1. Jatkuvista ei-missään derivoituvista
funktioista
PAAVO HEISKANEN, FM, matemaattisten aineiden opettaja, Nurmijärven ammattiopisto
Ajatus funktioista, jotka olisivat kaikkialla jatkuvia
mutta eivät olisi derivoituvia yhdessäkään pisteessä
saattaa tuntua oudolta. Tämä johtunee siitä, että
valtaosa jatkuvista funktiosta, jotka tulevat vastaan
lukiossa tai analyysin peruskursseilla yliopistossa,
ovat derivoituvia lukuun ottamatta mahdollisia yksittäisiä pisteitä. Jatkuvia funktioita, jotka eivät ole
yhdessäkään pisteessä derivoituvia, on kuitenkin
olemassa. Tarkastelen artikkelissani, minkälaisia
tällaiset funktiot ovat rakenteeltaan ja esittelen tarkemmin Weierstrassin funktiota, joka on klassinen
esimerkki tällaisesta patologisesta funktiosta. Lisäksi esittelen näiden funktioiden historiaa ja kuinka
paljon niitä oikeastaan onkaan; ovatko ne enemmän
sääntö vai poikkeus.
Matemaatikot 1700-luvun lopulla ja 1800-luvun alkupuolella laskivat täsmällisesti määritettyjen funktioiden
derivaattoja, mikä onnistui yleensä hyvin muutamia
pisteitä lukuun ottamatta. Tämä saikin matemaatikot
uskomaan, että jatkuvat funktiot olisivat derivoituvia
lukuun ottamatta yksittäisiä pisteitä. Ranskalainen
matemaatikko ja fyysikko André-Marie Ampère yritti
jopa todistaa tämän teoreettisesti vuonna 1806. Käsitys jatkuvien funktioiden derivoituvuudesta muuttui
kuitenkin lopullisesti, kun saksalainen matemaatikko Karl Weierstrass esitti heinäkuussa 1872 luennollaan Berliinin tiedeakatemiassa esimerkin jatkuvasta
funktiosta, jolla ei ole derivaattaa missään pisteessä. Tämä tunnetaan Weierstrassin funktion nimellä.
Funktio julkaistiin vuonna 1875 Journal für die reine
und angewandte Mathematik -lehdessä, jolloin siitä tuli ensimmäinen julkaistu jatkuva ei-missään derivoituva
funktio, lyhyesti CND-funktio (Continuous Nowhere
Differentiable). Tämän takia sitä usein pidetään ensimmäisenä esimerkkinä CND-funktiosta. Ks. Thim
(2003, s.4-5, s.20–22).
Weierstrassin funktio ei kuitenkaan ollut ensimmäinen tällainen funktio vaan muita esimerkkejä oli keksitty jo aikaisemmin. Ilmeisesti ensimmäiset CND-funkiot esittivät tšekkiläinen matemaatikko Bernhard Bolzano noin vuonna 1830 ja sveitsiläinen matemaatikko Charles Cellérier vuonna 1860.
Heidän esittämiensä funktioiden merkitys jäi kuiten-
kin pieneksi, koska ne julkaistiin vasta Weierstrassin
funktion julkaisemisen jälkeen, joten ne jäivät heidän aikansa matemaatikoilta huomaamatta. Ks. Veselý (2003, s.2-3).
Weierstrassin funktion rakenne
Weierstrassin funktio W: → määritellään äärettömänä summana kosini-funktioita seuraavasti:
∞
W( x) = ∑ b k cos( a kπ x) ,
k =0
missä 0 < b < 1 ja a on pariton positiivinen kokonaisluku siten, että ab > 1 + 3π/2. Tällöin W on jatkuva ja rajoitettu :ssä mutta ei ole derivoituva missään pisteessä.
Tarkastellaan Weierstrassin funktiota arvoilla a = 7
ja a = 0,9 , eli funktiota
∞
W( x) = ∑ 0,9k cos(7k π x) .
k =0
Tutkitaan mitä funktion osasummille
n −1
Sn = ∑ 0,9k cos(7k π x)
k =0
tapahtuu välillä [–1,1] , kun n:n arvo kasvaa. Piirretään
aluksi osasumman S1 = cos(πx) kuvaaja (Kuva 1).
1
0.5
0
-0.5
-0.5
0
0.5
1
Kuva 1 Weierstrassin funktion osasumma S1 välillä [–1, 1].
D i m e n s i o 1/2007 25

2. Piirretään seuraavaksi osasumma S2 = cos(πx)
+ 0,9cos(7πx) (Kuva 2). Kuvasta nähdään selvästi,
kuinka Weierstrassin funktion huiput muuttuvat terävämmiksi. Havaitaan, että yhden huipun tilalle muodostuu seitsemän huippua (huomaa, että a = 7 ).
1.5
monta epäderivoituvuuskohtaa mille tahansa välille. Piirrettäessä esimerkiksi osasumma S51 = cos(πx)
+0,9cos(7πx) + 0,92cos(72πx) +...+ 0,950cos(750πx)
(Kuva 4) näkyy jo selvästi, kuinka ”sahalaitaisuus” käy
yhä tiheämmäksi, huiput käyvät yhä jyrkemmiksi ja
funktioon alkaa muodostua selvästi ”piikkejä” eli epäderivoituvuuskohtia.
10
1
0.5
5
0
-0.5
0
-1
-1.5
-5
-1
-0.5
0
0.5
1
Kuva 2 Weierstassin funktion osasumma S2 välillä [–1, 1].
Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta n:n arvolla 3, eli osasummaa S3 = cos(πx) + 0,9cos(7πx) +
0,92cos(72πx) (Kuva 3). Havaitaan sama ilmiö kuin
edellä, eli kuvaajan huiput muuttuvat yhä terävämmiksi ja niiden määrä kasvaa entisestään. Jälleen yhden huipun tilalle muodostuu seitsemän huippua.
2
-1
-0.5
0
0.5
1
Kuva 4 Weierstassin funktion osasumma S51 välillä [–1, 1].
Tasoittuuko funktion rakenne
Tarkastellaan seuraavaksi osasummaa S51 hieman tarkemmin. Tarkoituksena on tutkia tasoittuvatko funktion piikit, mikäli tarkennamme kuvaa pienemmälle
alueelle. Tarkennetaan kuvaa aluksi välille [–0,1, 0,1]
(Kuva 5). Funktion rakenne pysyy edelleen yhtä sahalaitaisena, eivätkä piikit näytä tasoittuvan lainkaan.
1
10
0
8
-1
6
4
-2
2
-1
-0.5
0
0.5
1
Kuva 3 Weierstassin funktion osasumma S3 välillä [–1, 1].
0
Osasummien S1, S2 ja S3 kuvien perusteella voidaan havaita, että mitä suurempia arvoja n saa eli
mitä pidemmälle summausta jatketaan, sitä terävämmiksi huiput käyvät ja sitä tiheämmässä niitä on. Näin
käy, koska jokaisen huipun tilalle muodostuu seitsemän uutta huippua aina n:n arvon kasvaessa yhdellä.
Tällöin voidaan kuvitella, että kun n kasvaa rajatta,
huippuja on äärettömän tiheässä ja niistä tulee äärettömän teräviä. Funktioon muodostuu siis äärettömän
-0.1
26 D i m e n s i o 1/2007
-0.05
0
0.05
0.1
Kuva 5 Weierstrassin funktion osasumma S51 välillä
[–0,1, 0,1].
Otetaan kuvasta edelleen kymmenkertainen suurennos, ja piirretään osasumman kuvaaja välillä
[–0,01, 0,01] (Kuva 6). Vieläkään funktion rakenteessa ei ole havaittavissa tasoittumista, vaan se pysyy yhtä ”sahalaitaisena”.

3. Muita esimerkkejä CND-funktiosta
10
8
6
4
2
0
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Kuva 6: Weierstrassin funktion osasumma S51 välillä
[–0,01, 0,01].
Tarkennetaan kuvaajaa edelleen kymmenkertaisesti ja piirretään osasumman kuvaaja välillä
[–0,001, 0,001] (Kuva 7). Edelleen funktion rakenne säilyy samanlaisena.
10
8
Bolzano esitti oman esimerkkinsä CND-funktiosta
noin vuonna 1830 teoksessaan Functionenlehre, jota
ei kuitenkaan julkaistu vielä tuolloin. Hänen esimerkkinsä julkaistiin vasta vuonna 1922 Karel Rychlíkin
tutkielmassa Tšekin kuninkaallisessa tiedeakatemiassa,
ja teos Functionenlehre julkaistiin vasta vuonna 1930
(Hykšová, s.5-8). Bolzanon funktio perustuu geometriseen konstruktioon eikä sarjoihin, joihin useimmat
CDN-funktiot perustuvat. Funktio määritellään jonona
paloittain lineaarisia funktioita {Bn(x)} , jotka suppenevat kohti CND-funktiota, kun n → ∞ . Tarkastellaan funktion rakentumista kuvan avulla tilanteessa,
jossa määrittelyjoukko [a,b] = [0,10] ja arvojoukko
[A,B] = [0,10] (Kuva 8). Samaan tapaan jatkettaessa
funktion piikkien määrä kasvaa yhä suuremmaksi ja
suuremmaksi. Kun tarkastellaan funktiota B = lim Bn ,
n →∞
saadaan funktio, joka on jatkuva mutta epäderivoituva
jokaisessa pisteessä määrittelyvälillään. Bolzanon funktio voidaan yleistää myös kaikille reaaliluvuille, jolloin
siitä tulee CND- funktio. Tarkempi määrittely löytyy
esimerkiksi lähteestä Thim (2003, s. 11-17).
10
6
8
6
4
4
2
2
2
-0.001
-0.0005
0
0.0005
0.001
Kuva 7 Weierstrassin funktion osasumma S51 välillä
[–0,001, 0,001].
Vaikka Weierstrassin funktiosta on tarkasteltu vain
osasummaa S51 , funktion rakenne ei näytä tasoittuvan, huolimatta siitä että kuvaajasta tutkittaisiin yhä
pienempää osaa. Edellisistä tarkasteluista voidaan havaita, että Weierstrassin funktiolle tulee äärettömän
monta piikkiä eli epäderivoituvuuskohtaa mille tahansa välille, kun n kasvaa rajatta. Näin ollen saadaan funktio, joka ei ole derivoituva missään pisteessä mutta on kuitenkin jatkuvien funktioiden tasaisena raja-arvona jatkuva. Analyyttinen todistus tälle
löytyy esimerkiksi lähteestä Heiskanen (2006). Tässä vaiheessa on hyvä muistaa, että kaikki edellä piirretyt osasummat ovat itse asiassa kaikkialla derivoituvia derivoituvien funktioiden äärellisinä summina.
Tarkastelemalla osasummien rakennetta voidaan kuitenkin ymmärtää kuinka Weierstrassin funktio rakentuu ja miksi siitä tulee CND-funktio.
4
6
8
10
Kuva 8 Bolzanon jonon kaksi ensimmäistä jäsentä B1 (katkoviiva) ja B2 (yhtenäinen viiva).
Vuonna 1903 japanilainen Teiji Takagi esitti esimerkin CND-funktiosta (Kuva 9), joka on Weierstrassin funktiota ”yksinkertaisempi”. Weierstrassin funktiossa esiintyvä trigonometrinen funktio on korvattu
etäisyysfunktiolla, jossa tarkastellaan termin 2kx pienintä etäisyyttä lähimmästä kokonaisluvusta. Takagin
funktio T: → määritellään seuraavasti:
1
inf 2k x − m .
k m∈
k =0 2
∞
T( x) = ∑
06
.
05
.
04
.
03
.
02
.
01
.
02
.
04
.
06
.
08
.
1
Kuva 9 Takagin funktion T osasumma S10 välillä [0, 1].
D i m e n s i o 1/2007 27

4. Vuonna 1930 Bartel Leendert van der Waerden
julkaisi samantyyppisen funktion (Kuva 10) ilmeisesti tuntematta Takagin funktiota. Van der Waerdenin
funktio V: → määritellään seuraavasti:
1
inf 10 k x − m .
k m∈
k = 0 10
∞
V( x) = ∑
0.5
Tarkastellaan vielä lyhyesti yhtä esimerkkiä kuluvalta vuosituhannelta. Kiinalainen matemaatikko
Liu Wen (2002) julkaisi vuonna 2002 CND-funktion,
joka perustuu äärettömään tuloon eikä äärettömään
summaan kuten monet muut esimerkit. Wenin funktio L: → määritellään
∞
L( x) = ∏(1 + a n sin(b nπ x)) ,
0.4
n =1
0.3
∞
n
n =1
k =1
missä 0 < an < 1 kaikilla n, ∑ a n < ∞ ja b n = ∏ pk ,
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Kuva 10 Van der Waerdenin funktion V osasumma S100
välillä [0, 1].
Vuonna 1953 John McCarthy julkaisi esimerkin
CND-funktiosta. McCarthy (1953) kirjoittaa, että tällä funktiolla on helpoin todistus, jonka hän on
CND-funktiolle koskaan nähnyt. Jos todistusta vertaa esimerkiksi Weierstrassin funktion todistukseen,
vaikuttaa väite varsin uskottavalta. Todistukset löytyvät muun muassa lähteestä Heiskanen (2006). McCarthyn funktio M: → määritellään funktiosarjana seuraavasti:
k
1
M( x) = ∑ k g(22 x) ,
k =1 2
∞
→
missä apufunktio g:
vasti:
määritellään seuraa-
⎧1 + x, x ∈[−2,0]
g( x) = ⎨
⎩1 − x, x ∈[0,2]
ja g(x + 4) = g(x). Funktio g on siis jatkuva ja jaksollinen jakson pituutena 4. Jo piirrettäessä osasumman
3
k
1
S3 = ∑ k g(22 x) kuvaaja (Kuva 11), käy hyvin ilmi
k =1 2
McCarthyn funktion ”sahalaitaisuus”.
ja pk on parillinen kokonaisluku kaikilla k ∈ .
2n
Lisäksi vaaditaan, että lim
=0.
n →∞ a p
n n
2
1.5
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Kuva 12 Wenin funktio L välillä [0, 1] kun an = 2-n ja
pn = 6n.
Jatkuvien ei-missään derivoituvien funktioiden
rakenteesta
Tarkastellaan hieman CND-funktioiden rakennetta.
Kuten edellä mainituista esimerkeistä huomaamme,
osa funktioista on konstruoitu geometrisesti, osa äärettömien summien avulla ja osa äärettömien tulojen
avulla. Muitakin esimerkkejä on olemassa, ks. esimerkiksi Thim (2003). Kun tarkastelemme edellä käsiteltyjen funktioiden kuvaajia, havaitsemme, että kaikissa
funktioissa on äärettömän monta piikkiä millä tahansa välillä, mistä seuraa funktioiden epäderivoituvuus.
Tarkastellaan rakenteesta esimerkkinä tarkemmin
Weierstrassin funktiota
∞
W( x) = ∑ b k cos( a kπ x) .
k =0
08
.
06
.
04
.
02
.
02
.
04
.
06
.
08
.
1
-.
02
-.
04
-.
06
28 D i m e n s i o 1/2007
Kuva 11 McCarthyn funktion
osasumma S3 välillä [0, 1].
Kosinifunktio on jaksollinen, jolloin funktiosta W
tulee myös jaksollinen. Kosinifunktion edessä oleva
kerroin b, 0 < b < 1 , pitää summafunktion rajoitettuna (lisäksi kosinifunktio on rajoitettu). Jaksollisella
funktiolla (tässä tapauksessa cos(akπx)) saadaan siis aikaiseksi ”piikit” eli epäderivoituvuuskohdat ja termi bk
huolehtii siitä, että summa pysyy rajoitettuna. Samalla
periaatteella on rakennettu muun muassa McCarthyn
funktio sekä Takagin ja Van der Waerdenin funktiot.

5. Onko jatkuvia ei-missään derivoituvia funktioita
paljon?
Tähän mennessä on selvää, että CND-funktioita on
olemassa. Mutta kuinka paljon niitä sitten on? Niitä on selvästikin äärettömän paljon, sillä esimerkiksi
Weierstrassin funktiosta saadaan äärettömän monta eri funktiota a:n ja b:n eri arvoilla. Mielenkiinto
kohdistuukin siihen, kumpia on enemmän: jatkuvia
funktioita, jotka ovat jossakin pisteessä derivoituvia,
vai jatkuvia funktioita, jotka eivät ole missään derivoituvia. Selvästi molempia on äärettömän paljon,
mutta pystytään osoittamaan, että CND-funktioita
on paljon enemmän kuin jatkuvia jossakin derivoituvia funktioita. Todistus perustuu Bairen kategorioihin
ja Bairen kategorialauseeseen. Todistuksessa osoitetaan, että CND-funktiot kuuluvat Bairen toiseen kategoriaan ja jatkuvat jossakin derivoituvat funktiot
Bairen ensimmäiseen kategoriaan. CND-funktioiden
joukko on siis topologisessa mielessä paljon suurempi
kuin jatkuvien jossakin pisteessä derivoituvien funktioiden joukko. Tarkempi tarkastelu löytyy esimerkiksi
lähteistä Thim (2003, s. 71–84) ja Gaul & Kim (2002,
s.2-4). Voidaan siis todeta, että ”ikäviä” funktioita on
paljon enemmän kuin ”siistejä” funktioita; toisin sa-
noen mielivaltaisesti valittu jatkuva funktio ei yleensä
ole missään derivoituva.
Nykyisin CND-funktioiden olemassaolo on keskeistä uudemmille tutkimuksen ja sovellusten aloille, kuten fraktaaleille ja kaaosteorialle. CND-funktiot ovat hyvä esimerkki siitä, että liiallinen luottamus
intuitioon voi olla pettävää matematiikassa.
Viitteet:
Gaul, R. & Kim, N. 2002. How Many continuous Nowhere Differentiable Functions Are There? Nebraskan yliopisto: Mathematics Awareness Month.
http://www.unomaha.edu/wwwmath/MAM/2002/Poster02/Contnondiff.pdf (11.11.2006)
Heiskanen, P. 2006. Jatkuvuus- ja derivoituvuus-käsitteet lukion pitkässä matematiikassa. Matematiikan pro gradu -työ,
Jyväskylän yliopisto: Matematiikan ja tilastotieteen laitos.
http://personal.inet.fi/koti/paavoheiskanen/opiskelu/gradu.pdf (11.11.2006).
Hykšová, M. 2000. Karel Rychlík and Bernard Bolzano.
http://euler.fd.cvut.cz/publikace/HTM/MH_BB31.pdf (11.11.2006).
McCarthy, J. 1953. An Everywhere Continuous Nowhere Differentiable Function. The American Mathematical Monthly,
Vol. 60, No. 10, 709.
Thim, J. 2003. Continuous Nowhere Differentiable Functions. Master Thesis, Luleå tekniska universitet.
www.ludd.luth.se/~ivileel/master_thesis.pdf (11.11.2006).
Veselý, J. 2003. Weierstrass’ Theorem before Weierstrass.
http://www.math.technion.ac.il/hat/fpapers/jiri.pdf (11.11.2006).
Wen, L. 2002. A Nowhere Differentiable Continuous Function
Constructed by Infinite Products. The American Mathematical
Monthly, Vol. 109, No. 4, 378-380.
Jatkuvat ei-missään derivoituvat
funktiot lukion pitkässä
matematiikassa
PAAVO HEISKANEN, FM, pt. tuntiopettaja, Nurmijärven ammatiopisto
Tein keväällä 2006 kahdessa lukiossa kyselyn jatkuvuuden ja derivoituvuuden osaamisesta. Tämän
kyselyn tulokset antavat olettaa, että pitkän matematiikan opiskelijat hallitsevat varsin heikosti jatkuvuuden ja derivoituvuuden välisen yhteyden (Heiskanen,
2006). Koska derivoituvuus on selkeästi vahvempi
ominaisuus kuin jatkuvuus, tavoitteena lienee kuitenkin, että derivaatan opiskeltuaan opiskelijat hallitsevat näiden käsitteiden välisen yhteyden paremmin.
Esittelen artikkelissani Tallin (2002) kehittelemän
menetelmän, jolla voidaan luoda havainnollinen kuva derivoituvuudesta käyttäen hyväksi paikallinen
suoruus -käsitettä. Tarkastelen myös kuinka jatkuvia
ei-missään derivoituvia funktioita voitaisiin käsitellä
lukion pitkässä matematiikassa ja miten niitä voi-
taisiin käyttää hyväksi derivoituvuus-käsitteen hallinnan syventämisessä.
Tutkin matematiikan pro gradu -tutkielmassani,
”Jatkuvuus- ja derivoituvuus-käsitteet lukion pitkässä
matematiikassa”, muun muassa jatkuvia ei-missään derivoituvia funktiota, lyhyesti CND-funktioita (Continuous Nowhere Differentiable). Lukiossa suorittamani kyselyn perusteella monet lukion pitkän matematiikan opiskelijat pitävät outona ajatusta, että tällaisia
funktioita on olemassa. Opiskelijoilla on käsitys, että yleensä jatkuvat funktiot ovat derivoituvia lukuun
ottamatta muutamia pisteitä. Käsitys ei ole lainkaan
yllättävä, sillä näinhän tilanne yleensä onkin kaikissa lukiossa vastaan tulevissa funktioissa. Tyypillisenä
esimerkkinä jatkuvasta funktiosta, joka on epäderi-
D i m e n s i o 1/2007 29