SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  600
Télécharger pour lire hors ligne
K10 bg matematika
ii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Hak Cipta © 2014 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
Dilindungi Undang-Undang
MILIK NEGARA
TIDAK DIPERDAGANGKAN
Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka
implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah
koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal
penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki,
diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman.
Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
Matematika: Buku Guru/Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Edisi Revisi.
Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014.
xxii, 578 hlm. : ilus. ; 25 cm.
Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X
ISBN 978-602-282-494-7 (jilid lengkap)	
ISBN 978-602-282-495-4 (jilid 1)		 		
1. Matematika — Studi dan Pengajaran 			 I. Judul
II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan			
									 510
Kontributor Naskah	 :	Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M. Sinambela, Andri Kristianto
Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga,
Sudianto Manullang, Mangara Simanjorang, dan Yuza Terzalgi
Bayuzetra.
Penelaah	 : Agung Lukito dan Sisworo.
Penyelia Penerbitan	 : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.
Cetakan Ke-1, 2013
Cetakan Ke-2, 2014 (Edisi Revisi)
Disusun dengan huruf Times New Roman, 11 pt.
iiiMatematika
Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi
sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan
dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan
yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan
evaluasi selanjutnya.
Permasalahanterkaitgagasandanpengetahuanyangdisampaikansecaramatematisakandapatdiselesaikan
dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya
matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif
untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari
keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu
gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak
yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.
Buku Matematika Kelas X untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman
konkret-abstrak kepada peserta didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui buku ini
akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara
abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif.
Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap,
pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran
berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika,
dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya,
dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.
Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi
yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik
diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran
guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian
kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain
yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.
Implementasi terbatas pada tahun ajaran 2013/2014 telah mendapat tanggapan yang sangat positif
dan masukan yang sangat berharga. Pengalaman tersebut dipergunakan semaksimal mungkin dalam
menyiapkan buku untuk implementasi menyeluruh pada tahun ajaran 2014/2015 dan seterusnya. Buku
ini merupakan edisi kedua sebagai penyempurnaan dari edisi pertama. Buku ini sangat terbuka dan terus
dilakukan perbaikan dan penyempurnaan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik,
saran dan masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut,
kami ucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia
pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).
Jakarta, Januari 2014
Menteri Pendidikan dan Kebudayaan
Mohammad Nuh
iv Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Bapak, Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita lakukan sebagai usaha
membelajarkan peserta didik dengan harapan, mereka berketuhanan, berperikemanusiaan,
berpengetahuan, dan berketerampilan melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas mulia ini
cukup berat, menuntut tanggung jawab yang tidak habis-habisnya dari generasi ke generasi.
Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan menelusuri sebuah
lingkaran dengan titik-titik masalah yang tak berhingga banyaknya. Tokoh pendidikan matematika
Soedjadi dan Yansen Marpaung menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan tindakan dan
menghadapi resiko untuk meningkatkan kualitas pendidikan matematika di setiap sekolah tempat
guru melaksanakan tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai orang yang pertama dan yang
utama bertindak sebagai pengembang kurikulum yang mengenal karakteristik siswa dengan baik,
dituntut bekerjasama memikirkan jalan keluar permasalahan yang terjadi. Pola pembelajaran yang
bagaimana yang sesuai dengan karakteristik matematika dan karakteristik peserta didik di sekolah
Bapak/Ibu ?.
Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran matematika berbasis paham
konstruktivisme. Buah pikiran ini didasari prinsip bahwa: (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah
memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi budaya, (3)
matematika adalah produk budaya, yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian
masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Untuk itu diperlukan
perangkat pembelajaran, media pembelajaran, asesmen otentik dalam pelaksanaan proses
pembelajaran di kelas.
Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang relevan dengan karakteristik
matematika dan tujuan pembelajaran matematika cukup banyak, seperti (1) model pembelajaran
berbasis masalah, (2) pembelajaran kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif dan banyak model
pembelajaran lainnya. Bapak/Ibu dapat mempelajarinya secara mendalam melalui aneka sumber
pembelajaran.
Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara lain: (1) eksponen dan logaritma,
(2) persamaan dan pertidaksamaan linier, (3) sistem persamaan dan pertidaksamaan linier, (4)
matriks, (5) relasi dan fungsi, (6) barisan dan deret, (7) persamaan dan fungsi kuadrat, (8) geometri,
(9) trigoniometri, (10) statistik, (11) peluang, dan (12) limit fungsi yang tertera dalam kurikulum
2013. Berbagai konsep, aturan dan sifat-sifat dalam matematika ditemukan melalui penyelesaian
masalah nyata, media pembelajaran, yang terkait dengan materi yang diajarkan. Seluruh materi
yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensi yang ditetapkan dalam kurikulum matematika
2013. Semua petunjuk yang diberikan dalam buku ini hanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena
itu, Bapak dan Ibu guru dapat mengembangkan dan menyesuaikan dengan keadaan dan suasana
kelas saat pembelajaran berlangsung.
Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas pendidikan matematika adalah
masalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang beragam, seberapa besar buahnya yang
dapat kita persembahkan padaNya. Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah kamu akan
mendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai. Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semoga
buku petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan proses pembelajaran
matematika di sekolah.
	 Jakarta, Pebruari 2013
	 Tim Penulis
vMatematika
Surat untuk Guru ..............................................................................................................	iv
Daftar Isi	............................................................................................................................	v
Petunjuk Penggunaan Buku Guru.....................................................................................	ix
Model Pembelajaran Berbasis Konstruktivistik
Dengan Pendekatan Scientific Learning...........................................................................	ix
Pedoman Penyusunan Rencana Pembelajaran ...............................................................	xv
Fase Konstruksi Matematika ............................................................................................	xviii
Contoh Analisis Topik 	 .................................................................................................	xix
Peta Konsep Matematika SMP Kelas X ...........................................................................	xx
Bab 1	 Eksponen dan Logaritma ................................................................................	 1
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ..............................................	1
		 B.	 Peta Konsep ...............................................................................................	2
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	3
			 1.	 Menemukan Konsep Eksponen ...........................................................	3
			 2.	 Pangkat Bulat Negatif ..........................................................................	10
			 3.	 Pangkat 0 .............................................................................................	10
			 4.	 Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif ...........................................................	11
			 5.	 Pangkat Pecahan .................................................................................	18
		 Uji Kompetensi 1.1 .............................................................................................	20
			 6.	 Bentuk Akar ..........................................................................................	22
			 7.	 Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat ...............................	24
			 8.	 Operasi Pada Bentuk Akar ...................................................................	25
				 a.	 Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar .................	25
				 b.	 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar ...........................	26
				 c.	 Merasionalkan Penyebut Berbentuk Akar ....................................	27
		 Uji Kompetensi 1.2 .............................................................................................	34
			 9.	 Menemukan Konsep Logaritma ...........................................................	37
			 10.	 Sifat-sifat Logaritma .............................................................................	43
		 Uji Kompetensi 1.3 .............................................................................................	49
		 D.	Penutup........................................................................................................	52
Bab 2	 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ........................................................	 55
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ..............................................	55
		 B.	 Peta Konsep ...............................................................................................	56
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	57
			 1.	 Memahami dan Menemukan Konsep Nilai Mutlak ..............................	57
			 2.	 Persamaan Linear ................................................................................	65
			 3.	 Pertidaksamaan Linear ........................................................................	74
		 Uji Kompetensi 2.1 .............................................................................................	78
			 4.	 Persamaan Linear yang Melibatkan Nilai Mutlak .................................	80
			 5.	 Pertidaksamaan Linear yang Melibatkan Nilai Mutlak .........................	83
		 Uji Kompetensi 2.2 .............................................................................................	92
		 D.	 Penutup 	 .................................................................................................	95
vi Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Bab 3	 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ...........................................	97
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ..............................................	97
		 B.	 Peta konsep ................................................................................................	98
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	99
			 1.	 Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ............	99
		 Uji Kompetensi 3.1 .............................................................................................	112
			 2.	 Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ............	113
		 Uji Kompetensi 3.2 .............................................................................................	124
			 3.	 Penyelesaian Sistem Persamaaan Linear ..........................................	126
				 a.	 Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem
					 Persamaan Linear Dua variabel ....................................................	126
				 b.	 Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem
					 Persamaan Linear Tiga Variabel ...................................................	135
		 Uji Kompetensi 3.3 .............................................................................................	142
		 Kunci Jawaban Soal-Soal Tantangan ................................................................	147
			 4.	 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel .......................................	152
		 Uji kompetensi 3.4 .............................................................................................	157
		 D.	 Penutup 	 .................................................................................................	160
Bab 4	 Matriks 		 .................................................................................................	163
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ..............................................	163
		 B.	 Peta Konsep ...............................................................................................	164
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	165
			 1.	 Menemukan Konsep Matriks ................................................................	165
			2.	Jenis-Jenis Matriks ...............................................................................	176
			3.	Transpos Matriks ..................................................................................	180
			 4.	 Kesamaan Dua Matriks ........................................................................	185
		 Uji Kompetensi 4.1 .............................................................................................	187
			 5.	 Memahami Operasi Sederhana Matriks serta Menerapkannya
				dalam Pemecahan Masalah .................................................................	191
				 a.	 Operasi Hitung pada Matriks .........................................................	191
		 Uji Kompetensi 4.2 .............................................................................................	207
		 D.	 Penutup 	 .................................................................................................	210
Bab 5	 Relasi dan Fungsi ............................................................................................	213
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ..............................................	213
		 B.	 Peta Konsep ...............................................................................................	214
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	215
			 1.	 Menemukan Konsep Relasi .................................................................	215
			2.	Sifat-Sifat Relasi ...................................................................................	225
			 3.	 Menemukan Konsep Fungsi ................................................................	230
		 Uji Kompetensi 5.1 .............................................................................................	240
		 D.	 Penutup 	 .................................................................................................	245
Bab 6	 Barisan dan Deret ............................................................................................	247
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ..............................................	247
		 B.	 Peta Konsep ...............................................................................................	248
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	249
			 1.	 Menemukan Pola Barisan dan Deret ...................................................	249
			 2.	 Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmetika .............................	258
		 Uji Kompetensi 6.1 .............................................................................................	270
viiMatematika
			 3.	 Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri ..............................	272
				a.	Barisan Geometri .........................................................................	272
				b.	Deret Geometri .............................................................................	275
		 Uji Kompetensi 6.2 .............................................................................................	285
		 D.	 Penutup 	 .................................................................................................	287
Bab 7	 Persamaan dan Fungsi Kuadrat .....................................................................	289
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar...............................................	289
		 B.	 Peta Konsep ...............................................................................................	290
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	291
			1.	Persamaan Kuadrat .............................................................................	291
				 a	 Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat Satu Variabel ..............	291
		 Uji Kompetensi 7.1 .............................................................................................	304
				b.	Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat .................................	306
				 c.	 Menemukan Rumus Untuk Menentukan Jumlah dan Hasil Kali
					Akar-akar Persamaan Kuadrat ......................................................	312
				 d.	 Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar x1
dan x2
........................	315
		 Uji Kompetensi 7.2 .............................................................................................	316
			2.	Fungsi Kuadrat......................................................................................	318
				 a.	 Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat ............................................	318
		 Uji Kompetensi 7.3 .............................................................................................	331
				 b.	 Grafik Fungsi Kuadrat ...................................................................	332
				 c.	 Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat ....................	341
		 Uji Kompetensi 7.4 .............................................................................................	343
		 D.	 Penutup 	 .................................................................................................	344
Bab 8	 Trigonometri 	 .................................................................................................	347
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ..............................................	347
		 B.	 Peta Konsep ...............................................................................................	348
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	349
			 1.	 Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)......................................................	349
			 2.	 Konsep Dasar Sudut ............................................................................	352
		 Uji Kompetensi 8.1 .............................................................................................	355
			 3.	 Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku ...........................	356
		 Uji Kompetensi 8.2 .............................................................................................	365
			 4.	 Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran ........................	367
			 5.	 Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 300
, 450
, dan 600
...................	373
			 6.	 Grafik Fungsi Trigonometri ...................................................................	386
		 Uji Kompetensi 8.3 .............................................................................................	396
		 D.	 Penutup 	 .................................................................................................	400
Bab 9	 Geometri		 ................................................................................................	403
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ..............................................	403
		 B.	 Peta Konsep ...............................................................................................	404
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	405
			 1.	 Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang ............................	405
				a.	Kedudukan Titik .............................................................................	405
				b.	Jarak Antara Titik dan Titik ............................................................	408
				c.	Jarak Titik ke Garis ........................................................................	412
				d.	Jarak Titik ke Bidang .....................................................................	416
				 e.	 Jarak antara Dua Garis dan Dua Bidang yang Sejajar .................	423
viii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
		 Uji Kompetensi 9.1 .............................................................................................	424
			 2.	 Menemukan Konsep Sudut pada Bangun Ruang ................................	426
				 a.	 Sudut antara Dua Garis dalam Ruang ..........................................	430
				 b.	 Sudut antara Garis dan Bidang pada Bangun Ruang ...................	434
				 c.	 Sudut antara Dua Bidang pada Bangun Ruang ............................	440
		 Uji Kompetensi 9.2 .............................................................................................	443
		 D.	 Penutup 	 .................................................................................................	446
Bab 10	 Limit Fungsi	 .................................................................................................	449
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ..............................................	449
		 B.	 Peta Konsep ...............................................................................................	450
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	451
			 1.	 Menemukan Konsep Limit Fungsi.........................................................	452
			 2.	 Sifat-Sifat Limit Fungsi .........................................................................	466
			 3.	 Menentukan Limit Fungsi .....................................................................	484
		 Uji Kompetensi 10.1 ...........................................................................................	493
		 D.	 Penutup 	 .................................................................................................	496
Bab 11	 Statistika 		 .................................................................................................	499
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ..............................................	499
		 B.	 Peta Konsep ...............................................................................................	500
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	501
			1.	Data Tunggal ........................................................................................	501
			 a. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel ................................................	501
			 b. Penyajian dalam Bentuk Diagram ....................................................	505
			2.	Data Kelompok .....................................................................................	513
			 a. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel ................................................	513
				 b. Penyajian Dalam bentuk Diagram (Histogram) ................................	516
		 Uji Kompetensi 11.1 ...........................................................................................	517
		 Penutup 		 .................................................................................................	520
Bab 12	 Peluang 		 .................................................................................................	521	
		 A.	 Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ..............................................	521
		 B.	 Peta Konsep ...............................................................................................	522
		 C.	 Materi Pembelajaran ...................................................................................	523
			 1.	 Kemungkinan Suatu Kejadian ..............................................................	523
			 2.	 Frekuensi Realtif Suatu Hasil Percobaan ............................................	529
			 3.	 Peluang Suatu Kejadian .......................................................................	534
		 Uji Kompetensi 12.1 ...........................................................................................	544
		 Penutup 		 .................................................................................................	546
		 A.	 Petunjuk Pelaksanaan Penilaian ................................................................	548
			 1.	 Penilaian Kompetensi Pengetahuan ....................................................	548
			 2.	 Penilaian Kompetensi Keterampilan ....................................................	554
			 3.	 Penilaian Kompetensi Sikap.................................................................	564
		 Lembar Partisipasi..............................................................................................	571
		 B.	 Petunjuk Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan ......................................	574
Daftar Pustaka	 ...............................................................................................................	 577
ixMatematika
A.	 PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU GURU
	 Dalam bagian ini diuraikan hal-hal penting yang perlu diikuti guru, saat
guru menggunakan buku ini. Hal-hal esensial yang dijabarkan, antara lain: (1)
pentingnya guru memahami model pembelajaran berbasis konstruktivis dengan
pendekatan scientific learning terkait sintaksis model pembelajaran yang diterapkan,
sistem sosial, prinsip reaksi pengelolaan (perilaku guru mengajar di kelas), sistem
pendukung pemeblajaran yang harus dipersiapkan (berbagai fasilitas, misalnya buku
siswa, lembar aktivitas siswa, media pembelajaran, instrumen penilaian, tugas-tugas
yang akan diberikan), serta dampak intruksional dan dampak pengiring (sikap) yang
harus dicapai melalui proses pembelajaran; (2) mengorganisir siswa belajar (di
dalam dan luar kelas) dalam memberi kesempatan mengamati data, informasi, dan
masalah, kerja kelompok dalam memecahkan masalah, memberi bantuan jalan keluar
bagi siswa; (3) memilih model, strategi, dan metode pembelajaran untuk tujuan
pembelajaran yang efektif; (4) memilih sumber belajar yang melibatkan partisipasi
aktif siswa dalam proses pembelajaran yang dipicu melalui pengajuan masalah,
pemberian tugas produk, projek; (5) petunjuk penggunaan asesmen otentik untuk
mengecek keberhasilan aspek sikap, pengetahuan dan keterampilan; (6) petunjuk
pelaksanaan remedial dan pemberian pengayaan.
	 Isibukuguruini,memuatpetunjukpembelajarandisetiapbabyangberdampingan
dengan aktivitas yang ada di buku siswa. Pertanyaan-pertanyaan kritis dan latihan
memiliki kunci jawaban dan arahan pembelajaran dari guru untuk pemecahannya.
Di samping proses pembelajaran yang tertuang dalam penjelasan singkat model
pembelajaran konstruktivis, tersedi petunjuk pelaksanaan pembelajaran remedial dan
pengayaan serta pelaksanaan penilaian berbasis proses.
B.	 MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS
KONSTRUKTIVISTIK DENGAN PENDEKATAN
SCIENTIFIC LEARNING
	 Modelpembelejaranyangditerapkandalambukuini,dilandasiteoripembelajaran
yang menganut paham konstruktivistik, seperti Project-Based Learning, Problem-
Based Learning, dan Discovery Learning dengan pendekatan scientific learning
melalui proses mengamati, menanya, menalar, mencoba, membangun jejaring dan
mengomunikasikan berbagai informasi terkait pemecahan masalah real world,
analisis data, dan menarik kesimpulan. Proses pembelajaran memberi perhatian
pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai masalah real world yang sangat
x Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
mempengaruhi aktifitas dan perkembangan mental siswa selama proses pembelajaran
dengan prinsip bahwa, (1) setiap anak lahir, tumbuh dan berkembang dalam matriks
sosial tertentu dan telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi
setiap orang dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematika adalah hasil konstruksi
sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah
hasil abstraksi pikiran manusia.
	 Metode pembelajaran yang diterapkan, antara lain: metode penemuan,
pemecahan masalah, tanya-jawab, diskusi dalam kelompok heterogen, pemberian
tugas produk, unjuk kerja, dan projek. Pembelajaran matematika yang diharapkan
dalam praktek pembelajaran di kelas adalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas
siswa, (2) siswa diberi kebebasan berpikir memahami masalah, membangun strategi
penyelesaian masalah, mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka, (3) guru melatih
dan membimbing siswa berpikir kritis dan kreatif dalam menyelesaikan masalah,
(4) upaya guru mengorganisasikan bekerjasama dalam kelompok belajar, melatih
siswa berkomunikasi menggunakan grafik, diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh
hasil kerja selalu dipresentasikan di depan kelas untuk menemukan berbagai konsep,
hasil penyelesaian masalah, aturan matematika yang ditemukan melalui proses
pembelajaran.
	 Rancangan model pembelajaran yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponen
utama model pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut.
1.	Sintaks
	 Pengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran, yaitu:
a.	Apersepsi
	 Tahap apersepsi diawali dengan mengimformasikan kepada siswa kompetensi
dasar dan indikator yang akan dicapai siswa melalui pembelajaran materi yang
akan diajarkan. Kemudian guru menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajar
pada diri siswa melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajari
dalam penyelesaian masalah kehidupan serta meyakinkan siswa, jika siswa terlibat
aktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian
masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan kehidupan siswa dengan
strategi penyelesaian yang menerapkan pola interaksi sosial yang pahami siswa dan
guru. Dengan demikian, siswa akan lebih baik menguasai materi yang diajarkan,
imformasi baru berupa pengetahuan lebih bertahan lama di dalam ingatan siswa,
dan pembelajaran lebih bermakna sebab setiap informasi baru dikaitkan dengan apa
yang diketahui siswa dan menunjukkan secara nyata kegunaan konsep dan prinsip
matematika yang dipelajari dalam kehidupan.
xiMatematika
b.	 Interaksi Sosial di antara Siswa, Guru, dan Masalah
	 Pada tahap orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswa
mencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui belajar
kelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip kooperatif, yakni
keheterogenan anggota kelompok dari segi karakteristik (kemampuan dan jenis
kelamin) siswa, berbeda budaya, berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatih
bekerjasama, berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, saling
memberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi informasi.
Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar Aktivitas Siswa (LAS) dan
Asesmen Otentik. Selanjutnya guru mengajukan permasalahan matematika yang
bersumber dari lingkungan kehidupan siswa. Guru menanamkan nilai-nilai matematis
(jujur, konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai budaya agar para
siswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi dan mengarahkan jalannya
diskusi agar lebih efektif, serta mendorong siswa bekerjasama.
	 Selanjutnya, guru memusatkan pembelajaran pada siswa dalam kelompok
belajar untuk menyelesaikan masalah. Guru meminta siswa memahami masalah
secara individu dan mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dan
dilanjutkan berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan ide-ide,
berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antar anggota kelompok
saling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil pemikiran teman, mencari ide
dan jalan keluar penyelesaian masalah. Setiap kelompok memadu hasil pemikiran
dan menuangkannya dalam sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggota
kelompok mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salah
seorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan. Selanjutnya
guru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian petunjuk, memberi kemudahan
pengerjaan siswa, contoh analogi, struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya siswa
dapat mengambil alih tugas-tugas penyelesaian masalah.
c.	 Mempresentasikan dan Mengembangkan Hasil Kerja
	 Pada tahapan ini, guru meminta salah satu kelompok mempresentasikan hasil
kerjanya di depan kelas dan memberi kesempatan pada kelompok lain memberi
tanggapan berupa kritikan disertai alasan-alasan, masukan bandingan pemikiran.
Sesekali guru mengajukan pertanyaan menguji pemahaman/penguasaan penyaji dan
dapat ditanggapi oleh kelompok lain. Kriteria untuk memilih hasil diskusi kelompok
yang akan dipresentasikan antara lain: jawaban kelompok berbeda dengan jawaban
darikelompoklain,adaidepentingdalamhasildiskusikelompokyangperlumendapat
perhatian khusus. Dengan demikian kelompok penyaji bisa lebih dari satu. Selama
presentasi hasil kerja, guru mendorong terjadinya diskusi kelas dan mendorong siswa
mengajukan ide-ide secara terbuka dengan menanamkan nilai soft skill.
xii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil diskusi dan hasil kerja
kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam penyajiannya, kelompok penyaji akan
diuji oleh kelompok lain dan guru tentang penguasaan dan pemahaman mereka atas
penyelesaian masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkan tiap-
tiap kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok lain atau
alternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga pertimbangan-pertimbangan
secara objektif akan muncul di antara siswa. Tujuan lain tahapan ini adalah melatih
siswa terampil menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di depan
umum (teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut adalah
salah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran berdasarkan masalah, untuk
memampukan siswa berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain.
d.	 Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata Baru
	 Objek-objek matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari
proses dan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan abstraksi
konsep melalui penemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan mengkonstruksi konsep
secara ilmiah. Setelah konsep ditemukan, guru melakukan teorema pengontrasan
melalui pengajuan contoh dan bukan contoh. Dengan mengajukan sebuah objek,
guru meminta siswa memberi alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan
contoh konsep.
	 Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami. Sesekali
guru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang ditemukan, serta
melengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan contoh dan bukan contoh
konsep. Berdasar konsep yang ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifat
dan aturan-aturan. Selanjutnya siswa diberi kesempatan mengerjakan soal-soal
tantangan untuk menunjukkan kebergunaan konsep dan prinsip matematika yang
dimiliki.
e.	 Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian Masalah
	 Pada tahapan ini, guru membantu siswa atau kelompok mengkaji ulang hasil
penyelesaianmasalah,mengujipemahamansiswadalamprosespenemuankonsepdan
prinsip. Selanjutnya, guru melakukan evaluasi materi akademik dengan pemberian
kuis atau meminta siswa membuat peta konsep atau memberi tugas dirumah atau
membuat peta materi yang dipelajari.
2.	 Sistem Sosial
	 Pengorganisasian siswa selama proses pembelajaran menerapkan pola
pembelajaran kooperatif. Dalam interaksi sosio kultural di antara siswa dan
temannya, guru selalu menanamkan nilai-nilai soft skill dan nilai matematis. Siswa
xiiiMatematika
dalam kelompok saling bekerjasama dalam menyelesaikan masalah, saling bertanya/
berdiskusi antara siswa yang lemah dan yang pintar, kebebasan mengajukan pendapat,
berdialog dan berdebat, guru tidak boleh terlalu mendominasi siswa, bersifat
membantu dan gotong royong) untuk menghasilkan penyelesaian masalah yang
disepakati bersama. Dalam interaksi sosio kultural, para siswa diizinkan berbahasa
daerah dalam menyampaikan pertanyaan, kritikan, pendapat terhadap temannya
maupun pada guru.
3.	 Prinsip Reaksi
	 Modelpembelajaranyangditerapkandalambukuinidilkamusiteorikonstruktivis
dan nilai budaya dimana siswa belajar yang memberi penekanan pembelajaran
berpusat pada siswa, sehingga fungsi guru sebagai fasilitator, motivator dan mediator
dalam pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran siswa
berupa pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah harus
bersifat mengarahkan, membimbing, memotivasi dan membangkitkan semangat
belajar siswa.
	 Untuk mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatan
pada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan terbuka,
mencermati pemahaman siswa atas objek matematika yang diperoleh dari proses
dan hasil penyelesaian masalah, menunjukkan kelemahan atas pemahaman siswa
dan memancing mereka menemukan jalan keluar untuk mendapatkan penyelesaian
masalah yang sesungguhnya. Jika ada siswa yang bertanya, sebelum guru memberikan
penjelasan/bantuan, guru terlebih dahulu memberi kesempatan pada siswa lainnya
memberikan tanggapan dan merangkum hasilnya. Jika keseluruhan siswa mengalami
kesulitan, maka guru saatnya memberi penjelasan atau bantuan/memberi petunjuk
sampai siswa dapat mengambil alih penyelesaian masalah pada langkah berikutnya.
Ketika siswa bekerja menyelesaikan tugas-tugas, guru mengontrol jalannya diskusi
dan memberikan motivasi agar siswa tetap berusaha menyelesaikan tugas-tugasnya.
4.	 Sistem Pendukung
	 Agar model pembelajaran ini dapat terlaksana secara praktis dan efektif,
guru diwajibkan membuat suatu rancangan pembelajaran yang dilkamusi teori
pembelajaran konstruktivis dan nilai soft skill matematis yang diwujudkan dalam
setiap langkah-langkah pembelajaran yang ditetapkan dan menyediakan fasilitas
belajar yang cukup. Dalam hal ini dikembangkan buku model yang berisikan teori-
teori pendukung dalam melaksanakan pembelajaran, komponen-komponen model,
petunjuk pelaksanaan dan seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti
rencana pembelajaran, buku guru, buku siswa, lembar kerja siswa, objek-objek
abstraksi dari lingkungan budaya, dan media pembelajaran yang diperlukan.
xiv Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
5.	 Dampak Instruksional dan Pengiring yang Diharapkan
	 Dampak langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswa
merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah dan
terbiasa menyelesaikan masalah nyata di lingkungan siswa. Pemahaman siswa
terhadap obek-objek matematika dibangun berdasarkan pengalaman budaya dan
pengalaman belajar yang telah dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaran
yang melahirkan pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswa
mentransfer pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah, berpikir kritis dan
kreatif. Kemampuan menyelesaikan masalah tidak rutin menyadarkan siswa akan
kebergunaan matematika. Kebergunaan akan menimbulkan motivasi belajar
secara internal dari dalam diri siswa dan rasa memiliki terhadap matematika akan
muncul sebab matematika yang dipamami adalah hasil rekonstruksi pemikirannya
sendiri. Motivasi belajar secara internal akan menimbulkan kecintaan terhadap
dewi matematika. Bercinta dengan dewi matematika berarti penyatuan diri dengan
keabstrakan yang tidak memiliki batas atas dan batas bawah tetapi bekerja dengan
simbol-simbol.
	 Selain dampak di atas, siswa terbiasa menganalisis secara logis dan kritis
memberikan pendapat atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalaman
belajar yang dimiliki sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaan
yang terjadi (perbedaan pola pikir, pemahaman, daya lihat dan kemampuan), serta
berkembangnya kemampuan berkolaborasi antara siswa. Retensi pengetahuan
matematika yang dimiliki siswa dapat bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktif
di dalam proses penemuannya.
	 Dampak pengiring yang akan terjadi dengan penerapan model pembelajaran
berbasis konstruktivistik adalah siswa mampu menemukan kembali berbagai konsep
dan aturan matematika dan menyadari betapa tingginya manfaat matematika bagi
kehidupan sehingga dia tidak merasa terasing dari lingkungannya. Matematika
sebagai ilmu pengetahuan tidak lagi dipandang sebagai hasil pemikiran dunia luar
tetapi berada pada lingkungan budaya siswa yang bermanfaat dalam menyelesaikan
permasalahan di lingkungan budayanya. Dengan demikian terbentuk dengan
sendirinya rasa memiliki, sikap, dan persepsi positif siswa terhadap matematika dan
budayanya. Siswa memkamung bahwa matematika terkait dan inklusif di dalam
budaya. Jika matematika bagian dari budaya siswa, maka suatu saat diharapkan siswa
memiliki cara tersendiri memeliharanya dan menjadikannya Landasan Makna
(Landasan makna dalam hal ini berpihak pada sikap, kepercayaan diri, cara berpikir,
cara bertingkah laku, cara mengingat apa yang dipahami oleh siswa sebagai pelaku-
pelaku budaya). Dampak pengiring yang lebih jauh adalah hakikat tentatif keilmuan,
keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan berpikir siswa, toleransi
terhadap ketidakpastian dan masalah-masalah non rutin.
xvMatematika
PEDOMAN PENYUSUNAN RENCANA PEMBELAJARAN
	 Penyusunan rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum matematika
2013 dan sintaksis Model Pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum matematika
ditetapkan hal-hal berikut
1.	Kompetensi dasar (lihat Permendikbud Nomor 69 dan 70 Tahun 2013) dan
indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiap pokok bahasan. Rumusan
indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikan dengan prinsip-prinsip
pembelajaran matematika berdasarkan masalah, memberikan pengalaman belajar
bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah otentik (masalah bersumber dari fakta
dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi pengetahuan, saling membantu,
berdiskusi dalam menyelesaikan masalah.
2.	 Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep
(contoh disajikan di bawah).
3.	 Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa sebagai dasar untuk
mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuan awal
siswa.
4.	 Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru,
misalnya: rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku siswa, lembar
aktivitas siswa (LAS), objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yang
bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa, laboratorium, dan alat peraga
jika dibutuhkan.
5.	 Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harus
sama tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk tiap-tiap pokok bahasan.
Penentuan rata-rata banyak jam pelajaran untuk satu pokok bahasan adalah hasil
bagi jumlah jam efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang
akan diajarkan untuk semester tersebut.
6.	 Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran antara alain:
Produk	 : 	Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokok
Proses	 :	Apersepsi budaya, interaksi sosial dalam penyelesaian
masalah, memodelkan masalah secara matematika,
merencanakan penyelesaian masalah, menyajikan hasil
kerja dan menganalisis serta mengevaluasi kembali hasil
penyelesaian masalah.
Kognitif	 : Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikir
deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan berpikir
kreatif).
xvi Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Keterampilan	:	Keterampilan menyelesaikan masalah, ketrampilan
berkolaborasi, kemampuan berkomunikasi.
Afektif	 : 	Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaan
yang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujur
mengungkapkan pendapat, berlatih berpikir kritis, kreatif,
dan senang belajar matematika.
Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancang
dan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasis
konstruktivistik. Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari sintaks.
Sehingga skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajaran
disusun mengikuti setiap langkah-langkah pembelajaran (sintaks). Sintaks model
pembelajaran terdiri dari 5 langkah pokok, yaitu: (1) apersepsi budaya, (2) orientasi
dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan mengembangkan hasil kerja, (4) temuan
objek matematika dan penguatan skemata baru, (5) menganalisis dan mengevaluasi
proses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapan
pembelajaran dijabarkan sebagai berikut:
1.	 Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain:
a.	 Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar.
b.	Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya dan
matematika sebagai hasil konstruksi sosial.
c.	Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalam
menyelesaikan masalah.
d.	 Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai matematis,
soft skill dan kebergunaan matematika.
e.	 Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hala-hal yang sulit dimengerti
pada materi sebelumnya.
2.	Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatif
antara lain:
a.	 Membentukan kelompok
b.	 Mengajukan masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa
c.	 Meminta siswa memahami masalah secara individual dan kelompok
d.	 Mendorong siswa bekerjasama menyelesaikan tugas-tugas
e.	 Membantu siswa merumuskan hipotesis (dugaan).
f.	Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa menyelesaikan masalah dan
mengerjakan LKS
g.	Memberikan scaffolding pada kelompok atau individu yang mengalami
kesulitan
xviiMatematika
h.	Mengkondisikan antar anggota kelompok berdiskusi, berdebat dengan pola
kooperatif
i.	 Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbuka
j.	 Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam menyelesaikan
masalah dalam pemberian solusi
3.	 Kegiatan guru pada tahap persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain:
a.	Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaian
masalah di depan kelas
b.	 Membimbing siswa menyajikan hasil kerja
c.	Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerja
kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif pemikiran
Membantu siswa menemukan konsep berdasarkan masalah
d.	 Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektif
e.	 Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasi
f.	 Menguji pemahaman siswa
4.	 Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan skemata baru
antara lain:
a.	 Mengarahkan siswa membangun konsep dan prinsip secara ilmiah
b.	Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui pengajuan
contoh dan bukan contoh konsep
c.	 Membantu siswa mendefinisikan dan mengorganisasikan tugas-tugas belajar
yang berkaitan dengan masalah
d.	Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip dalam
mengerjakan soal tantangan
e.	Memberikan scaffolding
5.	Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil
penyelesaian masalah antara lain:
a.	 Membantu siswa mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah
b.	 Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektif
c.	 Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep atau
peta materi.
xviii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
xixMatematika
xx Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
xxiMatematika
xxii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Kompetensi Dasar Pengalaman BelajarKompetensi Dasar Pengalaman Belajar
A.	 KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Setelah mengikuti pembelajaran eksponen dan
logaritma, siswa mampu:
1.	 Memiliki motivasi internal, kemampuan
bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa
percaya diri, dan sikap toleransi dalam
perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan
menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
2.	 Memilih dan menerapkan aturan eksponen
dan logaritma sesuai dengan karakteristik
permasalahan yang akan diselesaikan dan
memeriksa kebenaran langkah-langkahnya.
3.	 Menyelesaikan masalah nyata menggunakan
operasi aljabar berupa eksponen dan logaritma
serta menyelesaikannya menggunakan
sifat – sifat dan aturan yang telah terbukti
kebenarannya.
Melalui pembelajaran materi eksponen dan
logaritma, siswa memperoleh pengalaman belajar:
•	 mengkomunikasikan karakteristik masalah
otentik yang pemecahannya terkait eksponen
dan logaritma.
•	 merancang model matematika dari sebuah
permasalahan otentik yang berkaitan dengan
eksponen dan logaritma.
•	 menyelesaikan model matematika untuk
memperoleh solusi permasalahan yang
diberikan.
•	 menafsirkan hasil pemecahan masalah.
•	 menuliskan dengan kata-katanya sendiri
konsep persamaan kuadrat.berdasarkan ciri-
cirinya dituliskan sebelumnya.
•	 membuktikan berbagai sifat eksponen dan
logaritma.
•	 menerapkan berbagai sifat eksponen dan
logaritma dalam pemecahan masalah.
•	 berkolaborasi memecahkan masalah.
•	 berlatih berpikir kritis dan kreatif
Eksponen dan Logaritma
Bab
•	 Bilangan Pokok (Basis)
•	 Perpangkatan
•	 Eksponen
•	 Logaritma
2 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
B.	 PETA KONSEP
3Matematika
C.	 MATERI PEMBELAJARAN
	 Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari –
hari dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep dan
aturan matematika. Sebagai contoh, konsep eksponen
dan logaritma berperan penting dalam menyelesaikan
permasalahan yang berkaitan dengan aritmatika sosial,
peluruhan zat kimia, perkembangan bakteri dan lain –
lain. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat
permasalahan – permasalahan yang diberikan pada bab
ini. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang
diberikan, kamu diminta untuk mencermati objek-objek
yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan
tersebut.
1.	 Menemukan Konsep Eksponen
	 Pada subbab ini, konsep eksponen ditemukan
dengan mengamati beberapa masalah nyata berikut
dan mencermati beberapa alternatif penyelesaiannya.
Tentu saja, kamu diminta untuk melakukan pemodelan
matematika yang melibatkan eksponen. Dari beberapa
model matematika yang diperoleh dari langkah-langkah
penyelesaian masalah, kamu secara individu menuliskan
ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan
temanmu. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu
menuliskan konsep eksponen dengan pemahamanmu
sendiri.
Banyak permasalahan dalam
kehidupan yang penyelesaian-
nya terkait dengan konsep dan
aturan-aturan dalam matema-
tika. Secara khusus keterkaitan
konsep dan prinsip-prinsip
eksponendanlogaritmadengan
permasalahan masalah nyata
yang menyatu/ bersumber
dari fakta dan lingkungan
budaya kita. Konsep eksponen
dan logaritma dapat
dibangun/ ditemukan di dalam
penyelesaian permasalahan
yang kita hadapi. Untuk itu
arahkan siswa menyelesaiakan
permasalahan-permasalahan
yang diberikan.
Di dalam proses penyelesaian
masalah-masalah yang
diberikan, ajak siswa mencer-
mati objek-objek budaya atau
objek lingkungan budaya yang
dilibatkan dalam permasa-
lahan yang diberikan. Objek-
objek itu menjadi bahan
aspirasi/inspirasi, karena
terkadang ada konsep
matematika melekat pada
objek itu yang tidak disadari
dan ternyata sebagai kata
kunci dalam penyelesaian
masalah. Demikian juga siswa
tidak boleh mengabaikan atau
melupakan konsep-konsep dan
aturan-aturan matematika
4 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Masalah-1.1
Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang
mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah
laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tertentu,
satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam.
Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri
pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2
jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000
bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak
bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu
banyak bakteri dalam pada akhir 8 jam.
Alternatif Penyelesaian
Diketahui:
Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam.
Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan
setelah 2 jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000 bakteri.
Ditanya:
a.	 Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan.
b.	 Berapa jumlah bakteri dalam pada akhir 8 jam.
Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri
terhadap waktu setiap jam.
Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t = 0) adalah x0
.
Isilah tabel berikut!
Pada akhir t jam 0 1 .... .... .... ....
Jumlah bakteri (xt
) x0
rx0
.... .... .... ....
	 Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat
membuat hubungan pertumbuhan jumlah bakteri tersebut
terhadap perubahan waktu untuk setiap jam dinyatakan
sebagai berikut:
x r r r r xt
t
= × × × × ×...
faktor
1 244 344 0
yang telah dipelajari
sebelum-nya, baik di tingkat
Sekolah Dasar, SMP,
bahkan pada materi yang
baru saja dipelajari.
Ajukan Masalah 1.1 pada
siswa. Minta siswa men-
gamati masalah dan men-
uliskan apa yang diketa-
hui dan yang ditanyakan.
Selanjutnya dorong siswa
memunculkan berbagai
pertanyaan terkait ma-
salah yang dipecahkan.
Akomodasi berbagai per-
tanyaan dan coba mem-
beri petunjuk agar siswa
dapat melakukan penal-
aran dan mencoba mem-
ecahkan masalah.
Meminta siswa mem-
buat tabel laju pertum-
buhan bakteri dengan
waktu setiap jam. Arah-
kan siswa menemukan
model matematika yang
menyatakan hubungan
banyak bakteri hasil pem-
belahan pada saat waktu
tertentu.
5Matematika
x(t) = rt
x0
.................................................................... (1)
dengan t menyatakan banyak jam, x0
adalah jumlah
bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri setelah
pembelahan terjadi pada setiap jam.
	 Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3
jam terdapat 10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat
40.000 bakteri. Kita substitusikan t = 3 dan t = 5 ke
formula (1) di atas, maka diperoleh x3
= r3
x0
= 10.000
dan x5
= r5
x0
= 40.000
x
x
r x
r x
r
r
5
3
5
0
3
0
2
40 000
10 000
4
4
2
=
=
=
=
.
.
	 Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri
membelah menjadi 2 bakteri setiap 1 jam
Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t =
0, substitusi r = 2 ke persamaan r3
x0
= 10.000 sehingga
8x0
= 10.000. Dengan demikian x0
= 1.250.
	Subtitusikan x0
= 1.250 ke persamaan (1), pola
pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan
Dalam Masalah-1.1, ditemukan
r2
= 4, dan kemudian r = 2. Apakah
r = –2 tidak berlaku? Berikan
alasanmu!
x
x
t
t
=
=
=
1250 2
2 1250
320 000
8
8
.
( )( )
.
	 Jadi, pada akhir setelah 8 jam, peneliti mendapatkan
jumlah bakteri sudah mencapai 320.000 bakteri.
Organisasikan siswa be-
lajar dalam kelompok
dengan banyak anggota
kelompok 4-5 orang un-
tuk mendiskusikan model
matematika yang ditemu-
kan secara individu. Guru
menjembatani perbedaan
hasil pemikiran antar
siswa dalam setiap kelom-
pok dan menuliskan hasil
pemikiran bersama pada
lembar kerja.
Meminta beberapa siswa
untuk memberi pendapat
mengapa pada Masalah 1.1
Jika r2
= 4, maka r = 2.
Kenapa tidak berlaku r =
-2?
Alasan:
r2
= 4, r ∈ R ⇒ r = 2 atau
r = -2. Tetapi dalam Ma-
salah 1.1, r menyatakan
banyak pembelahan bak-
teri untuk setiap jam. Jadi
bakteri membelah menjadi
2, bukan -2.
Guru meminta salah satu
kelompok untuk mempre-
sentasikan hasil kerjanya
di depan kelas. Jembatani
jika ada cara yang berbe-
da hasil kerja di antara ke-
lompok. Beri kesempatan
antar kelompok berdebat
atas perbedaan pendapat
untuk melatih kemampuan
komunikasi siswa.
6 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Masalah-1.2
Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang.
Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga
garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua
bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang
sama kertas hasil lipatan tadi. Lakukan terus-menerus
pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan
hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang
kertas yang terbentuk.
Alternatif Penyelesaian
	 Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan antara
banyak lipatan dengan banyak garis bidang kertas yang
terbentuk.
Banyak
Lipatan
Banyak Bidang
Kertas
Pola Perkalian
1 2 2 = 2
2 4 4 = 2 × 2
3 8 8 = 2 × 2 × 2
4 ... ...
... ... ...
n k ...
	 Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak
bidang kertas yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang
kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak
lipatan.
k dapat dinyatakan dalam n, yaitu
k(n) = 2n
........................................................................ (2)
Coba kamu uji kebenaran persamaan k(n) = 2n
dengan
mensubtitusikan nilai n ke persamaan tersebut.
Motivasi siswa belajar
dengan memperlihatkan
kebergunaan matematika
dalam kehidupan. Ajukan
Masalah 1.2 dan mem-
fasilitasi siswa terhadap
alat yang dibutuhkan.
Arahkan siswa melakukan
percobaan melipat kertas
dan menemukan pola dari
data yang diperoleh sekai-
tan membangun model
matematika terkait ekspo-
nen.
Meminta siswa membuat
tabel keterkaitan antara
banyak lipatan dengan
banyak bidang kertas
yang terbentuk. Arahkan
siswa menemukan model
matematika yang me-
nyatakan hubungan ban-
yak lipatan kertas dan
banyak bidang kertas
yang terbentuk. Diharap-
kan siswa menuliskan hal
seperti tabel di samping.
Selanjutnya guru me-
minta siswa mengamati
dan mencermati data
pada tabel. Diharapkan
siswa menemukan model
matematika yang me-
nyatakan hubungan ban-
yaknya bidang kertas den-
gan banyaknya lipatan.
7Matematika
Berdasarkan persamaan (1) dan (2), diperoleh
Dari persamaan (1) x(t) = rt
x0
, r adalah bilangan pokok
dan t adalah eksponen dari r.
Dari persamaan (2) k(n) = 2n
, 2 adalah bilangan pokok dan
n adalah eksponen dari 2.
Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan
yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat.
Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.1
Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif.
Notasi an
menyatakan hasil kali bilangan a sebanyak
n faktor, dapat ditulis a a a a an
n faktor
= × × × ×...1 244 344 dengan
a sebagai basis bilangan berpangkat dan n sebagai
pangkat.
Catatan:
1.	 Pada Definisi-1.1 di atas, kita sepakati, a1
cukup ditulis
a.
2.	 Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a0
dengan a bilangan real menyatakan 1. Coba tanyakan
pada gurumu, mengapa demikian?
3.	Jika n adalah sebuah variabel sebagai eksponen dari
a, maka perlu dicermati semesta variabel itu. Sebab an
= a × a × ... × a sebanyak n faktor, ini hanya berlaku
ketika semesta n∈N.
Arahkan siswa mengamati
kedua model matematika
di samping. Minta mereka
menuliskan ciri-ciri bilan-
gan berpangkat dan ber-
dasarkan ciri-ciri tersebut
dapat menuliskan penger-
tian dari an
.
Beri penjelasan pada
siswa, tentang pemaha-
man unsur-unsur yang
ada pada Definisi 1.1,
mengapa n harus bilangan
bulat positif. Minta siswa
untuk memegang teguh
sifat matematika dalam
menetapkan definisi bi-
langan berpangkat; yaitu,
matematika bersandar
pada kesepakatan, meng-
gunakan variabel-varia-
bel yang kosong dari arti,
menganut kebenaran kon-
sistensi.
Minta siswa mencermati
beberapa catatan penting
terkait Definisi 1.1. Beri
penjelasan bahwa ketika
a = 0 dan n = 0, maka
an
= 00
, hasilnya taktentu.
8 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Perhatikan Masalah-1.3 berikut!
Masalah-1.3
Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia
akan dikeluarkan dari darah melalui ginjal. Setiap 1 jam
separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 mg zat
itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat
itu tersisa dalam darah setelah:
1)	 1 jam?
2)	 2 jam?
3)	 3 jam?
4)	 Buatlah model matematika pengurangan zat
tersebut dari tubuh melalui ginjal!
5)	 Gambar pasangan titik (waktu, jumlah zat) pada
koordinat kartesius untuk 8 jam pengamatan.
Alternatif Penyelesaian
Langkah awal isilah tabel berikut:
Waktu (t dalam jam) 1 2 3 4 5 6 7 8
Jumlah zat z(t)
dalam mg
50 25 12,5 ... ... ... ... ...
Isilah secara lengkap data pada tabel dan coba gambarkan
pasangan titik-titik tersebut pada sistem koordinat kartesius
(coba sendiri)!
Selanjutnya perhatikan grafik fungsi (Gambar-1.2) di
bawah ini. Isilah nilai-nilai fungsi tersebut dan sajikan
nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan.
Ajak siswa untuk menga-
mati Masalah 1.3 dan me-
mahami tentang perma-
salahan yang ditanyakan
pada Masalah 1.3. Beri
kebebasan bagi siswa
menggali ide-ide secara
bebas terbuka, mengaju-
kan berbagai pertanyaan
dalam menganalisis infor-
masi yang tersedia pada
Masalah 1.3.
Minta siswa mengisi se-
cara lengkap data pada
tabel dan mencoba meng-
gambarkan data-data
(pasangan titik) tersebut
pada sistem koordinat
kartesius!
9Matematika
0
2 2 4 x4
2
2
4
4
6
y
f(x) = 3-x
f(x) = 2-x
f(x) = 2x
f(x) = 3x
Gambar-1.2: Grafik Fungsi Eksponensial
x
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
f(x) = 2x
f(x) = 2-x
f(x) = 2x
f(x) = 3x
f(x) = 3-x
Latihan 1.1
Amati grafik (Gambar-1.2) di atas. Tuliskan sedikitnya 5
(lima) sifat grafik fungsi tersebut dan disajikan hasilnya
di depan kelas. Dalam paparan jelaskan mengapa kita
perlu mengetahui sifat-sifat tersebut.
Organisasikan siswa bela-
jar dalam kelompok. Min-
ta siswa diskusi dengan
temannya satu kelompok,
bagaimana perilaku grafik
ketika x menuju -∝ dan ke-
tika x menuju ∝? Apakah
grafik itu sampai berpo-
tongan atau tidak sampai
menyinggung sumbu x?
Sajikan hasil kerja kelom-
pok di depan kelas.
Untuk menguatkan konsep
siswa, minta siswa untuk
mencoba menyelesaikan
Latihan 1.1 di samping.
Misalnya grafik fungsi
f(x) = 2x, x bilangan real.
Sifat grafik yang diharap-
kan ditemukan siswa, an-
tara lain:
1.	Grafik seluruhnya di
atas sumbu-x.
2.	Sumbu-x sebagai asim-
tot
3.	Memotong sumbu-y
pada satu titik, saat
x = 0.
4.	Grafik tidak memotong
sumbu-x, untuk x menu-
ju 0.
5.	Untuk nilai x sema-
kin besar, maka nilai y
semakin besar. Seba-
liknya untuk nilai x se-
makin kecil, diperoleh
nilai y semakin kecil
10 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
2.	 Pangkat Bulat Negatif
Definisi 1.2
Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif,
didefinisikan
a
a
m
m
−
=






1
Definisi di atas dijelaskan sebagai berikut:
a
a a a a a
m
m
−
=





 =





×





×





× ×






1 1 1 1 1
...
sebanyyak faktor
faktor
m
m
m
a a a a
a
1 24444 34444
1 244 344
=
× × × ×
=
1
1
...
Contoh 1.1
Jika x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x-3
(y4
)
Alternatif Penyelesaian
x y
y
x
−
( )= =
−
=
−
= −3 4
4
3
4
3
2
2
16
8
2
( )
3.	 Pangkat Nol
Definisi 1.3
Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, maka a0
= 1.
6.	Untuk x ∝ menuju ∝,
diperoleh y menuju ∝.
Untuk x menuju -∝, di-
peroleh y menuju 0.
Ajukan beberapa con-
toh yang dipahami siswa
tentang perpangkatan di
SMP, dalam membangun
pemahaman terhadap
Definisi 1.2 di samping.
Misalnya
3
1
3
1
3
3
3
3
−
= =






=





×





×






1
3
1
3
1
3
=
1
3 3 3
1
9× ×
=
Selanjutnya menga-
jak siswa mencermati
penjelasan Definisi 1.2
secara deduktif, seperti
disajikan disamping.
Untuk lebih memahami
Definisi 1.2, minta siswa
mencermati Contoh 1.1 di
samping. Cek kebenaran
hasil kerja siswa mener-
apkan Definisi 1.2, dalam
menyelesaikan soal pada
Contoh 1.1.
Arahkan siswa memahami
Deinisi 1.4 di samping,
dengan mengajukan be-
berapa pertanyaan, sep-
erti:
11Matematika
	 Untuk lebih memahami definisi di atas, perhatikan
pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut.
	23
= 8		 33
= 27
	22
= 4		 32
= 9
	21
= 2		 31
= 3
	20
= 1		 30
= 1
Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil
pemangkatan 3 dengan 0, hasil perpangkatannya adalah 1.
4.	 Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif
	 Coba cermati bukti sifat-sifat bilangan berpangkat
bulat positif menggunakan definisi bilangan berpangkat
yang kamu telah pelajari sebelumnya.
Sifat-1
Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka
am
× an
= am+n
Bukti:
a a a a a a a a a am n
m faktor n faktor
× = × × × × × × × × ×... ...1 244 344 1 244 344
= × = × × × × ×
+
a a a a a a a am n
m n
1 2444 3444
= am+n
• 	 Perhatikan a a a a am
m faktor
= × × × ×...1 244 344 .
	 Diskusikan dalam kelompokmu,
apakah benar perpangkatan adalah
perkalian berulang?
•	 Bagaimana jika m dan n bukan
bilangan bulat positif?
Mengapa batasan bilan-
gan real dan . Bagaimana
hasil a0, ketika a = 0. Beri
penjelasan bahwa ketika
a = 0 maka a0
= 00
, hasil-
nya taktentu. Selanjutnya
ajak siswa mengamat pola
hasil perpangkatan bilan-
gan 2 dan 3 di samping.
Untuk meyakinkan siswa
bahwa a0
= 1, a ≠ 0
Minta siswa untuk dapat
membuktikan Sifat-1 se-
hingga siswa dapat me-
nyimpulkan bahwa sifat
tersebut benar untuk m
dan n bilangan bulat posi-
tif.
Jelaskan pada siswa bah-
wa perpangkatan adalah
perkalian berulang. Si-
fat-1, hanya berlaku a
bilangan real, m dan n bi-
langan bulat positif. Jika
m dan n bukan bilangan
bulat positif, Sifat-1 tidak
berlaku, misalnya a = 0
dan m = n = 0, tidak ber-
laku
12 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Sifat-2
Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat
positif, maka
a
a
a
m
n
m n
= −
.
Bukti:
a
a
a a a a
a a a a
m
n
m
n
=
× × × ×
× × × ×
...
...
faktor
faktor
1 244 344
1 244 344
(sesuai Definisi 1.1)
•	 Pada persyaratan Sifat-2, mengapa a ≠ 0
dipersyaratkan?
• 	 Bagaimana jika a = 0? Apa dampaknya pada
hasil pembagian
a
a
m
n ? Jika kamu tidak tahu
bertanya ke guru!
Sifat-1 di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat
positif m dan n. Ada 3 (tiga) kemungkinan, yaitu (a) m > n,
(b) m = n, dan (c) m < n.
a)	Kasus m > n
	Jika m dan n bilangan bulat positif dan m > n maka m
– n > 0. Dengan demikian
	
a
a
a a a a
a a a a
am
n
m
n
=
× × × ×
× × × ×
=
×...
...
faktor
faktor
1 244 344
1 244 344
aa a a
a a a a
a a a
n
n
× × ×
× × × ×
× × × ×
...
...
..
faktor
faktor
1 244 344
1 244 344
..
...
( )
( )
×
= × × × ×
=
−
−
−
a
a a a a
a
m n
m n
m n
faktor
faktor
1 244 344
1 244 344
	Jadi
a
a
m
n = am-n
, dengan m, n bilangan bulat positif dan
m > n
Selanjutnya bimbing
siswa agar memaha-
mi tentang Sifat-2 dan
data menunjukkan bukti
dari sifat tersebut. Beri
penjelasan pada siswa
dalam Sifat-2, tidak diiz-
inkan a = 0, sebab ben-
tuk perpangkatan pada
Sifat-2 adalah bentuk ra-
sional. Dalam pecahan
penyebutnya tidak lazim
nol.Ketika a = 0 dan m,
n bilangan bulat positif,
maka am
atau an
dimung-
kinkan hasilnya 0.Jika
hasil am
dan an
keduanya
nol, maka hasil baginya
tak tentu. Jika am
= 0
dan an
≠ 0, maka hasil
baginya 0. Tetapi jika
am
≠ 0 dan an
= 0, maka
hasil baginya tak ter-
definisi.
13Matematika
b)	Kasus m = n
	Jika m = n, maka
a
a
m
n
= 1 = a0
=am–n
.
	Bukti:
	 a
a
a
a
m
n
m
m
= , sebab m = n
		 =
a a a a
a a a a
m
m
× × × ×
× × × ×
...
...
faktor
faktor
1 244 344
1 244 344
		= 1
		= a0
Latihan 1.2
Buktikan sendiri untuk kasus m < n. Jelaskan perbedaan
hasilnya dengan kasus (a).
Buktikan
Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat
positif, m < n, maka
a
a
a
m
n
m n
= −
.
Bukti:
Ambil sebarang m dan n bilangan bulat positif, m < n.
m < n ⇒ m – n < 0.
a
a
a a a a
a a a a
m
n
m faktor
n m faktor
=
× × × ×
× × × ×
−
...
...
( )
1 244 344
1 244 3444
1 244 344
1 244 344
=
× × × ×
× × × ×

−
a a a a
a a a a
m faktor
n m faktor
...
...
( )








×
× × × ×










=
× × ×
1
1
a a a a
a a a
m faktor
...
...
1 244 344
××










=





 = =
−
−
− − −
a
a
a a
n m faktor
n m
n m m n
( )
( )
1 244 344
1
(karena m < n, maka m – n < 0)
Agar siswa benar-benar
dapat menguasai kon-
sep tentang Sifat-2 un-
tuk kasus m < n, sesuai
Latihan 1.2. Alternatif
jawaban yang diharap-
kan dari siswa sebagai
bukti Sifat-1.2 untuk kasus
m < n, dapat dicermati di
samping.
14 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Sifat-3
Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat
positif, maka (am
)n
= amn
Bukti:
a a a a a
a a a a
m n m m m m
n
m
( ) = × × × ×
=
× × × ×
...
...
faktor
faktor
1 2444 3444
1 2444 344 1 244 344






× × × ×






× × × ×
a a a a
a a a a
m
...
...
faktor
mm m
a a a a
faktor faktor
1 244 344 1 244 344






× × × ×





... ...

= × × × ×


 ×
n
m n
a a a a
faktor
faktor
1 24444444 34444444
1 244 344...



( ) = ×
a am n m n
( )terbukti
Diskusi
Diskusikan dengan temanmu, apakah syarat bahwa
m dan n bilangan positif diperlukan untuk Sifat-3 dan
Sifat-4. Bagaimana jika m dan n adalah negatif atau
kedua-duanya bilangan negatif.
Catatan
Dalam beberapa definisi, sifat, dan proses pembuktian
sering kita menggunakan simbol logika. Beberapa simbol
yang sering kita gunakan dijelaskan sebagai berikut.
a.	Simbol ∀ dibaca untuk setiap atau untuk semua.
Misalnya, ∀ x∈R, berlaku x2
≥ 0 (dibaca, untuk setiap
x bilangan real, maka x kuadrat lebih dari atau sama
dengan nol).
b.	Simbol p ⇒ q dibaca jika p, maka q. Misalnya
	 x = 2 ⇒ x2
= 4
Ajak siswa berdiskusi
dalam kelompok belajar,
untuk menganalisis pent-
ingnya syarat m dan n
bilangan bulat positif un-
tuk Sifat-3. Jika m dan n
adalah salah satu negatif
dan ketika a = 0, misalnya
0 0 0
1
0
2
3
2 3 6
6( ) = = =
−
− × −
Tentu 06
= 0. Dengan
demikian
1
0
1
06
= hasil-
nya tak terdefinisi.
Jelaskan pada siswa
catatan penting di sam-
ping, tentang pemanfaatan
dan makna simbol logika
matematika yang sering
digunakan dalam definisi,
sifat, dan proses pembuk-
tian.
Selanjutnya minta siswa
untuk mencoba mema-
hami bukti Sifat-3 dengan
memberi bantuan sebagai
berikut.
(32
)3
= (3 × 3)3
	 = (9)3
= 9 × 9 × 9
	 = 729 = 36
= 32×3
Selanjutnya mengarahkan
siswa membuktikan Si-
fat-3 secara umum, seper-
ti yang tertera pada buku
siswa di samping
15Matematika
c.	Simbol p ⇔ q dibaca p jika dan hanya jika q atau p bila
dan hanya bila q. Misalnya x2
= 4 ⇔ x = 2 atau x = -2
Contoh 1.2
(a)	 Buktikan jika a ∈ R, a > 1 dan n > m, maka an
> am
!
	Bukti:
	Karena a > 1 dan n > m maka n – m > 0 dan an
> 0, am
> 0. Akibatnya, berlaku
	
⇔ = ( )
⇔ > >
−a
a
a
a
a
a
a
n
m
n m
n
m
n
m
Lihatsifat-1diatas
Mengapa ?Berial1 1( aasamu
Karena
terbukti
!)
( )
( )
⇔ × > × >
⇔ >
a
a
a a a
a a
n
m
m m m
m n
1 0
(b)	 Perlukah syarat a > 1?
	Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a
< 1 dan n > m. Apakah yang terjadi?
	Pilih a = –2, dengan n > m, pilih n = 3 dan m = 2.
Apakah yang terjadi?
	(–2)3
= (–2) × (–2) × (–2) = –8
	(–2)2
= (–2) × (–2) = 4
	 Dengan demikian, an
= –8 < 4 = am
atau an
< am
. Jadi,
tidak benar bahwa an
> am
bila a < 1 dan n > m. Jadi,
syarat a adalah bilangan real, dengan a > 1 dan n > m
merupakan syarat cukup untuk membuktikan an
> am
.
Latih siswa berpikir anal-
itis dengan mengajukan
Contoh 1.2 di samping.
Minta siswa membuktikan
masalah yang diberikan
dan beri bantuan, jika
siswa mengalami kesuli-
tan. Ajukan berbagai per-
tanyaan untuk menguji
pemahaman siswa, dalam
pemanfaatan kosep dan
sifat yang sudah dipela-
jari sebelumnya, untuk
proses pembuktian.
Minta siswa memberi con-
toh yang lain dengan me-
milih nilai a tertentu, agar
pernyataan pada Contoh
1.2 tidak berlaku, apabila
a < 1. Seperti halnya con-
toh penyangkal pada buku
siswa di samping.
16 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Diskusi
Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis
pernyataan pada Contoh 1.2!
•	 Apa akibatnya bila syarat a > 1 tidak dipenuhi?
•	 Perlukah diperkuat dengan syarat n > m > 0?
	Jelaskan!
•	 Bolehkah syarat a > 1 di atas diganti a ≥ 1? Jelaskan!
•	 Bagaimanakah bila 0 < a < 1 dan a < 0?
•	 Buat aturan hubungan antara an
dan am
untuk
bermacam-macam nilai a di atas!
•	 Buat laporan hasil diskusi kelompokmu.
Contoh 1.3
Terapkan berbagai sifat bilangan berpangkat untuk
menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan
pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya!
1.	 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 5
2 5
7
× = × × × × × ×
= × × × ×
faktor faktor
faktor
{ 1 244 344
11 244 344
=
= +
2
2
7
2 5
dengan menggunakan
Sifat-1
2.	
dengan menggunakan
Sifat-2 kasus b
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
5
5
0
=
× × × ×
× × × ×
=
	
	
	 = 25–5
		
	 = 25–5
	
Arahkan siswa diskusi
dengan temannya satu
kelompok. Minta siswa
menganalisis beberapa
pernyataan pada tabel di
samping.
	Jika syarat a > 1 tidak
dipenuhi, maka per-
nyataan jika a ϵ R , a >
1 dan n > m, maka an >
am, belum tentu benar.
	Tidak perlu diperkuat
syarat n > m menjadi
n > m > 0, sebab per-
nyataan pada Contoh
1.4 berlaku untuk n dan
m yang negatif.
	 Syarat a > 1 tidak boleh
diganti dengan a ≥ 1, se-
bab untuk a = 1, an
= am
.
Arahkan siswa mencer-
mati beberapa contoh
yang disajikan, agar lebih
mema-hami penggunaan
sifat-sifat bilangan ber-
pangkat dalam penyele-
saian berbagai soal.Cek
pemahaman siswa dengan
mengajukan pertanyaan-
pertanyaan terkait peman-
faatan sifat tersebut
17Matematika
3.	
dengan menggunakan
Sifat-3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
3 2 3 3
3 3
( ) = ( )×( )
= × ×( )× × ×( )
= ×
f faktor aktor
1 24 34 1 24 34
22 2 2 2 2
2
2
6
3 3
6
× × × ×( )
=
=
+
faktor
1 2444 3444
	
								
4.	 2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2 3 3 3
3
3 3
×( ) = ×( )× ×( )× ×( )
= × × × × ×
faktor faktor
124 34 124 334
= ×2 33 3
dengan menggunakan
Definisi 1.1
	
							
	
5.	
2
3
2
3
2
3
2
3
2 2 2
3 3
3
3





 =





×





×






=
× ×
× ×
faktor
674 84
33
2
3
3
3
3
faktor
124 34
=
dengan menggunakan
Definisi 1.1
	
									
Contoh 1.4
Buktikan bahwa jika a > 1 dan n > m dengan n dan m
bilangan bulat negatif, maka an
> am
.
Bukti:
Karena n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka
–n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m > –n.
Karena a > 1 maka
a
a
a
a
m
n
n
m
−
−
= > 1 (Gunakan sifat a–m
=
1
am ).
a
a
n
m > 1 ⇒ an
> am
(terbukti)
Latih siswa berpikir kri-
tis, analitis, dan kreatif
dengan mengajukan Con-
toh 1.4 di samping. Minta
siswa membuktikan per-
nyataan yang diberikan
dan beri bantuan, jika
siswa mengalami kesuli-
tan. Ajukan berbagai per-
tanyaan untuk menguji
pemahaman siswa, dalam
pemanfaatan konsep dan
sifat yang sudah dipelajari
sebelumnya, untuk proses
pembuktian.
Pernyataan pada Contoh
1.4, tidak berlaku untuk a
< 1, misalnya pilih a = –3,
n = –2, dan m = –3.
a
a
n
m
=
−( )
−( )
=
−( )
−( )
−
−
3
3
3
3
2
3
3
2
=
−
= − <
27
9
3 1
a
a
a a
n
m
n m
< ⇒ <1 .
18 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Contoh 1.5
Berdasarkan sifat perkalian dengan bilangan 7, tentukan
angka satuan dari 71234
tanpa menghitung tuntas. Perhatikan
angka satuan dari perpangkatan dari 7 berikut?
Perpangkatan
7
Nilai Angka Satuan
71
7 7
72
49 9
73
343 3
74
2401 1
75
16807 7
76
117649 9
77
823543 3
78
5764801 1
Coba lanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan
angka satuan 71234
. Cermati sifat satuan pada tabel di
atas. Saat periode ke berapakah berulang? Selanjutnya
manfaatkan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian bilangan
berpangkat.
5.	 Pangkat Pecahan
Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat
positif, maka am
1
= p adalah bilangan real positif,
sehingga pm
= a.
Definisi 1.4
	 Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan
bilangan real dengan pangkat pecahan.	
Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m, n bilangan bulat
positif didefinisikan a a
m
n n
m
=






1
.
Definisi 1.5
Jelaskan pada siswa me-
lalui beberapa contoh
yang sudah dipelajari se-
belumnya di SMP untuk
membangun pemahaman
terhadap Definisi-1.4 dan
1.5. Misalnya,
4 2 4 2
4 2
4
1
2
1
2
2
2
1
2
2
= ⇒ =
⇒






=
⇒






×

=
⇒ ( ) =
2
4 2
2
2
Dalam contoh ini,
a = 4, p = 2, dan m = 2.
Beri bantuan siswa
melanjutkan langkah pe-
nyelesaian Contoh-1.5
di samping. Alternatif
penyelesaiannya adalah
Dengan menggunakan si-
fat eksponen, maka kita
peroleh:
71234
= 7(4 × 308)
× 72
.
71234
= (74
)308
× 72
. Ingat:
amxn
= (am
)n
= (an
)m
71234
= (74
)308
× 72
sehingga satuan dari
[71234
] = satuan dari
[(74
)308
× 72
]
Satuan dari [71234
] = satu-
an dari [(1)308
] × satuan
dari [72
].
Satuan dari [71234
] = 1 × 9
Satuan dari [71234
] = 9
Jadi, angka terakhir dari
71234
adalah 9.
19Matematika
Sifat-4
Misalkan a bilangan real dengan a > 0,
p
n
m
n
dan
adalah bilangan pecahan n ≠ 0, maka a a a
m
n
p
n
m p
n











 = ( )
+
.
Bukti:
Berdasarkan Sifat-4, jika a bilangan real dan a ≠ 0, m, n
adalah bilangan bulat positif, maka a a
m
n n
m
=






1
. Dengan
demikian a a a a
m
n
p
n n
m
n
p











 =












1 1
a a a a
a a a a
m
n
p
n n
m
n
p
n n n











 =












= × × × ×
1 1
1 1 1 1
... nn
m
n n n n
p
a a a a
faktor faktor
1 2444 3444 1 2444 3






× × × ×
1 1 1 1
...4444
1 2444 3444






= × × × ×





+
a a a an n n n
m p
1 1 1 1
...
faktor
SSesuaiSifat
Berdasarkan Definisi1.5 = , sehing
1
1
( )





a an
m m
n
gga diperoleh
terbua a a a
m
n
p
n n
m p
m p
n











 =





 = ( )
+
+1
( kkti)
Sifat-5
Jika a adalah bilangan real dengan a > 0,
m
n
dan
p
q
bilangan pecahan q, n ≠ 0, maka a a a
m
n
p
q
m
n
p
q












=
+
.
Untuk Definisi 1.5 berikan
contoh agar siswa lebih
memahaminya. Misalnya
2 2
6
2 3
=
= 2 × 2 × 2
= 8
2 2
1
2
6
1
2
6





= ( ) ×
	 = (2)3
= 2 × 2 × 2
	 = 2
Berarti 2 2
6
2
1
2
6
=






Selanjutnya arahkan
siswa membuktikan Sifat-4
menggunakan Definisi 1.5
Arahkan siswa membukti-
kan Sifat-5 menggunakan
definisi dan sifat perpang-
katan yang sudah dipela-
jari. Alaternatif pembuk-
tian dapat dicermati di
samping.
20 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Uji Kompetensi 1.1
1.	 Sederhanakanlah hasil operasi bilangan berpangkat
berikut.
	 a.	25
× 29
× 212
	 b.	25
× 36
× 46
	c.	
2 3 4
12
5 5 2
2
× ×
	d.	( )− ×5 25
125
6 2
	e.	3 7 2
42
7 3
3
× ×
( )
2.	 Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat,
sederhanakanlah bentuk berikut.
	 a.	2x3
×7x4
× (3x)2
	b.	
−




× − ×
2 2
5
4 2p
q
q p( )
	c.	y5
× (x × y)3
1
2
x y×






	 d.	(a × b × c)4
×
3
273
3
5
( )b c
b
a×
×
	e.	
− ×






4 2
8
3 5
a b
a
b
	f.	
1 2
3
5
3
42 2
2
x y
x
y x
y× × ×( )
	 g.	 − ×( ) ×
−




 ×





a b
b
a
a
b
3
4 5
2
3
	h.	
24
6
4
2
3 8
5
3
3
2
a b
a b
b a
a
×
×





×
×





Minta siswa untuk meny-
elesaikan uji kompetensi
melalui pemberian tugas
untuk menilai penguasaan
siswa terhadap materi
yang sudah dipelajari.
Terutama tugas projek
yang tersedia. Gunakan
rubrik penilaian projek
yang telah tersedia pada
bagian akhir dari buku
guru ini.
21Matematika
	i.	
36 2
3
12 3
9
2
2
2
2
2
x y
x y
x y
x y
×( )
×








÷
( )







	 j.
−( ) × −( ) ×
− ( )








÷
− ( )








p q r
p q
pqr
qr
3 2 3
2 3
3
2
3
2
12
3.	 Hitunglah hasil operasi bilangan
berpangkat berikut.
	a.	−





 × −






2
3
1
2
1
6
4 2
	b.	−( ) ×





 ×





 ×





5
1
15
10
3
9
5
3
2 4 5
	c.	
3
24
2 3
x y
x
×
× (2y)2
; untuk x = 2
		dan y = 3
	d.	
2
3
3
4
2
3
2
x y
xy





 ×





 −( )
		untuk x =
1
2
dan y =
1
3
	e.	
3 3
2 3
4
2 4
2 2
2
p
p q
q
p
× −( )
−( ) × −( )
×





 ;
		untuk p = 4 dan q = 6
	f.	
x y x y x y
x y y
3
2
3
2
3
2
3
2 1
2 1 2
+





 −






+ +( )
− −
−
− −
		untuk x =
1
2
dan y =
1
2
4.	Hitunglah
	
1 2 3 4
1 3 5 7
4 4 4 4
4 4 4 4
− − − −
− − − −
+ + + +
+ + + +
...
...
5.	Sederhanakanlah
a b a b
a b a b
5
3
1
2
2
3
3
2
7
6
1
2
2
3
−
−
.
6.	 Tentukan nilai x yang memenuhi
persamaan berikut
	 a.	2x
= 8
	 b.	4x
= 0,125
	c.	
2
5
1





 =
x
7.	 Tentukan hasil dari
	
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
n n
n n
+
+
( ) − ×
×
8.	 Misalkan kamu diminta menghitung
764
. Berapa banyak perkalian yang
kamu lakukan untuk mendapatkan
nilai akhirnya? Bandingkan
jawabanmu dengan temanmu.
Pemenang di antara kalian adalah
yang dapat mencari hasilnya dengan
melakukan perkalian sesedikit
mungkin. Coba tuliskan prosedur
mengalikan yang paling sedikit
perkaliannya untuk menghitung
764
. Apakah prosedur tersebut dapat
dipergunakan untuk pangkat positif
berapapun?
9.	Berdasarkan sifat bilangan 7,
tentukan angka satuan dari 71234
+
72341
+ 73412
+ 74123
tanpa menghitung
tuntas!
22 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Projek
Bilangan yang terlalu besar atau terlalu kecil sering
dituliskan dalam notasi eksponen yang dituliskan
sebagai a E b yang nilainya adalah a × 10b
. Sehingga
0,000052 ditulis sebagai 5,2 E 5. Cari besaran-
besaran fisika, kimia, astronomi, dan ekonomi
yang nilainya dinyatakan dengan notasi eksponen.
Misalkan kecepatan cahaya adalah 300.000 km/det,
sehingga dalam notasi eksponen ditulis sebagai 3 E
8 m/det.
6.	 Bentuk Akar
	 Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan
merupakan kebalikan dari pemangkatan suatu bilangan.
Akar dilambangkan dengan notasi ” ”.
Definisi 1.6
Misalkan a bilangan real dengan a > 0,
p
q
adalah
bilangan pecahan dengan
q ≠ 0. q ≥ 2. a
p
q
= c, sehingga c = apq
atau a
p
q
= apq
10.	Tentukan angka satuan dari 6
26 62
( )( )
berdasarkan sifat bilangan 6,
	 tanpa menghitung tuntas.Selanjutnya lakukan hal
tersebut berdasarkan sifat angka 2, 3, 4, 5, 8, 9.
11.	 Tunjukkan bahwa 12001
+ 22001
+ 32001
+ … + 20012001
adalah kelipatan 13.
12.	Bagaimana cara termudah untuk mencari
3 10 5 2
5 6 3 2
2008 2013 2012 2011
2012 2010 2009 2008
+ ×( )
+ ×( )
.
Tugas proyek diberikan
sebagai tugas individu
untuk menginformasikan
kepada siswa bahawa be-
lajar eksponen sangat di-
perlukan dalam perkem-
bangan ilmu dan dalam
menyelesaikan perma-
salahan kehidupan.
Berdasarkan penyelesa-
ian masalah dan konsep
yang sudah dipelajari se-
belumnya arahkan siswa
untuk dapat mendefinisi-
kan definisi-definisi beri-
kut.
23Matematika
Perhatikan permasalahan berikut.
Masalah-1.4
Seorang ahli ekonomi menemukan hubungan antara
harga (h) dan banyak barang (b) yang dinyatakan
dalam persamaan h b= 3 23
. Jika nilai b = 8, maka
berapa nilai h?
Alternatif Penyelesaian
h b h
h
h
h
= ⇔ =
⇔ =
⇔ = × × = ×
⇔ =
3 3 8
3 64
3 4 4 4 3 4
12
23 23
3
3
	 Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a
dituliskan sebagai an
, dengan a adalah bilangan pokok/
basis dan n adalah indeks/eksponen akar.
Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan
sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, kamu harus
memahami konsep bilangan rasional dan irrasional terlebih
dahulu.
	 Bilangan rasional berbeda dengan bilangan irrasional.
Bilanganrasionaladalahbilanganrealyangdapatdinyatakan
dalam bentuk
a
b
, dengan a dan b bilangan bulat dan
b ≠ 0. Karena itu, bilangan rasional terdiri atas bilangan
bulat, bilangan pecahan biasa, dan bilangan pecahan
campuran. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan
real yang bukan bilangan rasional. Bilangan irasional
merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal
tak berhingga dan tak berpola. Contoh bilangan irasional,
misalnya 2 = 1,414213562373..., e = 2,718..., dan � =
3,141592653…
Selanjutnya minta siswa
mengamati masalah 1.4
dan menghimpun informa-
si yang terkandung pada
masalah tersebut. Mem-
beri kesempatan kepada
siswa menganalisis dan
memunculkan ide-ide dan
pertanyaan-pertanyaan
sekitar masalah yang dia-
jukan sebagai pengantar
kepada siswa tentang kon-
sep bentuk akar.
Jelaskan perbedaan bilan-
gan rasional dan irasional
pada siswa. Berikan be-
berapa contoh untuk me-
mahami konsep bilangan
rasional dan irasional.
24 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
	 Bilangan irasional yang menggunakan tanda akar (
) dinamakan bentuk akar. Tetapi ingat, tidak semua
bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan
bilangan irasional. Contoh: 25 dan 64 bukan bentuk
akar, karena nilai 25 adalah 5 dan nilai 64 adalah 8,
keduanya bukan bilangan irasional.
Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut.
1.	 20 adalah bentuk akar
2.	 273
bukan bentuk akar, karena 273
= 3
7.	 Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan
Berpangkat
	 Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki
hubungan dengan bentuk akar. Berdasarkan Sifat-4, jika
a adalah bilangan real dengan a > 0,
p
n
dan
m
n
adalah
bilangan pecahan dengan n ≠ 0, maka a a a
m
n
p
n
m p
n












=( )
+
.
Dengan demikian p p p
1
2
1
2
1
2
1
2
× =
+
= p dan perhatikan bahwa
p p p× = , sehingga dapat disimpulkan p p
1
2
= .
Perhatikan untuk kasus di bawah ini
p p p p
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
× × =
+ +
= p1
= p dan perhatikan juga bahwa
p p p p3 3 3× × = , sehingga berdasarkan Definisi 1.6
disimpulkan p p
1
3 3= .
Ajak siswa memahami
pengertian bentuk akar
melalui contoh dan bukan
contoh. Gunakan contoh
dan bukan contoh bentuk
akar yang tertera pada
buku siswa.
Minta siswa mengamati
hubungan bentuk akar
dengan bilangan ber-
pangkat menggunakan
sifat-sifat yang sudah di-
pelajari sebelumnya.
25Matematika
Latihan 1.3
Cermatilah dan buktikan apakah berlaku secara umum
bahwa p pn n
1
= .
Perhatikan bahwa p p p
2
3
2
3
2
3
´ ´ = p2
, sehingga berdasarkan
sifat perkalian bilangan berpangkat diperoleh:
		 p
2
3
3





 = p2		
Ingat, (pm
)n
= pm × n
dapat diubah, p p
2
3 23
= .
Secaraumumdapatdisimpulkanbahwa p p p
m
n mn n
m
= =( )
sebagaimana diberikan pada Definisi-1.6.
8.	 Operasi pada Bentuk Akar
a.	 Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk
Akar
	 Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk
akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama.
Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai
eksponen dan basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah
bilangan real dan r ≥ 0 berlaku sifat-sifat berikut.
	
p r q r p q r
p r q r p q r
n n n
n n n
+ = +( )
− = −( )
Perhatikan contoh berikut ini!
Minta siswa untuk me-
nyelesaikan Latihan 1.3
dengan caranya sendiri .
Jawaban yang diharapkan
dari siswa, bahwa per-
nyataan pada Latihan 1.3
berlaku untuk n bilangan
bulat positif dan p ≥ 0.
Operasi pada bentuk akar
yang digunakan dalam
pembelajaran ini adalah
operasi penjumlahan,
pengurangan, perkalian,
dan pembagian.
26 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Contoh 1.6
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut
dalam bentuk yang sederhana!
1.	 3 5 4 5 3 4 5
7 5
+ = +( )
=
2.	 5 3+ (tidak dapat disederhanakan
	 karena akarnya tidak senama)
3.	 2 4 3 4 2 3 4
4
3 3 3
3
− = −( )
= −
4.	 3 3 1
2
3 3 3
3
x x x
x
− = −( )
=
b.	 Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar
	 Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa
a a
p
q pq
= . Sifat perkalian dan pembagian bentuk akar
dapat dicermati pada beberapa contoh berikut.
Contoh 1.7
1)	 8 2 2 2 23 33
3
3 1
= = = =
2)	 64 2 2 2 26 66
6
6 1
= = = =
3)	 4 5 2 7 4 2 5 7 8 353 3 3 3
× = ×( ) ×( )=
4)	 3 5 5 5 3 5 5 5 15 5 15 55 7
1
5
1
7
12
35 1235
× = ×( ) ×





 =





 =
5)	
3 4
4 5
3
4
4
5
3
3
3=
6)	
2 3
3 5
2
3
3
5
4
4
4=
Ajak siswa mengerjakan
Latihan 1.4. Cek kebena-
ran hasil kerja siswa,
dengan meminta beberapa
siswa menyajikan hasil
kerja di depan kelas. Ha-
sil kerja yang diharapkan
dari siswa adalah
Jelaskan beberapa con-
toh berikut untuk me-
latih siswa menerapkan
berbagai aturan terkait
operasi aljabar dalam
bentuk akar. Ajukan ber-
bagai pertanyaan pada
siswa untuk menguji
pemahaman mereka.
27Matematika
Latihan 1.4
1)	 Buktikan bahwa jika a bilangan real dan a > 0,
maka ann
= a.
2)	 Buktikan bahwa jika a, b, c, dan d bilangan real,
c > 0 dan d > 0, maka a c b d ab cdn n n
× = .
3)	 Buktikan bahwa jika a, b, c, dan d bilangan real,
c > 0 dan d > 0, maka
a c
b d
a
b
c
d
n
n
n= .
c.	 Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar
	 Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti
2 5 3 7 2 6, , ,+ − , dan seterusnya merupakan
bilangan irasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi
penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai
penyebut irasional.
	 Penyebut dalam bentuk akar dapat diubah menjadi
bentuk pangkat rasional. Cara merasionalkan penyebut
bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri.
Akan tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan
dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini dinamakan
merasionalkan penyebut.
1)	 Merasionalkan bentuk
p
q
	Bentuk
p
q
dirasionalkan dengan cara mengalikannya
	dengan
q
q
.
	
p
q
p
q
q
q
p
q
q= =.
1)	 a > 0
	 a a a ann
n
n= = =1
	(terbukti)
2)	 a, b, c, dan d bilangan
real, c > 0 dan d > 0
c d a c b d
ab c d
ab cd
n n n n
n
n
× =








×








= ×( )
=
1 1
1
	(terbukti)
3)	 a, b, c, dan d bilangan
real, c > 0 dan d > 0
	
a c
b d
a c
b d
a
b
c
d
a
b
c
d
n
n
n
n
n
n
=
( )
( )
= ×






=
1
1
1
	(terbukti)
Latih siswa merasion-
alkan berbagai bentuk
akar mengalikan dengan
bentuk akar sekawannya
melalui berbagai contoh
yang bervariasi, antara
lain bentuk
28 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Diskusi
Menurutmu mengapa penyebut bilangan pecahan
berbentuk akar harus dirasionalkan?
	 Mengapa kita harus mengalikan
p
q
dengan
q
q
?
	Karena q selalu positif, maka
q
q
= 1.
	 Jadi perkalian
p
q
dengan
q
q
tidak akan mengubah
nilai
p
q
namun menyebabkan penyebut menjadi
bilangan rasional.
2)	Merasionalkan bentuk
	
r
p q
r
p q
r
p q
r
p q+ − + −
, , , dan
	 Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar
di atas, perlu kita pahami bentuk-bentuk campuran
bilangan rasional dan bilangan irasional.
	 a)	Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan
bilangan irasional maka hasilnya bilangan
irasional. Contoh 2 + 7 = 2 + 2,645751.... = 4,
645751... (bilangan irasional).
	 b)	Jika bilangan irasional dijumlahkan dengan
bilangan irasional maka hasilnya bilangan
irasional atau rasional, Contoh (1) 5 + 7 =
2,236068.... + 2,645575... = 4,881643... (bilangan
irasional), (2) 2 5 + (-2 5 ) = 0 (bilangan
rasional). Jika dua bilangan irasional dikurangkan,
bagaimana hasilnya?
	 c)	 Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan
irrasional, maka hasilnya bilangan rasional atau
irasional. Contoh. 0 2× = 0 (0 adalah bilangan
p
q
r
p q
r
p q
r
p q
dan
r
p q
, ,
,
+ −
+ −
Selanjutnya jelaskan Con-
toh 1.8 dan Contoh 1.9
yang tersedia pada buku
siswa.
29Matematika
rasional) atau 2 5 2 5× = adalah bilangan
irasional
	 d)	 Jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan
irasional, maka hasilnya dapat bilangan rasional
atau bilangan irasional.
		Contoh:
		 •	 5 × 125 = 5 × 5 5 = 25
			 (25 adalah bilangan rasional)
		 •	 3 5 15× = ( 15 adalah bilangan
irasional)
	 e)	 an
disebut bentuk akar apabila hasil akarpangkat
n dari a adalah bilangan irasional.
	 Untuk merasionalkan bentuk
r
p q
r
p q+ −
, ,
r
p q+
, dan
r
p q−
.
dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian (a + b)
(a – b) = a2
– b2
, sehingga
p q p q p q p q
p q p q p q p q
+( ) −( )= ( ) − ( ) = −
+( ) −( )= − ( ) = −
2 2
2
2
2
Bentuk p q+( ) dan bentuk p q−( ) saling sekawan,
bentuk p q+( ) dan p q−( )juga saling sekawan.
Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka
dapat merasionalkan bentuk akar. Untuk p, q dan r bilangan
real.
r
p q
r
p q
p q
p q
r p q
p q+( )
=
+( )
−( )
−( )
=
−( )
−( )
. 2
dimana q ≥
0 dan p2
≠ q.
30 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
r
p q
r
p q
p q
p q
r p q
p q−( )
=
−( )
+( )
+( )
=
+( )
−( )
. 2
dimana q ≥
0 dan p2
≠ q.
r
p q
r
p q
p q
p q
r p q
p q+( )
=
+( )
−( )
−( )
=
−( )
−( )
.
dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q
r
p q
r
p q
p q
p q
r p q
p q−( )
=
−( )
+( )
+( )
=
+( )
−( )
.
dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q
Contoh 1.8
Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut.
a.	
2
3 2
2
3 2
3 2
3 2−
=
−
×
+
+
		
=
+
− +
2 3 2
3 2 3 2
( )
( )( )
		
=
+( )
−
=
+
= +
2 3 2
9 2
6 2 2
7
6
7
2
7
7
b.	
3
6 3
3
6 3
6 3
6 3
3 6 3
6 3 6 3
+
=
+
×
−
−
=
−( )
+( ) −( )
31Matematika
		
=
−
−
=
−
= −
18 3 3
36 3
18 3 3
33
6
11
3
11
c.	
4
7 5
4
7 5
7 5
7 5
4 7 5
7 5 7 5
4 7 5
7 5
4 7 4 5
2
2 7 2 5
−
=
−
×
+
+
=
+( )
−( ) +( )
=
+( )
−( )
=
+
= +
Contoh 1.9
Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan-
bilangan berikut
1
1 2
1
2 3
1
3 4
1
4 5
1
99 100
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=... ...?
Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara
merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu,
=	
1
1 2
1 2
1 2+
×
−
−
+
1
2 3
2 3
2 3+
×
−
−
+
	
1
3 4
3 4
3 4+
×
−
−
+
Jelaskan cara mera-
sionalkan bentuk akar
dengan mengalikan ben-
tuk sekawan sesuai penye-
but dari bentuk rasional
seperti pada Contoh 1.9.
Beri kesempatan pada
siswa untuk mencoba
menguji penyelesaian soal
pada contoh-contoh yang
diberikan.
32 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
	
1
4 5
4 5
4 5+
×
−
−
+ ... +
	
1
99 100
99 100
99 100+
×
−
−
=	
1 2
1
2 3
1
3 4
1
4 5
1
99 100
1
−
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+ +
−
−
...
=	– 1 2 2 3 3 4
4 5 99 100
+ − + − + −
+ − − +...
=	 − + = − + =1 100 1 10 9 .
Contoh 1.10
Tentukan nilai dari
1
3
1
3
1
3
+
+
+...
Alternatif Penyelesaian
Perhatikan pola bilangan berikut. Misalkan,
P = +
+
+
3
1
3
1
3 ...
atau P
P
= +3
1
⇔	 P2
– 3P – 1 = 0
Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna diperoleh:
⇔ 	 ( )P − − =
3
2
13
4
02
⇔	 P =
+6 2 13
4
Minta siswa mengamati
Contoh 1.10 dan memberi
kebebasan berpikir dalam
menganalisis permasala-
han yang diberikan. Uji
pemahaman dengan men-
gajukan berbagai per-
tanyaan serta ingatkan
kembali materi prasyarat
yang dibutuhkan dalam
pentelesaian soal terse-
but.
Bantu siswa memanfaat-
kan pemisalan dan ingat-
kan kembali materi persa-
maan kuadrat yang telah
dipelajari di SMP, tentang
bentuk kuadrat sempurna,
agar siswa dapat melan-
jutkan tugas memahami
langkah penyelesaian
Contoh 1.10
33Matematika
Jadi, nilai
1
3
1
3
1
3
1
6 2 13
4
4
6 2 13
+
+
+
=
+
=
+
...
Dengan merasionalkan bentuk tersebut, maka
4
6 2 13
4
6 2 13
6 2 13
6 2 13
4 6 2 13
16+
=
+
−
−
=
−
−
.
( )
		
=
−2 13 6
2
Jadi,
1
3
1
3
1
3
2 13 6
2
+
+
+
=
−
...
3)	 Menyederhanakan bentuk p q pq+( )± 2
	 Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk
akar yang mempunyai bentuk khusus; yaitu, bentuk
p q pq+( )± 2 . Perhatikan proses berikut ini!
Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu!
a.	 p q p q+( ) +( )
b.	 p q p q−( ) −( )
Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu
akan memperoleh bentuk sederhananya menjadi
p q pq+( )± 2 . Selanjutnya, perhatikan contoh berikut!
Arahkan siswa mema-
hami cara penyederha-
naan bentuk akar dengan
menjelaskan penyelesaian
Contoh 1.11.
34 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
Uji Kompetensi 1.2
1.	 Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini!
	a.	5
15
		 d.	
6
24
	b.	
2
20
		 e.	
2 2
48
	c.	3
18
		 f.	
2
3
a
a
2.	 Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini!
	a.	
1
5 3−
		 d.	
3
5 10−
	b.	
4 2
4 2
−
+
		 e.	
xy
x y+
	c.	
2
3 5
a
a +
	 f. 	
24 54 150
96
+ −
Contoh 1.11
Sederhanakan bentuk akar berikut ini!
a.	 8 2 15+ 	 = ( )5 3 2 5 3 5 2 5 3 3+ + × = + × +
				= 5 3 5 3
2
+( ) = +
b.	 9 4 5− 	 = 5 4 5 4 5 2 5 2
2
− + = −( ) = −
Berikan soal-soal pada
Uji Kompetensi 1.2 se-
bagai pekerjaan rumah
sesuaikan dengan materi
yang telah dipelajari. Hal
ini berguna untuk mengu-
kur penguasaan siswa ter-
hadap konsep dan prinsip
matematika yang telah di-
pelajari.
35Matematika
3.	 Sederhanakanlah bentuk berikut ini!
	a.	15
75
1
2 3
−
−
	b.	
7
2 8
11
2 8+
+
−
	c.	
4
3 2
3
2 1
5
3 2+
−
−
+
−
d . 	
10
5 6
12
6 7
14
7 8+
+
+
+
+
4.	Jika 2 3
2 3
6
−
+
= +a b , tentukan
	nilai a + b!
5.	 Sederhanakan bentuk akar berikut
ini!
	a.	19 8 3+ 	
	b.	5 2 6+ 	
	c.	 43 12 7+
	d.	21 4 5−
	 e.	 18 8 2 11 6 2+ + −
	f.	3 14 6 5
21 12 3
− +
+
SOAL TANTANGAN
1.	 Tentukanlah nilai dari:
	a.	 2 3 2 3 2 3 ...3333
	b.	2 2 2 2 2+ + + + + ...
	c.	
1
1
1
1
1
1
+
+
+
...
2.	Jika a,b bilangan asli dengan
a ≤ b dan 3
4
+
+
a
b
adalah
	 bilangan rasional, tentukan pasangan
(a,b). 	 (OSN 2005/2006)
3.	Nyatakan b dalam a dan c dari
persamaan
b c
c a
3
3
= abc.
4.	 Sederhanakan bentuk 49 20 64
− .
5.	 Tentukan nilai a dan b dari
	
1
2 3
1
3 4
1
4 5
1
1 000 000 1 000 001
+
+
+
+
+
+ +
+
= −
...
. . . .
a b
6.	Hitunglah
	 54 14 5 12 2 35 32 10 7+ + − + − =
7.	Jika(3+4)(32
+42
)(34
+44
)(38
+48
)
(316
+416
) (332
+432
) = (4x
–3y
), tentukan
nilai x–y .
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika
K10 bg matematika

Contenu connexe

Tendances

Buku Siswa Kurikulum 2013 Kelas 7 SMP Madas Semester 1
Buku Siswa Kurikulum 2013 Kelas 7 SMP Madas Semester 1Buku Siswa Kurikulum 2013 Kelas 7 SMP Madas Semester 1
Buku Siswa Kurikulum 2013 Kelas 7 SMP Madas Semester 1Dafin Kanaf
 
Cover Buku Matematika 7 SMP/MTs sem1 Siswa
Cover Buku Matematika 7 SMP/MTs sem1 SiswaCover Buku Matematika 7 SMP/MTs sem1 Siswa
Cover Buku Matematika 7 SMP/MTs sem1 SiswaAbdul Hafifudin
 
Buku matematika smp kelas 7 pegangan guru
Buku matematika smp kelas 7 pegangan guruBuku matematika smp kelas 7 pegangan guru
Buku matematika smp kelas 7 pegangan guruMuhammad Idris
 
Lks matematika smp kelas 7
Lks matematika smp kelas 7Lks matematika smp kelas 7
Lks matematika smp kelas 7anakpunk
 
Matematika SMP Kelas VII Kurikulum 2013-Siswa
Matematika SMP Kelas VII Kurikulum 2013-SiswaMatematika SMP Kelas VII Kurikulum 2013-Siswa
Matematika SMP Kelas VII Kurikulum 2013-SiswaBudhi Emha
 
Buku Matematika 7 SMP/MTs Semester 1 Siswa
Buku Matematika 7 SMP/MTs Semester 1 SiswaBuku Matematika 7 SMP/MTs Semester 1 Siswa
Buku Matematika 7 SMP/MTs Semester 1 SiswaAbdul Hafifudin
 
Buku siswa vii semester 2
Buku siswa vii semester 2Buku siswa vii semester 2
Buku siswa vii semester 2nafis_apis
 
Rpp kelas x sma
Rpp kelas x smaRpp kelas x sma
Rpp kelas x smaIman123
 
Kelas x matematika wajib
Kelas x matematika wajibKelas x matematika wajib
Kelas x matematika wajibmatematikaindah
 
Buku Siswa - Matematika SMP Kelas 7 Semester 1
Buku Siswa - Matematika SMP Kelas 7 Semester 1Buku Siswa - Matematika SMP Kelas 7 Semester 1
Buku Siswa - Matematika SMP Kelas 7 Semester 1Edy Wihardjo
 
Buku Guru - Matematika SMP Kelas 7
Buku Guru - Matematika SMP Kelas 7Buku Guru - Matematika SMP Kelas 7
Buku Guru - Matematika SMP Kelas 7Edy Wihardjo
 

Tendances (14)

Buku Siswa Kurikulum 2013 Kelas 7 SMP Madas Semester 1
Buku Siswa Kurikulum 2013 Kelas 7 SMP Madas Semester 1Buku Siswa Kurikulum 2013 Kelas 7 SMP Madas Semester 1
Buku Siswa Kurikulum 2013 Kelas 7 SMP Madas Semester 1
 
Cover Buku Matematika 7 SMP/MTs sem1 Siswa
Cover Buku Matematika 7 SMP/MTs sem1 SiswaCover Buku Matematika 7 SMP/MTs sem1 Siswa
Cover Buku Matematika 7 SMP/MTs sem1 Siswa
 
Kelas vii matematika bg
Kelas vii matematika bgKelas vii matematika bg
Kelas vii matematika bg
 
Kelas vii matematika bs sem 1
Kelas vii matematika bs sem 1Kelas vii matematika bs sem 1
Kelas vii matematika bs sem 1
 
Buku matematika smp kelas 7 pegangan guru
Buku matematika smp kelas 7 pegangan guruBuku matematika smp kelas 7 pegangan guru
Buku matematika smp kelas 7 pegangan guru
 
Lks matematika smp kelas 7
Lks matematika smp kelas 7Lks matematika smp kelas 7
Lks matematika smp kelas 7
 
Matematika SMP Kelas VII Kurikulum 2013-Siswa
Matematika SMP Kelas VII Kurikulum 2013-SiswaMatematika SMP Kelas VII Kurikulum 2013-Siswa
Matematika SMP Kelas VII Kurikulum 2013-Siswa
 
Buku Matematika 7 SMP/MTs Semester 1 Siswa
Buku Matematika 7 SMP/MTs Semester 1 SiswaBuku Matematika 7 SMP/MTs Semester 1 Siswa
Buku Matematika 7 SMP/MTs Semester 1 Siswa
 
Buku siswa vii semester 2
Buku siswa vii semester 2Buku siswa vii semester 2
Buku siswa vii semester 2
 
Rpp kelas x sma
Rpp kelas x smaRpp kelas x sma
Rpp kelas x sma
 
Kelas x matematika wajib
Kelas x matematika wajibKelas x matematika wajib
Kelas x matematika wajib
 
Buku Siswa - Matematika SMP Kelas 7 Semester 1
Buku Siswa - Matematika SMP Kelas 7 Semester 1Buku Siswa - Matematika SMP Kelas 7 Semester 1
Buku Siswa - Matematika SMP Kelas 7 Semester 1
 
Matematika SMP 7
Matematika SMP 7Matematika SMP 7
Matematika SMP 7
 
Buku Guru - Matematika SMP Kelas 7
Buku Guru - Matematika SMP Kelas 7Buku Guru - Matematika SMP Kelas 7
Buku Guru - Matematika SMP Kelas 7
 

En vedette

恋愛専門家集団に生放送で恋愛相談しよう!テーマ”復縁”【女性限定質疑応答あり】
恋愛専門家集団に生放送で恋愛相談しよう!テーマ”復縁”【女性限定質疑応答あり】恋愛専門家集団に生放送で恋愛相談しよう!テーマ”復縁”【女性限定質疑応答あり】
恋愛専門家集団に生放送で恋愛相談しよう!テーマ”復縁”【女性限定質疑応答あり】schoowebcampus
 
忙しくてもカンタンに続けられる!アトピーの人向け食生活のコツ
忙しくてもカンタンに続けられる!アトピーの人向け食生活のコツ忙しくてもカンタンに続けられる!アトピーの人向け食生活のコツ
忙しくてもカンタンに続けられる!アトピーの人向け食生活のコツschoowebcampus
 
MD ARIFUL ISLAM
MD ARIFUL ISLAMMD ARIFUL ISLAM
MD ARIFUL ISLAMSmp Shohag
 
CA ELECTION- CAST YOUR VOTE CAREFULLY
CA ELECTION- CAST YOUR VOTE CAREFULLY CA ELECTION- CAST YOUR VOTE CAREFULLY
CA ELECTION- CAST YOUR VOTE CAREFULLY Neha Sharma
 
エンジェル、ベンチャーキャピタルの歴史と構造
エンジェル、ベンチャーキャピタルの歴史と構造エンジェル、ベンチャーキャピタルの歴史と構造
エンジェル、ベンチャーキャピタルの歴史と構造schoowebcampus
 
【AIDちゃんねる】スマートフォンアプリの広告マネタイズ基礎講座「実装・運用編」
【AIDちゃんねる】スマートフォンアプリの広告マネタイズ基礎講座「実装・運用編」【AIDちゃんねる】スマートフォンアプリの広告マネタイズ基礎講座「実装・運用編」
【AIDちゃんねる】スマートフォンアプリの広告マネタイズ基礎講座「実装・運用編」schoowebcampus
 
モバイル向けサービスをアイデアから考えるデザイン実況授業 先生:矢野 りん
モバイル向けサービスをアイデアから考えるデザイン実況授業 先生:矢野 りんモバイル向けサービスをアイデアから考えるデザイン実況授業 先生:矢野 りん
モバイル向けサービスをアイデアから考えるデザイン実況授業 先生:矢野 りんschoowebcampus
 
【2限目】超効率型英語学習法~「英語を使って働く」って何?~ 先生:椎名和也先生
【2限目】超効率型英語学習法~「英語を使って働く」って何?~ 先生:椎名和也先生【2限目】超効率型英語学習法~「英語を使って働く」って何?~ 先生:椎名和也先生
【2限目】超効率型英語学習法~「英語を使って働く」って何?~ 先生:椎名和也先生schoowebcampus
 
FEMALE SECURITY - A MATTER OF MAJOR CONCERN
FEMALE SECURITY - A MATTER OF MAJOR CONCERNFEMALE SECURITY - A MATTER OF MAJOR CONCERN
FEMALE SECURITY - A MATTER OF MAJOR CONCERNNeha Sharma
 
i.school, The University of Tokyo "The purposes and methods of interviews and...
i.school, The University of Tokyo "The purposes and methods of interviews and...i.school, The University of Tokyo "The purposes and methods of interviews and...
i.school, The University of Tokyo "The purposes and methods of interviews and...schoowebcampus
 
ワンちゃんが授業に登場!ステキな飼い主になろう!〜スマホで愛犬をステキに撮るコツ〜 先生:小川晃代先生
ワンちゃんが授業に登場!ステキな飼い主になろう!〜スマホで愛犬をステキに撮るコツ〜 先生:小川晃代先生ワンちゃんが授業に登場!ステキな飼い主になろう!〜スマホで愛犬をステキに撮るコツ〜 先生:小川晃代先生
ワンちゃんが授業に登場!ステキな飼い主になろう!〜スマホで愛犬をステキに撮るコツ〜 先生:小川晃代先生schoowebcampus
 
念い(おもい)が伝わる文字を書こう「書道塾 継未-TUGUMI-」(第1回 名前を書くときのコツ編)
念い(おもい)が伝わる文字を書こう「書道塾 継未-TUGUMI-」(第1回 名前を書くときのコツ編)念い(おもい)が伝わる文字を書こう「書道塾 継未-TUGUMI-」(第1回 名前を書くときのコツ編)
念い(おもい)が伝わる文字を書こう「書道塾 継未-TUGUMI-」(第1回 名前を書くときのコツ編)schoowebcampus
 
WEBマーケティングを事例で習得 - schooのユーザーを5倍にしよう!
WEBマーケティングを事例で習得 - schooのユーザーを5倍にしよう!WEBマーケティングを事例で習得 - schooのユーザーを5倍にしよう!
WEBマーケティングを事例で習得 - schooのユーザーを5倍にしよう!schoowebcampus
 
【Schoo web campus】webサイトの「ユーザー体験」を高める 先生:坂本貴史
【Schoo web campus】webサイトの「ユーザー体験」を高める 先生:坂本貴史【Schoo web campus】webサイトの「ユーザー体験」を高める 先生:坂本貴史
【Schoo web campus】webサイトの「ユーザー体験」を高める 先生:坂本貴史schoowebcampus
 
マンガで学ぶ「学校や英会話教室では教えられない英語表現」 (シーズン2第1回:ムカつくアイツへの陰口)
マンガで学ぶ「学校や英会話教室では教えられない英語表現」 (シーズン2第1回:ムカつくアイツへの陰口)マンガで学ぶ「学校や英会話教室では教えられない英語表現」 (シーズン2第1回:ムカつくアイツへの陰口)
マンガで学ぶ「学校や英会話教室では教えられない英語表現」 (シーズン2第1回:ムカつくアイツへの陰口)schoowebcampus
 

En vedette (20)

Búsqueda avanzada en google
Búsqueda avanzada en googleBúsqueda avanzada en google
Búsqueda avanzada en google
 
NILESH NADKARNI-resume
NILESH NADKARNI-resumeNILESH NADKARNI-resume
NILESH NADKARNI-resume
 
恋愛専門家集団に生放送で恋愛相談しよう!テーマ”復縁”【女性限定質疑応答あり】
恋愛専門家集団に生放送で恋愛相談しよう!テーマ”復縁”【女性限定質疑応答あり】恋愛専門家集団に生放送で恋愛相談しよう!テーマ”復縁”【女性限定質疑応答あり】
恋愛専門家集団に生放送で恋愛相談しよう!テーマ”復縁”【女性限定質疑応答あり】
 
忙しくてもカンタンに続けられる!アトピーの人向け食生活のコツ
忙しくてもカンタンに続けられる!アトピーの人向け食生活のコツ忙しくてもカンタンに続けられる!アトピーの人向け食生活のコツ
忙しくてもカンタンに続けられる!アトピーの人向け食生活のコツ
 
Schoo 0527ver2
Schoo 0527ver2Schoo 0527ver2
Schoo 0527ver2
 
MD ARIFUL ISLAM
MD ARIFUL ISLAMMD ARIFUL ISLAM
MD ARIFUL ISLAM
 
CA ELECTION- CAST YOUR VOTE CAREFULLY
CA ELECTION- CAST YOUR VOTE CAREFULLY CA ELECTION- CAST YOUR VOTE CAREFULLY
CA ELECTION- CAST YOUR VOTE CAREFULLY
 
Isevilikten hiristiyanliga
Isevilikten hiristiyanligaIsevilikten hiristiyanliga
Isevilikten hiristiyanliga
 
エンジェル、ベンチャーキャピタルの歴史と構造
エンジェル、ベンチャーキャピタルの歴史と構造エンジェル、ベンチャーキャピタルの歴史と構造
エンジェル、ベンチャーキャピタルの歴史と構造
 
【AIDちゃんねる】スマートフォンアプリの広告マネタイズ基礎講座「実装・運用編」
【AIDちゃんねる】スマートフォンアプリの広告マネタイズ基礎講座「実装・運用編」【AIDちゃんねる】スマートフォンアプリの広告マネタイズ基礎講座「実装・運用編」
【AIDちゃんねる】スマートフォンアプリの広告マネタイズ基礎講座「実装・運用編」
 
モバイル向けサービスをアイデアから考えるデザイン実況授業 先生:矢野 りん
モバイル向けサービスをアイデアから考えるデザイン実況授業 先生:矢野 りんモバイル向けサービスをアイデアから考えるデザイン実況授業 先生:矢野 りん
モバイル向けサービスをアイデアから考えるデザイン実況授業 先生:矢野 りん
 
【2限目】超効率型英語学習法~「英語を使って働く」って何?~ 先生:椎名和也先生
【2限目】超効率型英語学習法~「英語を使って働く」って何?~ 先生:椎名和也先生【2限目】超効率型英語学習法~「英語を使って働く」って何?~ 先生:椎名和也先生
【2限目】超効率型英語学習法~「英語を使って働く」って何?~ 先生:椎名和也先生
 
Company Profile
Company Profile Company Profile
Company Profile
 
FEMALE SECURITY - A MATTER OF MAJOR CONCERN
FEMALE SECURITY - A MATTER OF MAJOR CONCERNFEMALE SECURITY - A MATTER OF MAJOR CONCERN
FEMALE SECURITY - A MATTER OF MAJOR CONCERN
 
i.school, The University of Tokyo "The purposes and methods of interviews and...
i.school, The University of Tokyo "The purposes and methods of interviews and...i.school, The University of Tokyo "The purposes and methods of interviews and...
i.school, The University of Tokyo "The purposes and methods of interviews and...
 
ワンちゃんが授業に登場!ステキな飼い主になろう!〜スマホで愛犬をステキに撮るコツ〜 先生:小川晃代先生
ワンちゃんが授業に登場!ステキな飼い主になろう!〜スマホで愛犬をステキに撮るコツ〜 先生:小川晃代先生ワンちゃんが授業に登場!ステキな飼い主になろう!〜スマホで愛犬をステキに撮るコツ〜 先生:小川晃代先生
ワンちゃんが授業に登場!ステキな飼い主になろう!〜スマホで愛犬をステキに撮るコツ〜 先生:小川晃代先生
 
念い(おもい)が伝わる文字を書こう「書道塾 継未-TUGUMI-」(第1回 名前を書くときのコツ編)
念い(おもい)が伝わる文字を書こう「書道塾 継未-TUGUMI-」(第1回 名前を書くときのコツ編)念い(おもい)が伝わる文字を書こう「書道塾 継未-TUGUMI-」(第1回 名前を書くときのコツ編)
念い(おもい)が伝わる文字を書こう「書道塾 継未-TUGUMI-」(第1回 名前を書くときのコツ編)
 
WEBマーケティングを事例で習得 - schooのユーザーを5倍にしよう!
WEBマーケティングを事例で習得 - schooのユーザーを5倍にしよう!WEBマーケティングを事例で習得 - schooのユーザーを5倍にしよう!
WEBマーケティングを事例で習得 - schooのユーザーを5倍にしよう!
 
【Schoo web campus】webサイトの「ユーザー体験」を高める 先生:坂本貴史
【Schoo web campus】webサイトの「ユーザー体験」を高める 先生:坂本貴史【Schoo web campus】webサイトの「ユーザー体験」を高める 先生:坂本貴史
【Schoo web campus】webサイトの「ユーザー体験」を高める 先生:坂本貴史
 
マンガで学ぶ「学校や英会話教室では教えられない英語表現」 (シーズン2第1回:ムカつくアイツへの陰口)
マンガで学ぶ「学校や英会話教室では教えられない英語表現」 (シーズン2第1回:ムカつくアイツへの陰口)マンガで学ぶ「学校や英会話教室では教えられない英語表現」 (シーズン2第1回:ムカつくアイツへの陰口)
マンガで学ぶ「学校や英会話教室では教えられない英語表現」 (シーズン2第1回:ムカつくアイツへの陰口)
 

Similaire à K10 bg matematika

Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014fitriana416
 
Buku Matematika (buku guru) SMA kelas 11
Buku Matematika (buku guru) SMA kelas 11Buku Matematika (buku guru) SMA kelas 11
Buku Matematika (buku guru) SMA kelas 11GN Yogi Maha Putra
 
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014Dwi Suciati Isdiansyah
 
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014Dwi Suciati Isdiansyah
 
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]Randy Ikas
 
E-book matematika guru kls VII
E-book matematika guru kls VIIE-book matematika guru kls VII
E-book matematika guru kls VIIarvinefriani
 
buku bse matematika smp kelas 7
buku bse matematika smp kelas 7buku bse matematika smp kelas 7
buku bse matematika smp kelas 7mdimasv22
 
E-book matematika siswa X
E-book matematika siswa XE-book matematika siswa X
E-book matematika siswa Xarvinefriani
 
K11 bg matematika sma kelas xi_[blogerkupang.com]
K11 bg matematika sma kelas xi_[blogerkupang.com]K11 bg matematika sma kelas xi_[blogerkupang.com]
K11 bg matematika sma kelas xi_[blogerkupang.com]Randy Ikas
 
10 matematika buku_guru
10 matematika buku_guru10 matematika buku_guru
10 matematika buku_guruanantamario
 
10 matematika buku_prdoman_guru
10 matematika buku_prdoman_guru10 matematika buku_prdoman_guru
10 matematika buku_prdoman_gurundau
 
Buku Matematika Kelas 10 Kurikulum 2013
Buku Matematika Kelas 10 Kurikulum 2013Buku Matematika Kelas 10 Kurikulum 2013
Buku Matematika Kelas 10 Kurikulum 2013kuyyabatox
 
Buku Matematika Kelas VII semester 1
Buku Matematika Kelas VII  semester 1Buku Matematika Kelas VII  semester 1
Buku Matematika Kelas VII semester 1bayu hidayah
 
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2kikiismayanti
 
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2Arif Wicaksono
 
Buku matematika sma kelas 11 semster 2 kurikulum 2013
Buku matematika sma kelas 11 semster 2 kurikulum 2013Buku matematika sma kelas 11 semster 2 kurikulum 2013
Buku matematika sma kelas 11 semster 2 kurikulum 2013Diah Octavianty
 
Kelas 11 sma_matematika_siswa_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_2Kelas 11 sma_matematika_siswa_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_2Arif Wicaksono
 
Buku siswa-sma-kelas-11-matematika-semester-2 (2014)
Buku siswa-sma-kelas-11-matematika-semester-2 (2014)Buku siswa-sma-kelas-11-matematika-semester-2 (2014)
Buku siswa-sma-kelas-11-matematika-semester-2 (2014)ZulfikarFazaMubina
 
Buku pegangan-siswa-matematika-sma-kelas-11-semester-2-kurikulum-2013
Buku pegangan-siswa-matematika-sma-kelas-11-semester-2-kurikulum-2013Buku pegangan-siswa-matematika-sma-kelas-11-semester-2-kurikulum-2013
Buku pegangan-siswa-matematika-sma-kelas-11-semester-2-kurikulum-2013Kemana Thom
 

Similaire à K10 bg matematika (20)

Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
 
Buku Matematika (buku guru) SMA kelas 11
Buku Matematika (buku guru) SMA kelas 11Buku Matematika (buku guru) SMA kelas 11
Buku Matematika (buku guru) SMA kelas 11
 
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
 
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
Buku pegangan-guru-matematika-sma-kelas-10-kurikulum-2013-edisi-revisi-2014
 
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]
Buku Guru matematika_sma kelas x kurikulum 2013_[blogerkupang.com]
 
E-book matematika guru kls VII
E-book matematika guru kls VIIE-book matematika guru kls VII
E-book matematika guru kls VII
 
buku bse matematika smp kelas 7
buku bse matematika smp kelas 7buku bse matematika smp kelas 7
buku bse matematika smp kelas 7
 
E-book matematika siswa X
E-book matematika siswa XE-book matematika siswa X
E-book matematika siswa X
 
K11 bg matematika sma kelas xi_[blogerkupang.com]
K11 bg matematika sma kelas xi_[blogerkupang.com]K11 bg matematika sma kelas xi_[blogerkupang.com]
K11 bg matematika sma kelas xi_[blogerkupang.com]
 
10 matematika buku_guru
10 matematika buku_guru10 matematika buku_guru
10 matematika buku_guru
 
10 matematika buku_guru
10 matematika buku_guru10 matematika buku_guru
10 matematika buku_guru
 
10 matematika buku_prdoman_guru
10 matematika buku_prdoman_guru10 matematika buku_prdoman_guru
10 matematika buku_prdoman_guru
 
Buku Matematika Kelas 10 Kurikulum 2013
Buku Matematika Kelas 10 Kurikulum 2013Buku Matematika Kelas 10 Kurikulum 2013
Buku Matematika Kelas 10 Kurikulum 2013
 
Buku Matematika Kelas VII semester 1
Buku Matematika Kelas VII  semester 1Buku Matematika Kelas VII  semester 1
Buku Matematika Kelas VII semester 1
 
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2
 
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_semester_2
 
Buku matematika sma kelas 11 semster 2 kurikulum 2013
Buku matematika sma kelas 11 semster 2 kurikulum 2013Buku matematika sma kelas 11 semster 2 kurikulum 2013
Buku matematika sma kelas 11 semster 2 kurikulum 2013
 
Kelas 11 sma_matematika_siswa_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_2Kelas 11 sma_matematika_siswa_2
Kelas 11 sma_matematika_siswa_2
 
Buku siswa-sma-kelas-11-matematika-semester-2 (2014)
Buku siswa-sma-kelas-11-matematika-semester-2 (2014)Buku siswa-sma-kelas-11-matematika-semester-2 (2014)
Buku siswa-sma-kelas-11-matematika-semester-2 (2014)
 
Buku pegangan-siswa-matematika-sma-kelas-11-semester-2-kurikulum-2013
Buku pegangan-siswa-matematika-sma-kelas-11-semester-2-kurikulum-2013Buku pegangan-siswa-matematika-sma-kelas-11-semester-2-kurikulum-2013
Buku pegangan-siswa-matematika-sma-kelas-11-semester-2-kurikulum-2013
 

Dernier

DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdfDOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdfssuserb45274
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxSuGito15
 
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...Shoffan shoffa
 
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus daMenyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus daWijaya Kusumah
 
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdfKelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf2210130220024
 
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridAksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridDonyAndriSetiawan
 
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptxfurqanridha
 
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxJalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxPutriSoniaAyu
 
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptxMATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptxSuarniSuarni5
 
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKcontoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKTaufik241763
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxFritzPieterMichaelNa
 
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxTanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxMMuminSholih
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIsyedharis59
 
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3sekolah9304
 
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptxanisakhairoza
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahkrisdanarahmatullah7
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024ssuser82320b
 
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamKELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamabdulhamidalyFKIP
 

Dernier (20)

DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdfDOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
DOKUMEN PENJAJARAN_KSSR MATEMATIK TAHAP 1_EDISI 3.pdf
 
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi IbrahimpptxNasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
Nasab Nabi Muhammad SAW. dari Nabi Ibrahimpptx
 
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
Implementasi Model pembelajaran STEAM Holistik-Integratif Berbasis Digital Me...
 
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus daMenyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
Menyiapkan Guru Masa Depan yang Bagus da
 
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdfKelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
Kelompok 1_Pengantar Komunikasi Pendidikan.pdf
 
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada MuridAksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
Aksi Nyata Guru Penggerak Modul 3.3. Program Berdampak Positif pada Murid
 
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptxKOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
KOMUNIKATOR POLITIK ( AKTOR POLITIK).pptx
 
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
Aminullah Assagaf_Regresi Lengkap 19_8 Nov 2023_Inc. Data panel & Perbandinga...
 
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
,.,,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,Swamedikasi.pptx
 
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptxJalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
Jalur Rempah Pada Masa Hindu Buddha.pptx
 
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptxMATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
MATERI PESANTREN KILAT SD PUASA II .pptx
 
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIKcontoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
contoh DOKUMEN AKSI NYATA DALAM HAL PENERAPAN COACHING KEPADA PESERTA DIDIK
 
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptxDinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
Dinamika atmosfer dan Dampaknya terhadap kehidupan.pptx
 
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptxTanqihul Qoul Bab 14  - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
Tanqihul Qoul Bab 14 - Keutamaan Ibadah Fardhu.pptx
 
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASIBMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
BMMB 1134 KETERAMPILAN BERBAHASA HALANGAN KOMUNIKASI
 
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
DSKP KSSM Kurikulum Bersepadu Dini LAM Tingkatan 3
 
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
573323880-PPT-Nasionalisme-dan-Anti-Korupsi.pptx
 
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrahmateri pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
materi pondok romadon sekolah dasar dengan materi zakat fitrah
 
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024slaid penerangan UPUonline  2024 UPU 2024
slaid penerangan UPUonline 2024 UPU 2024
 
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama IslamKELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
KELOMPOK 2 PUTARAN 2 Mata kuliah Agama Islam
 

K10 bg matematika

  • 2. ii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Hak Cipta © 2014 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini. Katalog Dalam Terbitan (KDT) Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Matematika: Buku Guru/Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Edisi Revisi. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2014. xxii, 578 hlm. : ilus. ; 25 cm. Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X ISBN 978-602-282-494-7 (jilid lengkap) ISBN 978-602-282-495-4 (jilid 1) 1. Matematika — Studi dan Pengajaran I. Judul II. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 510 Kontributor Naskah : Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M. Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Lasker Pangarapan Sinaga, Sudianto Manullang, Mangara Simanjorang, dan Yuza Terzalgi Bayuzetra. Penelaah : Agung Lukito dan Sisworo. Penyelia Penerbitan : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud. Cetakan Ke-1, 2013 Cetakan Ke-2, 2014 (Edisi Revisi) Disusun dengan huruf Times New Roman, 11 pt.
  • 3. iiiMatematika Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya. Permasalahanterkaitgagasandanpengetahuanyangdisampaikansecaramatematisakandapatdiselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh. Buku Matematika Kelas X untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman konkret-abstrak kepada peserta didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui buku ini akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif. Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan. Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam. Implementasi terbatas pada tahun ajaran 2013/2014 telah mendapat tanggapan yang sangat positif dan masukan yang sangat berharga. Pengalaman tersebut dipergunakan semaksimal mungkin dalam menyiapkan buku untuk implementasi menyeluruh pada tahun ajaran 2014/2015 dan seterusnya. Buku ini merupakan edisi kedua sebagai penyempurnaan dari edisi pertama. Buku ini sangat terbuka dan terus dilakukan perbaikan dan penyempurnaan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik, saran dan masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami ucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045). Jakarta, Januari 2014 Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Mohammad Nuh
  • 4. iv Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Bapak, Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita lakukan sebagai usaha membelajarkan peserta didik dengan harapan, mereka berketuhanan, berperikemanusiaan, berpengetahuan, dan berketerampilan melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas mulia ini cukup berat, menuntut tanggung jawab yang tidak habis-habisnya dari generasi ke generasi. Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan menelusuri sebuah lingkaran dengan titik-titik masalah yang tak berhingga banyaknya. Tokoh pendidikan matematika Soedjadi dan Yansen Marpaung menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan tindakan dan menghadapi resiko untuk meningkatkan kualitas pendidikan matematika di setiap sekolah tempat guru melaksanakan tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai orang yang pertama dan yang utama bertindak sebagai pengembang kurikulum yang mengenal karakteristik siswa dengan baik, dituntut bekerjasama memikirkan jalan keluar permasalahan yang terjadi. Pola pembelajaran yang bagaimana yang sesuai dengan karakteristik matematika dan karakteristik peserta didik di sekolah Bapak/Ibu ?. Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran matematika berbasis paham konstruktivisme. Buah pikiran ini didasari prinsip bahwa: (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi budaya, (3) matematika adalah produk budaya, yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Untuk itu diperlukan perangkat pembelajaran, media pembelajaran, asesmen otentik dalam pelaksanaan proses pembelajaran di kelas. Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang relevan dengan karakteristik matematika dan tujuan pembelajaran matematika cukup banyak, seperti (1) model pembelajaran berbasis masalah, (2) pembelajaran kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif dan banyak model pembelajaran lainnya. Bapak/Ibu dapat mempelajarinya secara mendalam melalui aneka sumber pembelajaran. Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara lain: (1) eksponen dan logaritma, (2) persamaan dan pertidaksamaan linier, (3) sistem persamaan dan pertidaksamaan linier, (4) matriks, (5) relasi dan fungsi, (6) barisan dan deret, (7) persamaan dan fungsi kuadrat, (8) geometri, (9) trigoniometri, (10) statistik, (11) peluang, dan (12) limit fungsi yang tertera dalam kurikulum 2013. Berbagai konsep, aturan dan sifat-sifat dalam matematika ditemukan melalui penyelesaian masalah nyata, media pembelajaran, yang terkait dengan materi yang diajarkan. Seluruh materi yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensi yang ditetapkan dalam kurikulum matematika 2013. Semua petunjuk yang diberikan dalam buku ini hanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena itu, Bapak dan Ibu guru dapat mengembangkan dan menyesuaikan dengan keadaan dan suasana kelas saat pembelajaran berlangsung. Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas pendidikan matematika adalah masalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang beragam, seberapa besar buahnya yang dapat kita persembahkan padaNya. Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah kamu akan mendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai. Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semoga buku petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan proses pembelajaran matematika di sekolah. Jakarta, Pebruari 2013 Tim Penulis
  • 5. vMatematika Surat untuk Guru .............................................................................................................. iv Daftar Isi ............................................................................................................................ v Petunjuk Penggunaan Buku Guru..................................................................................... ix Model Pembelajaran Berbasis Konstruktivistik Dengan Pendekatan Scientific Learning........................................................................... ix Pedoman Penyusunan Rencana Pembelajaran ............................................................... xv Fase Konstruksi Matematika ............................................................................................ xviii Contoh Analisis Topik ................................................................................................. xix Peta Konsep Matematika SMP Kelas X ........................................................................... xx Bab 1 Eksponen dan Logaritma ................................................................................ 1 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 1 B. Peta Konsep ............................................................................................... 2 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 3 1. Menemukan Konsep Eksponen ........................................................... 3 2. Pangkat Bulat Negatif .......................................................................... 10 3. Pangkat 0 ............................................................................................. 10 4. Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif ........................................................... 11 5. Pangkat Pecahan ................................................................................. 18 Uji Kompetensi 1.1 ............................................................................................. 20 6. Bentuk Akar .......................................................................................... 22 7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat ............................... 24 8. Operasi Pada Bentuk Akar ................................................................... 25 a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar ................. 25 b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar ........................... 26 c. Merasionalkan Penyebut Berbentuk Akar .................................... 27 Uji Kompetensi 1.2 ............................................................................................. 34 9. Menemukan Konsep Logaritma ........................................................... 37 10. Sifat-sifat Logaritma ............................................................................. 43 Uji Kompetensi 1.3 ............................................................................................. 49 D. Penutup........................................................................................................ 52 Bab 2 Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ........................................................ 55 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 55 B. Peta Konsep ............................................................................................... 56 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 57 1. Memahami dan Menemukan Konsep Nilai Mutlak .............................. 57 2. Persamaan Linear ................................................................................ 65 3. Pertidaksamaan Linear ........................................................................ 74 Uji Kompetensi 2.1 ............................................................................................. 78 4. Persamaan Linear yang Melibatkan Nilai Mutlak ................................. 80 5. Pertidaksamaan Linear yang Melibatkan Nilai Mutlak ......................... 83 Uji Kompetensi 2.2 ............................................................................................. 92 D. Penutup ................................................................................................. 95
  • 6. vi Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Bab 3 Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear ........................................... 97 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 97 B. Peta konsep ................................................................................................ 98 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 99 1. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ............ 99 Uji Kompetensi 3.1 ............................................................................................. 112 2. Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ............ 113 Uji Kompetensi 3.2 ............................................................................................. 124 3. Penyelesaian Sistem Persamaaan Linear .......................................... 126 a. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua variabel .................................................... 126 b. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ................................................... 135 Uji Kompetensi 3.3 ............................................................................................. 142 Kunci Jawaban Soal-Soal Tantangan ................................................................ 147 4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel ....................................... 152 Uji kompetensi 3.4 ............................................................................................. 157 D. Penutup ................................................................................................. 160 Bab 4 Matriks ................................................................................................. 163 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 163 B. Peta Konsep ............................................................................................... 164 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 165 1. Menemukan Konsep Matriks ................................................................ 165 2. Jenis-Jenis Matriks ............................................................................... 176 3. Transpos Matriks .................................................................................. 180 4. Kesamaan Dua Matriks ........................................................................ 185 Uji Kompetensi 4.1 ............................................................................................. 187 5. Memahami Operasi Sederhana Matriks serta Menerapkannya dalam Pemecahan Masalah ................................................................. 191 a. Operasi Hitung pada Matriks ......................................................... 191 Uji Kompetensi 4.2 ............................................................................................. 207 D. Penutup ................................................................................................. 210 Bab 5 Relasi dan Fungsi ............................................................................................ 213 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 213 B. Peta Konsep ............................................................................................... 214 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 215 1. Menemukan Konsep Relasi ................................................................. 215 2. Sifat-Sifat Relasi ................................................................................... 225 3. Menemukan Konsep Fungsi ................................................................ 230 Uji Kompetensi 5.1 ............................................................................................. 240 D. Penutup ................................................................................................. 245 Bab 6 Barisan dan Deret ............................................................................................ 247 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 247 B. Peta Konsep ............................................................................................... 248 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 249 1. Menemukan Pola Barisan dan Deret ................................................... 249 2. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Aritmetika ............................. 258 Uji Kompetensi 6.1 ............................................................................................. 270
  • 7. viiMatematika 3. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri .............................. 272 a. Barisan Geometri ......................................................................... 272 b. Deret Geometri ............................................................................. 275 Uji Kompetensi 6.2 ............................................................................................. 285 D. Penutup ................................................................................................. 287 Bab 7 Persamaan dan Fungsi Kuadrat ..................................................................... 289 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar............................................... 289 B. Peta Konsep ............................................................................................... 290 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 291 1. Persamaan Kuadrat ............................................................................. 291 a Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat Satu Variabel .............. 291 Uji Kompetensi 7.1 ............................................................................................. 304 b. Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat ................................. 306 c. Menemukan Rumus Untuk Menentukan Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat ...................................................... 312 d. Persamaan Kuadrat dengan Akar-akar x1 dan x2 ........................ 315 Uji Kompetensi 7.2 ............................................................................................. 316 2. Fungsi Kuadrat...................................................................................... 318 a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat ............................................ 318 Uji Kompetensi 7.3 ............................................................................................. 331 b. Grafik Fungsi Kuadrat ................................................................... 332 c. Hubungan Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat .................... 341 Uji Kompetensi 7.4 ............................................................................................. 343 D. Penutup ................................................................................................. 344 Bab 8 Trigonometri ................................................................................................. 347 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 347 B. Peta Konsep ............................................................................................... 348 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 349 1. Ukuran Sudut (Derajat dan Radian)...................................................... 349 2. Konsep Dasar Sudut ............................................................................ 352 Uji Kompetensi 8.1 ............................................................................................. 355 3. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku ........................... 356 Uji Kompetensi 8.2 ............................................................................................. 365 4. Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran ........................ 367 5. Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 300 , 450 , dan 600 ................... 373 6. Grafik Fungsi Trigonometri ................................................................... 386 Uji Kompetensi 8.3 ............................................................................................. 396 D. Penutup ................................................................................................. 400 Bab 9 Geometri ................................................................................................ 403 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 403 B. Peta Konsep ............................................................................................... 404 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 405 1. Menemukan Konsep Jarak Titik, Garis, dan Bidang ............................ 405 a. Kedudukan Titik ............................................................................. 405 b. Jarak Antara Titik dan Titik ............................................................ 408 c. Jarak Titik ke Garis ........................................................................ 412 d. Jarak Titik ke Bidang ..................................................................... 416 e. Jarak antara Dua Garis dan Dua Bidang yang Sejajar ................. 423
  • 8. viii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Uji Kompetensi 9.1 ............................................................................................. 424 2. Menemukan Konsep Sudut pada Bangun Ruang ................................ 426 a. Sudut antara Dua Garis dalam Ruang .......................................... 430 b. Sudut antara Garis dan Bidang pada Bangun Ruang ................... 434 c. Sudut antara Dua Bidang pada Bangun Ruang ............................ 440 Uji Kompetensi 9.2 ............................................................................................. 443 D. Penutup ................................................................................................. 446 Bab 10 Limit Fungsi ................................................................................................. 449 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 449 B. Peta Konsep ............................................................................................... 450 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 451 1. Menemukan Konsep Limit Fungsi......................................................... 452 2. Sifat-Sifat Limit Fungsi ......................................................................... 466 3. Menentukan Limit Fungsi ..................................................................... 484 Uji Kompetensi 10.1 ........................................................................................... 493 D. Penutup ................................................................................................. 496 Bab 11 Statistika ................................................................................................. 499 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 499 B. Peta Konsep ............................................................................................... 500 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 501 1. Data Tunggal ........................................................................................ 501 a. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel ................................................ 501 b. Penyajian dalam Bentuk Diagram .................................................... 505 2. Data Kelompok ..................................................................................... 513 a. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel ................................................ 513 b. Penyajian Dalam bentuk Diagram (Histogram) ................................ 516 Uji Kompetensi 11.1 ........................................................................................... 517 Penutup ................................................................................................. 520 Bab 12 Peluang ................................................................................................. 521 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 521 B. Peta Konsep ............................................................................................... 522 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 523 1. Kemungkinan Suatu Kejadian .............................................................. 523 2. Frekuensi Realtif Suatu Hasil Percobaan ............................................ 529 3. Peluang Suatu Kejadian ....................................................................... 534 Uji Kompetensi 12.1 ........................................................................................... 544 Penutup ................................................................................................. 546 A. Petunjuk Pelaksanaan Penilaian ................................................................ 548 1. Penilaian Kompetensi Pengetahuan .................................................... 548 2. Penilaian Kompetensi Keterampilan .................................................... 554 3. Penilaian Kompetensi Sikap................................................................. 564 Lembar Partisipasi.............................................................................................. 571 B. Petunjuk Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan ...................................... 574 Daftar Pustaka ............................................................................................................... 577
  • 9. ixMatematika A. PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU GURU Dalam bagian ini diuraikan hal-hal penting yang perlu diikuti guru, saat guru menggunakan buku ini. Hal-hal esensial yang dijabarkan, antara lain: (1) pentingnya guru memahami model pembelajaran berbasis konstruktivis dengan pendekatan scientific learning terkait sintaksis model pembelajaran yang diterapkan, sistem sosial, prinsip reaksi pengelolaan (perilaku guru mengajar di kelas), sistem pendukung pemeblajaran yang harus dipersiapkan (berbagai fasilitas, misalnya buku siswa, lembar aktivitas siswa, media pembelajaran, instrumen penilaian, tugas-tugas yang akan diberikan), serta dampak intruksional dan dampak pengiring (sikap) yang harus dicapai melalui proses pembelajaran; (2) mengorganisir siswa belajar (di dalam dan luar kelas) dalam memberi kesempatan mengamati data, informasi, dan masalah, kerja kelompok dalam memecahkan masalah, memberi bantuan jalan keluar bagi siswa; (3) memilih model, strategi, dan metode pembelajaran untuk tujuan pembelajaran yang efektif; (4) memilih sumber belajar yang melibatkan partisipasi aktif siswa dalam proses pembelajaran yang dipicu melalui pengajuan masalah, pemberian tugas produk, projek; (5) petunjuk penggunaan asesmen otentik untuk mengecek keberhasilan aspek sikap, pengetahuan dan keterampilan; (6) petunjuk pelaksanaan remedial dan pemberian pengayaan. Isibukuguruini,memuatpetunjukpembelajarandisetiapbabyangberdampingan dengan aktivitas yang ada di buku siswa. Pertanyaan-pertanyaan kritis dan latihan memiliki kunci jawaban dan arahan pembelajaran dari guru untuk pemecahannya. Di samping proses pembelajaran yang tertuang dalam penjelasan singkat model pembelajaran konstruktivis, tersedi petunjuk pelaksanaan pembelajaran remedial dan pengayaan serta pelaksanaan penilaian berbasis proses. B. MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS KONSTRUKTIVISTIK DENGAN PENDEKATAN SCIENTIFIC LEARNING Modelpembelejaranyangditerapkandalambukuini,dilandasiteoripembelajaran yang menganut paham konstruktivistik, seperti Project-Based Learning, Problem- Based Learning, dan Discovery Learning dengan pendekatan scientific learning melalui proses mengamati, menanya, menalar, mencoba, membangun jejaring dan mengomunikasikan berbagai informasi terkait pemecahan masalah real world, analisis data, dan menarik kesimpulan. Proses pembelajaran memberi perhatian pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai masalah real world yang sangat
  • 10. x Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi mempengaruhi aktifitas dan perkembangan mental siswa selama proses pembelajaran dengan prinsip bahwa, (1) setiap anak lahir, tumbuh dan berkembang dalam matriks sosial tertentu dan telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematika adalah hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Metode pembelajaran yang diterapkan, antara lain: metode penemuan, pemecahan masalah, tanya-jawab, diskusi dalam kelompok heterogen, pemberian tugas produk, unjuk kerja, dan projek. Pembelajaran matematika yang diharapkan dalam praktek pembelajaran di kelas adalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas siswa, (2) siswa diberi kebebasan berpikir memahami masalah, membangun strategi penyelesaian masalah, mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka, (3) guru melatih dan membimbing siswa berpikir kritis dan kreatif dalam menyelesaikan masalah, (4) upaya guru mengorganisasikan bekerjasama dalam kelompok belajar, melatih siswa berkomunikasi menggunakan grafik, diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh hasil kerja selalu dipresentasikan di depan kelas untuk menemukan berbagai konsep, hasil penyelesaian masalah, aturan matematika yang ditemukan melalui proses pembelajaran. Rancangan model pembelajaran yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponen utama model pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut. 1. Sintaks Pengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran, yaitu: a. Apersepsi Tahap apersepsi diawali dengan mengimformasikan kepada siswa kompetensi dasar dan indikator yang akan dicapai siswa melalui pembelajaran materi yang akan diajarkan. Kemudian guru menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajar pada diri siswa melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajari dalam penyelesaian masalah kehidupan serta meyakinkan siswa, jika siswa terlibat aktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan kehidupan siswa dengan strategi penyelesaian yang menerapkan pola interaksi sosial yang pahami siswa dan guru. Dengan demikian, siswa akan lebih baik menguasai materi yang diajarkan, imformasi baru berupa pengetahuan lebih bertahan lama di dalam ingatan siswa, dan pembelajaran lebih bermakna sebab setiap informasi baru dikaitkan dengan apa yang diketahui siswa dan menunjukkan secara nyata kegunaan konsep dan prinsip matematika yang dipelajari dalam kehidupan.
  • 11. xiMatematika b. Interaksi Sosial di antara Siswa, Guru, dan Masalah Pada tahap orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswa mencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui belajar kelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip kooperatif, yakni keheterogenan anggota kelompok dari segi karakteristik (kemampuan dan jenis kelamin) siswa, berbeda budaya, berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatih bekerjasama, berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, saling memberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi informasi. Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar Aktivitas Siswa (LAS) dan Asesmen Otentik. Selanjutnya guru mengajukan permasalahan matematika yang bersumber dari lingkungan kehidupan siswa. Guru menanamkan nilai-nilai matematis (jujur, konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai budaya agar para siswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi dan mengarahkan jalannya diskusi agar lebih efektif, serta mendorong siswa bekerjasama. Selanjutnya, guru memusatkan pembelajaran pada siswa dalam kelompok belajar untuk menyelesaikan masalah. Guru meminta siswa memahami masalah secara individu dan mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dan dilanjutkan berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan ide-ide, berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antar anggota kelompok saling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil pemikiran teman, mencari ide dan jalan keluar penyelesaian masalah. Setiap kelompok memadu hasil pemikiran dan menuangkannya dalam sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggota kelompok mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salah seorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan. Selanjutnya guru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian petunjuk, memberi kemudahan pengerjaan siswa, contoh analogi, struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya siswa dapat mengambil alih tugas-tugas penyelesaian masalah. c. Mempresentasikan dan Mengembangkan Hasil Kerja Pada tahapan ini, guru meminta salah satu kelompok mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas dan memberi kesempatan pada kelompok lain memberi tanggapan berupa kritikan disertai alasan-alasan, masukan bandingan pemikiran. Sesekali guru mengajukan pertanyaan menguji pemahaman/penguasaan penyaji dan dapat ditanggapi oleh kelompok lain. Kriteria untuk memilih hasil diskusi kelompok yang akan dipresentasikan antara lain: jawaban kelompok berbeda dengan jawaban darikelompoklain,adaidepentingdalamhasildiskusikelompokyangperlumendapat perhatian khusus. Dengan demikian kelompok penyaji bisa lebih dari satu. Selama presentasi hasil kerja, guru mendorong terjadinya diskusi kelas dan mendorong siswa mengajukan ide-ide secara terbuka dengan menanamkan nilai soft skill.
  • 12. xii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil diskusi dan hasil kerja kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam penyajiannya, kelompok penyaji akan diuji oleh kelompok lain dan guru tentang penguasaan dan pemahaman mereka atas penyelesaian masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkan tiap- tiap kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok lain atau alternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga pertimbangan-pertimbangan secara objektif akan muncul di antara siswa. Tujuan lain tahapan ini adalah melatih siswa terampil menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di depan umum (teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut adalah salah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran berdasarkan masalah, untuk memampukan siswa berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain. d. Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata Baru Objek-objek matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan abstraksi konsep melalui penemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan mengkonstruksi konsep secara ilmiah. Setelah konsep ditemukan, guru melakukan teorema pengontrasan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh. Dengan mengajukan sebuah objek, guru meminta siswa memberi alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan contoh konsep. Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami. Sesekali guru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang ditemukan, serta melengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan contoh dan bukan contoh konsep. Berdasar konsep yang ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifat dan aturan-aturan. Selanjutnya siswa diberi kesempatan mengerjakan soal-soal tantangan untuk menunjukkan kebergunaan konsep dan prinsip matematika yang dimiliki. e. Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian Masalah Pada tahapan ini, guru membantu siswa atau kelompok mengkaji ulang hasil penyelesaianmasalah,mengujipemahamansiswadalamprosespenemuankonsepdan prinsip. Selanjutnya, guru melakukan evaluasi materi akademik dengan pemberian kuis atau meminta siswa membuat peta konsep atau memberi tugas dirumah atau membuat peta materi yang dipelajari. 2. Sistem Sosial Pengorganisasian siswa selama proses pembelajaran menerapkan pola pembelajaran kooperatif. Dalam interaksi sosio kultural di antara siswa dan temannya, guru selalu menanamkan nilai-nilai soft skill dan nilai matematis. Siswa
  • 13. xiiiMatematika dalam kelompok saling bekerjasama dalam menyelesaikan masalah, saling bertanya/ berdiskusi antara siswa yang lemah dan yang pintar, kebebasan mengajukan pendapat, berdialog dan berdebat, guru tidak boleh terlalu mendominasi siswa, bersifat membantu dan gotong royong) untuk menghasilkan penyelesaian masalah yang disepakati bersama. Dalam interaksi sosio kultural, para siswa diizinkan berbahasa daerah dalam menyampaikan pertanyaan, kritikan, pendapat terhadap temannya maupun pada guru. 3. Prinsip Reaksi Modelpembelajaranyangditerapkandalambukuinidilkamusiteorikonstruktivis dan nilai budaya dimana siswa belajar yang memberi penekanan pembelajaran berpusat pada siswa, sehingga fungsi guru sebagai fasilitator, motivator dan mediator dalam pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran siswa berupa pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah harus bersifat mengarahkan, membimbing, memotivasi dan membangkitkan semangat belajar siswa. Untuk mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatan pada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan terbuka, mencermati pemahaman siswa atas objek matematika yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah, menunjukkan kelemahan atas pemahaman siswa dan memancing mereka menemukan jalan keluar untuk mendapatkan penyelesaian masalah yang sesungguhnya. Jika ada siswa yang bertanya, sebelum guru memberikan penjelasan/bantuan, guru terlebih dahulu memberi kesempatan pada siswa lainnya memberikan tanggapan dan merangkum hasilnya. Jika keseluruhan siswa mengalami kesulitan, maka guru saatnya memberi penjelasan atau bantuan/memberi petunjuk sampai siswa dapat mengambil alih penyelesaian masalah pada langkah berikutnya. Ketika siswa bekerja menyelesaikan tugas-tugas, guru mengontrol jalannya diskusi dan memberikan motivasi agar siswa tetap berusaha menyelesaikan tugas-tugasnya. 4. Sistem Pendukung Agar model pembelajaran ini dapat terlaksana secara praktis dan efektif, guru diwajibkan membuat suatu rancangan pembelajaran yang dilkamusi teori pembelajaran konstruktivis dan nilai soft skill matematis yang diwujudkan dalam setiap langkah-langkah pembelajaran yang ditetapkan dan menyediakan fasilitas belajar yang cukup. Dalam hal ini dikembangkan buku model yang berisikan teori- teori pendukung dalam melaksanakan pembelajaran, komponen-komponen model, petunjuk pelaksanaan dan seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti rencana pembelajaran, buku guru, buku siswa, lembar kerja siswa, objek-objek abstraksi dari lingkungan budaya, dan media pembelajaran yang diperlukan.
  • 14. xiv Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi 5. Dampak Instruksional dan Pengiring yang Diharapkan Dampak langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswa merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah dan terbiasa menyelesaikan masalah nyata di lingkungan siswa. Pemahaman siswa terhadap obek-objek matematika dibangun berdasarkan pengalaman budaya dan pengalaman belajar yang telah dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaran yang melahirkan pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswa mentransfer pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah, berpikir kritis dan kreatif. Kemampuan menyelesaikan masalah tidak rutin menyadarkan siswa akan kebergunaan matematika. Kebergunaan akan menimbulkan motivasi belajar secara internal dari dalam diri siswa dan rasa memiliki terhadap matematika akan muncul sebab matematika yang dipamami adalah hasil rekonstruksi pemikirannya sendiri. Motivasi belajar secara internal akan menimbulkan kecintaan terhadap dewi matematika. Bercinta dengan dewi matematika berarti penyatuan diri dengan keabstrakan yang tidak memiliki batas atas dan batas bawah tetapi bekerja dengan simbol-simbol. Selain dampak di atas, siswa terbiasa menganalisis secara logis dan kritis memberikan pendapat atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalaman belajar yang dimiliki sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaan yang terjadi (perbedaan pola pikir, pemahaman, daya lihat dan kemampuan), serta berkembangnya kemampuan berkolaborasi antara siswa. Retensi pengetahuan matematika yang dimiliki siswa dapat bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktif di dalam proses penemuannya. Dampak pengiring yang akan terjadi dengan penerapan model pembelajaran berbasis konstruktivistik adalah siswa mampu menemukan kembali berbagai konsep dan aturan matematika dan menyadari betapa tingginya manfaat matematika bagi kehidupan sehingga dia tidak merasa terasing dari lingkungannya. Matematika sebagai ilmu pengetahuan tidak lagi dipandang sebagai hasil pemikiran dunia luar tetapi berada pada lingkungan budaya siswa yang bermanfaat dalam menyelesaikan permasalahan di lingkungan budayanya. Dengan demikian terbentuk dengan sendirinya rasa memiliki, sikap, dan persepsi positif siswa terhadap matematika dan budayanya. Siswa memkamung bahwa matematika terkait dan inklusif di dalam budaya. Jika matematika bagian dari budaya siswa, maka suatu saat diharapkan siswa memiliki cara tersendiri memeliharanya dan menjadikannya Landasan Makna (Landasan makna dalam hal ini berpihak pada sikap, kepercayaan diri, cara berpikir, cara bertingkah laku, cara mengingat apa yang dipahami oleh siswa sebagai pelaku- pelaku budaya). Dampak pengiring yang lebih jauh adalah hakikat tentatif keilmuan, keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan berpikir siswa, toleransi terhadap ketidakpastian dan masalah-masalah non rutin.
  • 15. xvMatematika PEDOMAN PENYUSUNAN RENCANA PEMBELAJARAN Penyusunan rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum matematika 2013 dan sintaksis Model Pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum matematika ditetapkan hal-hal berikut 1. Kompetensi dasar (lihat Permendikbud Nomor 69 dan 70 Tahun 2013) dan indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiap pokok bahasan. Rumusan indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikan dengan prinsip-prinsip pembelajaran matematika berdasarkan masalah, memberikan pengalaman belajar bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah otentik (masalah bersumber dari fakta dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi pengetahuan, saling membantu, berdiskusi dalam menyelesaikan masalah. 2. Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep (contoh disajikan di bawah). 3. Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuan awal siswa. 4. Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru, misalnya: rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku siswa, lembar aktivitas siswa (LAS), objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa, laboratorium, dan alat peraga jika dibutuhkan. 5. Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harus sama tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk tiap-tiap pokok bahasan. Penentuan rata-rata banyak jam pelajaran untuk satu pokok bahasan adalah hasil bagi jumlah jam efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang akan diajarkan untuk semester tersebut. 6. Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran antara alain: Produk : Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokok Proses : Apersepsi budaya, interaksi sosial dalam penyelesaian masalah, memodelkan masalah secara matematika, merencanakan penyelesaian masalah, menyajikan hasil kerja dan menganalisis serta mengevaluasi kembali hasil penyelesaian masalah. Kognitif : Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikir deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis dan berpikir kreatif).
  • 16. xvi Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Keterampilan : Keterampilan menyelesaikan masalah, ketrampilan berkolaborasi, kemampuan berkomunikasi. Afektif : Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaan yang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujur mengungkapkan pendapat, berlatih berpikir kritis, kreatif, dan senang belajar matematika. Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancang dan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasis konstruktivistik. Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari sintaks. Sehingga skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajaran disusun mengikuti setiap langkah-langkah pembelajaran (sintaks). Sintaks model pembelajaran terdiri dari 5 langkah pokok, yaitu: (1) apersepsi budaya, (2) orientasi dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan mengembangkan hasil kerja, (4) temuan objek matematika dan penguatan skemata baru, (5) menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapan pembelajaran dijabarkan sebagai berikut: 1. Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain: a. Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar. b. Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya dan matematika sebagai hasil konstruksi sosial. c. Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalam menyelesaikan masalah. d. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai matematis, soft skill dan kebergunaan matematika. e. Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hala-hal yang sulit dimengerti pada materi sebelumnya. 2. Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatif antara lain: a. Membentukan kelompok b. Mengajukan masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa c. Meminta siswa memahami masalah secara individual dan kelompok d. Mendorong siswa bekerjasama menyelesaikan tugas-tugas e. Membantu siswa merumuskan hipotesis (dugaan). f. Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa menyelesaikan masalah dan mengerjakan LKS g. Memberikan scaffolding pada kelompok atau individu yang mengalami kesulitan
  • 17. xviiMatematika h. Mengkondisikan antar anggota kelompok berdiskusi, berdebat dengan pola kooperatif i. Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbuka j. Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam menyelesaikan masalah dalam pemberian solusi 3. Kegiatan guru pada tahap persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain: a. Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaian masalah di depan kelas b. Membimbing siswa menyajikan hasil kerja c. Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerja kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif pemikiran Membantu siswa menemukan konsep berdasarkan masalah d. Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektif e. Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasi f. Menguji pemahaman siswa 4. Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan skemata baru antara lain: a. Mengarahkan siswa membangun konsep dan prinsip secara ilmiah b. Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh konsep c. Membantu siswa mendefinisikan dan mengorganisasikan tugas-tugas belajar yang berkaitan dengan masalah d. Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip dalam mengerjakan soal tantangan e. Memberikan scaffolding 5. Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah antara lain: a. Membantu siswa mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah b. Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektif c. Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep atau peta materi.
  • 18. xviii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
  • 20. xx Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
  • 22. xxii Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi
  • 23. Kompetensi Dasar Pengalaman BelajarKompetensi Dasar Pengalaman Belajar A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Setelah mengikuti pembelajaran eksponen dan logaritma, siswa mampu: 1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. 2. Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran langkah-langkahnya. 3. Menyelesaikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat – sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya. Melalui pembelajaran materi eksponen dan logaritma, siswa memperoleh pengalaman belajar: • mengkomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait eksponen dan logaritma. • merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang berkaitan dengan eksponen dan logaritma. • menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan. • menafsirkan hasil pemecahan masalah. • menuliskan dengan kata-katanya sendiri konsep persamaan kuadrat.berdasarkan ciri- cirinya dituliskan sebelumnya. • membuktikan berbagai sifat eksponen dan logaritma. • menerapkan berbagai sifat eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah. • berkolaborasi memecahkan masalah. • berlatih berpikir kritis dan kreatif Eksponen dan Logaritma Bab • Bilangan Pokok (Basis) • Perpangkatan • Eksponen • Logaritma
  • 24. 2 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi B. PETA KONSEP
  • 25. 3Matematika C. MATERI PEMBELAJARAN Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari – hari dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep dan aturan matematika. Sebagai contoh, konsep eksponen dan logaritma berperan penting dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan aritmatika sosial, peluruhan zat kimia, perkembangan bakteri dan lain – lain. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat permasalahan – permasalahan yang diberikan pada bab ini. Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang diberikan, kamu diminta untuk mencermati objek-objek yang dilibatkan dalam permasalahan yang diberikan tersebut. 1. Menemukan Konsep Eksponen Pada subbab ini, konsep eksponen ditemukan dengan mengamati beberapa masalah nyata berikut dan mencermati beberapa alternatif penyelesaiannya. Tentu saja, kamu diminta untuk melakukan pemodelan matematika yang melibatkan eksponen. Dari beberapa model matematika yang diperoleh dari langkah-langkah penyelesaian masalah, kamu secara individu menuliskan ciri-ciri eksponen dan mendiskusikan hasilnya dengan temanmu. Berdasarkan ciri-ciri tersebut, kamu menuliskan konsep eksponen dengan pemahamanmu sendiri. Banyak permasalahan dalam kehidupan yang penyelesaian- nya terkait dengan konsep dan aturan-aturan dalam matema- tika. Secara khusus keterkaitan konsep dan prinsip-prinsip eksponendanlogaritmadengan permasalahan masalah nyata yang menyatu/ bersumber dari fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep eksponen dan logaritma dapat dibangun/ ditemukan di dalam penyelesaian permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu arahkan siswa menyelesaiakan permasalahan-permasalahan yang diberikan. Di dalam proses penyelesaian masalah-masalah yang diberikan, ajak siswa mencer- mati objek-objek budaya atau objek lingkungan budaya yang dilibatkan dalam permasa- lahan yang diberikan. Objek- objek itu menjadi bahan aspirasi/inspirasi, karena terkadang ada konsep matematika melekat pada objek itu yang tidak disadari dan ternyata sebagai kata kunci dalam penyelesaian masalah. Demikian juga siswa tidak boleh mengabaikan atau melupakan konsep-konsep dan aturan-aturan matematika
  • 26. 4 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Masalah-1.1 Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur bakteri tertentu, satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi 40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri dalam pada akhir 8 jam. Alternatif Penyelesaian Diketahui: Satu bakteri membelah menjadi r bakteri untuk setiap jam. Jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah 10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlahnya menjadi 40.000 bakteri. Ditanya: a. Berapa banyak bakteri sebagai hasil pembelahan. b. Berapa jumlah bakteri dalam pada akhir 8 jam. Sebagai langkah awal buat tabel laju pertumbuhan bakteri terhadap waktu setiap jam. Misalkan jumlah bakteri pada awalnya (t = 0) adalah x0 . Isilah tabel berikut! Pada akhir t jam 0 1 .... .... .... .... Jumlah bakteri (xt ) x0 rx0 .... .... .... .... Dari hasil pengamatan data pada tabel di atas, kita dapat membuat hubungan pertumbuhan jumlah bakteri tersebut terhadap perubahan waktu untuk setiap jam dinyatakan sebagai berikut: x r r r r xt t = × × × × ×... faktor 1 244 344 0 yang telah dipelajari sebelum-nya, baik di tingkat Sekolah Dasar, SMP, bahkan pada materi yang baru saja dipelajari. Ajukan Masalah 1.1 pada siswa. Minta siswa men- gamati masalah dan men- uliskan apa yang diketa- hui dan yang ditanyakan. Selanjutnya dorong siswa memunculkan berbagai pertanyaan terkait ma- salah yang dipecahkan. Akomodasi berbagai per- tanyaan dan coba mem- beri petunjuk agar siswa dapat melakukan penal- aran dan mencoba mem- ecahkan masalah. Meminta siswa mem- buat tabel laju pertum- buhan bakteri dengan waktu setiap jam. Arah- kan siswa menemukan model matematika yang menyatakan hubungan banyak bakteri hasil pem- belahan pada saat waktu tertentu.
  • 27. 5Matematika x(t) = rt x0 .................................................................... (1) dengan t menyatakan banyak jam, x0 adalah jumlah bakteri saat t = 0 dan r adalah banyak bakteri setelah pembelahan terjadi pada setiap jam. Pada Masalah-1.1 diketahui bahwa pada akhir 3 jam terdapat 10.000 bakteri dan setelah 5 jam terdapat 40.000 bakteri. Kita substitusikan t = 3 dan t = 5 ke formula (1) di atas, maka diperoleh x3 = r3 x0 = 10.000 dan x5 = r5 x0 = 40.000 x x r x r x r r 5 3 5 0 3 0 2 40 000 10 000 4 4 2 = = = = . . Jadi, peneliti tersebut menemukan bahwa bakteri membelah menjadi 2 bakteri setiap 1 jam Untuk mendapatkan banyak bakteri pada awalnya atau t = 0, substitusi r = 2 ke persamaan r3 x0 = 10.000 sehingga 8x0 = 10.000. Dengan demikian x0 = 1.250. Subtitusikan x0 = 1.250 ke persamaan (1), pola pertumbuhan bakteri tersebut dinyatakan Dalam Masalah-1.1, ditemukan r2 = 4, dan kemudian r = 2. Apakah r = –2 tidak berlaku? Berikan alasanmu! x x t t = = = 1250 2 2 1250 320 000 8 8 . ( )( ) . Jadi, pada akhir setelah 8 jam, peneliti mendapatkan jumlah bakteri sudah mencapai 320.000 bakteri. Organisasikan siswa be- lajar dalam kelompok dengan banyak anggota kelompok 4-5 orang un- tuk mendiskusikan model matematika yang ditemu- kan secara individu. Guru menjembatani perbedaan hasil pemikiran antar siswa dalam setiap kelom- pok dan menuliskan hasil pemikiran bersama pada lembar kerja. Meminta beberapa siswa untuk memberi pendapat mengapa pada Masalah 1.1 Jika r2 = 4, maka r = 2. Kenapa tidak berlaku r = -2? Alasan: r2 = 4, r ∈ R ⇒ r = 2 atau r = -2. Tetapi dalam Ma- salah 1.1, r menyatakan banyak pembelahan bak- teri untuk setiap jam. Jadi bakteri membelah menjadi 2, bukan -2. Guru meminta salah satu kelompok untuk mempre- sentasikan hasil kerjanya di depan kelas. Jembatani jika ada cara yang berbe- da hasil kerja di antara ke- lompok. Beri kesempatan antar kelompok berdebat atas perbedaan pendapat untuk melatih kemampuan komunikasi siswa.
  • 28. 6 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Masalah-1.2 Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang sama kertas hasil lipatan tadi. Lakukan terus-menerus pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Alternatif Penyelesaian Sebagai langkah awal buat tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak garis bidang kertas yang terbentuk. Banyak Lipatan Banyak Bidang Kertas Pola Perkalian 1 2 2 = 2 2 4 4 = 2 × 2 3 8 8 = 2 × 2 × 2 4 ... ... ... ... ... n k ... Berdasarkan tabel di atas, misalkan k adalah banyak bidang kertas yang terbentuk sebagai hasil lipatan bidang kertas menjadi dua bagian yang sama, n adalah banyak lipatan. k dapat dinyatakan dalam n, yaitu k(n) = 2n ........................................................................ (2) Coba kamu uji kebenaran persamaan k(n) = 2n dengan mensubtitusikan nilai n ke persamaan tersebut. Motivasi siswa belajar dengan memperlihatkan kebergunaan matematika dalam kehidupan. Ajukan Masalah 1.2 dan mem- fasilitasi siswa terhadap alat yang dibutuhkan. Arahkan siswa melakukan percobaan melipat kertas dan menemukan pola dari data yang diperoleh sekai- tan membangun model matematika terkait ekspo- nen. Meminta siswa membuat tabel keterkaitan antara banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. Arahkan siswa menemukan model matematika yang me- nyatakan hubungan ban- yak lipatan kertas dan banyak bidang kertas yang terbentuk. Diharap- kan siswa menuliskan hal seperti tabel di samping. Selanjutnya guru me- minta siswa mengamati dan mencermati data pada tabel. Diharapkan siswa menemukan model matematika yang me- nyatakan hubungan ban- yaknya bidang kertas den- gan banyaknya lipatan.
  • 29. 7Matematika Berdasarkan persamaan (1) dan (2), diperoleh Dari persamaan (1) x(t) = rt x0 , r adalah bilangan pokok dan t adalah eksponen dari r. Dari persamaan (2) k(n) = 2n , 2 adalah bilangan pokok dan n adalah eksponen dari 2. Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut. Definisi 1.1 Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif. Notasi an menyatakan hasil kali bilangan a sebanyak n faktor, dapat ditulis a a a a an n faktor = × × × ×...1 244 344 dengan a sebagai basis bilangan berpangkat dan n sebagai pangkat. Catatan: 1. Pada Definisi-1.1 di atas, kita sepakati, a1 cukup ditulis a. 2. Hati-hati dengan bilangan pokok a = 0, tidak semua a0 dengan a bilangan real menyatakan 1. Coba tanyakan pada gurumu, mengapa demikian? 3. Jika n adalah sebuah variabel sebagai eksponen dari a, maka perlu dicermati semesta variabel itu. Sebab an = a × a × ... × a sebanyak n faktor, ini hanya berlaku ketika semesta n∈N. Arahkan siswa mengamati kedua model matematika di samping. Minta mereka menuliskan ciri-ciri bilan- gan berpangkat dan ber- dasarkan ciri-ciri tersebut dapat menuliskan penger- tian dari an . Beri penjelasan pada siswa, tentang pemaha- man unsur-unsur yang ada pada Definisi 1.1, mengapa n harus bilangan bulat positif. Minta siswa untuk memegang teguh sifat matematika dalam menetapkan definisi bi- langan berpangkat; yaitu, matematika bersandar pada kesepakatan, meng- gunakan variabel-varia- bel yang kosong dari arti, menganut kebenaran kon- sistensi. Minta siswa mencermati beberapa catatan penting terkait Definisi 1.1. Beri penjelasan bahwa ketika a = 0 dan n = 0, maka an = 00 , hasilnya taktentu.
  • 30. 8 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Perhatikan Masalah-1.3 berikut! Masalah-1.3 Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari darah melalui ginjal. Setiap 1 jam separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila 100 mg zat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat itu tersisa dalam darah setelah: 1) 1 jam? 2) 2 jam? 3) 3 jam? 4) Buatlah model matematika pengurangan zat tersebut dari tubuh melalui ginjal! 5) Gambar pasangan titik (waktu, jumlah zat) pada koordinat kartesius untuk 8 jam pengamatan. Alternatif Penyelesaian Langkah awal isilah tabel berikut: Waktu (t dalam jam) 1 2 3 4 5 6 7 8 Jumlah zat z(t) dalam mg 50 25 12,5 ... ... ... ... ... Isilah secara lengkap data pada tabel dan coba gambarkan pasangan titik-titik tersebut pada sistem koordinat kartesius (coba sendiri)! Selanjutnya perhatikan grafik fungsi (Gambar-1.2) di bawah ini. Isilah nilai-nilai fungsi tersebut dan sajikan nilai-nilai tersebut pada tabel yang diberikan. Ajak siswa untuk menga- mati Masalah 1.3 dan me- mahami tentang perma- salahan yang ditanyakan pada Masalah 1.3. Beri kebebasan bagi siswa menggali ide-ide secara bebas terbuka, mengaju- kan berbagai pertanyaan dalam menganalisis infor- masi yang tersedia pada Masalah 1.3. Minta siswa mengisi se- cara lengkap data pada tabel dan mencoba meng- gambarkan data-data (pasangan titik) tersebut pada sistem koordinat kartesius!
  • 31. 9Matematika 0 2 2 4 x4 2 2 4 4 6 y f(x) = 3-x f(x) = 2-x f(x) = 2x f(x) = 3x Gambar-1.2: Grafik Fungsi Eksponensial x –3 –2 –1 0 1 2 3 4 f(x) = 2x f(x) = 2-x f(x) = 2x f(x) = 3x f(x) = 3-x Latihan 1.1 Amati grafik (Gambar-1.2) di atas. Tuliskan sedikitnya 5 (lima) sifat grafik fungsi tersebut dan disajikan hasilnya di depan kelas. Dalam paparan jelaskan mengapa kita perlu mengetahui sifat-sifat tersebut. Organisasikan siswa bela- jar dalam kelompok. Min- ta siswa diskusi dengan temannya satu kelompok, bagaimana perilaku grafik ketika x menuju -∝ dan ke- tika x menuju ∝? Apakah grafik itu sampai berpo- tongan atau tidak sampai menyinggung sumbu x? Sajikan hasil kerja kelom- pok di depan kelas. Untuk menguatkan konsep siswa, minta siswa untuk mencoba menyelesaikan Latihan 1.1 di samping. Misalnya grafik fungsi f(x) = 2x, x bilangan real. Sifat grafik yang diharap- kan ditemukan siswa, an- tara lain: 1. Grafik seluruhnya di atas sumbu-x. 2. Sumbu-x sebagai asim- tot 3. Memotong sumbu-y pada satu titik, saat x = 0. 4. Grafik tidak memotong sumbu-x, untuk x menu- ju 0. 5. Untuk nilai x sema- kin besar, maka nilai y semakin besar. Seba- liknya untuk nilai x se- makin kecil, diperoleh nilai y semakin kecil
  • 32. 10 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi 2. Pangkat Bulat Negatif Definisi 1.2 Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif, didefinisikan a a m m − =       1 Definisi di atas dijelaskan sebagai berikut: a a a a a a m m − =       =      ×      ×      × ×       1 1 1 1 1 ... sebanyyak faktor faktor m m m a a a a a 1 24444 34444 1 244 344 = × × × × = 1 1 ... Contoh 1.1 Jika x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x-3 (y4 ) Alternatif Penyelesaian x y y x − ( )= = − = − = −3 4 4 3 4 3 2 2 16 8 2 ( ) 3. Pangkat Nol Definisi 1.3 Untuk a bilangan real dan a ≠ 0, maka a0 = 1. 6. Untuk x ∝ menuju ∝, diperoleh y menuju ∝. Untuk x menuju -∝, di- peroleh y menuju 0. Ajukan beberapa con- toh yang dipahami siswa tentang perpangkatan di SMP, dalam membangun pemahaman terhadap Definisi 1.2 di samping. Misalnya 3 1 3 1 3 3 3 3 − = =       =      ×      ×       1 3 1 3 1 3 = 1 3 3 3 1 9× × = Selanjutnya menga- jak siswa mencermati penjelasan Definisi 1.2 secara deduktif, seperti disajikan disamping. Untuk lebih memahami Definisi 1.2, minta siswa mencermati Contoh 1.1 di samping. Cek kebenaran hasil kerja siswa mener- apkan Definisi 1.2, dalam menyelesaikan soal pada Contoh 1.1. Arahkan siswa memahami Deinisi 1.4 di samping, dengan mengajukan be- berapa pertanyaan, sep- erti:
  • 33. 11Matematika Untuk lebih memahami definisi di atas, perhatikan pola hasil pemangkatan bilangan-bilangan berikut. 23 = 8 33 = 27 22 = 4 32 = 9 21 = 2 31 = 3 20 = 1 30 = 1 Perhatikan hasil pemangkatan 2 dengan 0, dan hasil pemangkatan 3 dengan 0, hasil perpangkatannya adalah 1. 4. Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif Coba cermati bukti sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif menggunakan definisi bilangan berpangkat yang kamu telah pelajari sebelumnya. Sifat-1 Jika a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif maka am × an = am+n Bukti: a a a a a a a a a am n m faktor n faktor × = × × × × × × × × ×... ...1 244 344 1 244 344 = × = × × × × × + a a a a a a a am n m n 1 2444 3444 = am+n • Perhatikan a a a a am m faktor = × × × ×...1 244 344 . Diskusikan dalam kelompokmu, apakah benar perpangkatan adalah perkalian berulang? • Bagaimana jika m dan n bukan bilangan bulat positif? Mengapa batasan bilan- gan real dan . Bagaimana hasil a0, ketika a = 0. Beri penjelasan bahwa ketika a = 0 maka a0 = 00 , hasil- nya taktentu. Selanjutnya ajak siswa mengamat pola hasil perpangkatan bilan- gan 2 dan 3 di samping. Untuk meyakinkan siswa bahwa a0 = 1, a ≠ 0 Minta siswa untuk dapat membuktikan Sifat-1 se- hingga siswa dapat me- nyimpulkan bahwa sifat tersebut benar untuk m dan n bilangan bulat posi- tif. Jelaskan pada siswa bah- wa perpangkatan adalah perkalian berulang. Si- fat-1, hanya berlaku a bilangan real, m dan n bi- langan bulat positif. Jika m dan n bukan bilangan bulat positif, Sifat-1 tidak berlaku, misalnya a = 0 dan m = n = 0, tidak ber- laku
  • 34. 12 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Sifat-2 Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka a a a m n m n = − . Bukti: a a a a a a a a a a m n m n = × × × × × × × × ... ... faktor faktor 1 244 344 1 244 344 (sesuai Definisi 1.1) • Pada persyaratan Sifat-2, mengapa a ≠ 0 dipersyaratkan? • Bagaimana jika a = 0? Apa dampaknya pada hasil pembagian a a m n ? Jika kamu tidak tahu bertanya ke guru! Sifat-1 di atas hanya berkaitan dengan bilangan bulat positif m dan n. Ada 3 (tiga) kemungkinan, yaitu (a) m > n, (b) m = n, dan (c) m < n. a) Kasus m > n Jika m dan n bilangan bulat positif dan m > n maka m – n > 0. Dengan demikian a a a a a a a a a a am n m n = × × × × × × × × = ×... ... faktor faktor 1 244 344 1 244 344 aa a a a a a a a a a n n × × × × × × × × × × × ... ... .. faktor faktor 1 244 344 1 244 344 .. ... ( ) ( ) × = × × × × = − − − a a a a a a m n m n m n faktor faktor 1 244 344 1 244 344 Jadi a a m n = am-n , dengan m, n bilangan bulat positif dan m > n Selanjutnya bimbing siswa agar memaha- mi tentang Sifat-2 dan data menunjukkan bukti dari sifat tersebut. Beri penjelasan pada siswa dalam Sifat-2, tidak diiz- inkan a = 0, sebab ben- tuk perpangkatan pada Sifat-2 adalah bentuk ra- sional. Dalam pecahan penyebutnya tidak lazim nol.Ketika a = 0 dan m, n bilangan bulat positif, maka am atau an dimung- kinkan hasilnya 0.Jika hasil am dan an keduanya nol, maka hasil baginya tak tentu. Jika am = 0 dan an ≠ 0, maka hasil baginya 0. Tetapi jika am ≠ 0 dan an = 0, maka hasil baginya tak ter- definisi.
  • 35. 13Matematika b) Kasus m = n Jika m = n, maka a a m n = 1 = a0 =am–n . Bukti: a a a a m n m m = , sebab m = n = a a a a a a a a m m × × × × × × × × ... ... faktor faktor 1 244 344 1 244 344 = 1 = a0 Latihan 1.2 Buktikan sendiri untuk kasus m < n. Jelaskan perbedaan hasilnya dengan kasus (a). Buktikan Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, m < n, maka a a a m n m n = − . Bukti: Ambil sebarang m dan n bilangan bulat positif, m < n. m < n ⇒ m – n < 0. a a a a a a a a a a m n m faktor n m faktor = × × × × × × × × − ... ... ( ) 1 244 344 1 244 3444 1 244 344 1 244 344 = × × × × × × × ×  − a a a a a a a a m faktor n m faktor ... ... ( )         × × × × ×           = × × × 1 1 a a a a a a a m faktor ... ... 1 244 344 ××           =       = = − − − − − a a a a n m faktor n m n m m n ( ) ( ) 1 244 344 1 (karena m < n, maka m – n < 0) Agar siswa benar-benar dapat menguasai kon- sep tentang Sifat-2 un- tuk kasus m < n, sesuai Latihan 1.2. Alternatif jawaban yang diharap- kan dari siswa sebagai bukti Sifat-1.2 untuk kasus m < n, dapat dicermati di samping.
  • 36. 14 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Sifat-3 Jika a bilangan real dan a ≠ 0, m dan n bilangan bulat positif, maka (am )n = amn Bukti: a a a a a a a a a m n m m m m n m ( ) = × × × × = × × × × ... ... faktor faktor 1 2444 3444 1 2444 344 1 244 344       × × × ×       × × × × a a a a a a a a m ... ... faktor mm m a a a a faktor faktor 1 244 344 1 244 344       × × × ×      ... ...  = × × × ×    × n m n a a a a faktor faktor 1 24444444 34444444 1 244 344...    ( ) = × a am n m n ( )terbukti Diskusi Diskusikan dengan temanmu, apakah syarat bahwa m dan n bilangan positif diperlukan untuk Sifat-3 dan Sifat-4. Bagaimana jika m dan n adalah negatif atau kedua-duanya bilangan negatif. Catatan Dalam beberapa definisi, sifat, dan proses pembuktian sering kita menggunakan simbol logika. Beberapa simbol yang sering kita gunakan dijelaskan sebagai berikut. a. Simbol ∀ dibaca untuk setiap atau untuk semua. Misalnya, ∀ x∈R, berlaku x2 ≥ 0 (dibaca, untuk setiap x bilangan real, maka x kuadrat lebih dari atau sama dengan nol). b. Simbol p ⇒ q dibaca jika p, maka q. Misalnya x = 2 ⇒ x2 = 4 Ajak siswa berdiskusi dalam kelompok belajar, untuk menganalisis pent- ingnya syarat m dan n bilangan bulat positif un- tuk Sifat-3. Jika m dan n adalah salah satu negatif dan ketika a = 0, misalnya 0 0 0 1 0 2 3 2 3 6 6( ) = = = − − × − Tentu 06 = 0. Dengan demikian 1 0 1 06 = hasil- nya tak terdefinisi. Jelaskan pada siswa catatan penting di sam- ping, tentang pemanfaatan dan makna simbol logika matematika yang sering digunakan dalam definisi, sifat, dan proses pembuk- tian. Selanjutnya minta siswa untuk mencoba mema- hami bukti Sifat-3 dengan memberi bantuan sebagai berikut. (32 )3 = (3 × 3)3 = (9)3 = 9 × 9 × 9 = 729 = 36 = 32×3 Selanjutnya mengarahkan siswa membuktikan Si- fat-3 secara umum, seper- ti yang tertera pada buku siswa di samping
  • 37. 15Matematika c. Simbol p ⇔ q dibaca p jika dan hanya jika q atau p bila dan hanya bila q. Misalnya x2 = 4 ⇔ x = 2 atau x = -2 Contoh 1.2 (a) Buktikan jika a ∈ R, a > 1 dan n > m, maka an > am ! Bukti: Karena a > 1 dan n > m maka n – m > 0 dan an > 0, am > 0. Akibatnya, berlaku ⇔ = ( ) ⇔ > > −a a a a a a a n m n m n m n m Lihatsifat-1diatas Mengapa ?Berial1 1( aasamu Karena terbukti !) ( ) ( ) ⇔ × > × > ⇔ > a a a a a a a n m m m m m n 1 0 (b) Perlukah syarat a > 1? Misalkan kita ambil a bilangan real yang memenuhi a < 1 dan n > m. Apakah yang terjadi? Pilih a = –2, dengan n > m, pilih n = 3 dan m = 2. Apakah yang terjadi? (–2)3 = (–2) × (–2) × (–2) = –8 (–2)2 = (–2) × (–2) = 4 Dengan demikian, an = –8 < 4 = am atau an < am . Jadi, tidak benar bahwa an > am bila a < 1 dan n > m. Jadi, syarat a adalah bilangan real, dengan a > 1 dan n > m merupakan syarat cukup untuk membuktikan an > am . Latih siswa berpikir anal- itis dengan mengajukan Contoh 1.2 di samping. Minta siswa membuktikan masalah yang diberikan dan beri bantuan, jika siswa mengalami kesuli- tan. Ajukan berbagai per- tanyaan untuk menguji pemahaman siswa, dalam pemanfaatan kosep dan sifat yang sudah dipela- jari sebelumnya, untuk proses pembuktian. Minta siswa memberi con- toh yang lain dengan me- milih nilai a tertentu, agar pernyataan pada Contoh 1.2 tidak berlaku, apabila a < 1. Seperti halnya con- toh penyangkal pada buku siswa di samping.
  • 38. 16 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Diskusi Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok. Analisis pernyataan pada Contoh 1.2! • Apa akibatnya bila syarat a > 1 tidak dipenuhi? • Perlukah diperkuat dengan syarat n > m > 0? Jelaskan! • Bolehkah syarat a > 1 di atas diganti a ≥ 1? Jelaskan! • Bagaimanakah bila 0 < a < 1 dan a < 0? • Buat aturan hubungan antara an dan am untuk bermacam-macam nilai a di atas! • Buat laporan hasil diskusi kelompokmu. Contoh 1.3 Terapkan berbagai sifat bilangan berpangkat untuk menentukan hasil operasi bilangan pada soal yang disajikan pada contoh. Ujilah kebenaran hasilnya! 1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 7 × = × × × × × × = × × × × faktor faktor faktor { 1 244 344 11 244 344 = = + 2 2 7 2 5 dengan menggunakan Sifat-1 2. dengan menggunakan Sifat-2 kasus b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 0 = × × × × × × × × = = 25–5 = 25–5 Arahkan siswa diskusi dengan temannya satu kelompok. Minta siswa menganalisis beberapa pernyataan pada tabel di samping. Jika syarat a > 1 tidak dipenuhi, maka per- nyataan jika a ϵ R , a > 1 dan n > m, maka an > am, belum tentu benar. Tidak perlu diperkuat syarat n > m menjadi n > m > 0, sebab per- nyataan pada Contoh 1.4 berlaku untuk n dan m yang negatif. Syarat a > 1 tidak boleh diganti dengan a ≥ 1, se- bab untuk a = 1, an = am . Arahkan siswa mencer- mati beberapa contoh yang disajikan, agar lebih mema-hami penggunaan sifat-sifat bilangan ber- pangkat dalam penyele- saian berbagai soal.Cek pemahaman siswa dengan mengajukan pertanyaan- pertanyaan terkait peman- faatan sifat tersebut
  • 39. 17Matematika 3. dengan menggunakan Sifat-3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 3 ( ) = ( )×( ) = × ×( )× × ×( ) = × f faktor aktor 1 24 34 1 24 34 22 2 2 2 2 2 2 6 3 3 6 × × × ×( ) = = + faktor 1 2444 3444 4. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 ×( ) = ×( )× ×( )× ×( ) = × × × × × faktor faktor 124 34 124 334 = ×2 33 3 dengan menggunakan Definisi 1.1 5. 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 3 3 3       =      ×      ×       = × × × × faktor 674 84 33 2 3 3 3 3 faktor 124 34 = dengan menggunakan Definisi 1.1 Contoh 1.4 Buktikan bahwa jika a > 1 dan n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka an > am . Bukti: Karena n > m dengan n dan m bilangan bulat negatif, maka –n dan –m adalah bilangan bulat positif dan –m > –n. Karena a > 1 maka a a a a m n n m − − = > 1 (Gunakan sifat a–m = 1 am ). a a n m > 1 ⇒ an > am (terbukti) Latih siswa berpikir kri- tis, analitis, dan kreatif dengan mengajukan Con- toh 1.4 di samping. Minta siswa membuktikan per- nyataan yang diberikan dan beri bantuan, jika siswa mengalami kesuli- tan. Ajukan berbagai per- tanyaan untuk menguji pemahaman siswa, dalam pemanfaatan konsep dan sifat yang sudah dipelajari sebelumnya, untuk proses pembuktian. Pernyataan pada Contoh 1.4, tidak berlaku untuk a < 1, misalnya pilih a = –3, n = –2, dan m = –3. a a n m = −( ) −( ) = −( ) −( ) − − 3 3 3 3 2 3 3 2 = − = − < 27 9 3 1 a a a a n m n m < ⇒ <1 .
  • 40. 18 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Contoh 1.5 Berdasarkan sifat perkalian dengan bilangan 7, tentukan angka satuan dari 71234 tanpa menghitung tuntas. Perhatikan angka satuan dari perpangkatan dari 7 berikut? Perpangkatan 7 Nilai Angka Satuan 71 7 7 72 49 9 73 343 3 74 2401 1 75 16807 7 76 117649 9 77 823543 3 78 5764801 1 Coba lanjutkan langkah berikutnya untuk menemukan angka satuan 71234 . Cermati sifat satuan pada tabel di atas. Saat periode ke berapakah berulang? Selanjutnya manfaatkan sifat-sifat perpangkatan dan perkalian bilangan berpangkat. 5. Pangkat Pecahan Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m bilangan bulat positif, maka am 1 = p adalah bilangan real positif, sehingga pm = a. Definisi 1.4 Selanjutnya kita akan analisis sifat perpangkatan bilangan real dengan pangkat pecahan. Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m, n bilangan bulat positif didefinisikan a a m n n m =       1 . Definisi 1.5 Jelaskan pada siswa me- lalui beberapa contoh yang sudah dipelajari se- belumnya di SMP untuk membangun pemahaman terhadap Definisi-1.4 dan 1.5. Misalnya, 4 2 4 2 4 2 4 1 2 1 2 2 2 1 2 2 = ⇒ = ⇒       = ⇒       ×  = ⇒ ( ) = 2 4 2 2 2 Dalam contoh ini, a = 4, p = 2, dan m = 2. Beri bantuan siswa melanjutkan langkah pe- nyelesaian Contoh-1.5 di samping. Alternatif penyelesaiannya adalah Dengan menggunakan si- fat eksponen, maka kita peroleh: 71234 = 7(4 × 308) × 72 . 71234 = (74 )308 × 72 . Ingat: amxn = (am )n = (an )m 71234 = (74 )308 × 72 sehingga satuan dari [71234 ] = satuan dari [(74 )308 × 72 ] Satuan dari [71234 ] = satu- an dari [(1)308 ] × satuan dari [72 ]. Satuan dari [71234 ] = 1 × 9 Satuan dari [71234 ] = 9 Jadi, angka terakhir dari 71234 adalah 9.
  • 41. 19Matematika Sifat-4 Misalkan a bilangan real dengan a > 0, p n m n dan adalah bilangan pecahan n ≠ 0, maka a a a m n p n m p n             = ( ) + . Bukti: Berdasarkan Sifat-4, jika a bilangan real dan a ≠ 0, m, n adalah bilangan bulat positif, maka a a m n n m =       1 . Dengan demikian a a a a m n p n n m n p             =             1 1 a a a a a a a a m n p n n m n p n n n             =             = × × × × 1 1 1 1 1 1 ... nn m n n n n p a a a a faktor faktor 1 2444 3444 1 2444 3       × × × × 1 1 1 1 ...4444 1 2444 3444       = × × × ×      + a a a an n n n m p 1 1 1 1 ... faktor SSesuaiSifat Berdasarkan Definisi1.5 = , sehing 1 1 ( )      a an m m n gga diperoleh terbua a a a m n p n n m p m p n             =       = ( ) + +1 ( kkti) Sifat-5 Jika a adalah bilangan real dengan a > 0, m n dan p q bilangan pecahan q, n ≠ 0, maka a a a m n p q m n p q             = + . Untuk Definisi 1.5 berikan contoh agar siswa lebih memahaminya. Misalnya 2 2 6 2 3 = = 2 × 2 × 2 = 8 2 2 1 2 6 1 2 6      = ( ) × = (2)3 = 2 × 2 × 2 = 2 Berarti 2 2 6 2 1 2 6 =       Selanjutnya arahkan siswa membuktikan Sifat-4 menggunakan Definisi 1.5 Arahkan siswa membukti- kan Sifat-5 menggunakan definisi dan sifat perpang- katan yang sudah dipela- jari. Alaternatif pembuk- tian dapat dicermati di samping.
  • 42. 20 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Uji Kompetensi 1.1 1. Sederhanakanlah hasil operasi bilangan berpangkat berikut. a. 25 × 29 × 212 b. 25 × 36 × 46 c. 2 3 4 12 5 5 2 2 × × d. ( )− ×5 25 125 6 2 e. 3 7 2 42 7 3 3 × × ( ) 2. Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah bentuk berikut. a. 2x3 ×7x4 × (3x)2 b. −     × − × 2 2 5 4 2p q q p( ) c. y5 × (x × y)3 1 2 x y×       d. (a × b × c)4 × 3 273 3 5 ( )b c b a× × e. − ×       4 2 8 3 5 a b a b f. 1 2 3 5 3 42 2 2 x y x y x y× × ×( ) g. − ×( ) × −      ×      a b b a a b 3 4 5 2 3 h. 24 6 4 2 3 8 5 3 3 2 a b a b b a a × ×      × ×      Minta siswa untuk meny- elesaikan uji kompetensi melalui pemberian tugas untuk menilai penguasaan siswa terhadap materi yang sudah dipelajari. Terutama tugas projek yang tersedia. Gunakan rubrik penilaian projek yang telah tersedia pada bagian akhir dari buku guru ini.
  • 43. 21Matematika i. 36 2 3 12 3 9 2 2 2 2 2 x y x y x y x y ×( ) ×         ÷ ( )        j. −( ) × −( ) × − ( )         ÷ − ( )         p q r p q pqr qr 3 2 3 2 3 3 2 3 2 12 3. Hitunglah hasil operasi bilangan berpangkat berikut. a. −       × −       2 3 1 2 1 6 4 2 b. −( ) ×       ×       ×      5 1 15 10 3 9 5 3 2 4 5 c. 3 24 2 3 x y x × × (2y)2 ; untuk x = 2 dan y = 3 d. 2 3 3 4 2 3 2 x y xy       ×       −( ) untuk x = 1 2 dan y = 1 3 e. 3 3 2 3 4 2 4 2 2 2 p p q q p × −( ) −( ) × −( ) ×       ; untuk p = 4 dan q = 6 f. x y x y x y x y y 3 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 2 +       −       + +( ) − − − − − untuk x = 1 2 dan y = 1 2 4. Hitunglah 1 2 3 4 1 3 5 7 4 4 4 4 4 4 4 4 − − − − − − − − + + + + + + + + ... ... 5. Sederhanakanlah a b a b a b a b 5 3 1 2 2 3 3 2 7 6 1 2 2 3 − − . 6. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut a. 2x = 8 b. 4x = 0,125 c. 2 5 1       = x 7. Tentukan hasil dari 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n + + ( ) − × × 8. Misalkan kamu diminta menghitung 764 . Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan temanmu. Pemenang di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur mengalikan yang paling sedikit perkaliannya untuk menghitung 764 . Apakah prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun? 9. Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan angka satuan dari 71234 + 72341 + 73412 + 74123 tanpa menghitung tuntas!
  • 44. 22 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Projek Bilangan yang terlalu besar atau terlalu kecil sering dituliskan dalam notasi eksponen yang dituliskan sebagai a E b yang nilainya adalah a × 10b . Sehingga 0,000052 ditulis sebagai 5,2 E 5. Cari besaran- besaran fisika, kimia, astronomi, dan ekonomi yang nilainya dinyatakan dengan notasi eksponen. Misalkan kecepatan cahaya adalah 300.000 km/det, sehingga dalam notasi eksponen ditulis sebagai 3 E 8 m/det. 6. Bentuk Akar Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan kebalikan dari pemangkatan suatu bilangan. Akar dilambangkan dengan notasi ” ”. Definisi 1.6 Misalkan a bilangan real dengan a > 0, p q adalah bilangan pecahan dengan q ≠ 0. q ≥ 2. a p q = c, sehingga c = apq atau a p q = apq 10. Tentukan angka satuan dari 6 26 62 ( )( ) berdasarkan sifat bilangan 6, tanpa menghitung tuntas.Selanjutnya lakukan hal tersebut berdasarkan sifat angka 2, 3, 4, 5, 8, 9. 11. Tunjukkan bahwa 12001 + 22001 + 32001 + … + 20012001 adalah kelipatan 13. 12. Bagaimana cara termudah untuk mencari 3 10 5 2 5 6 3 2 2008 2013 2012 2011 2012 2010 2009 2008 + ×( ) + ×( ) . Tugas proyek diberikan sebagai tugas individu untuk menginformasikan kepada siswa bahawa be- lajar eksponen sangat di- perlukan dalam perkem- bangan ilmu dan dalam menyelesaikan perma- salahan kehidupan. Berdasarkan penyelesa- ian masalah dan konsep yang sudah dipelajari se- belumnya arahkan siswa untuk dapat mendefinisi- kan definisi-definisi beri- kut.
  • 45. 23Matematika Perhatikan permasalahan berikut. Masalah-1.4 Seorang ahli ekonomi menemukan hubungan antara harga (h) dan banyak barang (b) yang dinyatakan dalam persamaan h b= 3 23 . Jika nilai b = 8, maka berapa nilai h? Alternatif Penyelesaian h b h h h h = ⇔ = ⇔ = ⇔ = × × = × ⇔ = 3 3 8 3 64 3 4 4 4 3 4 12 23 23 3 3 Akar ke-n atau akar pangkat n dari suatu bilangan a dituliskan sebagai an , dengan a adalah bilangan pokok/ basis dan n adalah indeks/eksponen akar. Bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat dan sebaliknya. Sebelum mempelajari bentuk akar, kamu harus memahami konsep bilangan rasional dan irrasional terlebih dahulu. Bilangan rasional berbeda dengan bilangan irrasional. Bilanganrasionaladalahbilanganrealyangdapatdinyatakan dalam bentuk a b , dengan a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. Karena itu, bilangan rasional terdiri atas bilangan bulat, bilangan pecahan biasa, dan bilangan pecahan campuran. Sedangkan bilangan irasional adalah bilangan real yang bukan bilangan rasional. Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak berhingga dan tak berpola. Contoh bilangan irasional, misalnya 2 = 1,414213562373..., e = 2,718..., dan � = 3,141592653… Selanjutnya minta siswa mengamati masalah 1.4 dan menghimpun informa- si yang terkandung pada masalah tersebut. Mem- beri kesempatan kepada siswa menganalisis dan memunculkan ide-ide dan pertanyaan-pertanyaan sekitar masalah yang dia- jukan sebagai pengantar kepada siswa tentang kon- sep bentuk akar. Jelaskan perbedaan bilan- gan rasional dan irasional pada siswa. Berikan be- berapa contoh untuk me- mahami konsep bilangan rasional dan irasional.
  • 46. 24 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Bilangan irasional yang menggunakan tanda akar ( ) dinamakan bentuk akar. Tetapi ingat, tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bilangan irasional. Contoh: 25 dan 64 bukan bentuk akar, karena nilai 25 adalah 5 dan nilai 64 adalah 8, keduanya bukan bilangan irasional. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut. 1. 20 adalah bentuk akar 2. 273 bukan bentuk akar, karena 273 = 3 7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Perlu diketahui bahwa bilangan berpangkat memiliki hubungan dengan bentuk akar. Berdasarkan Sifat-4, jika a adalah bilangan real dengan a > 0, p n dan m n adalah bilangan pecahan dengan n ≠ 0, maka a a a m n p n m p n             =( ) + . Dengan demikian p p p 1 2 1 2 1 2 1 2 × = + = p dan perhatikan bahwa p p p× = , sehingga dapat disimpulkan p p 1 2 = . Perhatikan untuk kasus di bawah ini p p p p 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 × × = + + = p1 = p dan perhatikan juga bahwa p p p p3 3 3× × = , sehingga berdasarkan Definisi 1.6 disimpulkan p p 1 3 3= . Ajak siswa memahami pengertian bentuk akar melalui contoh dan bukan contoh. Gunakan contoh dan bukan contoh bentuk akar yang tertera pada buku siswa. Minta siswa mengamati hubungan bentuk akar dengan bilangan ber- pangkat menggunakan sifat-sifat yang sudah di- pelajari sebelumnya.
  • 47. 25Matematika Latihan 1.3 Cermatilah dan buktikan apakah berlaku secara umum bahwa p pn n 1 = . Perhatikan bahwa p p p 2 3 2 3 2 3 ´ ´ = p2 , sehingga berdasarkan sifat perkalian bilangan berpangkat diperoleh: p 2 3 3       = p2 Ingat, (pm )n = pm × n dapat diubah, p p 2 3 23 = . Secaraumumdapatdisimpulkanbahwa p p p m n mn n m = =( ) sebagaimana diberikan pada Definisi-1.6. 8. Operasi pada Bentuk Akar a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akarnya senama. Bentuk akar senama adalah bentuk akar yang mempunyai eksponen dan basis sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r ≥ 0 berlaku sifat-sifat berikut. p r q r p q r p r q r p q r n n n n n n + = +( ) − = −( ) Perhatikan contoh berikut ini! Minta siswa untuk me- nyelesaikan Latihan 1.3 dengan caranya sendiri . Jawaban yang diharapkan dari siswa, bahwa per- nyataan pada Latihan 1.3 berlaku untuk n bilangan bulat positif dan p ≥ 0. Operasi pada bentuk akar yang digunakan dalam pembelajaran ini adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
  • 48. 26 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Contoh 1.6 Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut dalam bentuk yang sederhana! 1. 3 5 4 5 3 4 5 7 5 + = +( ) = 2. 5 3+ (tidak dapat disederhanakan karena akarnya tidak senama) 3. 2 4 3 4 2 3 4 4 3 3 3 3 − = −( ) = − 4. 3 3 1 2 3 3 3 3 x x x x − = −( ) = b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar Pada pangkat pecahan telah dinyatakan bahwa a a p q pq = . Sifat perkalian dan pembagian bentuk akar dapat dicermati pada beberapa contoh berikut. Contoh 1.7 1) 8 2 2 2 23 33 3 3 1 = = = = 2) 64 2 2 2 26 66 6 6 1 = = = = 3) 4 5 2 7 4 2 5 7 8 353 3 3 3 × = ×( ) ×( )= 4) 3 5 5 5 3 5 5 5 15 5 15 55 7 1 5 1 7 12 35 1235 × = ×( ) ×       =       = 5) 3 4 4 5 3 4 4 5 3 3 3= 6) 2 3 3 5 2 3 3 5 4 4 4= Ajak siswa mengerjakan Latihan 1.4. Cek kebena- ran hasil kerja siswa, dengan meminta beberapa siswa menyajikan hasil kerja di depan kelas. Ha- sil kerja yang diharapkan dari siswa adalah Jelaskan beberapa con- toh berikut untuk me- latih siswa menerapkan berbagai aturan terkait operasi aljabar dalam bentuk akar. Ajukan ber- bagai pertanyaan pada siswa untuk menguji pemahaman mereka.
  • 49. 27Matematika Latihan 1.4 1) Buktikan bahwa jika a bilangan real dan a > 0, maka ann = a. 2) Buktikan bahwa jika a, b, c, dan d bilangan real, c > 0 dan d > 0, maka a c b d ab cdn n n × = . 3) Buktikan bahwa jika a, b, c, dan d bilangan real, c > 0 dan d > 0, maka a c b d a b c d n n n= . c. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar seperti 2 5 3 7 2 6, , ,+ − , dan seterusnya merupakan bilangan irasional. Jika bentuk akar tersebut menjadi penyebut pada suatu pecahan, maka dikatakan sebagai penyebut irasional. Penyebut dalam bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk pangkat rasional. Cara merasionalkan penyebut bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan dengan bentuk akar sekawannya. Proses ini dinamakan merasionalkan penyebut. 1) Merasionalkan bentuk p q Bentuk p q dirasionalkan dengan cara mengalikannya dengan q q . p q p q q q p q q= =. 1) a > 0 a a a ann n n= = =1 (terbukti) 2) a, b, c, dan d bilangan real, c > 0 dan d > 0 c d a c b d ab c d ab cd n n n n n n × =         ×         = ×( ) = 1 1 1 (terbukti) 3) a, b, c, dan d bilangan real, c > 0 dan d > 0 a c b d a c b d a b c d a b c d n n n n n n = ( ) ( ) = ×       = 1 1 1 (terbukti) Latih siswa merasion- alkan berbagai bentuk akar mengalikan dengan bentuk akar sekawannya melalui berbagai contoh yang bervariasi, antara lain bentuk
  • 50. 28 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Diskusi Menurutmu mengapa penyebut bilangan pecahan berbentuk akar harus dirasionalkan? Mengapa kita harus mengalikan p q dengan q q ? Karena q selalu positif, maka q q = 1. Jadi perkalian p q dengan q q tidak akan mengubah nilai p q namun menyebabkan penyebut menjadi bilangan rasional. 2) Merasionalkan bentuk r p q r p q r p q r p q+ − + − , , , dan Sebelum kita merasionalkan bentuk-bentuk akar di atas, perlu kita pahami bentuk-bentuk campuran bilangan rasional dan bilangan irasional. a) Jika bilangan rasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan irasional. Contoh 2 + 7 = 2 + 2,645751.... = 4, 645751... (bilangan irasional). b) Jika bilangan irasional dijumlahkan dengan bilangan irasional maka hasilnya bilangan irasional atau rasional, Contoh (1) 5 + 7 = 2,236068.... + 2,645575... = 4,881643... (bilangan irasional), (2) 2 5 + (-2 5 ) = 0 (bilangan rasional). Jika dua bilangan irasional dikurangkan, bagaimana hasilnya? c) Jika bilangan rasional dikalikan dengan bilangan irrasional, maka hasilnya bilangan rasional atau irasional. Contoh. 0 2× = 0 (0 adalah bilangan p q r p q r p q r p q dan r p q , , , + − + − Selanjutnya jelaskan Con- toh 1.8 dan Contoh 1.9 yang tersedia pada buku siswa.
  • 51. 29Matematika rasional) atau 2 5 2 5× = adalah bilangan irasional d) Jika bilangan irasional dikalikan dengan bilangan irasional, maka hasilnya dapat bilangan rasional atau bilangan irasional. Contoh: • 5 × 125 = 5 × 5 5 = 25 (25 adalah bilangan rasional) • 3 5 15× = ( 15 adalah bilangan irasional) e) an disebut bentuk akar apabila hasil akarpangkat n dari a adalah bilangan irasional. Untuk merasionalkan bentuk r p q r p q+ − , , r p q+ , dan r p q− . dapat dilakukan dengan memperhatikan sifat perkalian (a + b) (a – b) = a2 – b2 , sehingga p q p q p q p q p q p q p q p q +( ) −( )= ( ) − ( ) = − +( ) −( )= − ( ) = − 2 2 2 2 2 Bentuk p q+( ) dan bentuk p q−( ) saling sekawan, bentuk p q+( ) dan p q−( )juga saling sekawan. Jika perkalian bentuk sekawan tersebut dilakukan maka dapat merasionalkan bentuk akar. Untuk p, q dan r bilangan real. r p q r p q p q p q r p q p q+( ) = +( ) −( ) −( ) = −( ) −( ) . 2 dimana q ≥ 0 dan p2 ≠ q.
  • 52. 30 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi r p q r p q p q p q r p q p q−( ) = −( ) +( ) +( ) = +( ) −( ) . 2 dimana q ≥ 0 dan p2 ≠ q. r p q r p q p q p q r p q p q+( ) = +( ) −( ) −( ) = −( ) −( ) . dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q r p q r p q p q p q r p q p q−( ) = −( ) +( ) +( ) = +( ) −( ) . dimana p ≥ 0, q ≥ 0 dan p ≠ q Contoh 1.8 Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. a. 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2− = − × + + = + − + 2 3 2 3 2 3 2 ( ) ( )( ) = +( ) − = + = + 2 3 2 9 2 6 2 2 7 6 7 2 7 7 b. 3 6 3 3 6 3 6 3 6 3 3 6 3 6 3 6 3 + = + × − − = −( ) +( ) −( )
  • 53. 31Matematika = − − = − = − 18 3 3 36 3 18 3 3 33 6 11 3 11 c. 4 7 5 4 7 5 7 5 7 5 4 7 5 7 5 7 5 4 7 5 7 5 4 7 4 5 2 2 7 2 5 − = − × + + = +( ) −( ) +( ) = +( ) −( ) = + = + Contoh 1.9 Pikirkan cara termudah untuk menghitung jumlah bilangan- bilangan berikut 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 99 100 + + + + + + + + + =... ...? Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan cara merasionalkan penyebut tiap suku; yaitu, = 1 1 2 1 2 1 2+ × − − + 1 2 3 2 3 2 3+ × − − + 1 3 4 3 4 3 4+ × − − + Jelaskan cara mera- sionalkan bentuk akar dengan mengalikan ben- tuk sekawan sesuai penye- but dari bentuk rasional seperti pada Contoh 1.9. Beri kesempatan pada siswa untuk mencoba menguji penyelesaian soal pada contoh-contoh yang diberikan.
  • 54. 32 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi 1 4 5 4 5 4 5+ × − − + ... + 1 99 100 99 100 99 100+ × − − = 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 99 100 1 − − + − − + − − + − − + + − − ... = – 1 2 2 3 3 4 4 5 99 100 + − + − + − + − − +... = − + = − + =1 100 1 10 9 . Contoh 1.10 Tentukan nilai dari 1 3 1 3 1 3 + + +... Alternatif Penyelesaian Perhatikan pola bilangan berikut. Misalkan, P = + + + 3 1 3 1 3 ... atau P P = +3 1 ⇔ P2 – 3P – 1 = 0 Dengan mengubah ke bentuk kuadrat sempurna diperoleh: ⇔ ( )P − − = 3 2 13 4 02 ⇔ P = +6 2 13 4 Minta siswa mengamati Contoh 1.10 dan memberi kebebasan berpikir dalam menganalisis permasala- han yang diberikan. Uji pemahaman dengan men- gajukan berbagai per- tanyaan serta ingatkan kembali materi prasyarat yang dibutuhkan dalam pentelesaian soal terse- but. Bantu siswa memanfaat- kan pemisalan dan ingat- kan kembali materi persa- maan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, tentang bentuk kuadrat sempurna, agar siswa dapat melan- jutkan tugas memahami langkah penyelesaian Contoh 1.10
  • 55. 33Matematika Jadi, nilai 1 3 1 3 1 3 1 6 2 13 4 4 6 2 13 + + + = + = + ... Dengan merasionalkan bentuk tersebut, maka 4 6 2 13 4 6 2 13 6 2 13 6 2 13 4 6 2 13 16+ = + − − = − − . ( ) = −2 13 6 2 Jadi, 1 3 1 3 1 3 2 13 6 2 + + + = − ... 3) Menyederhanakan bentuk p q pq+( )± 2 Sekarang kita akan menyederhanakan bentuk akar yang mempunyai bentuk khusus; yaitu, bentuk p q pq+( )± 2 . Perhatikan proses berikut ini! Diskusikanlah masalah berikut dengan temanmu! a. p q p q+( ) +( ) b. p q p q−( ) −( ) Dari hasil kegiatan yang kamu lakukan, kamu akan memperoleh bentuk sederhananya menjadi p q pq+( )± 2 . Selanjutnya, perhatikan contoh berikut! Arahkan siswa mema- hami cara penyederha- naan bentuk akar dengan menjelaskan penyelesaian Contoh 1.11.
  • 56. 34 Buku Guru Kelas X SMA/MA/SMK/MAK Edisi Revisi Uji Kompetensi 1.2 1. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini! a. 5 15 d. 6 24 b. 2 20 e. 2 2 48 c. 3 18 f. 2 3 a a 2. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini! a. 1 5 3− d. 3 5 10− b. 4 2 4 2 − + e. xy x y+ c. 2 3 5 a a + f. 24 54 150 96 + − Contoh 1.11 Sederhanakan bentuk akar berikut ini! a. 8 2 15+ = ( )5 3 2 5 3 5 2 5 3 3+ + × = + × + = 5 3 5 3 2 +( ) = + b. 9 4 5− = 5 4 5 4 5 2 5 2 2 − + = −( ) = − Berikan soal-soal pada Uji Kompetensi 1.2 se- bagai pekerjaan rumah sesuaikan dengan materi yang telah dipelajari. Hal ini berguna untuk mengu- kur penguasaan siswa ter- hadap konsep dan prinsip matematika yang telah di- pelajari.
  • 57. 35Matematika 3. Sederhanakanlah bentuk berikut ini! a. 15 75 1 2 3 − − b. 7 2 8 11 2 8+ + − c. 4 3 2 3 2 1 5 3 2+ − − + − d . 10 5 6 12 6 7 14 7 8+ + + + + 4. Jika 2 3 2 3 6 − + = +a b , tentukan nilai a + b! 5. Sederhanakan bentuk akar berikut ini! a. 19 8 3+ b. 5 2 6+ c. 43 12 7+ d. 21 4 5− e. 18 8 2 11 6 2+ + − f. 3 14 6 5 21 12 3 − + + SOAL TANTANGAN 1. Tentukanlah nilai dari: a. 2 3 2 3 2 3 ...3333 b. 2 2 2 2 2+ + + + + ... c. 1 1 1 1 1 1 + + + ... 2. Jika a,b bilangan asli dengan a ≤ b dan 3 4 + + a b adalah bilangan rasional, tentukan pasangan (a,b). (OSN 2005/2006) 3. Nyatakan b dalam a dan c dari persamaan b c c a 3 3 = abc. 4. Sederhanakan bentuk 49 20 64 − . 5. Tentukan nilai a dan b dari 1 2 3 1 3 4 1 4 5 1 1 000 000 1 000 001 + + + + + + + + = − ... . . . . a b 6. Hitunglah 54 14 5 12 2 35 32 10 7+ + − + − = 7. Jika(3+4)(32 +42 )(34 +44 )(38 +48 ) (316 +416 ) (332 +432 ) = (4x –3y ), tentukan nilai x–y .