1. Solución de ecuaciones no lineales Curso de Programación numérica

2. Temario Métodos cerrados: Métodos gráficos Método de bisección Método de la posición falsa Métodos abiertos Iteración simple de punto fijo Método de Newton-Raphson Método de la secante Raíces de polinomios Método de Müller Método de Bairstow

3. Métodos gráficos Los métodos gráficos consisten en graficar la función f ( x ) y observar donde la función cruza el eje x.

4. Ejemplo 1 Encontrar la raíz de:

5. Ejemplo 2 Grafica de: f ( x ) = sen 10 x + cos 3 x

6. Ejemplo 2 (cont.) Grafica de: f ( x ) = sen 10 x + cos 3 x

7. Tarea Utilice Excel para los siguientes problemas. Determine las raíces reales de: f ( x ) = –0.5 x 2 + 2.5 x + 4.5 Gráficamente. Confirme utilizando la fórmula cuadrática. Determine las raíces reales de: f ( x ) = 5 x 3 – 5 x 2 + 6 x – 2 Gráficamente.

8. Método de la bisección Se trata de encontrar los ceros de f ( x ) = 0 Donde f es una función continua en [ a , b ] con f ( a ) y f ( b ) con signos diferentes. y = f ( x ) x y a b f ( b ) f ( a )

9. Método de la bisección De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p  [ a , b ] tal que f ( p ) = 0. El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p. El procesos se repite hasta la lograr la precisión deseada.

10. Método de la bisección y = f ( x ) x y a b f ( b ) f ( a ) p 1 = ( a+b )/ 2 f ( p 1 ) p Mitad del intervalo que contiene a p Primera iteración del algoritmo

11. Método de la bisección y = f ( x ) x y a =p 1 b f ( b ) f ( a ) p 2 = ( a+b )/ 2 f ( p 2 ) p Mitad del intervalo que contiene a p Segunda iteración del algoritmo

12. Método de la bisección Algoritmo bisección Entradas: extremos a,b; número de iteraciones ni; tolerancia tol 1. p=a; i=1; eps=1; 2. mientras f(p)  0 y i  ni eps>tol 2.1. pa = p; 2.2. p = (a+b)/2 2.3. si f(p)*f(a)>0 entonces a=p; 2.4. sino 2.5. si f(p)*f(b)>0 entonces b=p; 2.6. i = i + 1; eps = |p-pa|/p;

13. Bisección en C double biseccion(double a, double b, double error, int ni){ double p,pa,eps; int i; p = a; i = 1; eps = 1; while(f(p) != 0 && i<ni && eps > error){ pa = p; p = (a+b)/2; if(f(p)*f(a)>0) a = p; else if(f(p)*f(b)>0) b = p; i++; eps = fabs(p-pa)/p; } return p; }

14. Ejemplo Función de ejemplo Función en C: double f(x){ return sqrt(x*x + 1) - tan(x); }

15. Tarea Haga funciones en C para encontrar la solución de las siguientes ecuaciones utilizando la función biseccion(): 1 . e x – x 2 + 3 x – 2 = 0 para 0 <= x <= 1 2.

16. Error en el método de bisección Para el método de bisección se sabe que la raíz esta dentro del intervalo, la raíz debe situarse dentro de  x / 2, donde  x = x b – x a . La solución en este caso es igual al punto medio del intervalo x r = ( x b + x a ) / 2 Deberá expresarse por x r = ( x b + x a ) / 2   x / 2 Error aproximado sustituyedo

17. Número de iteraciones El error absoluto en la primera iteración es: El error absoluto en la iteración n-ésima es: Si el error deseado es E ad , El número de iteraciones será:

18. Volumen del abrevadero h r L r h  

19. Tarea 17. Un abrevadero de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio r (véase la figura) Cuando se llena de agua hasta una distancia h de la parte superior, el volumen V de agua es V = L [ 0.5  r 2 – r 2 arcsen( h / r ) – h ( r 2 – h 2 ) 1/2 ] Escriba un programa en C amigable para el usuario que lea los datos de este problema y encuentre la profundidad h del abrevadero. Utilice el método de bisección para encontrar la solución. h r L

20. Resumen Requiere que se conozca el intervalo en donde está la raíz. Los valores de la función en los extremos deben tener signos diferentes. Converge lentamente, a cada paso el intervalo se divide en 2.

21. Método de falsa posición x l x u f ( x l ) f ( x u ) x r Este método considera cual límite del intervalo está más próximo a la raíz. De la figura Despejando f ( x r )

22. Ejemplo en Excel Encontrar la raíz de:

23. Tarea Encuentre la raíz real de f ( x ) = (0.8 – 0.3 x )/ x , por el método de falsa posición. Utilice valores iniciales de 1 y 3, calcule el error porcentual verdadero en cada iteración. Encuentre la raíz analiticamente.

24. Falsa posición en C double falsaPosicion(double xl, double xu, double ee, int imax){ double error,fl,fu,fr,xr,xrOld; int iter=0,il=0,iu=0; fl = f(xl); fu = f(xu); do{ xrOld = xr; xr = xu - fu*(xl-xu)/(fl-fu); fr = f(xr); iter++; if(xr!= 0) error=fabs((xr-xrOld)/xr*100); if(fl*fr<0){ xu = xr; fu = f(xu); iu = 0; il++; if(il>=2) fl/=2; } else{ xl = xr; fl = f(xl); il = 0; iu++; if(iu>=2) fu/=2; else; error = 0; } }while(error>ee && iter<=imax); return xr; }

25. Iteración de punto fijo Un punto fijo de una función g ( x ) es un número p tal que g ( p ) = p . Dado un problema f ( x ) = 0, se puede definir una función g ( x ) con un punto fijo en p de diferentes maneras. Por ejemplo g ( x ) = x – f ( x ).

26. Teorema Si g  C [ a , b ] y g ( x )  C [ a , b ] para toda x  C [ a , b ], entonces g tiene un punto fijo en [ a , b ]. Si además g ’( x ) existe en ( a , b ) y una constante positiva k <1 existe con | g ’( x )| <= k , pata toda x  ( a , b ), Entonces el punto fijo en [ a , b ] es único. y = g ( x ) y a b a b p p=g ( p ) x y = x y = g ( x ) y a b a b p p=g ( p ) x y = x | g ’( x )>1 | g ’( x )<=1

27. Algoritmo de punto fijo Obtener una solución a p = g ( p ) dada un aproxiamción inicial p 0 . ENTRADA aproximación inicial p 0 ; tolerancia TOL ; número máximo de iteraciones N 0 . 1. Tome i = 1. 2. Mientras i <= N 0 hacer 3. p = g ( p 0 ) 4. Si | p – p 0 | < TOL entonces 5. Regresar p 6. i = i +1 7. p 0 = p 8. Fin mientras 9. Imprime ‘El procedimiento fracasó después de N 0 iteraciones’

28. Gráfica del algoritmo de punto fijo y = g ( x ) y x y = x p 0 p 1 = g ( p 0 ) p 3 p 2 p 1 p 2 = g ( p 1 ) p 3 = g ( p 2 ) y = g ( x ) y x y = x p 0 p 1 = g ( p 0 ) p 2 p 1 p 2 = g ( p 1 ) p 3 = g ( p 2 )

29. Casos de no convergencia y = g ( x ) y x y = x y = g ( x ) y x y = x

30. Ejemplo Sea la función: x 3 + 4 x 2 –10 = 0 tiene una raíz en [1, 2] Puede despejarse en: a. x = g 1 ( x ) = x – x 3 – 4 x 2 +10 b. x = g 2 ( x ) = ½(10 – x 3 ) ½ c . x = g 3 ( x ) = (10/(4 + x )) ½ d. x = g 4 ( x ) = x – ( x 3 + 4 x 2 – 10)/(3 x 2 + 8 x )

31. Iteraciones de punto fijo (b) 1.5 1 .286953767 1.402540803 1.345458374 1.375170252 1.360094192 1.367846967 1.363887003 1.365916733 1.364878217 1.365410061 1.365137820 1.365277208 1.365205850 1.365242383 1.365229578 1.365230028 1.365230012 (c) 1.5 1.348399724 1.367376371 1.364957015 1.365264748 1.365225594 1.365230575 1.365229941 1.365230022 1.365230012 1.365230013 1.365230013 (a) 1 1.5 2 -0.875 3 6.732421875 4 -469.72001200 5 1.02754555E8 6 -1.084933870E24 7 1.277055591E72 8 -2.082712908E216 9 NaN 10 11 12 13 14 15 20 25 30 (d) 1.5 1.373333333 1.365262014 1.365230013 1.365230013

32. Funciones graficadas en MathLab a) b) c) d)

33. Teorema de punto fijo Si g  C [ a , b ] y g ( x )  C [ a , b ] para toda x  C [ a , b ], además supongamos que existe g ’( x ) en ( a , b ) y una constante positiva k <1 cuando | g ’( x )| <= k, pata toda x  ( a , b ), Entonces, para cualquier punto p 0 en [ a , b ] la sucesión definida por p n = g ( p n –1 ), n >=1 Converge en el único punto fijo p en [ a , b ].

34. Corolario Si g satisface las hipótesis de teorema del punto fijo, las cotas de error que supone utilizar p n para aproximar a p están dadas por | p n – p | <= k n max( p 0 – a , b – p 0 ) Y por | p n – p | <= k n | p 1 – p 0 |/ (1 – k ), para toda n>=1

35. Análisis del ejemplo Caso (a) g 1 ( x ) = x – x 3 – 4 x 2 +10 g 1 ’( x ) = 1 – 3 x 2 – 8 x g 1 ’(1) = – 11, g 1 ’(2) = – 28 No se cumple | g 1 ’(x)| <1 Caso (b) g 2 ( x ) = ½(10 – x 3 ) ½ g 2 ’( x ) = – 3/4 x 2 (10 – x 3 ) –½ g 2 ’(1) = – 0.25, g 1 ’(2) = – 2.1213 No se cumple | g 1 ’(x)| <1 Caso (c) g 3 ( x ) = (10/(4 + x )) ½ g 3 ’( x ) = (– 5/3.16)(4 + x ) –1.5 <= (– 5/3.16)(5) –1.5 <= 0.15 Para toda x en [1, 2] Caso (d) g 4 ( x ) = x – ( x 3 + 4 x 2 – 10)/(3 x 2 + 8 x ) Se cumple | g 4 ’(x)| es aún menor que en el caso (c) para toda x en [1, 2]

36. Programa en Matlab function y = PuntoFijo(f_name, p0, tol, ni) %f_name - nombre de la funcion %p0 - valor inicial de la raiz %tol – tolerancia %ni – número de iteraciones i = 1; while i<=ni p = feval(f_name,p0); if(abs(p0-p)<tol) y = p; break; end i = i + 1; p0 = p; end fprintf('No se encontro solucion.');

37. Función en C double PuntoFijo(double p0, double tol, int ni){ int i = 1; double p; while(i<=ni){ p = f(p0); if(fabs((p0-p)/p)<tol) return p; i++; p0 = p; } std::cout << &quot;NO solucion en :&quot; << ni << “ iteraciones.&quot;; return p; }

38. Método de Newton-Raphson f ( x n ) Pendiente = f ’ ( x n ) x n x n +1 La ecuación de la recta tangente es: y – f ( x n ) = f ’ ( x n )( x – x n ) Cuando y = 0, x = x n +1 o sea 0 – f ( x n ) = f ’ ( x n )( x n +1 – x n ) o f ( x )

39. Algoritmo Newton Para obtener una solución a f(x) = 0 dada una aproximación p 0 . ENTRADA aproximación inicial p 0 ; tolerancia tol; número máximo de iteraciones N 0 . 1. i = 1 2. Mientras i<=N 0 hacer 2.1. p = p 0 – f(p 0 )/f’(p 0 ) 2.2. Si |p – p 0 |< tol entonces regrese p 2.3. i = i + 1 2.4. p 0 = p 3. fracaso en encontrar la raíz en N 0 iteraciones

40. Ejemplo f(x) = x – cos(x) f’(x) = 1 + sen(x) Tomando p 0 = 0, se obtiene p n f(p n ) f’(p n ) p n+1 0 -1 1 1 1 0.459698 1.8414 0.7503639 0.7503639 0.0189 1.6819 0.7391128 0.7391128 0.00005 1.6736 0.7390851 0.7390851 3E-10 1.6736 0.7390851 p n+1 = p n – (p n – cos(p n ))/(1 + sen(p n ))

41. Ejercicio Encontrar la solución de x 3 + 4x 2 – 10 = 0 En el intervalo [1, 2] con el método de Newton

42. Código en C double Newton(double x0, double ee, int ni){ int i = 0; double x,fx,dfx; while(i<ni){ fx = f(x0); dfx = df(x0); x = x0-fx/dfx; if(fabs((x-x0)/x)<ee) return x; i++; x0 = x; } std::cout << &quot;No solución en &quot;<< i << &quot; pasos&quot;; return x; }

43. Ejemplo: cuenta de ahorros El valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularse con la ecuación de anualidad vencida A = P [(1 + i ) n - 1 ] / i En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidad que se deposita periódicamente e i es la tasa de interés por periodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero le gustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de $ 750,000 dólares al momento de retirarse dentro de 20 años, y puede depositar $ 1,500 dólares mensuales para lograr dicho objetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puede invertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuesto mensual? Escriba un programa en C para este problema, el programa deberá pedir todos los datos necesarios y utilizar el método de Newton para calcular el interés a que debe invertirse el dinero.

44. Solución Para estimar el valor inicial de i podemos desarrollar el binomio (1 + i ) n para aproximarlo a la segunda potencia. El resultado es Se sugiere validar los datos de entrada. El capital a obtener debe ser mayor que el depósito por el número de abonos, es decir A > nP

45. Ejemplos resuelto en Excel

46. Método alternativo para evaluar la derivada (método de la secante) Es posible calcular la derivada en x n usando: O utilizando

47. Algoritmo Newton2 Para obtener una solución a f(x) = 0 dada una aproximación p 0 . ENTRADA aproximación inicial p 0 ; tolerancia tol; número máximo de iteraciones N 0 . 1. i = 1 2. h = 0.001 3. Mientras i<=N 0 hacer 2.1. y = f(p 0 ) 2.2. y_deriv =(f(p 0 +h)-y)/h 2.3. p = p 0 – y/y_deriv 2.4. Si |p – p 0 |< tol entonces regrese p 2.5. i = i + 1 2.6. p 0 = p 3. fracaso en encontrar la raíz en N 0 iteraciones

48. Código en C double Newton(double x0, double ee, int ni){ int i = 0; double x,fx,dfx,h; h = 0.0001; while(i<ni){ fx = f(x0); dfx = (f(x0+h)-fx)/h; x = x0-fx/dfx; if(fabs((x-x0)/x)<ee) return x; i++; x0 = x; } std::cout << &quot;No solución en &quot;<< i << &quot; pasos&quot;; return x; }

49. Programa en Matlab function x = Newt_n(f_name, xO) % Iteración de Newton sin gráficos x = xO; xb = x-999; n=0; del_x = 0.01; while abs(x-xb)>0.000001 n=n+1; xb=x ; if n>300 break; end y=feval(f_name, x) ; y_driv=(feval(f_name, x+del_x) - y)/del_x; x = xb - y/y_driv ; fprintf(' n=%3.0f, x=%12.5e, y=%12.5e, ', n,x,y) fprintf(' yd = %12.5e ', y_driv) end fprintf(' Respuesta final = %12.6e', x) ; Calcula derivada con incrementos

50. Raíz cuadrada con Newton Para extraer la raíz cuadrada de un número se puede resolver la ecuación f ( x ) = x 2 – c = 0 La derivada es f’ ( x ) = 2 x La fórmula de recurrencia de Newton es x n +1 = x n – ( x n 2 – c )/(2 x n ) = x n /2 + c /(2 x n ) = ( x n + c / x n )/2 Ejemplo: raíz cuadrada de 5 con x 0 = 1.

51. Desventajas En algunos casos la convergencia es muy lenta, considere f ( x ) = x n – 1 Se obtiene la siguiente secuencia empezando en x = 0.5 iteración x 0 0.5 1 51.65 2 46.485 3 41.8365 4 37,65285 .. -- 1.000000

52. Desventajas (cont.) x 0 x 1 x 2 x f ( x ) x 0 x 1 x 2 x f ( x ) x 0 x 1 x f ( x ) raíz cerca de punto de inflexión mínimo local varias raíces x f ( x ) la iteración en un mínimo x 0 x 1

53. Ejemplo Resolver utilizando Excel sen x - e -x = 0 para 0<= x <= 1 y 3<= x <= 4 y 6<= x <= 7

54. Resultados h= 0.1 xn f(xn) f'(xn) xn+1 0.00000000 -1.00000000 1.94995999 0.51283104 0.51283104 -0.10815190 1.41522716 0.58925121 0.58925121 0.00099615 1.33011566 0.58850229 0.58850229 -0.00004224 1.33095756 0.58853402 0.58853402 0.00000178 1.33092188 0.58853269 h= 0.01 xn f(xn) f'(xn) xn+1 0.00000000 -1.00000000 1.99499996 0.50125314 0.50125314 -0.12524617 1.47731614 0.58603267 0.58603267 -0.00347081 1.38411969 0.58854027 0.58854027 0.00001043 1.38133294 0.58853271 0.58853271 -0.00000004 1.38134134 0.58853274

55. Tarea #14 La carga en un circuito RLC serie esta dada por suponga q 0 / q = 0.01 , t = 0.05 s, L = 5H y C = 10 -6 F. Encuentre el valor de la Resistencia R usando el método de Newton. Haga un programa en C para este problema.

56. Convergencia en el punto fijo El algoritmo de punto fijo es de tipo lineal. Se puede demostrar que el error verdadero en la iteración i +1 es: E t , i +1 = g ’(  ) E t , i donde E t , i = x r - x i

57. Convergencia en Newton Raphson El algoritmo de Newton es de tipo cuadrático. Se puede demostrar que el error verdadero en la iteración i +1 es: E t , i +1 = (- f ’’( x r )/2 f ’( x r )) E 2 t , i Esto significa que el número de decimales exactos se duplica con cada iteración.

58. Raíces múltiples En el caso de que un polinomio tenga raíces múltiples, la función tendrá pendiente igual a cero cuando cruce el eje x. Tales casos no pueden detectarse en el método de bisección si la multiplicidad es par. En el método de Newton la derivada en la raíz es cero. Generalmente el valor de la función tiende a cero más rápido que la derivada y puede utilizarse el método de Newton

59. Ejemplo Polinomio: f ( x ) = ( x – 3) ( x – 1) ( x – 1)