Bdt của tran si tung

Bất đẳng thức – Bất phương trình

Trần Sĩ Tùng

CHƯƠNG IV
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. BẤT ĐẲNG THỨC
1. Tính chất
Điều kiện
c>0
c<0
a > 0, c > 0
n nguyên dương

Nội dung
a<bÛa+c<b+c
a < b Û ac < bc
a < b Û ac > bc
a < b và c < d Þ a + c < b + d
a < b và c < d Þ ac < bd
a < b Û a2n+1 < b2n+1
0 < a < b Þ a2n < b2n

a>0

a< b

a<bÛ
a<bÛ

3

(1)
(2a)
(2b)
(3)
(4)
(5a)
(5b)
(6a)

a<3b

(6b)

2. Một số bất đẳng thức thông dụng
a) a2 ³ 0, "a .
a2 + b2 ³ 2 ab .
b) Bất đẳng thức Cô–si:
a+b
+ Với a, b ³ 0, ta có:
³ ab . Dấu "=" xảy ra Û a = b.
2
a+b+c 3
³ abc . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c.
+ Với a, b, c ³ 0, ta có:
3
Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất Û x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất Û x = y.
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Điều kiện
Nội dung
x ³ 0, x ³ x , x ³ - x
x £ a Û -a£ x £ a
a>0

é x £ -a
x ³a Û ê
ëx ³ a
a - b £ a+b ³ a + b

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
+ a-b < c < a+b ; b-c < a < b+c; c-a < b < c+a.
e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki
Với a, b, x, y Î R, ta có: (ax + by )2 £ (a2 + b2 )( x 2 + y 2 ) . Dấu "=" xảy ra Û ay = bx.

Trang 30

Trần Sĩ Tùng


VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản
· Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:
– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.
– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.
· Một số BĐT thường dùng:
+ A2 ³ 0
+ A2 + B2 ³ 0
+ A.B ³ 0 với A, B ³ 0.
+ A2 + B2 ³ 2 AB
Chú ý:
– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có
thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Bài 1.

Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca

b) a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b

c) a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2(a + b + c)

d) a2 + b2 + c2 ³ 2(ab + bc - ca)

e) a4 + b4 + c2 + 1 ³ 2 a(ab2 - a + c + 1)

f)

g) a2 (1 + b 2 ) + b2 (1 + c2 ) + c2 (1 + a2 ) ³ 6abc

h) a2 + b2 + c2 + d 2 + e2 ³ a(b + c + d + e)

i)

a2
+ b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc
4

1 1 1
1
1
1
với a, b, c > 0
+ + ³
+
+
a b c
ab
bc
ca

k) a + b + c ³ ab + bc + ca với a, b, c ³ 0
HD: a) Û (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ³ 0

b) Û (a - b)2 + (a - 1)2 + (b - 1)2 ³ 0

c) Û (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2 ³ 0
2

2 2

2

d) Û (a - b + c)2 ³ 0
2

æa
ö
f) Û ç - (b - c) ÷ ³ 0
è2
ø

2

e) Û (a - b ) + (a - c) + (a - 1) ³ 0
g) Û (a - bc )2 + (b - ca)2 + (c - ab)2 ³ 0
2

2

2

2

æa
ö æa
ö æa
ö æa ö
h)Û ç - b ÷ + ç - c ÷ + ç - d ÷ + ç - e ÷ ³ 0
è2
ø è2
ø è2
ø è2
ø
2

2

2

æ 1
1 ö æ 1
1 ö æ 1
1 ö
i) Û ç
÷ +ç
÷ +ç
÷ ³0
bø è b
cø è c
aø
è a
2

2

2

k) Û ( a - b ) + ( b - c ) + ( c - a ) ³ 0
Bài 2. Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
3

a3 + b3 æ a + b ö
a)
³ç
÷ ; với a, b ³ 0
2
è 2 ø

b) a4 + b4 ³ a3 b + ab3

c) a4 + 3 ³ 4a

d) a3 + b3 + c3 ³ 3abc , với a, b, c > 0.

e) a4 + b4 £
2

g)

a +3
2

a +2

HD: a) Û

a6
b

2

+

b6
a

2

; với a, b ¹ 0.

>2
3
(a + b)(a - b)2 ³ 0
8

f)

1
1+ a

2

+

1
1+ b

2

³

2
; với ab ³ 1.
1 + ab

h) (a5 + b5 )(a + b) ³ (a 4 + b 4 )(a2 + b2 ) ; với ab > 0.
b) Û (a3 - b3 )(a - b) ³ 0
Trang 31


Trần Sĩ Tùng

c) Û (a - 1)2 (a2 + 2a + 3) ³ 0
d) Sử dụng hằng đẳng thức a3 + b3 = (a + b)3 - 3a2 b - 3ab2 .
BĐT Û (a + b + c) é a2 + b2 + c2 - (ab + bc + ca)ù ³ 0 .
ë
û
2

2 2

4

2 2

4

(b - a)2 (ab - 1)

e) Û (a - b ) (a + a b + b ) ³ 0
g) Û (a2 + 1)2 > 0
Bài 3.

f) Û

h) Û ab(a - b)(a3 - b3 ) ³ 0 .

(1 + ab)(1 + a2 )(1 + b2 )

³0

Cho a, b, c, d Î R. Chứng minh rằng a2 + b2 ³ 2 ab (1). Áp dụng chứng minh các bất
đảng thức sau:
b) (a2 + 1)(b2 + 1)(c 2 + 1) ³ 8abc

a) a4 + b 4 + c4 + d 4 ³ 4abcd
c) (a2 + 4)(b2 + 4)(c2 + 4)(d 2 + 4) ³ 256abcd

HD: a) a4 + b4 ³ 2 a2 b2 ; c2 + d 2 ³ 2c2 d 2 ; a2 b2 + c2 d 2 ³ 2 abcd
b) a2 + 1 ³ 2 a; b 2 + 1 ³ 2 b; c 2 + 1 ³ 2c
c) a2 + 4 ³ 4a; b2 + 4 ³ 4b; c2 + 4 ³ 4c; d 2 + 4 ³ 4 d
Bài 4.

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu

a
a a+c
< 1 thì <
(1). Áp dụng chứng
b
b b+c

minh các bất đảng thức sau:
a
b
c
a
b
c
d
a)
+
+
<2
b) 1 <
+
+
+
<2
a+b b+c c+a
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b
a+b
b+c
c+d
d+a
c) 2 <
+
+
+
<3
a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b
HD: BĐT (1) Û (a – b)c < 0.
a
a+c
b
b+a
c
c+b
<
<
<
a) Sử dụng (1), ta được:
,
,
.
a+b a+b+c b+c a+b+c c+a a+b+c
Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.
a
a
a
<
<
b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:
a+b+c+d a+b+c a+c
b
b
b
Tương tự,
<
<
a+b+c+d b+c+d b+d
c
c
c
<
<
a+b+c+d c+d +a a+c
d
d
d
<
<
a+b+c+d d +a+b d +b
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
a+b
a+b
a+b+d
<
<
c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có:
a+b+c+d a+b+c a+b+c+d
Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm.
Bài 5.

Cho a, b, c Î R. Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca (1). Áp dụng
chứng minh các bất đảng thức sau:
2

a) (a + b + c) £ 3(a + b + c )

a 2 + b2 + c 2 æ a + b + c ö
b)
³ç
÷
3
è
3
ø

c) (a + b + c)2 ³ 3(ab + bc + ca)

d) a4 + b4 + c 4 ³ abc(a + b + c)

2

2

2

2

Trang 32

Trần Sĩ Tùng
e)


a+b+c
ab + bc + ca
³
với a,b,c>0.
3
3

f) a4 + b4 + c 4 ³ abc nếu a + b + c = 1

HD: Û (a - b)2 + (b - c )2 + (c - a)2 ³ 0 .
a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1)
d) Sử dụng (1) hai lần
f) Sử dụng d)

b, c) Vận dụng a)
e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1)

Cho a, b ³ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: a3 + b3 ³ a 2 b + b 2 a = ab(a + b) (1). Áp
dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
1
1
1
1
a)
+
+
£
;
với a, b, c > 0.
a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c 3 + a3 + abc abc
1
1
1
b)
+
+
£ 1;
với a, b, c > 0 và abc = 1.
a 3 + b 3 + 1 b 3 + c3 + 1 c3 + a 3 + 1
1
1
1
c)
+
+
£1;
với a, b, c > 0 và abc = 1.
a + b +1 b + c +1 c + a +1

Bài 6.

d)

3

e*)

4(a3 + b3 ) + 3 4(b3 + c3 ) + 3 4(c3 + a3 ) ³ 2(a + b + c) ;
3

sin A + 3 sin B + 3 sin C £ 3 cos

A 3
B
C
+ cos + 3 cos ;
2
2
2

với a, b, c ³ 0 .
với ABC là một tam giác.

HD: (1) Û (a2 - b2 )(a - b) ³ 0 .
1

a) Từ (1) Þ a3 + b3 + abc ³ ab(a + b + c ) Þ

£

a3 + b3 + abc
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b, c) Sử dụng a).

1
.
ab(a + b + c )

d) Từ (1) Û 3(a3 + b3 ) ³ 3(a2 b + ab2 ) Û 4(a3 + b3 ) ³ (a + b)3 (2).
Từ đó: VT ³ (a + b) + (b + c) + (c + a) = 2(a + b + c) .
e) Ta có:

C
A-B
C
.cos
£ 2 cos .
2
2
2

sin A + sin B = 2 cos

Sử dụng (2) ta được: a + b £ 3 4(a3 + b3 ) .

Þ

3

sin A + 3 sin B £ 3 4(sin A + sin B) £ 3 4.2.cos

Tương tự,

3

A
,
2

sin B + 3 sin C £ 2 3 cos

3

C
C
= 2 3 cos
2
2

sin C + 3 sin A £ 2 3 cos

B
2

Bài 7. Cho a, b, x, y Î R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):
a 2 + x 2 + b 2 + y 2 ³ (a + b)2 + ( x + y )2 (1)
Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a) Cho a, b ³ 0 thoả a + b = 1 . Chứng minh:
b) Tìm GTNN của biểu thức P =

a2 +

1

1 + a2 + 1 + b2 ³ 5 .

+ b2 +

1

b2
a2
c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 1 . Chứng minh:
x2 +

1
x

2

+ y2 +

1
y

2

+ z2 +

Trang 33

1
z2

.

³ 82 .


Trần Sĩ Tùng

d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 3 . Tìm GTNN của biểu thức:
P=

223 + x 2 + 223 + y 2 + 223 + z2 .

HD: Bình phương 2 vế ta được: (1) Û (a2 + b2 )( x 2 + y 2 ) ³ ab + xy (*)
· Nếu ab + xy < 0 thì (*) hiển nhiên đúng.

· Nếu ab + xy ³ 0 thì bình phương 2 vế ta được: (*) Û (bx - ay)2 ³ 0 (đúng).
a) Sử dụng (1). Ta có: 1 + a2 + 1 + b2 ³ (1 + 1)2 + (a + b)2 = 5 .
b) Sử dụng (1). P ³

2

2

æ1 1ö
æ 4 ö
( a + b ) + ç + ÷ ³ ( a + b )2 + ç
÷ = 17
èa bø
èa+bø
2

1 1
4
+ ³
(với a, b > 0).
a b a+b
c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:
Chú ý:

æ 1 1 1ö
x +
+ y +
+ z +
³ ( x + y + z) + ç + + ÷
x2
y2
z2
è x y zø
2

1

2

1

2

1

2

³
Chú ý:

æ
ö
9
( x + y + z) + ç
÷ = 82 .
è x+y+zø
2

1 1 1
9
+ + ³
(với x, y, z > 0).
x y z x+y+z
2

d) Tương tự câu c). Ta có: P ³ ( 3 223 ) + ( x + y + z)2 = 2010 .
Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh:
a) ab + bc + ca £ a2 +b2 + c2 <2(ab + bc + ca)
b) abc ³ (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b)
c) 2a 2 b2 + 2 b2 c 2 + 2c 2 a2 - a 4 - b 4 - c 4 > 0
d) a(b - c )2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3
HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > b - c Þ a2 > b2 - 2bc + c2 .
b) Ta có: a2 > a 2 - (b - c)2 Þ a2 > (a + b - c)(a - b + c) .
c) Û (a + b + c)(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0 .
d) Û (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) > 0 .
Bài 9.

a)

Trang 34

2

2

Trần Sĩ Tùng


VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si
1. Bất đẳng thức Cô–si:
a+b
+ Với a, b ³ 0, ta có:
³ ab . Dấu "=" xảy ra Û a = b.
2
a+b+c 3
+ Với a, b, c ³ 0, ta có:
³ abc . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c.
3
2

3

æa+bö
æa+b+cö
2. Hệ quả:
+ç
+ç
÷ ³ abc
÷ ³ ab
è
ø
è 2 ø
3
3. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:
+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất Û x = y.
+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất Û x = y.
Bài 1.

Cho a, b, c ³ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 ) ³ 9abc

a) (a + b)(b + c)(c + a) ³ 8abc
c) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ (1 + 3 abc )

3

d)

bc ca ab
+ +
³ a + b + c ; với a, b, c > 0.
a b
c

e) a2 (1 + b 2 ) + b2 (1 + c2 ) + c2 (1 + a2 ) ³ 6abc
ab
bc
ca
a+b+c
+
+
£
; với a, b, c > 0.
a+b b+c c+a
2
a
b
c
3
+
+
³ ; với a, b, c > 0.
g)
b+c c+a a+b 2

f)

HD: a) a + b ³ 2 ab ; b + c ³ 2 bc ; c + a ³ 2 ca Þ đpcm.
3

b) a + b + c ³ 3 3 abc ; a2 + b2 + c2 ³ 3 a2 b2c2 Þ đpcm.
· (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc
c)
3

· ab + bc + ca ³ 3 a2 b2c2

· a + b + c ³ 3 3 abc

3

Þ (1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ 1 + 3 3 abc + 3 a2 b2 c2 + abc = (1 + 3 abc )
3

bc ca
abc2
ca ab
a2 bc
ab bc
ab2 c
d)
+ ³2
= 2c ,
+
³2
= 2a ,
+
³2
= 2 b Þđpcm
a b
ab
b
c
bc
c
a
ac
3

e) VT ³ 2(a2 b + b2c + c2 a) ³ 6 a3b3c3 = 6 abc .
f) Vì a + b ³ 2 ab nên

Þ

bc
bc ca
ca
ab
ab
ab
. Tương tự:
£
;
£
.
£
=
b+c
2 c+a
2
a + b 2 ab
2

ab
bc
ca
ab + bc + ca a + b + c
+
+
£
£
a+b b+c c+a
2
2

(vì ab + bc + ca £ a + b + c )
æ a
ö æ b
ö æ c
ö
g) VT = ç
+ 1÷ + ç
+ 1÷ + ç
+ 1÷ - 3
è b+c ø èc+a ø è a+b ø
æ 1
1
1
1 ö
9
3
= [( a + b ) + ( b + c ) + (c + a )] ç
+
+
÷ -3³ -3 = .
2
2
2
è b+c c+a a+bø
· Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.
3
1 éæ x y ö æ z x ö æ z y ö ù 1
Khi đó, VT = êç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ - 3ú ³ (2 + 2 + 2 - 3) = .
2 ëè y x ø è x z ø è y z ø û 2
2
Trang 35


Trần Sĩ Tùng

Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
æ 1 1 1ö
a) (a3 + b3 + c3 ) ç + + ÷ ³ (a + b + c )2
èa b cø

Bài 2.

b) 3(a3 + b3 + c3 ) ³ (a + b + c)(a 2 + b2 + c 2 )

c) 9(a3 + b3 + c3 ) ³ (a + b + c )3

æ a3 b3 ö æ b3 c3 ö æ c 3 a3 ö
HD: a) VT = a2 + b2 + c2 + ç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ .
a ø è c
bø è a
c ø
è b
Chú ý:

a3 b3
+
³ 2 a2 b2 = 2ab . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
b
a

b) Û 2(a3 + b3 + c 3 ) ³ ( a2 b + b2 a ) + ( b2c + bc 2 ) + ( c2 a + ca2 ) .

Chú ý: a3 + b3 ³ ab(a + b) . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
c) Áp dụng b) ta có: 9(a3 + b3 + c3 ) ³ 3(a + b + c )(a 2 + b2 + c2 ) .
Dễ chứng minh được: 3(a 2 + b2 + c 2 ) ³ (a + b + c)2 Þ đpcm.
1 1
4
+ ³
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a b a+b
æ 1
1 1 1
1
1 ö
+
+
a) + + ³ 2 ç
÷ ; với a, b, c > 0.
a b c
è a+b b+c c+aø
æ
ö
1
1
1
1
1
1
b)
+
+
³ 2ç
+
+
÷ ; với a, b, c > 0.
a+b b+c c+a
è 2 a + b + c a + 2 b + c a + b + 2c ø
1 1 1
1
1
1
c) Cho a, b, c > 0 thoả + + = 4 . Chứng minh:
+
+
£1
a b c
2 a + b + c a + 2 b + c a + b + 2c
ab
bc
ca
a+b+c
d)
+
+
£
; với a, b, c > 0.
a+b b+c c+a
2
2 xy
8yz
4 xz
e) Cho x, y, z > 0 thoả x + 2 y + 4 z = 12 . Chứng minh:
+
+
£ 6.
x + 2 y 2 y + 4z 4z + x
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
æ1 1 1ö
1
1
1
+
+
³ 2ç + + ÷ .
p-a p-b p-c
èa b cø
æ1 1ö
HD: (1) Û (a + b) ç + ÷ ³ 4 . Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.
èa bø
1 1
4
1 1
4 1 1
4
a) Áp dụng (1) ba lần ta được: + ³
; + ³
; + ³
.
a b a+b b c b+c c a c+a
b) Tương tự câu a).
æ
ö
1 1 1
1
1
1
c) Áp dụng a) và b) ta được: + + ³ 4 ç
+
+
÷.
a b c
è 2 a + b + c a + 2 b + c a + b + 2c ø
1
1æ1 1ö
ab
1
d) Theo (1):
£ ç + ÷ Û
£ ( a + b) .
a+b 4èa bø
a+b 4
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12 Þ đpcm.
f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.
1
1
4
4
Áp dụng (1) ta được:
+
³
= .
p - a p - b ( p - a) + ( p - b) c
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.

Bài 3.

Cho a, b > 0. Chứng minh

Trang 36

Trần Sĩ Tùng
Bài 4.


Cho a, b, c > 0. Chứng minh

1 1 1
9
+ + ³
(1). Áp dụng chứng minh các
a b c a+b+c

BĐT sau:
æ 1
1
1 ö 3
a) (a2 + b2 + c2 ) ç
+
+
÷ ³ (a + b + c) .
è a+b b+c c+aø 2
b) Cho x, y, z > 0 thoả x + y + z = 1 . Tìm GTLN của biểu thức: P =

x
y
z
+
+
.
x +1 y +1 z +1

c) Cho a, b, c > 0 thoả a + b + c £ 1 . Tìm GTNN của biểu thức:
1
1
1
+
+
.
P=
2
2
2
a + 2 bc b + 2 ac c + 2 ab
1
1
1
1
d) Cho a, b, c > 0 thoả a + b + c = 1 . Chứng minh:
+
+ + ³ 30 .
a 2 + b2 + c2 ab bc ca
1
1
1
6
e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh:
+
+
³ .
2 + cos 2 A 2 + cos 2 B 2 - cos 2C 5
æ 1 1 1ö
HD: Ta có: (1) Û (a + b + c) ç + + ÷ ³ 9 . Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.
èa b cø
1
1
1
9
a) Áp dụng (1) ta được:
+
+
³
.
a + b b + c c + a 2(a + b + c)

Þ VT ³

9(a2 + b2 + c2 ) 3 3(a2 + b2 + c2 ) 3
= .
³ ( a + b + c)
2(a + b + c)
2
a+b+c
2

Chú ý: (a + b + c)2 £ 3(a2 + b2 + c 2 ) .
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:
æ 1
x +1-1 y + 1-1 z +1-1
1
1 ö
P=
+
+
= 3-ç
+
+
÷
x +1
y +1
z +1
è x +1 y +1 z +1 ø
1
1
1
9
9
9 3
+
+
³
= . Suy ra: P £ 3 - = .
Ta có:
x +1 y +1 z +1 x + y + z + 3 4
4 4
Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:
Cho x, y, z > 0 thoả x + y + z = 1 và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN
x
y
z
+
+
.
kx + 1 ky + 1 kz + 1
9
9
c) Ta có: P ³
=
³ 9.
a 2 + 2 bc + b2 + 2ca + c 2 + 2 ab (a + b + c)2
1
9
d) VT ³
+
2
2
2
ab + bc + ca
a +b +c
æ
ö
1
1
1
7
=ç
+
+
÷+
è a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ab + bc + ca ø ab + bc + ca
của biểu thức: P =

7
9 7
³ + = 30
(a + b + c)2 ab + bc + ca 1 1
3
1
1
Chú ý: ab + bc + ca £ (a + b + c)2 = .
3
3
1
1
1
9
e) Áp dụng (1):
+
+
³
2 + cos 2 A 2 + cos 2 B 2 - cos 2C 6 + cos 2 A + cos 2 B - cos 2C

³

9

+

Trang 37


Trần Sĩ Tùng

³

9
6+

3
2

=

6
.
5

3
.
2
Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:
x 18
x
2
y = + ; x >0.
b) y = +
; x > 1.
2 x
2 x -1
3x
1
x
5
1
y=
+
; x > -1 .
d) y = +
;x>
2 x +1
3 2x -1
2
x
5
x3 + 1
y=
+ ; 0 < x <1
f) y =
; x>0
1- x x
x2
Chú ý: cos 2 A + cos 2 B - cos 2C £

Bài 5.

a)
c)
e)

x2 + 4 x + 4
; x>0
x

h) y = x 2 +

2

; x>0
x3
3
HD: a) Miny = 6 khi x = 6
b) Miny =
khi x = 3
2
3
6
30 + 1
30 + 1
c) Miny = 6 - khi x =
- 1 d) Miny =
khi x =
2
3
3
2
5- 5
3
khi x = 3 2
e) Miny = 2 5 + 5 khi x =
f) Miny =
3
4
4
5
g) Miny = 8 khi x = 2
h) Miny =
khi x = 5 3
5
27
Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) y = ( x + 3)(5 - x ); - 3 £ x £ 5
b) y = x (6 - x ); 0 £ x £ 6
g) y =

c) y = ( x + 3)(5 - 2 x ); - 3 £ x £
e) y = (6 x + 3)(5 - 2 x ); g) y =

5
2

d) y = (2 x + 5)(5 - x ); -

1
5
£x£
2
2

f) y =

x
x2 + 2

5
£ x£5
2

; x>0

x2

( x 2 + 2 )3

HD: a) Maxy = 16 khi x = 1
121
1
c) Maxy =
khi x = 8
4

b) Maxy = 9 khi x = 3
625
5
d) Maxy =
khi x =
8
4
1
f) Maxy =
khi x = 2 ( 2 + x 2 ³ 2 2 x )
2 2

e) Maxy = 9 khi x = 1
3

g) Ta có: x 2 + 2 = x 2 + 1 + 1 ³ 3 x 2 Û ( x 2 + 2)3 ³ 27 x 2 Û

Þ Maxy =

1
khi x = ±1.
27

Bài 7.

a)

Trang 38

x2
( x 2 + 2)3

£

1
27

Trần Sĩ Tùng


VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki
1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)

· Với a, b, x, y Î R, ta có: (ax + by )2 £ (a2 + b2 )( x 2 + y2 ) . Dấu "=" xảy ra Û ay = bx.
· Với a, b, c, x, y, z Î R, ta có: (ax + by + cz)2 £ (a2 + b2 + c2 )( x 2 + y2 + z2 )
Hệ quả:
· (a + b)2 £ 2(a2 + b2 )

Bài 1.

· (a + b + c)2 £ 3(a2 + b2 + c2 )

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b) 3a2 + 5b2 ³

a) 3a2 + 4 b2 ³ 7 , với 3a + 4b = 7
c) 7a2 + 11b2 ³

2464
, với 3a - 5b = 8
137

d) a2 + b2 ³

735
, với 2a - 3b = 7
47

4
, với a + 2 b = 2
5

f) ( x - 2 y + 1)2 + (2 x - 4 y + 5)2 ³

e) 2a2 + 3b2 ³ 5 , với 2a + 3b = 5

9
5

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 3, 4, 3a, 4b .
2
3
b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
,, 3a, 5b .
3
5
3
5
c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
,, 7a, 11b .
7
11
d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 1,2, a, b .
e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số

2, 3, 2 a, 3b .

f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT Û a2 + b2 ³
Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm.
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1
1
a) a2 + b2 ³ , với a + b ³ 1 .
b) a3 + b3 ³ , với a + b ³ 1 .
2
4
1
c) a4 + b 4 ³ , với a + b ³ 1 .
d) a4 + b 4 ³ 2 , với a + b = 2 .
8
HD: a) 1 £ (1a + 1b)2 £ (12 + 12 )(a2 + b2 ) Þ đpcm.
b) a + b ³ 1 Þ b ³ 1 - a Þ b3 ³ (1 - a)3 = 1 - 3a + 3a2 - a3
2

æ
1ö 1 1
Þ b + a ³ 3ç a - ÷ + ³ .
è
2ø 4 4
3

3

c) (12 + 12 )(a 4 + b 4 ) ³ (a2 + b2 )2 ³

1
Þ đpcm.
4

d) (12 + 12 )(a 2 + b2 ) ³ (a + b)2 = 4 Þ a2 + b2 ³ 2 .
Bài 3.

(12 + 12 )(a 4 + b 4 ) ³ (a2 + b 2 )2 ³ 4 Þ a4 + b 4 ³ 2
Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = 1- x + 1- y + 1- z .

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:

P £ 1 + 1 + 1. (1 - x ) + (1 - y ) + (1 - z) £
Trang 39

6

9
.
5


Trần Sĩ Tùng
1
.
3

Dấu "=" xảy ra Û 1 - x = 1 - y = 1 - z Û x = y = z =
Vậy Max P =

1
.
3

6 khi x = y = z =

Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z £ 1 . Chứng minh rằng:

Bài 4.

1

x2 +

x

2

+ y2 +

1
y

+ z2 +

2

1
z2

³ 82

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:
æ 2 1
çx + 2
x
è

2

ö 2
æ
9ö
2
÷ (1 + 9 ) ³ ç x + ÷ Þ
è
xø
ø

Tương tự ta có:

y2 +

1
y

2

x2 +

1
x

2

³

1 æ
9ö
ç y + ÷ (2),
yø
82 è

³

1 æ
9ö
çx+ ÷
xø
82 è
z2 +

1
z

2

³

(1)
1 æ
9ö
çz+ ÷
zø
82 è

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:
1 é
1 æ 1 1 1 ö 80 æ 1 1 1 ö ù
ê( x + y + z ) + ç + + ÷ + ç + + ÷ ú
9 è x y z ø 9 è x y z øû
82 ë
ù
æ 1 1 1 ö 80
1 é2
9
³
ê ( x + y + z) ç + + ÷ + .
ú ³ 82 .
82 ê 3
è x y z ø 9 x + y + zú
ë
û
1
Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = .
3

P³

Bài 5.

æ 1 1 1 öù
1 é
ê( x + y + z ) + 9 ç + + ÷ ú =
82 ë
è x y z øû

Cho a, b, c ³ -

1
thoả a + b + c = 1 . Chứng minh:
4
(1)

(2)

7 < 4 a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 £ 21 .
HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: 1;1;1; 4a + 1; 4 b + 1; 4c + 1 Þ (2).
Chú ý: x + y + z £ x + y + z . Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = 0. Từ đó Þ (1)
Bài 6. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
4 1
2 3
, với x + y = 1
b) B = x + y , với + = 6
a) A = +
x 4y
x y
2

2

æ 2 ö æ 1 ö
HD: a) Chú ý: A = ç
÷ +ç
÷ .
è x ø ç2 y ÷
è
ø
2
1
Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x ;
; y;
ta được:
x
2 y
2

æ4 1 ö
25 æ
2
1 ö
£ ç x.
+ y.
÷ £ ( x + y) ç + ÷
4 ç
x
2 y÷
è x 4y ø
è
ø
4
1
25
4
1
Dấu "=" xảy ra Û x = ; y = . Vậy minA =
khi x = ; y = .
5
5
4
5
5
2

2

2 3 æ 2ö æ 3ö
b) Chú ý: + = ç
÷ +ç
÷ .
x y è xø ç y÷
è
ø
Áp dụng BĐT (B) với 4 số:

x;

y;

2
;
x

Trang 40

3
ta được:
y

Trần Sĩ Tùng

2

2

2
( 2 + 3)
æ2 3ö æ
2
3ö (
( x + y) ç + ÷ ³ ç x .
+ y.
.
÷ = 2 + 3) Þ x + y ³
ç
÷
x
yø
6
èx yø è

Dấu "=" xảy ra Û x =

Bài 7.

2 3 +3 2

6 3
Tìm GTLN của các biểu thức sau:

;y=

2 3+3 2
6 2

. Vậy minB =

(

a) A = x 1 + y + y 1 + x , với mọi x, y thoả x 2 + y 2 = 1 .
HD: a) Chú ý: x + y £ 2( x 2 + y 2 ) = 2 .
( x 2 + y 2 )(1 + y + 1 + x ) = x + y + 2 £

A£

Dấu "=" xảy ra Û x = y =
Bài 8.

2+ 2 .

2
.
2

Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

a) A = 7 - x + 2 + x , với –2 £ x £ 7

b) B = 6 x - 1 + 8 3 - x , với 1 £ x £ 3

x 2 y2
c) C = y - 2 x + 5 , với 36 x + 16 y = 9 d) D = 2 x - y - 2 , với
+
= 1.
4
9
5
HD: a) · A £ (12 + 12 )(7 - x + x + 2) = 3 2 . Dấu "=" xảy ra Û x = .
2
2

· A³

2

(7 - x ) + ( x + 2) = 3 . Dấu "=" xảy ra Û x = –2 hoặc x = 7.

Þ maxA = 3 2 khi x =
b)· B £

5
;
2

minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7.

(62 + 82 )( x - 1 + 3 - x ) = 10 2 . Dấu "=" xảy ra Û x =

43
.
25

· B ³ 6 ( x - 1) + (3 - x ) + 2 3 - x ³ 6 2 . Dấu "=" xảy ra Û x = 3.
Þ maxB = 10 2 khi x =

43
;
25

minB = 6 2 khi x = 3.

1
1
c) Chú ý: 36 x 2 + 16 y 2 = (6 x )2 + (4 y )2 . Từ đó: y - 2 x = .4 y - .6 x .
4
3
æ 1 1ö
1
1
5
.4 y - .6 x £ ç + ÷ 16 y 2 + 36 x 2 =
4
3
4
è 16 9 ø
5
5
15
25
Þ - £ y - 2x £ Þ
£ C = y - 2x + 5 £ .
4
4
4
4
15
2
9
25
2
9
Þ minC =
khi x = , y = - ;
maxC =
khi x = - , y =
.
4
5
20
4
5
20
x 2 y2
1
2
1
d) Chú ý:
+
=
(3 x )2 + (2 y )2 . Từ đó: 2 x - y = .3 x - .2 y .
4
9 36
3
2

(

Þ y - 2x =

(

)

)

æ4 1ö
2
1
.3 x - .2 y £ ç + ÷ 9 x 2 + 4 y 2 = 5
3
2
è9 4ø
Þ -5 £ 2 x - y £ 5 Þ -7 £ D = 2 x - y - 2 £ 3 .

(

Þ 2x - y =

8
9
Þ minD = –7 khi x = - , y = ;
5
5
Bài 9.

a)
Trang 41

2

2 + 3)
6

)

8
9
maxD = 3 khi x = , y = - .
5
5

.


Trần Sĩ Tùng

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT MỘT ẨN
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
Điều kiện
a>0
a<0
a=0

b³0
b<0

Kết quả tập nghiệm
æ
bö
S = ç -¥; - ÷
aø
è
æ b
ö
S = ç - ; +¥ ÷
è a
ø
S=Æ
S=R

2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi
lấy giao các tập nghiệm thu được.
3. Dấu của nhị thức bậc nhất
f(x) = ax + b (a ¹ 0)
æ
bö
x Î ç -¥; - ÷
a.f(x) < 0
aø
è
æ b
ö
a.f(x) > 0
x Î ç - ; +¥ ÷
è a
ø

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
Bài 1.

a)
c)
Bài 2.

a)

Giải các bất phương trình sau:
3 3 (2 x - 7)
2x +1
3
-2 x + >
b) 3 > x+
5
3
5
4
5( x - 1)
2( x + 1)
3( x + 1)
x -1
-1 <
d) 2 +
< 36
3
8
4
Giải và biện luận các bất phương trình sau:
m( x - m ) £ x - 1
b) mx + 6 > 2 x + 3m

c) (m + 1) x + m < 3m + 4

d) mx + 1 > m 2 + x

m( x - 2) x - m x + 1
+
>
f) 3 - mx < 2( x - m ) - (m + 1)2
6
3
2
Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
e)

a) m2 x + 4m - 3 < x + m 2

b) m 2 x + 1 ³ m + (3m - 2) x

c) mx - m 2 > mx - 4

d) 3 - mx < 2( x - m ) - (m + 1)2

Bài 4.

a)

Trang 42

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1.

a)

d)

g)
Bài 2.

a)
Bài 3.

a)

Giải các hệ bất phương trình sau:
ì 4x - 5
ì
ì4
15 x - 8
1
ï 7 < x +3
ï 3 - 12 x £ x + 2
ï8 x - 5 > 2
b) í
c) í
í
ï 3x + 8 > 2 x - 5
ï 4x - 3 < 2 - x
ï2(2 x - 3) > 5 x - 3
î
4
î 4
î 2
3
ìx
ì11 - x
ì
4
1
ï2 £ x + 3
ï15 x - 2 > 2 x + 3
ï 2 ³ 2x - 5
e) í
f) í
í 2 9 19
ï x- < +x
ï2 ( 3 x + 1) ³ x - 8
ï2 ( x - 4 ) < 3 x - 14
î 3
2
î
2
î
2
ì 3 x - 1 3( x - 2)
ì 2 x - 3 3x + 1
5 - 3x
-1 >
ï 4 ï 4 < 5
ï
ì3 x + 1 ³ 2 x + 7
8
2
i) í
h) í
í
î4 x + 3 > 2 x + 19
ï3 - 4 x - 1 > x - 1 - 4 - 5 x
ï3 x + 5 < 8 - x
ï
18
12
9
î
î
2
3
Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:
ì
ì
1
5
ï6 x + 7 > 4 x + 7
ï15 x - 2 > 2 x + 3
b) í
í 8x + 3
ï
ï2( x - 4) < 3 x - 14
< 2 x + 25
î 2
2
î
Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
2
ì
ì x + m -1 > 0
ì x -1 > 0
b) í
c) í x + 4m £ 2 mx + 1
í
î3 x + 2 > 2 x - 1
î3m - 2 - x > 0
îmx - 3 > 0

ì7 x - 2 ³ -4 x + 19
d) í
î 2 x - 3m + 2 < 0

ìmx - 1 > 0
e) í
î(3m - 2) x - m > 0

Bài 4.

a)

VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn
1. Bất phương trình tích
· Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1)
(trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
· Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1).
2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
P( x )
· Dạng:
> 0 (2)
(trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)
Q( x )
P( x )
· Cách giải: Lập bảng xét dấu của
. Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).
Q( x )
Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.
3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
· Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định
nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
ì g( x ) > 0
· Dạng 1:
f ( x ) < g( x ) Û í
î- g( x ) < f ( x ) < g( x )
Trang 43


· Dạng 2:

Trần Sĩ Tùng

é ì g( x ) < 0
ê í f ( x ) coù nghóa
êî
f ( x ) > g( x ) Û ê ì g( x ) ³ 0
ï
ê í é f ( x ) < - g( x )
ê ï ê f ( x ) > g( x )
ëîë

Chú ý: Với B > 0 ta có:

A < B Û -B < A < B ;

é A < -B
A >BÛê
.
ëA > B

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a) ( x + 1)( x - 1)(3 x - 6) > 0

d) 3 x (2 x + 7)(9 - 3 x ) ³ 0
e)
(2 x - 5)( x + 2)
a)
>0
b)
-4 x + 3
3x - 4
d)
>1
e)
x -2
-4
3
<
h)
g)
3x + 1 2 - x
b)
a) 3 x - 2 > 7

x 3 + 8 x 2 + 17 x + 10 < 0

f) x 3 + 6 x 2 + 11x + 6 > 0

x -3 x + 5
>
x +1 x - 2
2x - 5
³ -1
2- x

x - 3 1- 2x
<
x +5 x-3
2
5
f)
£
x -1 2x -1
2 x - 5 3x + 2
i)
<
3x + 2 2 x - 5

2 x2 + x
³ 1- x
1- 2x

5 x - 12 < 3
x +1
d) 3 x + 15 ³ 3
e) x - 1 >
2
h) 2 x + 1 £ x
g) 2 x - 5 £ x + 1
Bài 4. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
2x + m -1
mx - m + 1
a)
>0
b)
<0
x +1
x -1
HD: Giải và biện luận BPT dạng tích hoặc thương:
a x + b1 x
(a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) > 0 , 1
>0
a2 x + b2 x
– Đặt x1 = -

c) x 2 - x - 20 > 2( x - 11)

b) (2 x - 7)(4 - 5 x ) ³ 0

c)

c) 2x - 8 £ 7
x
f) x - 2 <
2
i) x - 2 > x + 1
c)

x - 1( x - m + 2) > 0

(hoặc < 0. ³ 0, £ 0)

b1
b
; x2 = - 2 . Tính x1 - x2 .
a1
a2

– Lập bảng xét dấu chung a1 .a2 , x1 - x2 .
– Từ bảng xét dấu, ta chia bài toán thành nhiều trường hợp. Trong mỗi trường hợp ta
a x + b1 x
xét dấu của (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) (hoặc 1
) nhờ qui tắc đan dấu.
a2 x + b2 x
é
æ 3-m
ö
; +¥ ÷
ê m < 3 : S = (-¥; -1) È ç
è 2
ø
ê
æ
3-m ö
a) ê m > 3 : S = ç -¥;
÷ È (-1; +¥)
ê
è
2 ø
ê m = 3 : S = R { - 1}
ë
é m < 3 : S = (1; +¥)
c) ê
ë m ³ 3 : S = (m - 2; +¥)
a)
Trang 44

é
æ m -1
ö
; +¥ ÷
ê m < 0 : S = (-¥;1) È ç
è m
ø
ê
æ m -1 ö
b) ê m > 0 : S = ç
;1 ÷
ê
è m
ø
ê m = 0 : S = (-¥;1)
ë

Trần Sĩ Tùng


III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Dấu của tam thức bậc hai

D<0
D=0
D>0

f(x) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0)
a.f(x) > 0, "x Î R
ì bü
a.f(x) > 0, "x Î R í- ý
î 2a þ
a.f(x) > 0, "x Î (–∞; x1) È (x2; +∞)
a.f(x) < 0, "x Î (x1; x2)

ìa > 0
Nhận xét: · ax 2 + bx + c > 0, "x Î R Û í
îD < 0
ìa < 0
· ax 2 + bx + c < 0, "x Î R Û í
îD < 0
2. Bất phương trình bậc hai một ẩn ax 2 + bx + c > 0 (hoặc ³ 0; < 0; £ 0)
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:

a) 3 x 2 - 2 x + 1

b) - x 2 + 4 x + 5

c) -4 x 2 + 12 x - 9

d) 3 x 2 - 2 x - 8

e) - x 2 + 2 x - 1

f) 2 x 2 - 7 x + 5

g) (3 x 2 - 10 x + 3)(4 x - 5)

h) (3 x 2 - 4 x )(2 x 2 - x - 1)

i)


(3 x 2 - x )(3 - x 2 )
4x2 + x - 3

a) 2 x 2 - 5 x + 2 < 0

b) -5 x 2 + 4 x + 12 < 0

c) 16 x 2 + 40 x + 25 > 0

d) -2 x 2 + 3 x - 7 ³ 0

e) 3 x 2 - 4 x + 4 ³ 0

f) x 2 - x - 6 £ 0

g)

-3 x 2 - x + 4

>0

h)

4 x2 + 3x - 1

x2 + 3x + 5
x2 + 5x + 7
Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

>0

i)

5x 2 + 3 x - 8
x2 - 7x + 6

<0

a) x 2 - mx + m + 3 > 0
b) (1 + m) x 2 - 2 mx + 2 m £ 0 c) mx 2 - 2 x + 4 > 0
HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau:
– Lập bảng xét dấu chung cho a và D.
– Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT.
Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau:
ì2 x 2 + 9 x + 7 > 0
ì2 x 2 + x - 6 > 0
ì-2 x 2 - 5 x + 4 < 0
ï
ï
ï
a) í 2
b) í 2
c) í 2
ïx + x - 6 < 0
ï3 x - 10 x + 3 ³ 0
ï- x - 3 x + 10 > 0
î
î
î
2
ìx + 4x + 3 ³ 0
ï
ì- x 2 + 4 x - 7 < 0
ì x2 + x + 5 < 0
ï
ï
d) í2 x 2 - x - 10 £ 0
e) í 2
f) í 2
ï2 x 2 - 5 x + 3 > 0
ï
ïx - 6x + 1 > 0
îx - 2x -1 ³ 0
î
î
g) -4 £

x2 - 2 x - 7
x2 + 1

£1

1 x2 - 2x - 2
h)
£
£1
13 x 2 - 5 x + 7
Trang 45

i) -1 <

10 x 2 - 3 x - 2
- x2 + 3x - 2

<1


Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai
Bài 1. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm

ii) vô nghiệm

a) (m - 5) x 2 - 4 mx + m - 2 = 0

b) (m - 2) x 2 + 2(2m - 3) x + 5m - 6 = 0

c) (3 - m ) x 2 - 2(m + 3) x + m + 2 = 0

d) (1 + m) x 2 - 2mx + 2 m = 0

e) (m - 2) x 2 - 4mx + 2 m - 6 = 0
f) (- m 2 + 2 m - 3) x 2 + 2(2 - 3m ) x - 3 = 0
Bài 2. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a) 3 x 2 + 2(m - 1) x + m + 4 > 0

b) x 2 + (m + 1) x + 2 m + 7 > 0

c) 2 x 2 + (m - 2) x - m + 4 > 0

d) mx 2 + (m - 1) x + m - 1 < 0

e) (m - 1) x 2 - 2(m + 1) x + 3(m - 2) > 0 f) 3(m + 6) x 2 - 3(m + 3) x + 2m - 3 > 3
Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) (m + 2) x 2 - 2(m - 1) x + 4 < 0

b) (m - 3) x 2 + (m + 2) x - 4 > 0

c) (m 2 + 2 m - 3) x 2 + 2(m - 1) x + 1 < 0

d) mx 2 + 2(m - 1) x + 4 ³ 0

e) (3 - m ) x 2 - 2(2m - 5) x - 2m + 5 > 0

f) mx 2 - 4(m + 1) x + m - 5 < 0

Bài 4.

a)

VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai
1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng
định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
éì f ( x ) ³ 0
C1 ì g( x ) ³ 0
C2 ê í
f ( x ) = g( x )
ï
· Dạng 1:
f ( x ) = g( x ) Û í é f ( x ) = g( x ) Û ê î
ï ê f ( x ) = - g( x ) ê ì f ( x ) < 0
îë
ê í f ( x ) = - g( x )
ëî
é f ( x ) = g( x )
· Dạng 2:
f ( x ) = g( x ) Û ê
ë f ( x ) = - g( x )
ì g( x ) > 0
· Dạng 3:
f ( x ) < g( x ) Û í
î- g( x ) < f ( x ) < g( x )
é ì g( x ) < 0
ê í f ( x ) coù nghóa
êî
· Dạng 4:
f ( x ) > g( x ) Û ê ì g( x ) ³ 0
ï
ê í é f ( x ) < - g( x )
ê ï ê f ( x ) > g( x )
ëîë
Chú ý:

· A = A Û A³0;

A = -A Û A £ 0

· Với B > 0 ta có:

A < B Û -B < A < B ;

· A + B = A + B Û AB ³ 0 ;
Trang 46

é A < -B
A >BÛê
.
ëA > B
A - B = A + B Û AB £ 0

Trần Sĩ Tùng


2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng
luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.
ì
ï g( x ) ³ 0
· Dạng 1:
f ( x ) = g( x ) Û í
2
ï f ( x ) = [ g( x )]
î
ì f ( x ) ³ 0 (hoaëc g( x ) ³ 0)
· Dạng 2:
f ( x ) = g( x ) Û í
î f ( x ) = g( x )
ìt = f ( x ), t ³ 0
ï
· Dạng 3:
a. f ( x ) + b. f ( x ) + c = 0 Û í 2
ïat + bt + c = 0
î
ìu = f ( x )
ï
f ( x ) ± g( x ) = h( x ) . Đặt í
; u, v ³ 0 đưa về hệ u, v.
ïv = g( x )
î

· Dạng 4:

ì f ( x) ³ 0
f ( x ) < g( x ) Û ï g( x ) > 0
í
ï f ( x ) < [ g( x )]2
î
é ì g( x ) < 0
êí f ( x) ³ 0
î
f ( x ) > g( x ) Û ê ì g( x ) ³ 0
êï
ê í f ( x ) > [ g( x )]2
î
ëï

· Dạng 5:

· Dạng 6:

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) x 2 - 5 x + 4 = x 2 + 6 x + 5

b) x 2 - 1 = x 2 - 2 x + 8

c) 2 - 3 x 2 - 6 - x 2 = 0

d) 2 x - x - 3 = 3

e) x 2 - 1 = 1 - x

f)

x2 - 1 + x + 1
=2
x ( x - 2)


a) 2 x 2 - 5 x - 3 < 0

b) x - 8 > x 2 + 3 x - 4

c) x 2 - 1 - 2 x < 0

d) x 2 + 4 x + 3 > x 2 - 4 x - 5

e) x - 3 - x + 1 < 2

f) x 2 - 3 x + 2 + x 2 > 2 x

x2 - 4x

2x - 5
+1 > 0
x -3

x-2

£1

h)

a)

2x - 3 = x - 3

b)

5 x + 10 = 8 - x

c) x - 2 x - 5 = 4

d)

x2 + 2 x + 4 = 2 - x

e)

3x 2 - 9 x + 1 = x - 2

f)

g)

3x + 7 - x + 1 = 2

h)

x2 + 9 - x 2 - 7 = 2

i)

g)

x2 + x + 2

i)

x2 - 5x + 6

³3

3x 2 - 9 x + 1 = x - 2
21 + x + 21 - x
21 + x - 21 - x

=

21
x

Bài 4. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

a)

3

x + 5 + 3 x + 6 = 3 2 x + 11

b)

3

x + 1 + 3 3 x + 1 = 3 x - 1 c) 3 1 + x + 3 1 - x = 2

x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0
Bài 5. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn)
d)

3

a)

x - 2 + 2x - 5 + x + 2 + 3 2x - 5 = 7 2

b)

x + 5 - 4 x +1 + x + 2 - 2 x +1 = 1
Trang 47


Trần Sĩ Tùng

2x - 2 2x -1 - 2 2x + 3 - 4 2x -1 + 3 2x + 8 - 6 2x -1 = 4
Bài 6. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)
c)

a) x 2 - 6 x + 9 = 4 x 2 - 6 x + 6

b) ( x + 4)( x + 1) - 3 x 2 + 5 x + 2 = 6

c) ( x - 3)2 + 3 x - 22 = x 2 - 3 x + 7
d) ( x + 1)( x + 2) = x 2 + 3 x - 4
Bài 7. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)
3x 2 + 5x + 8 - 3 x2 + 5x + 1 = 1

a)
c)
e)

3

4

b)

9 - x +1 + 3 7 + x +1 = 4

d)

4

47 - 2 x + 35 + 2 x = 4

f)

3

5 x + 7 - 3 5 x - 13 = 1

3

24 + x - 3 5 + x = 1
x 2 + 4356 + x
- x x 2 + 4356 - x 2 = 5
x


a)

x 2 + x - 12 < 8 - x

b)

x 2 - x - 12 < 7 - x

c)

- x 2 - 4 x + 21 < x + 3

d)

x 2 - 3 x - 10 > x - 2

e)

3 x 2 + 13 x + 4 ³ x - 2

f)

2x + 6x2 +1 > x +1

x + 3 - 7 - x > 2x - 8
h)

2 - x > 7 - x - -3 - 2 x i)

g)
a)

( x - 3)(8 - x ) + 26 > - x 2 + 11x

b) ( x + 5)( x - 2) + 3 x ( x + 3) > 0

c) ( x + 1)( x + 4) < 5 x 2 + 5 x + 28
a)

2x + 3 + x + 2 £ 1

d)

b)

c) ( x + 3) x 2 - 4 £ x 2 - 9

-2 x 2 - 15 x + 17
³0
x +3

d)

x2 - 4 x
£2
3- x

3x 2 + 5x + 7 - 3x 2 + 5x + 2 ³ 1

- x2 + x + 6
- x2 + x + 6
³
2x + 5
x+4

3

a) x + 2 £ x 2 + 8
a)

b)

3

3

2 x2 + 1 ³ 3x 2 - 1

Trang 48

c)

3

x +1 > x - 3

Trần Sĩ Tùng

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a3 + b3 + c 3 ³ a + b + c , với a, b, c > 0 và xyz = 1.
a+b+c a+b+c a+b+c
b)
+
+
³ 9 , với a, b, c > 0.
a
b
c
æ1 1 1ö
1
1
1
c)
+
+
³ 2 ç + + ÷ , với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, p nửa chu vi.
p-a p-b p-c
èa b cø
d) a b - 1 + b a - 1 £ ab , với a ³ 1, b ³ 1.
3

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3 + b3 + c3 ³ 3 a3b3c3 = 3 Þ 2(a3 + b3 + c3 ) ³ 6 (1)
3

Bài 2.

a)
b)
c)

a3 + 1 + 1 ³ 3 a3 Þ a3 + 2 ³ 3a (2). Tương tự: b3 + 2 ³ 3b (3), c3 + 2 ³ 3c (4).
Cộng các BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được đpcm.
æb aö æb cö æc aö
b) BĐT Û ç + ÷ + ç + ÷ + ç + ÷ ³ 6 . Dễ dàng chứng minh.
èa bø è c bø èa cø
1 1
4
1
1
4
4
c) Áp dụng BĐT: + ³
, ta được:
+
³
= .
x y x+y
p-a p-b p-a+ p-b c
1
1
4
1
1
4
Tương tự:
+
³ ;
+
³ . Cộng các BĐT Þ đpcm.
p-b p-c a p-c p-a b
a + ab - a ab
=
.
d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b - 1 = a . ab - a £
2
2
ab
Tương tự: b a - 1 £
. Cộng 2 BĐT ta được đpcm. Dấu "=" xảy ra Û a = b = 2.
2
Tìm GTNN của các biểu thức sau:
1
A= x+
, với x > 1.
x -1
4 1
5
B= +
, với x, y > 0 và x + y = .
x 4y
4
1 1
C = a + b + + , với a, b > 0 và a + b £ 1 .
a b

d) D = a3 + b3 + c3 , với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 3 .
1
HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = ( x - 1) +
+1 ³ 2 +1 = 3.
x -1
Dấu "=" xảy ra Û x = 2. Vậy minA = 3.
4
1
4
1
b) B = + 4 x +
+ 4 y - 5 ³ 2 .4 x + 2
.4 y - 5 = 5 .
x
4y
x
4y
1
. Vậy minB = 5.
4
1 1
4
4
1
3
3
c) Ta có + ³
Þ B ³ a+b+
= a+b+
+
³ 2+
³ 5.
a b a+b
a+b
a+b a+b
a+b
1
Dấu "=" xảy ra Û a = b = . Vậy minC = 5.
2

Dấu "=" xảy ra Û x = 1; y =

d) Áp dụng BĐT Cô–si: a3 + b3 + 1 ³ 3ab , b3 + c3 + 1 ³ 3bc , c3 + a3 + 1 ³ 3ca .

Þ 2(a3 + b3 + c3 ) + 3 ³ 3(ab + bc + ca) = 9 Þ a3 + b3 + c3 ³ 3 .
Trang 49


Trần Sĩ Tùng

Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = 1. Vậy minD = 3.
Bài 3. Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) A = a + 1 + b + 1 , với a, b ³ –1 và a + b = 1 .
1
b) B = x 2 (1 - 2 x ) , với 0 < x < .
2
1
c) C = ( x + 1)(1 - 2 x ) , với -1 < x < .
2
HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 1,1, a + 1, b + 1 ta được:
A = 1. a + 1 + 1. b + 1 £ (1 + 1)(a + 1 + b + 1) = 6 . Dấu "=" xảy ra Û a = b =

Þ maxA =

6.
3

æ x + x +1- 2x ö
1
.
b) Áp dụng BĐT Cô–si: B = x. x (1 - 2 x ) £ ç
÷ =
è
3
ø
27
1
1
. Vậy maxB =
.
3
27
2

1
1 æ 2x + 2 +1- 2x ö
9
c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = (2 x + 2)(1 - 2 x ) £ ç
÷ = .
2
2è
2
ø
8
1
9
Dấu "=" xảy ra Û x = - . Vậy maxC = .
4
8
Bài 4. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm:
2
ì
ì 2
a) í x + 4m £ 2 mx + 1
b) í x - 3 x - 4 £ 0
î3 x + 2 > 2 x - 1
î(m - 1) x - 2 ³ 0
ì
ì7 x - 2 ³ -4 x + 19
c) í
d) í 2 x + 1 > x - 2
2 x - 3m + 2 < 0
î
îm + x > 2
Bài 5. Tìm m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
2
ì
ì 2
b) í x + 10 x + 16 £ 0
a) ímx + 9 < 3 x + m
î4 x + 1 < - x + 6
îmx > 3m + 1
1
x2 - 5x + 6 x + 1
b)
³
x
x2 - 6 x - 7 x - 3
x2 + 5x + 6
2
1
2x -1
2
1
1
c)
³
d) +
£0
x x -1 x +1
x2 - x + 1 x + 1 x3 + 1
Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)

2x - 5

<

a) (m - 1) x 2 - 2(m + 3) x - m + 2 = 0
b) (m - 1) x 2 + 2(m - 3) x + m + 3 = 0
Bài 8. Tìm m để các biểu thức sau luôn không âm:
a) (3m + 1) x 2 - (3m + 1) x + m + 4
b) (m + 1) x 2 - 2(m - 1) x + 3m - 3
Bài 9. Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:
a) (m - 4) x 2 + (m + 1) x + 2m - 1
b) (m 2 + 4 m - 5) x 2 - 2(m - 1) x + 2
Bài 10. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a)

x 2 - 8 x + 20
mx 2 + 2(m + 1) x + 9m + 4

<0

b)

3x2 - 5x + 4
(m - 4) x 2 + (1 + m ) x + 2 m - 1

Trang 50

>0

1
.
2

Trần Sĩ Tùng


x 2 + mx - 1

<1

d) -4 <

2 x 2 + mx - 4

<6
2 x2 - 2 x + 3
- x2 + x - 1
Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có:
i) Một nghiệm
ii) Hai nghiệm phân biệt
iii) Bốn nghiệm phân biệt
c)

a) (m - 2) x 4 - 2(m + 1) x 2 + 2m - 1 = 0

b) (m + 3) x 4 - (2 m - 1) x 2 - 3 = 0

a) ( x + 1) 16 x + 17 = ( x + 1)(8 x - 23)
2x

b)

13 x

x - 4 x + 10

- x2 + 4x - 6 = 0

2

æ x ö
d) x + ç
÷ =1
è x -1 ø
2

+
=6
2 x2 - 5x + 3 2 x 2 + x + 3
c)

21
2

a) x 2 - 8 x + 12 = x 2 - 8 x + 12

b)

x + 3 - 4 x -1 + x + 8 - 6 x -1 = 1

c) 2 2 x - 1 - 1 = 3

d)

x + 14 x - 49 + x - 14 x - 49 = 14

e) x + 1 - x 2 = - 2(2 x 2 - 1)
a) x 2 - 4 x - 5 < 4 x - 17
d)

x2 - 5x + 4
2

x -4

£1

g) x 2 - 2 x - 3 - 2 > 2 x - 1
a) x - 2 x + 3 = 0

b) x - 1 + x + 2 < 3
e)

2x -1
2

x - 3x - 4

<

1
2

c) 2 x - 3 - 3 x + 1 £ x + 5
f) x - 6 > x 2 - 5 x + 9

h) 2 x + 1 < x - 2 + 3 x + 1
b)

2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 (2 x + 3)( x + 1) - 16

c)

x + 4 - 1- x = 1- 2x

d)

x + 1 + 4 - x + ( x + 1)(4 - x ) = 5

e)

4x -1 + 4x2 -1 = 1

f)

3x - 2 + x - 1 = 4 x - 9 + 2 3 x2 - 5x + 2

g) ( x + 5)(2 - x ) = 3 x 2 + 3 x

h) x ( x - 4) - x 2 + 4 x + ( x - 2)2 = 2

i) x 2 + x 2 + 11 = 31
k)
Bài 16. Giải các bất phương trình sau
a)
d)

- x 2 - 8 x - 12 > x + 4
3(4 x 2 - 9)
2

3x - 3

£ 2x + 3

b)

x + 9 - x = - x2 + 9 x + 9
5 x 2 + 61x < 4 x + 2

e) ( x - 3) x 2 + 4 £ x 2 - 9

Bài 17.

a)

Trang 51

2 - x + 4x - 3
³2
x
9x2 - 4
f)
£ 3x + 2
2
5x - 1

c)

Bdt của tran si tung

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Bdt của tran si tung

Similar to Bdt của tran si tung (20)

More from Cam huynh

More from Cam huynh (7)

Bdt của tran si tung