Este documento describe el problema histórico de los siete puentes de Königsberg y cómo Leonhard Euler lo resolvió utilizando un enfoque gráfico. El problema involucraba determinar si era posible cruzar cada uno de los siete puentes que atravesaban un río en Königsberg solo una vez. Euler modeló la situación como un grafo y demostró matemáticamente que no era posible realizar el recorrido debido a que los vértices no cumplían con las condiciones necesarias para la existencia de un ciclo euleriano o

1. UNAM
ENP 9 “Pedro de Alba”
Los puentes de Königsberg
Profa. Norma Ramírez Sánchez
Colegio de Matemáticas
Turno Diurno

2. Los 7 Puentes de Königsberg
En el siglo XVIII, siete puentes
atravesaban el río Pregel a través de
la pequeña ciudad universitaria
alemana de Königsberg. Cuatro de
ellos unían las orillas opuestas con la
pequeña isla de Kneiphof.
Un puente comunicaba Kneiphof con
otra isla y los dos restantes unían a
ésta con tierra firme.

3. Los pobladores se preguntaban
“¿Cómo puede una persona planear
su paseo del domingo en la tarde, de
modo que cruce una sola vez cada
uno de los siete puentes?”

4. ¿Crees que es posible encontrar un
trayecto que cruce cada uno de los
siete puentes sólo una vez?
En caso afirmativo, dibuja el trayecto
que cumpla con estos requisitos.
Si consideras que es imposible,
explica por qué.

5. En San Petersburgo, el gran Euler
resolvió el problema en 1735:
Reemplazó la tierra por puntos y los
puentes por líneas que unían estos
puntos.
¿Puede dibujarse la figura con un trazo
continuo del lápiz, sin levantarlo del papel?

6. Euler
Basilea, Suiza, 1707-San
Petersburgo,
1783)
Matemático suizo. Contribuiría
con resultados destacados en
el campo de la teoría de las
ecuaciones
diferenciales
lineales,
además
de
desarrollar la teoría de las
funciones trigonométricas y
logarítmicas (introduciendo de
paso la notación e para definir
la base de los logaritmos
naturales).

7. Grafos
Grafo G=(V,E)
Estructura formada por un conjunto
de puntos no vacío V
Conjunto E de pares no ordenados
de puntos de V.
V, conjunto de vértices.
E, conjunto de aristas.

8. Un grafo se representa por medio de
un diagrama de nodos y líneas.

9. Grafo dirigido
Un grafo donde los elementos de E
son pares ordeandos.
Cada par e=(u,v) le llamamos arco y
u y v son sus extremos inicial final

11. Algunas definiciones
Bucles, aristas (u,v) o arcos (u,v) con
u=v.
Grafos que no posen bucles se
llaman simples.
Pseudografos o multigrafo (con
bucles o no) existen varias aristas
entre u y v.
Un grafo G puede ser considerado
como un grafo dirigido G1 en el que

12. (u,v) ϵ E(G) entonces (u,v) ϵ E(G1) y
(v,u) ϵ E(G1)
G
G1

13. Grado de un vértice dG(v) o di
grado del vértice vi
Número de aristas que inciden con v.
El bucle, contribuye con dos
unidades al valor del grado del
vértice en el que incide.
Un grafo G no dirigido es k-regular si
el grado de cada vértice es k.
Si el grado es cero, el vértice se
llama aislado.

14. ¿Cuál es el número de aristas
de un grafo k-regular de n
vértices?

15. Cadenas, caminos y conexión
Una cadena en G es una sucesión
finita en la que se alternan vértices y
aristas:
Voe1v1e1v2…. ekvk eiϵE vi ϵV
Cada arista ei es incidente con los
dos vértices inmediatamente anterior
y posterior vi-1 y vi.
A v0 y vk les llamamos vértice inicial

16. y final de las cadenas, siendo los
restantes interiores
Una cadena es simple si las aristas
son distintas dos a dos , y es un
camino si son los vértices los que
son distintos dos a dos. ¿Es toda
cadena simple un camino?
El número de aristas de una cadena
la llamalos longitud de la cadena.
Distancia entre dos vértices u,v
d(u,v} es la longitud del camino más
corto

18. El camino más corto de u a v, si existe
suele recibir el nombre de geodésica
Una cadena es cerrada si los vértices
inicial y final coinciden.
Ciclo, toda cadena simple cerrada donde
los vértices interiores son distintos dos a
dos y distintos de los extremos.
Dos vértices están conectados si existe
una cadena de longitud mayor o igual que
cero que los une.

20. Componente conexa de G.
Subgrafo de G maximal respecto del
conjunto de aristas.
comp(G) es el número de
componentes conexas de G
G es conexo si comp(G)=1, es decir,
si dos vértices cualesquiera de G
están conectados.

22. Regresando al problema
¿Podemos dibujar, sin levantar el lápiz,
pasando una vez por cada arista?

27. Cuando debemos comenzar y terminar
en el mismo vértice:
Teorema: Un grafo conexo posee un
ciclo euleriano todos sus vértices
tienen grado par.
Por tanto, en el caso de los puentes
de Königsberg no se puede conseguir
lo que queremos (ya que ninguno de
sus vértices tiene grado par).

28. Cuando comenzamos en un vértice y
terminamos en otro:
Teorema: Un grafo conexo contiene
un camino euleriano tiene
exactamente dos vértice de grado
impar.
Por tanto en el caso de los puentes
de Königsberg tampoco se podría
conseguir esto, ese grafo tampoco
contiene un camino euleriano.

29. ¿Se podrá hacer algo con el sobre?
¿Con el sobre abierto?

30. GRACIAS