Partículas elementales de la física y química.

1. Part´
ıculas Elementales
Joaqu´ G´mez Camacho
ın o
June 6, 2001

2. ´
PROLOGO
Estos apuntes contienen la materia de la asignatura “Part´
ıculas Elementales” que se
imparte en el quinto curso de la especialidad de Fundamental de la licenciatura de F´
ısicas
de la Universidad de Sevilla.
El objetivo principal de los apuntes es introducir el Modelo Est´ndar, que es la teor´
a
ıa
que describe los componentes fundamentales de la naturaleza y sus interacciones. Se
presupone que el lector sabe que la materia est´ compuesta de electrones, protones y
a
neutrones, y que ´stos interaccionan entre s´ mediante interacciones electromagn´ticas,
e
ı
e
fuertes y d´biles seg´n las leyes de la mec´nica cu´ntica. A partir de ah´ se introducen
e
u
a
a
ı,
las restantes part´
ıculas subat´micas y se describen sus propiedades, su estructura, las
o
part´
ıculas elementales que las componen y sus interacciones, de tal forma que, al final,
el lector sepa que la materia est´ compuesta de quarks y leptones, que interactuan por
a
la interacci´n de color y la interacci´n electrod´bil en el marco de una clase especial de
o
o
e
teor´ cu´nticas de campo llamadas teor´ gauge locales.
ıas a
ıas
El cap´
ıtulo primero contiene una breve introducci´n hist´rica que describe la evoluci´n
o
o
o
del “paradigma” que describe lo que, en cada momento hist´rico, se consideraba como los
o
componentes fundamentales de la naturaleza. Esta introducci´n tiene gran importancia
o
ya que pone en su contexto la importancia del objetivo principal de la asignatura, que
no es otro que introducir el Modelo Est´ndar como paradigma actual de los componentes
a
fundamentales de la naturaleza.
El cap´
ıtulo segundo describe las propiedades de las part´
ıculas utilizando las interacciones que aparecen en f´
ısica nuclear (fuerte, electromagn´tica y d´bil), y la teor´ cu´ntica
e
e
ıa a
no relativista. En concreto, se relaciona, usando la regla de oro de Fermi, el tiempo de
vida de una part´
ıcula con el hamiltoniano de interacci´n que produce su decaimiento.
o
El cap´
ıtulo tercero contiene una descripci´n fenomenol´gica de la gran diversidad de
o
o
part´
ıculas subat´micas que se descubrieron a lo largo de este siglo. Entre las part´
o
ıculas
subat´micas, los leptones, que no sienten la interacci´n fuerte, aparecen como part´
o
o
ıculas
´
elementales. Estos son el electr´n, el mu´n, la tau y sus neutrinos respectivos. Los
o
o
hadrones, que sienten la interacci´n fuerte, no son elementales. Han de introducirse
o
una serie de n´meros cu´nticos (n´mero bari´nico, extra˜eza, isosp´ para realizar una
u
a
u
o
n
ın)
clasificaci´n preliminar de los hadrones.
o
En el cap´
ıtulo cuarto se introduce la descripci´n de la interacci´n entre las part´
o
o
ıculas
subat´micas usando la teor´ cu´ntica de campos. Esta secci´n es breve, ya que se supone
o
ıa a
o
que la mayor´ de los estudiantes han cursado un asignatura espec´
ıa
ıfica de teor´ cu´ntica
ıa a
de campos. Si este no fuera el caso, deber´ ampliarse esta secci´n para incluir el concepto
ıa
o
de segunda cuantizaci´n y los diagramas de Feynmann.
o
En el cap´
ıtulo quinto se describen las simetr´ discretas C, P y T en mec´nica cl´sica,
ıas
a
a
mec´nica cu´ntica y teor´ cu´ntica de campos, exponiendo sus consecuencias observables,
a
a
ıa a
as´ como las evidencias de su violaci´n por la interacci´n d´bil.
ı
o
o e
El cap´
ıtulo sexto se dedica a introducir los conceptos relevantes de la teor´ de grupos.
ıa
Se introducen con el suficiente rigor y generalidad los conceptos de representaciones irreducibles, los operadores tensoriales y el teorema de Wigner-Eckart. Se estudia en detalle
el grupo sim´trico S(N).
e
En el cap´
ıtulo s´ptimo se estudian los grupos de Lie, introduciendo los generadores.
e
Se estudian en detalle los grupos unitarios U(1), SU(2) y SU(3), utilizando los diagramas
de Young.
1

3. Estos dos cap´
ıtulos son autocontenidos, de forma que pueden servir para otras asignaturas (f´
ısica at´mica, f´
o
ısica nuclear, estado s´lido) en las que se usa la teor´ de grupos.
o
ıa
Por otro lado, estos cap´
ıtulos podr´ resumirse u omitirse para estudiantes que hubieran
ıan
dado un curso espec´
ıfico de teor´ de grupos.
ıa
El cap´
ıtulo octavo trata del modelo SU(3) de sabor. El modelo SU(3) de sabor es un
modelo fenomenol´gico que explota el hecho de que los hadrones pueden agruparse en
o
multipletes que generan representaciones irreducibles del grupo SU(3). De esta forma, se
obtienen las f´rmulas de masas, probabilidades de decaimiento y muchas relaciones entre
o
las propiedades de las part´
ıculas de un mismo multiplete.
El cap´
ıtulo noveno trata del modelo de quarks. El modelo de quarks surge del modelo
SU(3) al asignarle entidad f´
ısica a los estados de la representaci´n fundamental del grupo
o
SU(3). De esta manera, aparecen los quarks u, d y s. Los quarks pesados c, b y t
se descubrieron posteriormente. Es destacable la capacidad del modelo de quarks para
describir los momentos magn´ticos de los bariones. Una vez que se describen los hadrones
e
como entes compuestos de quarks, las interacciones de los hadrones han de referirse a las
de los quarks que los componen. De esta forma, aparece la interacci´n de color entre los
o
quarks.
El cap´
ıtulo d´cimo y ultimo trata de las teor´ gauge locales. Se describe expl´
e
´
ıas
ıcitamente
c´mo la exigencia de la invariancia del lagrangiano de un sistema de fermiones sin intero
acci´n frente a transformaciones gauge locales lleva a la aparici´n de unos campos gauge,
o
o
asociadas a part´
ıculas de esp´ uno y masa nula, que interact´an con los fermiones y entre
ın
u
s´ de forma totalmente determinada por las propiedades del grupo de simetr´ Esto perı
ıa.
mite describir las propiedades de la interacci´n electromagn´tica, en la electrodin´mica
o
e
a
cu´ntica, y la interacci´n de color, en la cromodin´mica cu´ntica. Para describir la intera
o
a
a
acci´n d´bil, en el que las part´
o e
ıculas asociadas a los campos tienen masa, se introduce el
mecanismo de Higgs de ruptura espont´nea de la simetr´ Ello lleva a una descripci´n
a
ıa.
o
unificada de las interacciones d´biles y electromagn´ticas en la teor´ electrod´bil. El
e
e
ıa
e
Modelo est´ndar aparece como la teor´ que describe las interacciones entre los constia
ıa
tuyentes elementales, que son los quarks y los leptones, mediante en intercambio de los
bosones gauge de la teor´ electrod´bil y la cromodin´mica cu´ntica, en un marco formal
ıa
e
a
a
de teor´ gauge locales.
ıas
Los apuntes est´n concebidos como un libro de texto, en el cual los conceptos est´n
a
a
con frecuencia expresados en forma escueta, para ser explicados en clase. No obstante, los
desarrollos formales que contiene est´n detallados suficientemente. Adem´s, el libro cona
a
tiene muchos ejercicios propuestos, que son aplicaci´n de la teor´ Este libro se sacrifica
o
ıa.
la extensi´n en aras de la profundidad. As´ el libro no pretende ser una introducci´n a la
o
ı,
o
vasta fenomenolog´ de la f´
ıa
ısica de altas energ´ sino dar una descripci´n en profundidad
ıas,
o
de la naturaleza de los constituyentes elementales de la materia y sus interacciones.
Una bibliograf´ complementaria a estos apuntes es la siguiente:
ıa
• Burcham and Jobes, Nuclear and Particle Physics, Longman 1995.
• Feynman, Electrodin´mica Cu´ntica, Alianza Editorial.
a
a
• Part´
ıculas Elementales, Libros de Investigaci´n y Ciencia, Labor.
o
• Particle Physics Booklet, Springer, 1998.
• Jones, Groups, Representation and Physics, Adam Hilger, 1990.
2

4. • Close, An introduction to quarks and partons, Academic Press, 1979.
• Lee, Particle Physics and Introduction to Field Theory, Harwood, 1981.
• Cheng and Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Oxford University
Press, 1991.
Direcciones interesantes de internet son las siguientes:
• The particle Adventure: http://ParticleAdventure.org/
• Particle Data Gruop: http://pdg.lbl.gov/
• CERN: http://cern.web.cern.ch/CERN/
Joaqu´ G´mez Camacho
ın o
Agosto de 1999
Versi´n revisada: Octubre de 2000. Junio de 2001.
o
3

5. Contents
1 Introducci´n Hist´rica a las Part´
o
o
ıculas Elementales
1.1 El paradigma de la f´
ısica antigua . . . . . . . . . . .
1.2 El paradigma de la f´
ısica cl´sica . . . . . . . . . . . .
a
1.3 El paradigma de la f´
ısica moderna . . . . . . . . . . .
1.4 El paradigma de la f´
ısica actual . . . . . . . . . . . .
2 Decaimiento y colisiones de part´
ıculas
2.1 Interacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Interacci´n electromagn´tica . . . . . . . . .
o
e
2.1.2 Interacci´n fuerte . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.1.3 Interacci´n d´bil . . . . . . . . . . . . . . .
o e
2.2 Decaimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Densidad de estados . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Estimaci´n de las probabilidades de emisi´n
o
o
2.2.3 Teor´ de Fermi de la interacci´n d´bil . . .
ıa
o e
2.3 Secciones eficaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Propiedades de las part´
ıculas elementales
3.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.2 Leptones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Hadrones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 N´mero bari´nico . . . . . . . . . .
u
o
3.3.2 Extra˜eza . . . . . . . . . . . . . .
n
3.3.3 Isosp´
ın. . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Isosp´ de sistemas de part´
ın
ıculas . .
3.4 Part´
ıculas estables y resonancias. . . . . .
3.5 Conservaci´n de n´meros cu´nticos . . . .
o
u
a
3.5.1 Relaci´n entre las probabilidades de
o
3.5.2 Relaci´n entre secciones eficaces . .
o
3.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Interacciones en una teor´ cu´ntica
ıa a
4.1 Interacci´n fuerte . . . . . . . . . .
o
4.2 Interacci´n electromagn´tica . . . .
o
e
4.3 Interacci´n d´bil . . . . . . . . . .
o e
4.3.1 Procesos lept´nicos. . . . . .
o
4.3.2 Procesos semi-lept´nicos. . .
o
4
de
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7
7
9
10
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decaimiento
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30
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33
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36
36
37
campos
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6. 4.4
4.3.3 Procesos no-lept´nicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
o
4.3.4 Teor´ del bos´n vectorial intermedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ıa
o
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Simetr´ discretas
ıas
5.1 Simetr´ discretas en mec´nica cl´sica . . . . . . . . . .
ıas
a
a
5.2 Simetr´ discretas en mec´nica cu´ntica no relativista .
ıas
a
a
5.2.1 Inversi´n espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5.2.2 Conjugaci´n de carga . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5.2.3 Inversi´n temporal . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5.3 Simetr´ discretas en teor´ cu´ntica de campos . . . . .
ıas
ıa a
5.3.1 Inversi´n espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5.3.2 Conjugaci´n de carga . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5.3.3 Inversi´n temporal . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
5.4 Paridad y conjugaci´n de carga de sistemas de part´
o
ıculas
5.4.1 Sistemas de fotones . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Sistemas fermi´n-antifermi´n . . . . . . . . . . .
o
o
5.4.3 Sistemas bos´n-antibos´n . . . . . . . . . . . . .
o
o
5.4.4 Part´
ıculas totalmente neutras . . . . . . . . . . .
5.5 Conservaci´n y violaci´n de las simetr´ discretas . . . .
o
o
ıas
5.5.1 Violaci´n de la paridad P por la interacci´n d´bil
o
o e
5.5.2 El teorema CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Los kaones neutros. Violaci´n de CP . . . . . . .
o
5.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Teor´ de Grupos
ıa
6.1 Introducci´n . . . . . . . . .
o
6.2 Propiedades generales . . . .
6.3 Representaci´n de grupos .
o
6.4 Representaci´n Producto . .
o
6.5 Operadores tensoriales . . .
6.6 Ejemplos de grupos discretos
6.6.1 Grupo S(2) . . . . .
6.6.2 Grupo S(3) . . . . .
6.6.3 Grupo S(n) . . . . .
6.7 Problemas . . . . . . . . . .
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7 Grupos de Lie
7.1 Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Grupo U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Grupo U(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Grupo SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Grupo SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Representaciones irreducibles de SU(3) . . . . . . . . . .
7.5.2 Caracterizaci´n de los estados. Diagramas de pesos. . .
o
7.5.3 Caracterizaci´n de los generadores. Diagramas de ra´
o
ıces.
7.5.4 Representaciones principales de SU(3) . . . . . . . . . .
7.5.5 Descomposici´n de representaciones producto de SU(3) .
o
5
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71
72

7. 7.6
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8 Modelo SU(3) de sabor
8.1 Octetes, decupletes y singletes de hadrones
8.2 F´rmulas de masas . . . . . . . . . . . . .
o
8.3 Mezcla de representaciones . . . . . . . . .
8.4 Aplicaciones de la simetr´ SU(3) . . . . .
ıa
8.4.1 Decaimiento fuerte de hadrones . .
8.4.2 Constantes de acoplamiento fuerte
8.4.3 Constantes de la corriente d´bil . .
e
8.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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74
74
75
77
77
77
78
78
78
9 Modelo de Quarks
9.1 Los quarks como representaci´n fundamental de SU(3) de sabor
o
9.1.1 Funciones de onda de sabor de los hadrones . . . . . . .
9.1.2 Los quarks como fermiones: el color . . . . . . . . . . . .
9.1.3 Momento magn´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
9.2 Interacciones entre quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Interacci´n fuerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
9.2.2 Interacci´n electromagn´tica. . . . . . . . . . . . . . . .
o
e
´
9.2.3 Interacci´n d´bil. Angulo de Cabibbo. Matriz CKM. . .
o e
9.3 Quarks pesados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Quark c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Quark b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.3 Quark t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Evidencias experimentales de los quarks . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Experimentos de an´lisis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
9.4.2 Experimentos de s´
ıntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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86
86
87
87
88
88
88
88
89
89
90
91
10 Teor´ Gauge Locales
ıas
10.1 Estructura general de las teor´ gauge locales . . . . . . . . .
ıas
10.2 Electrodin´mica cu´ntica: grupo U(1) . . . . . . . . . . . . . .
a
a
10.3 Cromodin´mica cu´ntica: grupo SU(3) . . . . . . . . . . . . .
a
a
10.4 Teor´ preliminar para la interacci´n electro-d´bil: grupo U(2)
ıa
o
e
10.5 Mecanismo de Higgs de ruptura espont´nea de la simetr´ . .
a
ıa
10.5.1 Mecanismo de Higgs en una teor´ U(1) . . . . . . . . .
ıa
10.5.2 Mecanismo de Higgs en una teor´ U(2) . . . . . . . . .
ıa
10.6 Teor´ Electrod´bil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa
e
10.7 El Modelo Est´ndar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
10.7.1 Part´
ıculas Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7.2 Interacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7.3 Marco te´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
10.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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92
93
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98
102
102
104
105
107
107
107
108
108
6
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8. Chapter 1
Introducci´n Hist´rica a las
o
o
Part´
ıculas Elementales
1.1
El paradigma de la f´
ısica antigua
La ciencia, tal como la conocemos actualmente, parte de la cultura griega. Fue la civilizaci´n griega la primera que se plante´ una descripci´n de la naturaleza que no estuviera
o
o
o
totalmente condicionada a la actuaci´n de seres sobrenaturales. En este sentido, algunas
o
contribuciones fundamentales al desarrollo de la ciencia fueron las siguientes:
Thales: (Mileto, Asia Menor, 624-548 a.c.)
Estableci´ que la naturaleza, a pesar de la gran variedad que presenta, puede ser
o
comprendida, si es observada cuidadosamente. Plante´ que todas las sustancias estaban
o
formadas por un principio unico, que identific´ con el agua, ya que ´sta pod´ presentarse
´
o
e
ıa
como s´lido, l´
o
ıquido o gas.
Pit´goras: (Crotona, Napoles, 580-500 a.c.)
a
Adem´s del famoso teorema, descubri´ que las subdivisiones enteras o racionales
a
o
de una cuerda produc´ sonidos musicales armoniosos. Ello llev´ a la idea de que la
ıan
o
descripci´n de los fen´menos de la naturaleza pod´ y deb´ hacense en t´rminos de
o
o
ıa,
ıa,
e
n´meros. Es m´s, los pitag´ricos pensaban que los n´meros estaban en la esencia de
u
a
o
u
todas las cosas.
Los pitag´ricos sab´ que la tierra era redonda, aunque consideraban que no era
o
ian
habitable mucho m´s alla de la zona del mediterr´neo. La tierra, el sol, la luna y los
a
a
planetas giraban en torno a un “fuego central” del cual recib´ el sol su luz, de la misma
ıa
forma que la luna.
Emp´docles: (Acragas, Sicilia, 490-430 a.c.)
e
Plante´ que no pod´ haber un principio unico del que todas las cosas estuvieran
o
ia
´
compuestas, ya que en la naturaleza hab´ propiedades contradictorias. Por ejemplo,
ıa
existen cosas secas y h´medas. Como el agua es intr´
u
insecamente h´meda, no puede ser
u
el principio unico. Por ello, estableci´ que exist´ cuatro elementos: Agua, Tierra, Aire
´
o
ıan
y Fuego. Estos elementos ten´ propiedades opuestas. Agua y Tierra son pesados,
ıan
mientras que Aire y Fuego son ligeros. Por otro lado, Agua y Aire son h´medos, mientras
u
que Fuego y Tierra son secos. Todas las sustancias conocidas estaban compuestas de estos
elementos en distintas proporciones.
7

9. Los elementos se un´ o separaban por dos “interacciones”. El “Amor” tend´ a
ıan
ıa
unir los elementos, mientras que el “Odio” los separaba. La naturaleza, con todas sus
diferentes manifestaciones, surg´ del equilibrio entre estas interacciones.
ıa
Dem´crito: (Abdera, Tracia, 460-370 a.c.)
o
Estableci´ que todas las cosas estaban compuestas de ´tomos. Estos ´tomos eran
o
a
a
peque˜os, indivisibles, de distintas formas y taman˜s, pero compuestos por la misma
n
o
sustancia. Los atomos estaban en continuo movimiento, y estaban separados por el vac´
´
io.
La gravedad se explicaba por un movimiento de rotaci´n, que hac´ que los ´tomos m´s
o
ıa
a
a
grandes, que correspond´ a sustancias m´s pesadas, tendieran a irse hacia el centro de
ıan
a
la tierra, mientras que los m´s ligeros iban hacia fuera. Incluso el alma estaba compuesta
a
de un tipo de ´tomos especialmente ligeros, distribu´
a
idos por todo el cuerpo de los seres
vivos.
Arist´teles: (Atenas, 384-322 a.c.)
o
La obra “F´
ısica” de Arist´teles tiene una aplicaci´n mucho m´s amplia de lo que
o
o
a
actualmente se entiende por el t´rmino. Partiendo del concepto de sustancia (inmutable)
e
y forma (cambiante), Arist´teles describe el movimiento como un tipo de cambio.
o
Arist´teles describe el universo con la tierra (esf´rica) en su centro. Separa el universo
o
e
en la esfera terrestre, situada por debajo de la ´rbita de la luna, y la esfera celeste, situado
o
por encima de la luna, incluyendo ´sta. El movimiento de los astros en la esfera celeste
e
era inmutable, y se describ´ en funci´n de circulos, que eran las figuras perfectas para
ıa
o
los griegos. El movimiento en la esfera terrestre ven´ descrito por lineas rectas. Dentro
ia
de este movimiento, se distinguen los movimientos naturales, por los cuales los objetos
pesados (Agua y Tierra) se dirigen hacia el centro de la tierra, mientras que los objetos
ligeros (Fuego y Aire) se dirigen hacia arriba, y los movimientos forzados, que requieren
una causa externa.
Arist´teles considera que, en los movimientos forzados, es necesaria una causa que
o
provoque el movimiento, de tal manera que, cuando cesa la causa, cesa el movimiento.
As´ la velocidad ser´ proporcional a la fuerza, e inversamente proporcional a la resistencia
ı,
ıa
del medio. Por ello, Arist´teles no admit´ la existencia del vac´ ya que implicar´ una
o
ıa
ıo,
ıa
resistencia nula. Por tanto, no aceptaba la teor´ at´mica de los ´tomos de Dem´crito,
ıa o
a
o
aunque asum´ plenamente la teor´ de los cuatro elementos de Emp´docles.
ıa
ıa
e
La descripci´n de los movimientos forzados requer´ de una causa o “motor” para cada
o
ıa
movimiento. El movimiento del “motor”, a su vez, debe estar causado por otro “motor”.
De esta manera, se llega a una ultima causa o “Motor” inm´vil, en el que est´ el origen
´
o
a
de todo movimiento. Este “Motor” es Dios, y sus propiedades vienen descritas en el libro
Octavo de la “Fisica”. La Teolog´ es, por tanto, para Arist´teles, una rama de la F´
ıa
o
ısica.
La F´
ısica de Arist´teles, junto con los cuatro elementos de Emp´docles, han constio
e
´
tuido el paradigma b´sico del saber cientifico durante casi 2000 a˜os. Basados en este
a
n
paradigma, Arqu´
ımedes descubri´ las leyes de la palanca, y el principio que lleva su
o
nombre. Ptolomeo describi´ el movimiento celeste con gran precisi´n. Las religiones
o
o
monote´
ıstas encontraron una base cient´
ıfica s´lida. Los cuatro elementos constitu´ la
o
ian
base natural para descripci´n de los fen´menos de una sociedad basada en la agricultura,
o
o
ya que tierra, agua, aire y fuego (luz solar) son los ingredientes necesarios para la agricultura. Del mismo modo, las variaciones estacionales en la agricultura pueden entenderse
8

10. como ciclos en que domina el “amor” (primavera y verano, en que los elementos se combinan para que crezcan las plantas y los frutos), o el “odio” (oto˜o e invierno, en que las
n
plantas se secan, y los elementos que las constituyer se separan).
En este contexto, no es sorprendente el empe˜o de los alquimistas medievales en la
n
transmutaci´n de las sustancias. Si todas las sustancias estaban hechas de los cuatro
o
elementos, pod´ pasarse de plomo (o de cualquier otra sustancia) a oro a˜adiendo la
ıa
n
proporcion adecuada de fuego, aire, agua y tierra. El paradigma de la f´
ısica antigua no
se vi´ sustancialmente modificado durante la edad media, aunque es destacable el desaro
rollo de conceptos filos´ficos que precedieron al renacimiento. Entre ellos cabe destacar
o
a Guillermo de Occam, que plante´ su principio, denominado “la navaja de Occam”:
o
Pluribus non est ponenda sine necesitate. No debe presuponerse la multiplicidad sin
´
necesidad. Este es un principio b´sico en el desarrollo de la ciencia hasta nuestros d´
a
ıas.
De forma esquem´tica, podemos resumir el paradigma de la f´
a
ısica antigua como sigue:
Elementos: Tierra, Agua, Aire y Fuego.
Interacciones: Amor y Odio. Fuerzas exteriores.
Marco Te´rico: F´
o
ısica de Arist´teles.
o
1.2
El paradigma de la f´
ısica cl´sica
a
La sustituci´n del paradigma de la f´
o
ısica antigua por lo que conocemos por la f´
ısica cl´sica,
a
fue una evoluci´n gradual entre los siglos XVI y XIX. Los hitos m´s importantes son los
o
a
siguientes:
Cop´rnico: (Cracovia, 1473-1543)
e
Estableci´ el sistema helioc´ntrico. Este ya hab´ sido propuesto por Aristarco de
o
e
ıa
Samos hacia el 280 a.c., aunque no se acept´.
o
Galileo: (Pisa, 1564-1642)
Estableci´ el principio de que las propiedades de los sistemas son las mismas si est´n
o
a
en reposo o en movimiento uniforme. Tambien formul´ la ley de la inercia, por la cual los
o
cuerpos tienden a mantener su movimiento en ausencia de acciones externas.
Newton: (Cambridge, 1642-1727)
Desarroll´ (con Leibnitz) el c´lculo difrerencial, lo que permit´ una descripci´n formal
o
a
ia
o
de las leyes f´
ısicas, m´s all´ de la geometr´ que era el instrumento de los cient´
a
a
ia
ıficos
anteriores.
Formul´ sus tres leyes. La primera ya habia sido planteada por Galileo. La segunda
o
establec´ que la fuerza era proporcional a la aceleraci´n, y no a la velocidad. N´tese que
ia
o
o
la diferencia estricta entre aceleraci´n y velocidad pudo plantearse a partir del desarrollo
o
del c´lculo diferencial. La tercera, la ley de acci´n y reacci´n, hac´ que no fuera necesaria
a
o
o
ia
una cadena de relaciones causales para provocar el movimiento.
Finalmente, plante´ la ley de la gravitaci´n universal, lo cual permitia borrar la sepao
o
raci´n entre esferas celeste y terrestre. Todo el universo, por tanto, satisfac´ las mismas
o
ıa
leyes.
Lavoisier: (Par´ 1747-1794)
ıs,
9

11. Consigui´ descomponer el agua en hidr´geno y ox´
o
o
ıgeno, as´ como recomponerla. Por
i
otro lado descubri´ que la combusti´n se deb´ a la combinaci´n de las sustancias con el
o
o
ıa
o
ox´
ıgeno. Previamente, se hab´ considerado que los cuerpos, al arder, emit´ una sustanıa
ıan
cia llamada Flogisto. Esto era la prueba definitiva de que los elementos de Emp´docles no
e
eran realmente fundamentales. Por otro lado, comprob´ que en las reacciones qu´
o
ımicas
se conservaba la cantidad total de materia.
Dalton: (Manchester, 1766-1844)
Plante´ la teor´ at´mica, partiendo del hecho de que las reacciones qu´
o
ıa o
imicas entre
gases ocurrian en proporciones sencillas de volumen. Obtuvo la relaci´n de las masas
o
at´micas de varios elementos con la del hidr´geno. Posteriormente, el desarrollo de la
o
o
teor´ cin´tica de los gases, justific´ plenamente la teor´ at´mica, cuya base hab´ sido
ıa
e
o
ia o
ıa
ya planteada por Democrito.
Maxwell: (Cambridge, 1831-1879)
Unifica la descripci´n de los fen´menos el´ctricos y magn´ticos, as´ como la luz y
o
o
e
e
i
otras radiaciones electromagn´ticas en funci´n de campos el´ctricos y magn´ticos, que
e
o
e
e
satisfacen las ecuaciones que llevan su nombre.
Mendeleyev: (San Petersburgo, 1834-1907)
Clasifica los elementos, que son cerca de 90, en la tabla peri´dica. De esta forma, se
o
correlaciona el peso at´mico con las propiedades qu´
o
ımicas de los elementos.
El panorama de la ciencia a finales del siglo XIX era brillante. La ciencia constitu´ una
ıa
base para las necesidades tecnol´gicas de la revoluci´n industrial. Las leyes de Newton
o
o
se ve´ plenamente confirmadas por observaciones astron´micas. Se desarrollaban las
ian
o
´
aplicaciones pr´cticas de la electricidad. La quimica progresaba a partir de la base de
a
la teor´ at´mica, aunque la naturaleza de las interacciones entre los ´tomos, el enlace
ia o
a
´
quimico, no fuera bien comprendida. La biolog´ y la medicina se iban despojando de
ıa
principios vitalistas, y se beneficiaban de los avances de la f´
ısica y la qu´
ımica.
Esquem´ticamente, el paradigma de la f´
a
ısica cl´sica puede expresarse como sigue:
a
Elementos: 90 elementos de la Tabla Peri´dica.
o
Interacciones: Gravitaci´n. Electromagnetismo. Enlace qu´
o
imico.
Marco Te´rico: F´
o
ısica Cl´sica (Leyes de Newton).
a
1.3
El paradigma de la f´
ısica moderna
Aunque la ciencia cl´sica sigue siendo de plena validez en muchos campos, sus fundamentos
a
tuvieron que ser modificados en funci´n de descubrimientos realizados a finales del siglo
o
XIX y principios del siglo XX.
Thompson:
Descubre el electr´n en 1897. Plantea el primer modelo del ´tomo, pero no consigue
o
a
describir adecuadamente el espectro de absorci´n y emision.
o
Becquerel: (Par´ 1852-1908)
ıs,
Descubre la radiactividad (1896). Las radiaciones descubiertas se identifican posteriormente con part´
iculas cargadas extraordinariamente energ´ticas.
e
10

12. Plank: (Berl´ 1858-1947)
ın,
Plantea la hip´tesis de los cuantos (1900) para explicar el espectro de emisi´n del
o
o
cuerpo negro.
Rutherford: (Manchester, 1871-1937)
Descubre el n´cleo at´mico (1911). Plantea el modelo planetario del ´tomo, aunque
u
o
a
no es compatible con el electromagnetismo. Identifica la radiaci´n α como n´cleos de
o
u
helio. Produce la primera reacci´n nuclear α +14 N → p +17 O: La transmutaci´n de los
o
o
elementos, que era el sue˜o de los alquimistas, se hab´ logrado.
n
ıa
Bohr: (Copenhague, 1885-1962)
Aplica los cuantos al modelo de Rutherford (1913), consiguiendo explicar satisfactoriamente la absorcion y emision de luz por los atomos. Contribuye de forma fundamental
al desarrollo de la f´
ısica at´mica y de la f´
o
ısica nuclear.
Heisenberg: (Munich, 1901-1976)
Formula el principio de indeterminaci´n, por el cual no es posible conocer con precisi´n
o
o
el valor de la coordenada y el momento de una part´
ıcula. Desarrolla la mec´nica matricial
a
(1925) para describir la emisi´n de radiaci´n.
o
o
Schr¨dinger: (Viena, 1887-1961)
o
Propone la ecuaci´n que lleva su nombre (1926), para describir el estado de los sistemas
o
cu´nticos.
a
Pauli:
Plantea el principio de exclusi´n, que es b´sico para interpretar la estructura de ´tomos
o
a
a
poliat´micos. Postula en 1931 la existencia del neutrino, para justificar la conservaci´n
o
o
de la energ´ en el decaimiento beta.
ıa
Chadwick: (Manchester, 1891-1974)
Descubre el neutr´n en 1932, con carga neutra y masa parecida al prot´n. Ello permite
o
o
explicar que las masas at´micas fueran aproximadamente m´ltiplos de la del ´tomo de
o
u
a
hidr´geno.
o
Fermi: (Roma, 1901-1954)
Plantea la primera teor´ de la interacci´n d´bil (1930) que es capaz de explicar el
ıa
o e
espectro de emisi´n de electrones en el decaimiento beta.
o
Einstein:
Explica el efecto fotoel´ctrico (1905), aplicando la teor´ de los cuantos. Introduce
e
ıa
la teor´ especial de la relatividad (1905), que modifica la concepci´n del tiempo y el
ıa
o
espacio, y correlaciona masa y energ´ y la teor´ general de la relatividad, que explica
ıa,
ıa
la gravitaci´n como una curvatura espacio-temporal.
o
El descubrimiento por Einstein de la relatividad especial y general suponen una modificaci´n muy importante del paradigma cl´sico, aunque, m´s que invalidarlo, lo llevan a
o
a
a
su plenitud. La relatividad especial establece que las leyes de transformaci´n que dejan
o
invariante un sistema no son las transformaciones de Galileo, que ya entraban en conflicto
con las ecuaciones de Maxwell, sino las transformaciones de Lorentz. La relatividad general justifica la igualdad entre la masa inercial y la gravitatoria, que era un hecho emp´
ırico
11

13. en la gravitaci´n de Newton. Ademas, la relatividad general predice la curvatura de la
o
luz en campos gravitatorios.
Los descubrimientos asociados con la f´
ısica cu´ntica suponen una revoluci´n en el
a
o
paradigma cl´sico. El principio de indeterminaci´n hace que las leyes de Newton no
a
o
sean aplicables para el ´tomo o el n´cleo. En su lugar, debe aplicarse la ecuaci´n de
a
u
o
Schr¨dinger.
o
El paradigma de la ciencia moderna tiene hoy en d´ una aplicabilidad plena en la inıa
mensa mayor´ de los campos de la ciencia. Los fundamentos del enlace qu´
ıa
ımico est´n jusa
tificados por la descripci´n cu´ntica del movimiento de electrones en ´tomos y mol´culas.
o
a
a
e
Del mismo modo, la interacci´n de los electrones con una red cristalina es la base de la
o
f´
ısica del estado solido. Para estas ciencias, la interacci´n electromagn´tica est´ en el
o
e
a
origen de todos los fen´menos. Por otro lado, la gran mayor´ de los fen´menos en f´
o
ıa
o
ısica
nuclear pueden describirse en este paradigma, aunque el origen de la interacci´n fuerte
o
y la d´bil no queda plenamente justificado. La astrof´
e
ısica (evoluci´n estelar, estrellas de
o
neutrones, supernovas) tambi´n se describe en este paradigma.
e
El paradigma de la f´
ısica moderna que se establece sobre 1940 puede describirse como
sigue:
Elementos: Electr´n, prot´n, neutr´n, (neutrino).
o
o
o
Interacciones: Gravitaci´n, electromagnetismo, interacci´n fuerte, interacci´n d´bil.
o
o
o e
Marco Te´rico: F´
o
ısica cu´ntica (Ecuaci´n de Schrodinger)
a
o
1.4
El paradigma de la f´
ısica actual
El paradigma de la ciencia moderna, aunque plenamente aplicable hoy en d´ en la mayor´
ıa
ıa
de los campos cient´
ıficos, result´ insuficiente como base para describir la part´
o
ıculas y las
interacciones realmente fundamentales. Las contribuciones principales que llevaron a su
cuestionamiento fueron las siguientes:
Dirac: (Cambridge 1902-1984)
Plantea una ecuaci´n cu´ntica en que la funci´n de onda es compatible con la relativio
a
o
dad especial. Ello le lleva a postular la existencia de una antipart´
ıcula para cada part´
ıcula
de espin semi-entero. En 1928 postula la existencia del positr´n, que es descubierto en
o
1932. Sienta las bases de la electrodin´mica cu´ntica como una teor´ cu´ntica de campos,
a
a
ıa a
en la que las interacci´n electromagn´tica se produce por intercambio de fotones.
o
e
Yukawa: (Tokio 1907-1981)
Aplicando la teor´ cu´ntica de campos a la interacci´n fuerte, deduce que debe existir
ıa a
o
una part´
ıcula que transmite la interacci´n fuerte, cuya masa es inversamente proporcional
o
al rango de la interacci´n m = hc/a. Por ello, del rango de la interacci´n fuerte (1 fm),
o
¯
o
´
deduce la existencia de particulas de masa sobre 200 MeV, que llama mesones (1935).
Descubrimiento de Part´
iculas:
Analizando los rayos c´smicos en la camara de niebla, se descubre en 1937 em mu´n,
o
o
de masa 107 MeV, pero no puede corresponder a la part´
ıcula predicha por Yukawa, porque
no interact´a con la materia por la interacci´n fuerte. En 1947 se descubren los piones de
u
o
masa 140 MeV, que s´ se adec´an a los mesones de Yukawa. Poco despu´s, se descubren
ı
u
e
´
otras muchas particulas, algunas de masas intermedias entre los piones y los protones,
12

14. como los mesones K (m=500 MeV), y otras m´s pesadas que el prot´n, llamadas hiperones,
a
o
como la Λ (m=1110 MeV). Estas part´
ıculas, son inestables, y se descomponen en tiempos
−8
del orden de 10 segundos para dar protones, neutrones, electrones (o positrones) y
neutrinos.
Posteriormente, con el desarrollo de los aceleradores de part´
ıculas, se producen muchas
m´s part´
a
ıculas, de vida cada vez m´s corta.
a
Feynmann: (Boston (MIT) 1918-1988)
Con Schwinger, Tomonaga y muchos otros, contribuye al desarrollo de la teor´ cu´ntica
ıa a
de campos en general, y de la electrodin´mica cu´ntica en particular. Esta teor´ permite
a
a
ıa
describir la relaci´n del momento magn´tico del electr´n con su carga y su masa con una
o
e
o
precision de 10 cifras significativas. Adem´s, es una teor´ de tipo “Gauge Local”, que
a
ıa
sirve de modelo para las teor´ del resto de las interacciones.
ıas
Gell-Mann: (Chicago 1929- )
´
El y Zweig, de forma independiente, plantean el modelo de quarks (1963), que permite
describir la gran variedad de part´
ıculas elementales (mesones y bariones) en t´rminos de
e
unas part´
ıculas fundamentales llamadas quarks. Esta hip´tesis recibi´ apoyo experimental
o
o
en experimentos de colisi´n electr´n-nucle´n a altas energ´ (1968).
o
o
o
ıas
Weinberg: (Harvard 1933- )
Con Salam, plantean en 1967 una teor´ unificada “Gauge Local” que permite describir
ıa
la interacci´n electromagn´tica y la interacci´n d´bil. Predicen la existencia de nuevas
o
e
o e
±
0
´
particulas, los bosones W y Z , que junto con el fot´n describen las interacciones electroo
d´biles. Las predicciones de la teor´ electrod´bil se ven confirmadas por el descubrimiento
e
ıa
e
experimental de estos bosones.
Cromodin´mica Cu´ntica:
a
a
La interacci´n que liga a los quarks cristaliza en una teor´ “Gauge Local”, que
o
ıa
adquiere su formulaci´n definitiva en 1973, y que relaciona la interracci´n a una propiedad
o
o
de los quarks llamada color, y esta asociada a ocho part´
ıculas sin masa llamados gluones.
La cromodin´mica cu´ntica no puede tratarse de forma perturbativa a energ´ peque˜as,
a
a
ıas
n
pero a energ´ altas se reduce, lo cual ha permitido verificar experimentalmente sus
ıas
predicciones.
El paradigma de la ciencia actual, que se establece sobre 1975, y se conoce como
“Modelo Est´ndar”, puede describirse de forma abreviada como sigue:
a
Elementos: Quarks (u, d, s, c, b, t), con tres colores cada uno, y leptones (e, νe , µ,
νµ , τ , ντ ). Falta por descubrir el bos´n de Higgs.
o
Interacciones: Interacci´n electro-d´bil (γ, W + , W − , Z 0 ), interacci´n de color (8
o
e
o
gluones) y Gravitaci´n.
o
Marco Te´rico: Teorias Gauge Locales.
o
El Modelo Est´ndar presenta una descripci´n especialmente elegante y simple de las
a
o
interacciones: estas interacciones aparecen como consecuencia de la simetr´ de los sisıa
temas frente a un conjunto de transformaciones. Las propiedades de la interacci´n quedan
o
totalmente determinadas por el grupo de simetr´ y su intensidad viene dada por una
ıa,
13

15. constante (o dos en el caso de la teor´ electrod´bil. La teor´ de la gravitaci´n de Einıa
e
ıa
o
stein, aunque es una teor´ cl´sica, es una teor´ gauge local. En este caso, el grupo de
ıa a
ıa
simetr´ corresponde a las transformaciones de Lorentz. El campo gravitatorio preserva
ıa
esta simetr´ haciendo, por ejemplo, que un sistema en movimiento acelerado sea compleıa
tamete equivalente a un sistema en reposo m´s un campo gravitatorio.
a
El Modelo Est´ndar ha sido avalado por un gran n´mero de observaciones realizadas
a
u
en los aceleradores de altas energ´
ıas. Recientemente, se observ´ expermentalmente el
o
ultimo quark predicho, el top (t), y solamente falta encontrar una part´
´
ıcula, el boson de
Higgs, que es responsable de la masa no nula de los bosones de la interacci´n d´bil y de
o e
los fermiones. Existen evidencias de que no hay m´s neutrinos sin masa de los tres que
a
se han hallado, por lo que no debe haber m´s familias de part´
a
ıculas.
El modelo est´ndar ha permitido avances importantes en la cosmolog´ porque pera
ıa,
mite inferir la evoluci´n del universo a partir de una fracci´n de segundo despu´s de la
o
o
e
gran explosi´n.
o
Aunque la cromodin´mica cu´ntica deber´ ser capaz de dar las masas de todos los
a
a
ıa
hadrones (part´
ıculas compuestas de quarks), y de las interacciones entre ellos, el car´cter
a
no perturbativo de la teor´ dificulta estos c´lculos, por lo que no hay todav´ resultados
ıa
a
ıa
fiables de estas magnitudes. Ello limita la aplicabilidad de la cromodin´mica cu´ntica en
a
a
la f´
ısica nuclear.
14

16. Chapter 2
Decaimiento y colisiones de
part´
ıculas
El paradigma de la f´
ısica moderna incluye a prot´n, neutr´n, electr´n y neutrino como
o
o
o
part´
ıculas fundamentales. Considera las interacciones gravitatoria, electromagn´tica,
e
fuerte y d´bil. La primera es irrelevante para la f´
e
ısica nuclear o de part´
ıculas. Las
dem´s son consideradas en el marco de la teor´ cu´ntica.
a
ıa a
El desarrollo de este paradigma lleva a una descripci´n detallada de la estructura de
o
a
´tomos y n´cleos at´micos. Tambi´n puede describirse el decaimiento de estos sistemas,
u
o
e
y las colisiones entre ellos.
2.1
Interacciones
Vamos a describir las caracter´
ısticas cualitativas de las interacciones:
2.1.1
Interacci´n electromagn´tica
o
e
Ocurre entre part´
ıculas cargadas, y tiene un largo alcance. El potencial escalar viene dado
por la expresi´n
o
e2
V (r) = Z1 Z2
4π 0 r
donde e2 /4π 0 = 1.44 MeV fm. Para distancias t´
ıpicas de 1 fm, la interacci´n entre dos
o
part´
ıculas de carga unidad es del orden de 1 MeV. As´ podemos expresar < Hem > 1
ı,
MeV, como una medida del orden de magnitud de la interacci´n electromagn´tica.
o
e
2.1.2
Interacci´n fuerte
o
Ocurre entre protones y neutrones, es una interacci´n atractiva, y es responsable de que
o
protones y neutrones formen n´cleos at´micos. La interacci´n tiene un alcance del orden
u
o
o
de 1 fm. La interacci´n fuerte tiene una dependencia complicada con la distancia, depende
o
de la orientaci´n de los espines, de la energ´ y del momento angular. No obstante, en
o
ıa
muchos casos, pueden utilizarse parametrizaciones simples de la interacci´n fuerte. Por
o
ejemplo, puede usarse un pozo cuadrado,
V (r) = −V0
r<R ;
15
V (r) = 0 r > R,

17. o bien una forma de tipo Yukawa:
V (r) = −V0
exp(−r/R)
r/R
Los par´metros R y V0 se obtienen ajustando datos experimentales, tales como la energ´
a
ıa
de ligadura y el radio del deuter´n, que es un estado ligado de prot´n y neutr´n.
o
o
o
El par´metro R es del orden de 1 fm, y para obtener una estimaci´n de V0 basta
a
o
considerar que la interacci´n debe ser suficiente para formar un estado ligado de prot´n
o
o
y neutr´n. Esto lleva, para el potencial de pozo cuadrado, a la relaci´n
o
o
V0 R2 ≥
π 2 h2
¯
8µ
(2.1)
Esta desigualdad se convierte en igualdad cuando la energ´ de ligadura del deuter´n
ıa
o
puede despreciarse frente a V0 . Para R = 1f m, se obtiene V0 = 103M eV , que es mucho
mayor que la energ´ de ligadura del deuter´n B = 2.22M eV . Por tanto, podemos concluir
ıa
o
que < Hf > 100M eV , como una estimaci´n de la interacci´n fuerte.
o
o
2.1.3
Interacci´n d´bil
o
e
La interaci´n d´bil es la responsable del decaimiento de un neutr´n libre: n → p + e− + ν .
o e
o
¯
La part´
ıcula ν , o antineutrino, es una part´
¯
ıcula sin carga ni masa en reposo que se mueve
con la velocidad de la luz, que fu´ postulada para que se cumpliera la conservaci´n de la
e
o
energ´ y se detect´ experimentalmente muchos a˜os despu´s. Otros procesos posibles
ıa,
o
n
e
debidos a la interacci´n d´bil son: n+ν → p+e− (interacci´n de neutrinos), p+e− → n+ν
o e
o
(captura electr´nica), p → n + e+ + ν (emisi´n β + ). Estos ultimos procesos no puede
o
o
´
darse para un prot´n libre, porque no se conservar´ la energ´ pero s´ puede ocurrir en
o
ıa
ıa,
i
un prot´n que se halla dentro de un n´cleo at´mico.
o
u
o
Estos procesos pueden describirse en la teor´ de Fermi de la interacci´n d´bil introıa
o e
duciendo un t´rmino en el hamiltoniano que se expresa como
e
Hw = GF δ 3 (r)(τ + + τ − )
donde τ + es un operador que transforma un neutr´n en prot´n, y crea o aniquila electr´nes
o
o
o
y neutrinos conservando la carga el´ctrica y el n´mero lept´nico, que veremos posteriore
u
o
mente. τ − es el operador conjugado. Expl´
ıcitamente, se tiene
< p|τ + |n, e+ , ν >=< p, ν |τ + |n, e+ >=< p, e− |τ + |n, ν >=< p, e− , ν |τ + |n >= 1
¯
¯
y el resto de los elementos de matriz son nulos. La constante de Fermi GF toma el valor
de 89.62 · 10−6 MeV fm3 . La funci´n δ indica que la interacci´n d´bil tiene un alcance
o
o e
mucho m´s corto incluso que la interacci´n fuerte, y ´sto se manifiesta en la distribuci´n
a
o
e
o
de los momentos de las part´
ıculas producidas por la interacci´n d´bil.
o e
Una estimaci´n del valor de la interacci´n d´bil se obtiene promediando su efecto sobre
o
o e
3
un volumen de 1 f m , con lo cual se tiene < Hw > 10−4 M eV .
2.2
Decaimiento
En mec´nica cu´ntica, una part´
a
a
ıcula inestable, o un sistema compuesto que tenga una energ´ suficiente puede descomponerse o decaer, produciendo varios fragmentos (part´
ıa
ıculas
16

18. o fotones). Para describir este proceso, se descompone el ¸ hamiltoniano H = H0 + H .
c
H0 es la parte del hamiltoniano que define la part´
ıcula o el sistema, de forma que es un
autoestado de H0 . H es la parte del hamiltoniano que produce el decaimiento.
La probabilidad por unidad de tiempo de que se produzca el decaimiento viene dada
por la regla de oro de Fermi:
Wi,f =
2π
| < i|H |f > |2 ρ(E)
h
¯
donde < i|H |f > es el elemento de matriz de la parte del hamiltoniano responsable
del decaimiento, entre el estado inicial i y el estado final f en el que se ha emitido los
fragmentos, y ρ(E) es la densidad de auto-estados de H0 que pueden producirse tras el
decaimiento, es decir, el n´mero de estados finales entre E y E + dE, dividido por dE.
u
N´tese que si un sistema puede decaer, su vida media τ viene dada por 1/Wi,f , y su
o
energ´ tendr´ una indeterminaci´n caracterizada por Γ = hWi,f .
ıa
a
o
¯
2.2.1
Densidad de estados
Decaimiento en dos part´
ıculas. Caso general
Consideremos una part´
ıcula A que se desintegra en B + C. En el proceso se libera
una energ´ total E = M (A)c2 , y una energ´ cin´tica Ec = (M (A) − M (B) − M (C))c2 .
ıa
ıa
e
Sea P es el momento de B, que es igual y de signo contrario al de C. N´tese que si se
o
especifica el valor de P , se determina el estado tanto de B como de C. Supongamos que
B y C se confinan a un volumen Ω = L3 (L se tomar´ posteriormente como 1 fm). Los
a
valores de las componentes Px , Py yPz est´n cuantizadas de forma que Px = nx 2π¯ /L. El
a
h
n´mero de estados tal que el m´dulo de su momento es inferior a P viene dado por los
u
o
posibles valores enteros de nx , ny ynz tales que:
n2
x
+
n2
y
+
n2
z
PL
≤
h2π
¯
2
lo cual lleva, a partir del volumen de la esfera, a:
N (P ) =
4π(P c)3 L3
3(2π¯ c)3
h
En general, P c es una funci´n de E. Si se deriva N(P), se obtiene
o
ρ(E) =
dN (P )
4πΩ(P c)2 dP c
=
dE
(2π¯ c)3 dE
h
La expresi´n concreta depende de la relaci´n entre P c y E. En el caso general de que B y
o
o
´
C sean particulas relativistas, la conservaci´n del cuadrivector energ´
o
ıa-momento lleva a:
E = M (A)c2 =
(M (B)c2 )2 + (P c)2 +
(M (C)c2 )2 + (P c)2
Decaimiento en dos part´
ıculas no relativistas
Supongamos que la energ´ cin´tica Ec es considerablemente menor que las masas
ıa
e
en reposo de B y C, con lo que ambas se mover´n de forma no relativista. Entonces
a
2
2
Ec = (P c) /(2µc ), donde µ es la masa reducida de B y C, y
1/2
ρ(E) = 2πΩEc (2µc2 )3/2 /(2π¯ c)3
h
17

19. Decaimiento en una part´
ıcula relativista y una part´
ıcula pesada
2
Consideremos que Ec y M (C)c son mucho m´s peque˜as que M (B)c2 . Este es el caso
a
n
cuando un n´cleo emite un fot´n. En ese caso, la part´
u
o
ıcula C se lleva pr´cticamente toda
a
la energ´ cin´tica, y se cumple que
ıa
e
E = M (B)c2 +
(M (C)c2 )2 + (P c)2
de donde puede obtenerse la expresi´n de la densidad de estados.
o
Cuando la part´
ıcula C tiene masa nula o mucho menor que Ec (l´
ımite ultrarrelativista),
2
se tiene que E − M (B)c = P c y
ρ(E) =
4π(M (A)c2 − M (B)c2 )2
.
(2π¯ c)3
h
Decaimiento en dos part´
iculas ligeras y una part´
ıcula pesada. Caso general
Consideramos el proceso en el que un n´cleo at´mico, o cualquier otra part´
u
o
ıcula pesada
A, emite dos part´
ıculas de masa peque˜a C y D, dejando una part´
n
ıcula pesada residual
B, de masa parecida a la inicial. En ese caso, el n´cleo residual se lleva una parte muy
u
peque˜a de la energ´ cin´tica disponible. La energ´ se distribuye entre los fragmentos
n
ıa
e
ıa
ligeros, y el n´cleo residual se lleva el momento necesario para compensar el de las otras dos
u
part´
ıculas. En este caso, los momentos de las part´
ıculas C y D son diferentes en general,
pero la suma de sus energ´ debe venir dada por ET = EC + ED = M (A)c2 − M (B)c2 .
ıas
El momento PC de la part´
ıcula C est´ relacionado con su energ´ por
a
ıa
2
EC = (M (C)c2 )2 + (PC c)2
y la densidad de estados de esta part´
ıcula viene dada por:
ρC (EC ) =
2
4πΩEC EC − (M (C)c2 )2
(2π¯ c)3
h
Las mismas expresiones de obtienen para la part´
ıcula B. Para calcular la densidad de
estados finales en los que se cumple ET = EC + ED , basta con integrar
ET
ρ(ET ) =
M (C)c2 +M (D)c2
dEC ρC (EC )ρD (ET − EC )
En el limite en que ET sea muy superior a M (C)c2 y M (D)c2 , pueden utilizarse las
expresiones untrarelativistas para ρC y ρD y se tiene:
ρ(ET ) =
2.2.2
5
(4πΩ)2 ET
30(2π¯ c)6
h
Estimaci´n de las probabilidades de emisi´n
o
o
Interacci´n fuerte
o
Consideremos la emisi´n de un nucle´n por un n´cleo. Supongamos que el n´cleo inio
o
u
u
cial tiene la energ´ suficiente para que el nucle´n salga con 10 MeV. Entonces, utilizando
ıa
o
la expresi´n no relativista, se tiene ρ(E) = 0.84 · 10−3 M eV −1 . Utilizando la estimaci´n de
o
o
22 −1
−22
la interacci´n fuerte, se tiene Wi,f 8 · 10 s , Γ 52.8M eV , τ 0.12 · 10 s. Vemos,
o
por tanto, que los sistemas que decaen por la interacci´n fuerte tienen vidas muy cortas.
o
18

20. Interacci´n electromagn´tica
o
e
Consideremos la emisi´n de un fot´n por un nucleo, considerando tambi´n el caso en
o
o
e
que la energ´ cin´tica disponible es de 10 MeV. En ese caso, usando la expresi´n de la
ıa
e
o
emisi´n de una part´
o
ıcula ultrarrelativista, se tiene ρ(E) = 0.66 · 10−6 M eV −1 . Usando la
estimaci´n de la interacci´n electromagn´tica, se tiene Wi,f 6·1015 s−1 , Γ 4·10−6 M eV ,
o
o
e
−16
τ
1.6 · 10 s. Los sistemas que decaen por interacci´n electromagn´tica tienen vidas
o
e
m´s largas que los que decaen por interacci´n fuerte, debido a que la interacci´n es m´s
a
o
o
a
d´bil, pero tambi´n a que la densidad de estados suele ser menor, al producirse part´
e
e
ıculas
relativistas (fotones).
Interacci´n d´bil
o
e
Consideremos la emisi´n de un electr´n y un neutrino por un nucleo, considerando
o
o
tambi´n el caso en que la energ´ cin´tica disponible es de 10 MeV. En ese caso, usando la
e
ıa
e
expresi´n de la emisi´n de dos part´
o
o
ıculas ligeras y una pesada, en el l´
ımite ultrarrelativista,
−13
−1
se tiene ρ(E) = 1.46 · 10 M eV . Usando la estimaci´n de la interacci´n d´bil, se tiene
o
o e
Wi,f
14s−1 , Γ
9 · 10−21 M eV , τ
0.07s. Los sistemas que decaen por interacci´n
o
electromagn´tica tienen vidas muy largas, debido a que la interacci´n es muy d´bil, pero
e
o
e
tambi´n a que la densidad de estados es mucho menor, al emitirse dos part´
e
ıculas ligeras.
2.2.3
Teor´ de Fermi de la interacci´n d´bil
ıa
o
e
La teor´ de Fermi se introdujo para explicar el espectro de emisi´n de electrones en el
ıa
o
decaimiento beta. La teor´ parte de la regla de oro de Fermi. Para evaluar el elemento de
ıa
matriz < i|Hw |f >, se considera que el n´cleo inicial, con una funci´n de onda Ψi , describe
u
o
Z protones y N neutrones. El n´cleo final, con una funci´n de onda Ψf , describe Z+1
u
o
protones y N-1 neutrones. El electr´n y el neutrino vienen descritos por ondas planas,
o
normalizadas en el volumen Ω. Sea rN la coordenada del neutron que se convierte en
prot´n, y rL la coordenada donde se producen el electr´n y el neutrino. Sea ξ la variable
o
o
por la que denotamos el resto de las coordenadas relevantes. Entonces,
dξdrN drL Ψi (ξ, rN )∗ Hw (rN , rL )Ψf (ξ, rN )
< i|Hw |f > =
exp(ike rL ) exp(ikν rL )
√
√
Ω
Ω
Teniendo en cuenta la expresi´n de la interacci´n d´bil, se tiene
o
o e
GF
< i|Hw |f >=
dξdrN Ψi (ξ, rN )∗ τ − Ψf (ξ, rN ) exp(ikrN )
Ω
donde k = ke + kν . Para energ´ no muy altas, krN
ıas
GF Mi,f /Ω, donde
Mi,f =
1, y puede expresarse < i|Hw |f >=
dξdrN Ψi (ξ, rN )∗ τ Ψf (ξ, rN )
depende s´lo de la estructura de los n´cleos.
o
u
Utilizando la expresi´n de la densidad de estados, se tiene, para la probabilidad total
o
de emisi´n beta,
o
Wi,f =
2π (4πGF )2
|Mi,f |2
h (2π¯ c)6
¯
h
ET
me c2
2
dEe Ee − (me c2 )2 Ee (ET − Ee )2 .
19

21. Si queremos obtener la probabilidad de emisi´n de un electr´n con energ´ entre Ee y
o
o
ıa
Ee + dEe , tenemos
dWi,f /dEe =
2π (4πGF )2
|Mi,f |2
h (2π¯ c)6
¯
h
2
Ee − (me c2 )2 Ee (ET − Ee )2 .
que da la forma del espectro beta. Esta forma, no obstante, se ve modificada debido a la
carga el´ctrica del n´cleo final, que interacciona con el electr´n.
e
u
o
2.3
Secciones eficaces
Describen procesos en los que inicialmente hay dos part´
ıculas que colisionan, dando lugar
a otras part´
ıculas, o bien a las mismas part´
ıculas incidentes moviendose en una direcci´n
o
diferente. Si consideramos que inicialmente hay un haz de part´
ıculas incidentes con velocidad v que colisionan con un blanco de part´
ıculas en reposo, la secci´n eficaz se define
o
como
σ = Nc /(Φi Nb )
donde Nc es el n´mero de colisiones por unidad de tiempo, Φi es el n´mero de part´
u
u
ıculas
incidentes por unidad de tiempo y unidad de area y Nb es el n´mero de part´
u
ıculas en
el blanco. A efectos de evaluar esta expresi´n, vamos a considerar que el volumen del
o
blanco V se divide en un n´mero de celdillas de volumen Ω, tales que en cada volumen
u
de interacci´n Ω hay una probabilidad pi de que haya una part´
o
ıcula incidente y una
probabilidad pb de que haya una part´
ıcula del blanco. Entonces, Φi = pi v/Ω, Nb = pb V /Ω,
y Nc = pi pb V /ΩWi.f . Por tanto, se tiene la relaci´n σ = Wi,f Ω/v, que puede expresarse,
o
usando la regla de oro de Fermi, como
σ=
2πΩ
| < i|H|f > |2 ρ(E)
hv
¯
√
donde |i >= ψi ψb exp(ikr)/ Ω. Notese que la dependencia expl´
ıcita en Ω se cancela.
Para el caso de la interacci´n fuerte, por ejemplo, en una colisi´n prot´n-neutr´n a 10
o
o
o
o
2
MeV, se tiene σ 2f m = 0.02barn. Para la interacci´n electromagn´tica, por ejemplo,
o
e
´ σ 2 · 10−8 f m2 , aunque
en una colisi´n electr´n-prot´n a 10 MeV, esta estimaci´n daria
o
o
o
o
se esta ignorando el largo alcance de la interacci´n culombiana, por lo cual este valor
o
es muy inferior al real. Para la interacci´n d´bil, por ejemplo en un proceso neutrinoo e
neutr´n para dar electr´n y prot´n, con 10 MeV, se obtiene σ 2 · 10−16 f m2 .
o
o
o
La secci´n eficaz puede relacionarse con el recorrido libre medio, por la expresi´n
o
o
λ = 1/nσ, donde n es el n´mero de n´cleos por unidad de volumen, que es, para la
u
u
materia s´lida normal, n 10−15 f m−3 . Se obtiene, para la interacci´n fuerte, λf
o
o
1m,
que corresponde al recorrido libre medio de un neutr´n. Sin embargo, para la interacci´n
o
o
14
7
d´bil, se tiene λw
e
10 m, que es mucho mayor que el radio de la tierra
10 m. La
estimaci´n del recorrido libre medio para la interacci´n electromagn´tica no es realista ya
o
o
e
que, adem´s de ignorar el largo alcance de la interacci´n, no considerar´ el efecto de la
a
o
ia
interacci´n con los electrones.
o
20

22. 2.4
Problemas
1) Demostrar que, para que exista un estado ligado prot´n-neutr´n con un potencial de
o
o
interacci´n de tipo pozo cuadrado,
o
V (r) = −V0 , r < R ;
V (r) = 0, r > R
siendo µ la masa reducida prot´n-neutr´n, debe cumplirse que
o
o
V0 R2 ≥
π 2 h2
¯
.
8µ
Nota: La funcion de onda radial φl (r) puede escribirse como ul (r)/r, donde ul (r) debe
satisfacer la ecuaci´n:
o
−
h2 d2
¯
h2 l(l + 1)
¯
+ V (r) +
ul (r) = −Bul (r).
2
2µ dr
2µr2
Considerar el caso l = 0 y B
V0 .
2) Demostrar que la densidad de estados correspondientes a la emisi´n de una part´
o
ıcula
relativista de masa m con una energ´ total E en un volumen V viene dada por
ıa
ρ(E) =
4πV
E(E 2 − m2 c4 )1/2
(2π¯ c)3
h
Obtener como casos l´
ımites la expresi´n ultrarrelativista E
o
Ec = E − mc2
mc2 .
mc2 y la no relativista
3) Obtener la densidad de estados para la emisi´n de dos part´
o
ıculas relativistas a partir
del decaimiento de una part´
ıcula de masa M (A) en otras dos de masas M (B) y M (C)
4) Obtener la densidad de estados correspondiente al decaimiento del K + en a) π + +π 0 ,
b) µ+ + ν.
Teniendo en cuenta que la vida media del K + es 1.2386 · 10−8 s, y que el proceso a)
ocurre en el 21.16 %, y el b) en el 63.51 % de los casos, obtener las probabilidades de
decaimiento de los dos procesos por unidad de tiempo.
Obtener, a partir de la regla de oro de Fermi, los elementos de matriz de la interacci´n
o
que generan estos decaimientos. Inferir qu´ interacci´n (fuerte, electromagn´tica o d´bil)
e
o
e
e
es responsable del decaimiento.
21

23. Chapter 3
Propiedades de las part´
ıculas
elementales
3.1
Introducci´n
o
La descripci´n relativista de las interacciones implica que cada interacci´n lleva asociada
o
o
el intercambio de una part´
ıcula, que debe ser un bos´n. En el caso de la interacci´n
o
o
electromagn´tica, la part´
e
ıcula intercambiada es el fot´n. En general, el alcance de la
o
interacci´n est´ asociada con la masa de la part´
o
a
ıcula intercambiada.
Puede demostrarse que, si una interacci´n entre part´
o
ıculas de masa M , est´ generada
a
por el intercambio de una part´
ıcula de masa m
M , la interacci´n puede describirse
o
en el l´
ımite no relativista como un potencial de la forma V (r) = V0 exp(r/λ)/(r/λ),
donde λ = h/mc. Esta expresi´n, que se demuestra estrictamente en Teor´ Cu´ntica
¯
o
ıa
a
de Campos, puede interpretarse de la forma siguiente. Para crear una part´
ıcula de masa
m, se necesita una energ´ mc2 . De acuerdo con el principio de indeterminaci´n, esta
ıa
o
energ´ puede crearse durante un tiempo suficientemente corto, τ = h/(mc2 ), y durante
ıa
¯
este tiempo, la part´
ıcula puede viajar una distancia dada por λ = τ c = h/(mc), que es el
¯
alcance de la interacci´n.
o
Como la interacci´n fuerte tiene un alcance λ
o
1f m, debe llevar asociada una
2
part´
ıcula de masa mc
200M eV . Este argumento, planteado por Yukawa, llev´ a la
o
b´squeda de part´
u
ıculas de masa intermedia entre el prot´n y el electr´n. Esta b´squeda
o
o
u
se llev´ a cabo primeramente analizando los rayos c´smicos, ya que en aquellas fechas
o
o
(1940-1950) no se hab´ desarrollado aceleradores de part´
ıan
ıculas con energ´ suficiente.
ıa
El estudio de los rayos c´smicos se realizaba en las c´maras de niebla, en las que las
o
a
part´
ıculas que componen los rayos c´smicos atraviesan un volumen con vapor de agua
o
sobresaturado. Las part´
ıculas con carga el´ctrica produc´ una cierta ionizaci´n del aire,
e
ıan
o
lo cual provocaba la condensaci´n del vapor de agua a lo largo de la trayectoria. Situando
o
la c´mara de niebla en campos el´ctricos y magn´ticos, y estudiando la curvatura de las
a
e
e
trayectorias, pod´ conocerse la carga el´ctrica, la energ´ y la masa de las part´
ıa
e
ıa
iculas.
Por otro lado, muchas de las part´
ıculas as´ detectadas eran inestables, y se descomponen
ı
en otras part´
ıculas. Estudiando la longitud de las trazas que dejaban las part´
ıculas en la
c´mara de niebla, pod´ deducirse su vida media.
a
ıa
La primera part´
ıcula que se detect´ de esta forma fu´ el mu´n µ, cuya masa (105.6
o
e
o
MeV) pod´ ser compatible con la de la part´
ıa
ıcula predicha por Yukawa. No obstante, se
encontr´ que la forma en la que interactuaba con las part´
o
ıculas de la c´mara de niebla
a
22

24. indicaba que no interactuaba mediente la interacci´n fuerte. Esto es incompatible con
o
que fuera la part´
ıcula de Yukawa. El mu´n tiene carga el´ctrica negativa y se comportaba
o
e
a todos los efectos como un electr´n de masa m´s grande. Por otro lado, el mu´n es
o
a
o
inestable, y se descompone en un tiempo de 2.2 · 10−6 s en un electr´n y dos part´
o
ıculas
indetectables (neutrinos). El tiempo de vida del mu´n suger´ que su decaimiento se
o
ıa
produce por la interacci´n d´bil.
o e
Posteriormente, se descubri´ el pi´n, que aparec´ con carga el´ctrica positiva π + ,
o
o
ıa
e
−
0
negativa π o neutra π . La masa del pi´n es de 139.6 MeV para π + y π − , y de 135.0
o
MeV para π 0 . El pi´n s´ interactuaba fuertemente con protones y neutrones, por lo
o ı
que correspond´ a la part´
ıa
ıcula de Yukawa. La vida de π + y π − es de 2.6 · 10−8 s,
descomponi´ndose principalmente en un mu´n (o anti-mu´n) y un neutrino, mediante la
e
o
o
interacci´n d´bil. El π 0 se descompone en dos fotones en un tiempo de 8.4 · 10−17 s, por
o e
la interacci´n electromagn´tica.
o
e
¯
M´s adelante se encontraron los kaones K + , K − , K 0 , K 0 , cuya masa es de 493.7 MeV
a
+
−
0 ¯0
+
−
para K , K , y de 497.7 para K , K . K y K se descomponen principalmente en
mu´n y neutrino, o en dos piones, con un tiempo de vida de 1.2 · 10−8 s, mientras que los
o
kaones neutros decaen en dos o tres piones, con semividas de 0.89 · 10−10 s y 5.2 · 10−8 s.
Estos decaimientos ocurren por la interacci´n d´bil. N´tese que resultaba parad´jico que
o e
o
o
los kaones, que sienten la interacci´n fuerte, tal como se deduce de sus secciones eficaces,
o
decaen en piones (que tambi´n sienten la interacci´n fuerte) mediante la interacci´n d´bil.
e
o
o e
Por ello, a los kaones se les consider´ part´
o
ıculas “extra˜as”.
n
Con masas superiores a la del prot´n, se encontraron part´
o
ıculas, llamadas hiperones.
Entre estas part´
ıculas est´ la Λ, de masa 1115.7 MeV y vida 2.6 · 10−10 s, que decae
a
principalmente en nucle´n (proton o neutr´n) y pi´n, por interacci´n d´bil. Esta es
o
o
o
o
e
tambi´n una part´
e
ıcula “extra˜a”. La Σ+ , de masa 1189.4 MeV y vida 2.6 · 10−10 s, que
n
decae principalmente en nucle´n y pi´n, por interacci´n d´bil. La Σ− , de masa 1197.4
o
o
o e
MeV y vida 1.5 · 10−10 s, que decae principalmente en nucle´n y pi´n, por interacci´n
o
o
o
0
−20
d´bil. La Σ , de masa 1192.6 MeV y vida 7.4 · 10
e
s, decae en Λ y fot´n por interacci´n
o
o
0
−10
−
electromagn´tica. Las “cascadas” Ξ , de masa 1314.9 MeV y vida 2.90 · 10
e
s y Ξ , de
masa 1321.3 MeV y vida 1.60 · 10−10 s, decaen en Λ y pi´n, por interacci´n d´bil.
o
o e
Estas, junto con el prot´n, neutr´n, electr´n y neutrino, y sus antipart´
o
o
o
ıculas, eran las
part´
ıculas conocidas en 1956. Posteriormente, con el advenimiento de los aceleradores, se
descubrieron otras muchas part´
ıculas, por lo cual se vi´ la necesidad de clasificarlas.
o
3.2
Leptones
Se caracterizan porque no sienten la interacci´n fuerte. El electr´n, el mu´n y el tau
o
o
o
tienen carga el´ctrica negativa. Los neutrinos tienen carga nula. Todos tienen esp´ 1/2,
e
ın
y son, por tanto, fermiones. Para cada part´
ıcula existe su antipart´
ıcula.
El momento magn´tico, en unidades de e¯ /2m, es 1 en la teor´ de Dirac para una
e
h
ıa
part´
ıcula elemental con esp´ 1/2 y carga e. La desviaci´n con respecto a 1 del valor
ın
o
experimental se explica, con todas sus cifras significativas, teniendo en cuenta las correcciones radiativas que aparecen el la electrodin´mica cu´ntica. Por tanto, los leptones se
a
a
consideran part´
ıculas elementales.
Los neutrinos no sienten la interacci´n electromagn´tica, porque tanto su carga como
o
e
su momento magn´tico es cero. Solamente sienten la interacci´n d´bil. Los neutrinos
e
o
e
tienen masa nula (ver los l´
ımites en la tabla). Por tanto, se mueven a la velocidad
23

25. de la luz. En la teor´ de Dirac, se describen por espinores de dos componentes, que
ıa
corresponden a tener una helicidad (proyecci´n del esp´ en la direcci´n del movimiento)
o
ın
o
bien definida. De hecho, los neutrinos que se observan en la naturaleza tienen helicidad
negativa (s = J · p = −1/2), mientras que los anti-neutrinos tienen helicidad positiva. La
ˆ
helicidad es invariante frente a transformaciones de Lorentz solamente para part´
ıculas que
se mueven a la velocidad de la luz. Si los neutrinos tuvieran masa no nula, se mover´
ıan
a velocidades inferiores a la de la luz, con lo cual la helicidad depender´ del sistema de
ıa
referencia.
Los neutrinos, al tener masa nula, son necesariamente estables. Por un lado, no hay
una part´
ıcula m´s ligera a la que puedan decaer, y por otro lado, aunque su tiempo
a
propio fuera finito, como se observan desde un sistema con respecto al cual se mueven a
la velocidad de la luz, la dilataci´n del tiempo de Lorentz har´ que ese tiempo apareciera
o
ıa
como infinito. Si se encontrara una masa no nula para los neutrinos, quiz´s podr´
a
ıan
observarse transiciones de un tipo de neutrino a otro.
El electr´n es la part´
o
ıcula m´s ligera con carga el´ctrica. La conservaci´n de la carga
a
e
o
electrica exige que el electr´n sea estable.
o
El mu´n decae por interacci´n d´bil en e− +¯e +νµ . Se sabe que se emiten dos neutrinos
o
o e
ν
porque el electr´n que aparece tiene una distribuci´n de energ´ consistente con la teor´
o
o
ıas
ıa
de Fermi. El proceso µ− → e− + γ no se observa experimentalmente (su probabilidad es
menor que 4.9 · 10−11 ). Si este proceso fuera el m´s importante, nos llevar´ a considerar
a
ıa
que el mu´n es un estado excitado del electr´n. Este no es el caso. Por contra, el valor
o
o
del momento magn´tico del mu´n nos lleva a considerar que el mu´n es una part´
e
o
o
ıcula
elemental.
El tau, al tener una masa relativamente grande, puede decaer, por interacci´n d´bil,
o e
en muchas combinaciones de part´
ıculas, aunque siempre se produce un ντ . Las formas
m´s probables de decaimiento son: τ → e− + νe + ντ (17.4%), τ → µ− + νµ + ντ (17.6%),
a
¯
¯
τ → π − + ντ (10.1%), τ → ρ− + ντ (21.8%).
En los procesos de interacci´n d´bil, cuando desaparece un electr´n, un mu´n o un
o e
o
o
tau, aparece el neutrino correspondiente. Por otro lado, tambien ocurren procesos (como
el decaimiento beta) en los que se crea un electr´n (mu´n o tau) y el anti-neutrino correo
o
spondiente. Ello lleva a introducir unos n´meros cu´nticos, los n´meros lept´nicos, que
u
a
u
o
se conservan en la interacci´n d´bil. Estos son:
o e
• N´mero lept´nico electr´nico (Le ): Vale 1 para e− y νe , -1 para e+ y νe , y 0 para el
u
o
o
¯
resto de part´
ıculas.
• N´mero lept´nico mu´nico (Lµ ): Vale 1 para µ− y νµ , -1 para µ+ y νµ , y 0 para el
u
o
o
¯
resto de part´
ıculas.
• N´mero lept´nico tau´nico (Lτ ): Vale 1 para τ − y ντ , -1 para τ + y ντ , y 0 para el
u
o
o
¯
resto de part´
ıculas.
La interacci´n electromagn´tica no afecta a los neutrinos, pero puede aniquilar o proo
e
ducir parejas lept´n-antilept´n, con lo que conserva los n´meros lept´nicos.
o
o
u
o
La interacci´n fuerte no act´a sobre los leptones, por lo que conserva trivialmente los
o
u
n´meros lept´nicos.
u
o
Hasta ahora no hay evidencias de la violaci´n de los n´meros lept´nicos, lo cual est´
o
u
o
a
relacionado con la masa nula de los neutrinos. Si se encontrara que los neutrinos tienen
24

26. masa no nula, podr´ darse procesos, tanto m´s improbables cuanto menor fuera la masa
ıan
a
de los neutrinos, de violaci´n del n´mero lept´nico.
o
u
o
Lept´n (Julio 2000) masa(MeV)
o
µ(e¯ /2m)
h
e
0.510998902(21) 1.001159652187(4)
µ
105.658357(5)
1.0011659160(6)
τ
1777.03(28)
1.003(55)
−6
νe
0 (< 3 · 10 )
0 (< 1.8 · 10−10 )
νµ
0 (< 0.19)
0 (< 1.5 · 10−7 )
ντ
0 (< 18.2)
0 (< 1.8 · 10−3 )
3.3
τ (s)
Estable
2.19703 · 10−6
2.906 · 10−13
Estable
Estable
Estable
Hadrones
Sienten la interacci´n fuerte. Pueden dividirse en mesones (bosones, con esp´ entero),
o
ın
y bariones (fermiones, con esp´ semi-entero). Para describirlos se utilizan los n´meros
ın
u
cu´nticos siguientes:
a
3.3.1
N´ mero bari´nico
u
o
Se introduce para justificar el hecho de que el prot´n sea estable, y que otras part´
o
ıculas
(neutr´n, Λ, Σ, ..) decaen al prot´n. Se asigna B=1 al prot´n y a los hadrones que
o
o
o
decaen en ´l, B=-1 a sus antipart´
e
ıculas, y B=0 a los hadrones que no decaen al prot´n.
o
Emp´
ıricamente, se encuentra que los bariones tienen B=1, sus antipart´
ıculas (anti-bariones)
tienen B=-1, y los mesones tienen todos B=0.
Hasta ahora, no hay evidencias de que se viole la conservaci´n del n´mero bari´nico. La
o
u
o
31
vida media del prot´n es superior a 10 a˜os. Si embargo, las teor´ de gran unificaci´n
o
n
ıas
o
predicen que el prot´n tiene una vida finita, aunque muy larga.
o
3.3.2
Extra˜ eza
n
Se introduce para explicar el hecho de que algunos hadrones (K, Λ, Σ, ...), tengan vidas
relativamente largas, lo cual implica que no decaen a otros hadrones m´s ligeros (p, π)
a
por la interacci´n fuerte o la electromagn´tica, sino por la d´bil. Por otro lado, los expero
e
e
imentos de la c´mara de niebla indicaban que estas part´
a
ıculas se producen con secciones
eficaces consistentes con la interacci´n fuerte. Esto era una aparente paradoja, ya que
o
estas part´
ıculas “extra˜as” sent´ la interacci´n fuerte cuando eran producidas, pero no
n
ıan
o
parec´ sentirla cuando deca´
ıan
ıan. La soluci´n de la paradoja surgi´ de la observaci´n de
o
o
o
que las part´
ıculas extra˜as aparecen por parejas.
n
Se introdujo un n´mero cu´ntico S, que deb´ ser conservado por la interacci´n fuerte
u
a
ıa
o
y electromagn´tica, pero podia ser violado por la interacci´n d´bil. S vale cero para
e
o
e
los hadrones “normales” (p, n, π), y se le asign´ el valor S=1 para los kaones K 0 y K + .
o
Debido a la conservaci´n de S por la interacci´n fuerte, en los procesos de colisi´n entre
o
o
o
0
+
hadrones normales que produjeran K o K , la otra part´
ıcula extra˜a debe tener S=n
¯
1. As´ se asign´ S=-1 para K 0 , K − , Λ, Σ+ , Σ− , Σ0 . Las cascadas Ξ0 , Ξ− tienen S=-2.
ı
o
Las antipart´
ıculas tienen extra˜eza opuesta a las part´
n
ıculas, para que puedan aniquilarse
con ellas sin violaci´n de S. Cuando un hadr´n con extra˜eza S decae, si existen otros
o
o
n
hadrones m´s ligeros a los que pueda decaer conservando S (adem´s de la carga y el
a
a
n´mero bari´nico), entonces el decaimiento ser´ r´pido, pues ocurre por interacci´n fuerte
u
o
a a
o
25

27. o electromagn´tica (p. ej. Σ0 → Λ + γ). Si ´ste no es el caso, el decaimiento ocurrir´ por
e
e
a
la interacci´n d´bil, que puede cambiar la extra˜eza en una unidad (en primer orden).
o e
n
Formalmente, el n´mero cu´ntico S puede considerarse como el autovalor de un operu
a
ador S, que conmuta con el hamiltoniano fuerte [Hf , S] = 0 y electromagn´tico [Hem , S] =
e
0. No obstante, el hamiltoniano d´bil no conmuta con S: [Hd , S] = 0. Los hadrones son
e
autoestados de S correspondientes a un autovalor S. Como el operador S es aditivo, un
sistema de hadrones es un autoestado de S cuyo autovalor es la suma de los valores de
S de los hadrones. Por ello, el hamiltoniano fuerte y el electromagn´tico s´lo conectan
e
o
estados (sistemas de part´
ıculas) con la misma extra˜eza.
n
3.3.3
Isosp´
ın.
Se introduce a partir del hecho de que los hadrones aparecen en grupos de part´
ıculas,
llamados multipletes, con masa muy parecida, y con propiedades muy similares (mismo
esp´ paridad, n´mero bari´nico, extra˜eza), excepto que tienen carga el´ctrica que var´
ın,
u
o
n
e
ıa
de uno en uno. Por ejemplo, est´n el prot´n y el neutr´n, los piones (π + , π 0 , π − ), etc.
a
o
o
Para describir este hecho, se definen tres operadores, I+ , I− , I3 , que cumplen las reglas
de conmutaci´n de un momento angular. I3 est´ relacionado con la carga el´ctrica, y
o
a
e
puede escribirse como I3 = −Y /2 + Q/e, donde Y es una constante para cada multiplete
llamada hipercarga, que es dos veces la carga media del multiplete. Gell-Mann y Nishijima
encontraron emp´
ıricamente que la hipercarga estaba relacionada con la extra˜eza y el
n
n´mero bari´nico a trav´s de la relaci´n Y = B + S.
u
o
e
o
Las part´
ıculas de un multiplete son autoestados de I3 . As´ para los nucleones, Y=1,
ı,
I3 |p >= 1/2|p > y I3 |n >= −1/2|n >. Para los piones, Y=0, I3 |π + >= +1|π + >,
I3 |π 0 >= 0|π 0 >, I3 |π − >= −1|π − >. I+ actuando subre una part´
ıcula, la convierte en
otra de carga superior perteneciente al multiplete: I+ |n >= |p >, I+ |p >= 0. I− disminuye la carga de la part´
ıcula. Por analog´ con el momento angular, todas las part´
ıa
ıculas
2
2
del multiplete son autoestados del operador I = 1/2(I+ I− + I− I+ ) + I3 correspondientes
a un autovalor I(I + 1). I, que es el isosp´ del multiplete, est´ relacionado con el n´mero
ın
a
u
de part´
ıculas en el multiplete, que es 2I + 1.
La introducci´n del isosp´ permite considerar que las part´
o
ın
ıculas de un multiplete
son, a todos los efectos, part´
ıculas id´nticas, que, adem´s de venir caracterizadas por su
e
a
funci´n de onda orbital y su funci´n de onda de esp´ tienen una funci´n de onda de
o
o
ın,
o
isosp´ As´ el prot´n es un estado del nucle´n tal que su funci´n de onda de isosp´
ın.
ı,
o
o
o
ın
es autoestado del operador I3 correspondiente al autovalor I3 = 1/2, y el neutr´n es un
o
estado del nucle´n cuyo autovalor es I3 = −1/2.
o
Como las part´
ıculas de un multiplete tienen masas parecidas, se considera que, del
hamiltoniano total que describe las part´
ıculas, H = Hf + Hem + Hd , [Hf , I] = 0, indicando
que la interacci´n fuerte conmuta con todas las componentes del isosp´ Por otro lado,
o
ın.
las diferencias de masas entre las part´
ıculas de un multiplete son del orden del MeV, lo
cual indica que la interacci´n electromagn´tica no conmuta con los operadores I± . Sin
o
e
embargo, s´ conmuta con I3 , ya que conserva la carga el´ctrica, el n´mero bari´nico y la
ı
e
u
o
extra˜eza. La interacci´n d´bil no conserva ninguna de las componentes del isosp´
n
o e
ın.
En general, si s´lo existiera la interacci´n fuerte, los hadrones de un mismo multiplete
o
o
tendr´ exactamente la misma masa, y corresponder´ a autoestados degenerados del
ıan
ıan
hamiltoniano. La interacci´n electromagn´tica rompe esta degeneraci´n, desdoblando las
o
e
o
masas del multiplete en funci´n del valor de I3 . La interacci´n d´bil tiene un efecto
o
o
e
26

28. m´
ınimo sobre las masas, siendo responsable de los decaimientos.
3.3.4
Isosp´ de sistemas de part´
ın
ıculas
El isosp´ total de dos part´
ın
ıculas A y B se obtiene de la forma siguiente: la part´
ıcula A
tiene unos valores del isosp´ y su tercera componente dados por IA , I3A . Por tanto, el ket
ın
que caracteriza el estado interno de la part´
ıcula A puede escribirse como |A >= |αIA I3A >,
donde α calracteriza los n´meros cu´nticos necesarios para caracterizar el multiplete de
u
a
part´
ıculas al que pertenece A, y I3A especifica qu´ part´
e
ıcula es A dentro de su multiplete,
determinando su carga el´ctrica. An´logamente, |B >= |βIB I3B >. El sistema AB puede
e
a
describirse como el producto de una funci´n de onda que describa el movimiento de A y
o
B, por una funci´n de onda que describa sus espines, por una funci´n de onda interna,
o
o
Esta ultima puede escribirse como
´
|A, B >= |αIA I3A , βIB I3B >=
< IT , I3T |IA I3A , IB I3B > |αIA , βIB ; IT , I3T >
IT ,I3T
Por tanto, el sistema AB viene descrito por una combinaci´n de valores de IT que van
o
de |IA − IB | a IA + IB . Esta combinaci´n viene determinada por los coeficientes de
o
Clebsh-Gordan.
Si las part´
ıculas pertenecen al mismo multiplete de isosp´ entonces los valores del
ın,
isosp´ total quedan restringidos por la exigencia de que la funci´n de onda debe ser
ın
o
sim´trica frente al intercambio de todas las variables de las part´
e
ıculas, en el caso de
bosones, y antisim´trica en el caso de fermiones.
e
Sea un sistema de dos part´
ıculas A y B, pertenecientes a un multiplete α, con esp´ S
ın
e isosp´ I. Las part´
ın
ıculas tienen un momento angular orbital relativo L, y un esp´ total
ın
ST , y consideramos la componente de su estado en la que su isosp´ total es IT . Frente al
ın
intercambio de las part´
ıculas, la funcion de onda orbital se modifica en un factor (−1)L .
La funci´n de onda de esp´ por las propiedades de los coeficientes de Clebsh-Gordan,
o
in,
se modifica en un factor (−1)(ST −2S) . La funci´n de onda de isosp´ an´logamente, se
o
ın, a
(IT −2I)
modifica en un factor (−1)
. El producto de todos estos factores debe ser +1 para
bosones y −1 para fermiones. Teniendo en cuenta que S es semientero para fermiones y
entero para bosones, resulta que, en ambos casos, debe cumplirse que L + ST + IT − 2I
sea par.
3.4
Part´
ıculas estables y resonancias.
En f´
ısica de part´
ıculas se distingue entre “part´
ıculas estables” y “resonancias”. Las
primeras son estables o decaen por interacci´n d´bil o electromagn´tica. Por ello, tienen
o e
e
vidas medias relativamente largas que permiten su observaci´n directa. Las segundas
o
decaen por interacci´n fuerte. Tienen vidas muy cortas, y aparecen como resonancias
o
(m´ximos en la secci´n eficaz) en las colisiones de las part´
a
o
ıculas en las que decaen, a
energ´ correspondientes a la masa de la part´
ıas
ıcula descrita por la resonancia.
Part´
ıculas estables (Julio 2000).
27

29. Jπ
0−
0−
0−
0−
0−
Mesones
π±
π0
η
K + (K − )
¯
K 0 (K 0 )
I
1
1
0
1/2
1/2
S
0
0
0
1(-1)
1(-1)
Bariones
p
n
Λ
Σ+
Σ0
Σ−
Ξ0
Ξ−
Ω−
I
1/2
1/2
0
1
1
1
1/2
1/2
0
S Jπ
0 1/2+
0 1/2+
-1 1/2+
-1 1/2+
-1 1/2+
-1 1/2+
-2 1/2+
-2 1/2+
-3 3/2+
I3
±1
0
0
1/2(−1/2)
−1/2(1/2)
I3
1/2
-1/2
0
1
0
-1
1/2
-1/2
0
masa(MeV)
139.57018
134.9766
547.30
493.677
497.672
masa(MeV)
938.27200
939.56533
1115.683
1189.37
1192.642
1197.449
1314.83
1321.31
1672.45
vida (s)
2.6033 10−8
8.4 10−17
6.3 10−19
1.2386 10−8
0.8935 10−10
5.17 10−8
vida (s)
∞
886.7
2.632 · 10−10
0.8018 · 10−10
7.4 · 10−20
1.479 · 10−10
2.90 · 10−10
1.639 · 10−10
0.821 · 10−10
Deca.
µ + νµ
2γ
2γ
2π, µ + νµ
2π
3π
Deca.
p + e + νe
¯
N +π
N +π
Λ+γ
N +π
Λ+π
Λ+π
Λ+K
Resonancias (solamente algunas se muestran en la tabla):
Mesones
ρ(770)
ω(783)
η (958)
φ(1020)
K ∗ (892)p m
K ∗ (892)0
Bariones
∆(1242)
Λ∗ (1405)
Σ∗ (1385)+
Σ∗ (1385)0
Σ∗ (1385)−
Ξ∗ (1530)0
Ξ∗ (1530)−
3.5
I
1
0
0
0
1/2
1/2
I
3/2
0
1
1
1
1/2
1/2
S
0
0
0
0
±1
±1
S
0
-1
-1
-1
-1
-2
-2
Jπ
1−
1−
0−
1−
1−
1−
Masa(MeV)
769.3
782.57
957.78
1019.417
891.66
896.10
Anchura(MeV)
150.2
8.44
0.202
4.458
50.8
50.7
Jπ
3/2+
1/2−
3/2+
3/2+
3/2+
3/2+
3/2+
Masa(MeV)
1232
1406
1382.8
1383.7
1387.2
1531.8
1535.0
Anchura (MeV)
120
50
35.8
36
39.4
9.1
9.9
Decaimiento
2π
3π
η2π
¯
KK
Kπ
Kπ
Decaimiento
Nπ
Σπ
Λπ
Λπ
Λπ
Ξπ
Ξπ
Conservaci´n de n´ meros cu´nticos
o
u
a
En una reacci´n entre part´
o
ıculas, o en el decaimiento de una part´
ıcula, se debe conservar
siempre la energ´ y el momento. Por ejemplo, un fot´n aislado no puede crear un par
ıa
o
e− e+ , o viceversa. Tambi´n debe conservarse el momento angular total. Ello hace que
e
en el decaimiento de un fermi´n, con esp´ semientero, deban aparecer un n´mero impar
o
ın
u
de fermiones, mientras que en el decaimiento de un bos´n deban aparecer un n´mero par
o
u
(incluido el cero) de fermiones. Estas leyes de conservaci´n est´n asociadas a la invariancia
o
a
del sistema frente a transformaciones de Lorentz.
28

30. Tambi´n deben conservarse siempre la carga el´ctrica Q, el n´mero bari´nico B, y los
e
e
u
o
n´meros lept´nicos Le , Lµ , Lτ . Estas leyes de conservaci´n son leyes emp´
u
o
o
ıricas, y pudiera
ser que se violaran, pero con una probabilidad muy peque˜a, por debajo de los l´
n
ımites
experimentales. La conservaci´n de la carga el´ctrica tiene una consideraci´n especial, ya
o
e
o
que est´ asociada a una simetr´ Gauge que genera la interacci´n electromagn´tica.
a
ıa
o
e
Los procesos que ocurren por interacci´n fuerte o electromagn´tica conservan la exo
e
tra˜eza. Ello hace que la suma de los valores de S de las part´
n
ıculas iniciales en una reacci´n
o
debe ser igual a la de las part´
ıculas finales (los leptones y los fotones se toman con S=0).
Los procesos d´biles pueden cambiar (o no) la extra˜eza. Se observa emp´
e
n
ıricamente que
los procesos que ocurren en primer orden por la interacci´n d´bil cumplen que ∆S = ±1, 0.
o e
Los procesos que ocurren por interacci´n fuerte conservan el isosp´ Eso quiere decir
o
ın.
no s´lo que conservan I3 , sino que conservan el isosp´ total I.
o
ın
Para que una part´
ıcula C pueda decaer el A y B conservando el isop´ total, debe
ın
ocurrir que los isospines de A y B puedan acoplarse al de C, o sea, que |IA − IB | ≤ IC ≤
(IA + IB ). Por otro lado, para que de la colisi´n de A y B puedan surgir las part´
o
ıculas C
y D conservando el isosp´ total debe haber al menos un valor de IT que pueda obtenerse
ın
acoplando tanto IA e IB , como IC e ID .
Los procesos que ocurren por interacci´n electromagn´tica conservan I3 , pero no cono
e
servan I. En los procesos en primer orden en la interacci´n electromagn´tica, ∆I = ±1, 0.
o
e
En los procesos d´biles, no se conserva I3 ni I. No obstante, se encuentra que, en los
e
procesos en primer orden en la interacci´n d´bil, si ∆S = ±1, ∆I = ±1/2, y si ∆S = 0,
o e
∆I = ±1, 0.
3.5.1
Relaci´n entre las probabilidades de decaimiento
o
La conservaci´n del isosp´ permite relacionar las probabilidades de los procesos que
o
ın
ocurren por interacci´n fuerte entre part´
o
ıculas que pertenecen a multipletes determinados.
Si una resonancia C, descrita por |C >= |γIC I3C > decae en dos hadrones A y B por
interacci´n fuerte, la probabilidad de decaimiento por unidad de tiempo puede escribirse
o
como
2π
P (C → A + B) = | < C|Hf |AB > |2 ρAB (E)
h
¯
El elemento de matriz del hamiltoniano puede expresarse usando el desarrollo del estado
|AB >, de forma que:
< C|Hf |AB >=
< IT , I3T |IA I3A , IB I3B >< γIC I3C |Hf |αIA , βIB ; IT , I3T >
IT ,I3T
La conservaci´n del isosp´ implica que IC = IT , I3C = I3T . Por otro lado, como [Hf , I± ] =
o
ın
0, los elementos de matriz deben ser independientes de I3 . Por tanto, resulta
< C|Hf |AB >=< IC , I3C |IA I3A , IB I3B >< γIC ||Hf ||αIA , βIB ; IT >
La doble barra es una notaci´n que se introduce para indicar que no es necesario especificar
o
I3C , porque el elemento de matriz es independiente de ´l. Por otro lado, la densidad de
e
estados depende de la energ´ cin´tica de A y B, que, a su vez, depende de las masas de A,
ıa
e
B y C, pues Ec = m(C) − m(A) − m(B). Como las masas de las part´
ıculas del multiplete
son muy parecidas, puede escribirse ρAB (E) ραβ (E), donde ραβ (E) es una densidad de
29

31. estados promedio para todas las part´
ıculas del multiplete. Por tanto, la probabilidad de
decaimiento puede escribirse como:
P (C → A + B) = | < IC , I3C |IA I3A , IB I3B > |2 | < γIC ||Hf ||αIA , βIB ; IT > |2
2π
ραβ (E)
h
¯
Esta expresi´n indica que la probabilidad de decaimiento de las resonancias C de un
o
multiplete γ en distintas part´
ıculas A de un multiplete α y B de β, es proporcional al
coeficiente de Clebsh-Gordan al cuadrado.
3.5.2
Relaci´n entre secciones eficaces
o
En un proceso de colisi´n que ocurre por la interacci´n fuerte, por el cual A+B → D +E,
o
o
la secci´n eficaz viene dada por
o
2πΩ
| < AB|H|DE > |2 ρDE (E)
(3.1)
hv
¯
ρDE (E) depende de la energ´ cin´tica final de D y E, en su sistema centro de masas,
ıa
e
que viene dada por Ec = E − m(D) − m(E). Sustituyendo ρDE (E) por un promedio
para las part´
ıculas del multiplete, la secci´n eficaz depende del cuadrado del elemento de
o
matriz del hamiltoniano. Los estados |AB > y |DE > pueden desarrollarse en funci´n de
o
estados con isop´ total IT , I3T . Los elementos de matriz del hamiltoniado son diagonales
ın
en IT , I3T , y por otro lado son independientes de I3T . Por tanto, resulta
σ(A + B → D + E) =
< AB|Hf |DE > =
< IT , I3T |IA I3A , IB I3B >< IT , I3T |ID I3D , IE I3E >
IT ,I3T
< αIA , βIB ; IT ||Hf ||δID , IE ; IT >
A partir del conocimiento de unos pocos elementos de matriz reducidos, correspondientes a los valores de IT a los que pueden acoplarse tanto IA e IB como ID e IE , pueden
obtenerse todas las secciones eficaces de las colisiones de part´
ıculas del multiplete α con
las del β para dar part´
ıculas del δ y el .
Cuando la energ´ total en el sistema centro de masas est´ cercana a la masa de una
ıa
a
resonancia C, el proceso ocurre de forma secuencial seg´n A + B → C → D + E. En este
u
caso, la contribuci´n correspondiente a IT = IC es dominante, y la secci´n eficaz aumenta
o
o
considerablemente.
3.6
Problemas
1) Considerar las sigientes reacciones, que ocurren con secciones eficaces compatibles con
la interacci´n fuerte:
o
π− + p
π0 + p
π− + p
π− + p
→
→
→
→
Λ + K0
Λ + K+
Σ0 + K 0
Σ− + K +
30

32. π+ + p
π− + p
π− + p
π+ + p
π− + p
π− + p
→
→
→
→
→
→
Σ+ + K +
Ξ− + K 0 + K +
Ξ0 + K 0 + K 0
Ξ0 + K + + K +
n + K+ + K−
¯
n + K0 + K0
Partiendo de que, por convenio, se toma que S(p) = S(n) = S(π) = 0, y S(K + ) = 1,
deducir los valores de la extra˜eza de las otras part´
n
ıculas. Obtener la energ´ cin´tica
ıa
e
m´
ınima inicial en el sistema centro de masas para que pueda producirse la reacci´n en
o
cada caso.
2) Considera las reacciones siguientes:
p+p
¯
p + K−
p + K−
νµ + p
¯
νe + p
¯
τ−
π0
e+ + e−
→
→
→
→
→
→
→
→
π+ + π− + π0
Σ+ + π − + π 0
n + K + + π−
µ+ + n
e+ + Λ
ντ + K −
γ+γ
π+ + π−
Comprobar si se conservan los numeros cu´nticos aditivos relevantes. Indicar si es posible
a
la reacci´n, y qu´ interacci´n (fuerte, electromagn´tica o debil) la produce.
o
e
o
e
3) Obtener los estados de isosp´ de los pares de part´
ın
ıculas siguientes: π + p, π + n, π 0 p,
π 0 n, π − p, π − n. Comprobar que estos estados son ortogonales, y que forman una base de
los estados |(πN )II3 >.
4) Obtener la expresi´n de las secciones eficaces siguientes en terminos de los elementos
o
de matriz reducidos relevantes. Deducir las expresiones que relacionan las secciones eficaces. Si la energ´ total en el sistema centro de masas es cercana a 1230 MeV (resonancia
ıa
∆), ¿como ser´ estas relaciones?
ıan
b)π + + n → π + + n
d)π 0 + p → π + + n
f )π 0 + n → π 0 + n
h)π − + p → π 0 + n
j)π − + n → π − + n
a)π + + p → π + + p
c)π + + n → π 0 + p
e)π 0 + p → π 0 + p
g)π 0 + n → π − + p
i)π − + p → π − + p
5) Obtener la expresion de las secciones eficaces siguientes en funci´n de los elementos
o
de matriz reducidos, y la relaci´n entre ellos.
o
b)π + + n → Λ + K +
a)π 0 + p → Λ + K +
31

33. d)π − + p → Λ + K 0
c)π 0 + n → Λ + K 0
e)π − + n → Λ + K −
6) El principio de Pauli generalizado puede enunciarse diciendo que un sistema de
nucleones (protones y neutrones) viene descrito por una funci´n de onda que sea antio
sim´trica frente al intercambio de las variables orbitales, de esp´ y de isosp´ de dos
e
ın
ın
π
+
nucleones cualesquiera. Partiendo de ello, deducir que el deuter´n (J = 1 ) tiene I=0.
o
7) Obtener la funci´n de onda de isosp´ de un sistema π + π − con un momento angular
o
in
relativo L. Hacer lo propio para un sistema π 0 π 0 con momento angular L. ¿ Son posibles
todos los valores de L?
8) Considera un sistema de tres piones π + π − π 0 y π 0 π 0 π 0 con momento angular total
interno 0. Obtener la funci´n de onda de isosp´ Nota: El momento angular total interno
o
ın.
es la composici´n del momento angular relativo de dos piones (por ejemplo, π + π − ) L12 ,
o
con el del tercero con respecto al centro de masas de los otros dos L3 .
32

34. Chapter 4
Interacciones en una teor´ cu´ntica
ıa
a
de campos
En una teor´ cu´ntica de campos, las part´
ıa a
ıculas libres y sus interacciones se describen a
partir de la densidad lagrangiana L. Esta densidad es una funci´n de los campos asociados
o
a las part´
ıculas interactuantes φ(x), ψ(x), Aµ (x), que a su vez son funciones de x = (r, ict),
y de sus derivadas ∂µ = ∂/∂xµ . En segunda cuantizaci´n, los coeficientes del desarrollo de
o
Fourier de los campos φ(x), ψ(x), Aµ (x), corresponden a operadores que crean o aniquilan
part´
ıculas de momento determinado. En concreto, φ(x) aniquila mesones de esp´ cero, o
ın
∗
crea sus anti-part´
ıculas, y φ(x) hace lo contrario. ψ(x) aniquila fermiones de esp´ 1/2, o
ın
¯
crea sus anti-part´
ıculas, y ψ(x)∗ hace lo contrario. Aµ (x) aniquila o crea fotones de esp´
ın
uno. La forma del lagrangiano sin interacci´n, tomando h = c = 1, es la siguiente:
o
¯
Bosones de esp´ 0 (mesones).
ın
El campo asociado a una part´
ıcula de esp´ cero φ(x) es una funci´n escalar (invariante
ın
o
de Lorentz) de x. La densidad lagrangiana para estas part´
ıculas viene dada por:
L = −∂µ φ(x)∗ ∂µ φ(x) − m2 φ(x)∗ φ(x)
Utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange, se obtiene la ecuaci´n de Klein-Gordon
o
2
∂µ φ(x) − m2 φ(x) = 0
que corresponde a una part´
ıcula de masa m,
(E 2 − p2 − m2 )φ(x) = 0.
Por otro lado, si buscamos soluciones estacionarias a la ecuaci´n de Klein-Gordon, una
o
soluci´n regular en todo el espacio salvo en el origen es:
o
φ(x) = C exp(−rm)/r
Si se introducen expl´
ıcitamente los factores h y c, se tiene φ(x) = C¯ c exp(−r/(¯ /mc))/r,
¯
h
h
que corresponde al potencial de Yukawa.
El an´lisis dimensional de estas ecuaciones indica que [x] = E −1 , [∂µ ] = E, y [L] = E 4 .
a
Por tanto, φ tiene dimensiones de E.
Fermiones de esp´ 1/2.
ın
33

35. El campo asociado a una part´
ıcula de esp´ 1/2 ψ(x) es un espinor de cuatro compoın
nentes. La densidad lagrangiana para estas part´
ıculas viene dada por:
¯
L = −ψ(x)(γµ ∂µ + m)ψ(x)
Utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange, se obtiene la ecuaci´n de Dirac
o
γµ ∂µ ψ(x) − mψ(x) = 0
El an´lisis dimensional indica que ψ tiene dimensiones de E 3/2 .
a
Bosones de esp´ 1.
ın
El campo asociado a una part´
ıcula de esp´ 1 Aµ (x) es un cuadrivector de cuatro
ın
componentes. La densidad lagrangiana para estas part´
ıculas viene dada por:
L = −1/4(∂µ Aν (x) − ∂ν Aµ (x))2 − 1/2m2 (Aµ (x))2
El lagrangiano del campo electromagn´tico se obtiene poniendo m=0. En este caso,
e
utilizando las ecuaciones de Euler-Lagrange, se obtienen las ecuaci´nes de Maxwell, en
o
ausencia de fuentes
∂µ (∂µ Aν (x) − ∂ν Aµ (x)) = 0
El an´lisis dimensional indica que Aµ tiene dimensiones de E.
a
4.1
Interacci´n fuerte
o
Describe el acoplamiento de los bariones con los mesones, o bien de los mesones entre
s´ La forma de la densidad lagrangiana de interacci´n para bariones de esp´ 1/2 con
ı.
o
ın
mesones de esp´ 0, requerida por la invariancia de Lorentz, viene dada por
ın
¯
Lf = g(BM, C)ψC (x)φM (x)ψB (x)
donde g(BM, C) es una constante de acoplo adimensional asociada al proceso en que se
aniquila un bari´n B y un mes´n M para crear un bari´n C.
o
o
o
Las constantes de los procesos de interacci´n fuerte son del orden de la unidad. La
o
conservaci´n de los n´meros cu´nticos aditivos hace que, si los n´meros cu´nticos de C
o
u
a
u
a
(extra˜eza, etc) no son iguales a los de B m´s los de M, g(BM, C) = 0. La conservaci´n del
n
a
o
isosp´ implica que las constantes de acoplo de todas las part´
ın
ıculas B,M,C pertenecientes
a multipletes β, µ, γ pueden expresarse en funci´n de una unica constante g(βµ, γ) como
o
´
g(BM, C) = g(βµ, γ) < IB I3B , IM I3M |IC I3C >
El efecto de la interacci´n fuerte se describe mediante el calculo de los diagramas de
o
Feynmann relevantes. A efectos de estimar las secciones eficaces y las probabilidades
de decaimiento, puede utilizarse la regla de oro de Fermi, teniendo el cuenta que el elemento de matriz del hamiltoniano pueden estimarse de forma grosera por las expresiones
siguientes:
• Procesos en que intervienen dos bariones reales y un mes´n real (un v´rtice):
o
e
< i|H|f >
34
√
g
EM
(¯ c)3
h
Ω

36. • Procesos en que intervienen cuatro bariones reales y se propaga un mes´n virtual
o
(dos v´rtices):
e
< i|H|f >
2
EM
g1 g2
(¯ c)3
h
2 2
2 + iΓ /2)2 Ω
− pM c − (mM c
M
donde EM y pM son la energ´ y el momento del mes´n virtual, que se obtienen
ıa
o
usando la conservaci´n de la energ´ y el momento en cada v´rtice. mM es su masa,
o
ıa
e
y ΓM su anchura.
• Procesos en que intervienen dos bariones reales y dos mesones reales y se propaga
un bari´n virtual (dos v´rtices):
o
e
< i|H|f >
g1 g2
2
EB − p2 c2 − (mB c2 + iΓB /2)2
B
√
(¯ c)3
h
EM 1 EM 2 Ω
1
donde EB y pB son la energ´ y el momento del bari´n virtual, que se obtienen
ıa
o
usando la conservaci´n de la energ´ y el momento en cada v´rtice. mB es su masa,
o
ıa
e
y ΓB su anchura.
Cuando las condicones cinem´ticas de la colision son tales que para la part´
a
ıcula virtual
2
2 2
4 2
que se propaga se cumple que E − p c
c m , se produce un aumento muy importante
en < i|H|f >, que se traduce en un aumento en la secci´n eficaz. Esto permite estudiar
o
las “resonancias”.
4.2
Interacci´n electromagn´tica
o
e
Describe el acoplamiento de corrientes generadas por campos fermi´nicos o bos´nicos con
o
o
el campo electromagn´tico.
e
Lem = eAµ (x)jµ (x)
La forma de la corriente jµ (x) viene dado, para fermiones de carga e, por
¯
jµ (x) = iψ(x)γµ ψ(x)
Para mesones de esp´ cero y carga e, viene dada por
ın
jµ (x) = iφ(x)∗ ∂µ φ(x)
La constante de acoplo e, en unidades naturales, vale 4π/137.0359895 = 0.3028.
Para describir el proceso electromagn´tico Σ0 → Λ + γ, se toma
e
¯
jµ (x)(Σ0 , Λ) = iC(Σ, Λ)ψΛ (x)γµ ψΣ0 (x)
donde C(Σ, Λ) es una constante de acoplamiento electromagn´tico que se determina
e
3
fenomenol´gicamente. Las corrientes tienen dimensiones de E .
o
El efecto de la interacci´n electromagn´tica se describe mediante el c´lculo de los
o
e
a
diagramas de Feynmann relevantes. A efectos de estimar las secciones eficaces y las
probabilidades de decaimiento, puede utilizarse la regla de oro de Fermi, teniendo el
cuenta que el elemento de matriz del hamiltoniano pueden estimarse por las expresiones
siguientes, en las que E es la energ´ total en el sistema centro de masas:
ıa
35

37. • Procesos en que intervienen dos fermiones reales y un fot´n real (un v´rtice):
o
e
< i|H|f >
eC(F1 , F2 )
Eγ
(¯ c)3
h
Ω
• Procesos en que intervienen cuatro fermiones reales y se propaga un fot´n virtual
o
(dos v´rtices):
e
e2
(¯ c)3
h
< i|H|f >
2 − p2 c2 Ω
Eγ
γ
donde Eγ y pγ son la energ´ y el momento del fot´n virtual, que se obtienen usando
ıa
o
la conservaci´n de la energ´ y el momento en cada v´rtice.
o
ıa
e
• Procesos en que intervienen dos fermiones reales y dos fotones reales y se propaga
un fermi´n virtual (dos v´rtices):
o
e
< i|H|f >
e2
2
EF − c2 p2 − (mF c2 + iΓF )2
F
(¯ c)3
h
Eγ1 Eγ2 Ω
1
donde EF y pF son la energ´ y el momento del fermi´n virtual, que se obtienen
ıa
o
usando la conservaci´n de la energ´ y el momento en cada v´rtice. mF es su masa,
o
ıa
e
y ΓF su anchura.
4.3
Interacci´n d´bil
o
e
La primera teor´ cu´ntica de campos de la interacci´n d´bil fu´ desarrollada por Fermi.
ıa a
o e
e
Describe el acoplamiento entre corrientes de leptones o de hadrones. Podemos distinguir:
4.3.1
Procesos lept´nicos.
o
Son los procesos en los que intervienen unicamente leptones, como el decaimiento de un
´
mu´n en electr´n y neutrinos. La densidad lagrangiana en este caso viene dada por:
o
o
GF −el +mu
Ld = √ jµ jµ
2
donde
−el
¯
jµ = iψel (x)(1 − γ5 )γµ ψn.el (x)
crea un electr´n y un anti-neutrino electr´nico en este caso, por tanto crea una carga neta
o
o
negativa, y
+mu
¯
jµ
= iψn.mu (x)(1 − γ5 )γµ ψmu (x)
crea un neutrino mu´nico y aniquila un mu´n, por lo que crea una carga neta positiva.
o
o
±el,mu,tau
De esta forma, se construyen las corrientes jµ
. Las corrientes as´ constru´
ı
ıdas conservan los n´meros lept´nicos. La carga el´ctrica se conserva ya que s´lo se consideran
u
o
e
o
productos de corrientes positivas y negativas. El operador γ5 determina la quiralidad.
Sus autoestados son +1, correspondiente a quiralidad positiva, y -1, correspondiente a
quiralidad negativa. El factor (1 − γ5 ) hace que s´lo los leptones con quiralidad negativa
o
sientan la interacci´n d´bil. La quiralidad est´ relacionada con la helicidad cuando la
o
e
a
36