El documento describe los conceptos básicos de la programación lineal, incluyendo cómo establecer un modelo, representarlo gráficamente y obtener una solución óptima. Luego presenta un ejemplo de un problema de maximización de ganancias para una empresa de juguetes, modelado y resuelto usando programación lineal. Finalmente, explica conceptos como análisis de sensibilidad y cómo pequeños cambios en los parámetros pueden afectar la solución óptima.

1. INVESTIGACION DEINVESTIGACION DE
OPERACIONESOPERACIONES
Programación LinealProgramación Lineal

2. Objetivos del CapítuloObjetivos del Capítulo
Fijar los requerimientos para establecer un modeloFijar los requerimientos para establecer un modelo
de programación lineal.de programación lineal.
Representación gráfica de un modelo deRepresentación gráfica de un modelo de
programación lineal.programación lineal.
Ventajas del modelo de programación lineal:Ventajas del modelo de programación lineal:
* Obtención de una solución óptima única.* Obtención de una solución óptima única.
* Obtención de soluciones alternativas* Obtención de soluciones alternativas
* Modelos no acotados.* Modelos no acotados.
* Modelo no factibles.* Modelo no factibles.
..

3. Conceptos de análisis de sensibilidad:Conceptos de análisis de sensibilidad:
* Reducción de costos.* Reducción de costos.
* Rango de optimalidad.* Rango de optimalidad.
* Precios sombra.* Precios sombra.
* Rango de factibilidad.* Rango de factibilidad.
* Holgura complementaria.* Holgura complementaria.
* Agregar restricciones/variables.* Agregar restricciones/variables.
Obtención de una solución por métodos compu-Obtención de una solución por métodos compu-
tacionales:tacionales:
* WINQSB* WINQSB
* EXCEL* EXCEL
* LINDO* LINDO

4. 2.1 Introducción a la Programación2.1 Introducción a la Programación
LinealLineal
Un modelo de programación lineal busca maximizarUn modelo de programación lineal busca maximizar
o minimizar una función lineal, sujeta a un conjuntoo minimizar una función lineal, sujeta a un conjunto
de restricciones lineales.de restricciones lineales.
Un modelo de programación lineal esta compuestoUn modelo de programación lineal esta compuesto
de lo siguiente:de lo siguiente:
* Un conjunto de variables de decisión* Un conjunto de variables de decisión
* Una función objetivo* Una función objetivo
* Un conjunto de restricciones* Un conjunto de restricciones

5. La importancia de la programación lineal:La importancia de la programación lineal:
* Ciertos problemas se describen facilmente a través de la* Ciertos problemas se describen facilmente a través de la
programación lineal.programación lineal.
* Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.* Muchos problemas pueden aproximarse a modelos lineales.
* La salida generada por el programa que resuelve el modelo* La salida generada por el programa que resuelve el modelo
dede
programación lineal entrega información útil para responderprogramación lineal entrega información útil para responder
nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.nuevas condiciones sobre el “qué pasa si”.

6. 2.2 El problema de la industria de2.2 El problema de la industria de
juguetes “Galaxia”.juguetes “Galaxia”.
Galaxia produce dos tipos de juguetes:Galaxia produce dos tipos de juguetes:
* Space Ray* Space Ray
* Zapper* Zapper
Los recursos están limitados a:Los recursos están limitados a:
* 1200 libras de plástico especial.* 1200 libras de plástico especial.
* 40 horas de producción semanalmente.* 40 horas de producción semanalmente.

7. Requerimientos de Marketing.Requerimientos de Marketing.
* La producción total no puede exceder de 800 docenas.* La producción total no puede exceder de 800 docenas.
* El número de docenas de Space Rays no puede exceder al* El número de docenas de Space Rays no puede exceder al
número de docenas de Zappers por más de 450.número de docenas de Zappers por más de 450.
Requerimientos Tecnológicos.Requerimientos Tecnológicos.
* Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de* Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de
producción por docena.producción por docena.
* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción
por docena.por docena.

8. Plan común de producción para:Plan común de producción para:
* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores
ganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidadganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidad
por docena).por docena).
* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers,* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers,
porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad porporque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por
docena).docena).
El plan común de producción consiste en:El plan común de producción consiste en:
Space Rays = 550 docenasSpace Rays = 550 docenas
Zappers = 100 docenasZappers = 100 docenas
Utilidad = $4900 por semanaUtilidad = $4900 por semana

9. El gerente siempreEl gerente siempre
buscará un esquema debuscará un esquema de
producción queproducción que
incrementre lasincrementre las
ganancias de suganancias de su
compañíacompañía

10. EL MODELO DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
PROVEE UNA SOLUCIÓN
INTELIGENTE PARA ESTE
PROBLEMA

11. SoluciónSolución
Variables de decisiónVariables de decisión
* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por
semana).semana).
* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por
semana).semana).
Función objetivoFunción objetivo
* Maximizar la ganancia semanal.* Maximizar la ganancia semanal.

12. Modelo de Programación LinealModelo de Programación Lineal
Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)
Sujeto a:Sujeto a:
2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)
3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)
X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)
X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)
XXjj >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)>= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

13. 2.3 Conjunto de soluciones factibles2.3 Conjunto de soluciones factibles
para el modelo lineal.para el modelo lineal.
El conjunto de puntos que satisface todas lasEl conjunto de puntos que satisface todas las
restricciones del modelo es llamado:restricciones del modelo es llamado:
REGION FACTIBLE

14. USANDO UN GRAFICO SEUSANDO UN GRAFICO SE
PUEDEN REPRESENTARPUEDEN REPRESENTAR
TODAS LASTODAS LAS
RESTRICCIONES, LARESTRICCIONES, LA
FUNCION OBJETIVO YFUNCION OBJETIVO Y
LOS TRES TIPOS DELOS TRES TIPOS DE
PUNTOS DEPUNTOS DE
FACTIBILIDAD.FACTIBILIDAD.

15. 1200
600
The Plastic constraint
Factible
Restricción del plástico:
2X1+X2<=1200
X2
No Factible
Horas de
Producción
3X1+4X2<=2400
Restricción del total de producción:
X1+X2<=800
600
800
Restricción del
exceso de producción:
X1-X2<=450
• Tipos de puntos de factibilidad
Punto Inferior
Punto Medio
Punto Extremo
X1

16. 2.4 Resolución gráfica para2.4 Resolución gráfica para
encontrar la solución óptima.encontrar la solución óptima.

17. Recalcular la región factible
600
800
1200
400 600 800
X2
X1
comenzar con una ganancia dada de = $2,000...
Utilid. = $ 0002,
Entonces aumente la ganancia...
3,4,
...y continúe hasta que salga de la región factible
Ganancia =$5040

18. 600
800
1200
400 600 800
X2
X1
Se toma un valor cercano al
punto óptimo
Feasible
region
Región
Factible
Región no
factible

19. Resumen de la solución óptimaResumen de la solución óptima
Space Rays = 480 docenasSpace Rays = 480 docenas
Zappers = 240 docenasZappers = 240 docenas
Ganancia = $5040Ganancia = $5040
* Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y* Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y
todas las horas de producción.todas las horas de producción.
* La producción total son 720 docenas (no 800).* La producción total son 720 docenas (no 800).
* La producción de Space Rays excede a la de Zappers por* La producción de Space Rays excede a la de Zappers por
solosolo
240 docenas y no por 450.240 docenas y no por 450.

20. Soluciones óptimas y puntos extremos.Soluciones óptimas y puntos extremos.
* Si un problema de programación lineal tiene una solución* Si un problema de programación lineal tiene una solución
óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.
Múltiples soluciones óptimas.Múltiples soluciones óptimas.
* Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la* Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la
función objetivo es una recta paralela a uno de los ladosfunción objetivo es una recta paralela a uno de los lados
de la región factible.de la región factible.
* Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es* Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es
también una solución óptima.también una solución óptima.

21. Solución mediante el método SimplexSolución mediante el método Simplex
Partamos de la base que el problema a resolver es el siguiente:Partamos de la base que el problema a resolver es el siguiente:
Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)
Sujeto a:Sujeto a:
2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico
3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción
X1 + X2 <= 800 (Limite producción totalX1 + X2 <= 800 (Limite producción total
X1 - X2 <= 450 (Producción en excesoX1 - X2 <= 450 (Producción en exceso
XXjj >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)>= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)
Para poder utilizar el método simplex se deben cumplir lasPara poder utilizar el método simplex se deben cumplir las
siguientes restricciones:siguientes restricciones:

22. Restricciones del AlgoritmoRestricciones del Algoritmo
a) Solo se puede utilizar para maximizar la función objetivo.a) Solo se puede utilizar para maximizar la función objetivo.
Para minimizar se debe maximizar (-z).Para minimizar se debe maximizar (-z).
b) Solo se puede aplicar a restricciones de igualdad.b) Solo se puede aplicar a restricciones de igualdad.
2x1 + X22x1 + X2 ++ S1S1 =1200 ;S1 = Var. de holgura=1200 ;S1 = Var. de holgura
<= 3X1 + 4X2<= 3X1 + 4X2 ++ S2S2 = 2400 ;S2 = Var de holgura= 2400 ;S2 = Var de holgura
X1 + X2X1 + X2 ++ S3S3 = 800 ;S3 = Var de holgura= 800 ;S3 = Var de holgura
(caso ficticio)(caso ficticio)
>= 2X1 + x2 >= 100>= 2X1 + x2 >= 100
2X1 + X22X1 + X2 -- S4S4 = 100= 100 ;S4 = Var de exceso;S4 = Var de exceso

23. c) Todas las variables deben ser mayores que cero.c) Todas las variables deben ser mayores que cero.
x1 - x2 +x1 - x2 + S4S4 ++ a1a1 = 450= 450a1= Var artificiala1= Var artificial
Por el hecho de haber agregado una variable artificial sePor el hecho de haber agregado una variable artificial se
debe agregar a la función objetivo a1 pero con un valor muydebe agregar a la función objetivo a1 pero con un valor muy
grande y negativo representado por -M.grande y negativo representado por -M.
Max 8x1 + 5x2Max 8x1 + 5x2 -- Ma1Ma1

24. 2.5 Análisis de sensibilidad para la2.5 Análisis de sensibilidad para la
solución óptima.solución óptima.
¿Es sensible la solución óptima a cambios en los¿Es sensible la solución óptima a cambios en los
parámetros de entrada?parámetros de entrada?
Posibles razones para responder la preguntaPosibles razones para responder la pregunta
anterior:anterior:
* Los valores de los parámetros usados fueron los mejores* Los valores de los parámetros usados fueron los mejores
estimados.estimados.
* Medio ambiente por ser dinámico puede producir cambios.* Medio ambiente por ser dinámico puede producir cambios.
* El análisis del “qué pasa si” puede proveer información* El análisis del “qué pasa si” puede proveer información
económica y operacional.económica y operacional.

25. 2.62.6 Análisis de sensibilidad de losAnálisis de sensibilidad de los
coeficientes de la función objetivocoeficientes de la función objetivo
Rango de optimalidadRango de optimalidad
– La solución óptima permanecerá inalterable mientras:La solución óptima permanecerá inalterable mientras:
Un coeficiente de la función objetivo se encuentre dentroUn coeficiente de la función objetivo se encuentre dentro
del rango de optimalidad.del rango de optimalidad.
No hay cambios en ningún otro parámetro.No hay cambios en ningún otro parámetro.
– El valor de la función objetivo cambiará si el coeficienteEl valor de la función objetivo cambiará si el coeficiente
multiplica una variable cuyo valor es distinto de cero.multiplica una variable cuyo valor es distinto de cero.

26. Los efectos del cambios en un coeficiente de laLos efectos del cambios en un coeficiente de la
función objetivo, sobre la solución óptimafunción objetivo, sobre la solución óptima
600
800
1200
X2
X1
Max8x1+5x2
Max 4x1 + 5x2
Max 3.75x1 + 5x2 Max 2x1 + 5x2
400 600 800

27. Los efectos del cambio de un coeficiente de laLos efectos del cambio de un coeficiente de la
función objetivo, sobre la solución óptimafunción objetivo, sobre la solución óptima
600
800
1200
400 600 800
X2
X1
Max8x1+5x2Max 3.75x1 + 5x2 Max8x1+5x2
Max 3.75 x1 + 5x2
Max10x1+5x2
3.75
10
Rango de optimalidad

28. Cambios MúltìplesCambios Múltìples
El rango de optimalidad es válido cuando un único coeficienteEl rango de optimalidad es válido cuando un único coeficiente
de la función objetivo cambia.de la función objetivo cambia.
Cuando cambia más de una variable se utiliza la regla delCuando cambia más de una variable se utiliza la regla del
100%.100%.

29. Regla del 100%Regla del 100%
Para cada aumento (disminución) en un coeficiente de laPara cada aumento (disminución) en un coeficiente de la
función objetivo calcular (y expresar como un porcentaje) lafunción objetivo calcular (y expresar como un porcentaje) la
relación de cambio del coeficiente al máximo aumento posiblerelación de cambio del coeficiente al máximo aumento posible
(disminución) determinada por los límites del rango de(disminución) determinada por los límites del rango de
optimalidad.optimalidad.
Sumar todos los cambios de porcentaje. Si el total es menorSumar todos los cambios de porcentaje. Si el total es menor
que 100%, la solución óptima no cambiará. Si este total esque 100%, la solución óptima no cambiará. Si este total es
mayor que 100%, la solución óptima puede cambiar.mayor que 100%, la solución óptima puede cambiar.

30. Reducción de costosReducción de costos
La reducción de costos de una variable a su cota inferiorLa reducción de costos de una variable a su cota inferior
(comúnmente cero) implica que:(comúnmente cero) implica que:
– Los coeficientes de la función objetivo deben cambiar antesLos coeficientes de la función objetivo deben cambiar antes
que la variable pueda tomar un valor sobre la cota inferior.que la variable pueda tomar un valor sobre la cota inferior.
– Con lo anterior la cantidad de ganancia óptima cambiaráCon lo anterior la cantidad de ganancia óptima cambiará
según las variables aumentadas desde la cota inferior.según las variables aumentadas desde la cota inferior.
Holgura complementariaHolgura complementaria
– Existe holgura en la solución óptima, cuando cada variableExiste holgura en la solución óptima, cuando cada variable
está en su cota inferior o el costo reducido es 0.está en su cota inferior o el costo reducido es 0.

31. 2.72.7 Análisis de SensibilidadAnálisis de Sensibilidad
deldel
coeficiente del lado derechocoeficiente del lado derecho
Cualquier cambio en el lado derecho (bi) de unaCualquier cambio en el lado derecho (bi) de una
restricción activa cambiará la solución óptima.restricción activa cambiará la solución óptima.
Cualquier cambio en el lado derecho de unaCualquier cambio en el lado derecho de una
restricción no activa que sea menor que la holgura orestricción no activa que sea menor que la holgura o
o el exceso, no produce ningún cambio en la solucióno el exceso, no produce ningún cambio en la solución
óptima.óptima.

32. Para el análisis de sensibilidad de la validezPara el análisis de sensibilidad de la validez
de los coeficiente del lado derecho nosde los coeficiente del lado derecho nos
interesa responder las siguientes preguntas :interesa responder las siguientes preguntas :
¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto
cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por ejemplo, lacambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por ejemplo, la
ganancia) si el coeficiente del lado derecho de una restricciónganancia) si el coeficiente del lado derecho de una restricción
cambia en una unidad?cambia en una unidad?
¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para
que la solución siga siendo válida?que la solución siga siendo válida?

33. 1200
600
X2
Restricción materiales
(plásticos)
Feasible
X1
600
800
Restricción del
tiempo de
producción
Ganancia máxima= 5040
2x1+1x2<=1200
Nueva restricción materiales (plásticos)
2x1+1x2<=1350
Combinación de restricciones
en la producción
Puntos extremos

34. Interpretación correcta del precioInterpretación correcta del precio
sombrasombra
Los costos amortizados: El precio sombra, es el valor por unaLos costos amortizados: El precio sombra, es el valor por una
unidad extra del recurso, ya que el costo del recurso no esunidad extra del recurso, ya que el costo del recurso no es
incluido en el cálculo de los coeficientes de la función objetivo.incluido en el cálculo de los coeficientes de la función objetivo.
Los costos incluídos: El precio sombra es el valor superior porLos costos incluídos: El precio sombra es el valor superior por
unidad del recurso, el costo del recurso se incluye en el cálculounidad del recurso, el costo del recurso se incluye en el cálculo
del coeficiente de la función objetivo.del coeficiente de la función objetivo.

35. El rango de factibilidadEl rango de factibilidad
El conjunto de los coeficientes del lado derechoEl conjunto de los coeficientes del lado derecho
entregan el rango para que el mismo conjunto deentregan el rango para que el mismo conjunto de
restricciones determine el punto óptimo.restricciones determine el punto óptimo.
Dentro del rango de factibilidad, los precios sombrasDentro del rango de factibilidad, los precios sombras
permanecen constante; sin embargo, la soluciónpermanecen constante; sin embargo, la solución
óptima cambiará.óptima cambiará.

36. 2.8 Otros cambios para2.8 Otros cambios para
optimizar la función objetivooptimizar la función objetivo
La incorporación de una restricción.La incorporación de una restricción.
La eliminación de una restricción.La eliminación de una restricción.
La incorporación de un variable.La incorporación de un variable.
La eliminación de un variable.La eliminación de un variable.
Cambio en el lado izquierdo de los coeficientes.Cambio en el lado izquierdo de los coeficientes.

37. 2.92.9 Modelo sin solución óptimaModelo sin solución óptima
No factible: Ocurre cuando en el modelo no hayNo factible: Ocurre cuando en el modelo no hay
ningún punto de factible.ningún punto de factible.
No acotado: Ocurre cuando el objetivo puede crecerNo acotado: Ocurre cuando el objetivo puede crecer
infinitamente (objetivo a maximizar).infinitamente (objetivo a maximizar).

38. InfactibilidadInfactibilidad
Ningún punto se encuentra,
simultáneamente, sobre la línea
la línea y
1
2
3
1
2 3

39. Solución No AcotadaSolución No Acotada
La región
factible
Maximizar
La función objetivo
∞

40. 2.10 Dieta Marina2.10 Dieta Marina
Un problema de minimización del costoUn problema de minimización del costo
de la dieta:de la dieta:
Mezcle dos porciones de lo productos:Mezcle dos porciones de lo productos:
Texfoods, Calration.Texfoods, Calration.
Minimice el costo total de la mezcla.Minimice el costo total de la mezcla.
Mantenga los requerimientos mínimosMantenga los requerimientos mínimos
de Vitamina A, Vitamina D, y hierro.de Vitamina A, Vitamina D, y hierro.

41. Variables de decisión:Variables de decisión:
x1 (X2) - - El cantidad de Texfoods (Calration) se usó enx1 (X2) - - El cantidad de Texfoods (Calration) se usó en
cada porción (cada 2 onzas)cada porción (cada 2 onzas)..
El modeloEl modelo
minimizar 0.60X1 + 0.50X2minimizar 0.60X1 + 0.50X2
sujeto asujeto a
20X1 + 50X2 10020X1 + 50X2 100
25X1 + 25X2 100 Vitamina25X1 + 25X2 100 Vitamina
DD
50X1 + 10X2 100 hierro50X1 + 10X2 100 hierro
X1, X2 0X1, X2 0
≥
Costo por 2 oz.
≥
≥
≥
% Vitamina A
por 2 oz.
% requerido

42. La solución gráficaLa solución gráfica
5
4
2
2 44 5
Región factibleRegión factible
Restricción de vitamina D
Restricción de vitamina A
Restricción de hierro

43. Resumen de la solución óptimaResumen de la solución óptima
Producto Texfood = repartir 1.5 (= 3 onzas)Producto Texfood = repartir 1.5 (= 3 onzas)
Producto Calration = repartir 2.5 (= 5 onzas)Producto Calration = repartir 2.5 (= 5 onzas)
Costo =$ 2.15 por porción servidar.Costo =$ 2.15 por porción servidar.
El requisito mínimo para la Vitamina D y el hierro noEl requisito mínimo para la Vitamina D y el hierro no
se encuentren en superávit.se encuentren en superávit.
La mezcla provee 155% del requerimiento paraLa mezcla provee 155% del requerimiento para
Vitamina A.Vitamina A.

44. 2.11 Solución para problemas2.11 Solución para problemas
lineales con muchas variables delineales con muchas variables de
decisión usando el computadordecisión usando el computador
Los paquetes de programas lineales resuelvenLos paquetes de programas lineales resuelven
grandes modelos lineales.grandes modelos lineales.
La mayoría de los software usan la técnicaLa mayoría de los software usan la técnica
algebraica llamada algoritmo Simplex.algebraica llamada algoritmo Simplex.
Los paquetes incluyen:Los paquetes incluyen:
El criterio de la función objetivo (Max o Min).El criterio de la función objetivo (Max o Min).
El tipo de cada restricción: .El tipo de cada restricción: .
Los coeficientes reales para el problema.Los coeficientes reales para el problema.
≤ = ≥, ,

45. La solución generada por un softwareLa solución generada por un software
de programación lineal incluye:de programación lineal incluye:
Los valores óptimos de la función objetivo.Los valores óptimos de la función objetivo.
Los valores óptimos de las variables de decisión.Los valores óptimos de las variables de decisión.
La minimización del costo para los coeficientes de laLa minimización del costo para los coeficientes de la
función objetivo.función objetivo.
Los rangos de optimización para los coeficientes deLos rangos de optimización para los coeficientes de
la función objetivo.la función objetivo.
La cantidad de holgura o exceso sobre cadaLa cantidad de holgura o exceso sobre cada
restricción.restricción.
Los precios sombra (o dual) para las restricciones.Los precios sombra (o dual) para las restricciones.
Los rangos de factibilidad para el coeficiente del ladoLos rangos de factibilidad para el coeficiente del lado
derecho.derecho.

46. WINQSB datos de entradaWINQSB datos de entrada
para el problema de laspara el problema de las
industrias galaxiaindustrias galaxia
Las
variables y
los nombres
de las
restricciones
pueden ser
cambiados
aquí. Las variables son
restringidas a >=0 Ningún límite
superior
Click para
resolver