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ALGO & PROG                                                            PROF : Mohamed SAYARI


CHAPIITRE 2 ::
CHAP TRE 2

                                    LA RECURSIVITE
    I.      Introduction :
    1. Activité 1 :
1. Soit la définition de la fonction factoriel (module qui permet de calculer le factoriel d’un
nombre n positif)

    Factoriel (5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1  Factoriel (n) = n * n-1 * n-2 * n-3 * …………… * 2 * 1
    Factoriel (4) = 4 * 3 * 2 * 2 * 1  Factoriel (n-1) = n-1 * n-2 * n-3 * …………… * 2 * 1
                                    Factoriel (n) = n * Factoriel (n-1)

2. Et soit la définition de la fonction inverse (module qui permet d’inverser une chaîne de
caractères .
Inverse ("ALGO") = "O" + inverse ("ALG")  Inverse (ch) = denier caractère + Inverse du reste de la chaîne
privé du dernier caractère
Inverse ("ALG") = "G" +inverse ("AL")  Inverse (ch) = denier caractère + Inverse du reste de la chaîne
privé du dernier caractère
                Inverse (ch) =ch[Long(ch)] + inverse (sous-chaîne (ch, 1, Long(ch)-1))
Constatation 1 :
Dans toutes les activités précédentes, nous avons utilisés, pour définir un module, le module lui
même avec différents paramètres :
                                   Factoriel (n) = Factoriel (n-1)
                      Inverse(ch) = ch[ L] + inverse (sous-chaîne (ch, 1, L-1))

Lorsqu’un module (fonction ou procédure) s’appelle lui-même : ce procédé sera appelé récursivité
et le module est dit module récursif.

    II. Définition :
               -    Un programme récursif est un module qui s’appelle lui-même.
               - La récursivité permet de résoudre certains problèmes d'une manière très rapide,
                    alors que si on devrait les résoudre de manière itérative, il nous faudrait
                    beaucoup plus de temps et de structures de données intermédiaires.
    III. Principe et Présentation d’une solution récursive :
1. Activité 2 :
Exécuter manuellement :
La fonction factoriel pour n = 4                        La fonction inverse pour ch = "salut"
F(4) = 4 * f (3)                                        Inverse ("salut") = "t" + Inverse("salu")
     F(3) = 3 * f (2)                                        Inverse("salu") = "u" + Inverse("sal")
            F(2) = 2 * f (1)                                      Inverse("sal") = "l"+ Inverse("sa")
                  F(1) = 1 * f (0)                                   Inverse ("sa") = "a" + Inverse("s")
                          F(0) = 0* f (-1)                              Inverse ("s") = "s" + Inverse("")
                                                                          Inverse ("") = "" + Inverse(?).
Peut-on calculer le factoriel d’un nombre négatif ?     On doit s’arrêter
                                                                                             Page 1 sur 3
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                                             Interprétations :
   Non bien sûr. Donc les appels récursifs doivent Lorsque la chaîne devient vide, on arrête les
   être arrêté lorsque n = 0.                        appels récursifs.
   Lorsque n =0, factoriel(0) = 1                    Lorsque ch =  , inverse ( ) =  
   On appelle n = 0 le point d’arrêt de la fonction On appelle ch =   point d’arrêt de la fonction
   factoriel                                         inverse

   2 . C o n s ta ta tio n 2 :
   Dans une définition récursive, on doit s’arrêter après autant d’appels récursifs.
   Une solution récursive se traduit alors par une structure conditionnelle :
   Si point(s) d’arrêt(s) alors
          Valeur prise par la fonction si atteinte du point d’arrêt
   Sinon
          appel(s) récursif(s)
   Fin si

   Remarque :
   Une solution récursive peut avoir 1 ou plusieurs points d’arrêts et encore 1 ou plusieurs appels récursifs.

                 Fonction factoriel (n : entier) : entier long           function factoriel(n: integer): longint;
                 Résultat =factoriel                                     begin
  Exemple 1 :    Factoriel= [ ] Si n = 0 alors                          if n = 0 then
    Calcul          Point d’arrêt         Factoriel  1                            factoriel := 1
factoriel d’un                   Sinon                                   else
  nombre n                       Factoriel  n * factoriel (n-1)                   factoriel := n * factoriel(n - 1);
                                 Fin si                                  end;
                                              Appel récursif

                 Fonction inverse (ch : chaîne) : chaîne                 function inverse(ch: string): string;
                 Résultat = inverse                                      begin
 Exemple 2 :     Inverse=[ ] si ch = "" alors                           if ch = ‘’ then
 Inversion                                inverse  ""                                inverse := ‘’
d’une chaîne                sinon                                        else
     ch          inverse  ch [long(ch)] + inverse (sous-chaîne (ch,1,             inverse := ch [length(ch)] + inverse
                 long(ch)-1))                                            (copy (ch,1, length(ch)-1))
                             fin si                                      end;



   3. Application:
   Ecrire une analyse, un algorithme d'une fonction permettant de calculer le PGCD (plus grand
   commun diviseur) de deux entiers positifs non nuls a et b, en utilisant la méthode de la différence
   Exemple:
          PGCD (22 , 6 ) = PGCD ( 22-6, 6 ) = PGCD ( 16,6) car 22 > 6
                         = PGCD (16-6 ,6 ) = PGCD (10 , 6) car 16 > 6
                         = PGCD (10-6, 6) = PGCD (4, 6) car 10 > 6
                         = PGCD (4, 6-4) = PGCD (4, 2) car 4 < 6
                         = PGCD (4-2, 2) = PGCD (2, 2) car 4 > 2
                         =2




                                                                                                         Page 2 sur 3
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* Interprétation
On remarque que:
-      Si a > b alors PGCD (a, b) = PGCD (a-b, a)
-      Si b>a alors PGCD (a, b) = PGCD (a, b-a)
-      Si a=b alors PGCD (a, b)=a (*** condition d'arrêt ****)
Nous remarquons qu'on a appelé la même fonction PGCD pour calculer le PGCD de a et b.
 Il s'agit d'un traitement récursif

La fonction PGCD devient:
0)    Fonction PGCD (a, b : entier) : entier
1)    Si a=b alors PGCD  a
      Sinon si a>b alors PGCD  PGCD (a-b, b)
      Sinon PGCD  PGCD (a, b-a)
      Finsi
2)    Fin PGCD



   IV. Remarques :
1. Activité 3:
    Ecrire un programme pascal qui permet de chercher et d’afficher l’inverse d’une chaîne
        de caractères. (Utiliser au moins un module défini selon un procédé récursif).
    Testez avec les chaînes suivantes et déterminer les résultats trouvés :
             Chaîne à introduire                      Valeur retournée par le programme
             "Salut"                                  ………………………….
             "Bonjour"                                ………………………….
             "azertyuiopqsdfghjk"                     ………………………….


    Le programme a généré une erreur d’exécution. Rendez-vous au help de pascal, et
        consulter la signification de l’erreur.
                            L’erreur est due à un débordement de mémoire.

2 . C o n s ta ta tio n 3
La récursivité utilise toujours la pile du programme en cours. (La pile est la mémoire stockant
les données intermédiaires de sous-programmes). lorsque le nombre des appels devient
important, la pile déborde. (cas de la chaîne azertyuiopqsdfghjk  )


   V.      Applications :
                                                  Série N°2


                                                                                          Page 3 sur 3

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Récursivité

  • 1. ALGO & PROG PROF : Mohamed SAYARI CHAPIITRE 2 :: CHAP TRE 2 LA RECURSIVITE I. Introduction : 1. Activité 1 : 1. Soit la définition de la fonction factoriel (module qui permet de calculer le factoriel d’un nombre n positif) Factoriel (5) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1  Factoriel (n) = n * n-1 * n-2 * n-3 * …………… * 2 * 1 Factoriel (4) = 4 * 3 * 2 * 2 * 1  Factoriel (n-1) = n-1 * n-2 * n-3 * …………… * 2 * 1 Factoriel (n) = n * Factoriel (n-1) 2. Et soit la définition de la fonction inverse (module qui permet d’inverser une chaîne de caractères . Inverse ("ALGO") = "O" + inverse ("ALG")  Inverse (ch) = denier caractère + Inverse du reste de la chaîne privé du dernier caractère Inverse ("ALG") = "G" +inverse ("AL")  Inverse (ch) = denier caractère + Inverse du reste de la chaîne privé du dernier caractère Inverse (ch) =ch[Long(ch)] + inverse (sous-chaîne (ch, 1, Long(ch)-1)) Constatation 1 : Dans toutes les activités précédentes, nous avons utilisés, pour définir un module, le module lui même avec différents paramètres : Factoriel (n) = Factoriel (n-1) Inverse(ch) = ch[ L] + inverse (sous-chaîne (ch, 1, L-1)) Lorsqu’un module (fonction ou procédure) s’appelle lui-même : ce procédé sera appelé récursivité et le module est dit module récursif. II. Définition : - Un programme récursif est un module qui s’appelle lui-même. - La récursivité permet de résoudre certains problèmes d'une manière très rapide, alors que si on devrait les résoudre de manière itérative, il nous faudrait beaucoup plus de temps et de structures de données intermédiaires. III. Principe et Présentation d’une solution récursive : 1. Activité 2 : Exécuter manuellement : La fonction factoriel pour n = 4 La fonction inverse pour ch = "salut" F(4) = 4 * f (3) Inverse ("salut") = "t" + Inverse("salu") F(3) = 3 * f (2) Inverse("salu") = "u" + Inverse("sal") F(2) = 2 * f (1) Inverse("sal") = "l"+ Inverse("sa") F(1) = 1 * f (0) Inverse ("sa") = "a" + Inverse("s") F(0) = 0* f (-1) Inverse ("s") = "s" + Inverse("") Inverse ("") = "" + Inverse(?). Peut-on calculer le factoriel d’un nombre négatif ? On doit s’arrêter Page 1 sur 3
  • 2. ALGO & PROG PROF : Mohamed SAYARI Interprétations : Non bien sûr. Donc les appels récursifs doivent Lorsque la chaîne devient vide, on arrête les être arrêté lorsque n = 0. appels récursifs. Lorsque n =0, factoriel(0) = 1 Lorsque ch =  , inverse ( ) =   On appelle n = 0 le point d’arrêt de la fonction On appelle ch =   point d’arrêt de la fonction factoriel inverse 2 . C o n s ta ta tio n 2 : Dans une définition récursive, on doit s’arrêter après autant d’appels récursifs. Une solution récursive se traduit alors par une structure conditionnelle : Si point(s) d’arrêt(s) alors Valeur prise par la fonction si atteinte du point d’arrêt Sinon appel(s) récursif(s) Fin si Remarque : Une solution récursive peut avoir 1 ou plusieurs points d’arrêts et encore 1 ou plusieurs appels récursifs. Fonction factoriel (n : entier) : entier long function factoriel(n: integer): longint; Résultat =factoriel begin Exemple 1 : Factoriel= [ ] Si n = 0 alors if n = 0 then Calcul Point d’arrêt Factoriel  1 factoriel := 1 factoriel d’un Sinon else nombre n Factoriel  n * factoriel (n-1) factoriel := n * factoriel(n - 1); Fin si end; Appel récursif Fonction inverse (ch : chaîne) : chaîne function inverse(ch: string): string; Résultat = inverse begin Exemple 2 : Inverse=[ ] si ch = "" alors if ch = ‘’ then Inversion inverse  "" inverse := ‘’ d’une chaîne sinon else ch inverse  ch [long(ch)] + inverse (sous-chaîne (ch,1, inverse := ch [length(ch)] + inverse long(ch)-1)) (copy (ch,1, length(ch)-1)) fin si end; 3. Application: Ecrire une analyse, un algorithme d'une fonction permettant de calculer le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux entiers positifs non nuls a et b, en utilisant la méthode de la différence Exemple: PGCD (22 , 6 ) = PGCD ( 22-6, 6 ) = PGCD ( 16,6) car 22 > 6 = PGCD (16-6 ,6 ) = PGCD (10 , 6) car 16 > 6 = PGCD (10-6, 6) = PGCD (4, 6) car 10 > 6 = PGCD (4, 6-4) = PGCD (4, 2) car 4 < 6 = PGCD (4-2, 2) = PGCD (2, 2) car 4 > 2 =2 Page 2 sur 3
  • 3. ALGO & PROG PROF : Mohamed SAYARI * Interprétation On remarque que: - Si a > b alors PGCD (a, b) = PGCD (a-b, a) - Si b>a alors PGCD (a, b) = PGCD (a, b-a) - Si a=b alors PGCD (a, b)=a (*** condition d'arrêt ****) Nous remarquons qu'on a appelé la même fonction PGCD pour calculer le PGCD de a et b.  Il s'agit d'un traitement récursif La fonction PGCD devient: 0) Fonction PGCD (a, b : entier) : entier 1) Si a=b alors PGCD  a Sinon si a>b alors PGCD  PGCD (a-b, b) Sinon PGCD  PGCD (a, b-a) Finsi 2) Fin PGCD IV. Remarques : 1. Activité 3:  Ecrire un programme pascal qui permet de chercher et d’afficher l’inverse d’une chaîne de caractères. (Utiliser au moins un module défini selon un procédé récursif).  Testez avec les chaînes suivantes et déterminer les résultats trouvés : Chaîne à introduire Valeur retournée par le programme "Salut" …………………………. "Bonjour" …………………………. "azertyuiopqsdfghjk" ………………………….  Le programme a généré une erreur d’exécution. Rendez-vous au help de pascal, et consulter la signification de l’erreur. L’erreur est due à un débordement de mémoire. 2 . C o n s ta ta tio n 3 La récursivité utilise toujours la pile du programme en cours. (La pile est la mémoire stockant les données intermédiaires de sous-programmes). lorsque le nombre des appels devient important, la pile déborde. (cas de la chaîne azertyuiopqsdfghjk  ) V. Applications : Série N°2 Page 3 sur 3