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Bechar University
Laboratory for Energy Systems Studies Applied to Arid Zones
Systems Modeling & Simulation Research Team
Cours presenté par : Prof. TAMALI Mohammed,
http://www.univ-bechar.dz/mtamali
Bechar University | faculty of Technology
ENERGARID Lab./SimulIA team
SITI National Research Project No 83/TIC/2011
Présentation
The University of Bechar was born in 1986 as the National Institutes of
Higher Education (INES) in 1992 it becomes University Center and
07/01/2007, it was officially declared as a university. Since then, many
research teams have seen the day. In 2011, The Laboratory for Energy
Systems Studies Applied to Arid Zones was run by a group of young and well
motivated researchers (7 research teams) to solve real problems affecting
arid zones, SimulIA is one of the teams of the same laboratory. The workload
of SimulIA concern studies and applications of modeling and simulation of
systems in arid areas.
Research areas:
 Energy & Environment (Modeling & Simulation)
 Application of heat in arid zones
 Energy economy.
 Mapping and development of resources in arid zones.
 SIMULIA for the task in the short term, to develop the computer code for
modeling and simulation which can be accessed online.
Website of the laboratory team: www.univ-bechar.dz/energarid/simulia
1
Plan
Introduction & Présentation
Définitions & Concepts
Formalisation
Modélisation des systèmes non Linéaires
Contexte d’utilisation
Etudes de cas
Conclusions
Références
2
Overview & Presentation
Les sciences Physiques introduisent les systèmes non linéaires, contrairement à ceux
dits linéaire comme étant des systèmes qui ne satisfont pas aux principes de la
superposition, chose, qui indique que la réponse d'un système non linéaire n’est pas
directement proportionnelle à la ressource donnée en entrée. Alors qu’en
mathématiques, les systèmes d'équations non linéaires sont des écritures dans
lesquelles les inconnues apparaissent comme des variables d'un polynôme de degré
supérieur à un ou dans l'argument d'une fonction qui n’est pas un polynôme de degré
un. Les systèmes non linéaires sont généralement des descriptions plus ou moins
justifiées. Le système dans lequel (par opposition aux systèmes linéaires) l'effet des
facteurs externes ne sont pas purement additive, et peuvent même avoir des effets
perturbateurs. Les systèmes non linéaires ne peuvent pas être décomposées en
plusieurs parties et réassemblés dans la même chose, et ne varient pas en fonction
d'un changement dans une entrée. La plupart des processus économiques et sociaux
sont non linéaires où l'analyse mathématique (à quelques exceptions près) est
incapable de fournir des solutions générales.
En d'autres termes, dans un système d'équations non linéaires, l'équation (s) de la
sortie ne peut pas être écrite comme une combinaison linéaire des variables inconnues.
En général, le comportement d'un système non linéaire est régit par un système
d'équations non linéaires.
3
Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t)
alors λ*s(t) est la réponse à l'entrée λ*e(t).
Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t)
et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la
réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)].
Allure de la courbe d’un SNL : pour un système NON linéaire,
en régime nominal (en fonctionnement normal et sans
excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) n’est pas une
droite. Un système SNL est continu, par opposition à un SNL
dit discret, lorsque les variations de ses composantes sont
continûment observable dans le cadre de son domaine de
définition δ.
Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques
sont insensibles aux changements du temps.
selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes
réactions indépendamment du temps.
Un système d’équations non linéaires SENL (ζ) est la
composition faite de m équations non-linéaires :
f1(X) = 1(X)
f2(X) = 2(X)
….
fm(X) = m(X)
où X={x1, x2, … xp} sont les p inconnues du système alors
que 1, 2, … n sont les m fonctions du second membre,
elles même dépendantes de X.
Géométriquement, les m équations représentent les m
courbes (α, β, …) en intersection dans un référentiel R n.
Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier
que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant
(cas de systèmes linéarisable) un SNL, autour d'un point
A de considération finie (situation ou état du système), on
obtient un système linéaire qui correspond à une
approximation grossière du système non linéaire d’origine.
Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de
H.W.Bode (1905-1982) à la fin de la IIème guerre mondiale.
Les travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin
et al (1908-1988) surtout de R.Kalman (1930) ont conduit
nombre d'automaticiens à privilégier la représentation
d‘espace d’état à partir des années 1960.
Un système est non linéaire s’il se comporte non
linéairement par rapport à ses composantes intrinsèques.
Définitions & Bases
Bode
BellmanKalman
Pontryagin
4
Formalisation
Cas de l’équation
f(u)=u3 − u − 1 = 0
Pr. Edward Lorenz (1917-2008),
professeur en mathématiques, MIT
Le Pr. Edward Lorenz est le père de la
théorie du chaos. Il observa le phénomène
en 1961 et est à l’origine de la découverte
de ce qui s'appellera plus tard la théorie du
chaos par hasard, à la suite de calculs
menés pour des prévisions dans le
domaine de la météo.
le simple battement d'ailes d'un papillon au
Brésil pourrait déclencher une tornade au
Texas
La forme d’équation donnée par :
f (X) = C
Est dite non linéaire si elle n’est pas une application linéaire vérifiant
les condition de superposition et de proportionnalité.
L'équation est dite homogène si C = 0.
Le définition f(X)=C est très générale au même moment que X peut
être toute composante du système sensible mathématiquement
(nombre, vecteur, fonction, … etc.), et l’expression de f(X) peut avoir
littéralement beaucoup de formes, une forme récurrente, l'intégrale ou
différentielle avec association de contraintes (telles que les valeurs
initiales/limites). Si f(x) contient une différenciation par rapport à X, le
résultat sera une équation différentielle.
Une équation algébrique (polynomiale) non linéaire donnée
par
a.x3+b.x-3=0
Une équation non linéaire itérative est toujours la résultante
d’une écriture de type :
u(k+1) = g(u(k))
Une équation différentielle, quant à elle est donnée par
du/dx=-A*u3.
Attracteur
étrange de
Lorenz
5
Modélisation
Problème type :
Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie en
faveur de ses clients de marque. Pour cela, il pensa à vérifier si les
emplacements de ses cellules (antennes et équipements afférents) sont
dans les recommandations optimales de localisation. La répartition de ses
clients dépend des localités où ceux-ci exercent leur activités. La nouvelle
stratégie consiste à favoriser le client selon un profil des activités
contractées et en cours avec le fournisseur. Pour cela, répartir les antennes
d’une manière optimale selon la distance la plus courte possible des clients
en question.
Formalisation
D={dip} : Vecteurs des distances qui séparent les différents antennes ai
de l’antenne principale ap(m)
xi ,yi : coordonnées du point ai d’une antenne.
dij = ([(xj-xi)2+(yj-yi)2]^(1/2)) : distance d’un point i à un point j (m)
S=dij
2 : Somme des distances à minimiser
Conditions de couverture, zone d’ombre (conditions techniques)
Modélisation graphique
Une représentation Graphe est toujours valable, mais elle ne peut identifier que les caractères
liés à une géométrie 2D seulement. Le problème donné est un cas de système où est demandé
d’optimiser (Minimiser) les distances séparant les antennes secondaires par rapport à
l’antenne primaire.
Représentation graphique du problème de la
localisation optimale des antennes.
Exemple d’antenne utilisées pour les GSM.
6
Modélisation
Formalisation
Soit F={fi; i[1, m]} un système de fonctions non linéaires des n variables xk (k[1, n]) définit dans un domaine
D résultante de l’union de p sous-domaine dj, D={dj; j[1, p]}.
On définit par :
F(X)=K un problème non linéaire (SNL) à résoudre. Si K est équivalente au vecteur 0, F est dit homogène. Si
C est l’ensemble des ci contraintes définies, chacune sur un domaine dj. F(X) peut être régit par C, dans ce
cas on parle de problème non linéaire contraint.
Dans le cas où le paramètre K est égal 0 et C est vide (C=), F(X) admet des zéros A(a0, a1, …, an) dans D.
Par la méthode de Newton-Raphson, nous admettons, qu’autour d’un point X0, F(X) est explicitée sous la
forme d’un développement de Taylor et dont la forme est :
F(X0+DX0)  F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0+…+(X0)
D’où X0 est la plus bonne estimation de X* (solution exacte du problème), F(X) est dite NABLA F, Gradient
du système de fonctions fi, X0 étant l’écart entre X* et X0 et finalement (X0) représente le reste de Taylor, 
regroupe les dérivées d’ordres supérieur à 1 jusqu’à .
Si l’estimation est plus justifiée, (X0) tendra vers 0, puisque les termes 1/n! tend vers 0 (pour n≥2) quant
n.
De ce fait on garde seulement la partie;
F(X0+X0)  F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0, (X0)  0
Et puisque F(X) est supposée égale à 0, nous aurons
F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0  0  [F(X)X=Xo].X0  - F(X0)
Si on note (F(X)X=Xo)=J(X0) on a J(X0).X0  - F(X0) d’où X0  - [J(X0)]-1.F(X0) et X = X0+X0.
7
Modélisation
Formalisation
Pour un système F(X)=f(x)=0 (Cas de système à une fonction à une variable), nous avons :
f(x) = 0  f(x) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + (f(x))’
(x0) .h, avec h=(x-x0).
x ≈ x0 + h ≈ x0 + f(x0)/(f(x0))’
Graphiquement, L’estimé initial est pris comme première
approximation de la solution, alors, par récurrence h est
recalculer de manière à corriger (par une quantité h  f(x0)/(f(x0))’)
pour un sens de déplacement pour ainsi atteindre la solution.
De manière générale, nous calculerons J(X0) dite matrice
Jacobéenne du système.
X = X0 + X0 = X0 + (- [J(X0)]-1.F(X0)])
La formule de récurence donne les estimés successifs;
Xk+1 = Xk + Xk = Xk + (- [J(Xk)]-1.F(Xk)])
Le calcul est arrêté si et seulement si Xk tend vers zéro ou est
assimilable à une petite valeur 1 en valeur absolue (|Xk| 1).
ou encore (|Xk / Xk+1| 2). Ces deux conditions sont dites CONDITIONS D’ARRET, et le déterminant de
de J est Jacobéen (|J(X)|).
8
Modélisation
Formalisation
L’algorithme NR est donné par :
1. Demander X0, 
2. Mettre k=0
3. Evaluer Xk+1 (à la précision désirée)
4. Si (f ’(Xk) = 0) alors Terminer
5. Répéter
a) Xk=Xk+1
b) Xk+1 = Xk + (- [J(Xk)]-1.F(Xk)])
6. Tant que Xk≥
7. Afficher Xk+1
La méthode NR est l’une des méthode les plus simple à implémenter, très simple d’utilisation et efficace
numériquement. Beaucoup de variantes existent (Fletcher-Powell, Bellman, …)
Isaac NEWTON
(1642 −1727)
Joseph Raphson
(1648-1715) 9
Modélisation
Formalisation
De même, la méthode du Gradient nous expose l’algorithme suivant :
1. GradPasFixe(f, x0, Pas, tolérance)
2. x ← x0
3. Tant que : ||∇f(x)|| > tolérance
4. x ← x − Pas*∇f(x)
5. Retourner x
------------------------------------------------------
1. GradPasOpt(f, x0, pas, tolérance)
2. x ← x0
3. Tant que : ||∇f(x)||> tolérance
4. u = −∇f(x)
5. Calculer le pas optimal p*
6. x ← x + p*.u
7. Retourner x
L’algorithme du gradient à pas optimal combine la stratégie de Cauchy pour la détermination de la
direction de descente avec, à chaque étape, une recherche du pas optimal minimisant :
ϕ(t) = f(x + t.u), où : u = −∇f(x) est la direction de descente au point x
Augustin Louis Cauchy
(1789 −1857)
Processus de convergence des valeurs
de x vers la solution x*
10
Modélisation
Formalisation
Une autre stratégie consiste à réécrire le système (cas de système contraint) sous la forme :
L(X, ) = fi(X) + j.gj(X), où j est appelé multiplicateur de Lagrange
L(X, ) est la fonction de Lagrange correspondante au système à étudier.
Résoudre :
F(X) sous les contraintes gj(X) équivaut à la résolution de la fonction
de Lagrange L pour les mêmes raisons.
Les condition d’optimalité pour L sont vérifiées si :
L/xi = 0, pour i [1, n], n étant le nombre d’inconnues
L/j = 0, pour j  [1, m], m étant le nombre de contraintes
Beaucoup d’autres méthodes se basent sur la démarche de Newton en se focalisant sur la
détermination du gradient de f pour explorer l’ensemble des directions de tendance vers l’optimum.
Joseph-Louis Lagrange
(1739-1813)
11
Modélisation
Simulation
Comment construire une boîte avec la même forme que dans la figure avec un volume V0 fixe de telle
sorte que la quantité de matière utilisée sera minimale ?
Selon le modèle demandé de l’emballage, on remarque que les face de côtés sont de surface égale à
2.(a.c + b.c) alors celles du haut et du bas sont de 2.2.(a.b) d’où :
F(a, b, c) = 2.a.c + 2.b.c + 4.a.b
Le matériau (carton emballage) utilisé doit être de valeur minimal donc :
g(a,b,c)=a.b.c=V0, avec V0 constante.
Selon Lagrange, nous écrivons :
L(a,b,c,) = (2.a.c + 2.b.c + 4.a.b) + .(a.b.c - V0), a,b, et c ≥ 0
La solution est b = a et c = 2.a d’où a = b = (c/2) = (V0/2)^(1/3)
Par transformation
des équations nous
obtenons
12
Cadre d’utilisation
Là où le système équivalent
est régit par un modèle
mathématique non linéaire,
pratiquement partout.
13
Conclusions
Pour entreprendre des actions sûres et avec impact réel, la méthodologie est d’une grande importance.
C’est, en d’autres termes, ce que justifie le prix à payer avant d’atteindre son objectif.
Pour nous créations intelligentes, les systèmes qui nous entourent, recèlent de beaucoup de surprises.
L’adaptation d’une stratégie d’ évaluation des performances nous permet de délimiter la zone appropriée
pour entamer nos observations concernant les dits systèmes.
Juger c’est la dernière action mais appréhender, acquérir et comprendre sont les premières. Les
améliorations, les évolutions d’un système donné, ne sont acceptables que si l’on a, à priori, bien
collecter toutes les informations relatives à la composition et constitution, au fonctionnement et à la
dépendance vis-à-vis d’autres systèmes (dits adjacents).
Le coût encourut si l’erreur est commise pourrait être fatale, pas seulement pour le système en question
mais aussi pour tous les systèmes en relation directe ou indirecte et encore NOUS.
Garder l’équilibre universelle est une affaire primordiale. L’observation scientifique, la modélisation et la
simulation et encore plus, l’évaluation des performances et l’étude de la robustesse, sont les outils de
manœuvres.
L’optimisation des outils et des méthodologies reste pour toujours une question de possibilités offertes à
l’opérateur et à l’observatoire pour améliorer selon ses besoins les performances, sans enfreindre à
l’équilibre des compositions et relations totales. Les libertés à l’introduction d’une certaine mise à jour est
toujours garantie, sauf nécessité de garantir la non interférence avec la sûreté des ensembles
adjacents.
Les systèmes non linéaires une grande question dans le contexte qui précédé. Cette communication en
est juste une contribution à la compréhension de l’observation.
14
MERCI POUR VOTRE ATTENTION
Fin du neuvième chapitre
Nous sommes interpellés par les besoins vitaux :
ne cherchez jamais à en inventer ! Suivez le cours en douceur
Faites LA bonne Observation, décomposer, recomposer et valider une Conception, Formaliser
Ne vous fiez pas aux apparences linéarisées (seulement) du système, il y a toujours une face cachée
Le caractère global, ‘non-linéarité.’
15
Références
• Grégoire Allaire, ‘Analyse numérique et optimisation’, Editions Ecole Polytechnique, ISBN 978-2-7302-1255-7, 2005, pp 409.
• Yadolah Dodg, ‘Optimisation appliquée’, Edition Springer, ISBN 2-287-21335-X, 2004, pp 276.
• http://eaps4.mit.edu/research/Lorenz/Butterfly_1972.pdf
• L.-V. Bertallanfy, ‘General System Theory’, Edition MASSON, 1972.
• http://newsoffice.mit.edu/2008/obit-lorenz-0416
• http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lorenz_Edward.html
• http://www.me.berkeley.edu/ME237/2_general_properties.pdf
• http://just.loic.free.fr/index.php?page=hist
• http://www.uvm.edu/~wgibson/CYU/cobb-douglas.pdf
• Max Tournarie, ‘Évaluations optimales des inconnues d'un système statistique non linéaire. I. Principe et théorie’, J. Phys.
France 30, 737-751 (1969), http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019690030010073700.
• ISIDORI A. ; WEI KANG, ‘H∞ control via measurement feedback for general nonlinear systems’, IEEE transactions on automatic
control, ISSN 0018-9286, 1995, vol. 40, no3, pp. 466-472 (13 ref.).
• H.K. Khalil, ‘Nonlinear Systems’, ISBN 0-13-228024-8, Prentice Hall Inc., 1996.
• J.Baptiste & H.Urruty, ‘Optimisation et analyse convexe’, Presses Universitaires de France, 1998.
• E. Angelini, ‘Algorithmes de gradient’, Chap. 6, http://perso.telecom-
paristech.fr/~angelini/master_spsiv/optimization/iup1.opti.chp6.pdf, Columbia University, 17/01/2015.
16

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Chap9 : Systèmes non linéaires

  • 1. Bechar University Laboratory for Energy Systems Studies Applied to Arid Zones Systems Modeling & Simulation Research Team Cours presenté par : Prof. TAMALI Mohammed, http://www.univ-bechar.dz/mtamali Bechar University | faculty of Technology ENERGARID Lab./SimulIA team SITI National Research Project No 83/TIC/2011
  • 2. Présentation The University of Bechar was born in 1986 as the National Institutes of Higher Education (INES) in 1992 it becomes University Center and 07/01/2007, it was officially declared as a university. Since then, many research teams have seen the day. In 2011, The Laboratory for Energy Systems Studies Applied to Arid Zones was run by a group of young and well motivated researchers (7 research teams) to solve real problems affecting arid zones, SimulIA is one of the teams of the same laboratory. The workload of SimulIA concern studies and applications of modeling and simulation of systems in arid areas. Research areas:  Energy & Environment (Modeling & Simulation)  Application of heat in arid zones  Energy economy.  Mapping and development of resources in arid zones.  SIMULIA for the task in the short term, to develop the computer code for modeling and simulation which can be accessed online. Website of the laboratory team: www.univ-bechar.dz/energarid/simulia 1
  • 3. Plan Introduction & Présentation Définitions & Concepts Formalisation Modélisation des systèmes non Linéaires Contexte d’utilisation Etudes de cas Conclusions Références 2
  • 4. Overview & Presentation Les sciences Physiques introduisent les systèmes non linéaires, contrairement à ceux dits linéaire comme étant des systèmes qui ne satisfont pas aux principes de la superposition, chose, qui indique que la réponse d'un système non linéaire n’est pas directement proportionnelle à la ressource donnée en entrée. Alors qu’en mathématiques, les systèmes d'équations non linéaires sont des écritures dans lesquelles les inconnues apparaissent comme des variables d'un polynôme de degré supérieur à un ou dans l'argument d'une fonction qui n’est pas un polynôme de degré un. Les systèmes non linéaires sont généralement des descriptions plus ou moins justifiées. Le système dans lequel (par opposition aux systèmes linéaires) l'effet des facteurs externes ne sont pas purement additive, et peuvent même avoir des effets perturbateurs. Les systèmes non linéaires ne peuvent pas être décomposées en plusieurs parties et réassemblés dans la même chose, et ne varient pas en fonction d'un changement dans une entrée. La plupart des processus économiques et sociaux sont non linéaires où l'analyse mathématique (à quelques exceptions près) est incapable de fournir des solutions générales. En d'autres termes, dans un système d'équations non linéaires, l'équation (s) de la sortie ne peut pas être écrite comme une combinaison linéaire des variables inconnues. En général, le comportement d'un système non linéaire est régit par un système d'équations non linéaires. 3
  • 5. Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t) alors λ*s(t) est la réponse à l'entrée λ*e(t). Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t) et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)]. Allure de la courbe d’un SNL : pour un système NON linéaire, en régime nominal (en fonctionnement normal et sans excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) n’est pas une droite. Un système SNL est continu, par opposition à un SNL dit discret, lorsque les variations de ses composantes sont continûment observable dans le cadre de son domaine de définition δ. Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques sont insensibles aux changements du temps. selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes réactions indépendamment du temps. Un système d’équations non linéaires SENL (ζ) est la composition faite de m équations non-linéaires : f1(X) = 1(X) f2(X) = 2(X) …. fm(X) = m(X) où X={x1, x2, … xp} sont les p inconnues du système alors que 1, 2, … n sont les m fonctions du second membre, elles même dépendantes de X. Géométriquement, les m équations représentent les m courbes (α, β, …) en intersection dans un référentiel R n. Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant (cas de systèmes linéarisable) un SNL, autour d'un point A de considération finie (situation ou état du système), on obtient un système linéaire qui correspond à une approximation grossière du système non linéaire d’origine. Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de H.W.Bode (1905-1982) à la fin de la IIème guerre mondiale. Les travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin et al (1908-1988) surtout de R.Kalman (1930) ont conduit nombre d'automaticiens à privilégier la représentation d‘espace d’état à partir des années 1960. Un système est non linéaire s’il se comporte non linéairement par rapport à ses composantes intrinsèques. Définitions & Bases Bode BellmanKalman Pontryagin 4
  • 6. Formalisation Cas de l’équation f(u)=u3 − u − 1 = 0 Pr. Edward Lorenz (1917-2008), professeur en mathématiques, MIT Le Pr. Edward Lorenz est le père de la théorie du chaos. Il observa le phénomène en 1961 et est à l’origine de la découverte de ce qui s'appellera plus tard la théorie du chaos par hasard, à la suite de calculs menés pour des prévisions dans le domaine de la météo. le simple battement d'ailes d'un papillon au Brésil pourrait déclencher une tornade au Texas La forme d’équation donnée par : f (X) = C Est dite non linéaire si elle n’est pas une application linéaire vérifiant les condition de superposition et de proportionnalité. L'équation est dite homogène si C = 0. Le définition f(X)=C est très générale au même moment que X peut être toute composante du système sensible mathématiquement (nombre, vecteur, fonction, … etc.), et l’expression de f(X) peut avoir littéralement beaucoup de formes, une forme récurrente, l'intégrale ou différentielle avec association de contraintes (telles que les valeurs initiales/limites). Si f(x) contient une différenciation par rapport à X, le résultat sera une équation différentielle. Une équation algébrique (polynomiale) non linéaire donnée par a.x3+b.x-3=0 Une équation non linéaire itérative est toujours la résultante d’une écriture de type : u(k+1) = g(u(k)) Une équation différentielle, quant à elle est donnée par du/dx=-A*u3. Attracteur étrange de Lorenz 5
  • 7. Modélisation Problème type : Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie en faveur de ses clients de marque. Pour cela, il pensa à vérifier si les emplacements de ses cellules (antennes et équipements afférents) sont dans les recommandations optimales de localisation. La répartition de ses clients dépend des localités où ceux-ci exercent leur activités. La nouvelle stratégie consiste à favoriser le client selon un profil des activités contractées et en cours avec le fournisseur. Pour cela, répartir les antennes d’une manière optimale selon la distance la plus courte possible des clients en question. Formalisation D={dip} : Vecteurs des distances qui séparent les différents antennes ai de l’antenne principale ap(m) xi ,yi : coordonnées du point ai d’une antenne. dij = ([(xj-xi)2+(yj-yi)2]^(1/2)) : distance d’un point i à un point j (m) S=dij 2 : Somme des distances à minimiser Conditions de couverture, zone d’ombre (conditions techniques) Modélisation graphique Une représentation Graphe est toujours valable, mais elle ne peut identifier que les caractères liés à une géométrie 2D seulement. Le problème donné est un cas de système où est demandé d’optimiser (Minimiser) les distances séparant les antennes secondaires par rapport à l’antenne primaire. Représentation graphique du problème de la localisation optimale des antennes. Exemple d’antenne utilisées pour les GSM. 6
  • 8. Modélisation Formalisation Soit F={fi; i[1, m]} un système de fonctions non linéaires des n variables xk (k[1, n]) définit dans un domaine D résultante de l’union de p sous-domaine dj, D={dj; j[1, p]}. On définit par : F(X)=K un problème non linéaire (SNL) à résoudre. Si K est équivalente au vecteur 0, F est dit homogène. Si C est l’ensemble des ci contraintes définies, chacune sur un domaine dj. F(X) peut être régit par C, dans ce cas on parle de problème non linéaire contraint. Dans le cas où le paramètre K est égal 0 et C est vide (C=), F(X) admet des zéros A(a0, a1, …, an) dans D. Par la méthode de Newton-Raphson, nous admettons, qu’autour d’un point X0, F(X) est explicitée sous la forme d’un développement de Taylor et dont la forme est : F(X0+DX0)  F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0+…+(X0) D’où X0 est la plus bonne estimation de X* (solution exacte du problème), F(X) est dite NABLA F, Gradient du système de fonctions fi, X0 étant l’écart entre X* et X0 et finalement (X0) représente le reste de Taylor,  regroupe les dérivées d’ordres supérieur à 1 jusqu’à . Si l’estimation est plus justifiée, (X0) tendra vers 0, puisque les termes 1/n! tend vers 0 (pour n≥2) quant n. De ce fait on garde seulement la partie; F(X0+X0)  F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0, (X0)  0 Et puisque F(X) est supposée égale à 0, nous aurons F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0  0  [F(X)X=Xo].X0  - F(X0) Si on note (F(X)X=Xo)=J(X0) on a J(X0).X0  - F(X0) d’où X0  - [J(X0)]-1.F(X0) et X = X0+X0. 7
  • 9. Modélisation Formalisation Pour un système F(X)=f(x)=0 (Cas de système à une fonction à une variable), nous avons : f(x) = 0  f(x) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + (f(x))’ (x0) .h, avec h=(x-x0). x ≈ x0 + h ≈ x0 + f(x0)/(f(x0))’ Graphiquement, L’estimé initial est pris comme première approximation de la solution, alors, par récurrence h est recalculer de manière à corriger (par une quantité h  f(x0)/(f(x0))’) pour un sens de déplacement pour ainsi atteindre la solution. De manière générale, nous calculerons J(X0) dite matrice Jacobéenne du système. X = X0 + X0 = X0 + (- [J(X0)]-1.F(X0)]) La formule de récurence donne les estimés successifs; Xk+1 = Xk + Xk = Xk + (- [J(Xk)]-1.F(Xk)]) Le calcul est arrêté si et seulement si Xk tend vers zéro ou est assimilable à une petite valeur 1 en valeur absolue (|Xk| 1). ou encore (|Xk / Xk+1| 2). Ces deux conditions sont dites CONDITIONS D’ARRET, et le déterminant de de J est Jacobéen (|J(X)|). 8
  • 10. Modélisation Formalisation L’algorithme NR est donné par : 1. Demander X0,  2. Mettre k=0 3. Evaluer Xk+1 (à la précision désirée) 4. Si (f ’(Xk) = 0) alors Terminer 5. Répéter a) Xk=Xk+1 b) Xk+1 = Xk + (- [J(Xk)]-1.F(Xk)]) 6. Tant que Xk≥ 7. Afficher Xk+1 La méthode NR est l’une des méthode les plus simple à implémenter, très simple d’utilisation et efficace numériquement. Beaucoup de variantes existent (Fletcher-Powell, Bellman, …) Isaac NEWTON (1642 −1727) Joseph Raphson (1648-1715) 9
  • 11. Modélisation Formalisation De même, la méthode du Gradient nous expose l’algorithme suivant : 1. GradPasFixe(f, x0, Pas, tolérance) 2. x ← x0 3. Tant que : ||∇f(x)|| > tolérance 4. x ← x − Pas*∇f(x) 5. Retourner x ------------------------------------------------------ 1. GradPasOpt(f, x0, pas, tolérance) 2. x ← x0 3. Tant que : ||∇f(x)||> tolérance 4. u = −∇f(x) 5. Calculer le pas optimal p* 6. x ← x + p*.u 7. Retourner x L’algorithme du gradient à pas optimal combine la stratégie de Cauchy pour la détermination de la direction de descente avec, à chaque étape, une recherche du pas optimal minimisant : ϕ(t) = f(x + t.u), où : u = −∇f(x) est la direction de descente au point x Augustin Louis Cauchy (1789 −1857) Processus de convergence des valeurs de x vers la solution x* 10
  • 12. Modélisation Formalisation Une autre stratégie consiste à réécrire le système (cas de système contraint) sous la forme : L(X, ) = fi(X) + j.gj(X), où j est appelé multiplicateur de Lagrange L(X, ) est la fonction de Lagrange correspondante au système à étudier. Résoudre : F(X) sous les contraintes gj(X) équivaut à la résolution de la fonction de Lagrange L pour les mêmes raisons. Les condition d’optimalité pour L sont vérifiées si : L/xi = 0, pour i [1, n], n étant le nombre d’inconnues L/j = 0, pour j  [1, m], m étant le nombre de contraintes Beaucoup d’autres méthodes se basent sur la démarche de Newton en se focalisant sur la détermination du gradient de f pour explorer l’ensemble des directions de tendance vers l’optimum. Joseph-Louis Lagrange (1739-1813) 11
  • 13. Modélisation Simulation Comment construire une boîte avec la même forme que dans la figure avec un volume V0 fixe de telle sorte que la quantité de matière utilisée sera minimale ? Selon le modèle demandé de l’emballage, on remarque que les face de côtés sont de surface égale à 2.(a.c + b.c) alors celles du haut et du bas sont de 2.2.(a.b) d’où : F(a, b, c) = 2.a.c + 2.b.c + 4.a.b Le matériau (carton emballage) utilisé doit être de valeur minimal donc : g(a,b,c)=a.b.c=V0, avec V0 constante. Selon Lagrange, nous écrivons : L(a,b,c,) = (2.a.c + 2.b.c + 4.a.b) + .(a.b.c - V0), a,b, et c ≥ 0 La solution est b = a et c = 2.a d’où a = b = (c/2) = (V0/2)^(1/3) Par transformation des équations nous obtenons 12
  • 14. Cadre d’utilisation Là où le système équivalent est régit par un modèle mathématique non linéaire, pratiquement partout. 13
  • 15. Conclusions Pour entreprendre des actions sûres et avec impact réel, la méthodologie est d’une grande importance. C’est, en d’autres termes, ce que justifie le prix à payer avant d’atteindre son objectif. Pour nous créations intelligentes, les systèmes qui nous entourent, recèlent de beaucoup de surprises. L’adaptation d’une stratégie d’ évaluation des performances nous permet de délimiter la zone appropriée pour entamer nos observations concernant les dits systèmes. Juger c’est la dernière action mais appréhender, acquérir et comprendre sont les premières. Les améliorations, les évolutions d’un système donné, ne sont acceptables que si l’on a, à priori, bien collecter toutes les informations relatives à la composition et constitution, au fonctionnement et à la dépendance vis-à-vis d’autres systèmes (dits adjacents). Le coût encourut si l’erreur est commise pourrait être fatale, pas seulement pour le système en question mais aussi pour tous les systèmes en relation directe ou indirecte et encore NOUS. Garder l’équilibre universelle est une affaire primordiale. L’observation scientifique, la modélisation et la simulation et encore plus, l’évaluation des performances et l’étude de la robustesse, sont les outils de manœuvres. L’optimisation des outils et des méthodologies reste pour toujours une question de possibilités offertes à l’opérateur et à l’observatoire pour améliorer selon ses besoins les performances, sans enfreindre à l’équilibre des compositions et relations totales. Les libertés à l’introduction d’une certaine mise à jour est toujours garantie, sauf nécessité de garantir la non interférence avec la sûreté des ensembles adjacents. Les systèmes non linéaires une grande question dans le contexte qui précédé. Cette communication en est juste une contribution à la compréhension de l’observation. 14
  • 16. MERCI POUR VOTRE ATTENTION Fin du neuvième chapitre Nous sommes interpellés par les besoins vitaux : ne cherchez jamais à en inventer ! Suivez le cours en douceur Faites LA bonne Observation, décomposer, recomposer et valider une Conception, Formaliser Ne vous fiez pas aux apparences linéarisées (seulement) du système, il y a toujours une face cachée Le caractère global, ‘non-linéarité.’ 15
  • 17. Références • Grégoire Allaire, ‘Analyse numérique et optimisation’, Editions Ecole Polytechnique, ISBN 978-2-7302-1255-7, 2005, pp 409. • Yadolah Dodg, ‘Optimisation appliquée’, Edition Springer, ISBN 2-287-21335-X, 2004, pp 276. • http://eaps4.mit.edu/research/Lorenz/Butterfly_1972.pdf • L.-V. Bertallanfy, ‘General System Theory’, Edition MASSON, 1972. • http://newsoffice.mit.edu/2008/obit-lorenz-0416 • http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lorenz_Edward.html • http://www.me.berkeley.edu/ME237/2_general_properties.pdf • http://just.loic.free.fr/index.php?page=hist • http://www.uvm.edu/~wgibson/CYU/cobb-douglas.pdf • Max Tournarie, ‘Évaluations optimales des inconnues d'un système statistique non linéaire. I. Principe et théorie’, J. Phys. France 30, 737-751 (1969), http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019690030010073700. • ISIDORI A. ; WEI KANG, ‘H∞ control via measurement feedback for general nonlinear systems’, IEEE transactions on automatic control, ISSN 0018-9286, 1995, vol. 40, no3, pp. 466-472 (13 ref.). • H.K. Khalil, ‘Nonlinear Systems’, ISBN 0-13-228024-8, Prentice Hall Inc., 1996. • J.Baptiste & H.Urruty, ‘Optimisation et analyse convexe’, Presses Universitaires de France, 1998. • E. Angelini, ‘Algorithmes de gradient’, Chap. 6, http://perso.telecom- paristech.fr/~angelini/master_spsiv/optimization/iup1.opti.chp6.pdf, Columbia University, 17/01/2015. 16