แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เรื่องการบวกและการลบพหุนามชุดที่ 4

1. ก
คํานํา
แบบฝกทักษะวิชาคณิตศาสตรชุดนี้ เปนสื่อประกอบการเรียนการสอน รายวิชา
คณิตศาสตรเพิ่มเติม (ค21202) หน*วยการเรียนรู,ที่ 2 พหุนาม ชั้นมัธยมศึกษาป/ที่ 1 ชุดที่ 4 เรื่อง
การบวกและการลบเอกนามเปนแบบฝกทักษะการเรียนรู,แบบสื่อประสมที่ผู,รายงานจัดทําขึ้นตาม
หลักสูตรสถานศึกษาและหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 เพื่อมุ*งเน,นให,
นักเรียนได,ฝกปฏิบัติกิจกรรมจริงที่หลากหลาย และเพิ่มความสนใจในการเรียนรู, ตลอดจนฝก
ทักษะและใช,กระบวนการทางคณิตศาสตร ในการแก,ป=ญหา การให,เหตุผลและการสื่อความหมาย
ซึ่งสามารถนําไปประยุกตใช,ในการแก,ป=ญหาในชีวิตประจําวัน ส*งเสริมให,นักเรียนมีความรับผิดชอบ
มีความซื่อสัตย ทํางานอย*างเปนระบบ ช*วยเหลือซึ่งกันและกัน ส*งผลให,มีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนที่
สูงขึ้น
การจัดกิจกรรมการเรียนรู,ครั้งนี้ มีวัตถุประสงคเพื่อพัฒนายกระดับผลสัมฤทธิ์ทางการ
เรียนของนักเรียนระดับชั้นมัธยมศึกษาป/ที่ 1 รายวิชาคณิตศาสตรเพิ่มเติม (ค21202) โดยจัด
กิจกรรมตามแผนการจัดการเรียนรู, ซึ่งเนื้อหาที่ใช,อยู*ในระดับง*ายไปถึงระดับยาก
ผู,จัดทําขอขอบคุณนายศุภณัฐ เพชรรัตน อดีตผู,อํานวยการโรงเรียนหาดใหญ*รัฐประชา
สรรค นางวลัย ธนานุสนธิ์ ผู,อํานวยการโรงเรียนควนเนียงวิทยา นางธนัญญา อารมณฤทธิ์
นางอรพรรณ กาญจนแก,ว นางเพลินจิต ไชยสาลี นางสาวธันยรดา เนติ นางสาวจุฑาทิพย
มหาพรหมประเสริฐ นายถนอมศักดิ์ กิติเศวตจิต นายวิเชียร พูลศรี ตลอดถึงผู,ที่มีส*วนเกี่ยวข,อง
ทุกท*านที่กรุณาให,คําปรึกษา คําแนะนํา จนแบบฝกทักษะวิชาคณิตศาสตรเสร็จสมบูรณด,วยดี
และหวังเปนอย*างยิ่งว*าแบบฝกทักษะวิชาคณิตศาสตรชุดนี้จะเปนประโยชนต*อนักเรียนและ
ครูผู,สอนในการเพิ่มประสิทธิภาพในการพัฒนาการเรียนรู,ของนักเรียนได,เปนอย*างดี
นางวาสนา พูลศรี
ครูชํานาญการโรงเรียนหาดใหญ*รัฐประชาสรรค

2. - 1 -
แบบฝกทักษะเรื่องพหุนาม
จุดประสงคการเรียนรู
1. นักเรียนสามารถบอกสัมประสิทธิ์ ตัวแปร และดีกรี ของเอกนามได
2. นักเรียนสามารถบอกเอกนามคลายได
3. นักเรียนสามารถเขียนพหุนามในรูปผลสําเร็จได
4. นักเรียนสามารถบอกดีกรีของพหุนามที่กําหนดใหได
5. นักเรียนสามารถหาผลบวกของเอกนามที่กําหนดใหได
6. นักเรียนสามารถหาผลลบของเอกนามที่กําหนดใหได
7. นักเรียนสามารถหาผลคูณของพหุนามที่กําหนดใหได
8. นักเรียนสามารถหาผลลัพธ4จากหารพหุนามดวยเอกนามที่กําหนดใหได

3. - 2 -
รายละเอียดของแบบฝกทักษะ
แบบฝกทักษะ เรื่อง พหุนาม ชั้นมัธยมศึกษาป(ที่ 1 มีทั้งหมด 6 ชุด จํานวน 18
แบบฝก นําไปใชควบคู0กับแผนการจัดการเรียนรู เรื่อง พหุนาม จํานวน 18 แผน รวม 18
ชั่วโมง ดังนี้
แบบฝกทักษะชุดที่ 1 เรื่อง เอกนาม จํานวน 7 แบบฝก
แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนก6อนเรียน ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 1
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 1.1 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 2
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 1.2 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 3
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 1.3 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 4
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 1.4 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 4
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 1.5 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 4
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 1.6 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 4
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 1.7 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 4
แบบฝกทักษะชุดที่ 2 เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม จํานวน 7 แบบฝก
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 2.1 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 5
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 2.2 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 6
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 2.3 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 5
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 2.4 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 6
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 2.5 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 5
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 2.6 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 6
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 2.7 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 5
แบบฝกทักษะชุดที่ 3 เรื่อง พหุนาม จํานวน 6 แบบฝก
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 3.1 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 7
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 3.2 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 8
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 3.3 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 9
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 3.4 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 10
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 3.5 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 11
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 3.6. ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 12
แบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม จํานวน 5 แบบฝก
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 4.1 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 13
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 4.2 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 14
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 4.3 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 15
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 4.4 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 16
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 4.5 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 17

4. - 3 -
แบบฝกทักษะชุดที่ 5 เรื่อง การคูณพหุนาม จํานวน 3 แบบฝก
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 5.1 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 7
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 5.2 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 8
แบบฝ9กทักษะชุดที่ 5.3 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 9
แบบฝกทักษะชุดที่ 6 เรื่อง การหารพหุนาม จํานวน 3 แบบฝก
แบบฝ9กทักษะที่ 6.1 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 7
แบบฝ9กทักษะที่ 6.2 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 8
แบบฝ9กทักษะที่ 6.3 ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 9
แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนหลังเรียน ใชประกอบแผนการจัดการเรียนรูที่ 18

5. - 4 -
คําชี้แจงสําหรับครูผูสอน
การนําแบบฝ9กทักษะไปใชควบคู6กับแผนการจัดการเรียนรู เรื่อง พหุนาม ชั้นมัธยมศึกษา
ปAที่ 1 มีขั้นตอนการปฏิบัติดังนี้
1. ทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนก6อนเรียน จํานวน 30 ขอ ใชเวลา 50 นาที
2. ศึกษารายละเอียดของชุดแบบฝ9กทักษะใหเขาใจ โดยตองศึกษาขั้นตอนการจัดกิจกรรมใน
แผนการจัดการเรียนรู และขั้นตอนการใชแบบฝ9กทักษะแต6ละแบบฝ9ก
3. ดําเนินการไปตามลําดับขั้นที่จัดไวในแผนการจัดการเรียนรู และสามารถยืดหยุ6นได
ตามความเหมาะสมของผูเรียนและเวลาในการจัดกิจกรรม
4. ชี้แจงรายละเอียดในการทําแบบฝ9กทักษะแก6นักเรียนใหชัดเจน
5. แจงผลการทําแบบฝ9กทักษะทุกครั้งใหนักเรียนทราบหลังจากทําแบบฝ9กทักษะ
6. เมื่อนักเรียนทําแบบฝ9กทักษะแต6ละชุดเสร็จ จะมีการทดสอบระหว6างเรียน
7. เมื่อทําแบบฝ9กทักษะครบทุกชุดแลว จึงใหนักเรียนทําแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์
ทางการเรียนหลังเรียน

6. - 5 -
เอกสารความรูชุดที่ 4
เรื่อง
การบวกและการลบพหุนาม

7. - 6 -
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
เอกสารความรูชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
1. การบวกพหุนาม
พิจารณาพหุนามสองพหุนามตอไปนี้
4x 3− และ 5x 7+
เขียนพหุนามทั้งสองนี้ในรูปการบวกดังนี้
( ) ( )4x 3 5x 7− + +
เมื่อทําพหุนาม ( ) ( )4x 3 5x 7− + + ให*เป+นพหุนามในรูปผลสําเร็จจะได*ดังนี้
( ) ( )
( ) ( )
4x 3 5x 7 = 4x 3 5x 7
4x 5x 3 7
9x 4
− + + − + +
= + + − +
= +
เรียกพหุนาม 9x 4+ วาผลบวกของพหุนาม 4x 3− และ 5x 7+
นั่นคือ ( ) ( )4x 3 5x 7 = 9x 4− + + +
การหาผลบวกของพหุนามใช*หลักเกณฑ1ดังนี้
การหาผลบวกของพหุนาม ทําได*โดยนําพหุนามมาเขียนในรูปการบวกและ
ถ*ามีพจน1ที่คล*ายกัน ให*บวกพจน1ที่คล*ายกันเข*าด*วยกัน
ตัวอย$างที่ 1 จงหาผลบวกของพหุนาม6x 5− และ 2x 3+
6x 5
2x 3
8x 2
−
+
−
+
∴(6x 5) (2x 3) 8x 2− + + = −

8. - 7 -
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
ตัวอย$างที่ 2 จงหาผลบวกของ 2
x 3x 4+ − และ 2
2x 4x 9− +
2
2
2
x 3x 4
2x 4x 9
3x x 5
+ −
− +
− +
+
∴ 2 2 2
(x 3x 4) (2x 4x 9) 3x x 5+ − + − + = − +
ตัวอย$างที่ 3 จงหาผลบวกของ 2
5x 3x 2+ − และ 2
x 3x 5− +
2
2
2
5x 3x 2
x 3x 5
6x 0x 3
+ −
− +
+ +
+
∴ 2 2 2
(5x 3x 2) (x 3x 5) 6x 3+ − + − + = +
ตัวอย$างที่ 4 จงหาผลบวกของ 4 3
7x 2x 2x 6+ + − และ 3 2
3x x 4x 3− + +
4 3
3 2
4 3 2
7x 2x 2x 6
3x x 4x 3
7x 5x x 6x 3
+ + −
− + +
+ − + −
+
∴ 4 3 3 2 4 3 2
(7x 2x 2x 6) (3x x 4x 3) 7x 5x x 6x 3+ + − + − + + = + − + −
ตัวอย$างที่ 5 จงหาผลบวกของ 2 2
x 3xy 2y 9− + + และ 2 2
x 3xy 2y 5+ + −
2 2
2 2
2 2
x 3xy 2y 9
x 3xy 2y 5
2x 0xy 8y 4
− + +
+ + −
+ + +
+
∴ 2 2 2 2 2 2
(x 3xy 2y 9) (x 3xy 2y 5) 2x 8y 4− + + + + + − = + +

9. - 8 -
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
ตัวอย$างที่ 6 จงหาผลบวกของ 2
x z x 3xz z+ + + และ 2
6x 4xz 9x z 9z+ + −
เนื่องจาก 2
x z x 3xz z+ + + และ 2
6x 4xz 9x z 9z+ + − ไมอยูในรูปที่เรียงจากดีกรีมากไป
น*อย จึงควรจัดให*อยูในรูปที่เรียงดีกรีจากมากไปน*อยแล*วจึงหาผลบวกของพหุนาม
2 2
x z x 3xz z x z 3xz x z+ + + = + + +
2 2
6x 4xz 9x z 9z 9x z 4xz 6x 9z+ + − = + + −
2
2
2
x z 3xz x z
9x z 4xz 6x 9z
10x z 7xz 7x 8z
+ + +
+ + −
+ + −
+
∴ 2 2 2
(x z 3xz x z) (9x z 4xz 6x 9z) 10x z 7xz 7x 8z+ + + + + + − = + + −
ตัวอย$างที่ 7 จงหาผลบวกของ 2 2
x 3x 6 , 3x 7x 5+ − − + และ 2
2x 4x 1− +
2
2
2
2
x 3x 6
3x 7x 5
2x 4x 1
6x 8x 0
+ −
− +
− +
− +
+
2 2 2 2
(x 3x 6) (3x 7x 5) (2x 4x 1) 6x 8x∴ + − + − + + − + = −
ตัวอย$างที่ 8 จงหาผลบวกของ 2 2
x 2x 4y 6 , 3x 3x 5− + − + − และ 2
x 2x 4y 7− + − +
2
2
2
2
x 2x 4y 6
3x 3x 5
x 2x 4y 7
3x 3x 4
− + −
+ −
− + − +
+ −
+
2 2 2 2
(x 2x 4y 6) (3x 3x 5) ( x 2x 4y 7) 3x 3x 4∴ − + − + + − + − + − + = + −

10. - 9 -
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
การบวกพหุนามนอกจากจะบวกตามแนวตั้งตามตัวอยางที่ 1 – 8แล*วยังสามารถบวกพหุนาม
ตามแนวนอนตามตัวอยางตอไปนี้
ตัวอย$างที่ 9 จงหาผลบวกของ 2
2x 7x 6− + และ 2
x 3x 9− + −
( ) [ ]2 2 2 2
2
(2x 7x 6) ( x 3x 9) 2x ( x ) 7x 3x 6 ( 9)
x 4x 3
 − + + − + − = + − + − + + + −   
= − −
∴ 2 2 2
(2x 7x 6) ( x 3x 9) x 4x 3− + + − + − = − −
ตัวอย$างที่ 10 หาผลบวกของ 2
3x 6x 4+ − และ 5x 6− +
[ ] ( )2 2
2
(3x 6x 4) ( 5x 6) 3x 6x ( 5x) 4 6
3x x 2
+ − + − + = + + − + − +  
= + +
∴ 2 2
(3x 6x 4) ( 5x 6) 3x x 2+ − + − + = + +
ตัวอย$างที่ 11 จงหาผลบวกของ 2
3x y 6xy 3+ − และ 2
3x y 6xy 7− +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
3x y 6xy 3 3x y 6xy 7
= 3x y 3x y 6xy 6xy 3 7
6x y 4
+ − + − +
+ + + − + − +      
= +
∴ 2 2 2
(3x y 6xy 3) (3x y 6xy 7) 6x y 4+ − + − + = +

11. - 10 -
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
การลบพหุนาม
การลบพหุนามทําได*ในทํานองเดียวกันกับการลบเอกนาม โดยเขียนพหุนามในรูปการลบให*
อยูในรูปการบวกของพหุนาม ซึ่งต*องใช*พหุนามตรงขาม
ตัวอย$างพหุนามตรงขาม
พหุนาม พหุนามตรงขาม
5− 5
12x− 12x
5x 7− + ( )5x 7− − + หรือ ( )5x 7+ − หรือ5x 7−
2 2 4
5x 7x y− + ( )2 2 4
5x 7x y− − + หรือ ( )2 2 4
5x 7x y+ − หรือ 2 2 4
5x 7x y−
3
2x 6x 7− + ( )3
2x 6x 7− − + หรือ( ) ( )3
2x 6x 7− + + − หรือ 3
2x 6x 7− + −
2
4x y 6xy 12− + − ( )2
4x y 6xy 12− − + − หรือ ( )2
4x y 6xy 12+ − + หรือ
2
4x y 6xy 12− +
การหาผลลบของพหุนามสองพหุนาม ทําตามขอตกลงดังนี้
พหุนามตัวตั้ง – พหุนามตัวลบ = พหุนามตัวตั้ง + พหุนามตรงขามของพหุนามตัวลบ

12. - 11 -
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
ตัวอย$างที่ 1 จงหาผลลบของ2x 7+ และ x 3+
พหุนามตรงข*ามของ x 3+ คือ (x 3) x 3− + = − −
2x 7
x 3
x 4
+
− −
+
+
∴(2x 7) (x 3) x 4+ − + = +
ตัวอย$างที่ 2 จงหาผลลบของ 2
2x 4x 6− + และ 2
x 5x 7+ −
พหุนามตรงข*ามของ 2
x 5x 7+ − คือ 2 2
(x 5x 7) x 5x 7− + − = − − +
2
2
2
2x 4x 6
x 5x 7
x 9x 13
− +
− − +
− +
+
∴ 2 2 2
(2x 4x 6) (x 5x 7) x 9x 13− + − + − = − +
ตัวอย$างที่ 3 จงหาผลลบของ 2
5x 6x 7+ − และ 2
5x 4x 2− +
พหุนามตรงข*ามของ 2
5x 4x 2− + คือ 2 2
(5x 4x 2) 5x 4x 2− − + = − + −
2
2
5x 6x 7
5x 4x 2
10x 9
+ −
− + −
−
+
2 2
(5x 6x 7) (5x 4x 2) 10x 9∴ + − − − + = −
ตัวอย$างที่ 4 จงหาผลลบของ 3 2
6x 2x 5x 7− + − และ 2
3x 4x 1− +
พหุนามตรงข*ามของ 2
3x 4x 1− + คือ ( )2 2
3x 4x 1 = 3x 4x 1− − + − + −
3 2
2
3 2
6x 2x 5x 7
3x 4x 1
6x 5x 9x 8
− + −
− + −
− + −
+
∴ 3 2 2 3 2
(6x 2x 5x 7) (3x 4x 1) 6x 5x 9x 8− + − − − + = − + −

13. - 12 -
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
ตัวอย$างที่ 5 จงหาผลลบของ 2 2
x 5xy 2y x 3− + − + และ 2 2
3x 4y 5x 2− − −
พหุนามตรงข*ามของ 2 2
3x 4y 5x 2− − − คือ ( )2 2
3x 4y 5x 2− − − −
2 2
3x 4y 5x 2= − + + +
2 2
2 2
2 2
x 5xy 2y x 3
3x 4y 5x 2
2x 5xy 6y 4x 5
− + − +
− + + +
− − + + +
+
∴ 2 2 2 2 2 2
(x 5xy 2y x 3) (3x 4y 5x 2) 2x 5xy 6y 4x 5− + − + − − − − = − − + + +
ตัวอย$างที่ 6 จงหาผลลบของ 3 2
y 7 2y y− + − และ 3 2
9 y 6y 2y− + −
เนื่องจาก 3 2
y 7 2y y− + − และ 3 2
9 y 6y 2y− + − ไมอยูในรูปที่เรียงจากดีกรีจากมากไป
น*อย จึงควรจัดให*อยูในรูปที่เรียงดีกรีจากมากไปน*อยแล*วจึงหาผลลบของพหุนาม
3 2 3 2
y 7 2y y y 2y y 7− + − = + − −
3 2 3 2
9 y 6y 2y y 6y 2y 9− + − = − + − +
พหุนามตรงข*ามของ 3 2
y 6y 2y 9− + − + คือ ( )3 2
y 6y 2y 9− − + − +
3 2
y 6y 2y 9= − + −
3 2
3 2
3 2
y 2y y 7
y 6y 2y 9
2y 4y y 16
+ − −
− + −
− + −
+
∴ 3 2 3 2 3 2
(y 7 2y y) (9 y 6y 2y) 2y 4y y 16− + − − − + − = − + −
ดังนั้นการลบพหุนามด*วยพหุนามทําได*โดยบวกพหุนามตัวตั้งด*วยพจน1ตรงข*าม
ของแตละพจน1ของพหุนามตัวลบ

14. - 13 -
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
ตัวอย$างที่ 7 จงหาผลลบของ4x 7− และ 3x 6+
พหุนามตรงข*ามของ 3x 6+ คือ (3x 6) 3x 6− + = − −
(4x 7) ( 3x 6) [4x ( 3x)] [( 7) ( 6)]
x 13
− + − − = + − + − + −
= −
∴(4x 7) (3x 6) x 13− − + = −
ตัวอย$างที่ 8 จงหาผลลบของ 2
3x 4x 8− + และ 2
x 9x 6− + −
พหุนามตรงข*ามของ 2
x 9x 6− + − คือ 2 2
( x 9x 6) x 9x 6− − + − = − +
2 2 2 2
2
(3x 4x 8) (x 9x 6) (3x x ) [( 4x) ( 9x)] (8 6)
4x 13x 14
− + + − + = + + − + − + +
= − +
∴ 2 2 2
(3x 4x 8) ( x 9x 6) 4x 13x 14− + − − + − = − +
ตัวอย$างที่ 9 หาผลลบของ 4 2
y 2y 11− + และ 4 2
3y 2y 9+ −
พหุนามตรงข*ามของ 4 2
3y 2y 9+ − คือ 4 2
(3y 2y 9)− + −
4 2
3y 2y 9= − − +
4 2 4 2
(y 2y 11) ( 3y 2y 9)− + + − − +
( ) ( )4 4 2 2
4 2
y ( 3y ) 2y 2y (11 9)
2y 4y 20
  = + − + − + − + +   
= − − +
∴ 4 2 4 2 4 2
(y 2y 11) (3y 2y 9) 2y 4y 20− + − + − = − − +

15. - 14 -
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
ตัวอย$างที่ 10 จงหาผลลบของ 2 2
x 2xz z 7+ + + และ 2 2
2x 4z 3+ −
พหุนามตรงข*ามของ 2 2
2x 4z 3+ − คือ ( )2 2 2 2
2x 4z 3 = 2x 4z 3− + − − − +
2 2 2 2
(x 2xz z 7) ( 2x 4z 3)+ + + + − − +
( )2 2 2 2
2 2
x ( 2x ) 2xz z 4z (7 3)
x 2xz 3z 10
  = + − + + + − + +   
=− + − +
2 2 2 2 2 2
(x 2xz z 7) (2x 4z 3) x 2xz 3z 10∴ + + + − + − = − + − +

16. - 15 -
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
พหุนามกับความยาว
ถ*า AB เป+นสวนของเส*นตรงเส*นหนึ่งที่มีความยาวเทากับจํานวนจํานวนหนึ่ง
เราจะแทนความยาวของ AB ด*วย x และเขียนรูปแสดง AB ได*ดังนี้
ดังนั้น ถ*า CD เป+นสวนของเส*นตรงที่ยาวเป+น 2 เทาของความยาวของ AB
จะได* CD ยาว 2x หนวย และเขียนรูปแสดงได*ดังนี้
จากรูป ความยาวของ CD = x + x
ดังนั้น x + x = 2x
ถ*า AB ยาว x หนวย และ BC ยาว y หนวย ดังรูป
จะได*ความยาวของ AB + ความยาวของ BC = x y+ หนวย
x
BA
xx
DC
yx
CBA

17. - 37 -
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
1. x 7
x 2
2x 5
+
−
+
+
ตอบ 2x 5+
2
2
2
3. 3x 6x 8
4x 8x 13
x 2x 21
+ −
− − −
− − −
+
ตอบ 2
x 2x 21− − −
2. 5x 9
x 5
4x 4
+
− −
+
+
ตอบ 4x 4+
2
2
2
4. 2x 6x 4
4x 8x 13
2x 14x 17
+ −
− + −
− + −
+
ตอบ 2
2x 14x 17− + −
แบบฝกทักษะที่ 4.1
เรื่องการบวกพหุนาม
จุดประสงค%การเรียนรู' นักเรียนสามารถหาผลบวกของเอกนามที่กําหนดให#ได#
นักเรียนหาผลบวกของพหุนามต&อไปนี้โดยแสดงวิธีทําในแนวตั้งคําชี้แจง
ตัวอย+าง
x 10
x 25
2x 15
−
+
+
+
ตอบ 2x 15+
แบบฝกทักษะที่ 4.1
เรื่องการบวกพหุนาม
จุดประสงค%การเรียนรู' นักเรียนสามารถหาผลบวกของเอกนามที่กําหนดให#ได#

18. - 38 -
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
2
2
2
5. 10x 6x 4
3x 6x 5
13x +0x 9
+ −
− −
−
+
ตอบ 2
13x 9−
2
3 2
3 2
8. 3z 6z 2
4z 5z + 0z 10
4z 2z 6z 12
+ +
− − +
− − + +
+
ตอบ 3 2
4z 2z 6z 12− − + +
3 2
3 2
3 2
6. x 2x x 8
3x x + 0x 6
2x 3x x 2
− − + −
− +
− + −
+
ตอบ 3 2
2x 3x x 2− + −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
2 2 2
3 2 2 2
3 2 2 2
3 2
9. 3x 2x x 5 9 3x 6x
= 2x 3x x 5 3x 6x 9
= 2x 3x x 3x 6x 5 9
= 2x 5x 6x 14
+ − + + + +
+ − + + + +
+ − + + + +
+ + +
ตอบ 2
3
2x +5x +6x+14
3 2
3 2
3 2
7. 9y 7y + 0y 4
y 0y + 6y 7
10y 7y 6y 3
− +
+ −
− + −
+
ตอบ 3 2
10y 7y 6y 3− + −
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 4 2 3
4 2 3 2
4 3 2 2
4 3 2
10. 2y 3y 3y 7 6y y 5
= 3y 2y 3y 7 y 6y 5
= 3y y 2y 6y 3y 7 5
3y y 8y 3y 12
+ − + + − +
+ − + + − + +
− + + − + +
= − + − +
ตอบ 4 3 2
3y y 8y 3y 12− + − +

19. - 39 -
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
แบบฝกทักษะที่ 4.2
เรื่องการบวกพหุนาม
(ต+อ)
จุดประสงค%การเรียนรู' นักเรียนสามารถหาผลบวกของเอกนามที่กําหนดให#ได#
ให#นักเรียนหาผลบวกของพหุนามต&อไปนี้โดยแสดงวิธีทําในแนวนอนคําชี้แจง
ตัวอย&าง
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
8x 3 4x 5 = 8x 4x + 3 + 5
4x 8
4x 8
− + − − + − − −      
= + −
= −
ตอบ 4x 8−
( ) ( ) ( ) ( )1. 2x 4 x 3 = 2x x 4 3
= 3x 1
+ + − + + + −  
+
ตอบ 3x 1+

20. 40
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2. 2x 3 x 2 = 2x x + 3 + 2
x 5
x 5
− + − − + − − −      
= + −
= −
ตอบ x 5−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2
3. 4x 2x 5 x 3x 2 = 4x x 2x 3x + 5+ 2
5x x 3
− + + + − + − + −      
= + +
ตอบ 2
5x x 3+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2
3. 4x 2x 5 x 3x 2 = 4x x 2x 3x + 5+ 2
5x x 3
− + + + − + − + −      
= + +
ตอบ 2
5x x 3+ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2
5. x 6x 10 5x 9 = x 5x 6x 10 9
6x 6x 19
+ − + − + + + − + −  
= + −
ตอบ 2
6x 6x 19+ −

21. 41
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2
6. x 8 10x 6x 14 = x 10x 6x 8 14
11x 6x 22
+ + − + + + − + +
= − +
ตอบ 2
11x 6x 22− +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2
7. 3x 8x 7 5x 8x 6 = 3x 5x 8x 8x 7 6
2x 1
 − + + − + − + − + − + + + −       
= − +
ตอบ 2
2x 1− +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3
3
8. 10x 2x 1 5x 10 = 10x 2x 5x 1 10
10x 7x 9
− + + − − + − + − + + −      
= − −
ตอบ 3 2
10x 2x 7x 9− − −
( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2
3 2
9. 6x 2x 13 4x 7x 5 = 6x 4x 2x 7x 13 5
6x 4x 5x 8
− − + + + + + − + + − +      
= + + −
ตอบ 3 2
6x 4x 5x 8+ + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
2
10. 2x 3xy 10 x 4xy 2 = 2x x 3xy 4xy 10 2
3x xy 8
+ − + − + + + + − + − +      
= − −
ตอบ 2
3x xy 8− −

22. 42
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
แบบฝกทักษะที่ 4.3
เรื่องการลบพหุนาม
จุดประสงค%การเรียนรู' นักเรียนสามารถหาผลลบของเอกนามที่กําหนดให#ได#
ให#นักเรียนหาผลลบของพหุนามต&อไปนี้โดยแสดงวิธีทําในรูปการบวกคําชี้แจง
ตัวอย&าง
( ) ( )5x 10 10x 7− − +
พหุนามตรงข#ามของ ( )10x 7+ คือ ( )10x 7− −
การลบเขียนในรูปการบวกคือ ( ) ( )5x 10 10x 7− + − −
5x 10
10x 7
5x 17
−
− −
− −
+
ตอบ ผลลบ คือ 5x 17− −
( ) ( )1. 3x 10 2x 7− − +
พหุนามตรงข#ามของ ( )2x 7+ คือ ( )2x 7− −
การลบเขียนในรูปการบวกคือ ( ) ( )3x 10 2x 7− + − −
3x 10
2x 7
x 17
−
− −
−
+
ตอบ ผลลบ คือ x 17−

23. 43
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
( ) ( )3 3
2. 2x 5 4x 7+ − − −
พหุนามตรงข#ามของ 3
4x 7− − คือ 3
4x 7+
การลบเขียนในรูปการบวกคือ ( ) ( )3 3
2x 5 4x 7+ + +
3
3
3
2x 5
4x 7
6x 12
+
+
+
+
ตอบ ผลลบ คือ 3
6x 12+
( ) ( )2 2
3. 7x 3x 5 2x 10x 2+ − − − +
พหุนามตรงข#ามของ 2
2x 10x 2− + คือ 2
2x 10x 2− + −
การลบเขียนในรูปการบวกคือ. ( ) ( )2 2
7x 3x 5 2x 10x 2+ − + − + −
2
2
2
7x 3x 5
2x 10x 2
5x 13x 7
+ −
− + −
+ −
+
ตอบ ผลลบ คือ 2
5x 13x 7+ −
( ) ( )2 2
4. 10x 3x 5 3x 4x 12− + − − + −
พหุนามตรงข#ามของ 2
3x 4x 12− + − คือ 2
3x 4x 12− +
การลบเขียนในรูปการบวกคือ ( ) ( )2 2
10x 3x 5 3x 4x 12− + + − +
2
2
2
10x 3x 5
3x 4x 12
13x 7x 17
− +
− +
− +
+
ตอบ ผลลบ คือ 2
13x 7x 17− +

24. 44
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
( ) ( )2 2
5. 3x 8x 4 4x 10− − + − +
พหุนามตรงข#ามของ 2
4x 10+ คือ 2
4x 10− −
การลบเขียนในรูปการบวกคือ( ) ( )2 2
3x 8x 4 4x 10− − + + − −
2
2
2
3x 8x 4
4x 10
7x 8x 6
− − +
− −
− − −
+
ตอบ ผลลบ คือ 2
7x 8x 6− − −
( ) ( )2 2
6. 10x 2x 3 3x 4x 5− + − − − +
พหุนามตรงข#ามของ 2
3x 4x 5− − + คือ 2
3x 4x 5+ −
การลบเขียนในรูปการบวกคือ( ) ( )2 2
10x 2x 3 3x 4x 5− + + + −
2
2
2
10x 2x 3
3x 4x 5
13x 2x 2
− +
+ −
+ −
+
ตอบ ผลลบ คือ 2
13x 2x 2+ −
( ) ( )4 3 2 4 3 2
7. 5x 6x 3x 4 2x 3x 2x 10− + + − − − − + +
พหุนามตรงข#ามของ 4 3 2
2x 3x 2x 10− − + + คือ
4 3 2
2x 3x 2x 10+ − −
การลบเขียนในรูปการบวก
คือ ( ) ( )4 3 2 4 3 2
5x 6x 3x 4 2x 3x 2x 10− + + − + + − −
4 3 2
4 3 2
4 3 2
5x 6x 3x 4
2x 3x 2x 10
3x 9x x 14
− + + −
+ − −
− + + −
+
ตอบ ผลลบ คือ 4 3 2
3x 9x x 14− + + −

25. 45
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
( ) ( )2 2
8. 7x 8x 11 2x 10x 1− − − − + −
พหุนามตรงข#ามของ 2
2x 10x 1− + − คือ 2
2x 10x 1− +
การลบเขียนในรูปการบวกคือ( ) ( )2 2
7x 8x 11 2x 10x 1− − + − +
2
2
2
7x 8x 11
2x 10x+ 1
9x 18x 10
− −
−
− −
+
ตอบ ผลลบ คือ 2
9x 18x 10− −
( ) ( )2 2
9. 3 5x x 8x 9x+ + − −
พหุนามตรงข#ามของ 2
8x 9x− คือ 2
8x 9x− +
การลบเขียนในรูปการบวกคือ( ) ( )2 2
3 5x x 8x 9x+ + + − +
2
2
2
3 5x x
9x 8x
3 14x 7x
+ +
−
+ −
+
ตอบ ผลลบ คือ 2
3 14x 7x+ − หรือ 2
7x 14x 3− + +
( ) ( )3 2 2 3 2 2
10. 4y 2y z 4yz 3 y 4y z 3yz 1− + − − + + +
พหุนามตรงข#ามของ 3 2 2
y 4y z 3yz 1+ + + คือ 3 2 2
y 4y z 3yz 1− − − −
การลบเขียนในรูปการบวก
คือ( ) ( )3 2 2 3 2 2
4y 2y z 4yz 3 y 4y z 3yz 1− + − + − − − −
3 2 2
3 2 2
3 2 2
4y 2y z 4yz 3
y 4y z 3yz 1
3y 6y z yz 4
− + −
− − − −
− + −
+
ตอบ ผลลบ คือ 3 2 2
3y 6y z yz 4− + −

26. 46
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
แบบฝกทักษะที่ 4.4
เรื่องการลบพหุนาม
(ต+อ)
จุดประสงค%การเรียนรู' นักเรียนสามารถหาผลลบของเอกนามที่กําหนดให#ได#
ให#นักเรียนหาผลลบของพหุนามต&อไปนี้โดยแสดงวิธีทําในแนวนอนคําชี้แจง
ตัวอย+าง
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( )
4x 12 3x 5 4x 3x 12 5
4x 3x 12 5
7x 17
+ − − − = − − + − −      
= + + +
= +
ตอบ 7x 17+
( ) ( ) ( ) ( )
[ ] ( )
1. 2x 10 3x 3 2x 3x 10 3
2x 3x 10 3
5x 13
+ − − − = − − + − −      
= + + +
= +
ตอบ 5x 13+

27. 47
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2. 4x 5 7x 6 4x 7x 5 6
4x 7x 5 6
3x 11
− + − − − = − − − + − −      
= − + + +  
= +
ตอบ 3x 11+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2
3. 6x 3x 4 x 7x 7 6x x 3x 7x 4 7
6x x 3x 7x 4 7
6x x 3x 7x 4 7
7x 10x 11
 − + − − + − = − − + − − + − −       
 = + + − − + +   
 = + + − + − + +   
= − +
ตอบ 2
7x 10x 11− +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
4. x 5x 2 3x 2x 9 x 3x 5x 2x 2 9
x 3x 5x 2x 2 9
2x 7x 11
 − − + − − + − = − − − + − − + − −       
 = − + + − + − + +   
= − +
ตอบ 2
4x 7x 11− +

28. 48
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
5. 3x 5x 1 x 5x 2 3x x 5x 5x 1 2
3x x 5x 5x 1 2
4x 3
 − − + − − − = − − + − − − + − −       
 = − + − + − + + +   
= − +
ตอบ 2
4x 3− +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
6. 10x 4x 6 7x x 10x 7x 4x x 6
10x 7x 4x x 6
17x 3x 6
 + − − − + = − − + − + − 
 = + + + − + −   
= + −
ตอบ 2
17x 3x 6+ −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
3 3
3
7. 2y y 1 y 2y 7 2y y y 2y 1 7
2y y y 2y 1 7
3y y 8
 − − − − − + = − − + − − − + − −       
 = − + − + − + + − + −       
= − + −
ตอบ 3
3y y 8− + −

29. 49
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ] [ ]
( )
3 2 2 3 2 2
3 2 2
3 2
3 2
8. z 2z z 1 3z 6z 3 z 2z 3z z 6z 1 3
z 2z 3z z 6z 1 3
z 5z 7z 4
z 5z 7z 4
 − + + − − − = + − − + − − + − −       
 = + − + − + + + + 
= + − + +
= − + +
ตอบ 3 2
z 5z 7z 4− + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 2 3
2 3
2 3
3 2
9. 2y 2y 3y 7y 11 2y 3y 2y 7y 11
2y 3y 2y 7y 11
2y 3y 5y 11
3y 2y 5y 11
− − − − + = − + − + − − − +  
= − + − + − + +  
= − − + +
= − − + +
ตอบ 3 2
3y 2y 5y 11− − + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
10. 2x 3x 1 5x 5x 6 2x 5x 3x 5x 1 6
2x 5x 3x 5x 1 6
7x 2x 7
 − − − − − + = − − + − − − + − −       
 = + + − + + − + −       
= + −
ตอบ 2
7x 2x 7+ −

30. 50
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
แบบฝกทักษะที่ 4.5
เรื่องการลบพหุนาม
(ต+อ)
จุดประสงค%การเรียนรู' นักเรียนสามารถหาผลลบของเอกนามที่กําหนดให#ได#
ให#นักเรียนหาผลลัพธ8ของพหุนามต&อไปนี้คําชี้แจง
ตัวอย+าง
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
A B 2x x 8 5x 2x 3
2x 5x x 2x 8 3
3x x 5
+ = + − + − − +
 = + − + + − + − +       
= − − −
ตอบ 2
3x x 5− − −
กําหนดให# 2
A 2x x 8= + − , 32x5xB 2
+−−= , 107x4xC 2
−+= , 8x2xD 2
−−=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
1. A C 2x x 8 4x 7x 10
2x 4x x 7x 8 10
6x 8x 18
+ = + − + + −
= + + + + − + −  
= + −
ตอบ 18x86x2
−+

31. 51
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
7x5x
103x7x2x45x
10x7x432x5xCB2.
2
22
22
−+−=
−+++−++−=
−+++−−=+
ตอบ 7x5x2
−+−
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )
8x7
8x8xx22x
x8x28x2xDA3.
22
22
−−=
−+−++−+=
−−+−+=+
ตอบ 8x7 −−
( ) ( )
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
2x6x2
108x7x4x2x
10x7x48x2x
10x7x48x2xCA4.
2
22
22
22
+−−=
+−+−++−+=
+−−+−+=
−+−−+=−
ตอบ 2x6x2 2
+−−
( ) ( )
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]
36x3x
3x8x2x25x-
x8x232x5x
x8x232x5xDB5.
2
22
22
22
++−=
++−++=
+++−−=
−−−+−−=−
ตอบ 36x3x2
++−

32. 52
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
6. C B 4x 7x 10 5x 2x 3
4x 7x 10 5x 2x 3
4x 5x 7x 2x 10 3
9x 9x 13
− = + − − − − +
= + − + + −
= + + + + − + −  
= + + −
ตอบ 13x9x9 2
−++
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ] ( )
11x55x
11x8x3x2x7
x82x11x3x7
x82x38x2x5x2x
x82x3x2x58x2x
x82x3x2x58x2xDBA7.
2
22
22
222
222
222
−−=
−+−++−+=
−−+−+=
−−+−+−++++=
−−+−++−+=
−−++−−−−+=+−
ตอบ 11x55x2
−−

33. 53
เฉลยแบบฝกทักษะชุดที่ 4 เรื่องการบวกและการลบพหุนาม
จัดทําโดยนางวาสนา พูลศรี
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
713xx
75x8xx2x
7x5x8x2x
103x7x2x45x8x2x
10x7x432x5x8x2xCBD8.
2
22
22
222
222
+−−=
+−+−++−=
−+−−−−=
−+++−++−−−−=
−+++−−−−−=+−
ตอบ 713xx2
+−−

34. - 55 -
เฉลยแบบทดสอบระหวางเรียนชุดที่ 4
1. ก
2. ค
3. ง
4. ข
5. ก
6. ข
7. ง
8. ก
9. ข
10. ค

35. - 56 -