teoría de conjunto, números reales y desigualdades

1. TEORÍA DE CONJUNTOS,
NÚMEROS REALES Y
DESIGUALDADES
OMAR PEREIRA
27025001
SECCION: DL0412

2. DEFINICIÓNDE CONJUNTO
Un conjunto se
considera como
una colección de
objetos, llamados
miembros o
elementos del
conjunto.
Los conjuntos
numéricos son las
categorías en las que se
clasifican los números,
en función de sus
diferentes
características. Por
ejemplo, si tienen o no
una parte decimal, o si
poseen un signo
negativo delante.
En
matemática
Llamaremos A al
conjunto.
a,b,c son elementos
del con A, aso
creamos el
conjunto:
𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑨 ⟺ 𝑨
= {𝒂, 𝒃, 𝒄}

3. Operaciones con
conjuntos
Las operaciones
con conjuntos
también conocidas
como álgebra de
conjuntos, nos
permiten realizar
operaciones sobre
los conjuntos para
obtener otro
conjunto. De las
operaciones con
conjuntos veremos
las siguientes:
 Unión (∪):dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será
otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B
sin repetir ningún elemento.
Dado los conjuntos 𝐴 = {1,2,3} y 𝐵 = {2,4,5}
𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5}
 Intersección(∩) : dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y
B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes,
los elementos no comunes A y B, será excluidos
Dados los conjuntos 𝐴 = 1,3,5,7,9 y 𝐵 = {1,2,5,6,7}
𝐴 ∩ 𝐵 = {1,5,7, }
 Diferencia (−):dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos
entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B.
Dados los conjuntos 𝐴 = 11,3,0,7 y 𝐵 = 3, 69,8,0
𝐴 − 𝐵 = {11,7} y 𝐵 − 𝐴 = {69,8}
 Diferencia Simétrica △:dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica
estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B.
Dado los conjuntos 𝑨 = 𝟑𝟏, 𝟒𝟓, 𝟐𝟔, 𝟏𝟎𝟕, 𝟗 y 𝑩 = {𝟖, 𝟒𝟓, 𝟏𝟗, 𝟏𝟎𝟕, 𝟐𝟐}
𝑨 △ 𝑩 = {𝟑𝟏, 𝟐𝟔, 𝟗, 𝟖, 𝟏𝟗, 𝟐𝟐}

4. Números reales
s
Conjunto realℝ
Conjunto racionalℚ
Conjunto
enteroℤ
Conjunto
naturalℕ
Conjunto
irracional
I
El conjunto de los números reales consta de números naturales,
enteros, racionales e irracionales.
Conjunto natural: estos números son todos positivos y representan
magnitudes enteras, es decir no tienen parte decimal.
ℕ = 1,2,3, … + ∞
Conjunto entero: Si a los números naturales agregamos el número 0
y los números negativos sin parte decimal obtenemos el conjunto de
los números enteros.
ℤ = {−∞ … − 2, −1,0,1,2 … + ∞}
Conjunto racional: son aquellos números que se pueden expresar
como cociente de dos números enteros, es decir, son números de la
forma a/b con a y b enteros y b≠0.
ℚ = {−∞ … , −
3
4
, −
1
2
, 0,
1
2
,
3
4
, … + ∞}
Conjunto irracional: En matemáticas, un número irracional es un
valor que no puede ser expresado como una fracción, y su expresión
decimal no es ni exacta ni periódica.​
i= {−∞ … , − 2, −𝜋, −𝑒, 0, 𝑒, 𝜋, 2, … + ∞}

5. Desigualdades e inecuaciones
es una proposición de relación
de orden existente entre dos
expresiones algebraicas
conectadas a través de los
signos:
• desigual que ≠
• mayor que >
• menor que <
• menor o igual que ≤
• así como mayor o igual que ≥
Inecuaciones: Las inecuaciones
son desigualdades algebraicas
en la que sus dos miembros se
relacionan por uno de estos
signos ya mostrados, y cuya
solución es el conjunto de
valores de la variable que la
verifica y se expresa mediante
una representación gráfica y un
intervalo.
Ejemplo:
2 𝑥 + 1 − 3 𝑥 − 2 < 𝑥 + 6
2𝑥 + 2 − 3𝑥 + 6 < 𝑥 + 6
2𝑥 − 3𝑥 + 2 + 6 < 𝑥 + 6
−𝑥 + 8 < 𝑥 + 6
2 < 2𝑥
1 < 𝑥
Así el conjunto solución de la
inecuación es (1, +∞)
1
+∞

6. Valor absoluto
El valor absoluto de un
número es su distancia desde
cero en una recta numérica .
Por ejemplo, 3 y –3 tienen el
mismo valor absoluto (3). Así,
el valor absoluto de un
número positivo es justo el
mismo número, y el valor
absoluto de un número
negativo es su opuesto.
Es así que:
−3 = 3 3 = 3
0 3
−3
Igual distancia al
origen
desigualdadcon valor
absoluto
Una desigualdad de valor absoluto
es una desigualdad que tiene un
signo de valor absoluto con una
variable dentro.
CASO MODELO SOLUCION
1 𝑎 < 𝑏 −𝑏 < 𝑎 < 𝑏
2 𝑎 ≤ 𝑏 −𝑏 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏
3 𝑎 > 𝑏 𝑎 < −𝑏 ∪ 𝑎 > 𝑏
4 𝑎 ≥ 𝑏 𝑎 ≤ −𝑏 ∪ 𝑎 ≥ 𝑏

7. Inecuaciones con valor absoluto
1) 3𝑥 − 7 < 5
⟹ −5 < 3𝑥 − 7 < 5
⟹ −5 + 7 < 3𝑥 < 5 + 7
⟹
2
3
< 𝑥 <
12
3
⟹
2
3
< 𝑥 < 4
Por tanto, como deben cumplirse ambas
inecuaciones, la solución de la inecuación
inicial es 𝑥 ∈ (
2
3
, 4)
2) 3𝑥 − 1 > 2𝑥
⟹ 3𝑥 − 1 > 2𝑥 ∨ 3𝑥 − 1 < −2𝑥
⟹ 3𝑥 − 2𝑥 > 1 ∨ 3𝑥 + 2𝑥 < 1
⟹ 𝑥 > 1 ∨ 5x < 1
⟹ 𝑥 > 1 ∨ 𝑥 <
1
5
Como no es necesario que se verifiquen las
dos inecuaciones simultáneamente, la
solución de la inecuación inicial es 𝑥 ∈
(−∞,
1
5
) ∪ (1, +∞)
4
2
3
1
1
5