Béton Armé I
Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2
Département GCU
Cours de 3ème année
Quang Huy Nguyen
MCF-HDR, Dr....
2
Table des matières
• Chapitre 1: Introduction
• Chapitre 2: Propriétés du béton
• Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’ar...
3
Chapitre 1:
Introduction
1.1 Généralités
1.2 Historique
1.3 Eurocodes
1.4 Ouvrages de référence
©nguyenquanghuy2017
4Chapitre 1:
Introduction
1.1 Généralités
- Le béton est un mélange dans des proportions préétablies de liant (ciment), av...
5Chapitre 1:
Introduction
1.1 Généralités
- Avantages principaux:
 la liberté dans le choix des formes;
 le caractère mo...
6Chapitre 1:
Introduction
1.2 Historique
- 1824 J. Aspdin, anglais, invente le ciment Portland (brevet anglais). Ce liant ...
7Chapitre 1:
Introduction
1.2 Historique
Entre 1880 et 1940, on constate l’apparition des premières idées propres à la pré...
8Chapitre 1:
Introduction
1.3 Eurocodes
Liste des Eurocodes
EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures
EN 1991 Eu...
9Chapitre 1:
Introduction
EN 1990 Eurocode 0
Bases de calcul
EN 1991 Eurocode 1
Actions
EN 1992
Eurocode 2
Béton
EN 1993
E...
10Chapitre 1:
Introduction
1.4 Ouvrages de référence
 NF EN 1990 Eurocode 0: bases de calcul des structures
 NF EN 1991 ...
11
Chapitre 2: Propriétés des bétons
2.1 Généralités
2.2 Résistance en compression
2.2.1 Classes de résistance
2.2.2 Effet...
12Chapitre 2: Propriétés du béton
2.1 Généralités
Le béton hydraulique est un mélange de liant (ciment), d’eau et de
granu...
13Chapitre 2: Propriétés du béton
2.2 Résistance en compression
2.2.1 Classes de résistance
• L’EC2 définit la résistance ...
14Chapitre 2: Propriétés du béton
2.2.2 Effet de la durée du chargement sur la résistance
La résistance à la compression d...
15Chapitre 2: Propriétés du béton
2.2.3 Résistance moyenne du béton en compression à 28 jours, 𝑓𝑐𝑚
2.2.4 Résistance de cal...
16
2.3 Résistance à la traction
 Résistance moyenne 𝑓 𝑐𝑡𝑚
La résistance à la traction du béton à 28 jours, 𝑓 𝑐𝑡, est déte...
17
Détermination de la valeur de la résistance à la traction 𝑓 𝑐𝑡 de manière indirecte
• par essai de flexion pure d’une é...
18
 Résistance de calcul en traction 𝑓 𝑐𝑡𝑑
La résistance de calcul en traction est définie comme (EC2-1-1 § 3.1.6 (2)P)
a...
19
2.4 Module d’élasticité et coefficient de Poisson
Dans le domaine quasi linéaire (phase 1), la relation contraintes-déf...
20
2.4.2 Module d’élasticité « tangent » à l’origine
Pour évaluer la déformation à long terme, l’EC2 définie un module tan...
21
2.5 Effet du temps sur la résistance et le module d’élasticité
2.5.1 Développement de la résistance en compression 𝑓cm
...
22
Résistance de calcul: fcd ou fcd(t) ?
L’EC2 ne permet pas de retenir une résistance de calcul fcd plus élevée à un âge ...
23
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36
0
10
20
30
40
50
Age du béton [mois]
résistanceencompressionfcm
[MPa]
Chapitre 2: Pr...
24
2.5.2 Développement de la résistance en traction
EC2-1-1 § 3.1.2
La résistance caractéristique en traction pour t < 28 ...
25
2.6 Diagramme contraintes-déformations
On distingue deux sortes de diagrammes:
• L’un utilisé pour l’analyse structural...
26
 Analyse au second ordre des bâtiments (EC2-1-1 § 5.8.6 (3))
L’EC2 retient la loi contrainte déformation (3.14) mais o...
27
2.6.2 Diagramme pour le calcul des sections
L’EC 2 retient pour l’étude des sections, soumises à la flexion, des diagra...
28
 Diagramme bilinéaire (EC2-1-1 § 3.1.7 (2))
L’EC2 permet d’utiliser également des diagrammes bilinéaires dans lesquels...
29
2.7 Récapitulatif des caractéristiques de résistance et de déformation du béton
Classes de résistance du béton
Chapitre...
30
2.8 Déformations différées dans le temps: Fluage et Retrait
( )sh t
( )t ( )t

Reprise
Spécimen sans chargé Spécim...
31
2.8.1 Fluage (creep)
Le fluage du béton est défini comme étant l’augmentation graduelle dans le temps de sa déformation...
32
2.8.1.3 Fonction de fluage et coefficient de fluage
• Dans la plage de contrainte correspondant à l’ELS (𝜎𝑐 ≤0,45.fcm) ...
33
2.8.1.4 Principe de superposition
• les déformations relatives produites
par un incrément de contrainte
appliquée à n’i...
34
2.8.1.5 Modèle de prédiction du fluage de l’EC2
 Coefficient de fluage pour des contraintes de compression modérée (≤ ...
35
2.8.2 Retrait (shrinkage)
Le retrait du béton est défini comme une diminution de volume au cours de son durcissement in...
36
2.8.2.4 Modèle de prédiction du retrait de l’EC2 (EC2-1-1 §3.1.4(6))
Le retrait total εcs est dû au retrait εcd de dess...
37
2.9 Dilatation thermique (EC2-1-1 §3.1.3(5))
Comme c’est le cas pour la plupart des matériaux, le volume d’un élément e...
38
Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature
3.1 Généralités
3.2 Types d’acier
3.3 Différentes formes d’armature
3.3 Ca...
39Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature
3.1 Généralités
Les armatures classiques utilisées pour le béton armé sont ...
40
3.2 Types d’acier
On distingue quatre types d’acier pour armature, du moins au plus écroui :
1. Les aciers doux, sans t...
41
3.3 Différentes formes d’armature
 Les barres: les barres laminés à chaud sous forme de:
• ronds lisses bruts de lamin...
42
3.3 Caractéristiques mécaniques
3.3.1 Résistance à la traction
On caractérise la résistance à la traction des aciers au...
43
3.3.3 Ductilité
L’EC2 (Annexe C1) définit trois classes de ductilité pour les armatures:
• Aciers à ductilité normale A...
44
3.4 Diagramme contrainte-déformation conventionnel
L’EC2 adopte deux types de diagrammes contraintes-déformations pour ...
45
Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.1 Généralités
4.2 Modèles structuraux
4.2.1 Idéalisation de la str...
46Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.1 Généralités
 Le calcul de toute structure comprend deux étapes:
...
47Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.2 Modèles structuraux
Afin de réaliser l’analyse structurale, il es...
48Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.2.1 Idéalisation de la structure
 Poutres: on appelle poutre tout ...
49Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.2.2 Portée utile des poutres et des dalles dans les bâtiments (EC2-...
50Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
• Les dalles et poutres continues peuvent généralement être analysées...
51Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.2.4 Largeur participante des tables de compression (EC2-1-1 §5.3.2....
52Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.3 États limites
Les états limites sont des états au-delà desquels u...
53Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.3.2 États limites de service ELS
Les états limites de service défin...
54Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.4 Notions d’actions
L’EC0 distingue trois classes d’action, en fonc...
55Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.4.1 Valeurs caractéristiques des actions
La valeur caractéristique ...
56Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.5 Combinaisons d’actions
Qk,1 = valeur caractéristique de l’action ...
57Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
b- Combinaisons accidentelles (EC0 §6.4.3.3)
• Pour les situations de...
58Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.5.2 Sollicitations de calcul vis-à-vis des états limites de service...
59Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
©nguyenquanghuy2017
60Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.5.3 Valeurs caractéristiques des charges d’exploitation
©nguyenquan...
61Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
©nguyenquanghuy2017
62Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.6 Méthodes de calcul
L’analyse structurale peut être basée sur quat...
63Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.6.1 L’analyse linéaire élastique
• Le modèle doit suivre la théorie...
64Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
Article 5.5 de l’EC2
©nguyenquanghuy2017
65Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.6.3 L’analyse non linéaire
• La théorie non linéaire tient compte d...
66Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
4.6.3 L’analyse plastique
• Cette analyse se base sur la théorie plas...
67Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement
Règles simples pour mener une analyse plastique (EC2-1-1§5.6.2)
L’EC ...
68
Chapitre 5: Bases générales de la flexion
5.1 Généralités
5.2 Comportement d’une poutre menée à la rupture par flexion ...
69Chapitre 5: Bases générales de la flexion
5.1 Généralités
• Effets de flexion au sens large: les sollicitations produisa...
70
5.2 Comportement d’une poutre menée à la rupture par flexion simple
Considérons une poutre de section rectangulaire suf...
71Chapitre 5: Bases générales de la flexion
5.2.1 Section trop faiblement armée
• Dans ce cas le moment de fissuration 𝑀𝑟 ...
72
5.3 Équations fondamentales
5.3.1 Les conditions d’équilibre
• Équilibre des forces
• Équilibre des moments
où:
M et N ...
73
5.3.2 Les conditions de compatibilité
Les conditions de compatibilité s’écrivent:
Chapitre 5: Bases générales de la fle...
74
5.3.3 Les lois contrainte-déformation de l’EC2
avec
Chapitre 5: Bases générales de la flexion
 
  
 
   
 ...
75
5.4 Déformation d’une section à l’ELU: Règle de trois pivots de l’EC2
Pour les calculs à l’ELU, on suppose qu’un point ...
76
5.5 Domaine d’application pratique du calcul des sections à la rupture
• Pour un dimensionnement:
Étant donné des solli...
77
6.1 Généralités
6.2 Flexion simple à l’ELU
6.2.1 Hypothèses fondamentales
6.2.2 États de déformation à l’ELU
6.2.3 Cond...
78
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.1 Généralités
• Un élément est soumis à la flexion simple si les sollicitations se...
79
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.2 Flexion simple à l’ELU
6.2.1 Hypothèses fondamentales
• Les sections planes rest...
80
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.2.4 Limitation de la hauteur de la zone comprimée
• La capacité de rotation plasti...
81
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.3 Sections rectangulaires sans aciers comprimés: Dimensionnement à l’ELU
6.3.1 Not...
82
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.3.2 Diagramme rectangulaire simplifié pour le béton (EC2-1-1 §3.1.7(3))
L’EC2 adme...
83
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.3.3 Détermination des coefficients de remplissage et de centre de gravité
• Coeffi...
84
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
• Cette clause n’est pas très claire. Si le pivot est B  c’est évidence que «l’on p...
85
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
• Comparaison entre les armatures calculées avec le diagramme parabole-rectangle et ...
86
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.3.5 Relations de base
Conditions d’équilibre:
Compatibilité de déformations:
Relat...
87
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.3.6 Moments frontières 𝜇 𝐴𝐵 , 𝜇 𝐴𝐶 et 𝜇 𝑚𝑎𝑥
Si l’on veut connaître à l’avance le p...
88
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
Moments frontières pour différentes classes des bétons et d’aciers
≤C50 C55 C60 C70 ...
89
6.3.7 Dimensionnement de l’armature tendue A𝑠
1. On calcule le moment réduit 𝜇 𝐸𝑑 =
𝑀 𝐸𝑑
𝑏𝑑2 𝜂𝑓𝑐𝑑
avec
2. Déterminer la...
90
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
Exemple de dimensionnement des armatures longitudinales tendues
Données:
• Caractéri...
91
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
X: 0.2
Y: -24.33
[m]
Momentfléchissant[kN...
92
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
Section à mi-travée:
  

   
1
1 1 2 0.306u Ed

 


   su cu2
1
0....
93
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.3.8 Calcul du moment résistant MRd
Note: Dans ce qui suit, le diagramme à palier h...
94
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.3.9 Calcul des dimensions de la section b, h et l’armature As
Pour résoudre ce pro...
95
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.4 Sections rectangulaires avec armatures de compression
Lorsque la hauteur limite ...
96
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.4.1 Relations de base
Notations:
L’équilibre de forces:
L’équilibre de moment:
Com...
97
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.4.2 Calcul des quantités d’armatures tendues et comprimées (éventuelles)
La procéd...
98
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
Exemple de dimensionnement des armatures longitudinales tendues et comprimées
Donnée...
99
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
  


 2 2
1
1
1949mm²théorique u cd s su
s
su
bd f A
A
 


 

2
max
...
100
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.4.3 Calcul du moment résistant MRd
On procède de la manière suivante :
1. On déte...
101
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.4.4 Calcul de l’armature tendue dans le cas où les aciers comprimées sont connus
...
102
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.5 Sections en T sans aciers comprimés: Dimensionnement à l’ELU
6.5.1 Moment de ré...
103
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
• Si MEd > MTu  La table est insuffisante pour équilibrer à MEd. Une partie de la ...
104
Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU
6.6 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures des
sections r...
50MPackf 
50
0.8
400
50
1
200
ck
ck
f
f



 

 
0.8
1




w effb b
oui
non
f
Tu eff f 2cd
h
M b h f d
 
...
106
7.1 Généralités
7.2 Conditions d’environnement
7.3 Exigences de durabilité
7.4 Conditions d’enrobage
7.4.1 Condition s...
107
Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures
7.1 Généralités
• Une structure durable doit satisfaire aux exigences...
108Tableau 4.1 : Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement,
conformément à l'EN 206-1
Sous chape
d’é...
109
Béton soumis à
projections de sels
de déverglaçage
Bord de mer
Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures
©nguye...
110
Gel fort
Fondations
Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures
©nguyenquanghuy2017
111
7.3 Exigences de durabilité (EC2-1-1 §4.3)
• (1)P Pour atteindre la durée d'utilisation de projet requise pour la stru...
112
7.3 Conditions d’enrobage (EC2-1-1 §4.4.1)
• L'enrobage est la distance entre la surface de l'armature (épingles, étri...
113
7.3.1 Condition sur les exigences d’adhérence
Si la dimension nominale du plus gros granulat est supérieure à 32 mm, i...
114
Il est possible de réduire ou
d’augmenter la classe structurale. En
effet, l’EC2 laisse à chaque pays la
possibilité d...
115
7.4 Exemple: enrobage des armatures sur un pont mixte
XC3
XC4XC4, XF1
Tablier en zone de gel faible
Chape d’étanchéité...
116
• Classe structurale du paroi supérieur: 4 + 2 - 1 = 5  S5
• Classe structurale du paroi inférieur: 4 + 2 - 1 = 5  S...
117
• Enrobage minimal du paroi supérieur:
• Enrobage nominal du paroi supérieur:
avec assurance qualité avec mesure enrob...
118
Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures
8.1 Généralités
8.2 Espacement des armatures de béton a...
119
8.1 Généralités
• Les armatures dites « longitudinales » sont toujours disposées en lits horizontaux et en files verti...
120
• Dans le cas de groupement de n barres de même
diamètre ∅, la règle précédente s’applique, en prenant en
compte le di...
121
8.3 Ancrage des barres longitudinales
Les barres doivent être ancrées de manière à assurer une bonne transmission des ...
122
La rupture d’adhérence peut se produire :
1. par fissuration longitudinale du béton d’enrobage. La gaine de béton qui ...
Cours Béton Armé I _ Nguyen Quang Huy
Cours Béton Armé I _ Nguyen Quang Huy
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  1. 1. Béton Armé I Calcul des Structures BA selon l’Eurocode 2 Département GCU Cours de 3ème année Quang Huy Nguyen MCF-HDR, Dr.Ing. qnguyen@insa-rennes.frVersion 1.5 ©nguyenquanghuy2017
  2. 2. 2 Table des matières • Chapitre 1: Introduction • Chapitre 2: Propriétés du béton • Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature • Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement • Chapitre 5: Bases générales de la flexion • Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU • Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures • Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures ©nguyenquanghuy2017
  3. 3. 3 Chapitre 1: Introduction 1.1 Généralités 1.2 Historique 1.3 Eurocodes 1.4 Ouvrages de référence ©nguyenquanghuy2017
  4. 4. 4Chapitre 1: Introduction 1.1 Généralités - Le béton est un mélange dans des proportions préétablies de liant (ciment), avec des granulats (sable, gravier, pierrailles) et de l'eau. - On distingue trois catégories principales de béton selon son application structurale :  le béton non armé (construction de grands barrages massifs)  le béton armé  Le béton précontraint Répartition des constituants d’un béton courant Le béton armé résulte de l’idée d’associer un matériau économique résistant bien à la compression mais peu à la traction, le béton, avec des armatures en acier pour créer un matériau composite possédant des caractéristiques de résistance, de ductilité et de durabilité suffisantes pour réaliser des structures porteuses. ©nguyenquanghuy2017
  5. 5. 5Chapitre 1: Introduction 1.1 Généralités - Avantages principaux:  la liberté dans le choix des formes;  le caractère monolithique de ces structures : Les joints de dilatation sont espacés et le système possède, de par son hyperstaticité, une importante réserve de capacité portante;  la bonne durabilité;  la bonne résistance au feu;  la bonne résistance aux efforts accidentels;  l’économie réalisée grâce à l’utilisation de matières premières peu coûteuses (granulats, ciment et eau).  l‘économie d’entretien: les constructions en béton armé ne nécessitent aucun entretien tandis que les constructions métalliques ont besoins d’être peintes régulièrement. - Inconvénients  l’influence défavorable du poids propre élevé sur les structures de grandes portées et sur les fondations;  une isolation thermique faible, d’où la nécessité de prévoir des mesures de protection supplémentaires pour les parois extérieures des bâtiments;  la brutalité des accidents : les accidents qui surviennent d’un ouvrage en béton armé sont en général soudains ou brutaux, en général ces accidents sont dus à des erreurs de calculs ou de réalisations;  la difficulté de modification d’un ouvrage déjà réalisé : il est difficile de modifier un élément déjà réalisé. ©nguyenquanghuy2017
  6. 6. 6Chapitre 1: Introduction 1.2 Historique - 1824 J. Aspdin, anglais, invente le ciment Portland (brevet anglais). Ce liant hydraulique joue un rôle essentiel dans le béton ”moderne”. Entre 1850 et 1880, on assiste aux premiers développements du béton armé. Les recherches sont menées simultanément dans plusieurs pays, dont la France: - 1848 J.L. Lambot imagine d'associer des barres d'acier et du béton de ciment pour réaliser une barque (exposition et brevet en 1855). - 1849 J. Monier, un jardinier de Versailles, utilise un procédé analogue pour fabriquer des caisses pour fleurs. On lui attribue l'invention du BA qui a ensuite été exploité en Allemagne par l'entreprise MONIER BETON BRAU (brevet déposé en 1868). - 1852 F. Coignet immeuble en béton avec fers profilés enrobés (mémoire sur l’utilité des tirants de fer dans le béton, publié en 1861). Entre 1880 et 1910, on note les premières réalisations importantes ainsi que des théories et des essais: - 1892 F. Hennebique, E. Coignet structures monolithiques (planchers nervurés, poutres continues, ossatures). - 1899 S. Boussiron pont routier en arc. - 1910 P. Séjourne tablier d’un pont routier. - 1886 G. Wayss premières bases théoriques et applications. - 1893 S. de Mollins séries d’essais à Lausanne. - 1849W. Ritter cours ETH sur la méthode Hennebique. - 1902 E. Mörsch première théorie du béton armé, essais a Zurich (1901-1908) et Stuttgart (1916-1939). ©nguyenquanghuy2017
  7. 7. 7Chapitre 1: Introduction 1.2 Historique Entre 1880 et 1940, on constate l’apparition des premières idées propres à la précontrainte : - 1886 P. Jackson, 1888 W. Döhring, 1907 M. Koenen premiers brevets et essais aux USA et en Allemagne; sans succès, car les effets différés du béton annulaient la précontrainte. - 1919 W.Wettstein, 1923 R. Dill premières applications avec des aciers de précontrainte de très hautes nuances. - 1927 R. Färber dispositifs permettant le glissement des aciers de précontrainte lors de la mise en tension. - 1939 F. v. Emperger utilisation côte à côte d’armatures passives et actives (précontrainte partielle). Entre 1930 et 1950, on construit les premières réalisations en béton précontraint: - 1928 E. Freyssinet premier brevet, applications aux poteaux électriques en 1930. - 1934 F. Dischinger, 1937 U. Finsterwalder brevets pour la précontrainte extérieure (non adhérente), applications aux ponts routiers en 1937 et 1938. - 1938 K. Lenk H. Lütze après essais de grande échelle en 1935 et 1937, passage supérieur sur l’autoroute (l=33 m), suivi d’un pont auto-routier en 1941. - 1938 E. Hoyer banc de précontrainte (fils adhérents). - 1940 E. Freyssinet procédé de précontrainte par câbles (fils ancrés par cônes en béton). - 1945 E. Freyssinet six ponts sur la Marne (Luzancy, Esbly ...); - 1948 BBRV câbles composés de fils ancrés au moyen de boutons matés à froid, pont routier en 1950. - 1948 P.W. Abeles ponts routiers en précontrainte partielle. - 1949 Dywidag câbles avec barres à filets laminés. - 1949 Bau-Leonhardt câbles concentrés composés de torons. - 1949 F. Leonhardt pont routier continu sur plusieurs travées. - 1950 F. Leonhardt pont-rail continu sur plusieurs travées. - 1950 U. Finsterwalder premier pont construit par encorbellement. ©nguyenquanghuy2017
  8. 8. 8Chapitre 1: Introduction 1.3 Eurocodes Liste des Eurocodes EN 1990 Eurocode 0 : Bases de calcul des structures EN 1991 Eurocode 1 : Actions sur les structures EN 1992 Eurocode 2 : Calcul des structures en béton EN 1993 Eurocode 3 : Calcul des structures en acier EN 1994 Eurocode 4 : Calcul des structures mixtes acier-béton EN 1995 Eurocode 5 : Conception et calcul des structures en bois EN 1996 Eurocode 6 : Calcul des ouvrages en maçonnerie EN 1997 Eurocode 7 - Calcul géotechnique EN 1998 Eurocode 8 - Calcul des structures pour leur résistance aux séismes EN 1999 Eurocode 9 - Calcul des structures en aluminium ©nguyenquanghuy2017
  9. 9. 9Chapitre 1: Introduction EN 1990 Eurocode 0 Bases de calcul EN 1991 Eurocode 1 Actions EN 1992 Eurocode 2 Béton EN 1993 Eurocode 3 Acier EN 1994 Eurocode 4 Acier-béton EN 1995 Eurocode 5 Bois EN 1996 Eurocode 6 Maçonnerie EN 1999 Eurocode 9 Aluminium EN 1997 Eurocode 7 Géotechnique EN 1999 Eurocode 8 Séisme Sécurité structurale, aptitude au service, durabilité et robustesse Actions et charges sur les structures Conception, dimensionnement et dispositions constructives: règle de calcul pour différents matériaux Calcul géotechnique et sismique Lien entre les Eurocodes ©nguyenquanghuy2017
  10. 10. 10Chapitre 1: Introduction 1.4 Ouvrages de référence  NF EN 1990 Eurocode 0: bases de calcul des structures  NF EN 1991 Eurocode 1: Actions sur les structures  NF EN 1992 Eurocode 2: Calcul des structures en béton  CEB-FIP Model Code 1990: Design code  Béton armé, application de l’Eurocode 2. Ronan NICOT  Calcul des structures en béton. Jean-Marie Paillé  Pratique de l’Eurocode 2. Jean Roux  Le béton armé selon Eurocodes 2. Yannick Sieffert  Traité de béton armé selon l’Eurocode 2. Jean-Armand Calgaro ©nguyenquanghuy2017
  11. 11. 11 Chapitre 2: Propriétés des bétons 2.1 Généralités 2.2 Résistance en compression 2.2.1 Classes de résistance 2.2.2 Effet de la durée du chargement sur la résistance 2.2.3 Résistance moyenne du béton en compression à 28 jours 2.2.4 Résistance de calcul en compression 2.3 Résistance à la traction 2.4 Module d’élasticité et coefficient de Poisson 2.4.1 Module « sécant » de déformation instantanée 2.4.2 Module d’élasticité « tangent » à l’origine 2.4.3 Coefficient de Poisson 2.5 Effet du temps sur la résistance et le module d’élasticité 2.5.1 Développement de la résistance en compression 2.5.2 Développement de la résistance en traction 2.5.3 Développement du module d’élasticité 2.6 Diagramme contraintes-déformations 2.6.1 Diagramme pour l’analyse structurale 2.6.2 Diagramme pour le calcul des sections 2.7 Récapitulatif des caractéristiques de résistance et de déformation du béton 2.8 Déformation différées dans le temps: Fluage et Retrait 2.8.1 Fluage 2.8.2 Retrait 2.9 Dilatation thermique ©nguyenquanghuy2017
  12. 12. 12Chapitre 2: Propriétés du béton 2.1 Généralités Le béton hydraulique est un mélange de liant (ciment), d’eau et de granulat, dosé de façon à obtenir au moment de la mise en œuvre une consistance convenable, et, après durcissement, les qualités requises. Ces qualités sont les suivantes : • Résistance mécanique, essentiellement résistance à la compression simple. • Résistance aux agents agressifs, eau de mer, eau séléniteuse, acides, etc ... • Résistance au feu • Déformabilité, instantanée et surtout différée. • Ouvrabilité au moment de la mise en œuvre. • Certaines qualités spéciales, telles que la masse spécifique, aussi élevée que possible (béton lourd) ou aussi faible que possible (béton léger), une faible conductivité thermique, une bonne résistance à l’abrasion, une bonne étanchéité, etc ... • Les ouvrages en béton sont plus économiques à construire et à entretenir. Béton hydraulique: liant = ciment Béton bitumineux: liant = bitume ©nguyenquanghuy2017
  13. 13. 13Chapitre 2: Propriétés du béton 2.2 Résistance en compression 2.2.1 Classes de résistance • L’EC2 définit la résistance caractéristique en compression du béton comme la valeur de la résistance correspondant à une probabilité au plus égale à 5% de ne pas être atteint (p=5%). (EC2-1-1 §3.1.2. (1)P) • L’EC2 définit deux types de résistance : la résistance mesurée sur cylindres et la résistance mesurée sur cubes. • Les classes de résistance de l’EC2 sont basées sur la résistance caractéristique mesurée sur cylindre, fck, déterminée à 28 jours. (EC2-1-1 §3.1.2.(2)P) • L’EC2 limite son domaine d’application aux bétons de résistance caractéristique inférieure ou égale à 90 MPa. • Pour les ponts, l’EC2 recommande de retenir Les classes de résistance entre Cmin = C30/37 et Cmax = C70/85. Béton C25/30: fck= 25 MPa la résistance caractéristique à la compression sur cylindre; fck,cube =30 MPa la résistance à la compression sur cube. ©nguyenquanghuy2017
  14. 14. 14Chapitre 2: Propriétés du béton 2.2.2 Effet de la durée du chargement sur la résistance La résistance à la compression du béton dépend de la durée du chargement. A contrainte élevée, deux phénomènes antagonistes se produisent: • la résistance du béton augmente dans le temps du fait que la réaction d’hydratation du ciment se poursuit (durcissement avec le temps); • lorsque le béton est soumis à des contraintes de compression élevées (proche de la rupture), une micro- fissuration se produit et se propage lentement. Influence de la durée de chargement sur la résistance à la compression Résistance à la compression du béton soumis à des contraintes de longue durée  Pour un béton chargé à l’âge de 28 jours la résistance au chargement de longue durée correspond environ 80% de celle sous une charge de courte durée  La résistance aux chargements de longue durée dépend de l’âge du béton lors de l’application de la charge. ©nguyenquanghuy2017
  15. 15. 15Chapitre 2: Propriétés du béton 2.2.3 Résistance moyenne du béton en compression à 28 jours, 𝑓𝑐𝑚 2.2.4 Résistance de calcul en compression • La résistance de calcul en compression est définie comme (EC2-1-1 § 3.1.6 (1)P) où: 𝛾c est le coefficient généralement fixé à 1,5 sauf en accidentel où il est pris égal à 1,2; 𝛼cc est un coefficient (compris entre 0.8 et 1) tenant compte des effets à long terme sur la résistance en compression et des effets défavorables résultant de la manière dont la charge est appliqué. Note: la valeur de 𝛼cc à utiliser dans un pays donné peut être fournie dans son Annexe Nationale. La valeur recommandée par l’EC2 est 𝛼cc = 1 pour la partie Bâtiment et 𝛼cc = 0,85 pour la partie Ponts. La France reconduit 𝜶cc = 1 (Bâtiments & Ponts) dans son Annexe Nationale.    ck cd cc c f f    ck cd c f f  cm ck 8(MPa)f f ©nguyenquanghuy2017
  16. 16. 16 2.3 Résistance à la traction  Résistance moyenne 𝑓 𝑐𝑡𝑚 La résistance à la traction du béton à 28 jours, 𝑓 𝑐𝑡, est déterminée par des essais de traction directe. En l’absence des données, la résistance moyenne est donnée par: • Pour les béton de classe C12/15 à C50/60: 𝑓 𝑐𝑡𝑚 = 0,3 (𝑓 𝑐𝑘)2/3 • Pour les classes supérieures à C50/60: 𝑓 𝑐𝑡𝑚 = 2,12 ln(1 + 𝑓𝑐𝑚 /10)  Les valeurs caractéristiques de la résistance en traction sont (EC2-1-1 §3.1.2 (3)): • Valeur caractéristique intérieure: 𝑓𝑐𝑡𝑘,0,05 = 0,7 𝑓𝑐𝑡𝑚 (fractile 5%) • Valeur caractéristique supérieure: 𝑓𝑐𝑡𝑘,0,95 = 1,3 𝑓𝑐𝑡𝑚 (fractile 95%) (cette valeur n’est plus utilisée dans l’Eurocode) Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  17. 17. 17 Détermination de la valeur de la résistance à la traction 𝑓 𝑐𝑡 de manière indirecte • par essai de flexion pure d’une éprouvette prismatique à base carrée, non armée: • soit par essai de fendage diamétral d’une éprouvette cylindrique (« essai brésilien » ou « splitting ») : Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  18. 18. 18  Résistance de calcul en traction 𝑓 𝑐𝑡𝑑 La résistance de calcul en traction est définie comme (EC2-1-1 § 3.1.6 (2)P) avec 𝛼ct = 1 (valeur reconduite en Annexe nationale) et 𝛾c est le coefficient généralement fixé à 1,5 sauf en accidentel où il est pris égal à 1,2  Résistance à la traction en flexion 𝑓 𝑐𝑡𝑚,fl (EC2-1-1 § 3.1.1 (1)) Pour évaluer le moment provoquant la première fissure (à l’ELS), l’EC2 définit une résistance à la traction en flexion 𝑓 𝑐𝑡𝑚,fl : où h est la hauteur de l’élément exprimée en mm (h > 100 mm).    ctk, 0,05 ctd ct c f f             ctm,fl ctm ctmmax 1,6 ; 1000 h f f f Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  19. 19. 19 2.4 Module d’élasticité et coefficient de Poisson Dans le domaine quasi linéaire (phase 1), la relation contraintes-déformations se définie par un module d’élasticité 𝐸 𝑐 conformément à la loi de Hooke: 2.4.1 Module « sécant » de déformation instantanée  c c cE Pour une contrainte de courte durée d’application ( t<24h ) et au plus égale à 0,4𝑓𝑐𝑚, l’EC2 définie, pour les calculs de la déformation instantanée, un « module sécant » égal à:         0.3 cm 22000 (MPa) 10 cmf E Remarque: La valeur du module d’élasticité ne dépend pas uniquement de la classe du béton mais aussi de la nature des granulats. Il peut être corrigé par le facteur multiplicateur suivant: Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  20. 20. 20 2.4.2 Module d’élasticité « tangent » à l’origine Pour évaluer la déformation à long terme, l’EC2 définie un module tangent: 2.4.3 Coefficient de Poisson Le coefficient de Poisson est le rapport entre la déformation transversale relative et la déformation longitudinale relative : Il varie selon la résistance du béton, de 0,15 à 0,25. Vu sa faible influence, on lui attribue, dans les calculs, une valeur moyenne 𝑣=0,2. En BA, ce coefficient intervient surtout dans le calcul des dalles où il prend les valeurs (EC2 § 3.1.4 (4))  1,05c cmE E Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  21. 21. 21 2.5 Effet du temps sur la résistance et le module d’élasticité 2.5.1 Développement de la résistance en compression 𝑓cm EC2-1-1 § 3.1.2 Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  22. 22. 22 Résistance de calcul: fcd ou fcd(t) ? L’EC2 ne permet pas de retenir une résistance de calcul fcd plus élevée à un âge t > 28 jours: il limite donc fck(𝑡) à fck (EC2-1-1 § 3.1.2 (5)) Remarques: • La formule fck(t) = fcm(t) – 8 n’est valable que pour t < 28 jours. • On peut évaluer fcm(t) pour t > 28 jours, mais cette valeur n’est pas utilisée pour définir fck. La résistance fcm(t) n’est utilisable que pour les justifications des structures en non linéaire: flèches, rotules, etc. Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  23. 23. 23 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 0 10 20 30 40 50 Age du béton [mois] résistanceencompressionfcm [MPa] Chapitre 2: Propriétés du béton 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 X: 1 Y: 13 Age du béton [jour] résistanceencompressionfcm [MPa] X: 2 Y: 19.15 X: 3 Y: 22.73 X: 4 Y: 25.18 X: 5 Y: 27 Béton C30 Ciment classe N Exemple: évolution de la résistance en compression du béton C30 au cours du temps Observation: à deux jours après la prise le béton atteint 50% de la résistance en compression à 28 jours ©nguyenquanghuy2017
  24. 24. 24 2.5.2 Développement de la résistance en traction EC2-1-1 § 3.1.2 La résistance caractéristique en traction pour t < 28 jours est déterminée par: 2.5.3 Développement du module d’élasticité (EC2-1-1 § 3.1.3 (3)) Pour le module d’élasticité moyen à une âge différent de 28 jours, L’EC2 retient: Ecm(t) et fcm(t) sont les valeurs à l'âge t (jours) et Ecm et fcm les valeurs déterminées à 28 jours.       ctk, 0,05 ctm ctd ct ct c c ( ) 0.7 ( ) ( ) f t f t f t Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  25. 25. 25 2.6 Diagramme contraintes-déformations On distingue deux sortes de diagrammes: • L’un utilisé pour l’analyse structurale non-linéaire • L’autre pour le calcul des sections 2.6.1 Diagramme pour l’analyse structurale  calcul des rotules, des flèches, retrait Dans le cas d’analyses non linéaires pour le calcul des rotules, des flèches, retrait l’EC2 retient le diagramme contraintes-déformations défini par l’équation de la loi 𝜎𝑐 en fonction de la déformation relative et de fcm (EC2-1-1 § 3.1.5 (1)) : 𝜎𝑐 Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  26. 26. 26  Analyse au second ordre des bâtiments (EC2-1-1 § 5.8.6 (3)) L’EC2 retient la loi contrainte déformation (3.14) mais où l’on remplace dans l’expression de k la valeur de fcm par fcd et la pente Ecm par Ecd = Ecm /1,2  Analyse non linéaire des ponts (EC2-2 § 5.7) L’EC2 retient le diagramme contrainte-déformation à partir de l’expression (3.14) mais dans laquelle, pour la va leur de k, il y a lieu de remplacer fcm par 𝛾cf fck avec 𝛾cf = 1,1 𝛾𝑠 / 𝛾𝑐 (=1,1x1,15/1,5=0,85). Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  27. 27. 27 2.6.2 Diagramme pour le calcul des sections L’EC 2 retient pour l’étude des sections, soumises à la flexion, des diagrammes plus simples, du type parabolique ou bilinéaire.  Diagramme parabole-rectangle (EC2-1-1 § 3.1.7 (1)) Chapitre 2: Propriétés du béton Diagramme parabole-rectangle 1,5 ©nguyenquanghuy2017
  28. 28. 28  Diagramme bilinéaire (EC2-1-1 § 3.1.7 (2)) L’EC2 permet d’utiliser également des diagrammes bilinéaires dans lesquels la parabole est remplacée par une droite.  Cas du béton confiné (EC2-1-1 § 3.1.9(2)) 0 00c3 ck 0 00c3 ck cu3 cu2 1,75 pour le béton de classe C50/60 50 1,75 0,55 ( ) pour 50 40 f f            Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  29. 29. 29 2.7 Récapitulatif des caractéristiques de résistance et de déformation du béton Classes de résistance du béton Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  30. 30. 30 2.8 Déformations différées dans le temps: Fluage et Retrait ( )sh t ( )t ( )t  Reprise Spécimen sans chargé Spécimen chargé Spécimen déchargé sh déformation du retraitsh (âge du béton)t0t 1t 1t e = déformation élastique initiale f = déformation du fluage  (âge du béton)t (âge du béton)t 2t charge décharge élastique reprise fluage reprise sh    • On constate que la déformation d’une éprouvette de béton soumise à une contrainte de compression uniaxiale constante augmente au cours du temps  le fluage. • On constate également qu’une éprouvette non- chargée, subira également des déformations évoluant dans le temps liées à une diminution de volume  le retrait. La déformation dans le temps d’une éprouvette chargée axialement à l’âge t0 sous une contrainte de compression constante 𝜎0 en une somme de trois termes: • ε 𝑐(𝑡) est la déformation totale au temps 𝑡 • ε 𝑐𝑖(𝑡0, 𝜎0) est la déformation instantanée produite au temps 𝑡0 lors de l’application de la contrainte 𝜎0 • ε 𝑐𝑐(𝑡, 𝑡0, 𝜎0) est la déformation de fluage au temps 𝑡 • ε 𝑐𝑠(𝑡, 𝑡𝑠) est la déformation du retrait au temps t • 𝑡𝑠 étant du béton au commencement du retrait 0 0 0 0( ) ( , ) ( , , ) ( , )  c ci cc cs st t t t t t      Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  31. 31. 31 2.8.1 Fluage (creep) Le fluage du béton est défini comme étant l’augmentation graduelle dans le temps de sa déformation relative sous une contrainte appliquée. Lorsque cette contrainte est maintenue constante dans le temps, on parle de fluage intrinsèque. 2.8.1.1 Types de fluage • le fluage de base (basic creep) ; c’est un fluage qui se produit sans aucun échange d’humidité entre l’élément de structure chargé et l’air ambiant; • le fluage de dessiccation ; ce fluage peut être défini comme un fluage additionnel qui se produit lorsque le béton sous charge est soumis à des conditions de séchage. 2.8.1.2 Effets du fluage • Augmentation des flèches; • Relaxation des contraintes; • Résistance ultime. 2.8.1.3 Paramètres affectant le fluage • instant t considéré pour évaluer son effet; • âge du béton lors de la mise en charge t0; • rapport eau/ciment et, indirectement, la résistance du béton; • vitesse de durcissement du ciment; • température et l’humidité relative ambiantes; • niveau des sollicitations appliquées. Influence de l’intensité et de la durée du chargement sur le fluage Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  32. 32. 32 2.8.1.3 Fonction de fluage et coefficient de fluage • Dans la plage de contrainte correspondant à l’ELS (𝜎𝑐 ≤0,45.fcm) le béton se comporte comme un matériaux visco-élastique linéaire. La déformation de fluage est donc liée linéairement au niveau de contrainte. • La déformation de fluage à l’instant t pour une contrainte donnée et appliqué à t0: 𝜑 𝑡, 𝑡0 est fonction de l’humidité ambiante, de la classe du béton, du type du ciment et du rapport h0=2Ac/u où Ac représente l’aire de la section et u son périmètre (voir Annexe B de l’EC2-1-1 pour plus de détails) • La déformation totale dépendante de la contrainte: où: 𝐽(𝑡, 𝑡0) est la fonction de fluage (ou compliance) 𝐸 𝑐𝑚(𝑡) est le module d’élasticité du béton à l’âge correspondant au moment du chargement 𝑡0   0 0( , ) ( , ) oùc cc c t t t t E 𝜑 𝑡, 𝑡0 est le coefficient de fluage 𝐸𝑐 est le module tangent à 28 jours                   0 0 0 0 0 0 0 ( , )1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )c ci cc c c cm c t t t t t t t t J t t t E t E Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  33. 33. 33 2.8.1.4 Principe de superposition • les déformations relatives produites par un incrément de contrainte appliquée à n’importe quel instant ti ne sont pas affectées par les contraintes appliquées antérieurement ou postérieurement. • la déformation due à une contrainte 𝜎c(t) variant dans le temps en décomposant l’histoire des contraintes en petits incréments ∆𝜎c appliqués aux moments 𝜏i et de sommer leurs effets. On obtient alors une expression du type : Principe de superposition des déformations dues au fluage            0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( ) ( , )d ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) t n c c c c i c i it t t J t t t J t J t t t J t t Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  34. 34. 34 2.8.1.5 Modèle de prédiction du fluage de l’EC2  Coefficient de fluage pour des contraintes de compression modérée (≤ 0,45 fck) (Annexe B de l’EC2-1-1)  Coefficient de fluage pour des contraintes de compression plus fortes (EC2-1-1 §3.1.4(4)) Si la contrainte de compression dépasse 0,45 fck, l’EC 2 demande de retenir un fluage non linéaire grâce à la formule suivante : Abaque de l’EC2 c k 0 0 ck 0 ( ,t ) ( ,t )exp 1.5 0.45 f (t )                 Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  35. 35. 35 2.8.2 Retrait (shrinkage) Le retrait du béton est défini comme une diminution de volume au cours de son durcissement indépendamment de tout chargement. 2.8.2.1 Types de retrait • Le retrait plastique • Le retrait chimique • Le retrait thermique • Le retrait hydrique • Le retrait de carbonatation 2.8.2.2 Effets du retrait • Redistributions significatives des efforts internes; • Cause de fissuration; 2.8.2.3 Facteurs dont dépend le retrait • Le dosage en ciment; • Les rapports Eau/Ciment et Granulat/Ciment; • L’humidité relative du milieu RH; • La dimension des pièces. Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  36. 36. 36 2.8.2.4 Modèle de prédiction du retrait de l’EC2 (EC2-1-1 §3.1.4(6)) Le retrait total εcs est dû au retrait εcd de dessiccation du béton et au retrait εca provoqué par la réaction endogène du béton: • L’évolution de retrait de dessiccation: • La déformation due au retrait endogène: où: Note: La formule de εcd,0 est donnée dans l’Annexe B.2 de l’EC2-1-1 Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  37. 37. 37 2.9 Dilatation thermique (EC2-1-1 §3.1.3(5)) Comme c’est le cas pour la plupart des matériaux, le volume d’un élément en béton augmente avec la température. L’augmentation de la longueur ∆𝐿 d’un élément de longueur 𝐿 suite à une variation de température ∆𝑇 vaut: • Le coefficient de dilatation thermique 𝛼cT dépend de la composition du béton et de la température. Pour les besoins du calcul, lorsque la dilatation thermique n’a pas de conséquence majeure, ce coefficient est pris égal à 10x10-6 K-1. • Si la détermination précise de la dilatation thermique est nécessaire, et si le type de granulats est connu, le coefficient de dilatation thermique peut être déduit des valeurs mentionnées au tableau suivant:        . .cT cT cTL L T T Chapitre 2: Propriétés du béton ©nguyenquanghuy2017
  38. 38. 38 Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature 3.1 Généralités 3.2 Types d’acier 3.3 Différentes formes d’armature 3.3 Caractéristiques mécaniques 3.3.1 Résistance à la traction 3.3.2 Module d’élasticité, coefficient de Poisson et masse volumique 3.3.3 Ductilité 3.4 Diagramme contrainte-déformation conventionnel ©nguyenquanghuy2017
  39. 39. 39Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature 3.1 Généralités Les armatures classiques utilisées pour le béton armé sont caractérisées par:  leur type: – fils – barres – treillis soudés  leur géométrie: – les dimensions ( diamètre, ...) – l’état de surface.  leurs propriétés mécaniques: – la résistance, la limite d’élasticité – la ductilité – le comportement à la fatigue – le comportement à haute température  leur mode de fabrication: – aciers laminés à chaud – aciers étirés ou écrouis à froid – aciers subissant un traitement thermique (aciers trempés auto-revenu) ©nguyenquanghuy2017
  40. 40. 40 3.2 Types d’acier On distingue quatre types d’acier pour armature, du moins au plus écroui : 1. Les aciers doux, sans traitement thermique ayant une valeur caractéristique de la limite élastique garantie de 125 ou 235MPa. Ce sont les ronds lisses (noté ∅), qui ne sont plus utilisés que pour faire des crochets de levage en raison de leur très grande déformation à la rupture (allongement de 22%). 2. Les aciers laminés à chaud, naturellement durs, dit aciers à haute adhérence de type I. Ce type d’acier a une limite d’élasticité garantie de 400MPa et un allongement à la rupture de 14%. 3. Les aciers laminés à chaud et écrouis avec faible réduction de section (par traction-torsion), dits aciers à haute adhérence de type II. Ce type d’acier a une limite d’élasticité garantie de 500MPa et un allongement à la rupture de 12%. 4. Les aciers laminés à chaud par tréfilage (forte réduction de section), fortement écrouis, utilisés pour fabriquer les treillis soudés et fils sur bobines. Ce type d’acier a une limite d’élasticité garantie de 500MPa et un allongement à la rupture de 8%. Diagrammes contrainte-déformation d’essais de traction sur les différents types d’acier d’armature. Les quatre types d’acier ont le même comportement élastique, donc un même module de Young de Es = 200 000MPa. La déformation à la limite élastique est voisine de 0,2%, en fonction de la valeur de la limite d’élasticité. Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature ©nguyenquanghuy2017
  41. 41. 41 3.3 Différentes formes d’armature  Les barres: les barres laminés à chaud sous forme de: • ronds lisses bruts de laminage (le type « lisse » n’existe plus); • barres à haute adhérence à surface latérale munie de nervures obliques régulièrement espacées (barres HA) On peut trouver des barres de longueur variant de 6 m à 14 m pour les diamètres normalisés suivants (en mm): Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature  Les fils: Les armatures sous forme de fils sont stockées sur des bobines. Les fils servent principalement à la réalisation de treillis soudés, de cadres, d’épingles et d’étriers en usine de façonnage d’armatures, ou pour le ferraillage d’éléments préfabriqués tels que les prédalles BA ou BP. On trouve des diamètres de 6 à 12mm et se sont généralement des aciers à haute adhérence (fils HA).  Les treillis soudés: Les TS sont utilisés pour ferrailler rapidement des éléments plans, tels que les voiles, dalles et dallages. Ils sont disponibles en rouleaux ou en panneaux et sont composés d’aciers à haute adhérence. Barres HA ©nguyenquanghuy2017
  42. 42. 42 3.3 Caractéristiques mécaniques 3.3.1 Résistance à la traction On caractérise la résistance à la traction des aciers au moyen des trois grandeurs suivantes mesurées lors d’un essai de traction: • La résistance à la traction ft • La limite d’élasticité fy • L’allongement sous la charge maximale εu Lorsque l’on désigne les valeurs caractéristiques de ces propriétés on les note respectivement ftk, fyk et εuk. Rappel: La valeur caractéristique, fyk, de la limite d’élasticité correspond à une probabilité au plus égale à 5 % de ne pas être atteinte. Elle fait l’objet d’un contrôle permanent en usine (EC2-1-1 § 3.2.4 et Annexe C). 3.3.2 Module d’élasticité, coefficient de Poisson et masse volumique (EC2-1-1 § 3.2.7) Pour les barres d’armatures l’EC2 retient Es = 200 000 Mpa ; 𝜗s=0,3 et 𝜌s= 7850 kg/m3 Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature ©nguyenquanghuy2017
  43. 43. 43 3.3.3 Ductilité L’EC2 (Annexe C1) définit trois classes de ductilité pour les armatures: • Aciers à ductilité normale A: Ce sont les laminés à froid ou tréfilés ; • Les aciers à haute ductilité B: Ce sont les laminés à chaud; • Les aciers à très haute ductilité C Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature ©nguyenquanghuy2017
  44. 44. 44 3.4 Diagramme contrainte-déformation conventionnel L’EC2 adopte deux types de diagrammes contraintes-déformations pour les calculs (EC2-1-1 § 3.2.7 (2)) Remarque: La France utilise la valeur recommandée de l’EC2 pour 𝜀ud Chapitre 3: Propriétés de l’acier d’armature Classe fyd (Mpa) εud Es (MPa) Esh (MPa) fud (MPa) acier A 435 0,0225 200000 1111 458 acier B 435 0,045 200000 842 471 acier C 435 0,0675 200000 1034 503 ©nguyenquanghuy2017
  45. 45. 45 Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.1 Généralités 4.2 Modèles structuraux 4.2.1 Idéalisation de la structure 4.2.2 Portée utile des poutres et des dalles dans les bâtiments 4.2.3 Ecrêtement des moments sur appuis 4.2.4 Largeur participante des tables de compression 4.3 États limites 4.3.1 États limites ultimes ELU 4.3.2 États limites de service ELS 4.4 Notions d’actions 4.4.1 Valeurs caractéristiques des actions 4.4.2 Valeurs caractéristiques des actions permanentes Gk 4.4.3 Valeurs caractéristiques des actions variables Qk 4.4.4 Valeurs de calcul des actions variables Ad 4.5 Combinaisons d’actions 4.5.1 Sollicitations de calcul vis-à-vis des états limites ultimes 4.5.2 Sollicitations de calcul vis-à-vis des états limites de service 4.5.3 Valeurs caractéristiques des charges d’exploitation 4.6 Méthodes de calcul 4.6.1 L’analyse linéaire élastique 4.6.2 L’analyse linéaire élastique avec redistribution 4.6.3 L’analyse non linéaire 4.6.3 L’analyse plastique ©nguyenquanghuy2017
  46. 46. 46Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.1 Généralités  Le calcul de toute structure comprend deux étapes: • La première appelée analyse (A), consiste à déterminer les efforts intérieurs (moments, efforts normaux et efforts tranchants) qui sollicitent la structure. • La deuxième, appelée dimensionnement (D), peut avoir deux buts: déterminer les dimensions des éléments en béton ainsi que les quantités d’armatures nécessaires, ou vérifier si les dimensions définies préalablement sont suffisantes.  Lors de la conception d’une structure, ces différentes étapes sont souvent menées de manière récursive:  L’analyse d’une structure soumise à des charges statiques se base sur le développement des familles d’équations suivantes: • Les conditions d’équilibre. • Les relations de compatibilité des déformations. • Les lois de comportement des matériaux.  Le but final du dimensionnement sera de vérifier que la structure répond aux conditions liées aux Etats Limites Ultimes (ELU) et aux Etats Limites de Service (ELS). Analyse Dimensionnement Vérification ©nguyenquanghuy2017
  47. 47. 47Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.2 Modèles structuraux Afin de réaliser l’analyse structurale, il est nécessaire de transformer, à des fins de calcul, la structure réelle en un modèle mécanique idéalisé qui est analysé en utilisant les outils que procure la théorie de la résistance des matériaux. Cette opération est appelée modélisation. Tour Phare – La Défense (92) Modèle structural ©nguyenquanghuy2017
  48. 48. 48Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.2.1 Idéalisation de la structure  Poutres: on appelle poutre tout élément horizontal dont la longueur est supérieure à 3 fois de la hauteur.  Dalles: on appelle dalle tout élément horizontal dont la plus petite dimension est supérieure à 5 fois de l’épaisseur.  Poteaux: on appelle poteau tout élément vertical dont le plus grand côté de la section est inférieur à 4 fois son plus petit côté et dont la hauteur est supérieure à 3 fois sa plus grande dimension transversale.  Murs (voiles): on appelle mur tout élément vertical qui n’est pas un poteau : a > 4b avec b épaisseur du mur ; et h, la hauteur, est grande devant le petit côté a.  Poutre-cloison: on appelle poutre-cloison tout élément horizontal dont la longueur est inférieure à 3 fois de la hauteur. b h l  3l b x l y l  x y l l e e b a h    4 3 a b a h b a b h  4a b Poutre Dalle Poteau Mur   5x yl l e  3l h ©nguyenquanghuy2017
  49. 49. 49Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.2.2 Portée utile des poutres et des dalles dans les bâtiments (EC2-1-1 §5.3.2.2(1))  L’EC2 définit la portée utile des poutres et des dalles par leff : avec: ln la porté entre nus des appuis; a1 et a2 sont fonction de l’épaisseur t de l’appui et de sa nature ©nguyenquanghuy2017
  50. 50. 50Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement • Les dalles et poutres continues peuvent généralement être analysées en considérant que les appuis ne créent pas de gêne à la rotation. • Lorsqu'une poutre ou une dalle forme un ensemble monolithique avec ses appuis, il convient de prendre comme moment de calcul le moment au nu de l'appui. Il convient que le moment au nu de l'appui ne soit pas inférieur à 0,65 fois le moment d'encastrement. 4.2.3 Ecrêtement des moments sur appuis (EC2-1-1 §5.3.2.2(4)) Lorsqu'une poutre ou une dalle est continue au droit d'un appui supposé ne pas créer de gêne à la rotation (au droit d'un voile, par exemple), les moments sur appuis calculés avec des portées entre axes peuvent être minorés d’une valeur: Note: Cette règle est appliquée seulement dans le cas où la poutre ou la dalle ne forme pas un ensemble monolithique avec l’appui. ©nguyenquanghuy2017
  51. 51. 51Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.2.4 Largeur participante des tables de compression (EC2-1-1 §5.3.2.1) ©nguyenquanghuy2017
  52. 52. 52Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.3 États limites Les états limites sont des états au-delà desquels un ouvrage ne satisfait plus aux exigences de comportement du projet. On distingue deux groupes d’états limites: • États limites ultimes (ELU) qui concernent la sécurité des personnes, de la structure vis-à-vis de la ruine (effondrement). • États limites de service (ELS) qui concernent l’aptitude au service de la structure (qualité d’utilisation). 4.3.1 États limites ultimes ELU Ils correspondent au maximum de la capacité portante de l’ouvrage ou d’un de ses éléments par: • perte de stabilité d’une partie ou de l’ensemble de la structure assimilée à un corps rigide (perte d’équilibre statique). • rupture d’une ou de plusieurs sections critiques de la structure. • transformation de la structure en un mécanisme déformable. • instabilité de forme ou flambement. • détérioration par effet de fatigue Remarque: Il faut noter que le dimensionnement d’une structure ne doit pas nécessairement inclure la vérification explicite de tous ces états-limites. Seuls ceux qui sont réellement pertinents vis-à-vis du dimensionnement de l’ouvrage en question feront l’objet d’une vérification détaillée. A titre d’exemple, l’état-limite de fatigue ne sera généralement pas décisif lors du dimensionnement d’un bâtiment courant. ©nguyenquanghuy2017
  53. 53. 53Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.3.2 États limites de service ELS Les états limites de service définissent les conditions que doit satisfaire l’ouvrage pour que son usage normal et sa durabilité soient assurés. Dans le cas du béton armé le dépassement des ELS peut consister en: • flèches excessives qui nuisent à l’aspect de l’ouvrage ou à son utilisation effective ou encore provoquent des dommages aux finitions ou aux éléments structuraux. • une fissuration excessive du béton qui risque de nuire à l’aspect de l’ouvrage, ou à sa durabilité ou à son étanchéité. • l’endommagement du béton par une compression excessive, susceptible de réduire la durabilité. • des vibrations affectant le confort des usagers, entrainant des dommages à l’ouvrage ou à son contenu, ou encore limitant l’efficacité de son fonctionnement. Les exigences relatives aux états limites de services seront définies en fonction des conditions d’environnement ou classes d’exposition en ce qui concerne la durabilité des ouvrages, et de performances en ce qui concerne leur utilisation (pour plus de détail voir chapitre 7). ©nguyenquanghuy2017
  54. 54. 54Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.4 Notions d’actions L’EC0 distingue trois classes d’action, en fonction de leur variation dans le temps ou la fréquence de leur occurrence: • les actions permanentes (G) - les actions continues ou pratiquement continues dont l’intensité est constante ou très peu variable dans le temps: le poids propre des structures, les équipements fixes et les revêtements de chaussée, et les actions indirectes provoquées par un retrait et des tassements différentiels. • les actions variables (Q) - les actions dont l’intensité et la forme peut varier de manière importante dans le temps: charges d’exploitation des bâtiments, les actions du vent, les charges de neige ... • les actions accidentelles (A) - les actions qui ont une très faible probabilité d’occurrence (période de retour très longue) : le séisme, les explosions, les chocs des véhicules. Remarques:  Les actions dues à l’eau peuvent être considérées comme permanentes et/ou variables, selon la variation de leur grandeur dans le temps.  Certaines actions, telles que les actions sismiques (EC8) et les charges de la neige (EC1), peuvent être considérées comme accidentelles et/ou variables, en fonction du lieu.  Les valeurs à considérer pour les actions sont définies dans l’EC1. Les actions peuvent être classées selon: • leur origine, comme direct ou indirecte • leur variation spatiale, come fixe ou libre • leur nature et/ou la réponse structurale, comme statique ou dynamique. ©nguyenquanghuy2017
  55. 55. 55Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.4.1 Valeurs caractéristiques des actions La valeur caractéristique d’une action est sa principale valeur représentative, et doit être spécifiée comme valeur moyenne, valeur inférieure ou supérieure, ou nominale. Remarque: Conformément à l’EC0 et l’EC1 toutes les valeurs caractéristiques sont indicées avec la lettre « k » 4.4.2 Valeurs caractéristiques des actions permanentes Gk La valeur caractéristique d’une action permanente doit être déterminée de la façon suivante: • si la variabilité de G peut être considérée comme faible, une valeur unique de Gk peut être utilisée (une variabilité faible se situe dans la fourchette 0,05 à 0,10); • si la variabilité de G ne peut pas être considérée comme faible, deux valeurs doivent être utilisées: une valeur supérieure Gk,sup et une valeur inférieure Gk,inf. 4.4.3 Valeurs caractéristiques des actions variables Qk La valeur caractéristique d’une action variable doit correspondre soit: • à une valeur supérieure correspondant à une probabilité recherchée de ne pas être dépassée ou une valeur inférieure correspondant à une probabilité recherchée d’être atteinte, pendant une certaine durée de référence; • à une valeur nominale, qui peut être spécifiée dans des cas où il n’existe pas de distribution statistique connue. 4.4.4 Valeurs de calcul des actions variables Ad Il convient que la valeur de calcul Ad d’une action accidentelle soit spécifiée pour les projets individuels. ©nguyenquanghuy2017
  56. 56. 56Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.5 Combinaisons d’actions Qk,1 = valeur caractéristique de l’action variable dominante Qk,i = valeur caractéristique des actions variables d’accompagnement Gkj,sup = valeur caractéristique de l’action permanente défavorable (effet de même sens que celui de l’action variable dominante) Gkj,inf = valeur caractéristique de l’action permanente favorable (effet de sens contraire à celui de l’action variable dominante) 4.5.1 Sollicitations de calcul vis-à-vis des états limites ultimes (ELU) a- Combinaisons d’actions en situation durable ou transitoire (EC0 §6.4.3.2) Par simplification, pour les bâtiments, les combinaisons d’actions à considérer sont les suivantes: • Lorsque l’on ne considère que l’action variable la plus défavorable: • Lorsque l’on considère toutes les actions variables: ©nguyenquanghuy2017
  57. 57. 57Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement b- Combinaisons accidentelles (EC0 §6.4.3.3) • Pour les situations de projets accidentelles • Pour les situations de projet sismiques ©nguyenquanghuy2017
  58. 58. 58Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.5.2 Sollicitations de calcul vis-à-vis des états limites de service (ELS) (EC0 §6.5.3) a- Combinaison caractéristique: b- Combinaison fréquente: c- Combinaison quasi permanente: Par simplification, pour les bâtiments, la combinaisons d’action caractéristique peut s’écrire: • Lorsque l’on ne considère que l’action variable la plus défavorable: • Lorsque l’on considère toutes les actions variables: ©nguyenquanghuy2017
  59. 59. 59Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement ©nguyenquanghuy2017
  60. 60. 60Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.5.3 Valeurs caractéristiques des charges d’exploitation ©nguyenquanghuy2017
  61. 61. 61Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement ©nguyenquanghuy2017
  62. 62. 62Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.6 Méthodes de calcul L’analyse structurale peut être basée sur quatre modèles de comportements : • Comportement élastique : c’est l’analyse linéaire utilisable à l’ELU et à l’ELS ; • Comportement élastique avec redistribution limitée : utilisable à l’ELU; • Comportement plastique : utilisable à l’ELU; • Comportement non linéaire : c’est la méthode d’intégration des courbures, utilisable l’ELU et à l’ELS. Remarque: Des analyses complémentaires locales peuvent être nécessaires pour étudier des points particuliers comme:  Les appuis ou les nœuds de poutres ou poteaux-poutres  Les charges concentrées  Les zones d’ancrage On distingue quatre types d’analyse • L’analyse linéaire élastique; • L’analyse linéaire élastique avec redistribution; • L’analyse non linéaire; • L’analyse plastique. ©nguyenquanghuy2017
  63. 63. 63Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.6.1 L’analyse linéaire élastique • Le modèle doit suivre la théorie de l’élasticité linéaire, c’est-à-dire la résistance des matériaux (RDM). • On retient la rigidité initiale qui correspond à l’inertie non fissurée et, pour le module béton, la valeur Ecm et les diagrammes contrainte-déformation linéaires. 4.6.2 L’analyse linéaire élastique avec redistribution • Le modèle doit suivre la théorie de l’élasticité linéaire, mais avec des redistributions assez limitées des moments sur appuis. • La redistribution des moments sur appuis en travée peut également s’envisager sous réserve de s’assurer que les sections critiques ont une capacité de rotation suffisante pour supporter cette redistribution. • L’EC2 indique que cette méthode peut s’appliquer à l’ELU. M  2 ELU / 8M p L ELUp L L Diagramme de moment RDMDiagramme de moment redistribué ©nguyenquanghuy2017
  64. 64. 64Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement Article 5.5 de l’EC2 ©nguyenquanghuy2017
  65. 65. 65Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.6.3 L’analyse non linéaire • La théorie non linéaire tient compte du comportement non linéaire du matériau et/ou de la géométrie (analyse du second ordre) et ne s’applique qu’à l’ELU. • Ce type d’analyse requière généralement l’utilisation de méthodes de calcul numériques itératives • Principe:  On se base sur la RDM pour déterminer le moment M à chaque section. Par ce moment M, on évalue par un calcul classique de flexion à l’ELU les raccourcissements de la fibre comprimée et l’allongement des aciers.  On détermine la courbure 1 𝑟 = 𝜀 𝑐+𝜀 𝑠 𝑑 et la rotation par intégration des courbures 𝜃 = 1 𝑟 𝑑𝑥  On vérifie alors si θ < θlim Remarque: Cette méthode présente une certaine incohérence, car, en augmentant les sollicitations jusqu’à la rupture des sections critiques, le moment peuvent être considérablement redistribués par rapport à l’analyse élastique. Par ailleurs, elle donne toujours des résultats du coté de la sécurité. ©nguyenquanghuy2017
  66. 66. 66Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement 4.6.3 L’analyse plastique • Cette analyse se base sur la théorie plastique des éléments suffisamment ductiles pour qu’on envisage des rotules plastiques. • C’est une méthode exclusivement applicable à l’ELU. Notion de rotule plastique  La ligne moyenne d’une poutre soumise à un moment croissant prend une courbure:  La section la plus sollicitée résiste d’abord proportionnellement au moment extérieur M jusqu’à ce que ce moment atteigne la valeur du moment de plastification MP  Une fois atteint MP, cette section ne rompt pas, mais elle continue à se déformer tout en équilibrant MP  La poutre tourne autour de cette section, et ne se rompt qu’une fois atteint le point ou sa capacité de déformation est épuisée.  Cette section se comporte comme une rotule plastique. 2 2 1 d d v r x  P pMRotule plastique p2 p pv ©nguyenquanghuy2017
  67. 67. 67Chapitre 4: Analyse structurale et dimensionnement Règles simples pour mener une analyse plastique (EC2-1-1§5.6.2) L’EC 2 permet de mener une analyse plastique sans justifier la capacité des rotules plastiques, sous réserve de vérifier que les dispositions suivantes sont respectées: • aciers à haute ductilité, de classe B ou C; • 0,5 ≤ 𝑀𝑎/𝑀𝑡 ≤ 2 avec Ma le moment sur appui et Mt le moment en travée; • calcul à l’ELU en limitant la hauteur comprimée, soit x/d ≤ 0,25 si béton de classe ≤ C50 et x/d < 0,15 si béton de classe > C55. Capacité de rotation des rotules plastiques Pour vérifier les capacités de rotation des éléments pour les poutres ou les dalles portant dans une direction, l’EC2 admet, à titre de simplification, de considérer que la capacité de rotation de la rotule plastique intéresse une longueur de l’élément de l’ordre de 1,2 fois sa hauteur:  0.6 0 0.61 d    h c s u h x r d    ©nguyenquanghuy2017
  68. 68. 68 Chapitre 5: Bases générales de la flexion 5.1 Généralités 5.2 Comportement d’une poutre menée à la rupture par flexion simple 5.2.1 Section trop faiblement armée 5.2.2 Section trop fortement armée 5.3 Équations fondamentales 5.3.1 Les conditions d’équilibre 5.3.2 Les conditions de compatibilité 5.3.3 Les lois contrainte-déformation de l’EC2 5.4 Déformation d’une section à l’ELU: Règles de trois pivots de l’EC2 5.5 Domaine d’application pratique du calcul des sections à la rupture ©nguyenquanghuy2017
  69. 69. 69Chapitre 5: Bases générales de la flexion 5.1 Généralités • Effets de flexion au sens large: les sollicitations produisant uniquement des contraintes normales parallèles à l’axe longitudinal des pièces linéaires (poutres, poteaux, portiques …) • Les sollicitations considérées comprennent; l’effort normal 𝑁 𝑥 et les moments de flexion 𝑀 𝑦 et 𝑀 𝑧 ©nguyenquanghuy2017
  70. 70. 70 5.2 Comportement d’une poutre menée à la rupture par flexion simple Considérons une poutre de section rectangulaire suffisamment élancée simplement armée à la fibre inférieure et soumise à flexion simple Si la poutre est «bien dimensionnée», elle se comporte suivant quatre régimes au fur et à mesure de l’augmentation du moment de flexion: • Phase de comportement élastique • Phase de formation des fissures • Phase de stabilisation de la fissuration • Phase de plastification Chapitre 5: Bases générales de la flexion ©nguyenquanghuy2017
  71. 71. 71Chapitre 5: Bases générales de la flexion 5.2.1 Section trop faiblement armée • Dans ce cas le moment de fissuration 𝑀𝑟 > moment de plastification des armatures 𝑀𝑦. • L’effort de traction dans le béton qui provoque la fissure est supérieur à la résistance des armatures qui traverse celle-ci  rupture brutale. • Ce type de comportement fragile doit être absolument évité  condition de non-fragilité 𝑀𝑦 > 𝑀𝑟 • C’est la raison pour laquelle l’EC2 fixe les quantités minimales d’armatures (voir EC2-1-1 §7.3.2) 5.2.2 Section trop fortement armée • Dans ce cas la résistance de la zone de béton comprimée n’est pas suffisante pour que l’on puisse atteindre la plastification des armatures (𝑀𝑢 < 𝑀𝑦)  Rupture prématurée  comportement non ductile • L’armature n’est pas exploitée à sa résistance maximum  Cette situation est peu économique  il faut l’éviter • C’est la raison pour laquelle l’EC2 fixe des imposions sur la hauteur maximum de la zone de béton comprimé à l’ELU en flexion simple (EC2-1-1 §5.6.3(2)) Comportement d’une poutre BA trop faiblement armée Comportement d’une poutre BA trop fortement armée ©nguyenquanghuy2017
  72. 72. 72 5.3 Équations fondamentales 5.3.1 Les conditions d’équilibre • Équilibre des forces • Équilibre des moments où: M et N = efforts internes, calculés par rapport au centre de gravité G de la section homogène non fissurée Fs1 = résultante des efforts de traction dans les armatures tendues Fs2 = résultante des efforts de compression dans les armatures comprimées Fc = résultante des efforts de compression dans le béton Fsc = Fs2 + Fc z = distance entre Fsc et Fs1 a = distance du centre de gravité G au centre de gravité des armatures tendues Chapitre 5: Bases générales de la flexion   1sc sN F F 1sA 2sA 1sF c czd d scF 2sF cF zh G M N a axe neutre        1 ( )sc sM z F a N z F z a N ©nguyenquanghuy2017
  73. 73. 73 5.3.2 Les conditions de compatibilité Les conditions de compatibilité s’écrivent: Chapitre 5: Bases générales de la flexion         1 21 c s s r x d x x d Hypothèse de Euler-Bernoulli: Les sections planes restent plans après déformation. Compatibilité en flexion simple 1sA 2sA 1/r  1s  2s c x d d où: • 1/𝑟 courbure de la section droite; • 𝑥 la hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée; • 𝑑 la hauteur utile, distance du centre de gravité de 𝐴s1 à la fibre la plus comprimée; • 𝑑’ distance du centre de gravité de 𝐴s2 à la fibre de béton la plus comprimée; • 𝐴s1 l’aire des armatures tendues; • 𝐴s2 l’aire des armatures comprimées éventuelles ©nguyenquanghuy2017
  74. 74. 74 5.3.3 Les lois contrainte-déformation de l’EC2 avec Chapitre 5: Bases générales de la flexion                        2 2 2 2 2 2 si si c c c cd c c c c c cd c c cu f f Pour un béton de classe < C55   0 0 2 200 00 2 3.5c cuet                  si si s s s s yd s cd sh s yd s yd E f E 200000MPa 1111MPa pour les aciers type A 842MPa pour les aciers type B s sh sh E E E    Diagramme de calcul pour l’acier des armatures 𝜀 𝑦𝑑 sE sE avec Diagramme de calcul pour le béton (parabole-rectangle) 1,5 ©nguyenquanghuy2017
  75. 75. 75 5.4 Déformation d’une section à l’ELU: Règle de trois pivots de l’EC2 Pour les calculs à l’ELU, on suppose qu’un point de la droite de déformation dans la section est fixé. Ce point s’appelle le pivot. • Le pivot A correspond à un allongement de l’acier le plus tendu 𝜀𝑠 = 𝜀 𝑢𝑑 • Le pivot B correspond à un raccourcissement de la fibre de béton la plus comprimée 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐𝑢2 ou 𝜀𝑐𝑢3 • Le pivot C correspond à un raccourcissement de la fibre de béton à la distance de la fibre la plus comprimée 𝜀𝑐 = 𝜀𝑐2 ou 𝜀𝑐3 Chapitre 5: Bases générales de la flexion ©nguyenquanghuy2017
  76. 76. 76 5.5 Domaine d’application pratique du calcul des sections à la rupture • Pour un dimensionnement: Étant donné des sollicitations de calcul (NEd ; MEd), quelles sont les dimensions de la section et quelles sont les armatures nécessaires pour que la section puisse résister à ces efforts ? • Lors d’une vérification: Étant donné une section en béton armé dont les dimensions et les armatures sont définies, peut-elle résister à un effort normal NEd et un moment de flexion MEd ? Le principe de vérification consiste à déterminer les efforts internes résistants NRd, MRd correspondants aux états de déformations de la section à l’état-limite ultime afin de fixer les frontières d’un domaine à l’intérieur duquel on sait que la section n’a pas atteint la rupture. La vérification de la section à l’ELU consiste à vérifier les conditions suivantes: Chapitre 5: Bases générales de la flexion   Ed Rd Ed Rd N N M M ©nguyenquanghuy2017
  77. 77. 77 6.1 Généralités 6.2 Flexion simple à l’ELU 6.2.1 Hypothèses fondamentales 6.2.2 États de déformation à l’ELU 6.2.3 Condition de non fragilité: section minimale d’armatures 6.2.4 Limitation de la hauteur de la zone comprimée 6.2.5 Section maximale d’armatures 6.2.6 Sections rectangulaires, problèmes de dimensionnement 6.3 Sections rectangulaires sans aciers comprimés: Dimensionnement à l’ELU 6.3.1 Notations et coefficients adimensionnels 6.3.2 Diagramme rectangulaire simplifié pour le béton 6.3.3 Détermination des coefficients de remplissage et de centre de gravité 6.3.4 Commentaires sur la Clause 3.1.7(3) vis-à-vis l’utilisation du diagramme rectangulaire 6.3.5 Relations de base 6.3.6 Moments frontières 6.3.7 Dimensionnement de l’armature tendue 6.3.8 Calcul du moment résistant 6.3.9 Calcul des dimensions de la section et l’armature 6.4 Sections rectangulaires avec armatures de compression 6.4.1 Relations de base 6.4.2 Calcul des quantités des armatures tendues et comprimées (éventuelles) 6.4.3 Calcul du moment résistant 6.4.4 Calcul de l’armature tendue dans le cas où les aciers comprimées sont connus 6.5 Sections en T sans aciers comprimés: Dimensionnement à l’ELU 6.5.1 Moment de référence 6.5.2 Calcul des armatures 6.6 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures des sections rectangulaires ou en T à l’ELU Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU ©nguyenquanghuy2017
  78. 78. 78 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.1 Généralités • Un élément est soumis à la flexion simple si les sollicitations se réduisent à un moment fléchissant M et un effort tranchant V. • En BA on distingue:  l’action du moment M qui conduit au dimensionnement des armatures longitudinales  l’action de l’effort tranchant qui concerne le dimensionnement des armatures transversales • Quand on parle de la section en flexion simple en BA  les calculs relatifs au moment fléchissant M • Le choix entre ELU et ELS pour dimensionner la section soumise à la flexion dépend de la limite des ouvertures des fissures admise par l’Eurocode 2 Remarque: La valeur de 0,3 mm correspond à une fissuration préjudiciable au sens du BAEL91, celle de 0,2 mm correspond à une fissuration très préjudiciable et celle de 0,4 correspond à une fissuration peu préjudiciable. Limite des ouvertures des fissures 0,40 mm ou pas de limite fixée, sauf demande des DPM 0.3 mm 0.2 mm Dimensionnement ELU ELU (ou ELS) ELS Vérification ELS ELS (ou ELU) inutile ©nguyenquanghuy2017
  79. 79. 79 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.2 Flexion simple à l’ELU 6.2.1 Hypothèses fondamentales • Les sections planes restent planes • Il n’y pas de glissement à l’interface béton-armatures • Le béton tendu est négligé • L’aire des aciers est concentrée en son centre de gravité • Les contraintes se déduisent de la règle des trois pivots 6.2.2 États de déformation à l’ELU 6.2.3 Condition de non fragilité: section minimale d’armatures (EC2-1-1 §9.2.1.1(1)) • Lorsque la quantité d’armature dans une section en béton armé est très faible, on risque de se trouver dans la situation où le moment de flexion nécessaire pour provoquer la fissuration est supérieur au moment résistant ultime de la section  comportement « fragile » à éviter. • Pour cela, l’EC2 fixe une quantité minimale d’armature tendue à prévoir dans une poutre: Le diagramme des déformations passe: • soit par le pivot A • soit par le pivot B mais pas par le pivot C car ceci est en contradiction avec les hypothèse de flexion simple A B h  2cu 0ud 1% yd 1 2 3 4 5 traction compression  2c 2' ©nguyenquanghuy2017
  80. 80. 80 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.2.4 Limitation de la hauteur de la zone comprimée • La capacité de rotation plastique d’un élément en béton armé soumis à un moment de flexion simple dépend essentiellement de l’allongement plastique de l’armature tendue à la rupture dans la section critique. • Dans le cas d’une section fortement armée, cette capacité de rotation diminue de manière importante. • La diminution de capacité d’allongement de l’armature s’accompagne d’une augmentation de la hauteur de la zone comprimée. En effet, dans de telles sections, l’aire de béton nécessaire pour équilibrer l’effort de traction dans les armatures tendues devient importante. • Afin de garantir une ductilité suffisante des éléments de la structure à l’ELU (comportement plastique), l’EC2 définit les limites suivantes (EC2-1-1 §5.6.3(2)):  𝑥 𝑢/𝑑 ≤ 0,45 pour les béton de classe de résistance ≤ C50/60  𝑥 𝑢/𝑑 ≤ 0,35 pour les béton de classe de résistance ≥ C55/67 6.2.5 Section maximale d’armatures (EC2-1-1 §9.2.1.1) L’EC2 impose que la section des armatures tendues et comprimées dans une poutre ne doivent pas dépasser 4% de l’aire de la section en béton, hors zones de recouvrement: 6.2.6 Sections rectangulaires, problèmes de dimensionnement • Quelle est l’armature As à prévoir dans une section dont les dimensions sont fixées pour obtenir le moment résistant souhaité. • Quel est le moment résistant MRd d’une section en béton armée dont les dimensions et l’armature sont fixées. • Quelles sont les dimensions b, h et l’armature As à donner à la section pour obtenir un moment résistant souhaité. d ux cu su ,max 0,04s cA A ©nguyenquanghuy2017
  81. 81. 81 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.3 Sections rectangulaires sans aciers comprimés: Dimensionnement à l’ELU 6.3.1 Notations et coefficients adimensionnels • 𝑥 𝑢 = hauteur de l’axe neutre à partir de la fibre la plus comprimée • 𝑓 𝑐𝑑 = 𝑓𝑐𝑘/1,5 résistance de calcul pour un béton de classe 𝑓 𝑐𝑘 • 𝑓 𝑦𝑑 = 𝑓𝑦𝑘/1,15 résistance de calcul pour un acier de limite élastique 𝑓 𝑦𝑘 • 𝑀 𝐸𝑑 = moment sollicitant à l’ELU • 𝑀 𝑅𝑑 = moment résistant à l’ELU • 𝐹 𝑐 = résultante des efforts de compression dans la zone de béton comprimé • 𝐹 𝑐0 = résultante des efforts de compression sous une contrainte uniforme égale à 𝑓 𝑐𝑑 • Hauteur de la zone comprimée réduite 𝛼 𝑢 = 𝑥 𝑢/𝑑 • Pourcentage mécanique d’armature 𝜔 = 𝐴 𝑠 𝑏𝑑 𝑓 𝑦𝑑 𝜂𝑓 𝑐𝑑 • Moment réduit 𝜇 𝐸𝑑 = 𝑀 𝐸𝑑 𝑏𝑑2 𝜂𝑓𝑐𝑑 • 𝜆: coefficient de hauteur utile • 𝜂: coefficient de résistance effective ©nguyenquanghuy2017
  82. 82. 82 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.3.2 Diagramme rectangulaire simplifié pour le béton (EC2-1-1 §3.1.7(3)) L’EC2 admet l’emploi d’un diagramme rectangle simplifié à la place du diagramme parabole-rectangle. Le coefficient λ, définissant la hauteur utile de la zone comprimée, et le coefficient η, définissant la résistance effective, valent : d ux cu su c B y A.N. c 2c  2cu cdf y c y  cdf  uxzone comprimée déformations Contraintes parabole-rectangle Contraintes rectangulaire simplifiée c cdf y  3c  3cu Contraintes bilinéaire 𝜆 ©nguyenquanghuy2017
  83. 83. 83 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.3.3 Détermination des coefficients de remplissage et de centre de gravité • Coefficient de remplissage 𝜓 = 𝐹𝑐/𝐹𝑐0 • Coefficient de centre de gravité 𝛿 𝐺, le coefficient qui fixe la distance 𝛿 𝐺 𝑥 𝑢 de 𝐹 𝑐 à la fibre la plus comprimée                                                  2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 4 pour : 3 & 3 4 3 2 23 pour : & 3 4 3 cu cu c cu cu c G c c c cu cu c cucu c cu c G cu cu cu c • si le pivot est A, 𝜓 et 𝛿 𝐺 dépendent de 𝛼 𝑢 • si le pivot est B et pour le béton ≤ C50 on a 𝜀 𝑐2=2‰, et 𝜀 𝑐𝑢 = 3,5‰  𝜓 = 0,81 et 𝛿 𝐺 = 0,416  On peut substituer au diagramme parabole-rectangle un diagramme rectangulaire simplifié Béton de classe ≤ C50: d u ux d   2cu c A.N. zone comprimée  cu cdf G ux cz b   2cu c  cu cdf G ux cz cdf 0.5 ux  0c cF F 0c u cdF b x f  0c cF F 2cas 1: cu c  2cas 2: cu c  ©nguyenquanghuy2017
  84. 84. 84 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU • Cette clause n’est pas très claire. Si le pivot est B  c’est évidence que «l’on peut admettre un diagramme rectangulaire… » • Peut-on le faire dans le cas du pivot A ? 6.3.4 Commentaires sur la Clause 3.1.7(3) vis-à-vis l’utilisation du diagramme rectangulaire simplifié  G G  cu     0.8 0.4G  Avec le diagramme rectangulaire on a pour les béton ≤C50 ©nguyenquanghuy2017
  85. 85. 85 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU • Comparaison entre les armatures calculées avec le diagramme parabole-rectangle et le diagramme rectangulaire 𝑤 = 𝐴 𝑠 𝑏𝑑 𝑓 𝑦𝑑 𝑓𝑐𝑑 𝜇 𝐸𝑑 = 𝑀 𝐸𝑑 𝑏𝑑2 𝑓 𝑐𝑑 Conclusion: dans tous les cas de pivot, on peut substituer au diagramme parabole-rectangle un diagramme rectangulaire. On utilise désormais le diagramme rectangulaire pour le calcul de section 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 Pourcentage mécanique d'armature Momentrésistanceréduit Diagramme parabole-rectangle Diagramme rectangulaire AB PivotB max ©nguyenquanghuy2017
  86. 86. 86 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.3.5 Relations de base Conditions d’équilibre: Compatibilité de déformations: Relation contrainte-déformation: (1 ) 2 su u yd Ed u s c Ed s c c uc F F M F z F f z                    u cu u s cu u cu suu x d x          d u ux d su A.N. déformations  ux   0.5c uz d x  c u cdF x b f s s suF A  cdfcu zone comprimée b Ed M sA si ( ) sinon su s su su yd su yd sh su yd E f E             𝜀 𝑦𝑑 sE sE ©nguyenquanghuy2017
  87. 87. 87 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.3.6 Moments frontières 𝜇 𝐴𝐵 , 𝜇 𝐴𝐶 et 𝜇 𝑚𝑎𝑥 Si l’on veut connaître à l’avance le pivot, il faut calculer le moment de flexion MAB au centre de gravité de l’armature tendue correspondant à un diagramme de déformation passant à la fois par le pivot A et le pivot B.       2 2 cu AB cu ud 2 1 2 AB AB AB AB cd M bd f                    2 2 c AC c ud 1 2AC AC AB            ABd A B h  2cu ud  2c C ACd d       max max 0.45 pour f 50MPa 0.35 pour f 50MPa ck ck maxd EC2-1-1 §5.6.3(2) max max max1 2            Note: Il faut que 𝜇Ed ≥ 𝜇 𝐴𝐶 sinon la dimension de la section béton est mal pré-dimensionnée. ©nguyenquanghuy2017
  88. 88. 88 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU Moments frontières pour différentes classes des bétons et d’aciers ≤C50 C55 C60 C70 C80 C90 3.5 3.1 2.9 2.7 2.6 2.6 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 acier A acier B acier C acier A 0.1346 0.1211 0.1142 0.1071 0.1036 0.1036 acier B 0.0722 0.0644 0.0605 0.0566 0.0546 0.0546 acier C 0.0493 0.0439 0.0412 0.0385 0.0371 0.0371 acier A 0.0816 0.0891 0.0927 0.0964 0.1000 0.1036 acier B 0.0426 0.0466 0.0486 0.0506 0.0526 0.0546 acier C 0.0288 0.0316 0.0330 0.0343 0.0357 0.0371 acier A 0.1019 0.0922 0.0872 0.0820 0.0794 0.0794 acier B 0.0561 0.0502 0.0473 0.0443 0.0427 0.0427 acier C 0.0387 0.0345 0.0324 0.0303 0.0292 0.0292 acier A 0.0632 0.0687 0.0714 0.0741 0.0768 0.0794 acier B 0.0335 0.0366 0.0381 0.0397 0.0412 0.0427 acier C 0.0228 0.0249 0.0260 0.0271 0.0282 0.0292 0.2952µmax 0.2408 µAB µAC Classe εcu2 (‰) εc2 (‰) αAC 22.5 45 67.5 εud (‰) αAB ©nguyenquanghuy2017
  89. 89. 89 6.3.7 Dimensionnement de l’armature tendue A𝑠 1. On calcule le moment réduit 𝜇 𝐸𝑑 = 𝑀 𝐸𝑑 𝑏𝑑2 𝜂𝑓𝑐𝑑 avec 2. Déterminer la position de l’axe neutre: 𝛼 𝑢 3. On calcule la déformation de l’armature 𝜀𝑠𝑢 et en déduit la contrainte 𝜎𝑠𝑢 en utilisant le diagramme de calcul des aciers 4. On calcule la section d’armature nécessaire Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU               1 (1 ) 1 1 2 2Ed u u u Ed (1 0.5 ) Ed s u su M A d     Ed AB su ud Ed AB su cu2 si pivot A 1 si pivot B u u                    Classe fyd (Mpa) εud Es (MPa) Esh (MPa) fud Mpa) acier A 435 0,0225 200000 1111 458 acier B 435 0,045 200000 842 471 acier C 435 0,0675 200000 1034 503 s udyd ydf s sE shE Diagramme à palier horizontal Diagramme à palier incliné su suudf En fonction du diagramme de calcul des aciers choisi (diagramme à palier horizontal ou incliné), on détermine 𝜎𝑠𝑢 correspondant à 𝜀𝑠𝑢 Remarque: il convient de vérifier que 𝜇 𝐸𝑑≤𝜇 𝑚𝑎𝑥 (voir 6.2.6). Dans le cas contraire il faut augmenter les dimensions de la section béton, la classe du béton ou ajouter des armatures en compression. ©nguyenquanghuy2017
  90. 90. 90 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU Exemple de dimensionnement des armatures longitudinales tendues Données: • Caractéristiques mécaniques: béton C35, acier B500B • Chargements appliqués: G = 16,5 kN/m et Q = 13,75 kN/m • La poutre forme une construction monolithique avec ses appuis. Question: Dimensionner les armatures longitudinales? Calcul préliminaire: o Combinaison fondamentale des actions à l’ELU: o Portée utile: o Hauteur utile: o Béton C35: o Acier B500B:   Ed 1.35 1.5 42,9kN/mp G Q    eff 1 2 5,5mnuL L a a  0.9 360mmd h       cd cu2 35 23,33 MPa; 0.0035 ; 0.8; 1 1,5 f     yd ud 500 435 MPa; 0.045; 200000 MPa; 842 MPa 1,15 s shf E E ©nguyenquanghuy2017
  91. 91. 91 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 X: 0.2 Y: -24.33 [m] Momentfléchissant[kNm] X: 0.2 Y: 63.52 X: 0.55 Y: 0 X: 5.3 Y: 63.52 X: 3.16 Y: 162.2 X: 2.273 Y: 162.1 X: 2.75 Y: 162.2 Moment fléchissant RdM Moment fléchissant RdM décalé: al = 1.125d Moment fléchissant résultant l'encastrement partiel Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU t,max 162.2 kNmM    a t,max0.15 24.3 kNmM M eff0.1L ©nguyenquanghuy2017
  92. 92. 92 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU Section à mi-travée:         1 1 1 2 0.306u Ed         su cu2 1 0.008 0.002175 ydu u s f E      1181 mm² (1 0.5 ) théorique Ed s u su M A d         E 2 d Ed Ed AB162, 0.2 kNm moment réduit 0.021 561 Pivot B5 cdbd f M M Position de l’axe neutre: Déformation des armatures tendues: Contrainte dans les armatures tendues:   su 435 MPa (diagramme à palier horizontal)ydf Aire de la section des armatures tendues: Choix des armatures longitudinales: 6HA16  1206 mm²réel sA ©nguyenquanghuy2017
  93. 93. 93 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.3.8 Calcul du moment résistant MRd Note: Dans ce qui suit, le diagramme à palier horizontal d’aciers est utilisé. On procède de la manière suivante : 1. On détermine la position de l’axe neutre: 2. On calcule le moment résistant réduit correspondant à 𝛼 𝑢 : 3. On en déduit Problème: Trouver MRd pour As, d, b, fcd, fyd fixés yds u cd fA bd f        (1 0.5 )Rd u u max max si pivot A si < pivot B si attention!!! trop d'armature tendue u AB AB u u                2 Rd Rd cdM bd f Application: Calculer le moment résistant de la section à mi-travée  165.2 kNm >Rd EdM M ok ©nguyenquanghuy2017
  94. 94. 94 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.3.9 Calcul des dimensions de la section b, h et l’armature As Pour résoudre ce problème, il faut fixer un paramètre complémentaire. On peut donc choisir l’état de déformation à la rupture correspondant au cas où on atteint à la fois la déformation maximum du béton (pivot B) et l’allongement maximum de l’armature (pivot A). La section dans ce cas est dite économique. On procède de la manière suivante : 1. On fixe 𝛼 𝑢 = 𝛼 𝐴𝐵 et 𝜇 𝐸𝑑 = 𝜇 𝑅𝑑 = 𝜇 𝐴𝐵 2. Les dimensions de la section sont déterminées en utilisant la relation: Si on fixe la largeur b, on peut en déduire la hauteur utile de la section: 3. L’armature nécessaire est obtenue en utilisant l’équilibre de moment: Problème: Trouver b, h et As tel que MEd ≤ MRd pour MEd, fcd et fyd fixés   2 Ed AB cd M bd f    Ed AB cd M d b f (1 0.5 ) Ed s AB yd M A d f   Remarque: On peut également choisir l’état de déformation à la rupture correspondant à la hauteur limite de la zone comprimée de l’EC2 : 𝛼 𝑢 = 𝛼 𝑚𝑎𝑥 et 𝜇 𝐸𝑑 = 𝜇 𝑅𝑑 = 𝜇 𝑚𝑎𝑥 ©nguyenquanghuy2017
  95. 95. 95 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.4 Sections rectangulaires avec armatures de compression Lorsque la hauteur limite de la zone comprimée imposée par l’EC2 est dépassée, on est amené à envisager une des trois solutions suivantes: • Augmenter les dimensions de la section • Utiliser un béton de classe supérieure • Renforcer la section au moyen une nappe d’armatures en compression Remarques: • L’adjonction d’une armature de compression dans une section lorsque le pivot est A (𝜇 𝐸𝑑 ≤ 𝜇 𝐴𝐵) n’a pas de sens du point de vue économique puisque, dans ce cas, le béton n’est pas utilisé au maximum de sa capacité et la diminution de l’armature inférieure qui s’ensuivrait ne sera pas significative. • Le recours à une armature en compression n’est habituellement pas une solution économique, il est toujours préférable d’augmenter les dimensions de la section. • On aura recours à l’armature en compression que lorsque l’augmentation de la hauteur de la section en béton n’est pas possible pour d’autres raisons (contraintes architecturales). Ou dans le cas où la section doit être armée haut et bas car les moments qui la sollicite peuvent s’inverser. Il est alors logique de tenir compte des deux nappes d’armatures pour optimiser la quantité totale du ferraillage. • Il convient de ne pas oublier que les dimensions de la section en béton ne dépendent pas uniquement de critères de résistance à l’ELU. Les dimensions d’une section en BA sont souvent imposées par des critères de l’ELS qui limitent les déformations (flèches). Pour ces raisons, on n’analysera que la cas où le plan de déformation passe par le pivot B ©nguyenquanghuy2017
  96. 96. 96 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.4.1 Relations de base Notations: L’équilibre de forces: L’équilibre de moment: Compatibilité de déformations: 1 1 2 2 1 2 1 2s su u cd s su su u yd y su d w w f A bd A f f            2 2 2 2 21 0 1 0..5 ( ) 5 (1 )Ed u u cd s s su Ed u u yd uM bd f A d wd f                    2 Ed Ed cd M bd f    yds cd fA bd f    d d 2 2 2 2 1 2 1 1 u su cu u u su cu u cu su su u u ux x d d x                            1sA 2sA  cdf czd d  2sc s cF F F 2 2 2s s suF A  c u cdF bd f zh EdM AN ud 1 1 1s s suF A  2cu  2su  1su Note: pour le dimensionnement des armatures, les hauteurs utiles sont : d = 0,9h et d’=0,1h. Ainsi, 𝛿 = 1/9 ©nguyenquanghuy2017
  97. 97. 97 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.4.2 Calcul des quantités d’armatures tendues et comprimées (éventuelles) La procédure de calcul est la suivante : 1. Si 𝜇 𝐸𝑑 ≤ 𝜇 𝑚𝑎𝑥 , il n’est pas nécessaire d’ajouter une armature comprimée (As2=0). On est ramené au problème de dimensionnement d’une section rectangulaire avec une armature simple. 2. Si 𝜇 𝐸𝑑 > 𝜇 𝑚𝑎𝑥 , il faut ajouter une nappe d’armature comprimée pour limiter la hauteur de la zone comprimée pour des raisons de ductilité (EC2-1-1 §5.6.3(2)). On fixe 𝛼 𝑢= 𝛼 𝑚𝑎𝑥 3. On en déduit les déformations et les contraintes dans les armatures 4. La quantité d’armature comprimée est calculée à l’aide de l’équilibre de moment: 5. On en déduit la quantité d’armature tendue: Problème: Trouver As1 et As2 tel que MEd ≤ MRd pour d, d’, b, fcd, fyd et MEd fixés 2 max 2 2( ) Ed cd s su M bd f A d d           max 1 2 1 1 max max 2 2 2 2 2 max 2 1 si sinon su cu su yd sh su yd yd sh su yd su yd su cu su s su f E f E E                                2 2 1 1 u cd s su s su bd f A A       ©nguyenquanghuy2017
  98. 98. 98 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU Exemple de dimensionnement des armatures longitudinales tendues et comprimées Données: • Caractéristiques mécaniques: béton C35, acier B500A • Chargements appliqués: G = 25 kN/m et Q = 22 kN/m • La poutre forme une construction monolithique avec ses appuis. Question: Dimensionner les armatures longitudinales? Combinaison fondamentale des actions à l’ELU: Moment de calcul à mi-travée:  il faut avoir des armatures comprimées pour limiter la hauteur de la zone comprimée à 0,45𝑑  (pivot B)   Ed 1.35 1.5 62,4kN/mp G Q       Ed Ed Ed 2 max235.95 kNm moment ré 0.3121duit 0.2952 cd M M bd f   u max 0.45 ©nguyenquanghuy2017
  99. 99. 99 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU       2 2 1 1 1949mm²théorique u cd s su s su bd f A A        2 max 2 2 210 mm² ( ) théorique Ed cd s su M bd f A d d                           max 1 2 1 max max 2 2 2 max 1 0.00427 435 MPa 0.00253 su cu yd su yd su cu yd su yd f f Les déformations et les contraintes dans les armatures sont: Aire de la section des armatures comprimées: Choix des armatures longitudinales comprimées: 3HA12 2 339 mm²réel sA Aire de la section des armatures tendues: Choix des armatures longitudinales tendues: 3HA25 + 3HA16 1 2076 mm²réel sA ©nguyenquanghuy2017
  100. 100. 100 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.4.3 Calcul du moment résistant MRd On procède de la manière suivante : 1. On détermine 𝛼 𝑢 par résolution du système des équations suivant: 2. Le moment résistant est calculé par la formule: Problème 1: Trouver MRd pour As1, As2, b, d, fcd et fyd fixés 2 2 2 2 2 2 1 2 si sinon u su cu u yd su yd su s su su u yd f E w w f                          2 2 21 0.5 0.8Rd u u cd s suM bd f d A      Remarque: Dans ce développement, • le diagramme contrainte-déformation à palier horizontal d’aciers est utilisé. • on suppose que  Le plan de déformation passe par le pivot B  Les armatures tendues travaillent dans le domaine plastique: 𝜀 𝑠𝑢1 ≥ 𝜀 𝑦𝑑 Ces hypothèses signifient que l’on ne se trouve pas dans le cas d’une section sur-armée. Comme l’un des buts de l’ajout d’une nappe d’armature supérieure est d’éviter cette situation, ces conditions seront obligatoirement vérifiées lors du dimensionnement. 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 yd cu2 1 1 si sinon 4 1 / 2 2 cu cu cu u u u yd yd yd w w w w w w w                                      ©nguyenquanghuy2017
  101. 101. 101 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.4.4 Calcul de l’armature tendue dans le cas où les aciers comprimées sont connus On procède de la manière suivante : 1. On détermine 𝛼 𝑢 par résolution du système des équations suivant: 2. La section d’armature tendue nécessaire est calculée par la formule: Problème: Trouver As1 tel que MEd ≤ MRd pour As2, d, d’, b, fcd, fyd et MEd fixés   2 2 2 2 2 2 2 si sinon 1 0.5 (1 ) u su cu u yd su yd su s su su Ed u u yd f E w f                              2 2 1 u cd s su s yd bd f A A f     ©nguyenquanghuy2017
  102. 102. 102 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.5 Sections en T sans aciers comprimés: Dimensionnement à l’ELU 6.5.1 Moment de référence MTu Ce moment est un moment-frontière qui sépare les cas où la zone comprimée de la section a une forme rectangulaire de largeur égale à celle de la table, de ceux où la zone comprimée a une forme de T. 6.5.2 Calcul des armatures  cdf          f Tu eff f 2cd h M b h f d • Si MEd ≤ MTu  La zone comprimée a une forme rectangulaire de largeur beff et 𝜆𝑥𝑢 ≤ ℎ𝑓  le calcul est similaire à celui de la section rectangulaire de largeur beff Problème: Trouver As1 tel que MEd ≤ MRd pour d, bw, beff, hf, fcd, fyd et MEd fixés ©nguyenquanghuy2017
  103. 103. 103 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU • Si MEd > MTu  La table est insuffisante pour équilibrer à MEd. Une partie de la nervure est donc comprimée 𝜆𝑥𝑢 > ℎ 𝑓 . On effectue dans ce cas une décomposition de la section réelle en deux sections fictives: Conclusion: On est amené à calculer l’armature tendue nécessaire A1 de la section rectangulaire (1) soumise à un moment (voir §6.3.7) 1- une section rectangulaire (1)  de largeur bw;  de hauteur utile d;  dont l’armature tendue est constituée par une fraction A1 de la section totale As;  qui équilibre une fraction MEd1 du moment total MEd 2- une section en T (2)  Avec une table de largeur beff – bw et de hauteur hf  d’épaisseur nulle  de hauteur utile d;  dont l’armature tendue est constituée par une fraction A2 = As –A1 de la section totale As;  qui équilibre une fraction MEd2 = MEd-MEd1 du moment total MEd  cdf           eff w Tu eff w f cd Ed2 2 eff et su b b M b b h f M A b  Ed1 Ed Ed2M M M ©nguyenquanghuy2017
  104. 104. 104 Chapitre 6: Flexion simple à l’ELU 6.6 Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures des sections rectangulaires ou en T à l’ELU 1sA 2sA fh effb wb 1sA 2sA 1d 2d wb Données: • Dimensions de la section: bw, beff, d1, d2, hf • Béton: fck, 𝜀cu2 ou 𝜀cu3 • Acier: fyk, fyd, Es, Esh, 𝜀 𝑢𝑑 (diagramme à palier incliné) • Sollicitations: MEd ©nguyenquanghuy2017
  105. 105. 50MPackf  50 0.8 400 50 1 200 ck ck f f         0.8 1     w effb b oui non f Tu eff f 2cd h M b h f d        Section en T non Ed TuM Mw effb b oui Section rectangulaire eff w Ed1 Ed Tu eff b b M M M b    non Section en T Ed Ed1M M Ed Ed 2 w cd M b d f    Données Ed max  maxu  non s2 0A  2 2 u su cu u        1 1 yd su yd sh su s f f E E              eff w f cd2 2 1 1 1 u cd s su s su su b b h fbd f A A         1 2 1 u su cu u       2 2 yd su yd sh su s f f E E              2 2 2 1 0.5 ( ) Ed u u cd s su M bd f A d d          1 1 1 2u Ed      oui s2 0A  Ed AB  1su ud  non Pivot A Pivot B oui 1 yd su f Es   1 1su s suE  oui non s2 0A  1 ,min 1 2 Vérifier: et 0.04 s s s s c A A A A A   Organigramme récapitulatif pour le dimensionnement des armatures des sections rectangulaires ou en T à l’ELU ©nguyenquanghuy2017
  106. 106. 106 7.1 Généralités 7.2 Conditions d’environnement 7.3 Exigences de durabilité 7.4 Conditions d’enrobage 7.4.1 Condition sur les exigences d’adhérence 7.4.2 Condition sur la durabilité en fonction de l’environnement 7.5 Exemple: enrobage des armatures sur un pont mixte Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures ©nguyenquanghuy2017
  107. 107. 107 Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures 7.1 Généralités • Une structure durable doit satisfaire aux exigences d'aptitude au service, de résistance et de stabilité pendant toute la durée d'utilisation de projet, sans perte significative de fonctionnalité ni maintenance imprévue excessive • La protection requise de la structure doit être établie en considérant l'utilisation prévue, la durée d'utilisation de projet, le programme de maintenance envisagé ainsi que les actions attendues. • L'importance éventuelle des actions directes et indirectes, des conditions d'environnement et des effets qui en résultent doit être prise en considération. 7.2 Classes d’environnement La conception d’un ouvrage doit permettre de garantir sa durabilité. Un ouvrage doit donc résister aux effets des conditions d’environnement, actions chimiques et physiques, définies dans la norme NF EN 206-1 d’avril 2004. • L’action chimique peut provenir de divers facteurs : stockage de liquides, environnement agressif (par exemple le contact avec des gaz ou solutions chimiques), etc. • L’action physique peut être due à l’abrasion, au gel, à la pénétration de l’eau, etc. ©nguyenquanghuy2017
  108. 108. 108Tableau 4.1 : Classes d'exposition en fonction des conditions d'environnement, conformément à l'EN 206-1 Sous chape d’étanchéité Béton extérieur ©nguyenquanghuy2017
  109. 109. 109 Béton soumis à projections de sels de déverglaçage Bord de mer Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures ©nguyenquanghuy2017
  110. 110. 110 Gel fort Fondations Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures ©nguyenquanghuy2017
  111. 111. 111 7.3 Exigences de durabilité (EC2-1-1 §4.3) • (1)P Pour atteindre la durée d'utilisation de projet requise pour la structure, des dispositions appropriées doivent être prises afin de protéger chaque élément structural des actions d'environnement concernées. • (2)P Les exigences de durabilité doivent être prises en compte dans: — la conception de la structure, — le choix des matériaux, — les dispositions constructives, — l'exécution, — la maîtrise de la qualité, — les inspections, — les vérifications, — les dispositions particulières (utilisation d'acier inoxydable, revêtements, protection cathodique). Tableau E.1N: Classes indicatives de résistance pour la durabilité (Annexe E de l’EC 2) Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures ©nguyenquanghuy2017
  112. 112. 112 7.3 Conditions d’enrobage (EC2-1-1 §4.4.1) • L'enrobage est la distance entre la surface de l'armature (épingles, étriers et cadres compris, ainsi que armatures de peau, le cas échéant) la plus proche de la surface du béton et cette dernière. • Un enrobage minimal est imposé pour assurer : – une bonne transmission des forces d’adhérence; – l’absence d’épaufrures; – une résistance au feu (EC2, partie 1-3); – la protection des aciers contre la corrosion. • L’EC2 ne reconduit plus les conditions sur les enrobages en fonction des états de fissuration, comme le BAEL. Il définit la notion d’enrobage nominal minimal cnom comme suit : c’est l’enrobage minimal cmin basé sur la NF EN 206-1 augmenté d’une valeur Δcdev correspondant aux tolérances: • La valeur d’enrobage minimal à utiliser est la plus grande valeur de cmin satisfaisant aux exigences à la fois en ce qui concerne l'adhérence et les conditions d'environnement: Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures ©nguyenquanghuy2017
  113. 113. 113 7.3.1 Condition sur les exigences d’adhérence Si la dimension nominale du plus gros granulat est supérieure à 32 mm, il convient de majorer cmin,b de 5 mm, alors 7.3.2 Condition sur la durabilité cmin,dur en fonction de l’environnement L’EC2 impose, sauf spécification contraire des Documents Particuliers du Marché (DPM), d’utiliser la classe structurale S4 pour les bâtiments et ouvrages de génie civil courants. La classe S4 correspond à une durabilité de l’ouvrage de 50 ans. Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures ©nguyenquanghuy2017
  114. 114. 114 Il est possible de réduire ou d’augmenter la classe structurale. En effet, l’EC2 laisse à chaque pays la possibilité de retenir des classes supérieures, si l’on désire une durée de vie supérieure à 50 ans, ou des classes inférieures, si on a recours à des bétons de qualité supérieure ou si l’entreprise prouve sa maîtrise de la qualité pour garantir le respect des enrobages. Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures ©nguyenquanghuy2017
  115. 115. 115 7.4 Exemple: enrobage des armatures sur un pont mixte XC3 XC4XC4, XF1 Tablier en zone de gel faible Chape d’étanchéité Questions : – Déterminer la résistance minimale du béton de structure – Déterminer la classe structurale – Choisir l’enrobage d’armatures Tableau E.1N: Classes indicatives de résistance pour la durabilité (Annexe E de l’EC 2) Résistance minimale du béton: C30/37 Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures ©nguyenquanghuy2017
  116. 116. 116 • Classe structurale du paroi supérieur: 4 + 2 - 1 = 5  S5 • Classe structurale du paroi inférieur: 4 + 2 - 1 = 5  S5 Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures ©nguyenquanghuy2017
  117. 117. 117 • Enrobage minimal du paroi supérieur: • Enrobage nominal du paroi supérieur: avec assurance qualité avec mesure enrobages: Δcdev = 5 mm • Enrobage minimal du paroi inférieur: • Enrobage nominal du paroi inférieur:    min min,b min,dur min, min,st min,add c max c ;c c c c ;10mm max ;30mm;10mm 30mm           ϕ 0 0 0      nom min dev c c c 30 5 35mm    min c max ;35mm;10mm 35mm      nom min dev c c c 35 5 40mm Chapitre 7: Durabilité et Enrobage des armatures ©nguyenquanghuy2017
  118. 118. 118 Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures 8.1 Généralités 8.2 Espacement des armatures de béton armé 8.3 Ancrage des barres longitudinales 8.3.1 Contrainte d’adhérence des barres droites 8.3.2 Conditions d’adhérence 8.3.3 Contrainte d’adhérence moyenne 8.3.4 Contrainte ultime d’adhérence 8.3.5 Longueur de « scellement droit » 8.3.6 Longueur d’ancrage droit de référence 8.3.7 Longueur d’ancrage de calcul 8.3.8 Types d’ancrages d’extrémité 8.3.9 Longueur d’ancrage droit de référence 8.3.10 Ancrage des armatures inférieures au niveau des appuis intermédiaires 8.3.11 Ancrage des armatures inférieures dans les sections comportant plusieurs lits d’armatures 8.4.12 Recouvrement des barres longitudinales 8.4 Ancrage des barres transversales ©nguyenquanghuy2017
  119. 119. 119 8.1 Généralités • Les armatures dites « longitudinales » sont toujours disposées en lits horizontaux et en files verticales. • Les files des lits inférieurs et supérieurs doivent se correspondre de façon :  à réserver des passages verticaux pour la mise en place du béton;  et à simplifier le tracé des armatures d’âme verticales. • Les règles données ci-après supposent que les exigences relatives aux enrobages sont satisfaites. Elles ne s’appliquent pas dans le cas d’un chargement dynamique d’origine sismique ou provoqué par la vibration de machines, de charges d’impact, ni dans le cas de barres ayant reçu un revêtement époxy ou galvanisées. Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures ©nguyenquanghuy2017
  120. 120. 120 • Dans le cas de groupement de n barres de même diamètre ∅, la règle précédente s’applique, en prenant en compte le diamètre équivalent : où n = nombre de barres du paquet o n ≤ 4 : barres comprimées ou jonction par recouvrement o n ≤ 3 : barres tendues • Dans le cas de plusieurs lits de barres horizontales, les barres de chaque lit doivent être situées l’une au-dessus de l’autre de manière à constituer des files verticales. Un espace suffisant doit être ménagé entre ces files pour permettre le passage d’un pervibrateur. • Les barres d’un recouvrement peuvent être au contact l’une de l’autre sur la longueur du recouvrement. 8.2 Espacement des armatures de béton armé (EC2-1-1 §8.2) • Afin de permettre une mise en place et un compactage satisfaisant du béton et ainsi garantir le développement d’une bonne adhérence, entre barres parallèles isolées ou entre lits horizontaux de barres parallèles, les espacements libres horizontales eh ou verticales ev doivent être telles que      h v max g e ou e max ;d 5mm; 20mm 𝜙 𝑚𝑎𝑥 est le diamètre maximal de la barre dg est la dimension du plus gros granulat n n 55mm    Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures ©nguyenquanghuy2017
  121. 121. 121 8.3 Ancrage des barres longitudinales Les barres doivent être ancrées de manière à assurer une bonne transmission des forces d’adhérence au béton, en évitant toute fissuration longitudinale ainsi que tout éclatement du béton. Un ferraillage transversal est à prévoir si nécessaire. 8.3.1 Contrainte d’adhérence des barres droites Définition d’adhérence: On appelle « adhérence » l’action des forces de liaison qui s’opposent au glissement. L’adhérence joue trois rôles : 1/ elle assure le « scellement » ou « ancrage » des barres arrêtées ; 2/ elle assure « l’entraînement » des armatures sous l’effort de glissement longitudinal provoqué par l’effort tranchant; 3/ elle intervient pour distribuer la fissuration. Observation expérimentale – Théorie de M. Caquot : • L’effort qu’il faut exercer pour extraire par traction une barre rectiligne noyée dans un bloc de béton est important même après un glissement de plusieurs millimètres. • L’adhérence n’est donc pas un phénomène de collage, mais de frottement. Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures ©nguyenquanghuy2017
  122. 122. 122 La rupture d’adhérence peut se produire : 1. par fissuration longitudinale du béton d’enrobage. La gaine de béton qui enserre la barre à la manière d’un étau s’ouvre et l’adhérence disparaît. C’est le cas par exemple de barres situées près d’une paroi ou d’un angle. 2. par glissement de la barre sans rupture du béton d’enrobage. Ce glissement s’observe par exemple dans le cas d’une barre HA placée au centre d’un bloc de béton armé transversalement. Note: pour se prémunir contre cette rupture, on coud l’intervalle barre-paroi par des armatures transversales dites «armature d’enrobage» Chapitre 8: Dispositions constructives relatives aux armatures ©nguyenquanghuy2017

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