1. Double Angles

2. Double Angles
 
sin 2  sin   

3. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 

4. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 
sin 2  2sin  cos 

5. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 
sin 2  2sin  cos 
cos 2  cos    

6. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 
sin 2  2sin  cos 
cos 2  cos    
 cos  cos   sin  sin 

7. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 
sin 2  2sin  cos 
cos 2  cos    
 cos  cos   sin  sin 
cos 2  cos 2   sin 2 

8. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 
sin 2  2sin  cos 
cos 2  cos    
 cos  cos   sin  sin 
cos 2  cos 2   sin 2 
 cos 2   1  cos 2  

9. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 
sin 2  2sin  cos 
cos 2  cos    
 cos  cos   sin  sin 
cos 2  cos 2   sin 2 
 cos 2   1  cos 2  
cos 2  2cos 2   1

10. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 
sin 2  2sin  cos 
cos 2  cos    
 cos  cos   sin  sin 
cos 2  cos 2   sin 2 
 cos 2   1  cos 2  
cos 2  2cos 2   1
 2 1  sin 2    1

11. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 
sin 2  2sin  cos 
cos 2  cos    
 cos  cos   sin  sin 
cos 2  cos 2   sin 2 
 cos 2   1  cos 2  
cos 2  2cos 2   1
 2 1  sin 2    1
cos 2  1  2sin 2 

12. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 
sin 2  2sin  cos 
cos 2  cos    
 cos  cos   sin  sin 
cos 2  cos 2   sin 2 
 cos 2   1  cos 2  
cos 2  2cos 2   1
 2 1  sin 2    1
cos 2  1  2sin 2 
tan 2  tan    

13. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 
sin 2  2sin  cos 
cos 2  cos    
 cos  cos   sin  sin 
cos 2  cos 2   sin 2 
 cos 2   1  cos 2  
cos 2  2cos 2   1
 2 1  sin 2    1
cos 2  1  2sin 2 
tan 2  tan    
tan   tan 

1  tan  tan 

14. Double Angles
 
sin 2  sin   
 sin  cos   cos  sin 
sin 2  2sin  cos 
cos 2  cos    
 cos  cos   sin  sin 
cos 2  cos 2   sin 2 
 cos 2   1  cos 2  
cos 2  2cos 2   1
 2 1  sin 2    1
cos 2  1  2sin 2 
tan 2  tan     2 tan 
tan   tan  tan 2 
 1  tan 2 
1  tan  tan 

15. Double Angles sin 2  2 sin  cos

16. Double Angles sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos 2   sin 2 

17. Double Angles sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos 2   sin 2 
 2 cos 2   1

18. Double Angles sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos 2   sin 2 
1
 2 cos   1
2
 cos   1  cos 2 
2
2

19. Double Angles sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos 2   sin 2 
1
 2 cos   1
2
 cos   1  cos 2 
2
2
 1 2 sin 2 

20. Double Angles sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos 2   sin 2 
1
 2 cos   1
2
 cos   1  cos 2 
2
2
1
 1 2 sin 2   sin   1  cos 2 
2
2

21. Double Angles sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos 2   sin 2 
1
 2 cos   1
2
 cos   1  cos 2 
2
2
1
 1 2 sin 2   sin   1  cos 2 
2
2
2 tan 
tan 2 
1  tan 2 

22. Double Angles sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos 2   sin 2 
1
 2 cos   1
2
 cos   1  cos 2 
2
2
1
 1 2 sin 2   sin   1  cos 2 
2
2
2 tan 
tan 2 
1  tan 2 
2
e.g.  i  If cos   , find tan 2
3

23. Double Angles sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos 2   sin 2 
1
 2 cos   1
2
 cos   1  cos 2 
2
2
1
 1 2 sin 2   sin   1  cos 2 
2
2
2 tan 
tan 2 
1  tan 2 
2
e.g.  i  If cos   , find tan 2
3 3
5

2

24. Double Angles sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos 2   sin 2 
1
 2 cos   1
2
 cos   1  cos 2 
2
2
1
 1 2 sin 2   sin   1  cos 2 
2
2
2 tan 
tan 2 
1  tan 2 
2
e.g.  i  If cos   , find tan 2
3 3
5
2 tan 
tan 2  
1  tan 2  2

25. Double Angles sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos 2   sin 2 
1
 2 cos   1
2
 cos   1  cos 2 
2
2
1
 1 2 sin 2   sin   1  cos 2 
2
2
2 tan 
tan 2 
1  tan 2 
2
e.g.  i  If cos   , find tan 2  5
3 2  3
tan 2  
2  5
2 tan 
tan 2  
2 
1  tan 2  5
1   2
 2 

26. Double Angles sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos 2   sin 2 
1
 2 cos   1
2
 cos   1  cos 2 
2
2
1
 1 2 sin 2   sin   1  cos 2 
2
2
2 tan 
tan 2 
1  tan 2 
2
e.g.  i  If cos   , find tan 2  5
3 2  3
2 tan  tan 2   2  5
tan 2   5
2 
1  tan 2  1   2
 2 
5

1

4
 4 5

27. 5 5
 ii  Find the exact value of sin cos
12 12

28. 5 5
 ii  Find the exact value of sin cos
12 12
5 5 1  5 5 
sin cos =  2sin cos 
12 12 2  12 12 

29. 5 5
 ii  Find the exact value of sin cos
12 12
5 5 1  5 5 
sin cos =  2sin cos 
12 12 2  12 12 
1  5 
= sin  2  
2  12 

30. 5 5
 ii  Find the exact value of sin cos
12 12
5 5 1  5 5 
sin cos =  2sin cos 
12 12 2  12 12 
1  5 
= sin  2  
2  12 
1 5
= sin
2 6

31. 5 5
 ii  Find the exact value of sin cos
12 12
5 5 1  5 5 
sin cos =  2sin cos 
12 12 2  12 12 
1  5 
= sin  2  
2  12 
1 5
= sin
2 6
1 1
= 
2 2
1
=
4

32. 2 
 iii  If cos  , find the exact value of sin
3 2

33. 2 
 iii  If cos  , find the exact value of sin
3 2
1
sin 2   1  cos 2 
2

34. 2 
 iii  If cos  , find the exact value of sin
3 2
1
1  cos 2 
sin 2  
2
2 1
 sin  1  cos  
2 2

35. 2 
 iii  If cos  , find the exact value of sin
3 2
1
1  cos 2 
sin 2  
2
2 1
 sin  1  cos  
2 2
1 2
 1  
2 3

36. 2 
 iii  If cos  , find the exact value of sin
3 2
1
sin 2  1  cos 2 
2
2 1
 sin  1  cos  
2 2
1 2
 1  
2 3
1

6

37. 2 
 iii  If cos  , find the exact value of sin
3 2
1
sin 2   1  cos 2 
2
2 1
 sin  1  cos  
2 2
1 2
 1  
2 3
1

6
 1
sin  
2 6

38. 1  cos 2 x
 iv  Prove  tan x
1  cos 2 x

39. 1  cos 2 x
 iv  Prove  tan x
1  cos 2 x
1  cos 2 x 1  1  2sin 2 x 

1  cos 2 x 1   2cos 2 x  1

40. 1  cos 2 x
 iv  Prove  tan x
1  cos 2 x
1  cos 2 x 1  1  2sin 2 x 

1  cos 2 x 1   2cos 2 x  1
2sin 2 x

2cos 2 x

41. 1  cos 2 x
 iv  Prove  tan x
1  cos 2 x
1  cos 2 x 1  1  2sin 2 x 

1  cos 2 x 1   2cos 2 x  1
2sin 2 x

2cos 2 x
sin 2 x

cos 2 x

42. 1  cos 2 x
 iv  Prove  tan x
1  cos 2 x
1  cos 2 x 1  1  2sin 2 x 

1  cos 2 x 1   2cos 2 x  1
2sin 2 x

2cos 2 x
sin 2 x

cos 2 x
 tan 2 x

43. 1  cos 2 x
 iv  Prove  tan x
1  cos 2 x
1  cos 2 x 1  1  2sin 2 x 

1  cos 2 x 1   2cos 2 x  1
2sin 2 x

2cos 2 x
sin 2 x

cos 2 x
 tan 2 x
 tan x

44. sin 3 cos3
(v) Prove that  2 1996 Extension 1 HSC Q4a)
sin cos

45. sin 3 cos3
(v) Prove that  2 1996 Extension 1 HSC Q4a)
sin cos
sin 3 cos3 sin 3 cos   cos3 sin 
 
sin  cos  sin  cos 

46. sin 3 cos3
(v) Prove that  2 1996 Extension 1 HSC Q4a)
sin cos
sin 3 cos3 sin 3 cos   cos3 sin 
 
sin  cos  sin  cos 
2 sin 3   

2 sin  cos

47. sin 3 cos3
(v) Prove that  2 1996 Extension 1 HSC Q4a)
sin cos
sin 3 cos3 sin 3 cos   cos3 sin 
 
sin  cos  sin  cos 
2 sin 3   

2 sin  cos
2 sin 2

sin 2

48. sin 3 cos3
(v) Prove that  2 1996 Extension 1 HSC Q4a)
sin cos
sin 3 cos3 sin 3 cos   cos3 sin 
 
sin  cos  sin  cos 
2 sin 3   

2 sin  cos
2 sin 2

sin 2
2

49. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a)
2 tan A
 sin 2 A
1  tan A
2

50. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a)
2 tan A
 sin 2 A
1  tan A
2
2sin A
2 tan A
 cos A
1  tan 2 A sin 2 A
1
cos 2 A

51. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a)
2 tan A
 sin 2 A
1  tan A
2
2sin A
2 tan A
 cos A
1  tan 2 A sin 2 A
1
cos 2 A
2 sin A cos A

cos 2 A  sin 2 A

52. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a)
2 tan A
 sin 2 A
1  tan A
2
2sin A
2 tan A
 cos A
1  tan 2 A sin 2 A
1
cos 2 A
2 sin A cos A

cos 2 A  sin 2 A
sin 2 A

1

53. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a)
2 tan A
 sin 2 A
1  tan A
2
2sin A
2 tan A
 cos A
1  tan 2 A sin 2 A
1
cos 2 A
2 sin A cos A

cos 2 A  sin 2 A
sin 2 A

1
 sin 2 A

54. (vi) Prove the following identity; 1994 Extension 1 HSC Q2a)
2 tan A
 sin 2 A
1  tan A
2
2sin A
2 tan A
 cos A
1  tan 2 A sin 2 A
1
cos 2 A
2 sin A cos A

cos 2 A  sin 2 A
sin 2 A

1
 sin 2 A
Book2
Exercise 2A; 2ade, 3bde, 5adej, 7, 8adg, 10ab, 11, 13ck, 16, 19*