1. Trig Integrals

2. Trig Integrals
(1) Standard Integrals
1
 sin axdx   a cos ax  c

3. Trig Integrals
(1) Standard Integrals
1
 sin axdx   a cos ax  c
1
 cos axdx  a sin ax  c

4. Trig Integrals
(1) Standard Integrals
1
 sin axdx   a cos ax  c
1
 cos axdx  a sin ax  c
1
 sec 2 axdx  tan ax  c
a

5. Trig Integrals
(1) Standard Integrals
1
 sin axdx   a cos ax  c
1
 cos axdx  a sin ax  c
1
 sec 2 axdx  tan ax  c
a
sin ax
 tan axdx  
cos ax
dx

6. Trig Integrals
(1) Standard Integrals
1
 sin axdx   a cos ax  c
1
 cos axdx  a sin ax  c
1
 sec 2 axdx  tan ax  c
a
sin ax
 tan axdx  
cos ax
dx
1 1
  log cos ax  c OR log sec ax  c
a a

7. 2 sin n x or cos n x

8. 2 sin n x or cos n x
 sin xdx   cos x  c

9. 2 sin n x or cos n x
 sin xdx   cos x  c
 sin 2 xdx

10. 2 sin n x or cos n x
 sin xdx   cos x  c
1
 sin 2 xdx 
2  1  cos 2 x dx

11. 2 sin n x or cos n x
 sin xdx   cos x  c
1
 sin 2 xdx 
2  1  cos 2 x dx
  x  sin 2 x   c

1 1

2 2 

12. 2 sin n x or cos n x
 sin xdx   cos x  c
1
 sin 2 xdx 
2  1  cos 2 x dx
  x  sin 2 x   c

1 1

2 2 
 sin 3 xdx

13. 2 sin n x or cos n x
 sin xdx   cos x  c
1
 sin 2 xdx 
2  1  cos 2 x dx
  x  sin 2 x   c

1 1

2 2 
 sin 3 xdx   sin x sin xdx
2

14. 2 sin n x or cos n x
 sin xdx   cos x  c
1
 sin 2 xdx 
2  1  cos 2 x dx
  x  sin 2 x   c

1 1

2 2 
 sin 3 xdx   sin x sin xdx
2
  sin x1  cos 2 x dx

15. 2 sin n x or cos n x
 sin xdx   cos x  c
1
 sin 2 xdx 
2  1  cos 2 x dx
  x  sin 2 x   c

1 1

2 2 
 sin 3 xdx   sin x sin xdx
2
  sin x1  cos 2 x dx u  cos x
du   sin xdx

16. 2 sin n x or cos n x
 sin xdx   cos x  c
1
 sin 2 xdx 
2  1  cos 2 x dx
  x  sin 2 x   c

1 1

2 2 
 sin 3 xdx   sin x sin xdx
2
  sin x1  cos 2 x dx u  cos x
du   sin xdx
   1  u 2 du

17. 2 sin n x or cos n x
 sin xdx   cos x  c
1
 sin 2 xdx 
2  1  cos 2 x dx
  x  sin 2 x   c

1 1

2 2 
 sin 3 xdx   sin x sin xdx
2
  sin x1  cos 2 x dx u  cos x
du   sin xdx
   1  u 2 du
1 3
 u u c
3
1 3
 cos x  cos x  c
3

18. 2 sin n x or cos n x
 sin xdx   cos x  c
1
 sin 2 xdx 
2  1  cos 2 x dx
  x  sin 2 x   c

1 1

2 2 
 sin 3 xdx   sin x sin xdx
2
  sin x1  cos 2 x dx u  cos x
du   sin xdx
   1  u 2 du
Odd Power
1 3
 u u c Factorise as sin xsin x 
2 some power
3
1 3 Substitute sin 2 x  1  cos 2 x
 cos x  cos x  c
3 Use u  cos x

19.  sin 4 xdx

20.  sin xdx   sin x  dx
4 2 2

21.  sin xdx   sin x  dx
4 2 2
1
  1  cos 2 x  dx
2
4

22.  sin xdx   sin x  dx
4 2 2
1
  1  cos 2 x  dx
2
4
  1  2 cos 2 x  cos 2 2 x dx
1
4

23.  sin xdx   sin x  dx
4 2 2
1
  1  cos 2 x  dx
2
4
  1  2 cos 2 x  cos 2 2 x dx
1
4
  1  2 cos 2 x  1  cos 4 x  dx
1  1
4  2 


24.  sin xdx   sin x  dx
4 2 2
1
  1  cos 2 x  dx
2
4
  1  2 cos 2 x  cos 2 2 x dx
1
4
  1  2 cos 2 x  1  cos 4 x  dx
1  1
4  2 

    2 cos 2 x  cos 4 x dx
1 3 1

4 2 2 

25.  sin xdx   sin x  dx
4 2 2
1
  1  cos 2 x  dx
2
4
  1  2 cos 2 x  cos 2 2 x dx
1
4
  1  2 cos 2 x  1  cos 4 x  dx
1  1
4  2 

    2 cos 2 x  cos 4 x dx
1 3 1

4 2 2 
  x  sin 2 x  sin 4 x   c
13 1

42 8 

26. xdx   sin x  dx
Even Power
 sin
4 2 2
Factorise as sin x 
2 some power
1
  1  cos 2 x  dx
2
1
4 Substitute sin x  1  cos 2 x 
2
2
  1  2 cos 2 x  cos 2 2 x dx
1
4
  1  2 cos 2 x  1  cos 4 x  dx
1  1
4  2 

    2 cos 2 x  cos 4 x dx
1 3 1

4 2 2 
  x  sin 2 x  sin 4 x   c
13 1

42 8 

27.  sin 5 xdx

28.  sin xdx   sin xsin x  dx
5 2 2

29.  sin xdx   sin xsin x  dx
5 2 2
  sin x1  cos x  dx
2 2

30.  sin xdx   sin xsin x  dx
5 2 2
  sin x1  cos x  dx u  cos x
2 2
du   sin xdx

31.  sin xdx   sin xsin x  dx
5 2 2
  sin x1  cos x  dx u  cos x
2 2
du   sin xdx
   1  u  du
2 2
   1  2u 2  u 4 du

32.  sin xdx   sin xsin x  dx
5 2 2
  sin x1  cos x  dx u  cos x
2 2
du   sin xdx
   1  u  du
2 2
   1  2u 2  u 4 du
 u  2 u3  1 u5   c
  
 3 5 
2 1
  cos x  cos x  cos 5 x  c
3
3 5

33. 3 sin n x and cos n x

34. 3 sin n x and cos n x
Usually done by substitution u  sin x or u  cos x

35. 3 sin n x and cos n x
Usually done by substitution u  sin x or u  cos x
e.g. i  cos 5 x sin 3 xdx

36. 3 sin n x and cos n x
Usually done by substitution u  sin x or u  cos x
e.g. i  cos 5 x sin 3 xdx
  cos5 x1  cos 2 x sin xdx

37. 3 sin n x and cos n x
Usually done by substitution u  sin x or u  cos x
e.g. i  cos 5 x sin 3 xdx
  cos5 x1  cos 2 x sin xdx u  cos x
du   sin xdx

38. 3 sin n x and cos n x
Usually done by substitution u  sin x or u  cos x
e.g. i  cos 5 x sin 3 xdx
  cos5 x1  cos 2 x sin xdx u  cos x
   u 5 1  u 2 du
du   sin xdx
  u 7  u 5 du

39. 3 sin n x and cos n x
Usually done by substitution u  sin x or u  cos x
e.g. i  cos 5 x sin 3 xdx
  cos5 x1  cos 2 x sin xdx u  cos x
   u 5 1  u 2 du
du   sin xdx
  u 7  u 5 du
1 8 1 6
 u  u c
8 6
1 8 1
 cos x  cos 6 x  c
8 6

40. 3 sin n x and cos n x
Usually done by substitution u  sin x or u  cos x
e.g. i  cos 5 x sin 3 xdx
  cos5 x1  cos 2 x sin xdx u  cos x
   u 5 1  u 2 du
du   sin xdx
  u 7  u 5 du
Both powers odd
1 8 1 6
 u  u c Choose either as u
8 6
Usually the higher power
1 8 1
 cos x  cos 6 x  c
8 6

41. ii  sin 6 x cos3 xdx

42. ii  sin 6 x cos3 xdx
  sin 6 x1  sin 2 x cos xdx

43. ii  sin 6 x cos3 xdx
  sin 6 x1  sin 2 x cos xdx u  sin x
du  cos xdx

44. ii  sin 6 x cos3 xdx
  sin 6 x1  sin 2 x cos xdx u  sin x
  u 6 1  u 2 du du  cos xdx
  u 6  u 8 du

45. ii  sin 6 x cos3 xdx
  sin 6 x1  sin 2 x cos xdx u  sin x
  u 6 1  u 2 du du  cos xdx
  u 6  u 8 du
1 7 1 9
 u  u c
7 9
1 7 1 9
 sin x  sin x  c
7 9

46. ii  sin 6 x cos3 xdx
  sin 6 x1  sin 2 x cos xdx u  sin x
  u 6 1  u 2 du du  cos xdx
  u 6  u 8 du
One power odd & one power even
1 7 1 9
 u  u c Choose even as u
7 9
1 7 1 9
 sin x  sin x  c
7 9

47. ii  sin 6 x cos3 xdx
  sin 6 x1  sin 2 x cos xdx u  sin x
  u 6 1  u 2 du du  cos xdx
  u 6  u 8 du
One power odd & one power even
1 7 1 9
 u  u c Choose even as u
7 9
1 7 1 9
 sin x  sin x  c
7 9
iii  sin 2 x cos 2 xdx

48. ii  sin 6 x cos3 xdx
  sin 6 x1  sin 2 x cos xdx u  sin x
  u 6 1  u 2 du du  cos xdx
  u 6  u 8 du
One power odd & one power even
1 7 1 9
 u  u c Choose even as u
7 9
1 7 1 9
 sin x  sin x  c
7 9
iii  sin 2 x cos 2 xdx   sin 2 x1  sin 2 x dx

49. ii  sin 6 x cos3 xdx
  sin 6 x1  sin 2 x cos xdx u  sin x
  u 6 1  u 2 du du  cos xdx
  u 6  u 8 du
One power odd & one power even
1 7 1 9
 u  u c Choose even as u
7 9
1 7 1 9
 sin x  sin x  c
7 9
iii  sin 2 x cos 2 xdx   sin 2 x1  sin 2 x dx
  sin 2 x  sin 4 x dx

50. ii  sin 6 x cos3 xdx
  sin 6 x1  sin 2 x cos xdx u  sin x
  u 6 1  u 2 du du  cos xdx
  u 6  u 8 du
One power odd & one power even
1 7 1 9
 u  u c Choose even as u
7 9
1 7 1 9
 sin x  sin x  c
7 9
iii  sin 2 x cos 2 xdx   sin 2 x1  sin 2 x dx
  sin 2 x  sin 4 x dx
1 1 3 1 1
 x  sin 2 x  x  sin 2 x  sin 4 x  c
2 4 8 4 32

51. ii  sin 6 x cos3 xdx
  sin 6 x1  sin 2 x cos xdx u  sin x
  u 6 1  u 2 du du  cos xdx
  u 6  u 8 du
One power odd & one power even
1 7 1 9
 u  u c Choose even as u
7 9
1 7 1 9
 sin x  sin x  c
7 9
iii  sin 2 x cos 2 xdx   sin 2 x1  sin 2 x dx
  sin 2 x  sin 4 x dx
1 1 3 1 1
 x  sin 2 x  x  sin 2 x  sin 4 x  c
2 4 8 4 32
1 1
 x  sin 4 x  c
8 32

52. ii  sin 6 x cos3 xdx
  sin 6 x1  sin 2 x cos xdx u  sin x
  u 6 1  u 2 du du  cos xdx
  u 6  u 8 du
One power odd & one power even
1 7 1 9
 u  u c Choose even as u
7 9
1 7 1 9
 sin x  sin x  c
7 9
iii  sin 2 x cos 2 xdx   sin 2 x1  sin 2 x dx
  sin 2 x  sin 4 x dx
Both powers even
1 1 3 1 1
Use sin x  1  cos x
2 2  x  sin 2 x  x  sin 2 x  sin 4 x  c
2 4 8 4 32
or cos 2 x  1  sin 2 x 1 1
 x  sin 4 x  c
8 32

53. 4 tan n x or cot n x

54. 4 tan n x or cot n x
 tan xdx   log cos x  c

55. 4 tan n x or cot n x
 tan xdx   log cos x  c
 tan xdx
2

56. 4 tan n x or cot n x
 tan xdx   log cos x  c
 tan xdx   sec x  1dx
2 2

57. 4 tan n x or cot n x
 tan xdx   log cos x  c
 tan xdx   sec x  1dx
2 2
 tan x  x  c

58. 4 tan n x or cot n x
 tan xdx   log cos x  c
 tan xdx   sec x  1dx
2 2
 tan x  x  c
 tan 3 xdx

59. 4 tan n x or cot n x
 tan xdx   log cos x  c
 tan xdx   sec x  1dx
2 2
 tan x  x  c
 tan 3 xdx   tan xsec 2 x  1dx
  tan x sec 2 xdx   tan xdx

60. 4 tan n x or cot n x
 tan xdx   log cos x  c
 tan xdx   sec x  1dx
2 2
 tan x  x  c
 tan 3 xdx   tan xsec 2 x  1dx
  tan x sec 2 xdx   tan xdx u  tan x
du  sec 2 xdx

61. 4 tan n x or cot n x
 tan xdx   log cos x  c
 tan xdx   sec x  1dx
2 2
 tan x  x  c
 tan 3 xdx   tan xsec 2 x  1dx
  tan x sec 2 xdx   tan xdx u  tan x
  udu   tan xdx du  sec 2 xdx

62. 4 tan n x or cot n x
 tan xdx   log cos x  c
 tan xdx   sec x  1dx
2 2
 tan x  x  c
 tan 3 xdx   tan xsec 2 x  1dx
  tan x sec 2 xdx   tan xdx u  tan x
  udu   tan xdx du  sec 2 xdx
1
 u 2  log cos x  c
2
1
 tan 2 x  log cos x  c
2

63.  tan 4 xdx

64.  tan 4 xdx   tan 2 xsec 2 x  1dx
  tan 2 x sec 2 xdx   tan 2 xdx

65.  tan 4 xdx   tan 2 xsec 2 x  1dx
  tan 2 x sec 2 xdx   tan 2 xdx u  tan x
du  sec 2 xdx

66.  tan 4 xdx   tan 2 xsec 2 x  1dx
  tan 2 x sec 2 xdx   tan 2 xdx u  tan x
  u du   tan xdx
2 2 du  sec 2 xdx

67.  tan 4 xdx   tan 2 xsec 2 x  1dx
  tan 2 x sec 2 xdx   tan 2 xdx u  tan x
  u du   tan xdx
2 2 du  sec 2 xdx
1
 u 3  tan x  x  c
3
1
 tan 3 x  tan x  x  c
3

68. 5 sec n x or cosecn x

69. 5 sec n x or cosecn x
 sec xdx

70. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx

71. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x

72. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c

73. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c

74. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c
 sec3 xdx

75. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c
 sec3 xdx   sec x sec 2 xdx

76. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c
 sec3 xdx   sec x sec 2 xdx u  sec x

77. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c
 sec3 xdx   sec x sec 2 xdx u  sec x
du  sec x tan xdx

78. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c
 sec3 xdx   sec x sec 2 xdx u  sec x
du  sec x tan xdx dv  sec 2 xdx

79. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c
 sec3 xdx   sec x sec 2 xdx u  sec x v  tan x
du  sec x tan xdx dv  sec 2 xdx

80. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c
 sec3 xdx   sec x sec 2 xdx u  sec x v  tan x
 sec x tan x   sec x tan 2 xdx du  sec x tan xdx dv  sec 2 xdx

81. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c
 sec3 xdx   sec x sec 2 xdx u  sec x v  tan x
 sec x tan x   sec x tan 2 xdx du  sec x tan xdx dv  sec 2 xdx
 sec x tan x   sec xsec 2 x  1dx
 sec x tan x   sec3 xdx   sec xdx
 sec x tan x   sec3 xdx  logsec x  tan x 

82. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c
 sec3 xdx   sec x sec 2 xdx u  sec x v  tan x
 sec x tan x   sec x tan 2 xdx du  sec x tan xdx dv  sec 2 xdx
 sec x tan x   sec xsec 2 x  1dx
 sec x tan x   sec3 xdx   sec xdx
 sec x tan x   sec3 xdx  logsec x  tan x 
 2  sec3 xdx  sec x tan x  logsec x  tan x   c

83. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c
 sec3 xdx   sec x sec 2 xdx u  sec x v  tan x
 sec x tan x   sec x tan 2 xdx du  sec x tan xdx dv  sec 2 xdx
 sec x tan x   sec xsec 2 x  1dx
 sec x tan x   sec3 xdx   sec xdx
 sec x tan x   sec3 xdx  logsec x  tan x 
 2  sec3 xdx  sec x tan x  logsec x  tan x   c
1 1
 sec3 xdx  sec x tan x  logsec x  tan x   c
2 2

84. 5 sec n x or cosecn x
sec xsec x  tan x 
 sec xdx 
sec x  tan x
dx
sec 2 x  sec x tan x
 dx
sec x  tan x
 logsec x  tan x   c
 sec 2 xdx  tan x  c
 sec3 xdx   sec x sec 2 xdx u  sec x v  tan x
 sec x tan x   sec x tan 2 xdx du  sec x tan xdx dv  sec 2 xdx
 sec x tan x   sec xsec 2 x  1dx
Odd powers
 sec x tan x   sec xdx   sec xdx
3
Done by parts
 sec x tan x   sec3 xdx  logsec x  tan x 
 2  sec3 xdx  sec x tan x  logsec x  tan x   c
1 1
 sec3 xdx  sec x tan x  logsec x  tan x   c
2 2

85.  sec 4 xdx

86.  sec 4 xdx   sec 2 x1  tan 2 x dx

87.  sec 4 xdx   sec 2 x1  tan 2 x dx u  tan x
du  sec 2 xdx

88.  sec 4 xdx   sec 2 x1  tan 2 x dx u  tan x
  1  u du
2 du  sec 2 xdx

89.  sec 4 xdx   sec 2 x1  tan 2 x dx u  tan x
  1  u du
2 du  sec 2 xdx
1 3
u u c
3
1 3
 tan x  tan x  c
3

90.  sec 4 xdx   sec 2 x1  tan 2 x dx u  tan x
  1  u du
2 du  sec 2 xdx
1 3 Even Power
u u c
Factorise as sec xsec x 
3 2 2 some power
1 3
 tan x  tan x  c Substitute sec 2 x  1  tan 2 x
3
Use u  tan x

91.  sec 4 xdx   sec 2 x1  tan 2 x dx u  tan x
  1  u du
2 du  sec 2 xdx
1 3 Even Power
u u c
Factorise as sec xsec x 
3 2 2 some power
1 3
 tan x  tan x  c Substitute sec 2 x  1  tan 2 x
3
Use u  tan x
Exercise 2C; 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 17, 18