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M1/L3 (ÉCONOMÉTRIE)
Série Corrigée N°2-ÉNONCÉS
Modèle de Régression Linéaire Multiple
Exercice 1 : (IHET SC2011)
Pendant 23 ans, on a relevé sur une parcelle de terre agricole les rendements de la culture de blé
(symbolisé 𝒀), la température moyenne (variable 𝑿 𝟏) et le niveau des précipitations (variable 𝑿 𝟐).
L’ajustement de ce modèle conduit aux résultats suivants :
𝒚 𝒊 = 𝟎, 𝟓𝟏𝟐𝒙𝒊𝟏 − 𝟎, 𝟑𝟓𝟎𝒙𝒊𝟐 + 𝟐𝟕, 𝟑 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟑 ; 𝑹 𝟐
= 𝟎, 𝟗𝟑𝟕 ; 𝑺𝑪𝑻 = 𝒚 𝒊 − 𝒚 𝟐
𝟐𝟑
𝒊=𝟏
= 𝟑𝟏𝟕, 𝟒𝟔
On donne, en plus
𝑿′
𝑿 −𝟏
=
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗 −𝟎, 𝟎𝟖 −𝟎, 𝟑
𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓 𝟎, 𝟎𝟐
𝟎, 𝟐
1) Déduire l’estimateur de 𝝈 𝟐
.
2) Déduire les variances des estimateurs 𝜷 𝟏 et 𝜷 𝟐 (les coefficients associés à 𝒙 𝟏 et 𝒙 𝟐
respectivement).
3) Effectuer les tests de significativité individuelle de 𝜷 𝟏 et 𝜷 𝟐 , sachant que le 𝒕-tabulé
est 𝒕 𝟓% 𝟐𝟎 = 𝟐, 𝟎𝟒𝟐.
4) Peut-on affirmer que le coefficient de la température est deux fois plus élevé que celui des
précipitations, en valeur absolue ?
Exercice 2 : (ISG SP2008)
On considère le modèle de régression multiple :
𝒚 𝒊 = 𝜷 𝟎 + 𝜷 𝒌 𝒙𝒊𝒌
𝑲
𝒌=𝟏
+ 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 …, 𝒏
1)
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2
a) Mettre le modèle sous forme matricielle en fonction du vecteur 𝒊 = 𝟏, 𝟏,… 𝟏 ′
et de la
matrice 𝑿 = 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐,… 𝒙 𝑲
b) Donner l’expression du vecteur 𝜷 estimateur MCO de 𝜷 en fonction de 𝑴 𝟎
et 𝒊, où 𝑴 𝟎
est
la matrice qui transforme les observations en écarts par rapport aux moyennes des
colonnes de la matrice 𝑿.
2) Dans la régression précédente le calcul du vecteur 𝜷 𝒄
revient à régresser la variable 𝒀 centrée
par rapport aux variables explicatives 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, … 𝒙 𝑲 centrées dans le cadre d’un modèle linéaire
sans constante.
a) Est-ce qu’on obtient le même résultat si seule la variable 𝒀 est centrée ?
b) Est-ce qu’on obtient le même résultat si uniquement les variables explicatives sont
centrées ?
Exercice 3: (ISG SP2008)
On considère le modèle de régression multiple avec constante : 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝝃 . On procède à la
transformation suivante des variables explicatives: 𝒁 = 𝑿𝑻 , où 𝑻 est une matrice inversible.
1) Donner l’expression des vecteurs des résidus de la régression de 𝒀 sur 𝑿 et de 𝒀 sur 𝒁
respectivement 𝒆 𝟏 = 𝑴 𝑿𝒀 et 𝒆 𝟐 = 𝑴 𝒁𝒀
2) Que peut-on conclure quant à la qualité d’ajustement des deux régressions
3) Quel est le lien entre ce résultat et le problème de changement d’unité de mesure des variables
Exercice 4: (ISG SC2006)
On considère deux modèles de production :
𝑴 𝟏: 𝒚 𝒕 = 𝒆 𝜷 𝟏 𝒙𝒕𝒊
𝜷𝒊 𝒆 𝝃 𝒕
𝒌
𝒊=𝟐
𝑴 𝟐: 𝒚𝒕 = 𝜶 𝟏 + 𝜶𝒊 𝒙𝒕𝒊
𝒌
𝒊=𝟐
+ 𝜻𝒕
Où 𝒚 est la production, et les 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌 sont les facteurs de production.
1) Déterminer 𝜼 𝒊 l’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 …, 𝒌 selon le
modèle 𝑴 𝟏
2) Déterminer 𝜹𝒊 l’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌 selon le
modèle 𝑴 𝟐. Commenter
3) Donner le modèle 𝑴 𝟑 qui correspond à la forme log-linéaire du modèle 𝑴 𝟏.
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Sur la base d’un échantillon de 𝟒𝟓 observations, on a estimé ce modèle 𝑴 𝟑 par la méthode des
moindres carrés pour le cas de deux facteurs de productions : 𝒙 𝟐 le capital et 𝒙 𝟑 le travail. Les résultats
sont :
𝜷 𝒄
=
𝟎, 𝟕𝟓
𝟎, 𝟑𝟎
, 𝑺𝑪𝑹 = 𝟐𝟓 , 𝝈 𝜷 𝒄
𝟐
= 𝟏𝟎−𝟒 𝟏𝟓 −𝟓
𝟏𝟎
4) Donner le tableau d’analyse de la variance
5) Tester au risque de 𝟓% l’hypothèse que l’élasticité capital est égale à l’élasticité travail
6) Tester au risque de 𝟓% l’hypothèse des rendements d’échelle constants
Exercice 5: (ISG SP2010)
On veut expliquer la variation des rendements des actions des entreprises cotés à la bourse.
On dispose du tableau suivant :
𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
𝒀 = 𝑹𝒆𝒏𝒅𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔 16 7 14 29 22 22 21 12 19 20 12 14 13 10 22 11 18 16 15 7
𝑿 𝟐 = 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒆𝒔 9 2 7 32 18 14 16 3 12 15 3 4 9 0 13 4 15 19 8 2
𝑨𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒏𝒂𝒏𝒄𝒆 à 𝒍’𝑬𝒕𝒂𝒕∗ O N N O N N O N O O N O O N O N O N O N
𝑺𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒅’𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒕é 𝐬 𝟏 𝐬 𝟑 𝐬 𝟐 𝐬 𝟑 𝐬 𝟐 𝐬 𝟐 𝐬 𝟏 𝐬 𝟐 𝐬 𝟐 𝐬 𝟏 𝐬 𝟐 𝐬 𝟐 𝐬 𝟏 𝐬 𝟐 𝐬 𝟐 𝐬 𝟏 𝐬 𝟏 𝐬 𝟑 𝐬 𝟏 𝐬 𝟑
∗ O: L’Etat est actionnaire à l’entreprise N : L’Etat n’est pas actionnaire
Ce tableau est résumé par les données suivantes :
𝒙𝒊𝟐
𝟐𝟎
𝒊=𝟏
= 𝟐𝟎𝟓 ; 𝒙𝒊𝟐
𝟐
𝟐𝟎
𝒊=𝟏
= 𝟑𝟐𝟓𝟕 ; 𝒙𝒊𝟐 𝒚 𝒊
𝟐𝟎
𝒊=𝟏
= 𝟒𝟎𝟑𝟓 ; 𝒚 𝒊
𝟐𝟎
𝒊=𝟏
= 𝟑𝟐𝟎 ; 𝒚 𝒊
𝟐
𝟐𝟎
𝒊=𝟏
= 𝟓𝟕𝟐𝟒
Total des rendements des entreprises dont l’Etat est actionnaire =187
Total des rendements des entreprises du secteur 𝒔 𝟏 =114
Total des rendements des entreprises du secteur 𝒔 𝟐 =147
Total des dividendes des entreprises dont l’Etat est actionnaire =133
Total des dividendes des entreprises du secteur 𝒔 𝟏 =76
Total des dividendes des entreprises du secteur 𝒔 𝟐 =74
1) Donner les spécifications économétriques et interpréter économétriquement les paramètres des
modèles suivants :
a) 𝑌 est exprimée en fonction d’une dummy référant à l’appartenance à l’Etat.
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b) 𝑌 est exprimée en fonction des variables dummy référant aux secteurs d’activité.
c) 𝑌 est exprimée en fonction des dividendes et des dummy référant à l’appartenance à
l’Etat et à l’appartenance aux différents secteurs d’activité
2) Donner les matrices 𝑿′
𝑿 et 𝑿′
𝒀 relatives à chacun des modèles spécifiés.
3) Estimer les paramètres du premier modèle.
4) On a estimé le modèle :
𝒚 𝒊 = 𝟒, 𝟗𝟐 + 𝟎, 𝟔𝟗𝒙𝒊𝟐 + 𝟏, 𝟒𝟔𝑫𝒊 + 𝟐, 𝟔𝟒𝑫𝒊𝟏 + 𝟐, 𝟔𝟒𝑫𝒊𝟐 ;𝒐ù
𝑫𝒊 =
𝟏 𝒔𝒊 𝒍′
𝑬𝒕𝒂𝒕 𝒆𝒔𝒕 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏𝒏𝒂𝒊𝒓𝒆 à 𝒍′
𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊"
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏
𝑫𝒊𝟏 =
𝟏 𝒔𝒊 𝒍′
𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊" 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒔 𝟏
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏
𝑫𝒊𝟐 =
𝟏 𝒔𝒊 𝒍′
𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊" 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒔 𝟐
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏
a) Est-ce que les investisseurs à la bourse préfèrent les entreprises dont l’Etat est
actionnaire ou non ? Justifier votre réponse.
b) Est-ce que les investisseurs à la bourse préfèrent les entreprises du secteur 𝒔 𝟏 ou 𝒔 𝟐 ?
Justifier votre réponse.
c) Déterminer les rendements estimés de l’action d’une entreprise qui appartient au
secteur 𝒔 𝟑, dont l’Etat n’est pas actionnaire et dont les dividendes sont de 52.
Exercice 6: (ISG SP2007)
On veut identifier les facteurs qui déterminent les rendements des actions sur le marché financier. On
considère les variables
𝒀 = 𝑳𝒏 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔 𝒅𝒆 𝒍′
𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 , 𝑿 𝟐 = 𝑳𝒏 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒐𝒓𝒕 𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒕𝒕𝒆𝒔 𝒂𝒖 𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒕
𝑿 𝟑 = 𝑳𝒏(𝒑𝒓𝒐𝒇𝒊𝒕𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖é𝒔)
On dispose des statistiques relatives à 30 firmes du secteur 𝑨 et 30 firmes du secteur 𝑩 qu’on utilise
pour estimer les modèles :
𝑴 𝑨 : 𝒀 𝑨 = 𝑿 𝑨 𝜷 𝑨 + 𝝃 𝑨
𝑴 𝑩 : 𝒀 𝑩 = 𝑿 𝑩 𝜷 𝑩 + 𝝃 𝑩
1) Les résultats d’estimations du modèle 𝑴 𝑨 sont :
𝑴 𝑨 ∶ 𝒚 𝒊 = −𝟔, 𝟎𝟓
𝟑,𝟎𝟎
− 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒊𝟐
𝟑,𝟕𝟎
+ 𝟏, 𝟎𝟓𝒙𝒊𝟑
𝟐,𝟔𝟎
; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 …, 𝟑𝟎
𝝈 𝑨
𝟐
= 𝟎, 𝟐𝟕 ; 𝑹 𝑨
𝟐
= 𝟎, 𝟖𝟓
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Les valeurs entre parenthèses sont les 𝒕 de Student
a) Juger la validité statistique et économique du modèle 𝑴 𝑨
b) Quelle est l’effet sur les rendements d’une augmentation de 𝟓% des profits distribués
c) Tester l’hypothèse que la variation des rendements est exactement proportionnelle à la
variation des profits distribués
2) On utilise les données du secteur 𝑨 et du secteur 𝑩 ensemble pour estimer les modèles :
𝑴 𝟏: 𝒚𝒊 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟔𝟎
𝑴 𝟐: 𝒚𝒊 = 𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝒃 𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝒃 𝟒 𝑫𝒊 + 𝜻𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟔𝟎
𝒐ù 𝑫𝒊 =
𝟏 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒇𝒊𝒓𝒎𝒆 i 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝑨
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏
a) L’estimation du modèle 𝑴 𝟏 donne 𝑹 𝑴 𝟏
𝟐
= 𝟎, 𝟗𝟎. Tester au risque de 𝟓% la stabilité des
paramètres entre les secteurs, sachant que :
𝒚 𝒊 − 𝒚 𝟐
𝟐𝟑
𝒊=𝟏
= 𝟏𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑺𝑪𝑹 𝑩 = 𝟔
b) L’équation estimée du modèle 𝑴 𝟐 est :
𝑴 𝟐 ∶ 𝒚 𝒊 = −𝟒, 𝟎𝟓
𝟑,𝟎𝟎
− 𝟎, 𝟕𝟓𝒙𝒊𝟐
𝟑,𝟕𝟎
+ 𝟎, 𝟖𝟕𝒙𝒊𝟑
𝟐,𝟔𝟎
− 𝟎, 𝟔𝟎𝑫𝒊
𝟑,𝟑𝟎
; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟔𝟎
Les valeurs entre parenthèses sont les t de Student
i. Est-ce que les rendements dépendent du secteur d’activité
ii. Comparer ce résultat avec celui de la question 2)-a)
iii. Est-ce que les investisseurs préfèrent le secteur 𝑨 ou 𝑩, justifier votre réponse
Exercice 7: (ISG SC2006)
Sur la base des données mensuelles allant de janvier 1991 à décembre 2000, on a estimé les modèles :
𝑴 𝟏: 𝒚 𝒕 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒕𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒕𝟑 + 𝜷 𝟒 𝒙𝒕𝟒 + 𝝃𝒕
𝑴 𝟐: 𝒚𝒕 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒕𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒕𝟑 + 𝜷 𝟒 𝒙𝒕𝟒 + 𝜷 𝟓 𝒙𝒕𝟓 + 𝜷 𝟔 𝒙𝒕𝟔 + 𝜻𝒕
On obtient : 𝝈 𝑴 𝟏
𝟐
= 𝟐, 𝟓𝟓 , 𝑺𝑪𝑹 𝑴 𝟐
= 𝟏𝟏𝟎
𝑺𝒂𝒄𝒉𝒂𝒏𝒕 𝒒𝒖𝒆 𝒚 𝒕 − 𝒚 𝟐
𝟏𝟐𝟎
𝒕=𝟏
= 𝟐𝟏𝟎𝟎
1) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle 𝑴 𝟏
2) Calculer le part des variables 𝒙 𝟓 et 𝒙 𝟔 dans l’explication du modèle 𝑴 𝟐
3) Est-ce que l’ajout de ces variables améliore la qualité d’ajustement du modèle
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4) Tester au risque de 𝟓% si cette amélioration est significative.
L’estimation du modèle 𝑴 𝟐 sur la période janvier 1991 à décembre 1994 donne 𝑺𝑪𝑹 𝟗𝟏/𝟗𝟒 = 𝟒𝟎
L’estimation du modèle 𝑴 𝟐 sur la période janvier 1995 à décembre 2000 donne 𝑺𝑪𝑹 𝟗𝟓/𝟎𝟎 = 𝟓𝟗
5) Tester au risque de 𝟓% la stabilité des paramètres de ce modèle.
Exercice 8: (ISG SP2008)
On considère le modèle 𝑴 𝟏: 𝒚 𝒊 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟏𝟎𝟎 où
𝒀 = 𝒔𝒂𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍; 𝑿 𝟐 = 𝒆𝒙𝒑é𝒓𝒊𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒇𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏𝒏𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒕 𝑿 𝟑 = 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒂𝒖 𝒅′𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏. Les
données relatives aux variables explicatives sont résumées par :
𝑿 𝒄′
𝑿 𝒄
=
𝟔𝟑𝟗𝟎 −𝟐𝟐
𝟏𝟐𝟕
; 𝑿 𝒄′
𝑿 𝒄 −𝟏
=
𝟎, 𝟏𝟓𝟔𝟔 𝟎, 𝟎𝟐𝟕𝟏
𝟕, 𝟖𝟕𝟓𝟓
1) L’équation estimée du modèle 𝑴 𝟏 est :
𝑴 𝟏 ∶ 𝒚 𝒊 = 𝟐𝟓𝟖, 𝟓
𝟏𝟑,𝟎𝟏
+ 𝟏𝟕, 𝟒𝒙𝒊𝟐
𝟏,𝟑𝟏
+ 𝟏𝟔𝟓, 𝟗𝒙𝒊𝟑
𝟗,𝟐𝟗
; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟏𝟎𝟎
Les valeurs entre parenthèses sont les écarts-types estimés des paramètres
a) Donner une interprétation économique de la valeur estimée de 𝜷 𝟏
b) Estimer la variance des résidus
c) Calculer le coefficient de détermination du modèle
2) Afin de tester l’existence d’une discrimination au niveau des salaires entre les hommes et les
femmes, on cherche à estimer le modèle :
𝑴 𝟐: 𝒚 𝒊 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝜷 𝟒 𝑫𝒊 + 𝜻𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟏𝟎𝟎 𝒐ù
𝑫𝒊 =
𝟏 𝒔𝒊 𝒍′
𝒊𝒏𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒖 "𝒊"𝒆𝒔𝒕 𝒉𝒐𝒎𝒎𝒆
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏
L’échantillon est composé de 60 hommes et 40 femmes. La valeur moyenne de 𝑿 𝟐 chez les hommes est
𝑿 𝟐𝑯 = 𝟏𝟑 alors que pour les femmes la moyenne de 𝑿 𝟐 est 𝑿 𝟐𝑭 = 𝟏𝟏. Pour 𝑿 𝟑 les moyennes sont
𝑿 𝟑𝑯 = 𝑿 𝟑𝑭 = 𝟏, 𝟕
a) Déterminer la matrice 𝑿′
𝑿 associée au modèle 𝑴 𝟐.
b) Tester l’existence d’une discrimination entre les hommes et les femmes, si l’équation
estimée du modèle 𝑴 𝟐 est :
𝑴 𝟐 ∶ 𝒚 𝒊 = 𝟐𝟎𝟎, 𝟗
𝟐𝟑,𝟏𝟕
+ 𝟏𝟔, 𝟐𝒙𝒊𝟐
𝟏,𝟏𝟐
+ 𝟏𝟔𝟑, 𝟖𝒙𝒊𝟑
𝟕,𝟖𝟖
+ 𝟏𝟏𝟑, 𝟓𝑫𝒊
𝟏𝟖,𝟐𝟕
; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 …, 𝟏𝟎𝟎
Les valeurs entre parenthèses sont les écarts-types estimés des paramètres
c) Cette discrimination, est-elle en faveur des hommes ou des femmes. Justifier votre
réponse.
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3) On suppose que vous disposez de toutes les observations ; proposez une autre méthode pour
tester l’existence de cette discrimination.
Exercice9: (ISG SP2007)
Soit le modèle de régression simple : 𝑴 𝟏: 𝒚𝒕 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝑻
1) Sur la base d’un échantillon de 24 observations trimestrielles (de 2000 : I à 2005 : IV), on a estimé
par les MCO le modèle 𝑴 𝟏. Les résultats d’estimation sont :
𝑴 𝟏 ∶ 𝒚 𝒕 = 𝟑𝟗, 𝟎𝟓
𝟑,𝟎𝟎
− 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒕
𝟏,𝟑𝟏
; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟒
Les valeurs entre parenthèses sont les t de Student
a) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle 𝑴 𝟏
𝒐𝒏 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒍𝒆𝒔 𝒎𝒐𝒅è𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔: 𝑭 =
𝑺𝑪𝑬
𝑺𝑪𝑹 𝑻 − 𝟐
= 𝝉 𝜷 𝟐
𝟐
b) Tester au risque de 𝟓% :
𝑯 𝟎: 𝜷 𝟐 = 𝟏
𝑯 𝟏: 𝜷 𝟐 ≠ 𝟏
2) On donne 𝑿 = 𝟔𝟕 ; 𝑽 𝑿 = 𝟔𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑽 𝒀 = 𝟗𝟖𝟎
a) Estimer la variance des résidus 𝝈 𝟐
b) Déterminer les matrices 𝑿′
𝑿 𝒆𝒕 𝑿′
𝑿 −𝟏
associées au modèle 𝑴 𝟏
c) Déterminer un intervalle de prévision au niveau 𝟗𝟓% pour 𝒚 𝟐𝟓
𝒑
sachant que 𝒙 𝟐𝟓 = 𝟗𝟖
3) Pour examiner l’effet des saisons on utilise le modèle suivant :
𝑴 𝟐: 𝒚 𝒕 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒕 + 𝜷 𝟑 𝑫 𝟏𝒕 + 𝜷 𝟒 𝑫 𝟐𝒕 + 𝜷 𝟓 𝑫 𝟑𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟒 ; 𝒐ù
𝑫𝒋𝒕 = 𝟏 𝒔𝒊 t𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅 𝒂𝒖 𝒋𝒊è𝒎𝒆
𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆
𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏
;𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑
Les résultats d’estimations du modèle 𝑴 𝟐 sont :
𝑴 𝟐 ∶ 𝒚 𝒕 = 𝟑𝟗, 𝟓 + 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒕 − 𝟑, 𝟑𝟓𝑫 𝟏𝒕 + 𝟒, 𝟒𝟕𝑫 𝟐𝒕 − 𝟓𝟖, 𝟖𝑫 𝟑𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟒
𝑹 𝟐
= 𝟎, 𝟖𝟑
a) Dresser le tableau d’analyse de la variance
b) Déterminer les valeurs prévisionnelles 𝒚 𝟐𝟕
𝒑
𝒆𝒕 𝒚 𝟐𝟖
𝒑
pour le troisième et le quatrième
trimestre de l’année 2006, sachant que pour ces périodes les valeurs prévisionnelles de la
variable explicative 𝑿 sont respectivement 𝒙 𝟐𝟕 = 𝟏𝟎𝟐 𝒆𝒕 𝒙 𝟐𝟖 = 𝟏𝟎𝟓
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Exercice10: (ISG SC2007)
On considère le modèle : 𝒚 𝒊 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝜷 𝟒 𝒙𝒊𝟒 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 …, 𝟑𝟔
1) Mettre le modèle sous forme matricielle, en spécifiant les dimensions de chaque élément
2) Donner l’équation du vecteur 𝜷 estimateur de 𝜷 =
𝜷 𝟏
𝜷 𝟐
𝜷 𝟑
𝜷 𝟒
par les MCO
3) Estimer par les MCO le vecteur 𝜷 𝒄
=
𝜷 𝟐
𝜷 𝟑
𝜷 𝟒
, on donne :
𝑿 𝒄′
𝑿 𝒄
=
𝟏𝟎 𝟔 𝟏𝟐
𝟏𝟓 𝟓
𝟐𝟎
, 𝑿 𝒄′
𝑿 𝒄 −𝟏
= 𝟏𝟎−𝟐
𝟒𝟕 −𝟏𝟎 −𝟐𝟓
𝟗 𝟏
𝟏𝟗
𝒆𝒕 𝑿 𝒄′
𝒀 =
𝟏𝟓
𝟐𝟎
𝟒𝟎
4) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle sachant que 𝑺𝑪𝑻 = 𝟐𝟎𝟎
5) Quelle est le part de la variance expliquée par la variable 𝑿 𝟑
6) Comment peut-on tester l’hypothèse
𝑯 𝟎:
𝜷 𝟐 = −𝟐𝜷 𝟑
𝜷 𝟐 + 𝜷 𝟑 + 𝜷 𝟐 = 𝟎
; 𝒏𝒆 𝒇𝒂𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍
ASSISTANCE&FORMATION UNIVERSITAIRE EN :
ÉCONOMÉTRIE
TECHNIQUES DE SONDAGE
STATISTIQUES MATHÉMATIQUES (STAT II)
STATISTIQUES DESCRIPTIVES & PROBABILITÉS (STAT I)
ANALYSE (MATH I)
ALGÈBRE (MATH II)
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  • 1. BEN AHMED MOHSEN Téléphone : (+216)97619191 Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC 1 M1/L3 (ÉCONOMÉTRIE) Série Corrigée N°2-ÉNONCÉS Modèle de Régression Linéaire Multiple Exercice 1 : (IHET SC2011) Pendant 23 ans, on a relevé sur une parcelle de terre agricole les rendements de la culture de blé (symbolisé 𝒀), la température moyenne (variable 𝑿 𝟏) et le niveau des précipitations (variable 𝑿 𝟐). L’ajustement de ce modèle conduit aux résultats suivants : 𝒚 𝒊 = 𝟎, 𝟓𝟏𝟐𝒙𝒊𝟏 − 𝟎, 𝟑𝟓𝟎𝒙𝒊𝟐 + 𝟐𝟕, 𝟑 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟑 ; 𝑹 𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟕 ; 𝑺𝑪𝑻 = 𝒚 𝒊 − 𝒚 𝟐 𝟐𝟑 𝒊=𝟏 = 𝟑𝟏𝟕, 𝟒𝟔 On donne, en plus 𝑿′ 𝑿 −𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗 −𝟎, 𝟎𝟖 −𝟎, 𝟑 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓 𝟎, 𝟎𝟐 𝟎, 𝟐 1) Déduire l’estimateur de 𝝈 𝟐 . 2) Déduire les variances des estimateurs 𝜷 𝟏 et 𝜷 𝟐 (les coefficients associés à 𝒙 𝟏 et 𝒙 𝟐 respectivement). 3) Effectuer les tests de significativité individuelle de 𝜷 𝟏 et 𝜷 𝟐 , sachant que le 𝒕-tabulé est 𝒕 𝟓% 𝟐𝟎 = 𝟐, 𝟎𝟒𝟐. 4) Peut-on affirmer que le coefficient de la température est deux fois plus élevé que celui des précipitations, en valeur absolue ? Exercice 2 : (ISG SP2008) On considère le modèle de régression multiple : 𝒚 𝒊 = 𝜷 𝟎 + 𝜷 𝒌 𝒙𝒊𝒌 𝑲 𝒌=𝟏 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 …, 𝒏 1)
  • 2. BEN AHMED MOHSEN Téléphone : (+216)97619191 Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC 2 a) Mettre le modèle sous forme matricielle en fonction du vecteur 𝒊 = 𝟏, 𝟏,… 𝟏 ′ et de la matrice 𝑿 = 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐,… 𝒙 𝑲 b) Donner l’expression du vecteur 𝜷 estimateur MCO de 𝜷 en fonction de 𝑴 𝟎 et 𝒊, où 𝑴 𝟎 est la matrice qui transforme les observations en écarts par rapport aux moyennes des colonnes de la matrice 𝑿. 2) Dans la régression précédente le calcul du vecteur 𝜷 𝒄 revient à régresser la variable 𝒀 centrée par rapport aux variables explicatives 𝒙 𝟏, 𝒙 𝟐, … 𝒙 𝑲 centrées dans le cadre d’un modèle linéaire sans constante. a) Est-ce qu’on obtient le même résultat si seule la variable 𝒀 est centrée ? b) Est-ce qu’on obtient le même résultat si uniquement les variables explicatives sont centrées ? Exercice 3: (ISG SP2008) On considère le modèle de régression multiple avec constante : 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝝃 . On procède à la transformation suivante des variables explicatives: 𝒁 = 𝑿𝑻 , où 𝑻 est une matrice inversible. 1) Donner l’expression des vecteurs des résidus de la régression de 𝒀 sur 𝑿 et de 𝒀 sur 𝒁 respectivement 𝒆 𝟏 = 𝑴 𝑿𝒀 et 𝒆 𝟐 = 𝑴 𝒁𝒀 2) Que peut-on conclure quant à la qualité d’ajustement des deux régressions 3) Quel est le lien entre ce résultat et le problème de changement d’unité de mesure des variables Exercice 4: (ISG SC2006) On considère deux modèles de production : 𝑴 𝟏: 𝒚 𝒕 = 𝒆 𝜷 𝟏 𝒙𝒕𝒊 𝜷𝒊 𝒆 𝝃 𝒕 𝒌 𝒊=𝟐 𝑴 𝟐: 𝒚𝒕 = 𝜶 𝟏 + 𝜶𝒊 𝒙𝒕𝒊 𝒌 𝒊=𝟐 + 𝜻𝒕 Où 𝒚 est la production, et les 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌 sont les facteurs de production. 1) Déterminer 𝜼 𝒊 l’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 …, 𝒌 selon le modèle 𝑴 𝟏 2) Déterminer 𝜹𝒊 l’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌 selon le modèle 𝑴 𝟐. Commenter 3) Donner le modèle 𝑴 𝟑 qui correspond à la forme log-linéaire du modèle 𝑴 𝟏.
  • 3. BEN AHMED MOHSEN Téléphone : (+216)97619191 Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC 3 Sur la base d’un échantillon de 𝟒𝟓 observations, on a estimé ce modèle 𝑴 𝟑 par la méthode des moindres carrés pour le cas de deux facteurs de productions : 𝒙 𝟐 le capital et 𝒙 𝟑 le travail. Les résultats sont : 𝜷 𝒄 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝟎, 𝟑𝟎 , 𝑺𝑪𝑹 = 𝟐𝟓 , 𝝈 𝜷 𝒄 𝟐 = 𝟏𝟎−𝟒 𝟏𝟓 −𝟓 𝟏𝟎 4) Donner le tableau d’analyse de la variance 5) Tester au risque de 𝟓% l’hypothèse que l’élasticité capital est égale à l’élasticité travail 6) Tester au risque de 𝟓% l’hypothèse des rendements d’échelle constants Exercice 5: (ISG SP2010) On veut expliquer la variation des rendements des actions des entreprises cotés à la bourse. On dispose du tableau suivant : 𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 𝒀 = 𝑹𝒆𝒏𝒅𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔 16 7 14 29 22 22 21 12 19 20 12 14 13 10 22 11 18 16 15 7 𝑿 𝟐 = 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒆𝒔 9 2 7 32 18 14 16 3 12 15 3 4 9 0 13 4 15 19 8 2 𝑨𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒏𝒂𝒏𝒄𝒆 à 𝒍’𝑬𝒕𝒂𝒕∗ O N N O N N O N O O N O O N O N O N O N 𝑺𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒅’𝒂𝒄𝒕𝒊𝒗𝒊𝒕é 𝐬 𝟏 𝐬 𝟑 𝐬 𝟐 𝐬 𝟑 𝐬 𝟐 𝐬 𝟐 𝐬 𝟏 𝐬 𝟐 𝐬 𝟐 𝐬 𝟏 𝐬 𝟐 𝐬 𝟐 𝐬 𝟏 𝐬 𝟐 𝐬 𝟐 𝐬 𝟏 𝐬 𝟏 𝐬 𝟑 𝐬 𝟏 𝐬 𝟑 ∗ O: L’Etat est actionnaire à l’entreprise N : L’Etat n’est pas actionnaire Ce tableau est résumé par les données suivantes : 𝒙𝒊𝟐 𝟐𝟎 𝒊=𝟏 = 𝟐𝟎𝟓 ; 𝒙𝒊𝟐 𝟐 𝟐𝟎 𝒊=𝟏 = 𝟑𝟐𝟓𝟕 ; 𝒙𝒊𝟐 𝒚 𝒊 𝟐𝟎 𝒊=𝟏 = 𝟒𝟎𝟑𝟓 ; 𝒚 𝒊 𝟐𝟎 𝒊=𝟏 = 𝟑𝟐𝟎 ; 𝒚 𝒊 𝟐 𝟐𝟎 𝒊=𝟏 = 𝟓𝟕𝟐𝟒 Total des rendements des entreprises dont l’Etat est actionnaire =187 Total des rendements des entreprises du secteur 𝒔 𝟏 =114 Total des rendements des entreprises du secteur 𝒔 𝟐 =147 Total des dividendes des entreprises dont l’Etat est actionnaire =133 Total des dividendes des entreprises du secteur 𝒔 𝟏 =76 Total des dividendes des entreprises du secteur 𝒔 𝟐 =74 1) Donner les spécifications économétriques et interpréter économétriquement les paramètres des modèles suivants : a) 𝑌 est exprimée en fonction d’une dummy référant à l’appartenance à l’Etat.
  • 4. BEN AHMED MOHSEN Téléphone : (+216)97619191 Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC 4 b) 𝑌 est exprimée en fonction des variables dummy référant aux secteurs d’activité. c) 𝑌 est exprimée en fonction des dividendes et des dummy référant à l’appartenance à l’Etat et à l’appartenance aux différents secteurs d’activité 2) Donner les matrices 𝑿′ 𝑿 et 𝑿′ 𝒀 relatives à chacun des modèles spécifiés. 3) Estimer les paramètres du premier modèle. 4) On a estimé le modèle : 𝒚 𝒊 = 𝟒, 𝟗𝟐 + 𝟎, 𝟔𝟗𝒙𝒊𝟐 + 𝟏, 𝟒𝟔𝑫𝒊 + 𝟐, 𝟔𝟒𝑫𝒊𝟏 + 𝟐, 𝟔𝟒𝑫𝒊𝟐 ;𝒐ù 𝑫𝒊 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍′ 𝑬𝒕𝒂𝒕 𝒆𝒔𝒕 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏𝒏𝒂𝒊𝒓𝒆 à 𝒍′ 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊" 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏 𝑫𝒊𝟏 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍′ 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊" 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒔 𝟏 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏 𝑫𝒊𝟐 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍′ 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 "𝒊" 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒔 𝟐 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏 a) Est-ce que les investisseurs à la bourse préfèrent les entreprises dont l’Etat est actionnaire ou non ? Justifier votre réponse. b) Est-ce que les investisseurs à la bourse préfèrent les entreprises du secteur 𝒔 𝟏 ou 𝒔 𝟐 ? Justifier votre réponse. c) Déterminer les rendements estimés de l’action d’une entreprise qui appartient au secteur 𝒔 𝟑, dont l’Etat n’est pas actionnaire et dont les dividendes sont de 52. Exercice 6: (ISG SP2007) On veut identifier les facteurs qui déterminent les rendements des actions sur le marché financier. On considère les variables 𝒀 = 𝑳𝒏 𝒓𝒆𝒏𝒅𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔 𝒅𝒆 𝒍′ 𝒂𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 , 𝑿 𝟐 = 𝑳𝒏 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒐𝒓𝒕 𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒕𝒕𝒆𝒔 𝒂𝒖 𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒔𝒐𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒆𝒕 𝑿 𝟑 = 𝑳𝒏(𝒑𝒓𝒐𝒇𝒊𝒕𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖é𝒔) On dispose des statistiques relatives à 30 firmes du secteur 𝑨 et 30 firmes du secteur 𝑩 qu’on utilise pour estimer les modèles : 𝑴 𝑨 : 𝒀 𝑨 = 𝑿 𝑨 𝜷 𝑨 + 𝝃 𝑨 𝑴 𝑩 : 𝒀 𝑩 = 𝑿 𝑩 𝜷 𝑩 + 𝝃 𝑩 1) Les résultats d’estimations du modèle 𝑴 𝑨 sont : 𝑴 𝑨 ∶ 𝒚 𝒊 = −𝟔, 𝟎𝟓 𝟑,𝟎𝟎 − 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒊𝟐 𝟑,𝟕𝟎 + 𝟏, 𝟎𝟓𝒙𝒊𝟑 𝟐,𝟔𝟎 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 …, 𝟑𝟎 𝝈 𝑨 𝟐 = 𝟎, 𝟐𝟕 ; 𝑹 𝑨 𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟓
  • 5. BEN AHMED MOHSEN Téléphone : (+216)97619191 Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC 5 Les valeurs entre parenthèses sont les 𝒕 de Student a) Juger la validité statistique et économique du modèle 𝑴 𝑨 b) Quelle est l’effet sur les rendements d’une augmentation de 𝟓% des profits distribués c) Tester l’hypothèse que la variation des rendements est exactement proportionnelle à la variation des profits distribués 2) On utilise les données du secteur 𝑨 et du secteur 𝑩 ensemble pour estimer les modèles : 𝑴 𝟏: 𝒚𝒊 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟔𝟎 𝑴 𝟐: 𝒚𝒊 = 𝒃 𝟏 + 𝒃 𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝒃 𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝒃 𝟒 𝑫𝒊 + 𝜻𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟔𝟎 𝒐ù 𝑫𝒊 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍𝒂 𝒇𝒊𝒓𝒎𝒆 i 𝒂𝒑𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕𝒂𝒖 𝒔𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝑨 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏 a) L’estimation du modèle 𝑴 𝟏 donne 𝑹 𝑴 𝟏 𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟎. Tester au risque de 𝟓% la stabilité des paramètres entre les secteurs, sachant que : 𝒚 𝒊 − 𝒚 𝟐 𝟐𝟑 𝒊=𝟏 = 𝟏𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑺𝑪𝑹 𝑩 = 𝟔 b) L’équation estimée du modèle 𝑴 𝟐 est : 𝑴 𝟐 ∶ 𝒚 𝒊 = −𝟒, 𝟎𝟓 𝟑,𝟎𝟎 − 𝟎, 𝟕𝟓𝒙𝒊𝟐 𝟑,𝟕𝟎 + 𝟎, 𝟖𝟕𝒙𝒊𝟑 𝟐,𝟔𝟎 − 𝟎, 𝟔𝟎𝑫𝒊 𝟑,𝟑𝟎 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟔𝟎 Les valeurs entre parenthèses sont les t de Student i. Est-ce que les rendements dépendent du secteur d’activité ii. Comparer ce résultat avec celui de la question 2)-a) iii. Est-ce que les investisseurs préfèrent le secteur 𝑨 ou 𝑩, justifier votre réponse Exercice 7: (ISG SC2006) Sur la base des données mensuelles allant de janvier 1991 à décembre 2000, on a estimé les modèles : 𝑴 𝟏: 𝒚 𝒕 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒕𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒕𝟑 + 𝜷 𝟒 𝒙𝒕𝟒 + 𝝃𝒕 𝑴 𝟐: 𝒚𝒕 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒕𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒕𝟑 + 𝜷 𝟒 𝒙𝒕𝟒 + 𝜷 𝟓 𝒙𝒕𝟓 + 𝜷 𝟔 𝒙𝒕𝟔 + 𝜻𝒕 On obtient : 𝝈 𝑴 𝟏 𝟐 = 𝟐, 𝟓𝟓 , 𝑺𝑪𝑹 𝑴 𝟐 = 𝟏𝟏𝟎 𝑺𝒂𝒄𝒉𝒂𝒏𝒕 𝒒𝒖𝒆 𝒚 𝒕 − 𝒚 𝟐 𝟏𝟐𝟎 𝒕=𝟏 = 𝟐𝟏𝟎𝟎 1) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle 𝑴 𝟏 2) Calculer le part des variables 𝒙 𝟓 et 𝒙 𝟔 dans l’explication du modèle 𝑴 𝟐 3) Est-ce que l’ajout de ces variables améliore la qualité d’ajustement du modèle
  • 6. BEN AHMED MOHSEN Téléphone : (+216)97619191 Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC 6 4) Tester au risque de 𝟓% si cette amélioration est significative. L’estimation du modèle 𝑴 𝟐 sur la période janvier 1991 à décembre 1994 donne 𝑺𝑪𝑹 𝟗𝟏/𝟗𝟒 = 𝟒𝟎 L’estimation du modèle 𝑴 𝟐 sur la période janvier 1995 à décembre 2000 donne 𝑺𝑪𝑹 𝟗𝟓/𝟎𝟎 = 𝟓𝟗 5) Tester au risque de 𝟓% la stabilité des paramètres de ce modèle. Exercice 8: (ISG SP2008) On considère le modèle 𝑴 𝟏: 𝒚 𝒊 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟏𝟎𝟎 où 𝒀 = 𝒔𝒂𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒍; 𝑿 𝟐 = 𝒆𝒙𝒑é𝒓𝒊𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒇𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏𝒏𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒆𝒕 𝑿 𝟑 = 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒂𝒖 𝒅′𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏. Les données relatives aux variables explicatives sont résumées par : 𝑿 𝒄′ 𝑿 𝒄 = 𝟔𝟑𝟗𝟎 −𝟐𝟐 𝟏𝟐𝟕 ; 𝑿 𝒄′ 𝑿 𝒄 −𝟏 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟔𝟔 𝟎, 𝟎𝟐𝟕𝟏 𝟕, 𝟖𝟕𝟓𝟓 1) L’équation estimée du modèle 𝑴 𝟏 est : 𝑴 𝟏 ∶ 𝒚 𝒊 = 𝟐𝟓𝟖, 𝟓 𝟏𝟑,𝟎𝟏 + 𝟏𝟕, 𝟒𝒙𝒊𝟐 𝟏,𝟑𝟏 + 𝟏𝟔𝟓, 𝟗𝒙𝒊𝟑 𝟗,𝟐𝟗 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟏𝟎𝟎 Les valeurs entre parenthèses sont les écarts-types estimés des paramètres a) Donner une interprétation économique de la valeur estimée de 𝜷 𝟏 b) Estimer la variance des résidus c) Calculer le coefficient de détermination du modèle 2) Afin de tester l’existence d’une discrimination au niveau des salaires entre les hommes et les femmes, on cherche à estimer le modèle : 𝑴 𝟐: 𝒚 𝒊 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝜷 𝟒 𝑫𝒊 + 𝜻𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟏𝟎𝟎 𝒐ù 𝑫𝒊 = 𝟏 𝒔𝒊 𝒍′ 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒗𝒊𝒅𝒖 "𝒊"𝒆𝒔𝒕 𝒉𝒐𝒎𝒎𝒆 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏 L’échantillon est composé de 60 hommes et 40 femmes. La valeur moyenne de 𝑿 𝟐 chez les hommes est 𝑿 𝟐𝑯 = 𝟏𝟑 alors que pour les femmes la moyenne de 𝑿 𝟐 est 𝑿 𝟐𝑭 = 𝟏𝟏. Pour 𝑿 𝟑 les moyennes sont 𝑿 𝟑𝑯 = 𝑿 𝟑𝑭 = 𝟏, 𝟕 a) Déterminer la matrice 𝑿′ 𝑿 associée au modèle 𝑴 𝟐. b) Tester l’existence d’une discrimination entre les hommes et les femmes, si l’équation estimée du modèle 𝑴 𝟐 est : 𝑴 𝟐 ∶ 𝒚 𝒊 = 𝟐𝟎𝟎, 𝟗 𝟐𝟑,𝟏𝟕 + 𝟏𝟔, 𝟐𝒙𝒊𝟐 𝟏,𝟏𝟐 + 𝟏𝟔𝟑, 𝟖𝒙𝒊𝟑 𝟕,𝟖𝟖 + 𝟏𝟏𝟑, 𝟓𝑫𝒊 𝟏𝟖,𝟐𝟕 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 …, 𝟏𝟎𝟎 Les valeurs entre parenthèses sont les écarts-types estimés des paramètres c) Cette discrimination, est-elle en faveur des hommes ou des femmes. Justifier votre réponse.
  • 7. BEN AHMED MOHSEN Téléphone : (+216)97619191 Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC 7 3) On suppose que vous disposez de toutes les observations ; proposez une autre méthode pour tester l’existence de cette discrimination. Exercice9: (ISG SP2007) Soit le modèle de régression simple : 𝑴 𝟏: 𝒚𝒕 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝑻 1) Sur la base d’un échantillon de 24 observations trimestrielles (de 2000 : I à 2005 : IV), on a estimé par les MCO le modèle 𝑴 𝟏. Les résultats d’estimation sont : 𝑴 𝟏 ∶ 𝒚 𝒕 = 𝟑𝟗, 𝟎𝟓 𝟑,𝟎𝟎 − 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒕 𝟏,𝟑𝟏 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟒 Les valeurs entre parenthèses sont les t de Student a) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle 𝑴 𝟏 𝒐𝒏 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒍𝒆𝒔 𝒎𝒐𝒅è𝒍𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆𝒔: 𝑭 = 𝑺𝑪𝑬 𝑺𝑪𝑹 𝑻 − 𝟐 = 𝝉 𝜷 𝟐 𝟐 b) Tester au risque de 𝟓% : 𝑯 𝟎: 𝜷 𝟐 = 𝟏 𝑯 𝟏: 𝜷 𝟐 ≠ 𝟏 2) On donne 𝑿 = 𝟔𝟕 ; 𝑽 𝑿 = 𝟔𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑽 𝒀 = 𝟗𝟖𝟎 a) Estimer la variance des résidus 𝝈 𝟐 b) Déterminer les matrices 𝑿′ 𝑿 𝒆𝒕 𝑿′ 𝑿 −𝟏 associées au modèle 𝑴 𝟏 c) Déterminer un intervalle de prévision au niveau 𝟗𝟓% pour 𝒚 𝟐𝟓 𝒑 sachant que 𝒙 𝟐𝟓 = 𝟗𝟖 3) Pour examiner l’effet des saisons on utilise le modèle suivant : 𝑴 𝟐: 𝒚 𝒕 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒕 + 𝜷 𝟑 𝑫 𝟏𝒕 + 𝜷 𝟒 𝑫 𝟐𝒕 + 𝜷 𝟓 𝑫 𝟑𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟒 ; 𝒐ù 𝑫𝒋𝒕 = 𝟏 𝒔𝒊 t𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅 𝒂𝒖 𝒋𝒊è𝒎𝒆 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒆 𝟎 𝒔𝒊 𝒏𝒐𝒏 ;𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 Les résultats d’estimations du modèle 𝑴 𝟐 sont : 𝑴 𝟐 ∶ 𝒚 𝒕 = 𝟑𝟗, 𝟓 + 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒕 − 𝟑, 𝟑𝟓𝑫 𝟏𝒕 + 𝟒, 𝟒𝟕𝑫 𝟐𝒕 − 𝟓𝟖, 𝟖𝑫 𝟑𝒕 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟒 𝑹 𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟑 a) Dresser le tableau d’analyse de la variance b) Déterminer les valeurs prévisionnelles 𝒚 𝟐𝟕 𝒑 𝒆𝒕 𝒚 𝟐𝟖 𝒑 pour le troisième et le quatrième trimestre de l’année 2006, sachant que pour ces périodes les valeurs prévisionnelles de la variable explicative 𝑿 sont respectivement 𝒙 𝟐𝟕 = 𝟏𝟎𝟐 𝒆𝒕 𝒙 𝟐𝟖 = 𝟏𝟎𝟓
  • 8. BEN AHMED MOHSEN Téléphone : (+216)97619191 Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC 8 Exercice10: (ISG SC2007) On considère le modèle : 𝒚 𝒊 = 𝜷 𝟏 + 𝜷 𝟐 𝒙𝒊𝟐 + 𝜷 𝟑 𝒙𝒊𝟑 + 𝜷 𝟒 𝒙𝒊𝟒 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 …, 𝟑𝟔 1) Mettre le modèle sous forme matricielle, en spécifiant les dimensions de chaque élément 2) Donner l’équation du vecteur 𝜷 estimateur de 𝜷 = 𝜷 𝟏 𝜷 𝟐 𝜷 𝟑 𝜷 𝟒 par les MCO 3) Estimer par les MCO le vecteur 𝜷 𝒄 = 𝜷 𝟐 𝜷 𝟑 𝜷 𝟒 , on donne : 𝑿 𝒄′ 𝑿 𝒄 = 𝟏𝟎 𝟔 𝟏𝟐 𝟏𝟓 𝟓 𝟐𝟎 , 𝑿 𝒄′ 𝑿 𝒄 −𝟏 = 𝟏𝟎−𝟐 𝟒𝟕 −𝟏𝟎 −𝟐𝟓 𝟗 𝟏 𝟏𝟗 𝒆𝒕 𝑿 𝒄′ 𝒀 = 𝟏𝟓 𝟐𝟎 𝟒𝟎 4) Tester au risque de 𝟓% la significativité globale du modèle sachant que 𝑺𝑪𝑻 = 𝟐𝟎𝟎 5) Quelle est le part de la variance expliquée par la variable 𝑿 𝟑 6) Comment peut-on tester l’hypothèse 𝑯 𝟎: 𝜷 𝟐 = −𝟐𝜷 𝟑 𝜷 𝟐 + 𝜷 𝟑 + 𝜷 𝟐 = 𝟎 ; 𝒏𝒆 𝒇𝒂𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍 ASSISTANCE&FORMATION UNIVERSITAIRE EN : ÉCONOMÉTRIE TECHNIQUES DE SONDAGE STATISTIQUES MATHÉMATIQUES (STAT II) STATISTIQUES DESCRIPTIVES & PROBABILITÉS (STAT I) ANALYSE (MATH I) ALGÈBRE (MATH II) MATHÉMATIQUES POUR L’INGÉNIEUR Téléphone : (+216)97619191 Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC BEN AHMED MOHSEN