1. Exponentials

2. Exponentials
y
x

3. Exponentials
y
y  ax
a  1
1
x

4. Exponentials
ya
0  a  1
x
y
y  ax
a  1
1
x

5. Exponentials
ya
0  a  1
x
y
1
y  ax
a  1
 y  ax


0  a  1 


x

6. Exponentials
ya
0  a  1
x
y
x
y  a 


a  1 
1
y  ax
a  1
 y  ax


0  a  1 


x

7. Exponentials
ya
0  a  1
x
y
x
y  a 


a  1 
1
y  ax
a  1
 y  ax


0  a  1 


x
domain : all real x

8. Exponentials
ya
0  a  1
x
y
x
y  a 


a  1 
1
y  ax
a  1
 y  ax


0  a  1 


x
domain : all real x
range : y  0

9. Exponentials
ya
0  a  1
x
y
x
y  a 


a  1 
1
y  ax
a  1
 y  ax


0  a  1 


x
domain : all real x
range : y  0
y  ex

10. ya
x
Exponentials
y
0  a  1
x
y  a 


a  1 
1
y  ax
a  1
 y  ax


0  a  1 


x
domain : all real x
range : y  0
y  ex
  1
e is an irrational number, it is defined as; lim1 
n  
n
n

11. ya
x
Exponentials
y
0  a  1
x
y  a 


a  1 
1
y  ax
a  1
 y  ax


0  a  1 


x
domain : all real x
range : y  0
y  ex
  1
e is an irrational number, it is defined as; lim1 
n  
n
n
e  2.718281828

12. ya
x
Exponentials
y
0  a  1
x
y  a 


a  1 
1
y  ax
a  1

 y  ax

0  a  1 


x
domain : all real x
range : y  0
y  ex
1  1 
e is an irrational number, it is defined as; lim

n  
n
n
e  2.718281828
e.g. e3  20.086 (to 3 dp)

13. Differentiating
Exponentials

14. Differentiating
Exponentials
y  e f x

15. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx

16. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx
y  a f x

17. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx
y  a f x
dy
 f  x log a a f  x 
dx

18. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx
e.g. i  y  e x
y  a f x
dy
 f  x log a a f  x 
dx

19. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx
e.g. i  y  e x
dy
 ex
dx
y  a f x
dy
 f  x log a a f  x 
dx

20. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx
e.g. i  y  e x
dy
 ex
dx
ii  y  e5 x
y  a f x
dy
 f  x log a a f  x 
dx

21. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx
e.g. i  y  e x
dy
 ex
dx
ii  y  e5 x
dy
 5e5 x
dx
y  a f x
dy
 f  x log a a f  x 
dx

22. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx
e.g. i  y  e x
dy
 ex
dx
ii  y  e5 x
dy
 5e5 x
dx
y  a f x
dy
 f  x log a a f  x 
dx
iii  y  e 4 x 3

23. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx
e.g. i  y  e x
dy
 ex
dx
ii  y  e5 x
dy
 5e5 x
dx
y  a f x
dy
 f  x log a a f  x 
dx
iii  y  e 4 x 3
dy
 4e 4 x  3
dx

24. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx
e.g. i  y  e
dy
 ex
dx
x
ii  y  e
5x
dy
 5e5 x
dx
y  a f x
dy
 f  x log a a f  x 
dx
iii  y  e
4 x 3
dy
 4e 4 x  3
dx
iv  y  e
x 2 3 x  2

25. Differentiating
Exponentials
y  e f x
dy
 f  x e f  x 
dx
e.g. i  y  e
dy
 ex
dx
x
ii  y  e
5x
dy
 5e5 x
dx
y  a f x
dy
 f  x log a a f  x 
dx
iii  y  e
4 x 3
dy
 4e 4 x  3
dx
iv  y  e
x 2 3 x  2
dy
x 2 3 x  2
 2 x  3e
dx

26. (v) y  3 x 2 e 4 x

27. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx

28. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1

29. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1
vi  y  e  2
3x
7

30. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1
vi  y  e  2
3x
7
6
dy
3x
 7e  2  3e3 x 
dx

31. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1
vi  y  e  2
3x
7
6
dy
3x
 7e  2  3e3 x 
dx
6
3x 3x
 21e e  2 

32. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1
ex
vii  y  x
e 3
vi  y  e  2
3x
7
6
dy
3x
 7e  2  3e3 x 
dx
6
3x 3x
 21e e  2 

33. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1
ex
vii  y  x
e 3
dy e x  3e x   e x e x 

2
x
dx
e  3
vi  y  e  2
3x
7
6
dy
3x
 7e  2  3e3 x 
dx
6
3x 3x
 21e e  2 

34. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1
ex
vii  y  x
e 3
dy e x  3e x   e x e x 

2
x
dx
e  3
e 2 x  3e x  e 2 x

2
x
e  3

e
3e x
x
 3
2
vi  y  e  2
3x
7
6
dy
3x
 7e  2  3e3 x 
dx
6
3x 3x
 21e e  2 

35. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1
ex
vii  y  x
e 3
dy e x  3e x   e x e x 

2
x
dx
e  3
e 2 x  3e x  e 2 x

2
x
e  3

e
3e x
x
 3
2
vi  y  e  2
3x
7
6
dy
3x
 7e  2  3e3 x 
dx
6
3x 3x
 21e e  2 
viii  Find the tangent to y  e 2 x  1
at the point 1, e 2  1

36. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1
ex
vii  y  x
e 3
dy e x  3e x   e x e x 

2
x
dx
e  3
e 2 x  3e x  e 2 x

2
x
e  3

e
3e x
x
 3
2
vi  y  e  2
3x
7
6
dy
3x
 7e  2  3e3 x 
dx
6
3x 3x
 21e e  2 
viii  Find the tangent to y  e 2 x  1
at the point 1, e 2  1
y  e2 x  1
dy
 2e 2 x
dx

37. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1
ex
vii  y  x
e 3
dy e x  3e x   e x e x 

2
x
dx
e  3
e 2 x  3e x  e 2 x

2
x
e  3

e
3e x
x
 3
2
vi  y  e  2
3x
7
6
dy
3x
 7e  2  3e3 x 
dx
6
3x 3x
 21e e  2 
viii  Find the tangent to y  e 2 x  1
at the point 1, e 2  1
y  e2 x  1
dy
 2e 2 x
dx
dy
when x  1,  2e 2
dx

38. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1
ex
vii  y  x
e 3
dy e x  3e x   e x e x 

2
x
dx
e  3
e 2 x  3e x  e 2 x

2
x
e  3

e
3e x
x
 3
2
vi  y  e  2
3x
7
6
dy
3x
 7e  2  3e3 x 
dx
6
3x 3x
 21e e  2 
viii  Find the tangent to y  e 2 x  1
at the point 1, e 2  1
y  e2 x  1
dy
 2e 2 x
dx
dy
when x  1,  2e 2
dx
y  e 2  1  2e 2  x  1

39. (v) y  3 x 2 e 4 x
dy
 3 x 2 4e 4 x   e 4 x 6 x 
dx
 12 x 2 e 4 x  6 xe 4 x
 6 xe 4 x 2 x  1
ex
vii  y  x
e 3
dy e x  3e x   e x e x 

2
x
dx
e  3
e 2 x  3e x  e 2 x

2
x
e  3

e
3e x
x
 3
2
vi  y  e  2
3x
7
6
dy
3x
 7e  2  3e3 x 
dx
6
3x 3x
 21e e  2 
viii  Find the tangent to y  e 2 x  1
at the point 1, e 2  1
y  e2 x  1
dy
 2e 2 x
dx
dy
when x  1,  2e 2
dx
y  e 2  1  2e 2  x  1
y  e 2  1  2e 2 x  2e 2
2e 2 x  y  e 2  1  0

40. ix  y  4
x2

41. ix  y  4
x2
dy
x2
 2 xlog 4 4
dx

42. ix  y  4
x2
dy
x2
 2 xlog 4 4
dx
 x  y  log x

43. ix  y  4
x2
dy
x2
 2 xlog 4 4
dx
 x  y  log x
x  ey

44. ix  y  4
x2
dy
x2
 2 xlog 4 4
dx
 x  y  log x
x  ey
dx
 ey
dy

45. ix  y  4
x2
dy
x2
 2 xlog 4 4
dx
 x  y  log x
x  ey
dx
 ey
dy
dy 1
 y
dx e

46. ix  y  4
x2
dy
x2
 2 xlog 4 4
dx
 x  y  log x
x  ey
dx
 ey
dy
dy 1
 y
dx e
1

x

47. ix  y  4
x2
dy
x2
 2 xlog 4 4
dx
 x  y  log x
x  ey
dx
 ey
dy
dy 1
 y
dx e
1

x
Exercise 13A; 1 to 4 ace etc, 6 to 8 ace, 10 to 12 ac
Exercise 13B; 4, 7, 8 to 22 evens (not 18)