Este documento resume cuatro casos especiales que pueden ocurrir al buscar la solución óptima de un modelo de programación lineal mediante el método gráfico: 1) Soluciones óptimas alternativas cuando la función objetivo es paralela a una restricción activa, 2) Degeneración cuando coinciden tres restricciones activas en un vértice, 3) No acotamiento cuando la región factible no tiene cota en la dirección de mejora, y 4) Infactibilidad cuando no existe solución factible debido a una nueva restricción inconsistente.

1. Técnicas de Optimización
en Modelos Organizacionales
(PS-3161)
Tema N° 4:
Solución Gráfica:Casos Especiales
Prof. Orestes G. Manzanilla Salazar
Correo: orestes@cesma.usb.ve - twitter: @proforestes - http://prof.usb.ve/omanzanilla
Dpto. de Procesos y Sistemas – Centro de Estadística y Software Matemático
Universidad Simón Bolívar ( Caracas – Venezuela )
1
Junio 2012

2. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Agenda
Repaso Solución Gráfica
Casos Especiales
 Soluciones óptimas alternativas
 No acotamiento
 Degeneración
 Infactibilidad
Utilidad y recomendaciones
2

3. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Repaso de Solución Gráfica (1)
Clases 2 a 4 MinZ(x)= c.x
s.a.: A.x ≥ b
Modelo (lineal) x ≥0
Sistema Real Formulación
del Sistema
Implantación
Solución
Clase 5
Gráfica y Analítica
Solución para Solución de
Interpretación
el Sistema Real Modelo (lineal)
s
ciale x*
Espe
asos Z(x*)=Z*
C
3

4. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Repaso de Solución Gráfica (2)
Ejemplo: Restricción:
x1 + x2 ≥ 2
MinZ(x)= -x1 + 4x2 Considero la igualdad:
s.a.: x1 + x2 ≥ 2 x2 x1 + x2 = 2
x1 + x2 ≤ 5 Ubico dos puntos:
x1 – 2x2 ≤ 0 escogo los de “corte” con los ejes, porque
2x1 – x2 ≥ 0 la recta no cruza el orígen.
x1, x2 ≥ 0 Si x1=0, entonces x2=2.
si x2=0, entonces x1=2.
Identifico semi-plano factible, probando
con un punto fácil de evaluar: (0,0).
0 + 0 ≥ 2
(0,2) No se cumple!
(2,0)
x1
Paso 1: Identificar Región Factible 4

5. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Repaso de Solución Gráfica (3)
Ejemplo: De forma análoga
x1 + x2 ≤ 5
MinZ(x)= -x1 + 4x2 Considero la igualdad:
s.a.: x1 + x2 ≥ 2 x2 x1 + x2 = 5
x1 + x2 ≤ 5 Ubico dos puntos:
x1 – 2x2 ≤ 0 escogo los de “corte” con los ejes, porque
2x1 – x2 ≥ 0 la recta no cruza el orígen.
x1, x2 ≥ 0 Si x1=0, entonces x2=5.
(0,5) si x2=0, entonces x1=5.
Identifico semi-plano factible, probando
con un punto fácil de evaluar: (0,0).
0 + 0 ≤ 5
Se cumple!
(5,0)
x1
Paso 1: Identificar Región Factible 5

6. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Repaso de Solución Gráfica (4)
De forma similar
Ejemplo:
MinZ(x)= -x1 + 4x2 x1 - 2x2 ≤ 0
s.a.: x1 + x2 ≥ 2 Considero la igualdad:
x2
x1 + x2 ≤ 5 x1 - 2x2 = 0
x1 – 2x2 ≤ 0 Ubico dos puntos:
2x1 – x2 ≥ 0 Uno es el orígen, puesto que la ordenada
x1, x2 ≥ 0 en el orígen es 0 (término constante).
Para obtener otro punto, supongo x1: Si
x1=2, entonces x2=1.
Identifico semi-plano factible, probando
con un punto fácil de evaluar: (1,0).
1 + 2.0 ≤ 0
No se cumple!
(2,1)
(0,0)
x1
Paso 1: Identificar Región Factible 6

7. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Repaso de Solución Gráfica (5)
De forma análoga
Ejemplo:
MinZ(x)= -x1 + 4x2 2x1 - x2 ≥ 0
s.a.: x1 + x2 ≥ 2 Considero la igualdad:
x2
x1 + x2 ≤ 5 2x1 - x2 = 0
x1 – 2x2 ≤ 0 Ubico dos puntos:
2x1 – x2 ≥ 0 Uno es el orígen, puesto que la ordenada
x1, x2 ≥ 0 en el orígen es 0 (término constante).
Para obtener otro punto, supongo x1: Si
x1=1, entonces x2=2.
Identifico semi-plano factible, probando
con un punto fácil de evaluar: (1,0).
2.1 + 2.0 ≥ 0
Se cumple!
(1,2)
(0,0)
x1
Paso 1: Identificar Región Factible 7

8. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Repaso de Solución Gráfica (6)
Ejemplo:
MinZ(x)= -x1 + 4x2
s.a.: x1 + x2 ≥ 2 x2
x1 + x2 ≤ 5
x1 – 2x2 ≤ 0
2x1 – x2 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
fac gión
le
t ib
Re
x1
Paso 1: Identificar Región Factible 8

9. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Repaso de Solución Gráfica (7)
Ejemplo: Necesitamos un 2do punto. Suponemos x2=4
MinZ(x)= -x1 + 4x2 y conseguimos x1:
s.a.: x1 + x2 ≥ 2 Si x2=4, entonces -x1 + 4.4 =15
x2
x1 + x2 ≤ 5 (1,4) 16 – 15 = x1
x1 – 2x2 ≤ 0 x1 = 1
2x1 – x2 ≥ 0 Z=15
x1, x2 ≥ 0
(5,5)
Evaluamos la función objetivo en
un punto cualquiera del dibujo. (1,4)
Por ejemplo: (5,5).
Z(5,5)= -5 + 4.5 = 15
Queremos dibujar todos los
lugares donde
Z(x) = 15
-x1 + 4.x2 = 15
x1
Paso 1: Identificar dirección de mejora 9

10. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Repaso de Solución Gráfica (8)
Ejemplo:
MinZ(x)= -x1 + 4x2
s.a.: x1 + x2 ≥ 2 x2
x1 + x2 ≤ 5 (1,4)
x1 – 2x2 ≤ 0
2x1 – x2 ≥ 0 Z=15
x1, x2 ≥ 0
mejor
Necesitamos identificar la
)= 0
dirección de mejora. (0,0
Z
a
Probamos con un punto fácil
de evaluar, como el (0,0):
Z(0,0) = 0 < 15
Es mejor!
x1
Paso 1: Identificar dirección de mejora 10

11. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Repaso de Solución Gráfica (9)
Interceptando las ecuaciones
Ejemplo: correspondientes a las
MinZ(x)= -x1 + 4x2 restricciones activas en x*,
s.a.: x1 + x2 ≥ 2 x2 se obtienen los valores x1*
x1 + x2 ≤ 5 y x2*. Sustituyéndolos en Z,
x1 – 2x2 ≤ 0 se obtendrá Z*
2x1 – x2 ≥ 0 Z=15
x1, x2 ≥ 0
La dirección de mejora nos
mejor
sirve para encontrar cuál es
la última línea de iso-costo Z=15
a
(o iso-ganancia) en esa
dirección, que toca al menos
en un punto a la región x* (4/3, 2/3)
factible
x1
Paso 1: Moverse hasta alcanzar el óptimo (punto extremo) 11

12. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Casos Especiales
Son situaciones atípicas que se producen al buscar una solución a un modelo
de PL. En particular, no ocurre lo usual:
x2
Solución en un
vértice único y
factible
Z=15
x*
12

13. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Caso 1: Soluciones óptimas alternativas
Si en el ejemplo, cambiamos la función objetivo, de
forma que sea paralela a una de las restricciones
MinZ(x)= -x1 + 2x2
4x2 “activas” en el óptimo….
s.a.: x1 + x2 ≥ 2 x2
x1 + x2 ≤ 5 Se dice que el óptimo es el conjunto de las x
x1 – 2x2 ≤ 0 pertenecen a la ecuación de la restricción
2x1 – x2 ≥ 0 coincidente, limitado en rango en alguna de las
x1, x2 ≥ 0 dimensiones:
Veremos en el dibujo que el x*={x/(4/3 ≤ x1 ≤ 10/3)^(x1-2x2=0)}
óptimo son TODOS los puntos Al usuario habrá que
factibles de la restricción que aclararle cuáles son las
coincide con la línea de iso- soluciones óptimas
costo que pasa por el óptimo. alternativas, pues aunque
x* matemáticamente sean
Se debe calcular el otro vértice (10/3, 5/3)
del polihedro factible que igualmente preferibles,
x*
pertenece al óptimo. en la práctica del sistema
(4/3, 2/3) real, podría haber alguna
preferencia subjetiva13

14. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Caso 2: Degeneración (1)
Si en el ejemplo, cambiamos la restricción “azul”, de tal forma que pasara
por el óptimo también….
El óptimo será al mismo
tiempo: x2
• el vértice que forma la
recta “azul” con la
“verde”
• el vértice que forma la
recta “azul” con la
“magenta”
• el vértice que forma la
recta “verde” con la
“magenta” Z=15
x*
(4/3, 2/3)
14

15. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Caso 2: Degeneración (2)
Matemáticamente, el óptimo estaría al mismo tiempo en 3 Adicionalmente, siempre una
“vértices” diferentes, con igual valor de Z y de Variables de las restricciones es
de Decisión. redundante, cuando el
problema es de dos variables.
x2 Si el problema tiene “n”
x* x* variables de decisión, la
Degeneracion ocurre al
coincidir “m” restricciones
x* activas en el óptimo, donde
Sin embargo no es la misma solución. Los m>n. Las restricciones
algoritmos deben incluír un ajuste para evitar redundantes serían en total
un ciclo infinito entre estros “tres vértices”. m-n.
Z=15
x*
(4/3, 2/3)
15

16. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Caso 3: No Acotamiento
Si en el ejemplo, cambiamos la función objetivo para que su dirección de
mejora sea otra, y eliminamos una restricción….
MinZ(x)= -x1 +
x1 x2
4x2 Si la dirección de mejora coincide con ser una dirección en la
s.a.: x1 + x2 ≥ 2 que la región factible carece de cota, jamás se llega a un
x2
x1 + x2 ≤ 5 óptimo. Para cuaquier iso-costo que se elija, podrá encontrase
x1 – 2x2 ≤ 0 una línea mejor.
2x1 – x2 ≥ 0 Región factible no acotada
x1, x2 ≥ 0
Se le puede
aconsejar al usuario m ej
o al grupo de trabajo ora
que considere la
posibilidad de
agregar más
restricciones al
problema.
16 x1

17. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Caso 4: Infactibilidad
En el ejemplo anterior, puede agregarse una nueva restricción…
(ver nueva restricción en “rojo”)
No existe ningún
x2
posible vector “x” que
pueda satisfacer al
mismo tiempo esa
restricción, y las 4
restricciones originales.
El usuario y el analista de
optimización deben estudiar el
sistema, y probar una
formulación en la que se
“relaje” alguna(s)
restricción(es), minimizando
desviaciones (Programación de
Metas / Goal Programming) 17

18. PS3161 – Técnicas de Optimización en Modelos Organizacionales / O.Manzanilla 2011
Utilidad y Recomendaciones
Permite identificar la naturaleza de las situaciones atípicas que pueden
presentarse.
Hace la interpretación de las salidas de los paquetes computacionales más
sencilla.
Permite detectar problemas en la formulación
 Falta alguna restricción importante
 Hay diversidad en las posibles soluciones óptimas
 Hay restricciones de más o parámetros mal estimados
 Hay posibles problemas computacionales
 Sobra alguna restricción
Se recomienda realizar al menos un ejercicio de graficación de cada Caso
Especial.
Se recomienda repasar los Casos Especiales antes de la clase de Dualidad
y Análisis de Sensibilidad
18