25. V. Relief Le relief peut être représenté sur un plan ou sur une carte par un ensemble de points d’altitudes connues ou par des lignes qui joignent les points de même altitudes. V.1. Courbes de niveau C’est une surface de niveau à laquelle tous les points sont à la même altitude. Elle est représentée sur un plan ou sur une carte par une ligne réunissant des points de même altitudes. On distingue : - Courbes hypsométriques ou isotypes : qui décrivent la surface du sol ; - Courbes bathymétriques ou isobathes : qui décrivent les fonds marins.  Courbes hypsométriques ou isotypes On distingue quatre types : - Courbes maîtresses : ce sont des lignes représentées par un trait foncé permettant une lecture rapide du relief. Ces courbes portent, souvent, un chiffre correspondant à leur altitude. - Courbes intermédiaires : ce sont des lignes tracées à une équidistance choisie. - Courbes intercalaires : ce sont des lignes tracées à mi- équidistance ; - Courbes sous-intercalaires : ce sont des lignes tracées au ¼ de l’équidistance. Elles permettent de lire le relief aux endroits où la pente est très faible. Courbes maîtresses : Courbes intermédiaires : Courbes intercalaires : Courbes sous-intercalaires : V.2. Equidistance, intervalle et pente a- Equidistance C’est la différence d’altitude entre deux courbes de niveau consécutives. Elle varie suivant l’échelle du plan et la nature du terrain. 25
  • 26. b- Intervalle C’est la distance réelle horizontale sur le plan ou la carte entre deux courbes de niveau consécutives. c- Pente C’est le rapport de différence d’altitude (équidistance) avec la distance horizontale (intervalle). La pente à un endroit donné est : équidistance e p = -------------- = ----- intervalle i La pente moyenne entre deux points est : différence d’altitude entre les 2 points ∆H p= -------------------------------------------------- = ----- distance horizontale entre ces 2 points DH V.3. Interpolation d’altitude C’est le calcul d’un point se trouvant entre deux courbes de niveau : On a : p = tg α = e / i de même tg α = h / d 26
  • 27. Donc : e / i = h / d e h = ---- x d = p x d i Hr = Hb + h VI. Profil en long et Profil en travers du terrain naturel Les profils sont des représentations graphiques détaillant le relief d’un terrain naturel. VI.1. Profil en long C’est une représentation du terrain naturel suivant la longueur de l’axe de la zone considérée. Autrement dit, c’est une coupe suivant un plan vertical permettant d’avoir le relief du terrain naturel le long de la zone considérée. 27
  • 28. i1 grand pente faible i2 petit pente forte H e tg β = p = ------- = ------- DH i VI.2. Profil en travers C’est une représentation transversale du terrain naturel permettant une bonne lecture du relief suivant la perpendiculaire de l’axe de la zone considérée. Généralement, on réalise un profil en travers pour chaque piquet du profil en long. 28
  • 29. IV. MESURE DES DISTANCES IV.1. GENERALITE Le mesurage linéaire, généralement appelé chaînage, est la base de tout opération topo métrique. Même si le chaînage semble à première vue très simple, il faut se méfier ; il faut lui apporter toute l’attention possible et utiliser la bonne technique. Le chaînage est un procédé donnant la distance directe sur le terrain entre deux points A et B. La mesure linéaire s’effectue de trois façons : par la mesure directe, par la mesure indirecte ou par la mesure électronique. IV.2. LES INSTRUMENTS POUR MESURES DIRECTES DES DISTANCES. A- Instruments de terrain 1) Compteur kilométrique C’est un moyen permettant d’avoir rapidement et approximativement la distance entre deux points. Il est utilisé que lors des travaux de reconnaissance. Odomètre 2) Le pas ou le double pas Cette méthode permet de mesurer rapidement les dimensions de certains détails pour les levés à petit échelle (1/2 000 et en - dessous). Elle permet également de vérifier si une erreur importante n’a pas été commise sur la mesure d’une distance. Il est valable sur un terrain relativement plat et dégagé. Podomètre électronique 29
  • 30. 3) Mesure à la roue de connaissance Connaissant le rayon R de la roue et marquant le point de départ, on peut mesurer une distance entre deux points quelconque A et B en comptant le nombre de tours de la roue : DAB = n x 2 Π R Avec : n : nombre de tours de la roue entre A et B Ce procédé donne d’assez bons résultats en terrain plat et dégagé. Odomètre à roue 4) Mesures à l’aide des chaînes et des fils a. La chaîne d’arpente Présentant de nombreux inconvénients (maillons de fil de fer, reliés entre eux par les anneaux), elle est actuellement abandonnée. b. Le mètre ou le double mètre Ruban métallique enroulé dans un boîtier. D’un maniement aisé il est utilisé pour la mesure de détails (hauteur des tourillons, mesures en renforcement…..). 30
  • 31. Un mètre ruban rétractable un décamètre c. Le ruban (étalon à bouts) Il est en acier ou en inox, de longueurs 10, 20, 30 ou 50 m, il est bien adapté pour tous les travaux topo métriques. d. La roulette (étalon à traits) Montée dans un boîtier avec un sans marche, elle est d’un emploi plus aisé. Elle est munie, soit d’un ruban plastifié (très sensible aux différences de températures, allongement important) soit d’un ruban d’acier, de 10, 20, 30 ou 50 m. Graduations tous les centimètres. L’anneau des rubans à roulette n’est pas compris dans la longueur. Malgré l’utilisation de plus en plus courante des roulettes, les rubans restent l’instrument le plus précis pour les raisons suivantes : - Les mesures sont faites « bout à bout », les poignées articulées étant comprises dans la longueur. - Les poignées possèdent des cannelures demi circulaires du même diamètre que les fiches. 31
  • 32. B- Instruments de bureau Kutsch Régles III.3. LE JALONNEMENT Un jalon est un tube métallique de 200 x 3 cm environ, constitué de un ou plusieurs éléments, peint en rouge et blanc, enfoncé par percussions successives dans un sol meuble, maintenu par un trépied léger sur une surface dure, comme un trottoir asphalté par exemple (fig.). Le jalonnement consiste à aligner plusieurs jalons entre deux autres, afin de disposer de repères intermédiaires au cours du mesurage. Le jalonnement d’un alignement peut se faire, selon la longueur et la précision demandée : - à vue, - à l’aide d’un jalon, - au moyen du réticule d’une lunette, - avec un laser d’alignement. Plusieurs cas peuvent se présenter : a) De A on voit B et le jalonnement est sans obstacle  A vue 32
  • 33. L’opérateur se place à quelques mètres derrière le jalon A , vise le bord du jalon en direction de B et fait placer par un aide les jalons intermédiaires 1, 2, 3 en commençant de préférence par le plus éloigné. Dans le cas d’une distance courte, l’opérateur peut aligner chaque portée de ruban sans jalonnement préalable.  Avec un théodolite Après avoir mis le théodolite en station au point A , viser le jalon B à son axe et le plus près possible du sol de façon à réduire l’influence du défaut de verticalité, puis faire placer par un aide les jalons intermédiaires en commençant impérativement par le plus éloigné.  Oculaire laser Un laser, mot constitué par les initiales de l’expression anglais Light Amplifier by Stimulated Emission of Radiation, est un appareil qui fournit un faisceau lumineux monochromatique de très faible divergence : le milliradian. Un oculaire laser verrouillé sur un théodolite donne un faisceau lumineux rouge de forte brillance, permanent, qui permet la visualisation sur cible de tout point entre A et B. Diamètre du point lumineux : 4 mm/100 m et 6,5 mm/200 m Portée : environ 150 m de jour et 400 m la nuit 33
  • 34. b) Procédé dit du «fourrier » le point B n’est pas visible de A. Fig.27 L’opérateur M se place aussi près que possible de l’alignement AB, de telle sort qu’il puisse voir B, par exemple en M1. L’aide N aligné par l’opérateur sur N1B se place en N1 d’où il aligne à son tour l’opérateur en M2 sur N1A. L’opérateur M2 aligne ensuite l’aide en N2 sur M2B. Et ainsi de suite jusqu’à ce que les alignements successifs aboutissent aux points corrects M et N, où les rectifications de position ne sont plus nécessaires. III.4. PROCEDES ET EXECUTION D’UN CHAINAGE A. MESURAGE A PLAT a) le terrain est horizontal Règle générale : L’opérateur se place à l’arrière, l’aide à l’avant, en se mettant sur le côte du ruban ; L’opérateur place l’extrémité 0 du ruban sur le repère, aligne l’aide qui tend le ruban et marque son extrémité en enfonçant une fiche au sol. Cette fiche doit être enfoncée perpendiculairement au ruban et inclinée vers le sol. La même opération se répète autant de fois qu’il est nécessaire. Fig. 28 34
  • 35. b) le terrain est incliné, la pente régulière On applique la règle générale, la distance obtenue est une distance suivant la pente (dp). La distance à introduire dans les calculs est la distance horizontale. - si on a mesuré le site (i), on aura : dh = dp cos i - si on connaît la dénivelée (dh) entre A et B on applique la formule : c = dp – dh = dn2 ou dh = dp - c 2 dp On peut également à l’aide des calculatrices, obtenir la distance horizontale: dh2 = dp2 – dn2 Application : Vous mesurez une distance suivant la pente de 37,25 m et vous mesurez, au clisimètre, une pente de 2,3%. Quelles sont les valeurs de Dh et ∆H ? c) Le terrain est incliné, la pente irrégulière On décompose la distance en tronçons d’égale inclinaison, on mesure le site ou la dénivelée de chaque tronçon. Mesurage par ressauts horizontaux (cultellation) Méthode utilisée lorsque le terrain est très irrégulier, caillouteux, broussailleux, ….etc). On opère par portées horizontales (1 portée ou fraction de portée). L’extrémité « avant » est projetée verticalement au sol à l’aide d’un fil à plomb (chaînage en descendant). Le chaînage est très délicat en montant ou lorsque les deux extrémités doivent être plombées. 35
  • 36. c) Mesure à l’aide d’un clisimètre Une distance mesurée sur un terrain en pente régulière peut être réduite en utilisant un clisimètre III.5. PRECISION DU MESURAGE 1. Les fautes grossières (erreurs parasites) On parle de fautes lorsqu’il s’agit d’une grosse erreur dont la valeur dépasse une certaine limité appelée « tolérance ». Elle provient en général de l’inattention de l’opérateur par : - oubli d’une portée de ruban (mauvais décompte des fiches), - faute de lecture ; - confusion de chiffres. Les fautes représentent en général un écart important. Le mesurage aller et retour fait apparaître les fautes. On peut donc les éliminer et améliorer le résultat soit par contrôle direct (répéter la même mesure par le même procédé) soit par contrôle indirect (méthode différente et indépendante de la première). 2. Les erreurs systématiques Dans les mêmes conditions d’utilisation ce sont celles qui se reproduisent toujours dans le même sens. Elles sont cumulatives. En général ces erreurs sont dues aux imperfections des instruments. Connaissant leurs causes, on peut éliminer ou diminuer leur effet soit en calculant les corrections à apporter aux mesures, soit en adoptant un mode opératoire précis. On peut procéder à la correction par : - Calibration de l’instrument avant mesure, - Calcul de la correction après mesure. 36
  • 37. - Principales erreurs systématiques a) Etalonnage C’est la différence entre la longueur nominale et la longueur actuelle de la chaîne. Le ruban, lors de l’emploi est soumis à des déformations diverses qui modifient la longueur vraie du ruban. La seule vérification est celle effectuée sur une base précise. Il convient ensuite de tenir compte de la correction d’étalonnage. Il faut bien noter, qu’avec un double décamètre trop long, on obtiendra une quantité trop petite dans le résultat de la mesure. E = Lo – Lac et Ce = - E La distance réelle mesurée par une chaîne représentant une erreur d’étalonnage est : L = D * (Lo / Lac) Où D : distance mesurée sur le terrain avec une chaîne erronée L : longueur réelle mesurée. b) Dilatation Seule la dilatation des rubans en acier peut être calculée. Sous l’effet de la température, la chaîne change de grandeur. La longueur à un température t = to + ∆t est : Lac = Lo * (1 + σ ∆t) Le coefficient de dilatation de l’acier est σ = 0, 0000108 ce qui fait une variation de 1,1 mm pour 100 m et pour une variation de température de 1° C. Cd = Lo σ ∆t c) Elasticité Sous l’effet de la tension, le ruban, comme tous les métaux subit un allongement élastique. C’est à dire, dans le courant, le métal reprend sa longueur initiale quand on relâche la tension. Il prend une déformation permanente lorsque l’effort dépasse une certaine limite. La correction d’élasticité est : Ce = Lo (T – To) / (E x S) Où : Lo : longueur du ruban ; T : tension au moment de mesure ; To : tension initiale (au moment d’étalonnage) ; E : module d’élasticité qui est 20.000 kg/mm² pour l’acier ; 37
  • 38. S : section du ruban. A titre indicatif : une tension de 5 kg donne un allongement de 2 mm pour une section de 2 mm2, et 1 mm pour une section de 5 mm2. d) Chaînette (lorsqu’on opère en mode suspendu) Cette erreur est fonction du poids de la chaîne, de sa longueur et de la tension appliquée pendant la mesure. C’est une erreur rencontrée pendant le chaînage par cultellation. La correction de la chaînette est : Cc = P² x Lo / (24 T²) P : poids de la chaîne en kg ; T : tension appliquée lors de la mesure en kg. Une tension moyenne permet d’annuler l’influence de l’élasticité, et de l’erreur de chaînette. Y A B X O e) Alignement C’est le type même de l’erreur accidentelle à caractère systématique. L’erreur est donnée par : Ea = AB’ – AB = L – L cos φ = L (1 – Cos φ) E a= L ( 2 sin² (φ/2)) Comme φ est petit donc φ rad est confondu avec son sinus : Ea = 2 L (φ/2)² Donc : Ea = L – D = L φ² / 2 Or L φ = h donc Ea = h φ L/ 2 L = h² / (2 L) Avec un double décamètre, une erreur d’alignement de 20 cm engendre une erreur de (0,20)2 = 0,001 m = 1 mm 40 38
  • 39. f) Horizontalité Le défaut d’horizontalité se produit sur les mesures par ressauts horizontaux. Elle est identique à celle qui provient du défaut d’alignement. 3. Les erreurs accidentelles Ce sont des erreurs qui affectent encore le résultat de mesures une fois que l’on a éliminé les erreurs systématiques. Ces erreurs paraissent soumises aux caprices du hasard et échappent au contrôle de l’opérateur. Elles ne peuvent être ni calculées, ni éliminées par un mode opératoire. Elles peuvent être réduites seulement en répétant les mesures plusieurs fois et en prenant comme valeur probable la moyenne des mesures. - erreur de plombage, - fiche non verticale, - erreur de mise bout à bout, mauvais tracé. 4. Erreurs apparentes On appelle erreurs apparentes ou résiduelles, les quantités suivantes : L1 – Lo = V1 L2 – Lo = V2 …. Ln – Lo = Vn Donc : Σ Li – n Lo = Σ Vi Or Lo = Σ Li / n Donc Σ Li = n Lo Ainsi n Lo – n Lo = Σ Vi = 0 « La somme des résiduelles est nulle. C-à-d, pour un grand échantillon, à tout erreur positive correspond une erreur négative. » III.6. TOLERANCE, ECART MOYEN, VARIANCE, ECART TYPE 1. Tolérance (Erreur maximale) L’erreur maximale est l’erreur qui correspond à la probabilité de 1% d’être dépassé en valeur absolue. On l’appelle tolérance car c’est la valeur maximale admissible qu’elle ne faut pas dépasser lors des mesures : T = 2,6 σ 39
  • 40. 2. Ecart moyen C’est l’erreur moyenne arithmétique d’un grand nombre de mesures : m = ! V1 + V2 + …+ Vn ! / n m = Σ ! Li – Lo ! / n = = Σ ! Vi ! / n 3. Variance Elle est définie par : σ² = (V1² + V2² + … + Vn²) / (n – 1) σ² = Σ Vi² / (n – 1) = Σ (Li – Lo)² / (n – 1) Lo : moyenne arithmétique 4. Ecart type Il est défini par la racine carrée de la variance : σ = √ σ² III.7. MESUES INDIRECTES A L’AIDE DES APAREILS DE MESURE Ces appareils permettent de mesurer les distances avec une grande précision. Le principe de ces appareils consiste à mesurer le temps requis pour qu’un rayon du milieu magnétique ou laser (light amplication system by électric radiation) émis depuis un émetteur situé à l’extrémité de la ligne à mesurer revient à celui-ci après avoir réfléchi par un réflecteur placé à l’autre extrémité de la ligne. Il existe actuellement trois (3) systèmes utilisant la vitesse de propagation : - des ondes électromagnétiques (Tachéomètre) - des ondes lumineuses (Théodolite) - des rayons laser ( Télémètre Laser) Une mesure indirecte est une mesure que l’on obtient par un mesurage optique ou électrooptique, sans que l’opérateur ait à parcourir la longueur à mesurer. 40
  • 41. 1. Mesure optique a) Mesure parallactique Principe On dispose en M un stadia horizontal (en métal invar). Un petit viseur permet d’orienter le stadia perpendiculairement à la direction SM. La stadia est munie de deux voyants A et B symétriques par rapports à M’ et écartés exactement de 2 m. L’opérateur en station en S, mesure l’angle horizontal ou parallactique entre A et B avec un théodolite de précision (Wild T2, Zeiss TH2…). Le calcul donne la distance horizontale. AB = 2 m AM’ = 1 m A = 100 gr – a/2 1 SM’ --------- = --------- sin a/2 cos a/2 cos a/2 d’ où : SM’ = --------- = cotg a/2 sin a/2 SM’ = 1 / tg a/2 = distance horizontale Des tables donnent directement la distance horizontale en fonction de alpha. Deux paires de séquences sont nécessaires pour la mesure de alpha. La précision de ce procédé est d’environ 1 cm pour une distance de 35 m. 41
  • 42. b) Les mesures stadimétriques On utilise pour effectuer des mesures stadimétriques, soit un tachéomètre, opticomécanique non autoréducteur (la distance horizontale est obtenue après un calcul), soit un tachéométre optico-mécanique autoréducteur (la distance horizontale est donnée directement). • Les stadimètres non autoréducteurs à angle constant Ils sont actuellement très peu utilisés en topométrie (portées et précisions réduites). Ils sont par contre toujours utilisés en nivellement direct. Le niveau étant un stadimètre à axe optique horizontal. Une lunette stadimétrique est une lunette dont le réticule porte deux traits symétriques par rapport au trait niveleur. L’image de la mire se projette sur le réticule et forme un angle stadimétrique α. Principe c, b = traits du réticule CB = images de c et b sur la mire l = différence de lecture sur une mire : lect sur C – lect sur B m et le rapport : m = tg α est constant d En général m = 1 de radian = α = 0, 63662gr d 100e l = m la distance D est proportionnelle à l. D d D = l/2 ≈ l d’où D = l / 2cotg α/2 = l cos α/2 sin α/2 sin α tg α l’angle α étant petit on peut écrire D ≈ l/tg α tg α = tg 0, 63662grades = 0,01 donc D = 100 l 42
  • 43. Les lectures sont faites sur la mire au millimètre par interpolation à vue. La distance D est donc donnée au mieux à : + 1 mm. 100 soit 10 cm près. l = 1, 217 – 1, 068 = 0, 149 distance D = 100 l = 14, 90 m Cette méthode n’est applicable qu’en terrain sensiblement horizontal, la mire étant perpediculaire à la visée donc tenue verticalement. • Mesures stadimétriques en terrain incliné c) Les instruments de mesure électronique des longueurs (I.M.E.L.) Principe Les instruments de mesure électronique des longueurs (I.M.E.L.) fonctionnent comme des chronomètres. Ils utilisent les ondes électromagnétiques qui se propagent en ligne droite, à une vitesse constante et connu. L’intensité de l’onde porteuse (électromagnétique, centimétrique ou lumineuse) est modulée à l’émission par une fréquence plu basse. L’onde porteuse est émise par un poste émetteur récepteur et renvoyée par celui- ci, soit par un réflecteur, soit par un deuxième récepteur (ondes radio). Les (I.M.E.L.) mesurent en fait des temps de parcours. Formule générale distance = vitesse x temps de parcours 2 l’onde porteuse faisant l’aller – retour. On distingue les instruments n’effectuant que des mesures de distances, est les tachéomètres électro – optiques. III.8. Règles essentielles d’un bon chaînage Il faut : - Connaître sa chaîne ; - Adopter un système de signaux simples ; - procéder à un alignement entre les deux points, soit à l’œil ou avec l’appareil, - Exercer une tension sur la chaîne pour la rendre tendue et rectiligne, - Marquer la portée avec une fiche plantée verticalement; - Planter correctement toutes les fiches ; - Noter la mesure de chaque portée au fur et à mesure du chaînage ; - Ecarter la chaîne de la fiche implantée pour éviter de refaire le chainage, - Ne jamais tirer sur la chaîne si on sent de la résistance car elle peut être bloquée par un obstacle, - Répéter les lectures au moins deux, et faire la moyenne ; 43
  • 44. - Prendre grand soin de l’équipement et se méfier des personnes, des animaux et des véhicules. Il ne faut pas : - Donner des secousses brusques à la chaîne ou la tirer quand elle est bloquée ; - Déranger une fiche ou un jalon pendant la mesure ; - Oublier de ramasser les fiches ; - Enrouler une chaîne mouillée ou terreuse 44
  • 45. V. MESURE DIRECTE DES DENIVELLEES I. DÉFINITION. C’est l’ensemble des opérations qui permettent : - d’un part, de mesurer les différences de niveau entre deux ou plusieurs points ; - d’autre parte, de calculer par une opération simple (addition et soustraction) l’altitude où la côte de chacun des points concernés par rapport à un niveau de base (plan horizontal de référence). Les travaux de nivellement permettent : a) de compléter la mise en plan des détails ; b) de planifier la construction de routes, de chemins de fer, de canaux, etc ; c) de calculer des volumes d’excavation, et ainsi de suite. II. DÉFINITIONS ET PRINCIPES GÉNÉRAUX DE NIVELLEMENT. Altimétrie : partie de la topographie qui traite du relief du sol et de sa représentation sur les plans et cartes. Surface de niveau : surface libre d’un liquide ; en chacun des ses points, elle est perpendiculaire à la pesanteur. En topographie, la surface de niveau de base est, en général, le niveau moyen des mers, prolongé par la pensée sous les continents. C’est ce que l’on appelle le géoïde terrestre. Hauteur d’un point où cote : La hauteur d’un point où cote est la distance verticale entre le point et une surface de niveau choisi arbitrairement. Lorsque la surface de niveau est celle de la mer, la hauteur prend comme nom : altitude avec comme convention la lettre Z. La distance AB prend nom de différence de niveau où dénivelée : ∆ ZA et ∆ZC sont dits au même niveau quand leurs distances AE et CD à la surface de la mer sont égales. Au Maroc, la surface de niveau de base retenu correspond au niveau moyen de l’océan Atlantique. C’est le plan de comparaison du système de nivellement, le N.G.M (Nivellement Général du Maroc). 45
  • 46. Le nivellement consiste à déterminer les différences de niveaux entre les points situés sur des surfaces de niveaux différentes et les rattacher à des repères de nivellement au moyen des visées réalisées sur le terrain. Le nivellement peut s’effectuer selon trois procédés qui sont par ordre de précision décroissante : - le nivellement direct ou géométrique, - le nivellement indirect ou trigonométrique, -le nivellement barométrique (méthode de nivellement basée sur des mesures de pressions atmosphériques) peu précis, n’est pas traité dans cet ouvrage. Nous nous intéressons plus particulièrement au nivellement direct. III. LE NIVELLEMENT DIRECT. Définition : Le nivellement direct s’appuie exclusivement sur des visées horizontales. En général il est exécuté avec un niveau. Un niveau matérialise une ligne de visée horizontale, mais ne permet pas de mesurer des angles verticaux. Il a pour but de mesurer directement les différentes d’altitudes ou les dénivelées au moyen de visées horizontales effectuées avec un niveau sur des points où l’on place la mire. 1. Nivellement direct ou géométrique Le principe du nivellement géométrique est la mesure d’une différence d’altitude, ou d’une succession de différences, par rapport à un point d'altitude connue. L'altitude du point connu et ces différences d'altitude mesurées, permettent par simple soustraction de déterminer l'altitude des points. 46
  • 47. 47
  • 48. 48
  • 49. 49
  • 50. Il est réalisé au niveau de chantier, au niveau optique ou au niveau numérique, et à l'aide d'une mire graduée. Le principe est en fait assez simple, le niveau faisant toujours une lecture à l'horizontale, chaque dénivelée est simplement lue sur la mire qui est tenue à la verticale. Nivelée Portée Lecture avant Lecture arrière Mire A B 2. Différents types de nivellement direct a. Nivellement simple : Il consiste à déterminer la différence de niveau entre deux points à partir d’une seule station. ZA = ZB + ∆ZAB D’où : ∆ZAB =ZA - ZB b. Nivellement composé ou nivellement par cheminement Consiste à déterminer la différence de niveau entre 2 points à partir de stations intermédiaires. C-à-d une suite de nivellement simple. ∆Z1 = ZA1 – ZB1 ∆Z2 = ZB2 – ZC2 …. ∆ZAB = ∆Z1 + ∆Z2 + ∆Z3 + …+ ∆Zn = Σ (ZAi - ZBi ) Donc : Zn = ZA + ∆ZAB 50
  • 51. c. Nivellement par rayonnement Consiste à déterminer la différence de niveau de plusieurs points à partir d’une seule station. H1 = HRN1 + (R – V1) H2 + HRN1 + (R – V2) 3. Nivellement fermé et nivellement ouvert: - Nivellement fermé : Il est fermé quand les lignes les points observés sont rattachées à leurs extrémités à des repères dont les altitudes sont connues. 1 RN 2 RN' RN et RN’ sont des repères dont les altitudes sont connues. 51
  • 52. - Nivellement ouvert : Il est dit ouvert quand l’altitude du point d’arrivée est inconnue. RN 6 RN aune altitude connue, tandis que l’altitude du point 6 est inconnue. Il est indispensable de procéder à la vérification d’un cheminement : - Soit par cheminement en sens inverse : revenir au point de départ R en reprenant les points fixes déjà nivelés; aller RN retour 6 - Soit par fermeture : revenir au point de départ R en prenant de nouveaux points intermédiaires. En pratique, les portées conseillées pour un cheminement sont de 60 m et pour le rayonnement 100 m. 4. Appareils de nivellement direct a. Sans lunettes • Niveau à eau C’est un niveau qui donne une précision de l’ordre de 2 cm par lecture. 52
  • 53. b. Avec lunettes Les niveaux avec lunettes sont classés en trois catégories. Chaque catégorie correspond à des besoins différents, et à des méthodes appropriées. - Niveau de précision → Nivellement direct de haute précision - Niveau d’ingénieurs → Nivellement direct de précision - Niveau de chantier → Nivellement direct ordinaire Dans chacune de ces catégories, il existe des niveaux de type classique, et des niveaux automatiques. Niveau optique : Appelé aussi lunette/niveau( à lunette et nivelle fixes), le niveau optique est utilisé pour faire des nivellements. Il est composé d'une lunette optique fixée sur un trépied. Il est utilisé par l'opérateur pour lire les mesures sur une règle graduée (mire), qui est tenue par un opérateur. C’est un appareil conçu pour les travaux de haute précision. Niveau de chantier 53
  • 54. C’est un niveau sans vis de fin calage. Il offre généralement une précision très moyenne et est d’une mise en œuvre simple. Le calage est assuré par une nivelle torique. Niveau automatique C’est un niveau moderne dans les quels le calage définitif se fait automatiquement à l’aide d’un diapositif propre à l’appareil sans intervention humaine (nivelle sphérique). Niveau numérique D’une grande simplicité d’utilisation, il utilise des principes de compensation similaires au niveau automatique. Il permet de s’abstenir complètement de la mesure et des erreurs qu’il comporte. c. Accessoires de nivellement • Mires : Ce sont des règles graduées permettant d’exécuter des lectures. Elles sont munies d’un dispositif de verticalité. Elles sont en bois ou en aluminium. Il existe trois types de mires classées selon la précision qu’elles donnent et leur mode de graduation et d’utilisation. On distingue : - Mire à voyant : utilisée pour les travaux n’exigeant pas une grande précision. Elle est utilisée avec les niveaux sans lunettes, c’est donc le 54
  • 55. porte-mire qui fait les lectures en manipulant le voyant sur indication de l’opérateur. - Mire parlante : utilisé pour le travaux qui exigent une certaine précision avec un niveau avec lunette. - Mire en invar : utilisé pour le travaux de haute précision IV. NIVELLEMENT INDIRECT OU TRIGONOMETRIQUE Le nivellement trigonométrique est réalisé par calcul du dénivelé et non plus sa mesure directe. On ne mesure plus la dénivelée entre 2 points pour déduire une altitude, mais on calcule tout d'abord cette dénivelée grâce à des mesures d'angles et de distances réalisés à l'aide d'un théodolite ou d'un tachéomètre. Ce type de nivellement est utilisé dans la cas d’un terrain très accidenté ou dans le cas où la distance qui sépare les 2 points est grande. 55
  • 56. Il est réalisé par le calcul trigonométrique à partir d’un triangle rectangle. Principe : On mesure la distance horizontale entre les 2 points. On mesure la hauteur entre le point de repère et l’axe optique, LA. ∆HAB = La + (Dh x tg i) - Lb HB = HA + ∆HAB En général, ce nivellement est moins précis que le nivellement direct (horizontal). Mais malgré tout, on peut obtenir un nivellement de haute précision sans certaines conditions (visée peu inclinée, …). V. ERREURS DE NIVELLEMENT Les sources d’erreurs sont de trois types : - Erreurs instrumentales - Erreurs personnelles - Erreurs de causes naturelles 1. Erreurs instrumentales a. Erreur de réglage de la nivelle C’est une erreur d’inclinaison de la ligne de visée : il faut procéder à un nivellement par portées égales. Si d1 = d2 , donc e = e’ R + e – (V + e’) = R – V b. longueur erronée de la mire Il faut vérifier les graduations de la mire avec un étalon de mesure. 56
  • 57. 2. Erreurs personnelles Elles sont dues à l’opérateur et au porte mire. a. Bulle non en coïncidence Erreur grave pour des visées longues. Il faut faire la coïncidence puis la lecture et ensuite vérifier la coïncidence. b. Parallaxe oculaire C’est une erreur due au mode d’observation de l’opérateur : il faut rendre la réticule noire et l’image nette avant de commencer les observations. c. Erreur d’appoint Erreur de lecture et d’interprétation : chaque lecture faite sur la mire doit être faite au moins deux fois. d. Erreur de verticalité de la mire Dans le cas d’une mire qui n’a ni nivelle sphérique, ni nivelle pendule, il faut la faire basculer de l’avant vers l’arrière et insérer la valeur la plus basse qui correspondra à une position verticale de la mire. 3. Erreurs de causes naturelles a. Vent 57
  • 58. Il ne faut pas niveller quand il y a beaucoup de vent. b. Stabilité du sol Dans le cas d’un terrain mou, il faut utiliser des supports rigides « crapauds » de la mire et bien enfoncer les pointes du trépied dans le sol. VI. TOLERANCE, ECART DE FERMETURE ET COMPENSATION 1. Tolérance Pour un cheminement quelconque, la tolérance est l’erreur maximale admissible. Elle peut être imposée soit par l’administration, soit par le client ou par l’opérateur lui-même. Pour l’altimétrie, la tolérance est : T = 2.7 e √n n : nombre de dénivelées dans un cheminement ; e : erreur systématique commise sur chaque dénivelée. 2,7 : coefficient de sécurité. On a : ec² = e1² + e2² + …+ en² Or e1 = e2 = ….= en Donc ec² = n e² ainsi ec = e √n 2. Ecart de fermeture C’est la différence entre l’altitude connue du point de fermeture B (HB) et son altitude (H’B) calculée à partir des observations des dénivelées sur le terrain : ε = HB - H’B Si ε > T, le cheminement est à refaire, avec « T » tolérance. 58
  • 59. LES TOLERANCES OFFICIELLES Tolérance en mm n <= 16 N >= 16 Ordinaire 4 √ (36 L + L²) 4 √ (36 N + (N²/16)) Précision 4 √ (9 L + L²) 4 √ (9 N + (N²/16)) Haute précision 8√ L 2√ N 3. Compensation C’est l’ensemble de l’écart de fermeture (avec ε < T) sur l’ensemble des observations qui en les corrigeant permettent de donner des résultats proches de la valeur réelle de l’inconnue. HB = H’B + ε H1 = HA + Dn1 + ε1 H2 = H1 + Dn2 + ε2 = HA + Dn1 + Dn2 +ε1 + ε2 HB = HA + Σ Dni + Σ εi - Répartition de l’écart de fermeture Soit L : longueur totale de cheminement li : longueur de chaque dénivelée ε : écart de fermeture εi = (ε / L) x li Si les longueurs de n nivelées sont sensiblement égales : 59
  • 60. L1 = l2 = …= ln donc L = n li εi = (ε / L) x li = (ε / n li) x li = ε / n VII. EXEMPLES PRATIQUES 60
  • 61. VI. MESURE DES ANGLES IV.1. GÉNÉRALITÉS. En principe, en topographie, les angles se mesurent toujours dans un plan horizontal ou dans un plan vertical (jamais dans un plan oblique). Les angles horizontaux appelés aussi azimutaux peuvent être enregistrés de deux manières différentes : a) Observés et dessinés directement sur une feuille de papier placée sur une planchette horizontale. L’instrument utilisé est un goniographe composé, d’un trépied, d’une planchette, d’un organe de visée et d’une règle. b) Mesurés à l’aide d’un goniomètre. Dans ce cas les instruments utilisés sont les suivants : Le choix de la méthode d’observation angulaire dépendra de l’instrument utilisé et de la précision recherchée. IV.2. LES APPAREILS DE MESURE On distingue, en général, deux grandes catégories : 1. Les appareils à visée directe ; 2. Les appareils à lunette. 1. les appareils à visée directe : Ce sont des anciens instruments qui n’ont pas de lunette et qui permettent d’établir des levés de faible précision. Parmi ces instruments : - nivellatrice (alidade à pinnule) : Le but de cet appareil (nivelle) est de contrôler le calage d’un point, d’un plan, d’un axe de visée, …. Elle permet un levé graphique et direct sur terrain. Les angles sont reportés directement et graphiquement sur le plan ou le terrain et ceci en traçant les directions observées. Par contre, les distances sont mesurées sur terrain à la chaîne et reportées sur la direction tracée à l’échelle du plan : levé à planchette. 61
  • 62. - Equerres optiques C’est un instrument de mesure d’angle dans un plan horizontal le plus simple : il ne permet que d’élever des perpendiculaires ou de se situer sur l’alignement entre deux points. Il est constamment utilisé pour les levers de détails par le procédé des abscisses et ordonnée et pour de nombreuses constructions géométriques rapides effectués au cours des levers. On distingue : o Equerre à prisme simple : se compose de deux miroirs dont les plans perspectifs font un angle de 50 gr ; o Equerre à prisme double : constitué par deux prismes superposés. Elle permet les mêmes opérations que le simple mais plus rapide. 2. les appareils à lunette : • Lunettes : Ce sont de systèmes optiques comprenant un réticule et plusieurs lentilles, dont un dispositif de mise au point. Le réticule est le dispositif de lecture et de visée. 62
  • 63. On distingue trois types de lunettes : - lunette astronomique (seule lecture sur la mire). - lunette stadimètrique, - lunette stadimètrique anallatique. • Lunette astronomique • Lunette stadimètrique 63
  • 64. Principe de Stadia : C’est une méthode qui consiste à utlisr les traiangles semblables Fab et FAB pour déterminer la distance D’ et par suite la distance D. h N fxN f On a : -------- = -------- d’où : --------- = ----- x N f D’ h h Or f = constante et h = constante Donc : f / h = cte = « k » constante de multiplication (en général k = 100). D’ = k x N - visée horizontale : La distance D est : D = D’ + f + c Or f = cte et c = cte Donc f + c = cte « k’ » appelée constante de l’appareil D = k N + k’ Si N est subdivisé en n divisions dont chaque division correspond à 1 cm, on a : N = 1 cm x n donc Ncm = n D’ = k N = 100 Ncm = 100 n D’ (m) = n donc D = D’ + k’ Parmi ces appareils : 1. Cercle d’alignement C’est un appareil composé de : - un triangle à vis calantes ; - une nivelle tubulaire ; - d’une lunette astronomique ; - d’un limbe et d’une alidade pour la lecture des angles horizontaux. Il est utilisé surtout pour réaliser des alignements et lire les angles horizontaux. 64
  • 65. 2. Théodolite Un théodolite est une lunette montée sur les deux axes vertical et horizontal. Chacun des axes est équipé d’un cercle gradué permettant les lectures des angles. C’est un cercle d’alignement qui porte en plus d’un cercle, une alidade pour la lecture des angles verticaux, c’est un goniomètre complet. 65
  • 66. On distingue : - le pivot, ou axe principal, calé verticalement et centré, c’est-à-dire confondu avec la verticale du point au sol ou au « toit » en travaux souterrains ; le théodolite est alors en station, c’est-à-dire prêt pour le mesurage des angles horizontaux et verticaux ; - l’axe de basculement, encore appelé axe secondaire ou axe des tourillons, perpendiculaire au précédent, donc horizontal au moment des observations ; - l’axe optique de la lunette, perpendiculaire à l’axe de basculement, balaye un plan de visée vertical ; - le cercle horizontal, centré sur le pivot, permet la mesure des angles horizontaux ; - le cercle vertical, ou éclimètre, centré sur l’axe de basculement, autorise la mesure des angles verticaux. On distingue entre : - Théodolite tachéomètrique Wild T1 (répétiteur): Le cercle horizontal et le cercle vertical ont des divisions de 1 gr et les micromètres ont des divisions de 0.01 gr. 66
  • 67. Théodolite Wild T2 (réitérateur) : Les cercles sont gradués de 0.2 gr et les micromètres ont des divisions de 2°c. 67
  • 68. 68
  • 69. • Tachéomètre : C’est un instrument qui permet de lire les angles et de faire des levés tant planimétrique qu’altimétrique. Il permet aussi la mesure des distances grâce à des fils stadimétrique fixes sur la lunette. Théodolite électronique 3. Station totale Goniomètre : mesure des angles horizontaux ; Eclimètre : mesure des angles verticaux ; Théodolite : mélange des deux ; Tachéomètre : mélange des deux et mesure des distances (goniomètre complet); Station totale : tachéomètre à mémoire. 4. Rapporteur en Grade 69
  • 70. IV.3. UNITES DE MESURE • En trigonométrie et dans les calculs d’erreurs, on utilise comme unité le « radian (rad) » ; Le radian est un arc dont la longueur est égale au rayon. Dans un cercle, la circonférence est égale au : diamètre x Π, le rayon étant égale à l’unité. • En navigation et en astronomie, on utilise l’unité « degré (°) » Le degré est l’angle au centre qui intercepte sur la circonférence un arc d’une longueur &gale à 1/360 de cell de cette circonférence. • En topométrie, l’unité employée est «le « grade (gr) ». la circonférence vaut 400 gr. IV.4. PROCEDES DE DETERMINATION D’ANGLES Trois procédés peuvent être appliqués pour déterminer la valeur d’un angle avec précision : I. Double retournement (angles horizontaux et verticaux) : C’est une méthode utilisée pour avoir deux valeurs d’un même angle avec le cercle vertical occupant deux positions différentes : - 1ère position : la lecture faite sur la direction observée avec le cercle vertical à gauche de l’opérateur s’appelle LCG ; - 2ème position : la lecture faite sur la direction observée avec le cercle vertical à droite de l’opérateur s’appelle LCD. La valeur adoptée pour l’angle est la moyenne arithmétique entre les deux angles observés. Pour passer de la 1ère à la 2ème position, il faut donner une rotation de 200 gr à l’appareil et une demi-révolution à la lunette d’où l’appellation : double retournement. Ce procédé est, aussi, utilisé pour détecter le défaut des appareils. 70
  • 71. II. Réitération C’est une méthode qui détermine plusieurs valeurs d’un même angle, en changeant à chaque fois la lecture de départ pour utiliser les quatre (4) quadrants du cercle horizontal (0- 100 gr, 100-200 gr, 200-300 gr et 300-400 gr). La valeur adoptée est la moyenne arithmétique des quatre valeurs observées. Station Pts visés Lectures Angles (β) C A L1 (I) B L2 β1 = L2-L1 A L3 B L4 β2 = L4-L3 A L5 B L6 β3 = L6-L5 A L7 B L8 Β4 = L8-L7 βm = (β1 + β2 + β3 + β4) / 4 III. Répétition Il permet d’avoir la valeur d’un angle horizontal avec précision. Il consiste à prendre pour toute la lecture de départ la lecture d’arrivée de la détermination précédente. Station Pts visés Lectures Angles (β) C A L1 B L2 β1 = L2-L1 Bloquer L2 A L2 Libérer L2 B L3 β2 = L3-L2 Bloquer L3 A L3 Libérer L3 B L4 β3 = L4-L3 … βm = (β1 + β2 + β3 + … βn) / N = (Ln+1 – L1) / N 71
  • 72. VII. CALCUL DES COORDONEES I- GENERALITES 1. Principe Le cercle horizontal ou limbe est la graduation du théodolite sur laquelle l’opérateur lit les angles horizontaux. Il est lié au socle de l’appareil mais peut aussi pivoter sur lui-même de manière à régler le zéro des graduations sur une direction donnée. La graduation sont croissantes de 0 à 400 grades dans le sens horaire c.-à-d. d dans le sens des aiguilles d’une montre. Après la mise en station du théodolite, ce cercle est horizontal, ce qui explique que les angles lus soient des angles projetés sur le plan horizontal et appelés angles horizontaux (ou azimutaux). 2. Terminologie des mesures d’angles horizontaux L’appareil étant dans sa position de référence et le zéro de la graduation horizontale n’étant pas modifié après mise en station, l’opérateur effectue une lecture azimutale L A sur le point A puis une lecture LB sur B et en déduit l’angle ASB : ZAB = LB – LA 72
  • 73. Définition : Le Gisement d’une direction AB est l’angle horizontal mesuré positivement dans le sens horaire entre l’axe des ordonnées du système de projection utilisé et cette direction AB. On le note GAB. Mathématiquement, c’est l’angle positif en sens horaire entre l’axe des ordonnées du repère et la droite (AB). Un gisement est toujours compris entre 0 et 400 grades. GAB est l’angle entre le Nord (ordonnées) et la direction AB. GBA est l’angle entre le Nord (ordonnées) et la direction AB. La relation qui lie GAB et GBA est : GBA = GAB + 200 II- UTILITAIRES DES GISEMENTS 1. calcul d’un gisement à partir de coordonnées cartésiennes Considérons les coordonnées de deux points A (XA, YA) et B (XB, YB). La relation suivante permet de calculer GAB : XB – XA Tan GAB = ------------ YB – XB Application : Calculez à partir de la formule le gisement de la direction AB suivante avec : A (10 ; 50) et B (60 ; 10) 73
  • 74. Quadrant 1 : B est à l’Est et au Nord de A (∆X > 0 et (∆Y > 0) GAB = g Quadrant 2 : B est à l’Est et au Sudf de A (∆X > 0 et (∆Y < 0) GAB = g + 200 (avec g < 0) Quadrant 3 : B est à l’Ouest et au Sud de A (∆X < 0 et (∆Y < 0) GAB = g + 200 (avec g > 0) Quadrant 4 : B est à l’Ouest et au Nord de A (∆X < 0 et (∆Y > 0) GAB = g + 400 (avec g < 0) 2. Calcul de coordonnées cartésiennes à partir d’un gisement Connaissant le point de station S (XS, YS), et cherchant les coordonnées d’un point P visible depuis S. On dit que le point P est rayonné depuis S si l’on peut mesurer la distance horizontale DSP et le gisement GSP. Quel que soit le quadrant, on peut alors calculer les coordonnées du point P par les formules suivantes : XP = XS + DSP . sin GSP YP = YS + DSP . cos GSP Application : 74
  • 75. S (680 379,84 ; 210 257,06) est donné en coordonnées Lambert, calculez les coordonnées de P telles que DSP = 45,53 m et GSP = 172,622 gr. 75
  • 76. VIII. CANEVAS PLANIMETRIQUE & PARTAGE DES TERRES Le partage des terres est basé sur les différents principes de la géométrie (calculs simples). Le partage peut s’effectuer soit équitablement, soit en fonction de différentes directives des copropriétaires. Chaque lot fait un tout complet indépendant les uns des autres. Il faut éviter les angles trop aigus et préférer un quadrilatère à un triangle. Aucun propriétaire ne peut être lésé. On peut diviser un terrain par une méthode : - numérique - graphique Pour diviser les terres, soit on passe par un point donné, soit on suit une des directions et on fait une parallèle ou une perpendiculaire. I. LA TRIANGULATION i. Définition et principe La triangulation c’est la mesure d’angles. On établit les angles et on relève les sommets. Les triangles sont déterminés par des mesures d’angles mais on a aussi besoin d’une base au lever (qui est la longueur d’un des côtés du triangle, la base) / - Soit on mesure 2 angles sur 3. C’est une méthode rapide mais moins précise. C’est une triangulation non entièrement stationnée. Une triangulation se fait à grande échelle (exemple : un pays). Il n’y a qu’un seul ordre de triangle. Quand on connaît les coordonnées des différents points, on fait un rayonnement (pour les plus petites mesures). - Soit on stationne sur les 3 sommets. C’est une triangulation entièrement stationnée. On part sur de bonnes bases. La triangulation est dite locale lorsque les triangles qui la composent sont relativement petits (de 20 à 30 m). Certaines déformations sont négligeables. ii. Causes des déformations : la courbure de la terre et la réfraction atmosphérique (la visée traverse des couches d’air de densité différente. La visée est donc déformée). Sur 100 Km, il faut faire attention aux déformations : formules existantes. Les triangles doivent être bien ouverts (les angles ne doivent pas être trop aigus). On peut repérer les sommets par des photos aériennes (photogrammétrie). La résolution des triangles se fait à partir de la base et des angles. 76
  • 77. II. L’INTERSECTION L’intersection est aussi une mesure d’angles. On recherche le point P, A et B sont des points de coordonnées connues. On fait des visées à partir de A et B sur lesquels on stationne. L’intersection détermine les coordonnées du point P. Si A et B sont des points élevés, cela pose un problème. Il faut alors faire un rabattement des points connus au sol. Il y a 2 types de rabattement : - le rabattement direct (visible), il se fait perpendiculairement - le rabattement indirect (on rabat devant) : exemple : on ne peut pas aller au centre de l’église. La résolution se fait par transfère de coordonnées, c’est l’une des méthodes les plus fiables. III. LE RELEVEMENT (mesure d’angles) La station est effectuée sur le point inconnu. Il faut au minimum 3 points connus en coordonnées. 77
  • 78. Il n’y a pas de problème avec les points élevés. Ils sont même plus faciles à viser que les autres. C’est la configuration du terrain qui détermine quelle technique utiliser. IV. LE RECOUPEMENT (mesure d’angles) Le recoupement est une combinaison de 2 méthodes : de l’intersection et du relèvement. Il est assez souvent utilisé dans la pratique. Résolution avec les coordonnées. V. LE CHEMINEMENT OU LA POLYGONATION ( mesure d’angles et de distances) C’est une progression à partir du théodolite et du ruban. On part d’un point connu A vers un autre point connu B. La polygonale peut être ouverte ou fermée : - fermée : le point de départ = le point d’arrivée. En général, ce cheminement est utilisé pour de faibles étendues. - ouvert : le point de départ est différent du point d’arrivée. On peut rayonner à partir d’un point intermédiaire. 78
  • 79. Le cheminement peut être : - encadré : les point des départs et d’arrivée sont connus en coordonnées. - tendu : les angles mesures sont proches de 200 gons (180°) VI. LE RAYONNEMENT (mesure d’angles et de distances). Le rayonnement associe une mesure angulaire à une mesure de distance qui est la portée du rayonnement Il faut 2 points de départ pour établie une base. Ce procédé est acceptable quand A et B sont assez proches l’un de l’autre, c’est-à-dire écarté au maximum de 50m. La résolution du système se fait pas transfère de coordonnées. VII. LA TRILATERATION (mesure de distance) On part d’un angle mais on mesure tous les côtés d’un réseau de triangles. C’est une méthode plus rapide et de bonne précision. 79
  • 80. IX. PROFILS EN LONG & PROFILS EN TRAVERS I. Définition Les profils sont des représentations graphiques détaillant le relief d’un terrain donné. II. Profils en long C’est une représentation du terrain naturel suivant la longueur de l’axe de la zone considérée. Autrement dit : C’est une coupe verticale du TN et du projet faite suivant l’axe du tracé, avec lequel Il est établi conjointement (fig. 72) ; il autorise le dessin ultérieur des profils en travers et la cubature de terrassements. Le profil en long est obtenu après : - Etablissement du tracé définitif du projet ; - Réalisation des opérations planimétriques pour implanter les piquets du profil ; - Nivellement de ces piquets. 80
  • 81. Exemple : b) Cheminement de nivellement indirect au théodolite 81
  • 82. c) Lever tachéométrique du profil en long 82