Pengertian Fungsi
Fungsi adalah pemetaan semua elemen pada daerah asal A
(domain) ke daerah hasil B (kodomain) yang memasangkan
anggota A tepat ke satu anggota B
Domain Kodomain
Fungsi
x f(x)
A B
y
z
f(y)
f(z)
Df = domain fungsi f
Rf = range kodomain

)(
)(
)(
xg
xf
x
g
f







a. (f + g)(x) = 2x – 3 + 4 – x = x + 1
)5(





g
f
b. (f – g)(x) = 2x – 3 – (4 – x) = 3x – 7
c. (f x g)(x) = (2x – 3) x (4 – x) = –2x2 + 11x – 12
e. (f)2(x) = (2x – 3)2 = 4x2 – 12x + 9  (f)2(-1) = 25
7
1
7
)5(
4
32
)(. 
















g
f
x
x
x
g
f
d
Contoh:
Jika f(x) = 2x – 3 dan g(x) = 4 – x maka tentukan:
a. (f+g)(x) b. (f – g)(x) c. (f x g)(x) d. e. f2(-1)
Jawab:

Contoh:
Jika f(x) = 2x + 5 tentukan:
a. f(x) untuk domain 0 ≤ x < 3 , x bil bulat
b. Range (Rf)
Jawab:
f(0) = 2(0) + 5 = 5
f(1) = 2(1) + 5 = 7
f(2) = 2(2) + 5 = 9
Df : 0, 1, 2
Rf : 3 ≤ f(x) ≤ 9

Perhatikan gambar pemetaan
f : A → B
a
b
c
d
1
2
3
4
5
f
A
B
f(a) = 1, f(b) = 2
f(c) = 3, f(d) = 4
range adalah
R = {1, 2, 3, 4}
Contoh:

Khusus untuk fungsi berbentuk akar dan pecahan:
 Nilai fungsi dalam tanda akar tidak boleh negatif ( f(x) ≥ 0 )
 Nilai fungsi penyebut (bawah) tidak boleh NOL
a. f(x) = x2 + 7x – 16
a. Df : x  Real
Jawab:
b. x – 3 ≥ 0
Df : x ≥ 3
c. 5 – x ≠ 0
Df : x ≠ 5
Tentukan Domain dari:
Contoh:

SIFAT FUNGSI
Surjektif
(kepada)
Into
(ke dalam)
Injektif
(satu-satu)
Bijektif
(pasangan)
Tiap elemen di B
punya
pasangan di A
Ada elemen di B
yg tidak punya
pasangan di A
Tiap elemen di B
punya pasangan
tepat satu di A
Tiap elemen di B
berpasangan
satu-satu dgn A
A B
a
b
c
e
f
g
a
b
c
e
f
g
a
b
c
d
e
f
g
a
b
c
e
f
g

x  A dipetakan oleh f ke y  B
ditulis f : x → y atau y = f(x)
y  B dipetakan oleh g ke z  C
ditulis g : y → z atau z = g(y)
atau z = g(f(x))
A
x
C
z
B
y
f g

maka fungsi yang memetakan
x  A ke z  C
adalah komposisi fungsi f dan g
ditulis (g o f)(x) = g(f(x))
A B C
x zy
f g
g o f

Komposisi fungsi
● untuk Rf ⋂Dg himpunan yang tak kosong,
fungsi komposisi dari g dan f, ditulis g◦f(f
dilanjutkan g) adalah suatu fungsi yang
aturannya ditentukan oleh y = (g◦f)(x)=g(f(x))
●untuk Rg ⋂Df himpunan yang tak kosong,
fungsi komposisi dari f dan g, ditulis f◦g(g
dilanjutkan f) adalah suatu fungsi yang
aturannya ditentukan oleh y = (f◦g)(x)=f(g(x))

f : A → B dan g: B → C
didefinisikan seperti pada gambar
Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b)
A B C
a
b
p
q
1
2
3
f g
Contoh: 1

Jawab:
A B C
a
b
p
q
1
2
3
f g
f(a) = 1 dan g(1) = q
Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q
(g o f)(a) = ?

A B C
a
b
p
q
1
2
3
f g
f(b) = 3 dan g(3) = p
Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p
(g o f)(b) = ?

Diketahui : f(x) = x² + 1 dan g(x) = 2x – 3.
Ditanya : 1. (f ◦ g)(x)
2. (g ◦ f)(x)
Jawab :
a. (f o g)(x)= f (g(x))
= f(2x – 3)
= (2x – 3)² + 1
= 4x² – 12x + 9 + 1
= 4x² – 12x + 10
b. (g o f)(x) = g (f(x))
= g(x² + 1)
= 2(x² + 1) – 3
= 2x² - 1
Contoh: 2

Sifat Komposisi Fungsi
1. Tidak komutatif:
f o g ≠ g o f
2. Bersifat assosiatif :
f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h
3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = x
f o I = I o f = f

f : R → R dan g : R → R
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
Tentukan: a. (g o f)(x)
b. (f o g)(x)
Contoh: 1

f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
a. (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)
= 2(3x – 1)2 + 5
= 2(9x2 – 6x + 1) + 5
= 18x2 – 12x + 2 + 5
(g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5)
= 3(2x2 + 5) – 1
= 6x2 + 15 – 1
(f o g)(x) = 6x2 + 14
Jawab:
(g o f)(x) ≠ (f o g )(x)
tidak bersifat komutatif

f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan
h(x) = 1/x
Tentukan: a. (f o g) o h
b. f o (g o h)
Contoh: 2

f(x) = x – 1
g(x) = x2 – 1
h(x) = 1/x
((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))
(f o g)(x) = (x2 – 1) – 1
= x2 – 2
(f o g(h(x))) = (f o g)(1/x)
= (1/x)2 – 2
Jawab:
f(x) = x – 1
g(x) = x2 – 1
h(x) = 1/x
(f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x))
(g o h)(x)= g(1/x)
= (1/x)2 – 1
= 1/x2 - 1
f(g o h)(x)= f(1/x2 – 1)
= (1/x2 – 1) – 1
=(1/x)2 – 2Bersifat assosiatif:
f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h

I(x) = x, f(x) = x2 , dan g(x) = x + 1
Tentukan:
a.(f o I)(x) dan (g o I)
b.(I o f) dan (I o g)
Contoh: 3

I(x) = x
f(x) = x2
g(x) = x + 1
(f o I)(x) = x2
(g o I)(x) = x + 1
(I o f)(x) = x2
(I o g)(x) = x + 1
(I o f)(x) = (f o I) = f
Jawab:
Memiliki fungsi identitas:
I(x) = x
f o I = I o f = f

Menentukan
Suatu Fungsi
Jika Fungsi Komposisi
dan
Fungsi Yang Lain Diketahui

Diketahui :f(x) = 3x – 1 dan (f o g)(x) = x2 + 5
Tentukan g(x)!
Contoh: 1
Jawab :
f(x) = 3x – 1dan (f o g)(x) = x2 + 5
fg(x)] = x2 + 5
3.g(x) – 1 = x2 + 5
3.g(x) = x2 + 5 + 1
= x2 + 6
Jadi g(x) = ⅓(x2 + 6)

Contoh: 2
Diketahui f(x) = 2x + 5 dan (f o g)(x) = 3x2 – 1
Tentukan g(x)!
Jawab
f(x) = 2x + 5 dan
(fog)(x) = 3x2 - 1
fg(x)] = 3x2 - 1
2.g(x) + 5 = 3x2 - 1
2.g(x) = 3x2 - 1 - 5 = 3x2 - 6
Jadi g(x) =(3x2 - 6)

Diketahui f(x) =
dan (f o g)(x) = 2x + 3
Tentukan g(x)!
5
1


x
x
Contoh: 3

f(x) =
(fog)(x) = 2x + 3
fg(x)] = 2x + 3
= 2x + 3
g(x)+1 = (2x + 3)(g(x) – 5)
g(x)+1 = 2xg(x) – 10x + 3g(x) - 15
g(x)-2xg(x)-3g(x) = -10x -15 - 1
-2g(x)-2xg(x) = -10x - 16
g(x)[-2-2x] = -10x - 16
Jadi g(x) =
5
1


x
x
5)(
1)(


xg
xg
Jawab
1
85
22
1610
22
1610








x
x
x
x
x
x

Diketahui f(x) =
dan (f o g)(x) = 3x - 4
Tentukan g(x)!
13
32


x
x
Contoh: 4

f(x) =
(fog)(x) = 3x - 4
fg(x)] = 3x - 4
= 3x – 4
2g(x)+3 = (3x - 4)(3g(x) – 1)
2g(x)+3 = 9xg(x) – 3x - 12g(x) + 4
2g(x)-9xg(x)+12g(x) = -3x - 3 - 4
-9xg(x)+14g(x) = -3x - 7
g(x)[-9x+14] = -3x - 7
Jadi g(x) =
13
32


x
x
1)(3
3)(2


xg
xg
Jawab
149
73
149
73





x
x
x
x

Diketahui f(x) =
dan (f o g)(x) =
Tentukan g(x)!
54
3


x
x
2
1


x
x
Contoh: 5

f(g(x)) =
54
3


x
x
2
1


x
x
2
1


x
x
Jawab
2
1
5)(4
3)(





x
x
xg
xg
(g(x)+3)(x-2) = (x+1)(4g(x)-5)
xg(x)-2g(x)+3x-6 = 4xg(x)-5x+4g(x)-5
xg(x)-4xg(x)-2g(x)-4g(x) = -5x-3x-6-5
-3xg(x)-6g(x) = -8x-11
-3xg(x)-6g(x) = -8x-11
g(x)[-3x-6] = -8x-11
g(x) =
Dik : f(x) =
(fog)(x) =
63
118
63
118





x
x
x
x

Fungsi Invers
Diberikan fungsi . Kebalikan (invers)
fungsi f adalah relasi g dari Y ke X.
Apabila f : XY merupakan korespondensi 1-1
maka invers fungsi f juga merupakan fungsi
 Notasi invers fungsi adalah f¯¹
Penulisan invers fungsi f yaitu = f -1 (y) diganti
menjadi y = f -1 (x). Inversnya diganti/ditulis y = f (x) x
= f -1 (y) y = f -1 (x).
YXf :

Contoh: 1
Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi
f(x) = 2x + 6
Jawab :
y = f(x) = 2x+6
y = 2x+6
2x = y-6
x = ½(y-6)
Jadi : f¯¹ (y)= ½(y-6) atau f¯¹ (x)= ½(x-6)

Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi
f(x) = 3x – 1
Jawab :
y = f(x) = 3x - 1
y = 3x - 1
3x = y + 1
x = ⅓(y + 1)
Jadi : f¯¹ (y)= ⅓(y + 1) atau f¯¹ (x)= ⅓(x + 1)
Contoh: 2

Diketahui :
f(x) = x+3
g(x) = 5x – 2
Hitunglah (f◦g)¯ ¹(x)
 Cara 1
(f◦g)(x) = f(g(x))
= g(x) +3
= 5x-2+3
= 5x+1
(f◦g)¯¹(x) = y = 5x+1
5x = y-1
x = (y-1)/5
(f◦g)¯¹(x) = ⅕ x - ⅕
Contoh:
 Cara 2 :