Plano Numérico
Estudiante:
Pedro Briceño

Plano Cartesiano
Plano cartesiano es un sistema de referencias que se encuentra
conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical,
que se cortan en un determinado punto. A la horizontal se la llama eje
de las abscisas o de las x y al vertical eje de las coordenadas o de las
yes, en tanto, el punto en el cual se cortarán se denomina origen. La
principal función o finalidad de este plano será el de describir la
posición de puntos, los cuales se encontrarán representados por sus
coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se formarán
asociando un valor del eje x y otro del eje y.

En el plano cartesiano se pueden identificar varios
elementos:
Los ejes de coordenadas: son dos líneas numeradas
que se cruzan delimitando ángulos rectos entre sí.
El origen: es el punto de intersección entre los dos
ejes de coordenadas.
El eje de abscisas o eje de las x: es la línea horizontal
de los ejes de coordenadas. Hacia la derecha del
origen se encuentran los valores positivos, hacia la
izquierda, se encuentran los valores negativos.
El eje de ordenadas o eje de las y: es la línea vertical
de los ejes de coordenadas. Por arriba del origen se
encuentran los valores positivos; por debajo, los
valores negativos.
Los cuadrantes del plano cartesiano: son las cuatros
regiones en que se divide el plano por causa de los
ejes x y y. En el primer cuadrante, los valores
de x y y son positivos; en el segundo cuadrante, los
valores de x son negativos y los de y son positivos; en
el tercer cuadrante, tanto x como y son negativos; en
el cuarto cuadrante, los valores de x son positivos y
los de y son negativos.
Abscisa y ordenada de un punto
La abscisa y la ordenada de un punto son
las coordenadas cartesianas del punto. Se representa
por un par de números encerrados en un paréntesis y
separados por una coma. El primer número es la
distancia de un punto hasta el eje x o abscisa del
punto; el segundo número es la distancia del punto
hasta el eje y.: (x, y).
¿Para qué sirve el plano cartesiano?
El plano cartesiano nos permite:
Localizar las coordenadas de los puntos en
un plano.
Determinar la línea recta que pasa por dos
puntos.
Dibujar polígonos conociendo los puntos de
sus vértices.
Representar gráficamente una función.

Ejemplo:
• punto A = (2,2) en el
primer cuadrante;
• punto B = (-7,4) en el
segundo cuadrante;
• punto C = (-7, -3) en el
tercer cuadrante;
• punto D = (3, -5) en el
cuarto cuadrante;
• punto E = (5, 4) en el
primer cuadrante;
• punto F = (-2, 1) en el
segundo cuadrante;
• punto G = (-3, -3) en el
tercer cuadrante y
• punto H = (3, -2) en el
cuarto cuadrante.

Ejercicio Propuesto:

Distancia
La distancia se refiere a cuanto espacio recorre un objeto durante su movimiento.
Es la cantidad movida. También se dice que es la suma de las distancias recorridas.
Por ser una medida de longitud, la distancia se expresa en unidades de metro según
el Sistema Internacional de Medidas.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia
de sus abscisas.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia
de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los
puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de
coordenadas, luego formar un triángulo
rectángulo de hipotenusa AB y emplear
el teorema de Pitágoras.

La fórmula para calcular dicha magnitud está dada por la siguiente expresión:
Ejemplos de distancia entre dos puntos:
1. Calcular la distancia entre los puntos: Y
2. Demostrar que los puntos : A(3, 8); B(-11, 3) y C(-8, -2) son vértices de un
triángulo isósceles.
Como AB = AC es diferente de BC; el
triángulo es isósceles

Ejercicio Propuesto:
Demostrar que A(7,5), B(2,3) y C(6, -7) son vértices de un triángulo
rectángulo.

Punto Medio
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de
otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra
a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos,
rectas, etc.

Ejemplo:
Encuentra el punto medio de un segmento que une a los puntos (2, 5) y (6, 9).
Solución
Tenemos a las siguientes coordenadas
• (x1​,y1​)=(2,5)
• (x2​,y2​)=(6,9)
Ahora, usamos la fórmula del punto medio con las coordenadas dadas
Pm =((x1​+x2)/2​, (y1​+y2)/2​)
=(2+6/2, 5+9/2)
=(8/2, 14/2)
=(4,7)
El punto medio es Pm=(4,7).

Ejercicio Propuesto:
¿Cuál es el punto medio entre los puntos (2, 6) y (8, 12)?

Ecuación, trazado y representación
gráfica de una circunferencia
La circunferencia es una curva plana y cerrada tal que todos sus puntos
están a igual distancia del centro o dicho de otra forma es el lugar
geométrico de los puntos de un plano que equidistan a otro punto
llamado centro.

Elementos relevantes de la circunferencia, heredados por el círculo:
• El centro es el punto equidistante a todos los puntos de una circunferencia.
Señalado con el nombre C en la figura.
• Un radio es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con un
punto cualquiera de la misma. El radio también es la longitud de los
segmentos del mismo nombre. Señalado con el nombre r en la figura.
• Un diámetro es cualquier segmento que une dos puntos de la circunferencia
pasando por su centro. El diámetro también es la longitud de los segmento
del mismo nombre. Señalado con el nombre d en la figura.
• El perímetro es el contorno de la circunferencia y su longitud. Señalado con
el nombre L en la figura.
• Una cuerda es cualquier segmento que une dos puntos de una circunferencia.
El diámetro es una cuerda de máxima longitud. Segmento verde en la figura.
• Un arco es cualquier porción de circunferencia delimitada por dos puntos
sobre esta. Se dice también que una cuerda subtiende cada arco que
determinan sus extremos. Línea curva azul en la figura.
Perímetro
La longitud de una circunferencia en función del radio r o del diámetro d=2⋅r es:
ℓ=2π.r = π⋅d donde π=3,14159… es la constante pi.
Área
El área del círculo o de la región del plano delimitada por una circunferencia:
A = ℓ⋅r/2 = 𝜋. 𝑟2
=
π.𝑑2
4

Representación de la circunferencia:
La circunferencia se puede representar mediante ecuaciones o funciones que
determinan la posición de cada uno de sus puntos. Para ello solo hace falta
garantizar que la distancia de cada punto P de la circunferencia a su centro C sea
constante para cada una de las ecuaciones y funciones que se tenga.
Ecuación de la circunferencia
Una circunferencia queda determinada por un centro
y un radio r, por tanto, su ecuación queda
determinada al imponer que la distancia de sus puntos,
al centro sea constante, es decir,
dando la siguiente ecuación:
Su representación en un sistema de coordenadas
viene dada por cada punto de la forma (x,y) que
satisfacen la ecuación.
La ecuación anterior es más sencilla si está centrada en el origen de coordenadas

Ejemplo:

Ejercicio Propuesto:
Dada la circunferencia de ecuación hallar el centro y el radio.

Ecuación, trazado y representación
gráfica de una Parábola
Se denomina parábola al lugar geométrico
de un punto que se mueve en un plano de tal
manera que equidista de una recta fija,
llamada directriz y de un punto fijo en el
plano, que no pertenece a la parábola ni a la
directriz, llamado foco.
Al segmento de recta comprendido por la
parábola, que pasa por el foco y es paralelo a
la directriz, se le conoce como lado recto.
Debido a la ecuación que representa a esta
curva, surge el siguiente teorema:
La longitud del lado recto es siempre 4 veces
la distancia focal.

La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es
vertical, la y será la variable dependiente y tendrá un término en x². Si el eje es horizontal,
será x la variable dependiente y tendrá un término en y²
Ecuación ordinaria reducida de la parábola:
Consideremos una parábola de la imagen de
arriba. Es una parábola horizontal (cuyo eje
es el X de las abscisas), su vértice está en el
centro de coordenadas V (0, 0) y que la
parábola está en la parte positiva de las x. En
este caso, el foco estará necesariamente
en F (p/2,0), a la derecha del vértice. La
ecuación de la recta directriz D será x = –p/2,
porque la directriz y el foco equidistan del
vértice.
Los radios vectores FP y PM,
correspondientes a cualquier punto P de
la parábola (que, por definición de
la parábola son iguales) tendrán la longitud:

Operando y simplificando, obtenemos la ecuación
ordinaria o canónica reducida de la
parábola referida a esta configuración
Que es la de la parábola horizontal con vértice en
(0, 0) y abierta a la derecha, como se muestra en la
gráfica de arriba.
(Cabe decir que la ecuación de una parábola
horizontal se corresponde con dos funciones.
Despejando la variable dependiente y).
Se ve en la imagen que la solución positiva
de la raíz cuadrada es la función cuya
gráfica es la media parábola de arriba
mientras que la solución negativa es la
función de la media parábola de abajo

Volviendo a la ecuación ordinaria reducida de la parábola horizontal. Si se
desplazara el vértice a un punto V(xv, yv), tendríamos la ecuación canónica en
forma vértice o ecuación ordinaria de la parábola horizontal. Se escribirá así:
Vamos a la ecuación ordinaria reducida de
la parábola, pero ahora con su eje vertical y
coincidente con el eje de las ordenadas, su
vértice es el centro de coordenadas V (0,0) y
la parábola está en la parte positiva de
las y (abierta hacia arriba)
Esta ecuación ordinaria o canónica
reducida vertical se deduce con el mismo
procedimiento empleado en la reducida
horizontal, es decir, a partir de operar sobre
la igualdad de los radios vectores de
cualquier punto P(x,y).

Ejemplo
Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje de las abscisas OY, que
pasa por el punto P (4,0) y su vértice está en V (2,-1).
Hacer su representación gráfica.

Ejercicio Propuesto
La ecuación de una parábola es y2 = 6x -3. ¿Cuáles serán las ecuaciones de las
rectas tangente y normal de ordenada en un punto P de la parábola x = 6,5 y
ordenada positiva?

Ecuación, trazado y representación
gráfica de una Elipse
Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de
las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos
denominados focos (F y F') es siempre la misma.
Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que:
d(P,F) + d(P,F’) = 2.a
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F'
respectivamente.

Elementos de la elipse
Los siguientes elementos se encuentran en cada elipse:
1.Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría.
2.Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de
simetría.
3.Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatriz del segmento
que une los focos.
4.Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.
5.Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
6.Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
7.Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje
principal. Su longitud es a.
8.Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje
secundario. Su longitud es b y cumple
• b = 𝑎2 + 𝑐2
•Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los
segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se
cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x

Ecuación de la elipse
Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)
La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es
horizontal viene dada por:
Donde:
x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la
elipse
a : Semieje de abcisas
b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso
debe cumplirse que b ⩽ a.

Ecuación de eje mayor vertical centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)
La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es
vertical viene dada por:
Donde:
x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la
elipse
a : Semieje de abscisas
b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso
debe cumplirse que b > a.
Excentricidad
La excentricidad nos permite conocer lo alejados que están los focos del centro
de la elipse.
Observa que 0 < e < 1. Cuando e ≈ 0 los focos se superponen y la elipse es una
circunferencia.

Ejemplo
Determina la ecuación de la elipse horizontal centrada en el origen cuyo eje
mayor horizontal mide 10 y su distancia focal mide 6.

Ejercicio Propuesto
Determinar la ecuación de una elipse de eje mayor vertical centrada en el
punto P(-1,2) y cuyos ejes miden 20 y 16.

Ecuación, trazado y representación
gráfica de una Hipérbola
Definición de hipérbola
Una hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia
de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre constante.
Hipérbola
Las líneas azules constituyen lo que se
conoce como una hipérbola. Observa sus
focos F y F'. Estos puntos son muy
importantes ya que la diferencia de la
distancia entre cada punto P(x,y) y estos
puntos es siempre constante.
Por tanto, debes tener en cuenta que para
cualquier punto de la hipérbola siempre se
cumple que:
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de
un punto genérico P de la hipérbola al
foco F y al foco F' respectivamente. Y
donde 2a es una constante

Elementos de la hipérbola
En las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes que se detallan a
continuación:
•Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y
cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.
•Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
•Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos.
•Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario.
•Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su
valor es c.
•Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su
longitud es 2c.
•Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal.
•Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cualquiera de los
vértices A o A'. Su longitud es a.
•Semieje imaginario (b). b = 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐

Ecuación de la hipérbola
De manera general podemos encontrarnos dos tipos de hipérbolas, aquellas en las que el eje
focal se encuentra horizontal o vertical. De este modo podemos definir dos tipos de ecuaciones.
Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P(x0,y0) cualquiera
La ecuación de una hipérbola de eje
focal horizontal viene dada por:
Donde:
x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro
de la hipérbola
a : Semieje real
b : Semieje imaginario

Hipérbola de eje focal vertical centrada en un punto P(x0,y0) cualquiera
La ecuación de una hipérbola de eje focal
vertical viene dada por:
Donde:
x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la
hipérbola
a : Semieje real
b : Semieje imaginario
Excentricidad de la hipérbola
A partir de la semidistancia focal y el semieje real es posible obtener un valor numérico que nos indique
como de "abierta" o "amplia" es una hipérbola. Dicho valor recibe el nombre de excentricidad.
La excentricidad e de una hipérbola es el cociente entre si semidistancia focal y su semieje real:
Donde:
a : Semieje real
c : Semidistancia focal
Este valor siempre será mayor que 1 y cuanto mayor sea su valor más "estrecha" o "cerrada" será la
hipérbola.

Asíntotas de la hipérbola
En las hipérbolas es posible dibujar dos rectas que pasan por su origen y que
son tangentes a la hipérbola en el infinito.
Dada cualquier hipérbola de eje focal
horizontal centrada en el origen es posible
dibujar dos asíntotas cuyas ecuaciones son:
Donde:
a : Semieje real
b : Semieje imaginario

Ejemplo
Determinar la ecuación de la hipérbola centrada en el punto P(2,1) cuya distancia
focal es 10 y la distancia entre sus vértices A es 8.

Ejercicio Propuesto
Determina la excentricidad de la hipérbola dada por la siguiente ecuación: