Matrices 3

32

Tema 3. MATRICES Y DETERMINANTES
3.1 Conceptos generales
3.2 Operaciones matriciales
3.3 Tipos de matrices
3.4 Determinantes
3.5 Matriz inversa
3.6 Rango y traza
3.7 Matrices particionadas
3.8 Sistemas de ecuaciones lineales

¶
Matematicas Matrices y determinantes 33

3 MATRICES Y DETERMINANTES

3.1 CONCEPTOS GENERALES

3.1.1 ¶
DEFINICION

Una matriz de m ¯las y n columnas sobre un cuerpo IK es una
aplicaci¶n:
o
A : f1; : : : ; mg £ f1; : : : ; ng ¡! IK
(i; j) 7¡! aij :

La matriz A suele representarse por
0 1
B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n C
B C
B
B a a ¢ ¢ ¢ a2n C
C
A = (aij ) = B 21 22
B
B ..................
C
C
C
1·i·m B C
@ A
1·j·n
am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn
y se dice que es de orden m £ n .

² La ¯la i-¶sima de la matriz A es la formada por los elementos
e
ai1; ai2 ; : : : ; ain.
² La columna j-¶sima de la matriz A es la formada por los
e
elementos a1j ; a2j ; : : : ; amj .
² El t¶rmino (i; j) de la matriz A es aij .
e

¶
NOTACION: Se denota por Mm£n (IK) el conjunto de las matrices
de orden m £ n con elementos en IK .

¶

Sean A; B 2 Mm£n(IR); A = (aij ) ; B = (bij ) .
1·i·m 1·i·m
1·j·n 1·j·n
Se dice que A y B son iguales si y s¶lo si 8i 2 f1; : : : ; mg
o
8j 2 f1; : : : ; ng aij = bij .

3.2 OPERACIONES MATRICIALES

3.2.1 SUMA DE MATRICES

Sean A; B 2 Mm£n(IK); A = (aij ) ; B = (bij ) . Se
1·i·m 1·i·m
1·j·n 1·j·n
de¯ne A + B = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij ) tal que
1·i·m
1·j·n

8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = aij + bij :

3.2.2 PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

1. 8A; B; C 2 Mm£n (IK) (A + B) + C = A + (B + C).

2. 9 O = (0ij ) 2 Mm£n (IK) (matriz nula), tal que
1·i·m
1·j·n
8A 2 Mm£n(IK) A + O = O + A = A.

3. 8A 2 Mm£m (IK) 9 ¡ A 2 Mm£n(IK) tal que

A + (¡A) = (¡A) + A = O:

(¡A = (¡aij ) ).
1·i·m
1·j·n

¶

4. 8A; B 2 Mm£n(IK) A + B = B + A.

3.2.3 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Sean A 2 Mm£n(IK); A = (aij ) , y ¸ 2 IK. Se de¯ne
1·i·m
1·j·n
¸A = C 2 Mm£n(IK) , con C = (cij ) , tal que
1·i·m
1·j·n

8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng cij = ¸aij :

3.2.4 PROPIEDADES DEL PRODUCTO POR ESCALARES

8A; B 2 Mm£n(IK) 8¸; ¹ 2 IK

1. ¸(A + B) = ¸A + ¸B.

2. (¸ + ¹)A = ¸A + ¹A.

3. (¸¹)A = ¸(¹A).

4. 1A = A (1 es la unidad del cuerpo IK).

3.2.5 ¶
OBSERVACION:

(Mm£n (IK); +; ¢) es un espacio vectorial sobre IK de dimensi¶n
o
mn.

¶

3.2.6 PRODUCTO DE MATRICES

Sean A 2 Mm£n(IK); B 2 Mn£p (IK) , donde A = (aij ) ,
1·i·m
1·j·n
B = (bij ) . Se de¯ne A ¢ B = C 2 Mm£p (IK); con C =
1·i·n
1·j·p
(cij ) tal que:
1·i·m
1·j·p
n
X
8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; pg cij = aik bkj :
k=1

3.2.7 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

1. 8A 2 Mm£n(IK); 8B 2 Mn£p (IK); 8C 2 Mp£q (IK)
(AB)C = A(BC):

2. 8A; B; C 2 Mn£n(IK)
A(B + C) = AB + AC
(B + C)A = BA + CA:

3. 9 In 2 Mn£n(IK), tal que 8A 2 Mn£n(IK)
AIn = InA = A;
donde: 0 1
B 1 0 ¢¢¢ 0 C
B C
B 0 1 ¢¢¢ 0 C
B C
In = B
B C:
C
B .......... C
B C
@ A
0 0 ¢¢¢ 1

¶

4. 8A 2 Mm£n(IK); 8B 2 Mn£p (IK); 8¸; ¹ 2 IK

(¸A)(¹B) = (¸¹)(AB):

3.2.8 ¶
TRASPOSICION DE MATRICES

Sea A 2 Mm£n(IK), con A = (aij ) . Se de¯ne matriz tras-
1·i·m
1·j·n
puesta de A, y se denota por At 2 Mn£m (IK), como At =
µ ¶
0
aij tal que
1·j·n
1·i·m

8i 2 f1; : : : ; mg 8j 2 f1; : : : ; ng a0ij = aji:

3.2.9 ¶
PROPIEDADES DE LA TRASPOSICION DE MATRICES

Sean A 2 Mm£n (IK) y ¸ 2 IK.

1. (In)t = In.
t
2. (At ) = A.

3. (¸A)t = ¸At.

4. Si B 2 Mm£n(IK), entonces (A + B)t = At + B t.

5. Si B 2 Mn£p (IK), entonces (AB)t = B t At.

¶

3.3 TIPOS DE MATRICES

3.3.1 DEFINICIONES

1. Matriz ¯la: posee una unica ¯la.
¶

(a11a12 : : : a1n) 2 M1£n(IK):

2. Matriz columna: posee una unica columna.
¶
0 1
B a11 C
B C
B C
B a21 C
B
B .
.
C
C 2 Mm£1 (IK):
B
B . C
C
@ A
am1

3. Matriz cuadrada de orden n : tiene el mismo n¶mero de ¯las
u
que de columnas, m = n .
0 1
B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n C
B C
B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n C
B C
A=B
B
B ................ C
C:
C
B C
@ A
an1 an2 ¢ ¢ ¢ ann
² aii ; i = 1; : : : ; n, se denominan elementos diagonales.
² A es una matriz diagonal si y s¶lo si los elementos no dia-
o
gonales son nulos: i 6= j ) aij = 0.
² Una matriz es escalar si y s¶lo si es diagonal y todos los
o
elementos diagonales son iguales entre s¶.
³
² Una matriz es triangular inferior si y s¶lo si los elementos
o
por encima de la diagonal son nulos: i < j ) aij = 0.

¶

² Una matriz es triangular superior si y s¶lo si los elementos
o
por debajo de la diagonal son nulos: i > j ) aij = 0.

4. A 2 Mn£n(IK) es idempotente si y s¶lo si A2 = A.
o

5. A 2 Mn£n(IK) es nilpotente si y s¶lo si existe m 2 IN tal
o
que Am = O.

6. A 2 Mn£n(IK) es sim¶trica si y s¶lo si At = A , es decir, si
e o
A = (aij ) :
1·i·n
1·j·n

8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = aji :

7. A 2 Mn£n (IK) es antisim¶trica si y s¶lo si At = ¡A , es
e o
decir, si A = (aij ) :
1·i·n
1·j·n

8i; j 2 f1; : : : ; ng aij = ¡aji :

3.4 DETERMINANTES

El determinante es una aplicaci¶n
o

det : Mn£n(IK) ¡! IK
A 7¡! det A

tal que

² Para n = 1 y A = (a) : det A = a.

¶

0 1
a a
² Para n = 2 y A = B 11 12
@
C
A : det A = a11 a22 ¡ a12 a21 .
a21 a22
0 1
B a11 a12 a13 C
B C
² Para n = 3 y A = B a21 a22 a23
B
B
C
C
C :
@ A
a31 a32 a33
det A = a11 a22 a33 +a21 a32a13 +a31 a23 a12 ¡a13 a22 a31 ¡a23a32 a11 ¡a33 a21 a12:

3.4.1 DEFINICIONES

² Los menores de una matriz cuadrada son los determinantes de
las submatrices que se obtienen eliminando varias ¯las y el
mismo n¶mero de columnas.
u
² Se llama menor complementario del elemento aij de una ma-
triz cuadrada, que denotamos por Mij , al determinante de la
matriz resultante de suprimir la ¯la i y la columna j.
² Se denomina adjunto del elemento aij a Aij = (¡1)i+j Mij .
² Se llama matriz adjunta de A 2 Mn£n(IK) a la matriz A? 2
Mn£n (IK) que tiene por elementos los adjuntos de los elemen-
tos de A .

3.4.2 DESARROLLO DE DETERMINANTES POR LOS ELEMENTOS DE
UNA FILA O COLUMNA

Sea A = (aij ) 2 Mn£n(IK). Para n > 3 el determinante
1·i·n
1·j·n
viene dado por:

¶

n
X
² Desarrollo por los elementos de la ¯la i : det A = aik Aik .
k=1
n
X
² Desarrollo por los elementos de la columna j : det A = akj Akj .
k=1

3.4.3 PROPIEDADES

Sean A; B 2 Mn£n(IK).

1. det(A) = det(At).
2. Si se intercambian entre s¶ dos ¯las (o columnas), el determi-
³
nante cambia de signo.
3. Si una matriz tiene dos ¯las (columnas) iguales, su determi-
nante es cero.
4. Si se multiplica a una ¯la (o columna) de A por un escalar
¸ , el determinante de la matriz resultante es igual a ¸ por
det A.
5. Si ¸ 2 IK, entonces det(¸A) = ¸n det A.
6. El determinante de una matriz no var¶a si a una ¯la (o columna)
³
se le suma una combinaci¶n lineal de las restantes.
o
7. Si una matriz tiene una ¯la (o columna) nula, su determinante
es nulo.
8. det(AB) = det A det B.

NOTA: Habitualmente, det(A + B) 6= det A + det B.

¶

3.5 MATRIZ INVERSA

3.5.1 ¶
DEFINICION

Sea A 2 Mn£n(IK). Se dice que A es inversible o regular si existe
B 2 Mn£n(IK) de forma que AB = BA = In. En ese caso, B
se llama matriz inversa de A y se denota por A¡1.
Si tal B no existe, se dice que A no es inversible o que es singular.

3.5.2 PROPIEDADES

Sean A; B 2 Mn£n(IK).

1. A es inversible si y s¶lo si det A 6= 0.
o
1
2. Si A es inversible, entonces det(A¡1 ) = .
det A
3. Si A es inversible, entonces A¡1 es unica y viene dada por
¶
1
A¡1 = (A?)t .
det A
¡1
4. In es inversible y In = In.
¡1
5. Si A es inversible, entonces A¡1 es inversible y (A¡1 ) = A.
6. Sea ¸ 2 IK ¡ f0g . Si A es inversible, entonces ¸A es
inversible y (¸A)¡1 = ¸¡1A¡1.
7. Si A y B son inversibles, entonces AB es inversible y
(AB)¡1 = B ¡1 A¡1 .
¡1
8. Si A es inversible, entonces At es inversible y (At ) =
t
(A¡1 ) .

¶

3.5.3 ¶
DEFINICION

A 2 Mn£n(IK) es ortogonal si y s¶lo si es inversible y A¡1 = At.
o

3.6 RANGO Y TRAZA

3.6.1 ¶
DEFINICION

Sean A 2 Mm£n(IK); con A = (aij ) ; i 2 f1; : : : ; mg;
1·i·m
1·j·n
¹
j 2 f1; : : : ; ng . Se consideran los vectores fi = (ai1 ; ai2; : : : ; ain);
vector ¯la i-¶sima de A y cj = (a1j ; a2j ; : : : ; amj ); vector columna
e ¹
j-¶sima de A.
e
Se denomina rango de A por ¯las al n¶mero m¶ximo de vectores
u a
¯la linealmente independientes.
An¶logamente se denomina rango de A por columnas al n¶mero
a u
m¶ximo de vectores columna linealmente independientes.
a

3.6.2 TEOREMA DEL RANGO

En cualquier matriz el rango por ¯las es igual al rango por colum-
nas.

NOTA: El rango de una matriz A , se denota por rg(A).

3.6.3 TEOREMA (Caracterizaci¶n del rango mediante determinantes)
o

El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.

¶

3.6.4 COROLARIO

Sean u1 ; : : : ; un 2 IKn.
¹ ¹

1. u1 ; : : : ; uk , con k · n, son linealmente independientes si
¹ ¹
y s¶lo si rg(A) = k, donde A tiene como vectores ¯la (o
o
columna) a u1; : : : ; uk .
¹ ¹
2. u1 ; : : : ; uk , con k · n, son linealmente dependientes si y s¶lo
¹ ¹ o
si rg(A) < k, donde A tiene como vectores ¯la (o columna)
a u1; : : : ; uk .
¹ ¹
3. u1 ; : : : ; un son vectores linealmente dependientes si y s¶lo si
¹ ¹ o
det A = 0 , donde A tiene como vectores ¯la (o columna) a
u1 ; : : : ; un.
¹ ¹

3.6.5 PROPIEDADES

1. Cambios en una matriz que no var¶an el rango:
³
(a) Intercambiar ¯las entre s¶ (columnas).
³
(b) Suprimir una ¯la (columna) cuyos elementos sean nulos.
(c) Suprimir una ¯la (columna) que sea combinaci¶n lineal de
o
otras.
(d) Multiplicar todos los elementos de una ¯la (columna) por
un n¶mero distinto de cero.
u
(e) Sumar a una ¯la (columna) una combinaci¶n lineal de las
o
restantes.
2. Si A 2 Mm£n (IK), entonces rg(A) · minfm; ng.

¶

3. Si A 2 Mn£n(IK) y A es inversible entonces rg(A) = n.
4. rg(In) = n.
5. rg(O) = 0.
6. Si A 2 Mm£n (IK); entonces rg(A) = rg(At).
7. Si A 2 Mm£n (IK) y B 2 Mn£p (IK), entonces

rg(AB) · minfrg(A); rg(B)g:

3.6.6 ¶
DEFINICION

Sea A 2 Mn£n (IK), donde A = (aij ) . Se de¯ne traza de
1·i·n
1·j·n
A, y se denota por tr(A), a la suma de los elementos de la diagonal
de A, es decir,
n
X
tr(A) = aii :
i=1

3.6.7 PROPIEDADES

Sean A; B 2 Mn£n(IK) y ¸ 2 IK.

1. tr(At ) = tr(A).
2. Si ¸ 2 IK, entonces tr(¸A) = ¸ tr(A).
3. tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
4. tr(AB) = tr(BA).

¶

3.7 MATRICES PARTICIONADAS
r
X
Sean A 2 Mm£n(IK) , m1; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns 2 IN con mi = m
i=1
s
X
y nj = n. La matriz A puede representarse como:
j=1
0 1
B A11 ¢ ¢ ¢ A1s C
B C
B C
A= B
B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C
C
@ A
Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars
donde Aij 2 Mmi£nj (IK).
Se dice que A est¶ particionada en rs bloques por
a
(m1; : : : ; mr ; n1 ; : : : ; ns):

3.7.1 OPERACIONES CON MATRICES PARTICIONADAS

² Suma:
Sean A; B 2 Mm£n(IK) matrices particionadas por
(m1 ; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns) ,
0 1 0 1
B A11 ¢ ¢ ¢ A1s C B B11 ¢ ¢ ¢ B1s C
B C B C
B C B C
A= B
B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C
C ;B = B
B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C
C
@ A @ A
Ar1 ¢ ¢ ¢ Ars Br1 ¢ ¢ ¢ Brs
0 1
B A11 + B11 ¢ ¢ ¢ A1s + B1s C
B C
B C
Entonces, A + B = B
B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C
C :
@ A
Ar1 + Br1 ¢ ¢ ¢ Ars + Brs

¶

² Producto por escalares:
Sean A 2 Mm£n(IK) matriz particionada por (m1; : : : ; mr ;
n1 ; : : : ; ns) y ¸ 2 IK , entonces
0 1
B ¸A11 ¢ ¢ ¢ ¸A1s C
B C
B C
¸A = B
B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C
C :
@ A
¸Ar1 ¢ ¢ ¢ ¸Ars

² Producto de matrices:
Sean A 2 Mm£n(IK) y B 2 Mn£p (IK) matrices parti-
cionadas por (m1 ; : : : ; mr ; n1; : : : ; ns) y (n1 ; : : : ; ns; p1; : : : ; pk ) ,
respectivamente, entonces C est¶ particionada por (m1 ; : : : ; mr ;
a
p1; : : : ; pk )
0 1
B C11 ¢ ¢ ¢ C1k C
B C
B C
C = AB = B
B ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ C
C ;
@ A
Cr1 ¢ ¢ ¢ Crk
s
X
donde Cij = Ail Blj .
l=1

3.7.2 ¶
PROPOSICION

Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1 ; n2 ; n1 ; n2 ),
0 1
A11 A12
A=B
@
C
A :
A21 A22

Si A12 = O 2 Mn1£n2 (IK) o A21 = O 2 Mn2£n1 (IK), entonces
det A = det A11 det A22.

¶

3.7.3 INVERSA PARTICIONADA

Sea A 2 Mn£n(IK) particionada por (n1 ; n2 ; n1 ; n2 )
0 1
A11 A12
A=B
@
C
A :
A21 A22

Si A22 es regular, entonces
0 1
B11 B12
A¡1 = B
@
C
A ;
B21 B22

donde:
¡1
B11 = (A11 ¡ A12A¡1 A21) ;
22
¡1
B21 = ¡A22 A21B11;
B12 = ¡B11A12 A¡1;
22
¡1 ¡1
B22 = A22 ¡ A22 A21 B12:

Si A11 es regular, entonces
0 1
C11 C12
A¡1 = B
@
C
A ;
C21 C22

donde:

C11 = A¡1 + A¡1A12 C22 A21A¡1;
11 11 11
C12 = ¡A¡1 A12C22;
11
C21 = ¡C22 A21A¡1;
11
¡1
C22 = (A22 ¡ A21 A¡1 A12) :
11

¶

3.8 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.8.1 ¶
DEFINICION

Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶gnitas a
o
un conjunto de ecuaciones de la forma:
a11 x1 + a12 x2 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ¢ ¢ ¢ + a2nxn = b2
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
am1x1 + am2x2 + ¢ ¢ ¢ + amnxn = bm
donde 8 i 2 f1; : : : ; mg 8 j 2 f1; : : : ; ng aij ; bi 2 IR .

² aij son los coe¯cientes del sistema.
² bi son los t¶rminos independientes del sistema.
e
² xj son las inc¶gnitas del sistema.
o

Se denomina soluci¶n del sistema a todo vector (s1; s2; : : : ; sn ) que
o
veri¯ca las siguientes igualdades:
a11s1 + a12 s2 + ¢ ¢ ¢ + a1n sn = b1
a21s1 + a22 s2 + ¢ ¢ ¢ + a2n sn = b2
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
am1 s1 + am2 s2 + ¢ ¢ ¢ + amn sn = bm

Forma matricial del sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶gnitas:
o
0 10 1 0 1
B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n C B x1 C B b1 C
B CB C B C
B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n C B x2 C
B CB C B C
B b2 C
B CB C = B C ; o bien A¹ = ¹
x b;
B CB C B C
B .................. CB ¢ C B ¢ C
B CB C B C
@ A@ A @ A
am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn xm bm

¶

donde A 2 Mm£n(IK) es la matriz de los coe¯cientes del sis-
tema, x 2 Mn£1(IK) el vector de las inc¶gnitas del sistema y
¹ o
¹ 2 Mm£1(IK) el vector de t¶rminos independientes del sistema.
b e
Clasi¯caci¶n de los sistemas de ecuaciones en funci¶n del conjunto
o o
de soluciones:

1. Incompatible: cuando no admite soluci¶n.
o

2. Compatible: cuando admite soluci¶n. A su vez puede ser:
o

(a) Determinado: cuando admite una unica soluci¶n.
¶ o
(b) Indeterminado: cuando admite m¶s de una soluci¶n.
a o

Clasi¯caci¶n de los sistemas de ecuaciones atendiendo a sus t¶rminos
o e
independientes:

1. Homog¶neo: el vector ¹ es nulo.
e b

2. No homog¶neo: al menos alguna de las componentes de ¹ es
e b
distinta de cero.

Se denomina matriz ampliada o completa del sistema, y se repre-
senta por (Aj¹ , a la matriz que se obtiene al aadir a la matriz A
b)
la matriz columna ¹ Por tanto, (Aj¹ 2 Mm£(n+1)(IK) y toma
b. b)
la forma: 0 1
B a11 a12 ¢ ¢ ¢ a1n b1 C
B C
B a21 a22 ¢ ¢ ¢ a2n b2 C
B C
¹ =B
(Ajb) B C:
C
B ...................... C
B C
@ A
am1 am2 ¢ ¢ ¢ amn bm

¶

3.8.2 ¶
TEOREMA DE ROUCHE-FROBENIUS

Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc¶gnitas es:
o

1. Compatible si y s¶lo si rg(A) = rg(Aj¹ . Adem¶s,
o b) a
(a) Si rg(A) = n, entonces el sistema es determinado.
(b) Si rg(A) < n, entonces el sistema es indeterminado.
2. Incompatible si y s¶lo si rg(A) < rg(Aj¹ .
o b)

3.8.3 ¶
OBSERVACION

Todos los sistemas homog¶neos de la forma A¹ = ¹ son compati-
e x 0
bles, rg(A) = rg(Aj¹ y siempre admiten como soluci¶n:
0), o
x1 = 0; x2 = 0; : : : ; xn = 0;
denominada soluci¶n trivial.
o
El sistema homog¶neo A¹ = ¹ de m ecuaciones lineales con n
e x 0
inc¶gnitas:
o

² S¶lo tiene soluci¶n trivial si rg(A) = n.
o o
² Admite in¯nitas soluciones si rg(A) < n.

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