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1. LOGIQUE DES PROPOSITIONS(LOGIQUE D’ORDRE 0)2. LOGIQUE DES PREDICATS(LOGIQUE D’ORDRE 1)
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CORRECTIONOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
Calcul des prédicats CARACTÉRISTIQUES DES VARIABLES Une variable X est dite liée dans une formule F ssi toutes les  occur...
EXERCICE Tous les professeurs sont intelligents. Il existe un professeur intelligent. Si un professeur enseigne lIA, il...
 Quelquun aime tous les professeurs de IA. Tous les brésiliens parlent la même langue Les brésiliens ne dansent pas tou...
Calcul des prédicatsASPECTSSÉMANTIQUES
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SKOLEMISATIONOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
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Calcul des prédicatsA QUOI ÇA SERT ?VALIDATION DE RAISONNEMENT On cherche à valider le raisonnement suivant     Un dragon...
Calcul des prédicatsRÉSOLUTION DUPROBLÈME Démarche générale    Modéliser le problème (les faits et la conclusion)    Dém...
Calcul des prédicatsRÉSOLUTION DUPROBLÈME (SUITE)  P1 un dragon est heureux si tous ses enfants peuvent voler             ...
Calcul des prédicatsFORME CLAUSALE        x,  p( x, f ( x))  h( x)   vo( f ( x))  h( x)      x, ve( x)  vo( x)...
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Calcul des prédicatsRÉSOLUTIONOn a un ensemble d’instances de base insatisfaisables           h(a )        h(a )        ...
Calcul des prédicatsANALYSONS UN PEULES CHOSESL’opération d’appariement de deux atomes s’appellel’unification             ...
Calcul des prédicatsPROPRIÉTÉS DU CALCULDES PRÉDICATSLe calcul des prédicats muni du principe de résolution et del’unifica...
Calcul des prédicatsPROGRAMMER ENLOGIQUE ?Un petit exemple  xyz (pere(x,y)parent(y,z)  grand-pere(x,z)  xy ((mere...
Calcul des prédicatsPROGRAMMER ENLOGIQUE ?On part de grand-pere(x,b)   si x = x1 et z1=b unification avec           per...
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Ch2 logique des prédicats 1

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Ch2 logique des prédicats 1

  1. 1. LOGIQUEINFORMATIQUEOLFA MOUELHIMOHAMED HENY SELMIE C O L E S U P É R I E U R E PR I V É E D I N G É N I E R I E ET DE TECHNOLOGIES olfa.mouelhi@esprit.tn medheny.selmi@esprit.tn
  2. 2. 1. LOGIQUE DES PROPOSITIONS(LOGIQUE D’ORDRE 0)2. LOGIQUE DES PREDICATS(LOGIQUE D’ORDRE 1)
  3. 3. OBJECTIFS Comment écrire les formules ? Aspects syntaxiques modéliser Comment déterminer la valeur de vérité d’une formule ? Aspects sémantiques interpréter Comment démontrer de nouveaux résultats ? Aspects déductifs Raisonner Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  4. 4. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONS LP0 tous les étudiants n’habitent pas à Tunis A tous les étudiants n’habitent pas à Sfax B Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  5. 5. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONS LP0 tous les étudiants n’habitent pas à Tunis A tous les étudiants n’habitent pas à Sfax B Peut-on faire mieux ? LP1 Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  6. 6. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONStous lesles étudiants n’habitent pas à Tunis tous étudiants n’habitent pas à Tunis Atous lesles étudiants n’habitent pas à Sfax tous étudiants n’habitent pas à Sfax B Variables Universelles Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  7. 7. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONStous les les étudiants n’habitent pas à Tunis tous étudiants n’habitent pas à Tunis les étudiants n’habitent pas à Tunis Atous les les étudiants n’habitent pas à Sfax tous étudiants n’habitent pas à Sfax les étudiants n’habitent pas à Sfax B Relation: prédicat Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  8. 8. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONStous les les étudiants n’habitent pasTunistous les étudiants n’habitent pas ààTunis  tous étudiants n’habitent pasàà à Tunis les étudiants n’habitent pas Tunis n’habitent pas Tunis Atous les les étudiants n’habitent pasSfaxtous les étudiants n’habitent pas ààSfax  tous étudiants n’habitent pasàà à Sfax les étudiants n’habitent pas Sfax n’habitent pas Sfax B constantes Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  9. 9. LIMITES DE LA LOGIQUE DES PROPOSITIONStous les les étudiants n’habitent pasTunistous les étudiants n’habitent pas àà à Tunistous les étudiants n’habitent pas ààTunis  tous étudiants n’habitent pas Tunis les étudiants n’habitent pas n’habitent pas Tunis Atous les les étudiants n’habitent pasSfaxtous les étudiants n’habitent pas àà à Sfaxtous les étudiants n’habitent pas ààSfax  tous étudiants n’habitent pas Sfax les étudiants n’habitent pas n’habitent pas Sfax B quantificateur existentiel : quantificateur universel :  certains étudiants habitent à Tunis Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  10. 10. Calcul des prédicatsEXEMPLE DEMODÉLISATION Les chandelles sont faites pour éclairer x, chandelle ( x)  éclaire ( x) Quelques chandelles éclairent très mal x, chandelle ( x)  éclaireMal ( x) Quelques objets qui sont faits pour éclairer le font très mal x, éclaire ( x)  éclaireMal ( x) Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  11. 11. Calcul des prédicatsSYNTAXEdes connecteurs (, , ,  et )des quantificateurs ( et  )des variables (x,y, …)des relations (prédicats) (R, S, éclaire, …) Les prédicats d’arité 0 sont les PROPOSITIONSdes symboles de fonctions (f, g, …) les fonctions d’arité 0 sont des constantes Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  12. 12. Calcul des prédicatsVOCABULAIRELes termes les variables et les constantes sont des termes f(t1, …, tn) est un terme si les ti sont des termes Pas de valeur de vérité f est un symbole de fonction d’arité n Exemple: a, X, f(a,X) mais pas P(X).Les atomes R(t1, …, tn) est un atome si les ti sont des termes valeur de vérité R est un symbole de prédicat d’arité n Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  13. 13. Calcul des prédicatsFORMULES Un atome est une formule bien formée Si F et G sont des formules bien formées et X une variable, alors les expressions suivantes sont des formules bien formées : (F) (F)  (G) et (F)  (G) (F)  (G) et (F)  (G) x (F) et x (G) Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  14. 14. EXERCICEEn début dannée se pose l‘éternel problème de la gestiondes emplois du temps, des salles et du matérieldenseignement.On utilise les prédicats suivants : retro(x) : x est un rétroprojecteur. video(x) : x est un vidéoprojecteur. amphi(x) : x est un amphi. salleTD(x) : x est une salle de TD. estDans(x,y) : x est dans y.Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  15. 15. TRADUCTION1. On trouve toujours un retroprojecteur dans une salle de TD.2. La salle A3 est une salle de TD.3. Il ny a pas de videoprojecteur dans la salle A3.4. Tous les videoprojecteurs sont dans des amphis.Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  16. 16. CORRECTIONOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  17. 17. Calcul des prédicats CARACTÉRISTIQUES DES VARIABLES Une variable X est dite liée dans une formule F ssi toutes les occurrences de X sont dans la portée de son quantificateur sinon elle est dite libre. Exemple: X (Y P( X , Y , Z )  Q( X , Z ))  R( X ) La portée de ∀ est (Y P( X , Y , Z )  Q( X , Z )) Une formule n’ayant pas de variable libre est dite close XY (P(X)  R(Y))  Z Q(Z) Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  18. 18. EXERCICE Tous les professeurs sont intelligents. Il existe un professeur intelligent. Si un professeur enseigne lIA, il est intelligent. Tout le monde aime tout le monde. Tout le monde aime quelquun. Quelquun aime tout le monde. Quelquun aime quelquun.Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  19. 19.  Quelquun aime tous les professeurs de IA. Tous les brésiliens parlent la même langue Les brésiliens ne dansent pas tous la samba. Un politicien peut tromper tout le monde une fois, peut aussi tromper quelquun tout le temps, mais ne peut pas tromper tout le monde tout le temps.Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  20. 20. Calcul des prédicatsASPECTSSÉMANTIQUES
  21. 21. Calcul des prédicatsEXEMPLED’INTERPRÉTATIONxyz (P(x,y)  Q(y,z)  R(x,z))xy ( (M(x,y)  P(x,y)  Q(x,y))M(a,b)  P(c,b)  P(d,a)  P(e,c) D = { anne, bernard, charles, éric, didier, …} P= est père de a= Anne, M= est la mère de b= Bernard Q= est un parent de c= Charles R = est le grand-père de d=didier e= éricOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  22. 22. Calcul des prédicats MODÈLE Une interprétation I est dite modèle d’une formule ssi F est évaluée à « V » selon I.Soit F(x1, …, xk) une formule quelconque:  F est dite universellement valide ssi x1…xk F(x1, …, xk) est valide dans toutes les interprétations  F est dite insatisfaisable(consistante) ssi il existe une interprétation pour laquelle x1…xk F(x1, …, xk) est valide Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  23. 23. Calcul des prédicatsPREUVE ETDÉMONSTRATIONComment prouver une formule du calcul des prédicats ? Prouver qu’elle est vraie  passer en revue toutes les interprétations ! Prouver qu’elle est fausse  trouver une interprétation qui invalide la formuleOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  24. 24. Calcul des prédicatsTOUTES LESINTERPRÉTATIONS ? Une représentation utile des formules forme clausale Principe de résolution pour le calcul des prédicats vers une automatisation des démonstrationsOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  25. 25. Calcul des prédicatsTRANSFORMATION DEFORMULEForme normale prénexe quantificateurs en tête de la formule formule sous forme normale conjonctiveForme standard de Skolem formule sous forme normale prénexe quantificateurs existentiels précédant quantificateurs universelsToute formule du calcul des prédicats est équivalente à uneformule sous forme standard de SkolemOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  26. 26. FORME NORMALEPRENEX D’UNE FBFOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  27. 27. SKOLEMISATIONOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  28. 28. EXERCICEDonner la FNP des formules suivantes puis les mettre sous la forme de Skolem:1. (∀X)(P(X)  R(X) → (∃Y)Q(X,Y))2. (∀X)(Q(X) ^¬P(X)) →(∀Y)(∃Z)R(Y,Z)Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  29. 29. Calcul des prédicats TRANSPORT DES QUANTIFICATEURS x F   x F xy F  yx F x F   x F xy F  yx F x F  x H  x F  H  x F  x H  x F  H si H ne contient aucune occurrence de x x F   H  x F  H  x H  H x F   H  x F  H  x H  H Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  30. 30. Calcul des prédicatsA QUOI ÇA SERT ?VALIDATION DE RAISONNEMENT On cherche à valider le raisonnement suivant Un dragon est heureux si tous ses enfants peuvent voler Les dragons verts peuvent voler Un dragon est vert s’il a au moins un parent vert ou rose Donc les dragons verts sont heureuxOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  31. 31. Calcul des prédicatsRÉSOLUTION DUPROBLÈME Démarche générale Modéliser le problème (les faits et la conclusion) Démonstration par l’absurde, on montre que P1  P2  P3  C est inconsistante  mettre la formule sous forme clausale Notations h(x) : x est heureux p(x,y) : x est parent de y vo(x) : x vole (peut voler) ve(x) : x est vert r(x) : x est roseOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  32. 32. Calcul des prédicatsRÉSOLUTION DUPROBLÈME (SUITE) P1 un dragon est heureux si tous ses enfants peuvent voler x,y,p, x,px)y, yy vo( ) (hh x) h x( x )  (   ) ,  , ,yyp, ( ,( x)  y )) h( x  x (y, p(x,y)vo(y))  h(x) xxy(p,((yp,xy )h)vo(yyvoy(()x) ( x)  ) vo x,  p( x, f ( x))  h( x)   vo( f ( x))  h( x)  P2 les dragons verts peuvent voler x, ve( x)  vo( x) x, ve( x)  vo( x) P3 un dragon est vert s’il a au moins un parent vert ou rose x, y, p( y, x)  ve( y )  r( y )  ve( x) les A p ,AyveB(py, )x )   y p y (x()((yyxx) ve x) x, y, x, y,y,,x) sont(, y)(,ve) yve()p( y,,ry)y)ve())) ve(( x)  ( x p, yp  y ( x   x) B  ( , y x   x)  r ve(  (r   r  C les dragons verts sont heureux x, ve( x)  h( x) x,, ve(ve(hh( x) x  a) ) ) h ax) ve( x x  ( ( ) négationOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  33. 33. Calcul des prédicatsFORME CLAUSALE x,  p( x, f ( x))  h( x)   vo( f ( x))  h( x)  x, ve( x)  vo( x) x, y, p( y, x)  ve( y)  ve( x)  p( y, x)  r ( y)  ve( x) ve(a)  h(a) p( x1, f ( x1 ))  h( x1 ) vo( f ( x2 ))  h( x2 ) ve( x3 )  vo( x3 ) p( y1, x4 )  ve( y1 )  ve( x4 ) p( y2 , x5 )  r ( y2 )  ve( x5 ) ve(a ) h(a )Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  34. 34. Calcul des prédicatsVALIDATION DURAISONNEMENTTrouver un ensemble d’instances de base insatisfaisable intuition 1 : partir de la conclusion et essayer d’arriver à une contradiction par déduction intuition 2 : utiliser le principe de résolutionOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  35. 35. Calcul des prédicatsMISE EN ŒUVRE p( x1, f ( x1 ))  h( x1 ) vo( f ( x2 ))  h( x2 ) ve( x3 )  vo( x3 ) p( y1, x4 )  ve( y1 )  ve( x4 ) p( y2 , x5 )  r ( y2 )  ve( x5 ) ve(a ) h(a ) h(a ) h(a)  vo( f (a)) vo( f (a))  ve( f (a)) x2  a x3  f (a ) x4  f (a )  clause vide p( y1, f (x ))a ve(xy1) faveh(a ) )) a (  ) ( f (a 2 3 x1  a y1  x1 h(a)  p(a, f (a)) vo(pf((a)) (avevo((a)))))  h(fa()a))  f (  a, f  ))  ( fve(aa  ve( h(a ) ve(a ) Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  36. 36. Calcul des prédicatsRÉSOLUTIONOn a un ensemble d’instances de base insatisfaisables h(a ) h(a ) vo( f (a))  ve( f (a)) h(a)  vo( f (a)) p(a, f (a))  ve(a)  ve( f (a)) h(a)  p(a, f (a)) ve(a )La formule P1  P2  P3  C est donc insatisfaisableLe raisonnement est donc valideOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  37. 37. Calcul des prédicatsANALYSONS UN PEULES CHOSESL’opération d’appariement de deux atomes s’appellel’unification p( y1 , f (a))  ve( y1 )  ve( f (a)) p( x1, f ( x1 ))  h( x1 ) unificateur y1  x1 x1  aOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  38. 38. Calcul des prédicatsPROPRIÉTÉS DU CALCULDES PRÉDICATSLe calcul des prédicats muni du principe de résolution et del’unification est complet toute formule close est vraie ou fausseMAIS le calcul des prédicats est indécidable Il n’existe pas d’algorithme permettant de décider à tout coup si une formule close est vraie ou fausseEn PROLOG, nous nous limiterons donc à un sous-ensembledu calcul des prédicats non restrictif en pratiqueOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  39. 39. Calcul des prédicatsPROGRAMMER ENLOGIQUE ?Un petit exemple xyz (pere(x,y)parent(y,z)  grand-pere(x,z) xy ((mere(x,y)  pere(x,y))  parent(x,y) mere(a,b) pere(c,b) pere(d,a) pere(e,c)Forme clausale pere(x1, y1)  parent(y1, z1)  grand-pere(x1,z1) mere(x2, y2)  parent(x2, y2) pere(x3, y3)  parent(x3, y3) mere(a,b) pere(c,b) pere(d,a) pere(e,c)On veut prouver x, grand-pere(x,b) négation sous forme clausale : grand-pere(x,b)Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  40. 40. Calcul des prédicatsPROGRAMMER ENLOGIQUE ?On part de grand-pere(x,b) si x = x1 et z1=b unification avec pere(x1, y1)  parent(y1, z1)  grand-pere(x1,z1) on obtient pere(x, y1)  parent(y1, b) si y3 = b et y1=x3 unification avec pere(x3, y3)  parent(x3, y3) on obtient pere(x, x3)  pere(x3, b) si x3 = c unification avec pere(c,b) on obtient pere(x, c) si x=e unification avec pere(e,c) on obtient Olfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI
  41. 41. Calcul des prédicatsPROGRAMMER ENLOGIQUE ? On a réussi à prouver x, grand-pere(x,b) On a réussi à calculer un x Unification = calcul on donne des valeurs aux variables Calcul = programmation on va pouvoir programmer avec la logique !!! on automatise complètement le processus PROLOG est un démonstrateur de théorèmeOlfa MOUELHI - Mohamed Heny SELMI

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