Dokumen tersebut membahas tentang definisi eksponen dan sifat-sifat bilangan berpangkat, termasuk contoh soal dan pembahasan. Secara singkat, dibahas tentang operasi aljabar pada bentuk akar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian serta cara merasionalkan penyebut bentuk akar. Juga dibahas tentang definisi dan sifat-sifat logaritma.

1. Nama :
Kelas :
Pertemuan :
MUTIARA A’YUNI ALI 1
Definisi
Eksponen adalah bentuk perkalian dengan bilangan yang sama yang di ulang-ulang atau
singkatnya adalah perkalian yang diulang-ulang.
Jika a R dan 𝑛 > 1, n A maka didefinisikan :
𝑎 𝑛
= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … … . .× 𝑎
Sebanyak 𝑛 faktor
dimana :
 𝑎 disebut bilangan pokok (dasar)
 𝑛 disebut eksponen (pangkat)
Sifat sifat bilangan berpangkat :
Jika a b R,  , m A dan n A maka berlaku sifat-sifat eksponen sbb:
Contoh 1 : :
a) 22
× 21
= 2 × 2 × 2 = 8
b)
84
82
= 84−2
= 82
= 8 × 8 = 64
c) (𝑝𝑞)5
= 𝑝5
× 𝑞5
= 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞
Contoh 2 : Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat positif !
a. 2−5
=
1
25
Contoh 3: Nyatakan dalam bentuk bulat negatif
a.
1
32
= 3−2
Contoh 4 :
a. 6
1
2 = 6
b. b. 523
= 5
2
3
Pangkat Bulat Positif,
Negatif, Nol dan Pecahan
1. 𝑎 𝑚
× 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
4.
𝑎
𝑏
𝑚
=
𝑎 𝑚
𝑏 𝑚
7. 𝑎1
= 1
2.
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚−𝑛
5. (𝑎 × 𝑏) 𝑚
= 𝑎 𝑚
× 𝑏 𝑚
8. 𝑎0
= 1
3. 𝑎 𝑚 𝑛
= 𝑎 𝑚×𝑛
6. 𝑎−𝑛
=
1
𝑎 𝑛
 𝑎 𝑛
=
1
𝑎−𝑛
9. 𝑎 𝑚𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛

2. Nama :
Kelas :
Pertemuan :
MUTIARA A’YUNI ALI 2
A. Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
b
a
dengan a. b
bilangan bulat dan b 0
Contoh :
1. Bilangan bulat, asli, dan pecahan
2. Bilangan desimal berulang
0.33333. . .=
3
1
9
3

0,121212. . . .=
33
4
99
12

3. Bilangan desimal terbatas
0.5 =
2
1
2,75 =
4
11
B. Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
b
a
dengan
a,b bilangan bulat dan b 0
Contoh :
1. 2 =1,41423562… 2. 7 =1,64575131…
C. Bentuk Akar
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan rasional yang hasilnya bukan merupakan
bilangan rasional.
Contoh :
1. ,...25,64,16 3
( bukan bentuk akar )
2. ,...8,15,3 3
( bentuk akar )
Bentuk Akar

3. Nama :
Kelas :
Pertemuan :
MUTIARA A’YUNI ALI 3
Dengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya maka
kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar. Operasi aljabar yang dimaksud adalah
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar
Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka
Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan
menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real.
Sifat ini berlaku pada bilangan rasional atau irasional sebab kedua bilangan itu termasuk
bilangan real.
𝒂 𝒄 + 𝒃 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 𝒄 (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
𝒂 𝒄 − 𝒃 𝒄 = 𝒂 − 𝒃 𝒄 (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)
Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut:
1. 𝒂 𝒄 + 𝒃 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 𝒄
2. 𝒂 𝒄 − 𝒃 𝒄 = 𝒂 − 𝒃 𝒄
3. 𝒃 𝒂
𝒏
× 𝒅 𝒄
𝒏
= 𝒃𝒅 𝒂𝒄
𝒏
4. 𝒃 𝒂
𝒏
÷ 𝒅 𝒄
𝒏
=
𝒃
𝒅
𝒂𝒄
𝒏
Contoh :
1. 8 3 + 11 3
Pembahasan : = 8 + 11 3 = 19 3
2. 6 7 − 2 7
Pembahasan : = 6 − 2 7 = 4 7
3. 4 2 + 3 2 − 2 2
Pembahasan: = 4 + 3 − 2 2 = 5 2
𝒂 𝒄 + 𝒃 𝒄 = (𝒂 + 𝒃) 𝒄
𝒂 𝒄 − 𝒃 𝒄 = (𝒂 − 𝒃) 𝒄
dan
Keterangan :
n
√ a dan n
√ c ada nilainya dan n
bilangan bulat positif lebih dari satu
atau sama dengan dua.
Operasi Bentuk
Akar

4. Nama :
Kelas :
Pertemuan :
MUTIARA A’YUNI ALI 4
2. Perkalian Bentuk Akar
Operasi Perkalian bentuk akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka:
Sederhanakanlah !
Contoh Pembahasan
1.
1
2
× 50 =
1
2
× 50
=
50
2
= 25 = 5
2. 3 7 × 7 3 = 3 × 7 7 × 3
= 3 × 7 7 × 3
= 21 21
3. 5 + 3 2 + 7 = 5 × 2 + 3 × 2 + 5 × 7 + 3 × 7
= (5 × 2) + (3 × 2) + (5 × 7) + 3 × 7)
= 10 + 6 + 35 + 21
4. 5 × 4
3
= 5
1
2 × 4
1
3
= 5
3
6 × 4
2
6
= 53+
1
6 × 42+
1
6
= 53
× 42
1
6
= (125 × 16)
1
6
= 2000
1
6
= 2000
6
i. 𝒙 . 𝒚 = 𝒙𝒚
ii. 𝒂 𝒙 . 𝒃 𝒚 = 𝒂𝒃 𝒙𝒚
iii. 𝒂 ± 𝒃 𝒄 ± 𝒅 = 𝒂𝒄 ± 𝒃𝒄 ± 𝒂𝒅 ± 𝒃𝒅

5. Nama :
Kelas :
Pertemuan :
MUTIARA A’YUNI ALI 5
3. Pembagian Bentuk Akar
Operasi Pembagian Bentuk Akar
Jika x , y anggota bilangan real positif, maka
Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.
Contoh Pembahasan
a.
10
5
=
10
5
= 2
b.
125
5
=
125
5
= 25
= 5
c.
20 21
4 3
=
20
4
21
3
= 5 7
d.
5
3
6
4 =
5
1
3
6
1
4
=
5
4
12
6
3
14
=
5
4+
1
2
6
3+
1
12
=
54
63
1
2
=
625
216
1
2
=
625
216
12
i.
𝒙
𝒚
=
𝒙
𝒚
dengan;
ii.
𝒙
𝒚
𝒏
=
𝒙
𝒏
𝒚𝒏 𝑥 ≠ 0

6. Nama :
Kelas :
Pertemuan :
MUTIARA A’YUNI ALI 6
𝒑 + 𝒒 ± 𝟐 𝒑𝒒 = 𝒑 ± 𝒒
𝑝 ± 𝑞 𝑟 =
𝑝 + 𝑛
2
±
𝑝 − 𝑛
2
Dimana :
 𝒑 + 𝒒 + 𝟐 𝒑𝒒 = 𝒑 + 𝒒
 𝒑 + 𝒒 − 𝟐 𝒑𝒒 = 𝒑 − 𝒒
Contoh :
a. 8 + 2 15
Pembahasan :
= 5 + 3 + 2 5 × 3
= 5 + 3
Dimana :
 𝑝 + 𝑞 𝑟 =
𝑝+𝑛
2
+
𝑝−𝑛
2
 𝑝 − 𝑞 𝑟 =
𝑝+𝑛
2
−
𝑝−𝑛
2
Dengan :
𝑝 > 𝑞
𝑛 = 𝑝2 − 𝑞 𝑟
2
Menyederhanakan
Bentuk Akar

7. Nama :
Kelas :
Pertemuan :
MUTIARA A’YUNI ALI 7
Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi
operasi pembagian dengan bentuk akar.
Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk bentuk akar, yaitu :
1. Pecahan Bentuk
Diselesaikan dengan mengalikan
b
b
Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :
a.
2
3
=
2
3
×
3
3
=
2 3
3
2. Pecahan Bentuk
Diselesaikan dengan mengalikan
b c
b c


Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan
6
6− 6
Jawab
=
6
6 − 6
×
6 + 6
6 + 6
=
6(6 + 6)
36 − 6
=
6(6 + 6)
30
=
1(6 + 6)
5
3. Pecahan Bentuk
Diselesaikan dengan mengalikan
cb
cb


Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan
6
5+ 2
Jawab :
=
6
5+ 2
×
5− 2
5− 2
=
6( 5− 2)
5−2
=
6( 5− 2)
3
= 2( 5 − 2)
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃 + 𝒄
𝒂
𝒃 − 𝒄
Merasionalkan
Penyebut Bentuk
Akar

8. Nama :
Kelas :
Pertemuan :
MUTIARA A’YUNI ALI 8
Operasi logaritma dapat diartikan sebagai operasi kebalikan dari menentukan nilai
pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya.
Seperti telah kita ketahui bahwa :
Jika maka 5 = 2
log 25
Pada , bagaimana menyatakan 3 dengan 2 dan 8?
Untuk itu diperlukan notasi yang disebut Logaritma untuk menyatakan pangkat dengan
bilangan pokok (basis) dengan hasil pangkat (numerus).
Jadi jika maka dibaca “2 log 8”
Sehingga logaritma merupakan invers dari perpangkatan.
Secara umum dapat dinyatakan :
dimana :
𝑎 : basis logaritma ; 𝑦 : numerus ; 𝑥 : hasil logaritma
 Khusus untuk bilangan pokok 10, bisa dituliskan bisa juga tidak.
Jadi jika log 5 maksudnya .
Contoh 1: Nyatakan dalam bentuk logaritma dari perpangkatan :
a. 4 =……………………………………..........................................
b. 𝑛 = ………………………………………………………………
Contoh 2: Nyatakan dalam perpangkatan dari bentuk logaritma :
a. log 100 = 2 …………………………………………………………………
b. ………………………………………………………………….
Contoh 3: Hitunglah :
a. = x ………………..= 64 x = …………………………..
b. = x …………………= ………… x = …………….................
c. log 1000 = x …………….…= ………… x = ……………..................
2552

823

823
 8log3 2

5log10
8134
 
1282 n


rqp
log 
64log2
 
8
1
log2
 
 
Jika 𝑎 𝑥
= 𝑦
Maka:
𝒙 =a
𝐥𝐨𝐠 𝒚
Syarat : 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 𝑑𝑎𝑛 𝑦 > 0
Logaritma

9. Nama :
Kelas :
Pertemuan :
MUTIARA A’YUNI ALI 9
Ada beberapa sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan masalah
yang berkaitan dengan logaritma yaitu :
Sifat Logaritma Contoh
1. Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:
a
log a = 1
a
log 1 = 0
log 10 = 1
 2
log 2 = 1
 3
log 1 = 0
2. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta
a, x, dan y ∈ R berlaku:
𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙+ 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒚= 𝒂𝐥𝐨𝐠 (𝒙.𝒚)
Sederhanakanlah!
2
log 4 +2
log 8
Pembahasan :
= 2
log 4 . 8
= 2
log 32 = 5
3. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta
a,x, dan y ∈ R, berlaku:
𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙− 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒚= 𝒂𝐥𝐨𝐠
𝒙
𝒚
Sederhanakanlah!
2
log 16 +2
log 8
Pembahasan :
= 2
log 16 ÷ 8
= 2
log 2 = 1
4. Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R maka
berlaku:
𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒏=𝒏 . 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙
Sederhanakanlah!
3
log 38
Pembahasan :
= 8 . 3
log 3
= 8 .1 = 8
5. Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R,
berlaku:
𝒂 𝒎
𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒏 =
𝒏
𝒎
𝐥𝐨𝐠 𝒙
Hitunglah!
4
log 32
Pembahasan :
22
log 25 =
5
2
log 2=
5
2
Sifat-Sifat
Logaritma

10. Nama :
Kelas :
Pertemuan :
MUTIARA A’YUNI ALI 10
6. Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p,
dan x ∈ R, maka berlaku:
𝒂
𝐥𝐨𝐠 𝒙 =
𝒑 𝐥𝐨𝐠 𝒙
𝒑 𝐥𝐨𝐠 𝒂
=
𝟏
𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒂
Contoh :
3
log 7 . 7
log 81
Pembahasan :
=
log 7
log 3
.
log 81
log 7
=
log 34
log 3
=
4 log 3
log 3
= 4
7. Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R
berlaku:
𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙 . 𝒙𝐥𝐨𝐠 𝒃 = 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒃
Contoh :
3
log 7 . 7
log 81
Pembahasan :
= 3
log 81
= 3
log 34
= 4 . 3
log 3
= 4 . 1 = 4
8. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
𝒂 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙 = 𝒙
Contoh :
5 5
log 8 = 8
9. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:
𝒂 𝒏 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙 = 𝒙